Capitulo III - Integrales Multiples

5/7/2018 Capitulo III - Integrales Multiples - slidepdf.com

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1Integrales Múltiples

En el estudio de integrales múltiples, en el cual se tratan funciones de varias variables, se hará referencia a una integralde una función de una sola variable como integral simple. Para poder determinar la integral de una función, ésta debíaestar definida en el intervalo cerrado del conjunto de los números reales. Para la integral doble de una función de dosvariables, se pedirá que la función esté definida en una región cerrada de R2.

Las coordenadas cilíndricas y esféricas son generalizaciones de las coordenadas polares para el espacio tridimensional.Se estudiarán al inicio ya serán de utilidad en toda la unidad.

Coordenadas cilíndricas

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado(r, q , z), donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desdeel plano xy a P.[1]

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, usamos las ecuaciones:

(1.1) x = r cos q y = r sen q z = z

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas, usamos las ecuaciones:

(1.2)r 2 = x2 + y2 q = ArcTan y

x

si x ∫ 0 z = z

E emplo 1.1.1

Localice el punto en coordenadas cilíndricas (2, p,1) y encuentre sus coordenadas rectangulares.



z

x

y

r=2

Θ=π

z=1

(2, π, 1)

0-=2

Coordenadas Cilíndricas

Para convertir de unas coordenadas a otras usamos las ecuaciones (1.1) y (1.2):

(2, p,1) ö r=2, q = p, z=1

x = r cos q fl x = 2cosHpL = 2 H-1L = -2

y = r sen q fl y = 2sen

Hp

L= 2

H0

L= 0

z = z fl z = 1

H x, y, zL Ø H-2, 0, 1L

E emplo 1.1.2

Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto en coordenadas rectangulares (3, -3, 7)

x=3 y=-3 z=7

r 2 = x2 + y2 fl r 2 = H3L2 + H-3L2 = 9 + 9 = 18 fl r = 18 = 3 2

q = Tan-1 y

xfl q = Tan-1

-3

3= Tan-1H-1L =

- p

4= 2 p -

p

4= 7

p

4

z = z fl z = -7

Nota: Tabla de ángulos más usados y algunas funciones trigonométricas.

2 Capitulo III - Integrales Multiples.nb



θ Sen(θ) Cos(θ) Tan(θ)

0 0 1 0

1

1 0 ∞

π 0 -1 0

E emplo 1.1.3 Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones, expresada en

coordenadas cilíndricas, donde c es una constante

a) r=c

En este caso nos dicen que el radio es un valor constante c, y el resto de los parámetros cilíndricos pueden variar, esocorresponde a la gráfica de un ccilindro con centro en (0,0,0) y r=|c|

z

x

y

r=|c|

0-

b) q =c

En este caso la variable que permanece fija es el ángulo en un valor constante, y las otras dos variables (r, z) puedenvariar, la gráfica que esto genera es un plano como el de la figura:

z

x

y

r=|c|

0-

θ=c

c) z=c

Si establecemos que la variable z coordenada es un valor constante, estamos refiriéndonos a un plano de altura c.

Capitulo III - Integrales Multiples.nb 3



z

x

y

z=c

0

-

E emplo 1.1.4 Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas de:

a) r = 6 sen q

Para convertir esta ecuación en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas debmos tomar en cuenta:

r 2 = x2 + y2 z = z

r = 6sen q ö Multiplicamosa ambos lados de la igualdadpor r .

r * r = 6 * r sen q ö r 2 = 6 r sen q Como y = r sen q y r 2 = x2 + y2

x2 + y2 = 6 y ö Esta ecuación corresponde con un cilindro.

b) r ( 3 cos q + 2 sen q ) + 6z =0

Aplicamos la misma lógica de la parte anterior,

r H3cos q + 2sen q L + 6 z = 0 Resolvemos lamultiplicación por r

r 3cos q + r 2sen q + 6 z = 0

Reescribimos la ecuación para poder hacer la conversión x = rcosq y = rsenq

3 r cos q + 2 r sen q + 6 z = 0

3 x + 2 y + 6 z = 0 ö Esta es la ecuación en coordenadas cartesianas.

