Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable...

Análisis de CA en estado Análisis de CA en estado estableestable

C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 1111C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión

Unidad IUnidad I Análisis de CA en estado Análisis de CA en estado estableestable

Clase Práctica Clase Práctica 11


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 22

ObjetivosObjetivos

Aplicar las técnicas de análisis y teoremas de redes lineales para redes excitadas senoidalmente, compuestas por elementos resistivos, capacitivos e inductivos.

ContenidoContenido

1.61.6 Técnicas de Análisis. (análisis nodal, análisis de Técnicas de Análisis. (análisis nodal, análisis de malla, principio de superposición, malla, principio de superposición, Transformación de fuente, Teorema de Transformación de fuente, Teorema de Thévenin, Teorema de Norton).Thévenin, Teorema de Norton).



Para el circuito que se muestra Para el circuito que se muestra en la Figura 1.34 encuentre el en la Figura 1.34 encuentre el voltaje voltaje VVoo, haciendo uso del , haciendo uso del método de análisis nodal.método de análisis nodal.

Ejemplo:Ejemplo:

Lo primero que tenemos que Lo primero que tenemos que hacer es poner la referencia hacer es poner la referencia y etiquetar los nodos, como y etiquetar los nodos, como es mostrado en la Figura es mostrado en la Figura 1.35. Luego identificamos 1.35. Luego identificamos nuestra respuesta nuestra respuesta VV44, es el , es el mismo que el voltaje mismo que el voltaje VVoo. .

SoluciónSolución::



Por lo tanto necesitamos aplicar la LKC al nodo 4, así:Por lo tanto necesitamos aplicar la LKC al nodo 4, así:

que podemos rescribirla como: 2V4 - V3 = -4, (1)

que puede ser rescrita como:

o041

1

1

1

1

134

VV

Para resolverla necesitamos el voltaje del nodo, observando Para resolverla necesitamos el voltaje del nodo, observando el circuito entre el nodo 1 y el nodo 3 existe un supernodo, el circuito entre el nodo 1 y el nodo 3 existe un supernodo, cuya ecuación es:cuya ecuación es:

VV11-- V V33, = 12|, = 12|00oo, , (2)(2) ahora aplicamos ahora aplicamos la LKC al supernodo, la LKC al supernodo, así:así:

o

jjj04

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

113

422 VVVVV



(2 – j)(2 – j)VV33 + j(12 + + j(12 +VV33) -j) -jVV22 – – VV22 – – VV44 = 4, que podemos = 4, que podemos reducirla a:reducirla a:

Necesitamos encontrar el valor del voltaje del nodo 2, para Necesitamos encontrar el valor del voltaje del nodo 2, para ello aplicamos la LKC al nodo 2,ello aplicamos la LKC al nodo 2,

pero pero IIxx es igual a: es igual a: IIxx = ( = (VV33 – – VV44)/1 = )/1 = VV33 – – VV44

22VV33 + (-1 - j) + (-1 - j)VV22 – – VV44 = 4- j12 = 4- j12 (3)(3)

xjjIVVV 2

1

1

1

1

1

1

1

1312

Entonces la ecuación anterior podemos reducirla a:Entonces la ecuación anterior podemos reducirla a:

(1 + j)(1 + j)VV22 - (3 + j) - (3 + j)VV33 + 2 + 2VV44 = j12 = j12 (4)(4)

Ahora sumemos las ecuaciones (3) y (4), para eliminar Ahora sumemos las ecuaciones (3) y (4), para eliminar VV22 y y obtenemos:obtenemos:



Ahora sustituimos de la ecuación (1) Ahora sustituimos de la ecuación (1) VV33 en función de en función de VV44, en , en la ecuación (5) para obtener:la ecuación (5) para obtener:

(-1 – j)(2(-1 – j)(2VV44 + 4) + + 4) + VV44 = 4, de donde podemos despejar el = 4, de donde podemos despejar el valor de valor de VV44, como:, como:

(-1 - j(-1 - j)V)V33 + + VV44 = 4 = 4 (5)(5)

VVj

j oo

o

o

o 14.143486.216443.635

43.15380

21

484

VV



Para el circuito que se muestra Para el circuito que se muestra en la Figura 1.36 encuentre el en la Figura 1.36 encuentre el voltaje voltaje VVoo, haciendo uso del , haciendo uso del método de análisis de malla.método de análisis de malla.

