Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable...

Análisis de CA en estado Análisis de CA en estado estableestable

C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 1111C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión

Unidad IUnidad I Análisis de CA en estado Análisis de CA en estado estableestable

Conferencia 1Conferencia 1


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 22

ObjetivosObjetivos

Describir una señal de corriente alterna a través de los Describir una señal de corriente alterna a través de los parámetros que la definen.parámetros que la definen.

Representar adecuadamente una señal senoidal, de Representar adecuadamente una señal senoidal, de manera fasorial.manera fasorial.

11.1 Introducción.1 Introducción1.2 Función Senoidal1.2 Función Senoidal1.3 Fasores1.3 Fasores1.4 Relaciones fasoriales para los elementos de un 1.4 Relaciones fasoriales para los elementos de un

circuitocircuito

ContenidoContenido



En la realidad de cada día, nos encontramos con la En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la energía eléctrica. La distribución de esta utilización de la energía eléctrica. La distribución de esta energía se realiza utilizando tensiones alternas senoidales.energía se realiza utilizando tensiones alternas senoidales.

1.1 Introducción1.1 Introducción

De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos referimos normalmente a aquella que presenta una forma referimos normalmente a aquella que presenta una forma senoidal. Esto es así, porque presenta varias ventajas en senoidal. Esto es así, porque presenta varias ventajas en cuanto a su distribución y transporte frente a la corriente cuanto a su distribución y transporte frente a la corriente continua, además es la forma en que los generadores de continua, además es la forma en que los generadores de corriente alterna la dan. En Europa la frecuencia de la red corriente alterna la dan. En Europa la frecuencia de la red es de 50 Hz, en la mayor parte de América es de 60 Hz.es de 50 Hz, en la mayor parte de América es de 60 Hz.

La razón digna para estudiar la función senoidal, es que es La razón digna para estudiar la función senoidal, es que es la forma de onda dominante en la industria de potencia la forma de onda dominante en la industria de potencia eléctrica. La señal presente en los tomacorrientes de c.a. eléctrica. La señal presente en los tomacorrientes de c.a. en nuestra casa, oficina, laboratorios, etc., es senoidal.en nuestra casa, oficina, laboratorios, etc., es senoidal.



Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de la misma frecuencia.siendo una senoide de la misma frecuencia.

Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda onda senoidalsenoidal presenta las siguientes presenta las siguientes ventajas:ventajas:

La suma de ondas senoidales de igual frecuencia, pero de distinta amplitud y fase, es una senoide de la misma frecuencia.

Admite una representación con vectores giratorios, denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo .

Es por esta razón la necesidad de estudiar el Es por esta razón la necesidad de estudiar el comportamiento en estado estable de la función senoidal y comportamiento en estado estable de la función senoidal y esto condujo a los ingenieros a desarrollar los conceptos de esto condujo a los ingenieros a desarrollar los conceptos de fasor y de impedancia, que relacionan linealmente la fasor y de impedancia, que relacionan linealmente la corriente y el voltaje fasorial de un elemento del circuito.corriente y el voltaje fasorial de un elemento del circuito.



En esta sección, estudiamos la respuesta forzada de estado En esta sección, estudiamos la respuesta forzada de estado estable de redes con funciones forzadas senoidales. Vamos estable de redes con funciones forzadas senoidales. Vamos a ignorar las condiciones iniciales y la respuesta transitoria a ignorar las condiciones iniciales y la respuesta transitoria o natural, que fue estudiada con anterioridad, y que o natural, que fue estudiada con anterioridad, y que finalmente desaparece en el tipo de circuitos que vamos a finalmente desaparece en el tipo de circuitos que vamos a tratar. Nos referimos a esto como un tratar. Nos referimos a esto como un análisis de c.a. en análisis de c.a. en estado estableestado estable..1.2 Función Senoidal1.2 Función Senoidal

La función forzada de onda senoidal es descrita por:La función forzada de onda senoidal es descrita por:

x(x(ωωt) = t) = XXMMsensenωωtt

x(t) puede representar v(t) ó i(t).x(t) puede representar v(t) ó i(t).XXMM es la amplitud o valor máximo es la amplitud o valor máximo es la frecuencia angulares la frecuencia angulart es el argumento de la función t es el argumento de la función

senoseno

donde:donde:



La expresión general para una función seno puede ser La expresión general para una función seno puede ser descrita por:descrita por:

donde:donde: ωt + θ es el argumento de la función senoωt + θ es el argumento de la función seno