E emplo 1.1.5 Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para:

a) x2 + y2 = z

Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas necesitamos saber que:

x = r cos q y= r sen q z=z

x2 + y2 = z fl Hr cos q L2 + Hr sen q L2 = z

r 2 cos2 q + r 2 sen2 q = z




Sacamos factor común de r 2:

r 2Icos2 q + sen2 q M = z

Usamos la identidad trigonométrica cos2 q + sen2 q = 1

r 2 = z

b) x2 - y2 = z

Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas necesitamos saber que:

x = r cos q y= r sen q z=z

x2 - y2 = z fl Hr cos q L2 - Hr sen q L2 = z

r 2 cos2 q - r 2 sen2 q = z

Sacamos factor común de r 2:

r 2Icos2 q - sen2 q M = z

Usamos la identidad trigonométrica cos2 q - sen2 q = cos2 q

r 2 cos2 q = z

Coordenadas Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y elorigen se coloca en este punto. Por ejemplo, la esfera con centro en el origen y radio c tiene la muy sencilla ecuación

=c, ésta es la razón del nombre de coordenadas esféricas. La gráfica de la ecuación q =c representa un semicono conel eje z en su eje.

z

x

y

rθ

z

P(ρ, θ ,ϕ)

0-

ρ

ϕϕ

Las coordenadas rectangulares se pueden ver en la figura: z = r cos f r = r sen f

Pero x= r cos q y = r sen q

x = sen f cos q y = r sen f cos q z = r cos f

Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares:




r2 = x2 + y2 + z2

E emplo 1.2.6 Localice el punto P(2,p

4,p

3) y encuentre sus coordenadas cartesianas.

PI2, p

4, p

3 M ö P( r, q , f)

=2 q =p

4f =

p

3

x = r sen f cos q = 2senp

3cosKp

4O = 2

3

2

2

2=

6

2

y = r sen f sen q = 2senp

3sen Kp

4O = 2

3

2

2

2=

6

2

z = r cos f = 2 cosp

3= 2 µ

1

2= 1

Ejemplo 1.2.7 Obtener las coordenadas esféricas del punto P(0, 2 3 ,-2)

Para obtener las coordenadas esféricas necesitamos:

x = r sen f cos q y = r sen f cos q z = r cos f

Para determinar a r usamos:

r2 = x2 + y2 + z2

x = 0, y = 2 3 y z = -2

r = x2 + y2 + z2 = 02 + 4 * 3 + 4 = 16 = 4

Ahora determinamos el valor de f:

z = r cos f Despejamos f

f = ArcCos z

r= ArcCos

-2

4= ArcCos

-1

2= p - ArcCos

1

2= p -

p

3= 2

p

3

Finalmente necesitamos determinar el valor de q , para ello podemos hacer uso de una de las dos ecuaciones restante:

x = r sen f cos q De esta ecuación despejamos a q

q = ArcCos x

r sen f= ArcCos

0

2sen I2 p

3M = ArcCosH0L =

p

2

Coordenadas cartesianas ö K0, 2 3 , -2O




Coordenadas esféricas ö 4,p

2, 2

p

3

Definición de la integral doble

Sea f una función de dos variables definida en una región rectangular cerrada R. La integral doble de f en R, denotadapor Ÿ Ÿ

R

f H x, yL dA está definida por

Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA = lím»»D»»Ø0⁄i=1

n f Hui, viL Di A

si este límite existe.

Si la integral doble de f en R existe, entonces se dice que f es integrable en R. El teorema siguiente,proporciona unacondición suficiente para que una función de dos variables sea integrable.

Teorema 1 Teorema

Si una función de dos variables es continua en una región rectangular cerrada R, entonces f

es integrable en R.

Ejemplo 1.3.8 Obtenga un valor aproximado de la integral doble

Ÿ Ÿ R

I3 y - 3 x2M dA

donde R es la región rectangularque tiene vértices en (-1,1) y (2,3). Considere una partición de R generada por lasrectas x=0, x=1 y y=2, y tome el centro de la i-ésima subregión como Hui, viL.