Ejemplo:Ejemplo:

Primero tenemos que Primero tenemos que asignar las corrientes de asignar las corrientes de llama, las elegimos como se llama, las elegimos como se muestra en la Figura 1.37muestra en la Figura 1.37




Luego ubicamos nuestra respuesta, es decir Luego ubicamos nuestra respuesta, es decir VVoo, para , para encontrarlo necesitamos la corriente malla encontrarlo necesitamos la corriente malla II22 ya que ya que VVoo será:será:

VVoo = 2 = 2II22, entonces aplicando la LKV a la malla , entonces aplicando la LKV a la malla 22, así:, así:

así el voltaje Vo buscado es: Vo = 2I2 = 10.92|17.11o V

(2 – j2 + 2)(2 – j2 + 2)II22 + 2 + 2II11 = 24| = 24|00oo, , (1)(1), pero como vemos , pero como vemos necesitamos el valor de la corriente necesitamos el valor de la corriente II11, ,

II11 es una ecuación de restricción, con valor: es una ecuación de restricción, con valor: II11 = -2 = -2|-90|-90ºº = 2 = 2||9090oo entonces tenemos: entonces tenemos:

(4 – j2)(4 – j2)II22 + 2(j2) = 24, por lo tanto + 2(j2) = 24, por lo tanto II22 será: será:

Aj

j11.1746.5

57.2647.4

46.943.24

)24(

)424(2

I



Para el circuito que se muestra Para el circuito que se muestra en la Figura 1.38 encuentre el en la Figura 1.38 encuentre el voltaje voltaje VVoo, haciendo uso del , haciendo uso del principio de superposición.principio de superposición.

Ejemplo:Ejemplo:

El principio de superposición, consiste en encontrar la El principio de superposición, consiste en encontrar la contribución de cada una de las fuentes independientes, contribución de cada una de las fuentes independientes, por separado y luego sumarlas.por separado y luego sumarlas.


Entonces el voltaje Entonces el voltaje VVoo será: será: VVoo = = VVo1o1 + + VVo2o2



Para encontrar Para encontrar VVo1o1, usaremos , usaremos el circuito mostrado en la el circuito mostrado en la Figura 1.39 y haremos uso del Figura 1.39 y haremos uso del método de divisor de voltaje, método de divisor de voltaje, pero antes necesitamos el pero antes necesitamos el equivalente paralelo de la equivalente paralelo de la impedancia serie (2 – j2)Ω con impedancia serie (2 – j2)Ω con la impedancia j2Ω, así:la impedancia j2Ω, así:

haciendo ahora el divisor, tenemos:haciendo ahora el divisor, tenemos:

22

2

44

222

2)22(1 j

j

jj

jjeqZ

Vjj

j

j

j

jjo

o

o

ao 6.98.442.6373.1043.1810

45224

3

)1(2424

222

22

22

2

22

21

VV



Para encontrar Para encontrar VVo2o2, usaremos , usaremos el circuito mostrado en la el circuito mostrado en la Figura 1.40 y también haremos Figura 1.40 y también haremos uso del método de divisor de uso del método de divisor de voltaje, pero antes voltaje, pero antes necesitamos el equivalente necesitamos el equivalente paralelo de la impedancia serie paralelo de la impedancia serie (2 – j2)Ω con la impedancia 2Ω, (2 – j2)Ω con la impedancia 2Ω, así:así:

haciendo ahora el divisor, tenemos:haciendo ahora el divisor, tenemos:

5

2

5

6

24

44

222

2)22(2 j

j

j

j

jeqZ

13.535

43.1810

452

12

43

)3(12

1

112

25

2

5

65

2

5

6

22

2

22

22

j

j

jjj

j

jj bo VV

Vjo 4.28.444.14354.253.2654.22 V

por lo tanto por lo tanto VVoo será: será: VVoo = = VVo1o1 + + VVo2o2 = j12 = 12| = j12 = 12|9090oo V V



Para el circuito que se Para el circuito que se muestra en la Figura 1.41 muestra en la Figura 1.41 encuentre el voltaje encuentre el voltaje VVoo, , haciendo uso del principio de haciendo uso del principio de transformación de fuente.transformación de fuente.

Ejemplo:Ejemplo:

Vamos hacer las Vamos hacer las transformaciones requeridas transformaciones requeridas para llevar al circuito a un para llevar al circuito a un circuito serie, al que podamos circuito serie, al que podamos aplicar un divisor de voltaje y aplicar un divisor de voltaje y resolver nuestro problema. resolver nuestro problema. Comenzaremos convirtiendo Comenzaremos convirtiendo la fuente de voltaje en serie la fuente de voltaje en serie con la impedancia de j2Ω, en con la impedancia de j2Ω, en una fuente de corriente en una fuente de corriente en paralelo con las misma paralelo con las misma impedancia, como se puede impedancia, como se puede apreciar en la Figura 1.42.apreciar en la Figura 1.42.




El valor de la fuente de corriente se obtiene de aplicar la ley El valor de la fuente de corriente se obtiene de aplicar la ley de Ohm, así:de Ohm, así:

esta fuente de corriente esta en paralelo a la fuente de esta fuente de corriente esta en paralelo a la fuente de corriente 3|corriente 3|00oo, por lo tanto podemos sumarla y reducirla a , por lo tanto podemos sumarla y reducirla a una sola fuente de corriente de valor: una sola fuente de corriente de valor:

que como se encuentra en que como se encuentra en paralelo a la impedancia de paralelo a la impedancia de j2Ω, podemos reconvertirla j2Ω, podemos reconvertirla en una fuente de voltaje en en una fuente de voltaje en serie con las misma serie con las misma impedancia, como se puede impedancia, como se puede apreciar en la Figura 1.43. El apreciar en la Figura 1.43. El valor de la fuente de voltaje valor de la fuente de voltaje se obtiene aplicando la ley se obtiene aplicando la ley de Ohm. de Ohm.

Aj

oo

45252

45210

I

Ajj o3243.958355 I



VV = (9.43| = (9.43|-32-32oo)(j2) = 18.86|)(j2) = 18.86|5858oo V, ahora sí podemos aplicar V, ahora sí podemos aplicar el divisor de voltaje para obtener el voltaje el divisor de voltaje para obtener el voltaje VVoo, así:, así:

Vj

jj

j oooo 3286.18)5886.18(

2

2)5886.18(

222

2

V



Para el circuito que se muestra Para el circuito que se muestra en la Figura 1.44 encuentre el en la Figura 1.44 encuentre el equivalente de Thévenin entre equivalente de Thévenin entre las terminales a-b.las terminales a-b.

Ejemplo:Ejemplo:

El equivalente de Thévenin El equivalente de Thévenin entre las terminales a-b es entre las terminales a-b es el que se muestra en la el que se muestra en la Figura 1.45, pero tenemos Figura 1.45, pero tenemos que encontrar los valores de que encontrar los valores de VVThTh y y ZZThTh..




Para encontrar el valor de Para encontrar el valor de VVThTh nos auxiliamos del nos auxiliamos del circuito mostrado en la circuito mostrado en la Figura 1.46. Figura 1.46.

VV11 = (2| = (2|00oo)(10) = 20 V, por lo tanto el voltaje de Thévenin )(10) = 20 V, por lo tanto el voltaje de Thévenin será : será : VVThTh = 4(20) = 80 V. = 4(20) = 80 V.

