Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad II Análisis de Potencia en...

Análisis de Potencia en estado Análisis de Potencia en estado estableestable

C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 1111C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión

Unidad IIUnidad II

Análisis de Potencia en estado estableAnálisis de Potencia en estado estable

Conferencia 1Conferencia 1


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 22

ObjetivosObjetivos

Definir el significado de los valores promedios o Definir el significado de los valores promedios o eficaces, para las variables de eficaces, para las variables de corriente y voltaje.corriente y voltaje.

22.1 Introducción..1 Introducción.2.2 Potencia Instantánea.2.2 Potencia Instantánea.2.3 Potencia Promedio.2.3 Potencia Promedio.2.4 Valores Efectivos.2.4 Valores Efectivos.

ContenidoContenido



En las sesiones anteriores hemos estado tratando En las sesiones anteriores hemos estado tratando principalmente de determinar el voltaje o corriente en algún principalmente de determinar el voltaje o corriente en algún punto dado de una red. Tiene igual importancia determinar la punto dado de una red. Tiene igual importancia determinar la potencia que suministra o que absorbe cierto elemento.potencia que suministra o que absorbe cierto elemento.

2.1 Introducción2.1 Introducción

Típicamente los dispositivos eléctricos y electrónicos tienen Típicamente los dispositivos eléctricos y electrónicos tienen condiciones normales de funcionamiento de potencia condiciones normales de funcionamiento de potencia instantánea máxima o de potencia pico que no pueden instantánea máxima o de potencia pico que no pueden excederse sin dañar los dispositivos.excederse sin dañar los dispositivos.

En esta sección explicaremos las diferentes ramificaciones En esta sección explicaremos las diferentes ramificaciones de la potencia en circuitos de corriente alterna. Vamos a de la potencia en circuitos de corriente alterna. Vamos a examinar la potencia instantánea, la potencia promedio, la examinar la potencia instantánea, la potencia promedio, la máxima transferencia de potencia y los valores efectivos o máxima transferencia de potencia y los valores efectivos o rms.rms.



2.2 Potencia Instantánea2.2 Potencia Instantánea

Veamos el circuito mostrado en Veamos el circuito mostrado en la Figura 1, dondela Figura 1, donde

v(t) = v(t) = VVMMcos(cos(ωωt+t+vv))

Entonces la potencia Entonces la potencia instantánea es:instantánea es:

i(t) = Ii(t) = IMMcos(cos(ωωt+t+ii))

pp(t) = v(t)*i(t)= (t) = v(t)*i(t)= VVMMIIMM*cos(*cos(ωωt+t+vv)*)*cos(cos(ωωt+t+ii))

Recordando que:Recordando que:

coscos11coscos22 = (1/2)[ = (1/2)[cos(cos(11--22)+ )+

cos(cos(11++22)])]



entonces:entonces:

Observe que esta expresión consta de dos términos, uno es Observe que esta expresión consta de dos términos, uno es una constante (es decir, independiente del tiempo) y el otro una constante (es decir, independiente del tiempo) y el otro es una onda coseno de dos veces la frecuencia de es una onda coseno de dos veces la frecuencia de excitación.excitación.

pp(t) = (V(t) = (VMMIIMM/2)[cos(/2)[cos(vv--ii)+ )+

cos(2cos(2t+t+vv++ii)])]

Ejemplo:Ejemplo:

Para el circuito de la Figura 1 determine la potencia Para el circuito de la Figura 1 determine la potencia instantánea, si v(t) = 4cos(instantánea, si v(t) = 4cos(t+60º)V y Z = 2|t+60º)V y Z = 2|30º30º ΩΩ..

Solución:Solución:

Aoo

o

302302

604

Z

VI



entonces:entonces:

Por lo tanto:Por lo tanto:

ii(t) = 2(t) = 2cos(cos(t+30t+30oo)A)A

El valor promedio de cualquier forma de onda (por El valor promedio de cualquier forma de onda (por ejemplo, una función senoidal) puede calcularse ejemplo, una función senoidal) puede calcularse integrando la función en un periodo completo y integrando la función en un periodo completo y dividiendo este resultado entre el periodo.dividiendo este resultado entre el periodo.