H-1,3L

H-1,1L

H2,3L

H2,1L

H-0.5,2.5L

H-0.5,1.5L

H0.5,2.5L

H0.5,1.5L

H1.5,2.5L

H1.5,1.5L

x

y

Solución:

Usando la definición anterior, sabemos que la integral doble se calcula:




Ÿ Ÿ R

I3 y - 3 x2M dA = ⁄i=1n f Hui, viL Di A

= f(-0.5,1.5).1 + f(0.5,1.5).1 + f(1.5,1.5).1 +

f(1.5,2.5).1 + f(0.5,2.5).1 + f(-0.5,2.5).1

= 4 . 1 + 4 . 1 + 0 . 1 + 3 . 7 + 7 . 1 + 7 . 1

= 25

Teorema 2 Teorema

Sea f una función de dos variables y continua en una región cerrada R del plano xy tal que

(x,y) ¥ 0 para todo (x,y) de R. Si V unidades cúbicas es el volumen del sólido S que tiene la región

R como su base y cuya altura es f(x,y) unidades en el punto (x,y) de R, entonces

V = lím»» D»» Ø 0

⁄i= 1n f Hui , viLDi A

V = Ÿ Ÿ R

f Hx, y L dA

Ejemplo 1.3.9 Exprese el volumen del sólido limitado por la superficief(x,y) = 4 -1

9 x2 -

1

16 y2

los planos x=3, y = 2 y los tres planos coordenados como una integral doble. Para resolver este problemaconsidere la partición de la región rectangular en cuadrados de área 1. y tome el centro de la i-ésima subregión comoHui, viL.

V = Ÿ Ÿ R

I4 -1

9 x2 -

1

16 y2M dA

V = f(0.5,0.5).1 + f(0.5,1.5).1 + f(1.5,0.5).1 + f(1.5,1.5).1 + f(2.5,0.5).1 + f(2.5,1.5).1

V = 3.957 + 3.832 + 3.734 + 3.609 + 3.290 + 3.165

V = 21.59




Propiedades de la integral doble

Teorema 3 Teorema:

Si c es una constante y la función f es integrable en una región cerrada R, entonces cf esintegrable en R y

Ÿ Ÿ R

cf H x, yL dA = c Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA

Teorema 4 Teorema:

Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R, entonces la función f+g es

integrable en R y

Ÿ Ÿ R

@ f H x, yL + gH x, yLD dA = Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA + Ÿ Ÿ R

gH x, yL dA

Teorema 5 Teorema:

Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R, y además f(x,y)¥ g(x,y) paratodo (x,y) de R, entonces

Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA ¥ Ÿ Ÿ R

gH x, yL dA

Teorema 6 Teorema:

Sea f una función integrable en una región cerrada R, y suponga que m y M son dos números

tales que m f(x,y) M para todo (x,y) de R. Si A es la medida del área de la región R, entonces

mA Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA MA

Teorema 7 Teorema:

Suponga que la función f es continua en la región cerrada R y que la región R se compone de

dos subregiones R1 y R2 que no tienen puntos en común excepto algunos puntos en parte de susronteras, entonces

Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA = Ÿ Ÿ R1

f H x, yL dA + Ÿ Ÿ R2

f H x, yL dA

Si a1 x b1 y a2 y b2, La integral doble también puede representarse




Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA = Ÿ a2

b2Ÿ a1

b1 f H x, yL dxdy

= Ÿ a2

b2BŸ a2

b2 f H x, yL dxF dy

Ejemplo 1.4.10 Evalúe la integral dobleŸ Ÿ R

I3 y - 2 x2M dA

Si R es la región del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales -1x2 y 1y3.

Solución:

Con a1 = -1, b1 = 2, a2 = 1 y b2 = 3, se tiene según la ecuación previamente establecida que

Ÿ Ÿ R

I3 y - 2 x2M dA = Ÿ 13Ÿ -1

2 I3 y - 2 x2M dxdy

= Ÿ 13BŸ -12 I3 y - 2 x2M dxF dy

= Ÿ 13

A3 yx -

2

3 x3

E-1

2

dy= Ÿ 13H9 y - 6L dy

= 9

2 y2 - 6 y 1

3

= 81

2- 18 -

9

2+ 6

= 24

Ejemplo 1.4.11 Ejemplo: Evalúe la integral doble

Ÿ Ÿ R

H3 yx- 2 xL dA

Si R es la región del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales -1x2 y 1y3.