θ es el ángulo de faseθ es el ángulo de fase

x(t) = Xx(t) = XMMsen(sen(ωωt + t + θθ))



cosωt = sen(ωt + π/2)senωt = cos(ωt - π/2)-cosωt = cos(ωt ± π/2)-senωt = sen(ωt ± π/2)

Recordemos algunas de las identidades trigonométricas, Recordemos algunas de las identidades trigonométricas, que nos servirán de alguna utilidad:que nos servirán de alguna utilidad:

Utilizando estas identidades trigonométricas, tratemos de expresar la expresión general del seno en otra forma:

x(t) = Xx(t) = XMMsen(sen(ωωt + t + θθ))

x(t) = Xx(t) = XMM(sen(senωωt*cost*cosθθ + + coscosωωt*sent*senθθ))

x(t) x(t) = A senωt + B cosωt= A senωt + B cosωt

sen(sen( + β) = sen + β) = sen *cosβ + cos *cosβ + cos *senβ*senβ

cos(cos( + β) = cos + β) = cos *cosβ - sen *cosβ - sen *senβ*senβ

sen(sen( - β) = sen - β) = sen *cosβ - cos *cosβ - cos *senβ*senβ

cos(cos( - β) = cos - β) = cos *cosβ + sen *cosβ + sen *senβ*senβ

donde donde A = A = XXMMcosθcosθ

B = B = XXMMsenθsenθ

EntonceEntonces s

22 BAXM yy A

B1tan



Por lo tantoPor lo tanto

Si aplicamos una función forzada senoidal a una red lineal, los voltajes y corrientes de estado estable en la red también serán senoidales.

)tan()( 122

AB

tsenBAtx

Esto también se cumple (es decir, es válido) para la aplicación de las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes.

Por ejemplo: si aplicamos un voltaje v(t) = Asen(ωt + θ), entonces esto producirá una corriente i(t) = Bsen(ωt + φ). Entonces podemos concluir que la solución conlleva en determinar los valores de los dos parámetros B y φ.

A continuación encontremos la respuesta de estado estable de un circuito RL ante una función forzada senoidal.



1.1.2 Respuesta de Estado Estable de un circuito RL a una función forzada senoidal:

Consideremos el circuito mostrado

en la Figura 1.1

Aplicando LKV a la malla existente, obtenemos:

entonces i(t) será también senoidal: i(t) = Acos(ωt + φ)i(t) = Acosωt*cosφ - Asenωt*senφ)i(t) = A1cosωt – A2senωt

tVtiRdttdi

L M cos)()(



donde A1 = Acosφ

A2 = Asenφ

Si ahora sustituimos i(t) obtenido, en la ecuación diferencial inicial, y aplicando su derivada, obtenemos:

L(-A1ωsenωt -A2ωcosωt) +R(A1cosωt – A2senωt) = VMcosωt

Ahora igualando término a término, ambos lados de la ecuación, obtenemos las siguientes, ecuaciones:

-A1ωL - A2R = 0 -A2ωL + A1R = VM

Resolviendo ambas ecuaciones, tenemos:

2221 LR

RVA M

2222 LR

LVA M



Así, la corriente i(t) será:

donde A y φ se determinan como:

Entonces:

)cos(cos)(222222

tAtsen

LR

LVt

LR

RVti MM

222cos

LR

RVA M

222 LR

LVAsen M

222222 )(cos)()cos( AsenAAsenA



luego para la fase φ

Así:

por lo tanto

222

2

2222

22

2222

222

)(

)(

)( LR

V

LR

VL

LR

VRA MMM

222 LR

VA M

R

L

A

Asen

costan

entonces el ángulo de fase φ es:

R

L 1tan



El análisis anterior nos indica que el ángulo de fase φ será cero si la bobina L = 0 y por lo tanto la corriente i(t) estará en fase con el voltaje v(t). Si por el contrario hacemos la Resistencia R = 0, el ángulo de fase φ valdrá 90º y así la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) en 90º.

por lo tanto la corriente i(t) será:

RL

tLR

Vti M

1

222tancos)(

Si ambos componentes R y L están presentes, la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) por algún ángulo de fase φ entre 0o y 90º.



Dejamos al estudiante, que proceda de similar forma para hacer el análisis del circuito RC mostrado en la Figura 1.2

Respuesta a encontrar será:

)cos(1

)(222

tCR

IRtv M donde θ = tan-1(ωRC).



