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Prácticas de Física de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica de Telecomunicaciones U.L.P.G.C.

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ANÁLISIS DE DATOS Y TEORIA DE ERRORES

La tarea básica del experimentador consiste en la medida de magnitudes con

objeto, tanto de establecer nuevas leyes como de comprobar la validez de otras

previamente establecidas. Medir significa comparar la magnitud objeto de medición

con un patrón. El resultado de la medida se expresa con un número y una unidad,

dependiendo esta última del patrón que se haya elegido.

El proceso de medición introduce inevitablemente errores 0

imprecisiones en los resultados, debido fundamentalmente a dos factores:

- Imperfecciones del aparato de medida.

- Limitaciones atribuibles al experimentador.

Los errores del primer tipo son siempre inevitables, dado que no existe ningún

aparato absolutamente perfecto. Los que se deben a la impericia del observador

deben ser, si no eliminados, al menos reducidos cuanto sea posible. El “verdadero

valor” de una magnitud no es accesible en la realidad, por tanto, es más propio hablar

de estimaciones, medidas o aproximaciones del valor de una magnitud.

Del nivel de imprecisión presente en una medición pueden muchas veces

deducirse diferentes resultados en un experimento. Por ello, tan importante como el

valor medido es dar una estimación del error, o mejor imprecisión, cometida en su

obtención. Cuando se exprese el resultado de una medida es pues necesario


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especificar tres elementos: número, unidad e incertidumbre. La ausencia de alguna de

ellas elimina o limita la información que proporciona. Este tema lo dedicamos

fundamentalmente a sugerir técnicas para llevar a cabo esta asignación, esperando

cumplir estos objetivos:

- Estimar razonablemente los errores que no se pueden evitar.

- Reducir en lo posible la influencia de los errores accidentales.

1.- Cifras significativas.-

Cifras significativas son aquellas que están medidas con precisión, según el

instrumento utilizado; o también, si se realizan cálculos a partir de los valores

medidos, son las cifras del resultado en las que podemos tener confianza de que son

precisas. Para saber cuántas cifras significativas hay en un resultado se pueden utilizar

ciertas reglas que veremos a continuación.

Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el número 103

tiene tres cifras significativas, y el 0.000000103 también. Esto se debe a que los ceros

a la izquierda no le añaden precisión a la medición, sino que solamente sirven para

establecer la posición del punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto

utilizando la notación exponencial; así, los números mencionados se convertirían en

1.03 • 102 y 1.03 • 10–7. Entonces, para contar las cifras significativas se parte del

primer dígito distinto de cero y se cuentan todos los dígitos a partir de éste.

Los ceros a la derecha sí son significativos. Esto es muy importante: los

ceros a la derecha deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medición. Por lo

tanto, no es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1.00 kg. La primera

magnitud implica que la medición se realizó con una balanza graduada en

kilogramos. La segunda medición fue realizada en una balanza graduada en

centésimas de kilogramo. La segunda medición es cien veces más precisa que la

primera; la primera tiene una cifra significativa y la segunda tiene tres cifras

significativas. Por ello es extremadamente importante no olvidar escribir los ceros a

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3

la derecha cuando se sabe que son significativos. Por ejemplo, en una balanza

analítica que tiene precisión de diezmilésimas de gramo, si la balanza marca 0.5700 g

es necesario registrar el número con los dos ceros a la derecha, y no como 0.57 g. Sin

embargo, a veces hay que tener cuidado con los ceros a la derecha. Para eso está la

siguiente regla.

Los ceros a la derecha no son significativos cuando su función es únicamente

la de especificar la posición del punto decimal. Por ejemplo, si se dice que el sol está

a una distancia de 150 000 000 000 m, ¿cuántas cifras significativas hay? Ciertamente

no son doce, porque esto implicaría que se conoce la distancia con una precisión del

orden de 1 m. Además de que es una precisión imposible en la práctica, sería

demasiada coincidencia que tal magnitud física tuviera tantos ceros. Pero podría ser

que el primer cero, o tal vez incluso el segundo, fueran significativos. Así como está

escrito el número, no hay manera de saberlo. La única manera de evitar esta

ambigüedad es utilizando la notación científica. Si nos dicen que el sol está a 1.50 •

1011 m, podemos saber sin duda alguna que sólo el primer cero es significativo y por

lo tanto hay tres cifras significativas.

Los números que son enteros por naturaleza se consideran como si tuvieran

una cantidad infinita de cifras significativas. Dicho de otra manera, los enteros por

naturaleza se pueden conocer con exactitud perfecta.