Solución:

Si aplicamos las propiedas de las integrales dobles, podemos separar la integral original en dos integrales bajola misma región:

Ÿ Ÿ R

H3 yx - 2 xL dA = Ÿ Ÿ R

H3 yxL dA +Ÿ Ÿ R

H-2 xL dA

= Ÿ 13Ÿ -12 H3 yxL dxdy + Ÿ 13Ÿ -1

2 H-2 xL dxdy

= I 1 + I 2

I 1 = Ÿ 13

Ÿ -1

2

H3 yxL dxdy

= Ÿ 133 yBŸ -12 xdxF dy

= Ÿ 133 yB J x2

2 -12 F dy

= Ÿ 133 yA 4

2-

1

2E dy

= Ÿ 133 yA 3

2E dy




= Ÿ 13 9

2ydy

I 1 = 9

2J y2

2 13 = 9

2I 9

2-

1

2M = 9

2I 8

2M = 18

I 2 = Ÿ 13Ÿ -12 H-2 xL dxdy

= Ÿ 13

H-2LBŸ -12

xdxF dy

= Ÿ 13H-2LB J x2

2 -12 F dy

= Ÿ 13H-2LA 4

2-

1

2E dy

= Ÿ 13H-2LA 3

2E dy

= Ÿ 13H-3L dy

I 2 = -3 I y 13 = H-3L H3 - 1L = -6

Ÿ Ÿ R H3 yx - 2 x

LdA = I 1 + I 2

= 18 - 6 = 12

Integrales Iterativas

Teorema 8 Teorema:

(i) Ÿ abŸ g1H xLg2H xL f H x, yL dydx = Ÿ abBŸ g1H xL

g2H xL f H x, yL dyF dx

(ii) Ÿ cd Ÿ h1H xLh2H xL f H x, yL dxdy = Ÿ cd BŸ h1H xL

h2H xL f H x, yL dxF dy

Ejemplo 1.5.12 Evalúe la integral doble

Ÿ 02Ÿ x2

2 xI x3 + 4 yM dydx

‡ 0

2

‡ x2

2 xI x3 + 4 yM dydx = ‡ 0

2B‡ x2

2 xI x3 + 4 yM dyF dx

= Ÿ 02A x3 y + 2 y2 x22 xE dx

= Ÿ 02B x3H2 xL + 2 H2 xL2 - x3 x2 - 2 I x2M2F dx

=

Ÿ 02

A2 x4 + 8 x2 - x5 - 2 x4

Edx

= Ÿ 02A8 x2 - x5E dx

= J 8

3 x3 -

x6

6 02 = 8

3*8 -

64

6=

32

3




Teorema:

(i) Sea R la región tipo I, si f es continua en R, entonces

Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA = Ÿ abŸ g1H xLg2H xL f H x, yL dydx

(ii) Sea R la región del tipo II, si f es continua en R, entonces

Ÿ Ÿ R

f H x, yL dA = Ÿ cd Ÿ h1H xLh2H xL f H x, yL dxdy

Ejemplo 1.5.13 Evalúe la integral doble

Ÿ 02Ÿ y2

2 yH4 x- yL dxdy

Ÿ 02Ÿ y2

2 yH4 x - yL dxdy = Ÿ 02BŸ y2

2 yH4 x - yL dxF dy

=

Ÿ 02BJ2 x2 - yx

y2

2 yF dy

= Ÿ 02A8 y2 - 2 y2 - 2 y4 + y3E dy

= Ÿ 02A6 y2 - 2 y4 + y3E dy

= J2 y3 -2

5 y5 +

y4

4 02

= 36

5

Área y Volumen

En la sección anterior se vio que el volumen V de un sólido que se encuentra bajo la gráfica de z = f H x, yL y sobre una

región del tipo I en el plano xy está dada por

V = Ÿ ab AH xL dx = Ÿ abŸ g1H xLg2H xL f H x, yL dydx

donde A(x) es el área de una sección transversal típica del sólido. Estas integrales pueden considerarse límites desumas. Para determinar el volumen por secciones:

V = Ÿ ab AH xL dx = lím»» p'»»Ø0⁄k AHuk L Dxk

donde p' es una partición del intervalo [a,b],

uk es el k-ésimo subintervalo @ xk -1, xk D de p'

AHuk L Dxk es el volumen de una región laminar Lk con caras paralelas al plano xy.




Volumen como límite de sumas dobles

V= lím»» D»» Ø 0

⁄k ⁄ j f Iuk , v jMD y jD xk

V = Ÿ abŸ g1H xLg2H xL f H x, yL dydx

Ejemplo 1.6.14 Calcular el volumen V del sólido acotado por las gráficas de x2 + y2 = 9 y y2 + z2 = 9

-20

2X

-2

0

2Y

-2

0

2

Z

-20

2

-2

0

Solución:

Las gráficas son cilindros de radio 3, por simetría basta con determinar el volumen que hay en un solo cuad-rante del espacio tridimensional

0

1

2

3X

0

1

2

3Y

0

1

2

3

Z

0

1

2

0

1

2

Finalmente el volumen total estaría dado por el volumen de esta parte multiplicado por 8.