2.3 Potencia Promedio2.3 Potencia Promedio

pp(t) = 4[cos(30(t) = 4[cos(30oo)+ )+ cos(2cos(2t+90t+90oo)]W)]W

pp(t) = 3.46 + 4(t) = 3.46 + 4cos(2cos(2t+90t+90oo)]W)]W

Tt

t

o

o

dttpT

P )(1



Donde tDonde too es arbitraria, y T = 2 es arbitraria, y T = 2// es el periodo del es el periodo del voltaje o la corriente.voltaje o la corriente.

El segundo término es una onda coseno de frecuencia El segundo término es una onda coseno de frecuencia doble, se sabe de matemáticas que el valor promedio de doble, se sabe de matemáticas que el valor promedio de una onda coseno en un periodo completo o un número una onda coseno en un periodo completo o un número entero de periodos es cero, por lo tanto la potencia entero de periodos es cero, por lo tanto la potencia promedio es:.promedio es:.

Tt

t ivMM

o

o

dtttIVT

P )cos()cos(1

Tt

t ivivMMo

o

dttIV

TP )2cos()cos(

2

1

)cos(2

1ivMM IVP



Observe que como cos(-Observe que como cos(-) = cos() = cos(), el argumento para ), el argumento para una función coseno puede ser una función coseno puede ser vv- - ii o o ii - - vv. Además, . Además, note que note que vv- - ii es el ángulo de la impedancia del circuito.

Para un circuito puramente Para un circuito puramente resistivoresistivo

MM IVP2

1

Para un circuito puramente Para un circuito puramente reactivoreactivo

0)90cos(2

1 o

MM IVP

Además usando la ley de Ohm, para un circuito Además usando la ley de Ohm, para un circuito puramente resistivo, también podemos emplear las puramente resistivo, también podemos emplear las expresiones:expresiones:

R

VP M

2

2

1 RIP M

2

2

1



Debido a que las impedancias puramente reactivas no Debido a que las impedancias puramente reactivas no absorben potencia promedio, con frecuencia reciben el absorben potencia promedio, con frecuencia reciben el nombre de elementos sin pérdidas. La red puramente nombre de elementos sin pérdidas. La red puramente reactiva opera en una forma en la que almacena energía reactiva opera en una forma en la que almacena energía en una parte del periodo y la entrega en otro.en una parte del periodo y la entrega en otro.

Para el circuito mostrado en la Para el circuito mostrado en la Figura 2 determine la potencia Figura 2 determine la potencia promedio de cada elemento.promedio de cada elemento.

Ejemplo:Ejemplo:


Aj

oo

oo

1553.34583.2

6010

22

6010

Z

VI



PPLL = 0, ya que la bobina no absorbe potencia = 0, ya que la bobina no absorbe potencia promediopromedio

WIVP ooivMMf 5.12)1560cos()53.3)(10(

2

1)cos(

2

1

Vj

oo 1507.7)6010(22

2

RV

WIVP MMR 5.12)53.3)(07.7(2

1

2

1

Ejemplo:Ejemplo:

Para el circuito mostrado en la Para el circuito mostrado en la Figura 3 determine la potencia Figura 3 determine la potencia promedio absorbida y entregada.promedio absorbida y entregada.



Solución:Solución:Ao

o

4534

4512

1I

Aj

oo

oo

57.7137.557.2624.2

4512

2

4512

2I

Ao08.6216.8 21 I II

WIV MM 18)3)(12(2

1

2

14P

WRIM 8.28)2()37.5(2

1

2

1 22 2P

W8.468.2818 24ABS PPP

WIVP ooivMMENT 8.46)08.6245cos()16.8)(12(

2

1)cos(

2

1



Como podemos observar la Potencia promedio total Como podemos observar la Potencia promedio total absorbida es por supuesto igual a la Potencia promedio absorbida es por supuesto igual a la Potencia promedio total entregada.total entregada.