Los factores de conversión generalmente son exactos. O sea que, al igual que

los números enteros, puede considerarse como si tuvieran un número infinito de

cifras significativas. Aunque hay algunos casos de conversiones que no son exactas

porque están determinadas empíricamente, otras son exactas. Por ejemplo, una

pulgada es exactamente igual a 2.54 cm por definición, y una caloría son 4.184 J.

Además, todas las conversiones dentro de un mismo sistema son exactas (1 km son

exactamente 1000 m, y un pie son exactamente 12 pulgadas).

Ahora veremos cómo se decide cuántas cifras significativas tiene el resultado

de un cálculo.


4

En una multiplicación o división, hay que quedarse con el número de cifras

significativas del factor menos preciso. Por ejemplo, 1.5 • 3.14159265359 = 4.7. No

importa que la calculadora diga 4.71238898038; el resultado tiene solamente dos

cifras significativas y debe reportarse como 4.7. No hay que olvidar redondear1 el

último dígito: por ejemplo, 10.0 / 1.5 = 6.7, aunque la calculadora diga

6.6666666666.

En una suma o resta, hay que "alinear los puntos decimales" y quedarse con la

precisión del número que tenga menos cifras significativas después del punto

decimal. Veamos varios ejemplos. 1.44 + 2.35 x 10–5 = 1.44. Aunque la calculadora

dice 1.4400235, el segundo sumando es despreciable con respecto al primero, por lo

que no afecta la suma. Para que quede claro a que nos referimos con "alinear el

punto decimal", hay que ver la suma de la siguiente manera:

1.44 (dos cifras después del punto)

+ 0.0000235 (siete cifras después del punto, pero solamente tres significativas)

1.44 (se toman solamente dos después del punto)

Veamos ahora otro ejemplo: 37.59 + 8.3 = 45.9 (la calculadora da 45.89; no

hay que olvidar el redondeo).

37.59 (dos cifras después del punto)

+8.3 (una cifra después del punto)

1 Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:

Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más. Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra

retenida. Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es

decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior. Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es

3,68, que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear, también a tres cifras, fuera 3,673, quedaría 3,67 que es más próximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, según la tercera regla, debemos dejar 3,68.

Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.

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5

45.9 (una cifra después del punto)

Con las restas hay que tener especial cuidado, ya que dos números con muchas

cifras significativas pero valores muy parecidos pueden dar un resultado con muy

pocas cifras significativas.

Por ejemplo, 125.890657 – 125.890643 = 1.4 • 10–5.

Como último ejemplo de esta sección, no olvidemos que en el resultado

pueden quedar ceros a la derecha. 5.57 – 2.372 = 3.20 (la calculadora da 3.198).

Los resultados intermedios conviene guardarlos con todas sus cifras, o por lo

menos con una cifra no significativa. Las cifras significativas hay que tomarlas en

cuenta para reportar el resultado final de una operación con una precisión realista; sin

embargo, en los resultados intermedios conviene guardar más cifras porque con cada

redondeo que se haga se va perdiendo precisión. Si la cadena de operaciones es muy

larga estos pequeños errores se van acumulando hasta volverse significativos. Nota: si

es necesario reportar un resultado intermedio hay que reportarlo con sus cifras

significativas, pero hay también hay que apuntarlo con todas sus cifras en la hoja de

operaciones (o en la memoria de la calculadora) para su uso en cálculos posteriores.

Para operaciones combinadas, hay que hacer el análisis paso por paso. Veamos

un ejemplo un poco más complicado:

Paso 1: 5.4356 x 11.29 = 61.367924. Los números más pequeños son cifras no

significativas que se guardan para las siguientes operaciones.

Paso 2: 61.367924 – 12.7 = 48.667924.

Paso 3: 48.667924 / 4.4 = 11.0608918182.


6

Paso 4: 11.0608918182 + 1.6456 = 12.7064918182. Por lo tanto, el resultado que

tenemos que dar es 13 (¡no hay que olvidar el redondeo!) o, para que no haya dudas,

se puede expresar como 1.3 • 101.

Finalmente, para operaciones como raíces cuadradas, potencias, logaritmos y

exponenciales no hay reglas tan sencillas. Pero como primera aproximación se

pueden usar las mismas reglas que para la multiplicación y división.

2.- Formas de calcular un error. Expresión del resultado de una

medida.

Por definición, si se mide una magnitud cuyo valor verdadero es Mv, y cuyo

valor medido es M, el error absoluto cometido es:

vMM −=ε

Obviamente M, no es conocido, de modo que el valor de εεεε debe ser

simplemente estimado, según técnicas que se explicarán más adelante. Como

resultado de la medición se presentará lo siguiente:

ε±M

lo que significa que el valor de la magnitud se supone comprendido entre

ε+M y ε−M .