V=8Ÿ Ÿ R I9 - y2M1

2 dA

Esa región que representa el área del sólido, está dada por:




x2+ y 2 = 9

V = 8 Ÿ 03Ÿ 0 9- y2 I9 - y2M 1

2 dxdy

V = 8 Ÿ 03BI9 - y2M1ê2 x 09- y2 F dy

V = 8 Ÿ 03BI9 - y2M1ê2 I9 - y2M1ê2F dy

V = 8 Ÿ 03A9 - y2E dy

V = 8 J9 y - y3

3N0

3= 8 H27 - 9L = 144

Ejemplo 1.6.15 Calcular el volumen V del sólido acotado por las gráficas de z = x2 + y2 + 1 y 2 x + y = 2

Veamos cuál es el dominio de la función:

y = 2 − 2 x

Por lo tanto el volumen será:

V = Ÿ 01Ÿ 02-2 xI x2 + y2 + 1M dydx

V = Ÿ 01BJ x2 y + y3

3+ yN

0

2-2 xF dx

V = Ÿ 01B2 x2 - 2 x3 +H2-2 xL3

3+ 2 - 2 xF dx

V = Ÿ 01B 14

3- 10 x + 10 x2 -

14 x3

3F dx




V = I 14

3 x - 5 x2 +

10

3 x3 -

7

6 x4

01

V = I 14

3- 5 +

10

3-

7

6M =

11

6

Integrales dobles en coordenadas polares

Suponga que se desea evaluar una integral doble Ÿ Ÿ R f H x, yL dA, donde R es una región parecida a la figura que se

muestra posteriormente. Resolver este tipo de integrales en coordenadas rectangulareses bastante complicada, pero alhacer una transformación a coordenadas polares, la dificultad disminuye.

x

y x2+ y2=2 x2+ y2=3

Recordemos que las coordenadas polares (r, q ) de un punto se relacionan con la coordenadas rectangulares con lasecuaciones:

r 2 = x2 + y2 x = r cos q y = r sen q

Teorema 11 Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 a r b, aqb , donde 0b -a 2p ,

entonces

Ÿ Ÿ R f H x, yL dA = Ÿ a b Ÿ ab f Hr cos q , r sen q L rdrd q

[JS,5]

Ejemplo 1.7.16 Evalúe Ÿ Ÿ RI3 x+ 4 y2M dA, donde R es la región del semiplano superior acotado por

los círculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4

Primero debemos graficar la región R:

x

y x2+ y2=1 x2+ y2=4

Region acotada entre estas dos curvas corresponde a R. Ahora para efectuar el cambio de coordenadas, debemosconocer los límites de integración:




Para el ángulo 0qp

Para el radio 1r2

Y además:

x = r cos q y = r sen q

Hacemos las sustituciones:

‡ ‡ R

I3 x + 4 y2M dA = ‡ 0

p

‡ 1

2I3 r cos q + 4 Hr sen q L2M r dr dq

= ‡ 0

p

‡ 1

2I3 r 2 cos q + 4 r 3 sen2 q M dr dq

= ‡ 0

p

‡ 1

2

3 r 2 cos q dr dq + ‡ 0

p

‡ 1

2

4 r 3 sen2 q dr dq

=

‡ 0p

B‡ 12

3 r 2 cos q dr

Fdq +

‡ 0p

B‡ 12

4 r 3 sen2 q dr

Fdq

= ‡ 0

pBr 3 cos q 12 dq + ‡

0

pAr 4 sen2 q 12 dq

= ‡ 0

pH8 - 1L cos q dq + ‡ 0

pAH16 - 1L sen2 q dq

= 7sen q 0p + 15

q

2-

sen2 q

40p

=

H7sen p - 7sen0

L+ 15

p

2-

sen2 p

4- 15

H0 - sen0

L= 15

p

2

E emplo 1.7.17 Encuentre el volumen del sólido acotado por el plano z=0 y el paraboloide

z = 1- x2 - y2

La integral a resolver sería:

‡ ‡ R

I1 - x2 - y2M dA

Para obtener el volumen de este sólido necesitamos conocer la base o la región R de integración, para ello haemos z=0: z = 0 ö 0 = 1 - x2 - y2 Corresponde con la ecuación de una circunferencia




Para llevar esto a coordenadas polares debemos tomar:

0 r 1 x = r cos q

0 q 2 p y = r sen q

Y la integral original

‡ ‡ RI1 - x2 - y2M dA =

‡ 02 p

‡ 01I1 - Hr cos q L2 - Hr sen q L2M rdrdq

= ‡ 0

2 p

‡ 0

1I1 - r 2 cos2 q - r 2 sen2 q M rdrdq

= ‡ 0

2 p

‡ 0

1I1 - r 2I cos2 q + sen2 q MM rdrdq

= ‡ 0

2 p

‡ 0

1I1 - r 2M rdrdq = ‡ 0

2 p r 2

2-

r 4

4 0

1

dq = ‡ 0

2 p 1

4dq

= 14

q

0

2 p

= 2 p4

- 0 = p2

E emplo 1.7.18 Ejercicio para resolver:

Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z = x2 + y2, arriba

del plano xy y dentro del cilindro x2 + y2 = 2 x

Integrales triples

La definición dela integral triple es análoga a la extensión que se hace de la integral simple a la integral doble. En estecaso la región de integración está dada por un paralelepípedo rectangular limitado por seis planos: x = a1, x = a2, y = b1, y = b2, z = c1 y z = c2. con a1 < a2, b1 < b2 y c1 < c2. Sea f una función de tres variables y

suponga que f escontinua en una región S de este tipo. Una partición de esta región se forma al dividir Sen cajasrectangulares mediante planos paralelos a los planos coordenados.




La integral triple de f sobre la caja S es

Ÿ Ÿ Ÿ S

f H x, yzL dV = líml,m,nØ¶

⁄i= 1l ⁄ j= 1

m ⁄k = 1n f I xijk , yijk , zijk M DV

si este límite existe.

Teorema 12 De Fubini para integrales triples

Si f es continua en el cuadro rectangular S = @a1 , a2D x@b1 , b2D x@c1 , c2D , enonces

Ÿ Ÿ Ÿ S

f H x, y, zL dV = Ÿ c1

c2Ÿ b1

b2Ÿ a1

a2 f H x, y, zL dxdydz

La integral iterada en el lado derecho del Teorema de Fubini significa que se integra primero con respecto a x(manteniendo y y z constante), luego se integra con respecto a y (manteniendo a z constante) y, por último, se integrarespecto a z.

Ejemplo 1.8.19 Evalúe la integral triple Ÿ Ÿ Ÿ Rxyz2 dV, donde R es la caja rectangular dada por

R={(x,y,z) | 0£x£1, -1£y£2, 0£z£3}

Solución:

Se puede usar el teorema de Fubini para resolver esta integral en cualquiera de los seis ordenes:

‡ ‡ ‡ R

xyz2 dV = ‡ 0

3

‡ -1

2

‡ 0

1

xyz2 dxdydz

= ‡ 03

‡ -1

2

yz2

x2

2 0

1

dydz = ‡ 03

‡ -1

2 1

2 yz2

dydz

= ‡ 0

3 1

2 z2

y2

2-1

2

dz = ‡ 0

3 1

2 z2

y2

2-1

2

dz

= ‡ 0

3 1

2

3

2 z2 dz =

3

4

z3

3 0

3

=3

4

27

3- 0 =

27

4

E emplo 1.8.20 Evalúe la integral triple Ÿ Ÿ Ÿ Sxy sen HyzL dV, si S es el paralelepípedo rectangular

limitado por los planos x=p, y = 1

2p, z = 1

3p y los planos coordenados.