Sin embargo se puede notar que la solución de este circuito Sin embargo se puede notar que la solución de este circuito sencillo es trabajoso, puede imaginarse como será para una sencillo es trabajoso, puede imaginarse como será para una red más grande. Para evitar este método, vamos a red más grande. Para evitar este método, vamos a establecer una correspondencia entre funciones senoidales establecer una correspondencia entre funciones senoidales temporales y números complejos.temporales y números complejos.

El medio que emplearemos para establecer esa relación, es la El medio que emplearemos para establecer esa relación, es la ecuación de Euler.ecuación de Euler.

eejωtjωt = cosωt + jsenωt, donde R(e = cosωt + jsenωt, donde R(ejωtjωt) = cosωt y Im(e) = cosωt y Im(ejωtjωt) = senωt) = senωt

Suponemos que seleccionamos como nuestra función Suponemos que seleccionamos como nuestra función forzante de voltaje:forzante de voltaje:

v(t) = Vv(t) = VMMeejωtjωt, entonces de la identidad trigonométrica se , entonces de la identidad trigonométrica se puede escribir:puede escribir:

v(t) = Vv(t) = VMMcosωt + jVcosωt + jVMMsenωt, entonces la respuesta de corriente senωt, entonces la respuesta de corriente puede escribirse como:puede escribirse como:

i(t) = Ii(t) = IMMcos(ωt + φ) + jIcos(ωt + φ) + jIMMsen(ωt + φ), que también puede ser sen(ωt + φ), que también puede ser escrito como:escrito como:



Debido a las relaciones anteriores que más que aplicar la Debido a las relaciones anteriores que más que aplicar la función forzante Vfunción forzante VMMcosωt y calcular la respuesta Icosωt y calcular la respuesta IMMcos(ωt + cos(ωt + φ), podemos aplicar la función forzante compleja Vφ), podemos aplicar la función forzante compleja VMMeejωtjωt y y calcular la respuesta Icalcular la respuesta IMMeej(ωtj(ωt + φ+ φ), la parte real de ésta, es la ), la parte real de ésta, es la respuesta deseada Irespuesta deseada IMMcos(ωt + φ)cos(ωt + φ)

i(t) = Ii(t) = IMMeej(ωtj(ωt + φ)+ φ)

Aunque este procedimiento en principio parece ser más Aunque este procedimiento en principio parece ser más complicado, no lo es. Mediante esta técnica, convertiremos la complicado, no lo es. Mediante esta técnica, convertiremos la ecuación diferencial en una ecuación algebraica que es ecuación diferencial en una ecuación algebraica que es mucho más fácil de resolver.mucho más fácil de resolver.

1.2 Fasores1.2 Fasores

Cada vez que supongamos que la función forzante de una red Cada vez que supongamos que la función forzante de una red lineal es la forma v(t) = Vlineal es la forma v(t) = VMMeejωtjωt, podemos decir que todo , podemos decir que todo voltaje o corriente de estado estable en la red tendrá la voltaje o corriente de estado estable en la red tendrá la misma forma y la misma frecuencia ω, por ejemplo, una misma forma y la misma frecuencia ω, por ejemplo, una corriente i(t) será de la forma i(t) = Icorriente i(t) será de la forma i(t) = IMMeej(ωtj(ωt + φ)+ φ)..



Podemos entonces proceder en nuestro análisis de circuitos, Podemos entonces proceder en nuestro análisis de circuitos, anotando simplemente la frecuencia y omitir el factor eanotando simplemente la frecuencia y omitir el factor e jωtjωt, ya , ya que éste es común a todos los términos en las ecuaciones que éste es común a todos los términos en las ecuaciones descritas.descritas.

Esto quiere decir que Esto quiere decir que todo voltaje o corrientetodo voltaje o corriente puede puede describirse completamente mediante una magnitud y una describirse completamente mediante una magnitud y una fase.fase. Por ejemplo, un voltaje v(t) puede escribirse en forma Por ejemplo, un voltaje v(t) puede escribirse en forma exponencial como:exponencial como:

v(t) = Vv(t) = VMMcosωt = Re[Vcosωt = Re[VMMeej(ωtj(ωt + θ)+ θ)] o como un número complejo,] o como un número complejo,

Como estamos trabajando con una función forzante compleja Como estamos trabajando con una función forzante compleja cuya parte real es la respuesta deseada, y cada término en la cuya parte real es la respuesta deseada, y cada término en la ecuación contendrá eecuación contendrá ejωtjωt, podemos entonces omitir Re[] y e, podemos entonces omitir Re[] y ejωtjωt, , y trabajar solo con el número complejo Vy trabajar solo con el número complejo VMM|θ|θ. Esta . Esta representación compleja comúnmente se llama representación compleja comúnmente se llama fasorfasor..

v(t) = Re[Vv(t) = Re[VMM||θθ ej ejωωtt]]



Fasor: es una versión transformada de una onda senoidal de voltaje o corriente que consiste en la información de la magnitud y el ángulo de fase de la senoide.