El valor de εεεε ha de ser estimado siempre por exceso.

Se define también el error relativo en la medida en la forma

Mrεε =

expresado en tanto por uno, o bien en tanto por ciento. Así, la medición

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7

M = 86 ± 7

tiene un error relativo de 7/86=0.08 o, mejor, del 8%.

Cada vez que el resultado de una medida se exprese por ε±M deben seguirse

las siguientes normas:

1.- Se redondeará εεεε por exceso hasta que tenga una sola cifra significativa

(se permiten dos cifras si la primera de ellas es un 'l'). Recuérdese que los ceros a la

izquierda no son cifras significativas.

2.- A continuación se redondeará M al mismo orden de magnitud que εεεε.

Esta regla tiene por objeto suprimir un número no significativo de decimales:

resulta absurdo, por ejemplo, pretender dar la distancia entre dos poblaciones con

una precisión de centímetros cuando se ha efectuado la medición con el

cuentakilómetros de un automóvil.

Veamos algunos ejemplos del procedimiento de redondeo:

346 ± 27 350 ± 30

815 ± 14 815 ± 14

0.203 ± 0.022 0.20 ± 0.03

3.417 ± 0.38 3.4 ± 0.4


8

3.- Asignación de errores

Una asignación razonable de errores a las magnitudes medidas depende de

numerosos factores que no se pueden especificar aquí en detalle. Sin embargo, como

norma general, dependerá de si las mediciones se efectúan directamente o si se

obtienen tras la aplicación de relaciones matemáticas entre otros valores previamente

medidos (medidas indirectas).

3.1.- Medídas directas.

Si se mide directamente una magnitud mediante un aparato de medida (una

regla, un cronómetro, una balanza, etc.) se dará el resultado en la forma

00 ε±M

donde M0, es el valor que proporciona el aparato y donde el error e0, será

normalmente la sensibilidad del aparato, esto es, el menor intervalo discernible con

su escala. Así, por ejemplo, la sensibilidad de una regla graduada en milímetros es,

precisamente, 1 mm.

La regla general precedente debe ser aplicada con cuidado. A menudo las

características del experimentador introducen claramente imprecisiones superiores a

la sensibilidad de los aparatos2. En tales casos no existen estrategias generales de

asignación de errores, por lo que es el propio experimentador quien debe hacer

estimaciones razonables de los errores cometidos.

2 Cuando se miden tiempos con un cronómetro de 0.01 segundos de sensibilidad, la limitación principal no es la precisión del aparato, sino los errores de sincronización, propios del experimentador, en los instantes en que se accionan los pulsadores, y que se cifran en no menos de 0.2 - 0.3 segundos. Es este el error que se debe asignar a las mediciones de este tipo.

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3.2.- Medidas indirectas. Propagación de errores.

A menudo la magnitud que se busca (y) ha de obtenerse en función de otras

(x1, x2 ,....xn) por medio de alguna fórmula conocida:

),.....,( 21 nxxxfy = [1]

Naturalmente las magnitudes x1, x2 ,....xn tendrán sus propias incertidumbres e1,

e2 ,....en, que se traducirán en un error para y. La regla habitual para obtener éste,

consiste, en calcular la diferencial de la expresión [1], tomando x1, x2 ,....xn ,como

variables, y asimilar sus diferenciales a los errores respectivos. Más adelante veremos

un ejemplos. Entretanto es necesario aclarar algunos puntos:

- Si en la diferencial de [1] aparecen varios términos que se suman o restan se

asignará a todos ellos signo positivo para que, como es lógico, las incertidumbres se

acumulen en vez de tender a cancelarse.

- Si hay un solo término (monomio) suele ser más sencillo calcular la

diferencial del logaritmo neperiano de la expresión [1]. Este procedimiento es

totalmente equivalente al anterior.

- Las constantes numéricas y las magnitudes que se supongan conocidas con

precisión completa se tratarán como constantes en el proceso de derivación.

- Si aparecen ángulos en la fórmula es imprescindible expresarlos en radianes

(lo mismo que sus errores), la unidad natural para ángulos.

El siguiente ejemplo aclarará el procedimiento:

Al medir masas con una balanza se debe dar como error el valor de la menor de las

pesas calibradas que se hayan empleado en la pesada (figure o no en el resultado final), aun cuando el juego de pesas disponga de alguna menor.