En general no podemos aplicar la superposición a la En general no podemos aplicar la superposición a la potencia. Debemos, no obstante, enumerar que hay un caso potencia. Debemos, no obstante, enumerar que hay un caso especial en el que la superposición se aplica a la potencia, especial en el que la superposición se aplica a la potencia, esto es cuando las señales senoidales están armónicamente esto es cuando las señales senoidales están armónicamente relacionas.relacionas.

Esto es: Si la corriente es de la forma:Esto es: Si la corriente es de la forma:

i(t) = Ii(t) = I11cos(ωcos(ω11t + t + 11 ) + I ) + I22cos(ωcos(ω22t + t + 22))

Y si nωY si nω11= mω= mω22, donde son enteros diferentes, entonces:, donde son enteros diferentes, entonces:

)/(

21 nT

n

)/(

22 mT

m

De modo que cosωDe modo que cosω11t tiene n periodos completos en el t tiene n periodos completos en el tiempo T y cosωtiempo T y cosω22t tiene m periodos completos en el tiempo t tiene m periodos completos en el tiempo T. Esas senoidales se dice que están armónicamente T. Esas senoidales se dice que están armónicamente relacionas.relacionas.



La potencia promedio absorbida por la Resistencia R es un La potencia promedio absorbida por la Resistencia R es un intervalo de tiempo T esta dada por:intervalo de tiempo T esta dada por:

Donde Donde 11 y y 22 son periódicas en T son periódicas en T

Como:

T

o

RdttItIT

P0

2222111 )]cos()cos([

1

T

o

RdtttIItItIT

P0 22112122

22211

221 )]cos()cos(2)(cos)(cos[

1

T

o

RdttIItIIT

RIRIP

0 212121212121

22

21 )})cos[())cos[({

1

22

)(

2)()( 21 Tmn

)(

2)()( 21 Tmn

La integral será cero.



Por lo tanto:Por lo tanto:

La superposición se aplica si una y solo una de las fuentes es La superposición se aplica si una y solo una de las fuentes es CD.CD.

Ejemplo: Ejemplo:

22

22

21 RIRI

P

La corriente en una resistencia de 2La corriente en una resistencia de 2ΩΩ es de la forma i(t) = es de la forma i(t) = 4cos(377t + 30º) + 2cos(754t + 60º) A. Deseamos 4cos(377t + 30º) + 2cos(754t + 60º) A. Deseamos encontrar la potencia promedio absorbida por la resistencia. encontrar la potencia promedio absorbida por la resistencia. solución: solución:

11 = 377 = 377 y y 22 = 754, es decir, = 754, es decir, 22 = 2 = 211, entonces la , entonces la potencia será:potencia será:

WRIRI

P 202)24(2

1

2222

22

21

2



Transferencia Máxima de Potencia PromedioTransferencia Máxima de Potencia Promedio

Para ello no vamos a auxiliar del Para ello no vamos a auxiliar del circuito mostrado en la Figura 4circuito mostrado en la Figura 4

La potencia promedio en la carga La potencia promedio en la carga es:es:

donde donde ZZTHTH = R = RTHTH +jX +jXTHTH y y ZZLL = R = RLL +jX +jXLL

)cos(2

1LL ivLLL IVP

LTH

THL ZZ

VI

TH

LTH

LL V

ZZ

ZV

La magnitud de la corriente fosorial y el voltaje fasorial La magnitud de la corriente fosorial y el voltaje fasorial están dados por las siguientes expresiones:están dados por las siguientes expresiones:



Los ángulos de fase para la corriente fasorial y el voltaje Los ángulos de fase para la corriente fasorial y el voltaje fasorial están contenidos en la cantidad:fasorial están contenidos en la cantidad:

Note también Note también que:que:

EntonceEntonces:s:

2/122 ])()[( LTHLTH

THL XXRR

VI

2/122

2/122

])()[(

][

LTHLTH

LLTHL XXRR

XRVV

)(LL iv

LLL Ziv y ademásy además

2/122 )(cos

LL

LZ XR

RL

])()[(2

122

2

LTHLTH

LTHL XXRR

RVP



Desde el punto de vista de maximizar PDesde el punto de vista de maximizar PLL, V, VTHTH es una es una constante, la cantidad (Xconstante, la cantidad (XLL + X + XTHTH) no absorbe potencia y, por ) no absorbe potencia y, por lo tanto, cualquier valor diferente de cero de esta cantidad lo tanto, cualquier valor diferente de cero de esta cantidad solo sirve para reducir Psolo sirve para reducir PLL. De aquí que podemos eliminar . De aquí que podemos eliminar este término seleccionando Xeste término seleccionando XLL=-X=-XTHTH..

Nuestro problema se reduce Nuestro problema se reduce entonces a maximizar:entonces a maximizar: 2

2

)(2

1

LTH

LTHL RR

RVP

Sin embargo esta es la misma cantidad que maximizamos Sin embargo esta es la misma cantidad que maximizamos en el caso puramente resistivo seleccionando Ren el caso puramente resistivo seleccionando RLL=R=RTHTH. Por lo . Por lo tanto, para una transferencia máxima de potencia tanto, para una transferencia máxima de potencia promedio que se muestra en la Figura 4, promedio que se muestra en la Figura 4, ZZLL debe elegirse debe elegirse de forma que:de forma que:ZZLL = R = RLL + jX + jXLL = R = RTHTH – jX – jXTHTH = = ZZLL

**

Finalmente, si la impedancia de carga es puramente Finalmente, si la impedancia de carga es puramente resistiva (es decir, Xresistiva (es decir, XLL = 0), la condición para máxima = 0), la condición para máxima transferencia de potencia promedio puede derivarse transferencia de potencia promedio puede derivarse mediante la expresión:mediante la expresión: 0

L

L

dR

dP



Ejemplo:Ejemplo:

Para el circuito mostrado en la Para el circuito mostrado en la Figura 6 encuentre la potencia Figura 6 encuentre la potencia máxima transferida a al carga.máxima transferida a al carga.

Necesitamos encontrar la Necesitamos encontrar la impedancia de Thévenin ya que impedancia de Thévenin ya que para máxima transferencia de para máxima transferencia de potencia promedio Zpotencia promedio ZLL = Z = ZTHTH. Para . Para ello nos auxiliamos de la Figura 7.ello nos auxiliamos de la Figura 7.

El valor de REl valor de RLL que maximiza P que maximiza PLL bajo la condición X bajo la condición XLL = 0 es: = 0 es:

22LTHL RRR




Entonces:Entonces:

Para encontrar la potencia máxima transferida a la carga, Para encontrar la potencia máxima transferida a la carga, necesitamos el voltaje de Thévenin.necesitamos el voltaje de Thévenin.

ZZTHTH = (2 + j)||(4) = 1.4 + j0.43 = (2 + j)||(4) = 1.4 + j0.43 ΩΩ

ZZLL = 1.4 - j0.43 = 1.4 - j0.43 ΩΩ

Vj

oo 46.928.5)4)(04(6

2

THV

AV oo

46.989.18.2

46.928.5

LI

WRI LL 50.2)4.1()89.1(2

1

2

1 22 MTCP


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 2020C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 2020

Valores efectivos o rmsValores efectivos o rms

Además de corriente directa y señales senoidales existen Además de corriente directa y señales senoidales existen otro tipo de fuentes de señal, la técnica mediante la cual otro tipo de fuentes de señal, la técnica mediante la cual podemos comparar la efectividad de las diferentes fuentes podemos comparar la efectividad de las diferentes fuentes de entregar potencia a una carga es que surge la definición de entregar potencia a una carga es que surge la definición de valor efectivo de una forma de onda periodica, que de valor efectivo de una forma de onda periodica, que representa voltaje o corriente.representa voltaje o corriente.