Solución:

‡ ‡ ‡ S

xysen HyzL dV = ‡ 0

1

2p

‡ 0

1

3p

‡ 0

p

xysenHyzL dxdzdy




= ‡ 0

1

2p

‡ 0

1

3pB‡

0

p

xysenHyzL dx F dzdy

= ‡ 0

1

2p

‡ 0

1

3p x2

2 y senHyzL

0

p

dzdy = ‡ 0

1

2p

‡ 0

1

3p p2

2 y senHyzL dzdy

= ‡ 0

1

2p

-p2

2 y

cosHyzL y 0

1

3p

dy = ‡ 0

1

2p

-p2

2cosHyzL

0

1

3p

dy

= ‡ 0

1

2p

-p2

2cos

yp

3+

p2

2cosH0L dy = ‡

0

1

2p p2

21 - cos

yp

3dy

=p2

2 y -

3

psen

p

3 y

0

1

2p

=p2

2

1

2p -

3

psen

p2

6

=p3

4- 3

p

2sen

p2

6

Ahora discutiremos como determinar integrales triples en regiones de R3 diferentes de un paralelepípedorectangular.

Sea S la región tridimensional cerrada y limitada por los planos x=a y x=b, los cilíndros y = F1H xL y y = F2H xL, y las

superficies z = F 1H x, yL y z = F 2H x, yL, donde las funciones F1, F2, F 1 y F 2 son lisas. Trace planos paralelos a los

planos coordenados de modo que se forme un conjunto de paralelepípedos rectangulares que cubran toda la región S.Los paralelepípedos que se encuentran completamente dentro de S o en la frontera de S forman una partición D de S.Elija un sistema para numerar de 1 a n estos paralelepípedos. La norma ||D|| de esta partición de S es la longitud de ladiagonal más grande de los n paralelepípedos. El volumen del i-ésimo paralelepípeddo es Di V unidades cúbicas.

La integral triple puede resolverse usando integrales iteradas de la siguiente forma:

(1.3)‡ a

b

‡ F1

F2‡ F 1H x, yL

F 2H x, yL f H x, y, zL dzdydx

Ejemplo 1.8.21 Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 25, el plano

x+ y+ z = 8 y el plano xy




En la gráfica se puede observar claramente cuál es el volumen que se desea determinar, ahora veamos cómo son loslímites de integración:

-5 x 5

- 25 - x2 y 25 - x2

0 z 8 - x - y

Y la integral de volumen quedaría de la siguiente forma :

‡ -5

5

‡ - 25- x2

25- x2

‡ 0

8- x- y

dzdydx = ‡ -5

5

‡ - 25- x2

25- x2

H zL08- x- ydydx

= ‡ -5

5

‡ - 25- x2

25- x2

H8 - x - yL dydx

= ‡ -5

5

8 y - xy - y2

2- 25- x2

25- x2

dx

= ‡ -5

5B H8 - xL 25 - x2 -1

2I25 - x2M - -H8 - xL 25 - x2 -

1

2I25 - x2M Fdx

= 2 ‡ -5

5H8 - xL 25 - x2 dx = 2 ‡ -5

5

8 25 - x2 dx - 2 ‡ -5

5

x 25 - x2 dx

Resolvemos las dos integrales por separado:

1L 2 ‡ -5

58 25 - x2 dx Aplicamos la sustitución trigonométrica x = 5sen q

2‡ -5

5

8 25 - x2 dx = 16 ‡ 25 - H5sen q L2 5cos q dq

= 16 ‡ 25 cos2

q dq = 16 * 25q

2+

sen2 q

4

En este momento es recomendable usar la identidad trigonométrica: sen 2q = 2 sen q cos q

= 16 * 25

q

2 +

2sen q cos q

4

Ahora devolvemos el cambio de variable: q = ArcSen I x5M sen q = x ê5 cos q =

25- x2

5

= 16 * 25ArcSenH x ê 5L

2+

H x ê 5L 25- x2

5

2




= 1625 ArcSenH x ê 5L

2+

x 25 - x2

2-5

5

= 16

25

2

p

2 +

25

2

p

2 = 16 * 25

p

2 = 200 p

2L 2 ‡ -5

5

x 25 - x2 dx Aplicamos un cambio devariable u = 25 - x2 du = -2xdx

2 ‡ -5

5

x 25 - x2 dx = - ‡ u1ê2 du =-u3ê2

3 ê 2= -

2

325 - x2

-5

5

= 0

Ahora la integral original:

‡ -5

5

‡ - 25- x2

25- x2

‡ 08- x- y

dzdydx = 200 p + 0 = 200 p

E emplo 1.8.22 Determine el volumen del sólido que se encuentra por arriba del plano xy delimitado

por el paraboloide elíptico z = x2 + 4 y2 y el cilindro x2 + 4 y2=4.