10

EJEMPLO 1: Supongamos que se pretende medir la aceleración de la gravedad

g midiendo el periodo T de un péndulo de longitud L. la expresión que relaciona las

tres variables es 2

24T

Lg π= . Previamente se determinarán L y T a través de medidas

directas. Sean LL ε±0 y TT ε±0 los resultados. El valor de g se calcula simplemente

como 0

20

24T

Lg π= A continuación se calcula la diferencial total de g tomando a L y

T como variables:

dTT

LdLT

dTTgdL

Lgdg 3

2

2

2 84 ππ −=∂∂+

∂∂=

Finalmente se sustituyen las variables por sus valores medidos, las diferenciales

por los errores y se da signo positivo a todos los sumandos. Ello proporciona el

error de g:

40

002

02 24

TLTT TL

gεε

πε+

=

EJEMPLO 2: En el mismo caso anterior, dado que la fórmula es monómica se

puede escribir: TLg ln2ln)4ln(ln 2 −+= π

Derivando: TdT

LdL

gdg 2−=

obtenemos el error:

000

2TLg

TLg εεε+=

Aunque no en apariencia, el error así determinado es el mismo que el calculado

en el ejemplo 1.

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3.3.- Errores en promedios. Muchas magnitudes, bien por la naturaleza de las mismas, o bien por la

sensibilidad de los aparatos de medida, son difíciles de determinar, obteniéndose

valores diferentes en sucesivas tomas de datos. Es conveniente en estos casos tener

en cuenta criterios estadísticos que validen el resultado final. Deben realizarse un

cierto número de medidas individuales que dependerá del grado de dispersión de

las mismas.

Se realizan tres medidas de la magnitud y se calcula el valor medio x* de los

tres valores obtenidos. Asimismo, se calcula la dispersión D, entendiendo por

dispersión la diferencia entre los valores extremos esto es: D x x= −max min .

Finalmente obtenemos el tanto por ciento de dispersión o dispersión

porcentual:

TDx

= ×* 100

Si la dispersión D de las medidas es inferior o igual a la sensibilidad S del aparato, se tomará como valor verdadero el valor medio de las tres medidas y

como error absoluto la sensibilidad.

En caso de que la dispersión D sea superior a la sensibilidad del aparato puede

que sea necesario aumentar el número de medidas. Se calcula la dispersión porcentual

y el número total de medidas así como el error absoluto se determina según la

siguiente tabla.:


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T de las 3

primeras medidas

Número de medidas

necesarias

Error absoluto

∆x T≤≤≤≤2 3 S

2<T≤≤≤≤8

6 {MAX SD

, 4

8<T≤≤≤≤15

15

( )1415

15

1

2*

⋅

−=

∑=i

i xxε

15<T

al menos 50

( ))1(

1

2*

−

−=

∑=

NN

xxN

ii

ε

-

Si alguna de las medidas individuales se aleja claramente de la tónica

general de las demás, ello ha de atribuirse a alguna incorrección grave en la medición

correspondiente, y se prescindirá de él.

4.-1 Ajuste por mínimos cuadrados

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos

magnitudes X e Y se relacionan a través de una ecuación lineal

nmXY +=

donde las constantes n (ordenada en el origen) y m (pendiente) dependen del

tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se

pretende encontrar.

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13

Fig.1

EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l

que experimenta éste están ligadas a través de una ley lineal: Fk

l 1=

con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (k) es una

característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo

El método más efectivo para determinar los parámetros m y n se conoce

como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes

condiciones, fijando para ello distintos valores

de la variable independiente X, y anotando en

cada caso el correspondiente valor medido

para la variable dependiente Y. De este modo

se dispone de una serie de puntos (X1,Y1), ....

(Xn,Yn) que, representados gráficamente,

deberían caer sobre una línea recta. Sin

embargo, los errores experimentales siempre

presentes hacen que no se hallen

perfectamente alineados (ver Fig. l). El método de mínimos cuadrados determina

los valores de los parámetros m y n de la recta que mejor se ajusta a los datos

experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el

resultado:

( )( ) ( )( )( ) ( )22

2

∑∑∑∑∑∑

−

−=

ii

iiiii

xxN

yxxyxn [2]

( ) ( )( )( ) ( )22 ∑∑

∑∑∑−

−=

ii

iiii

xxN

yxyxNm [3]

Donde N es el número de medidas y ∑ representa la suma de todos los

datos que se indican.