El valor efectivo de una corriente o voltaje es la corriente o El valor efectivo de una corriente o voltaje es la corriente o voltaje estable (CD) que transfiere la misma potencia voltaje estable (CD) que transfiere la misma potencia promedio que la corriente variable.promedio que la corriente variable.

=0

Como la CD es constante, el valor rms de la CD es Como la CD es constante, el valor rms de la CD es simplemente el valor constante.simplemente el valor constante.

entonces:entonces:

RIP eff2

Tt

t

o

o

RdttiT

P 2)(1

De aquí el nombre rms (root mean square) raíz cuadratica De aquí el nombre rms (root mean square) raíz cuadratica mediamedia

Tt

teff

o

o

dttiT

I 2)(1



Veamos el caso senoidalVeamos el caso senoidal=0

entonceentonces:s:

recordando que:recordando que:

i(t) = Ii(t) = IMMcos(ωt - cos(ωt - ) con periodo T = 2) con periodo T = 2//, entonces:, entonces:

2/1

0

22 ])(cos1[

T

Mrms dttIT

I

)2cos(2

1

2

1)(cos 2

2/1

0)22cos(

2

1

2

1

2

T

Mrms dttII

2222

1

2

2/12

0

2/1

0

MM

T

Mrms

ItIdtII



Al usar valores rms para el voltaje y la corriente se tiene:Al usar valores rms para el voltaje y la corriente se tiene:

La potencia absorbida por una resistencia R es:La potencia absorbida por una resistencia R es:

=0

Determine el valor efectivo de la forma de onda de Determine el valor efectivo de la forma de onda de corriente mostrado en la Figura 8.corriente mostrado en la Figura 8.

Ejemplo:Ejemplo:

)cos(LL ivrmsrms IVP

R

VRIP rms

rms 2



Solución:Solución: para 0 < t < T, entonces:para 0 < t < T, entonces:

=0

entonces:entonces:

tT

Iti M)(

T

MT

eff dttT

I

Tdtti

TI

0

22

2

0

22 1)(

1

33

2

0

3

3

22 M

T

Meff

It

T

II

3M

rmseff

III



=0

Determine el valor efectivo de la forma de onda de Determine el valor efectivo de la forma de onda de voltaje mostrado en la Figura 9.voltaje mostrado en la Figura 9.

Ejemplo:Ejemplo:




T=3T=3ss

=0

v(t) =v(t) =4t V para 0 < t < 1s4t V para 0 < t < 1s0 V para 1 < t < 2s0 V para 1 < t < 2s-4t+8 V para 0 < t < 1s-4t+8 V para 0 < t < 1s

2/13

2

22

1

21

0

2 )84()0()4(3

1

dttdtdttVrms

Vtt

tt

Vrms 89.13

16

2

6464

3

16

3

12/1

3

2

321

0

3



=0

donde el valor rms de la corriente total es:donde el valor rms de la corriente total es:

Si la corriente en una resistencia R esta compuesta por una Si la corriente en una resistencia R esta compuesta por una suma de ondas senoidales de frecuencias diferentes, la suma de ondas senoidales de frecuencias diferentes, la potencia absorbida por la resistencia puede ser expresada potencia absorbida por la resistencia puede ser expresada como:como:

cada corriente representa una corriente de diferente cada corriente representa una corriente de diferente frecuenciafrecuencia

RIRIRIP rmsnrmsrms2,

2,2

2,1

2,

2,2

2,1 rmsnrmsrmsrms IIII



=0

Para la corriente i(t) = 12 sen377t + 6sen(754t + 30º) A. Para la corriente i(t) = 12 sen377t + 6sen(754t + 30º) A. Determine el valor efectivo de dicha corriente.Determine el valor efectivo de dicha corriente.

Ejemplo:Ejemplo:


AIII rmsrmsrms 49.92

6

2

122/122

2,2

2,1

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