Como podemos observar del circuito Como podemos observar del circuito VVThTh = = VV11 + 3 + 3VV11,= 4,= 4VV11 que es el resultado de aplicar la LKV a la malla de la que es el resultado de aplicar la LKV a la malla de la derecha, ya que por la impedancia j10Ω no circula corriente derecha, ya que por la impedancia j10Ω no circula corriente ya que el circuito se encuentra abierto.ya que el circuito se encuentra abierto. V V11, lo podemos , lo podemos encontrar aplicando la ley de Ohm, puesto que la corriente encontrar aplicando la ley de Ohm, puesto que la corriente que circula por la impedancia de 10Ω, es 2|que circula por la impedancia de 10Ω, es 2|00oo, entonces:, entonces:



La impedancia de Thévenin La impedancia de Thévenin es: es:

Aplicando la LKV a la malla que tenemos, obtenemos la Aplicando la LKV a la malla que tenemos, obtenemos la siguiente ecuación:siguiente ecuación:

Para encontrar la impedancia de Thévenin, apagamos la Para encontrar la impedancia de Thévenin, apagamos la fuente de corriente y conectamos una fuente de corriente fuente de corriente y conectamos una fuente de corriente de prueba entra las terminales a-b y la razón de de prueba entra las terminales a-b y la razón de VVpp a a IIpp será será la impedancia de Thévenin. El circuito de la Figura 1.47 nos la impedancia de Thévenin. El circuito de la Figura 1.47 nos ayudará para encontrar dicha impedancia.ayudará para encontrar dicha impedancia.

p

pTh I

VZ

VVpp = j10 = j10IIpp + 4 + 4VV11, donde , donde VV11 = 10 = 10IIpp, así , así VVpp = j10 = j10IIpp + 4(10 + 4(10IIpp) = ) = (40 + j10)(40 + j10)IIpp, por lo tanto la impedancia de Thévenin será:, por lo tanto la impedancia de Thévenin será:



por lo tanto el equivalente será, el que se muestra en la por lo tanto el equivalente será, el que se muestra en la Figura 1.48.Figura 1.48.

1040 jp

pTh I

VZ



Para el circuito que se muestra Para el circuito que se muestra en la Figura 1.49 encuentre el en la Figura 1.49 encuentre el equivalente de Norton entre las equivalente de Norton entre las terminales a-b.terminales a-b.

Ejemplo:Ejemplo:

El equivalente de Norton El equivalente de Norton entre las terminales a-b es entre las terminales a-b es el que se muestra en la el que se muestra en la Figura 1.50, pero tenemos Figura 1.50, pero tenemos que encontrar los valores de que encontrar los valores de IINN = = IIcoccoc y y ZZNN = = ZZThTh. .




Para encontrar el valor de Para encontrar el valor de IINN nos auxiliamos del nos auxiliamos del circuito mostrado en la circuito mostrado en la Figura 1.51.Figura 1.51.

Como se puede observar de la Figura 1.51, el voltaje Como se puede observar de la Figura 1.51, el voltaje VVabab, es , es cero, por lo tanto la fuente de corriente controlada 0.1cero, por lo tanto la fuente de corriente controlada 0.1 V Vabab´ ´ también será cero, además la corriente que pasa por la también será cero, además la corriente que pasa por la impedancia de j5Ω, también es cero, así que la corriente de impedancia de j5Ω, también es cero, así que la corriente de Norton Norton IINN, será la misma corriente que pasa por la , será la misma corriente que pasa por la impedancia de 5Ω, así:impedancia de 5Ω, así:

Aoo

N 025

010

I



IIpp = (0.1 – j0.2) = (0.1 – j0.2)VVpp, entonces la impedancia de Norton , entonces la impedancia de Norton será:será:

por lo tanto el equivalente será, el que se muestra en la por lo tanto el equivalente será, el que se muestra en la Figura 1.53.Figura 1.53.

resolviendo tenemos:resolviendo tenemos:

425

)21(10

21

10

2.01.0

1j

j

jjp

pN I

VZ

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