2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

7

14

16.8

22

25.9

29


14

Los errores en las medidas , se traducirán en errores en los resultados de m y

n . Se describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio,

el método de mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones

experimentales, los valores xi de la variable independiente se conocen con precisión

absoluta (esto generalmente no es así, pero lo aceptamos como esencial en el

método). Sin embargo, las mediciones de la variable y, irán afectadas de sus errores

correspondientes, si ε es el valor máximo de todos estos errores, entonces se

tiene que:

( ) ( )Nx

xN

ii

mn 2

2

;∑∑ −

== εεεε [4]

Se define el coeficiente de correlación r cuyo valor puede oscilar entre -1 y 1

( ) ( )( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2222 ∑∑∑∑

∑∑∑−−

−=

iiii

iiii

yyNxxN

yxyxNr [5]

Si r=-1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una

correlación que es perfecta e inversa.

Si r=0 no existe ninguna relación entre las variables.

Si r=1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una

correlación que es perfecta y directa.

�

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15

Ejemplo:Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el

muelle con diferentes pesos (F, variable independiente o x ) y se han anotado los

alargamientos (l variable dependiente o y)

F(N) L (mm)

0.01 4.3±0.2

0.02 8.4±0.2

0.04 16.7±0.2

0.06 25.2±0.2

0.08 33.4±0.2

0.10 41.7±0.2

Los distintos datos que se necesitan son:

N 6

∑ ix 0.31

∑ 2ix 0.0221

∑ iy 129.7

∑ 2iy 3857.43

ii yx∑ 9.233

ε 0.2

con lo cual aplicando las expresiones [2] , [3] y [5]

n= 0.113; m= 416.192; en.=0. 082; em.=2.564

r=0.9999905 Redondeando en la forma usual n = 0.11± 0.09 mm

m = 416± 3 mm/Kp No se debe olvidar que se persigue el valor de la

constante elástica del muelle: 5105.240002404.01 −×===m

k y su error se


16

obtiene por derivación a partir del error en b: 5

2 1073.1 −×==m

mk

εε de

modo que el valor definitivo para la constante es:

mmNk /10)8.14.240( 5−×±=

0.00 0.04 0.08 0.12

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

Y = 416.192 * X + 0.113425

�

�


17

4.2 - Ajuste por mínimos cuadrados mediante EXCEL

A continuación vamos a indicar un procedimiento basado en la utilización de

la hoja de cálculo EXCEL, que nos facilita y agiliza todos los cálculos anteriores.

Una vez abierta la hoja de cálculo introducimos en la primera columna los

valores de la variable independiente (deformaciones) y en la segunda columna los de la

variable dependiente (fuerza) , esto es, los valores de x en la primera y los valores de y

en la segunda columna, a continuación seleccionamos todas las celdas, este será el

aspecto de nuestra hoja:

Hacemos clic sobre el asistente para gráficos como se muestra en la siguiente

pantalla , nos aparece el siguiente cuadro de diálogo:


18

En el tipo de gráfico elegimos XY (Dispersión) y en Subtipo de gráficos elegimos la

primera opción (aparece por defecto) Una vez seleccionadas nuestras opciones

pulsamos nos aparecerá la siguiente pantalla:

volvemos a pulsar , aparece el siguiente cuadro de diálogo:

�

�


19

Si queremos (podemos dejarlo en blanco) pasamos a rellenar Título del gráfico, Eje

de valores (X) Eje de valores (Y) y pulsamos nos aparece el siguiente

cuadro:

podemos marcar o bien En una hoja nueva (ponemos el título ) o Como objeto en , si

elegimos esta opción el gráfico se inserta en la hoja que estamos trabajando. Eligiendo

En una hoja nueva nos aparece el gráfico, en una nueva hoja, de la siguiente forma:


20

Este gráfico nos muestra los puntos dispuestos en el plano XY, ahora vamos a buscar la

recta de ajuste, para ello, hacemos click en Gráfico y luego en Agregar línea de tendencia:

Apareciendo el siguiente cuadro de diálogo:

�

�


21

En tipo, elegimos Lineal (aparece por defecto) y luego pulsamos en Opciones

Marcamos Presentar ecuación en el gráfico y Presentar el valor de R cuadrado en el gráfico, después de hacer click sobre Aceptar nos aparece la recta de ajuste, su

ecuación correspondiente y el coeficiente de correlación al cuadrado.


22

Podemos también, aun sin dibujar la recta de ajuste, calcular el valor de la

pendiente, la ordenada en el origen y el coeficiente de correlación, para ello, nos

situamos en una celda en blanco y escribimos:

=PENDIENTE(B1:B6;A1:A6), nos aparece el valor de la pendiente, elegimos

otra celda en blanco y escribimos: = INTERSECCIÓN.EJE(B1:B6;A1:A6), aparece el valor de la ordenada.

Idem: =COEF.DE.CORREL(B1:B6;A1:A6) , coeficiente de correlación este será el aspecto de nuestra hoja:

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