Como característica distintiva, los Como característica distintiva, los fasores, se escribirán en fasores, se escribirán en negritasnegritas. Por ejemplo un voltaje v(t) = V. Por ejemplo un voltaje v(t) = VMMcos(ωt + θ) se cos(ωt + θ) se escribirá en notación fasorial como: escribirá en notación fasorial como: VV = V = VMM|θ|θ, una corriente , una corriente i(t) = Ii(t) = IMMcos(ωt + φ), en notación fasorial se escribirá como cos(ωt + φ), en notación fasorial se escribirá como II = = IIMM|φ|φ..

De nuevo encontraremos la corriente i(t) en el circuito RL, De nuevo encontraremos la corriente i(t) en el circuito RL, considerado anteriormente,considerado anteriormente,



Al aplicar la LKV a la malla se obtiene la ecuación diferencial:

Recordemos lo dicho anteriormente, que la solución de la Recordemos lo dicho anteriormente, que la solución de la ecuación diferencial, es la parte real de esta corriente.ecuación diferencial, es la parte real de esta corriente.

La función forzante utilizada será, con el fasor La función forzante utilizada será, con el fasor VV = V = VMM|0|0oo, , entonces la corriente será i(t) = entonces la corriente será i(t) = IIeejωtjωt, con el fasor , con el fasor II = I = IMM|φ|φ..

tVtvtiRdt

tdiL M cos)()(

)(

Vamos a sustituir el voltaje y corriente en la ecuación Vamos a sustituir el voltaje y corriente en la ecuación diferencial, usando los fasores,diferencial, usando los fasores,

tjtjtj eeRedt

dL VII



ahora efectuando la derivada tenemos:

ahora despejando el fasor ahora despejando el fasor II, tendremos:, tendremos:

como puede ser observado, el término ecomo puede ser observado, el término e jωtjωt, es un factor , es un factor común, como fue dicho anteriormente y puede ser eliminado, común, como fue dicho anteriormente y puede ser eliminado, dejando los fasores, es decir,dejando los fasores, es decir,

así la corriente i(t) así la corriente i(t) será:será:

tjtjtj eeReLj VII

VII RLj

R

L

LωR

VI

LjωRM

M

1

222tan

VI

RL

tLR

Vti M

1

222tancos)(



la cual nuevamente es la función obtenida anteriormente.la cual nuevamente es la función obtenida anteriormente.

Ejemplo: Pasar del tiempo a fasorial: v(t) = 24cos(377t – 45º) Ejemplo: Pasar del tiempo a fasorial: v(t) = 24cos(377t – 45º) V e i(t) = 12sen(377t + 120º) AV e i(t) = 12sen(377t + 120º) A

Representación fasorialRepresentación fasorial

Dominio de Dominio de tiempotiempo

Dominio de Dominio de frecuenciafrecuencia

Acos(ωt ± θ)Asen(ωt ± θ)

A|±θA|±θ-

90o

El voltaje v(t) como fasor será: El voltaje v(t) como fasor será: VV= 24= 24|-45|-45oo V y la corriente i(t) V y la corriente i(t) como fasor será: como fasor será: I I = 12= 12|120|120oo-90-90oo = 12 = 12|30|30oo A. A.

Ahora convirtamos de la forma fasorial al tiempo: Ahora convirtamos de la forma fasorial al tiempo: VV= 16= 16|20|20oo V V e e II= 10= 10|-75|-75oo A, con f = 1KHz. A, con f = 1KHz.

El voltaje será: v(t) = 16cos(2000El voltaje será: v(t) = 16cos(2000t + 20º) V y la corriente t + 20º) V y la corriente será: i(t) = 10cos(2000πserá: i(t) = 10cos(2000πt - 75º) A, que también puede t - 75º) A, que también puede escribirse en términos de la función seno como: i(t) = escribirse en términos de la función seno como: i(t) = 10sen(2000π10sen(2000πt + 15º) A.t + 15º) A.