Primero definimos los límites de integración:

0 z x2 + 4 y2

0 y 1 -

x2

4

0 x 2

Y la integral quedaría de la siguiente forma :

‡ 0

2

‡ 0

1- x2ë4

‡ 0

x2+4 y2

dzdydx

RESOLVER!!!!

Centros de masas y momentos de inercia

En esta sección estudiaremos varias aplicaciones importantes de la integración relacionadas con la masa. La masa esuna medida de la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento y es independiente del sistema gravitato-rio particular donde se halle el cuerpo. Fuerza y masa están relacionadas por la ecuación:

(1.4)Fuerza = HmasaL HaceleraciónL = m a




Las integrales dobles pueden usarse para determinar la masa de una lámina de densidad variable.

Definición 2 Definición de la masa de una lámina plana de densidad variable

Si r es una función densidad continua de una lámina que corresponde a una región plana

R, la masa m de la lámina viene dada por

m = Ÿ RŸ r H x, yL dA Densidad variable

[6,LH]

E emplo 1.9.23 Hallar la masa de la lámina triangular de vértices (0,0), (0,3) y (2,3), si su densidad

en (x,y) es r(x,y)=2x+y

Primero graficamos la lámina triangular:

En este caso nos piden determinar la masa, para ello empleamos la definición anterior:

m = ‡ R‡ rH x, yL dA

m = ‡ R‡ H2 x + yL dA

Ahora para aplicar los conocimientos sobre integrales iteradas, necesitamos conocer los límites de integración:

0 y 3

0 x 2

3 y

Retomando la integral original:

m = ‡ R‡ H2 x + yL dA = ‡ 03

‡ 02

3 y

H2 x + yL dxdy

m = ‡ 0

3B‡ 0

2

3 yH2 x + yL dx F dy = ‡

0

3I x2 + xyM0

2

3 y

dy

m = ‡ 0

3 4

9 y2 +

2

3 y2 dy = ‡

0

3 10

9 y2 dy =

10

9

y3

3 0

3




m =10

9

27

3= 10

Definición 3 Momentos y Centros de Masas de una lámina plana de densidad variable

Sea r una función densidad continua sobre la lámina plana R. Los momentos de masa respecto de los ejes x e y son, respectivamente,

M x = Ÿ RŸ y r H x, yL dA y M y = Ÿ RŸ x r H x, yL dA

Si la masa de la lámina es m, el centro de masa es

H x, yL = J M y

m ,

M x

mN

Si R representa una región plana en lugar de una lámina, el punto H x, yL se llama el centroide de

la región.

E emplo 1.9.24 Cálculo del centro de masas

Hallar el centro de masas de la lámina correspondiente a la región parabólica

0 y 4 - x2

si la densidad en el punto (x,y) es proporcional a la distancia de (x,y) al eje x.

Solución:

Como la lámina es simétrica respecto del eje y, y

rH x, yL = ky

el centro de masa se encuentra en algún punto del eje y. Por tanto x = 0. Para determinar y calculamos previamente la

masa de la lámina.

m = ‡ -2

2‡ 0

4- x2

kydydx = ‡ -2

2 ky2

20

4- x2

dx = ‡ -2

2 k I4 - x2

M2

2dx

m =k

2‡

-2

2 I16 - 8 x2 + x4M dx =k

216 x -

8

3 x3 +

x5

5 -2

2




m =k

2B 32 -

64

3+

32

5- -32 +

64

3-

32

5F = k 32 -

64

3+

32

5

m =256 k

15

Ahora si podemos determinar el momento:

y = M x

m

M x = ‡ -2

2

‡ 0

4- x2

yHkyL dydx = ‡ -2

2

‡ 0

4- x2

Iky2M dydx = ‡ -2

2 ky3

30

4- x2

dx

M x =k

3‡

-2

2I4 - x2M3 dx =k

3‡

-2

2I64 - 48 x2 + 12 x4 - x6M dx

M x =4096 k

105

Determinamos y:

y = M x

m=

4096 k

105

256 k

15

=4096 k H15L256 k H105L =

16

7

El centro de masa de la lámina parabólica es I0, 16

7M.




Bibliografía

[1] Louis Leithold, "EL CÁLCULO", 7ma edición[2] Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2da edición

[3] N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra edición

[4] Roland Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta edición

[5] James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE".

[6] Larson, Hostetler "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA"


Capitulo III - Integrales Multiples

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