1.3 Relaciones fasoriales para elementos de circuitos1.3 Relaciones fasoriales para elementos de circuitos

Aplicando la ley de Ohm para Aplicando la ley de Ohm para el circuito de la Figura 1.3, el circuito de la Figura 1.3, tenemos:tenemos:

Para el caso de un Para el caso de un Resistor:Resistor:

v(t) = Ri(t) y sustituyendo por v(t) = Ri(t) y sustituyendo por las funciones complejas las funciones complejas tenemos:tenemos:

ahora eliminando el factor común eahora eliminando el factor común ejωtjωt, se , se tiene:tiene:

que convertido en forma fasorial que convertido en forma fasorial será:será:

)()( iv tjM

tjM eRIeV

iv jM

jM eRIeV

IV R



como podemos observar como podemos observar θθvv = θ = θii, lo que significa que , lo que significa que la la corriente y el voltaje para este circuitocorriente y el voltaje para este circuito (es decir, en una (es decir, en una Resistencia) Resistencia) están en faseestán en fase, esto puede ser visto en la , esto puede ser visto en la Figura 1.4 (b), la Figura 1.4 (a) muestra el diagrama Figura 1.4 (b), la Figura 1.4 (a) muestra el diagrama fasorial.fasorial.



Aplicando la ley del elemento Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura para el circuito de la Figura 1.5, tenemos:1.5, tenemos:

Para el caso de una Para el caso de una Bobina:Bobina:

y sustituyendo por las y sustituyendo por las funciones complejas tenemos:funciones complejas tenemos:

ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común eejωtjωt, se tiene: , se tiene:

dt

tdiLtv

)()(

)()( iv tjM

tjM eI

dt

dLeV

iv jM

jM eLIjeV




que también podemos escribirla como:

ya que como podemos observar ya que como podemos observar θθvv = θ = θii +90 +90oo, lo que , lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que 90º,y en particular podemos decir que el voltaje adelanta a el voltaje adelanta a la corriente por 90ºla corriente por 90º o decir que o decir que la corriente esta atrasada la corriente esta atrasada del voltaje en 90ºdel voltaje en 90º. esto puede ser visto en la Figura 1.6 (b), . esto puede ser visto en la Figura 1.6 (b), la Figura 1.6 (a) muestra el diagrama fasorial.la Figura 1.6 (a) muestra el diagrama fasorial.

IV Lj)90( iv j

Mj

M eLIeV



Aplicando la ley del elemento Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura para el circuito de la Figura 1.7, tenemos:1.7, tenemos:

Para el caso de un Para el caso de un Capacitor:Capacitor:

y sustituyendo por las y sustituyendo por las funciones complejas tenemos:funciones complejas tenemos:

ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común eejωtjωt, se tiene: , se tiene:

dt

tdvCti

)()(

)()( vv tjM

tjM eV

dt

dCeI

vi jM

jM eCVjeI




que también podemos escribirla como:

como podemos observar θi = θv +90o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que la corriente adelanta al voltaje por 90º o decir que el voltaje esta atrasado de la corriente en 90º, esto puede ser visto en la Figura 1.8 (b), la Figura 1.8 (a) muestra el diagrama fasorial.

VI Cj)90( vi j

Mj

M eCVeI



Para el circuito mostrado en la Figura 1.9, Para el circuito mostrado en la Figura 1.9, encuentre la corriente i(t), usando fasores. encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 24cos(377t + 75º) V y R = 6Ω.Con v(t) = 24cos(377t + 75º) V y R = 6Ω.

Ejemplo 1.3.1Ejemplo 1.3.1

Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 24|75o V y aplicando la ley de Ohm, obtenemos:

así i(t) será:así i(t) será: i(t) = 4cos(377t + 75º) A

SoluciónSolución

AR

oo

7546

7524

VI



Para el circuito mostrado en la Figura 1.10, Para el circuito mostrado en la Figura 1.10, encuentre la corriente i(t), usando fasores. encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 12cos(377t + 20º) V y L = 20mH.Con v(t) = 12cos(377t + 20º) V y L = 20mH.


Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 12|20o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos:

así i(t) será: i(t) = 1.59cos(377t - 70º) A

SoluciónSolución

AmLj

oo

7059.190)20)(377(

20120

V

I



Para el circuito mostrado en la figura, Para el circuito mostrado en la figura, encuentre la corriente i(t), usando fasores. encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 100cos(377t + 15º) V y C = 100µF.Con v(t) = 100cos(377t + 15º) V y C = 100µF.


Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 100|15o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos:

así i(t) será: i(t) = 3.77cos(377t + 105º) A

SoluciónSolución

ACj ooo 10577.3)15100)(90100)(377( VI

Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable...

Documents

Transcript of Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable...