VOLATILIDAD

Eduardo Acosta González

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión

Curso de Doctorado Bienio 2003/2005

1

1.- LA VOLATILIDAD EN LOS MERCADOS DE VALORES

La volatilidad es una de las variables más importantes para los agentes que intervienen

en los mercados de valores. La volatilidad determina el riesgo de las posiciones de estos

agentes, y por tanto, es un elemento clave a la hora de determinar la rentabilidad de los

activos. Además, la volatilidad de los mercados tiene una repercusión elevada sobre la

economía general. La eficiencia en la asignación de los recursos financieros que los

agentes realizan entre los diferentes valores, depende de la capacidad de predecir

volatilidad como medida del riesgo. Sin embargo, a pesar de lo anterior, los trabajos

científicos sobre esta materia se concentran fundamentalmente en las dos últimas

décadas, y posiblemente, si tuviéramos que fijar una fecha en el inicio de este

incremento destacaríamos el trabajo de Engle publicado en la revista Econometrica en

1982.

La capacidad de predicción de los rendimientos en los mercados de valores ha sido muy

discutida. Si entendemos la posesión de un valor, como un activo que genera el derecho

de percibir en el futuro un flujo monetario como, por ejemplo, dividendos, la predicción

del precio del valor dependerá de nuestra capacidad de anticipar la cuantía de los

dividendos. Además, teniendo en cuenta que la política de reparto de dividendo suele

ser anticipada al mercado por las propias empresas, la posibilidad de predecir el precio

de un valor no debería tener mayores dificultades. Sin embargo, la realidad es bien

distinta, sabemos que la capacidad de predecir el movimiento de los precios de los

valores es una tarea muy difícil o incluso imposible. De esta manera, el precio de un

valor en el momento t ( )tP , puede quedar explicado a partir de la siguiente expresión

*

t tP E P = (1.1)

[ ]*

0 0

k

t t k t jk j

P E D γ∞

+ += =

=∑ ∏ (1.2)

donde *tP es el valor racional ex-post de un determinado activo, y t jγ + es un factor de

descuento igual a ( )1 1 t jr ++ , donde t jr + es el tipo de descuento en el momento t+j. Tal

y como se puede ver en (1.2), el precio racional que debería tener un determinado valor

2

no es más que el obtenido a partir del descuento de los dividendos futuros que se espera

proporcione dicho valor. Sin embargo, el valor de *tP no es observable, depende de la

predicción que se realice de los dividendos y según (1.2) se obtiene a partir de una suma

de infinitos términos. Shiller en 1981 propone un procedimiento para obtener una

aproximación de *tP . Su propuesta consiste en realizar una especie de predicción hacia

atrás, de tal manera que si nos encontramos en el momento T, se realiza la predicción

del precio en el momento T-S, aplicando (1.2) para los dividendos reales pagados en el

subperiodo [T-S,T]. De esta manera se sustituye la predicción de los dividendos por su

valor real. En el caso de que los errores de predicción de los dividendos no sean

sistemáticamente positivos o negativos, esta sustitución estaría plenamente justificada.

En caso contrario, existiría un sesgo en las estimaciones de *tP . Además, el

inconveniente del sumatorio infinito en (1.2) se solventa teniendo en cuenta que sus

elementos se hacen cada vez más pequeños a medida que se incrementa k como

consecuencia de la intervención del factor de descuento, con lo que para un valor

suficientemente grande de S produce que los elementos que se pierden de (1.2) sean

insignificantes o nulos.

Shiller (1981) demuestra que el precio de los valores y sus fluctuaciones no parecen

reflejar el precio racional. Utilizando los datos1 de Shiller, actualizados a diciembre de

2000, hemos obtenido los precios racionales recogidos en la figura 1 mediante la línea

discontinua. El tipo de descuento utilizado para todo el periodo ha sido del 8.32%,

mientras que el índice y los dividendos han sido deflactados (1982=100). Tal y como se

puede observar en la figura 1, el precio racional tiene menos volatilidad que el precio

real. Esto hecho ha sido un tema de discusión en trabajos posteriores, existiendo una

amplia bibliografía al respecto. Uno de los aspectos más interesante que se derivan de

estos resultados, es que el fenómeno observado en las figuras 1 viola claramente lo

estadísticamente esperado. La ecuación (1.1) puede ser interpretada como una regresión

lineal simple donde la constate del modelo es cero y el coeficiente de la variable

explicativa ( *tP ) es uno. En ese caso tendríamos que:

1 La base de datos corresponden al Standard & Poor Composite Index para datos mensuales desde enero de 1871 hasta diciembre de 2000.

3

( ) ( )* **

* * *

, , ( ) ( )1 ( , )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t

t tt t t t

Cov P P Cov P P Var P Dt PP PVar P Dt P Dt P Dt P Dt P Dt P

ρ= ⇒ = ⇒ = ⇒

* *( ) ( , ) ( )t t t tDt P P P Dt Pρ= (1.3)

donde Var(·), Dt(·) y ρ (·), representan la varianza, desviación típica y coeficiente de

correlación respectivamente. Alternativamente de (3) podemos concluir que

*( ) ( )t tDt P Dt P≤ (1.4)

0

10

20

30

40

50

60

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00Meses

Índi

ce

7

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50 60 70 80 90Meses

Índi

ce

Figura 1(a) Figura 1(b) La línea continua corresponde al S&P deflactado (1982=100) y sin tendencia. La línea discontinua corresponde al precio racional obtenido a partir de (1.1). La figura 1(b) termina en diciembre de 1997 para evitar el efecto que tiene el precio de diciembre de 2000 en el cálculo del precio racional. Se ha eliminado la tendencia dividiendo cada serie por la media móvil del earnings real (media móvil para 30 años [360 meses]).

El resultado en (1.3) o (1.4) se incumple claramente para el caso del S&P, tal y como

reflejan la figura 1. Se ha comprobado que este mismo resultado se obtiene cuando se

trabaja con otros índices o series temporales de activos financieros.

Algunos inconvenientes y consideraciones de la expresión (1.4):

1.- La ecuación (1.4) se mantiene para el caso en que tP sea estacionario. Además, hace

referencia a la desviación típica poblacional y no la muestral. Puede ocurrir que los

datos maestrales con los que se cuenten no sean lo suficientemente amplios como para

reflejar una estimación correcta.

4

2.- Si la serie tP es no-estacionaria, le estimación de la desviación típica no está

definida. Se tendría que transformar de alguna manera las series tP y *tP para convertirlas

en estacionarias.

3.- Le ecuación (1.4) se cumpliría en sus extremos de variabilidad de los siguientes

casos: (1) Considerar que tP es el mejor predictor de *tP no significa que sea un buen

predictor. Simplemente implica que no hay mejor predictor. De hecho, si consideramos

que la esperanza de los dividendos es igual a una constate tal que [ ]tE D α= ,

donde t tD wα= + , entonces tP se convierte en una constante con lo que la correlación

entre tP y *tP sería cero. Además, la Var( tP ) = 0, con lo que se cumpliría (1.4) en uno de

sus extremo tal que: *( ) 0 ( )t tDt P Dt P= ≤ . (2) Si se conociera con exactitud un valor

constante para los dividendos futuros, de tal manera que 0tw = , tendremos en este caso

que tP = *tP , con lo que su coeficiente de correlación será igual que la unidad, y por

tanto, tendremos que (4) *( ) ( )t tDt P Dt P= . Evidentemente, el caso más habitual será

aquel donde el coeficiente de correlación entre tP y *tP este comprendido entre los

valores (1,0).

De los aspectos considerados anteriormente, es posiblemente el de la no-estacionariedad

de las series el que mayor trascendencia tenga a la hora de tratar el tema del por qué se

viola de forma tan flagrante la expresión (1.4) en la realidad. Por esta razón en la figura

1 se ha eliminado la tendencia de las series, para de esta menara conseguir series

estacionarias. Aún así, tal y como hemos visto en la figura 1, en (1.4) se sigue

incumpliendo la relación esperada.

2.- VOLATILIDAD, DESVIACIÓN TÍPICA Y RIESGO

En finanzas, la volatilidad normalmente se refiere a la desviación típica, obtenida a

partir del conjunto de observaciones

5

( )2

1

1

T

tt

R R

Tσ =

−=

−

∑ (2.1)

donde tR y R son el rendimiento en el momento t y la media de los rendimientos

respectivamente, siendo T el número de observaciones2.

La desviación típica es una medida de dispersión correcta para distribuciones como la

normal o la t-student y otras, pero no en todos los casos. Otras medidas de dispersión

igualmente consideradas en algunos casos puede ser la media de los rendimientos

absolutos o el rango intercuartílico.

La relación entre la voaltilidad y el riesgo es tenue. Normalmente el riesgo se asocia a

rendimientos pequeños o negativos. Mientras que la mayoría de las medidas de

dispersión no hacen este tipo de diferencias. Por ejemplo, el “Ratio de Sharpe”,

obtenido como el cociente del exceso de rendimiento sobre el tipo libre de riesgo entre

la desviación típica, penaliza inadecuadamente rendimientos ocasionalmente grandes. El

uso de la semi-varianza evitaría este inconveniente, debido a que sólo tiene en cuenta la

variabilidad de los rendimientos que se encuentran por debajo de la media.

Mientras que el cuadrado de la expresión (2.1) es un estimador insesgado de la varianza,

(2.1) es un estimador sesgado de la desviación típica debido a la desigualdad de Jensen3.

En la literatura especializada hay aún varias cuestiones pendientes de profundización en

relación con las series temporales financieras y la volatilidad de los mercados

financieros. Entre ellas podemos destacar: La cola de las distribuciones de los

rendimientos, el agrupamiento y asimetría de la volatilidad, reversión de la media y los

2 En estos apuntes se considera que el riesgo se mide directamente sobre la variabilidad de los rendimientos y que éstos son estacionarios y de media nula. Esta consideración es correcta, siempre y cuando la mejor predicción que se pueda realizar de ellos sea su media incondicional. Si este no fuera el caso, y la mejor predicción de los rendimientos se pudiera realizar mediante la utilización de un determinado modelo más complicado. El riesgo no se mediría directamente sobre los rendimientos, sino sobre los residuos del modelo, que es la parte del rendimiento realmente impredecible. Por simplificación, y sin perdida de generalidad, hemos considerado el supuesto más simple. En el momento en que a lo largo de estos apuntes sea conveniente cambiar este supuesto, se indicará en la exposición. 3 Para más detalles ver página 105 de Greene, W.H. (1999). Análisis Econométrico. Editorial Prentice Hall.

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co-movimientos de la volatilidad entre los activos financieros y los mercados

financieros. Se ha comprobado que la correlación entre la volatilidad del rendimiento de

los valores es mayor que entre el rendimiento mismo, sobre todo en épocas de mercados

bajistas y crisis financieras.

Si los rendimientos fueran independientes e idénticamente distribuidos su varianza a

largo plazo se podría obtener a partir de un período concreto de tamaño T. Sin embargo,

teniendo en cuenta los aspectos que hemos señalado en el punto anterior, éste no es el

caso de las series temporales financieras. Por esta razón varios autores han considerado

la posibilidad de que la desviación típica tenga un comportamiento variable en el tiempo

acorde con algún proceso determinado. Así se ha considerado la posibilidad de que

siguiera un camino aleatorio.

Uno de los mayores problemas que se encuentran a la hora de modelizar la varianza es

el efecto de la reversión de la media. Sin embargo, este efecto queda diluido cuando se

trabaja con datos agregados a nivel semanal o mensual, en estos casos la capacidad de

predecir la varianza se incrementa.

3.- COMPORTAMIENTO LINEAL VERSUS NO-LINEAL DE LA

VOLATILIDAD

En modelo básico de regresión es linear en los parámetros. Esto quiere decir que hay un

parámetro que multiplica a cada una de las variables.

NiparauXXXY ikikiii ,...1...2211 =++++= βββ (3.1)

En ocasiones el modelo no es linear en sus parámetros pero, sin embargo, mediante las

apropiadas transformaciones de las variables se puede linealizar.

También podemos hablar de un modelo no-lineal en las variables. En este caso hay una

única variable por cada uno de los parámetros. El modelo descrito anteriormente puede

7

ser utilizado como ejemplo de un modelo lineal en las variables. Y como ejemplo de no-

linealidad en las variables podemos especificar el siguiente:

0 1 1 2t t t tR R R uα α − −= + + (3.2)

En el ámbito de las series temporales financieras existen muchos comportamientos que

son estrictamente no-lineales. En estos casos, la necesidad de trabajar con modelos no-

lineales se hace necesaria si se quiere recoger correctamente el comportamiento de estas

series. Síntomas de la no-linealidad incluye:

- Distribuciones leptokurticas: La distribución de los rendimientos suelen tener

colas más gruesas que las que corresponderían a la distribución normal.

- Agrupamiento de volatilidades: Existe una tendencia en los mercados de

agrupamiento de la volatilidad. De esta manera, bajas volatilidades tienden a

generar bajas volatilidades, mientras que altas volatilidades tienden a generar

altas volatilidades.

- Efecto leverage: Existe un tendencia en la volatilidad de incrementarse en mayor

cuantía cuando la variación de los rendimientos es negativa que cuando es

positiva.

Campbell, Lo y MacKinlay definen que un proceso generador de datos es no lineal

cuando el valor actual depende no linealmente de los valores actuales y pasados de la

perturbación aleatoria. De esta manera si

( )1 2, , ,...t t t tR f u u u− −= (3.3)

Se dice que el proceso generador de tR es no-lineal si f es una función no-lineal. Otro

ejemplo de un proceso generador de datos no-lineal lo daría la siguiente expresión

( ) 21 2 1 2, , ,... ( , ,...)t t t t t t tR g u u u u u uσ− − − −= + (3.4)

donde g es una función del valor actual y pasado de la perturbación aleatoria, mientras

que 2σ se puede interpretar como un término que recoge la varianza al estar multiplicada

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por la perturbación aleatoria. En este caso, si g y 2σ son funciones no-lineales, podemos

hablar de modelos no-lineales en media, representados por g(·), y no-lineales en

varianza representados por 2σ (·). De esta misma manera, podemos tener modelos que

son lineales en media y varianza, como por ejemplo, los modelos ARMA. Que son

lineales en media pero no en varianza, como por ejemplo los modelos GARCH. O no-

lineales en media y si en varianza como el de (3.2) en el caso de que tu sea i.i.d. Incluso

podemos encontrarnos con ejemplos donde no exista linealidad ni media ni en varianza.

La cantidad de modelos no-lineales propuestos en la literatura especializada es inmensa,

sin embargo, tan solo un pequeño número se han considerado útiles en el campo de las

finanzas. Los modelos no-lineales más populares son el ARCH y el GARCH, los cuales

se usan para predecir la volatilidad.

Contraste de no-linealidad

¿Cómo se puede determinar si es apropiado el uso de un modelo no-lineal para un

determinado proceso generador de datos?. En principio nos puede servir de ayuda la

teoría económica que esté detrás de nuestro estudio. Esta teoría puede considerar

modelos donde la relación entre las variables sea no-lineal. En otras ocasiones, la falta

de teoría, o el comportamiento de los datos nos pueden sugerir modelos no-lineales. En

estos casos es imprescindible el uso de las herramientas estadísticas para confirmar esta

elección.

Las herramientas clásicas utilizadas en Econometría para la detección de dependencia

no suelen ser muy fructíferas, entre ellas se destaca el coeficiente de autocorrelación

simple y parcial. Estas medidas detectan la existencia de dependencia lineal, pero esto

último no implica necesariamente que las observaciones sean independientes.

Los contrastes para la detección de la no-linealidad los podemos clasificar en generales

y específicos. Los generales también se les suele denominar contrastes portmanteau.

Normalmente estos contrastes están diseñados para detectar cualquier comportamiento

no aleatorio en los datos. Por la tanto, detectan una gran variedad de estructuras no-

9

lineales. Un ejemplo de este tipo de contrastes es el RESET de Ramsey (1969). Uno de

los contrates más utilizados dentro de este tipo es el BDS [Brock et al.(1996)]. Este

contraste tiene como hipótesis nula el que los datos son completamente aleatorios. O

sea, un ruido estrictamente independiente. Detecta, por tanto, cualquier tipo de

estructura, tanto procesos estocásticos lineales como no-lineales, caos determinista, etc.

De esta manera, este contraste se aplicaría a los residuos del modelo propuesto para

determinar si existe alguna estructura no-aleatoria que no recoja el modelo. Sin

embargo, la cuestión no es tan fácil. Si por ejemplo, se propone un modelo no-lineal (tal

como un GARCH), la distribución asintótica del estadístico de contraste no sigue una

distribución normal. Esto implicaría la necesidad de obtener valores críticos mediante el

uso de simulación.

A partir de la aplicación empírica de este tipo de contrastes, se llega a la conclusión de

que en la mayoría de los casos las series temporales de rendimientos de valores

presentan relaciones de dependencia no-lineales.

Los contrastes específicos están diseñados para contrastar determinadas estructuras no-

lineales. Un ejemplo de este tipo de contrastes es el de multiplicadores de Lagrange

para la detección de proceso ARCH. En el apartado 5 se verá su utilización. Cuando

estos contrastes dan como resultados la inexistencia de la estructura lineal, no implica

necesariamente independencia.

4.- PROCEDIMIENTOS Y MODELOS USADOS EN LA PREDICCIÓN DE LA

VOLATILIDAD

4.1.- Volatilidad Histórica y Medias Móviles

La estimación de la volatilidad histórica se obtiene a partir del cálculo de la varianza o

desviación típica para un determinado periodo muestral, convirtiéndose esta medida en

la predicción de las futuras volatilidades. La diferencia con el caso de las medias

móviles es que éste último procedimiento elimina las volatilidades más antiguas del

cálculo de la varianza o desviación típica.

10

4.2.- Medias Móviles con Ponderaciones Exponenciales (EWMA)4

Sigue tratándose de una extensión del procedimiento de volatilidad histórica. En este

caso hay un sistema de ponderaciones de manera tal, que las observaciones más

recientes tengan un peso en el cálculo de la volatilidad futura mayor que las más

alejadas. Este procedimiento tiene dos ventajas sobre el de la volatilidad histórica y el

de medias móviles. En primer lugar, es lógico considerar que las observaciones más

reciente tengan un peso mayor en la explicación de la volatilidad futura. En segundo

lugar, el efecto sobre la volatilidad de una observación se reduce exponencialmente. El

modelo EWMA se puede expresar de la siguiente manera:

( ) ( )2

2 1

0

1 jt t j

j

R Rσ λ λ∞

−−

=

= − −∑ (4.1)

donde λ es el elemento que determina la ponderación del procedimiento, y por tanto,

fija el peso para las observaciones próximas y alejadas. El valor de λ puede ser

estimado, normalmente mediante la minimización de la suma del cuadrado de los

errores del modelo. En muchas aplicaciones se le suele dar una valor de 0.94 y a R un

valor de cero. Además, es evidente que en la práctica sería imposible aplicar (4.1)

teniendo en cuenta que el sumatorio que interviene en la expresión presenta infinitos

sumandos, siendo necesario el truncamiento la serie para hacerla factible.

4.3.- Modelos ARMA

Consiste en aplicar la metodología de este tipo de modelos a la estimación de la

volatilidad. Para este menester se necesitaría una variable proxy para la volatilidad, ya

que esta variable es inobservable. Entre las posibles soluciones, las más utilizadas ha

consistido tomar el cuadrado del rendimiento diario, o también, el rango diario de

variación de los rendimientos. Para evitar valores negativos, esta última aproximación

se obtiene como el logaritmo del ratio entre el precio mayor y menor de un determinado

día de negociación.

4 Corresponde a las iniciales en inglés de Exponentially Weighted Moving Average model

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5.- MODELOS DE LA FAMILIA ARCH (AutoRegressive Conditinal

Heterocedasticity)

Se trata de modelos más sofisticados que los anteriores. Estos modelos no calculan la

desviación típica muestral, sino que se realiza una formulación de la varianza

condicional ( )tσ a través de procedimientos de máxima verosimilitud. La predicción

one-step-ahead es posible realizarla a partir de la información de la varianza

condicional en el momento t-1. Es posible realizar la predicción para un horizonte

temporal mayor a partir de procedimientos iterativos.

Estos modelos se basan en la existencia de heterocedeasticadad condicionada en el

proceso. La no consideración de este hecho en las aplicaciones empíricas puede tener

como consecuencia la existencia de estimaciones no eficientes.

El primer modelo ARCH fue propuesto por Engle en 1982, donde la varianza

condicional 2tσ es función del cuadrado de “q” rendimientos pasados [ARCH(q)]. Una

generalización de este modelo es el GARCH de Bollerslev (1986). En este caso, la

varianza condicional, no sólo depende del pasado de los rendimientos, sino igualmente

de “p” varianzas condicionadas retardada [GARCH(p,q)]. El modelo GARCH permite

una especificación más parsimoniosa que el modelo ARCH, siendo el modelo más

utilizado a la hora de modelizar la varianza condicional.

Otros modelos de heterocedasticidad condicionada son el GARCH exponencial

(EGARCH). En este caso las varianzas condicionales vienen especificadas en

logaritmos. Esto implica la no necesidad de imponer restricciones para asegurar la no-

negatividad de la varianza. Este modelo permite recoger el hecho de que un cambio

negativo en el rendimiento suponga una mayor varianza condicional que para el caso

del mismo cambio en sentido positivo. En los modelos ARCH y GARCH, el

comportamiento de la varianza condicionada es simétrico respecto al signo de la

variación de los rendimientos.

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Otros modelos que permiten movimientos asimétricos de la varianza condicional

dependiendo del signo de la variación de los rendimientos son el GJR-GARCH

[Glosten, Jagannathan y Runkle (1993)], y el QGARCH (Quadratic GARCH).

Uno de los aspectos que se destaca en el comportamiento de la volatilidad es su “larga

memoria” en el tiempo. De esta manera, la repercusión de un impacto en la volatilidad

actual se mantiene en el tiempo durante una larga temporada. El modelo IGARCH

(Integrated GARCH) recoge estos efectos [Engle y Bollerslev (1986)]. En estos

modelos la varianza incondicional no existe.

5.1.- El Modelo ARCH

Como ya se ha comentado, fue propuesto por Engle en 1982. Un proceso ARCH(q) se

genera mediante la siguiente expresión

2 2 2

0 1 1~ (0,1) ...t t t t t t q t qR z donde z N y R Rσ σ α α α− −= = + + + (5.1)

Tradicionalmente la Econometría se ha centrado en la estimación de la media

condiciona de los modelos. De esta manera, mientras esta medida dependía del pasado,

no ocurría lo mismo con la varianza condicional. Sin embargo, el modelo ARCH se

centra en la estimación de esta última medida, de manera tal que se describe una

dependencia temporal entre su valor actual y pasado, tal y como queda refleja en (5.1).

Teniendo en cuenta (5.1), tR sigue una distribución normal condicionada al conjunto de

información en el momento t-1, de media5

[ ] [ ]1t t t tE R E zσ−Ψ = 0= (5.2)

5 Una de las leyes estadísticas más utilizadas a la hora de trabajar con modelos de varianza condicionada es la ley de expectativas iterativas que podemos definir mediante la siguiente expresión

[ ] [ ]1t t tE R E E R − = Ψ

13

donde 1t−Ψ es el conjunto de información en el momento t-1. Y la varianza del proceso

será

2 2 2 2

1t t t t tE R E zσ σ− Ψ = = (5.3)

dado que 2tz se distribuye como una chi-cuadrado de 1 grado de libertad. En resumen,

podemos expresar el proceso mediante la siguiente notación

( )21 ~ 0,t t tR N σ−Ψ (5.4)

Tal y como se ha comentado, en estos apuntes trabajamos bajo el supuesto de que los

rendimientos son estacionarios, de media nula, y que su mejor predicción es su media

incondicional. En el caso de que los rendimientos sigan un proceso dependiente,

estaremos ante el modelo ARCH de regresión. En este caso,

( )21 ~ ,t t t tR N X W σ−Ψ (5.5)

donde tX es una matriz que contiene las variables explicativas en cada una de sus

columnas de tamaño T y W es un vector columna de los parámetros o coeficientes. El

modelo se expresaría tal que

t t tR X W ε= + con 2 2 20 1 1 ...t t q t qσ α α ε α ε− −= + + + . (5.6)

Momentos incondicionales del modelo ARCH(1)

Momento de orden 2

Teniendo en cuenta (5.1) y la ley de expectativas iterativas

2 2 2

0 1 1t t tE R E E Rσ α α − = = + (5.7)

14

además dado que tR es un proceso estacionario tendremos que 2 21t tE R E R − = y por

tanto de (5.7)

2 0

11tE R αα

= − (5.8)

De esta manera,

1 1α < → Proceso de varianza finita

1 1α > → Proceso no estacionario en varianza

1 1α = → Proceso integrado en varianza

1 0α = → Proceso ( )00,N α

Si generalizamos para q>1 tendremos que

2 0

1

1t q

ii

E R α

α=

= −∑

(5.9)

Momentos de orden impar

Debido a la simetría del proceso los momentos de orden impar son cero

Momento de orden 4

Para cualquier q tendremos que

4 4 4 43t t t tE R E z E Eσ σ = = (5.10)

Este tipo de modelos han sido ampliamente utilizados en las aplicaciones empíricas

debido a que recogen gran parte de los comportamientos a los que nos tiene

acostumbrados los rendimientos de los mercados de valores, entre los que destacamos:

15

1. Evidencia empírica de que en muchos modelos econométricos la capacidad de

predicción varía considerablemente de un periodo a otro.

2. Agrupación a intervalos de errores de magnitud similar.

Al estar modelizando la varianza condicional, sus valores estimados deben ser siempre

positivos, al no tener sentido varianzas negativas. Esto supone la necesidad de realizar

restricciones al modelo. La variable tR interviene en la ecuación de la varianza elevada

al cuadrado, por tanto, la única restricción de no-negatividad que se debe plantear afecta

a los coeficientes.

Contraste de multiplicadores de Lagrange para detectar los efectos ARCH

Para determinar la existencia de efectos ARCH en una determinada serie podemos

actuar de la siguiente manera:

1. Realizar una regresión entre el cuadrado de la serie contra el cuadrado de sus

retardos:

2 2 2 2

0 1 1 2 2 ...t t t q t q tR R R R vλ λ λ λ− − −= + + + + + (5.11)

a partir de la cual se obtiene el coeficiente de determinación ( )2R .

2. Obtener el estadístico de contraste multiplicando el tamaño de la serie por el

coeficiente de determinación ( )2T R , el cual se distribuye como una chi-

cuadrado de “q” grados de libertad.

3. La hipótesis nula de este contraste es la siguiente: 0 1 2: ... 0qH λ λ λ= = = = .

Rechazarla implica la existencia de efectos ARCH, en caso contrario no se

rechaza su existencia.

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Limitaciones del modelo ARCH(q)

El modelo ARCH(q) marcó el inicio de una metodología que ha supuesto un cambio

muy importante en el tratamiento de la volatilidad dentro de la Econometría, y que ha

tenido como momento de máximo reconocimiento la concesión del Premio Nóbel de

Economía al profesor Robert F. Engle en 2003. Sin embargo, en la última década ha

decaído el uso de este modelo debido a las innovaciones que sobre la misma base

metodológica se han ido aportando. Algunas de sus limitaciones son las siguientes:

1. No hay una forma generalmente aceptada para determinar el valor de q.

2. El valor de q necesario para recoger correctamente el comportamiento de la

varianza suele ser excesivamente largo.

3. La restricción de no-negativa para todos los coeficientes del modelo es más

difícil de sostener cuando el número de éstos es elevado.

5.2.- El Modelo GARCH

El modelo GARCH es una generalización del modelo ARCH. Fue propuesto por

Bollerslev en 1986. En este caso, la varianza condicional viene explicada, no solo por el

cuadrado de la propia serie como en el modelo ARCH, sino igualmente por el retardo de

la varianza. De esta manera la varianza condicional de un proceso GARCH(q,p) adopta

la siguiente forma

2 2 2 2 2

0 1 1 1 1... ...t t q t q t p t pR Rσ α α α β σ β σ− − − −= + + + + + + (5.12)

La expresión más sencilla de este modelo es el GARCH(1,1) donde

2 2 2

0 1 1 1 1t t tRσ α α β σ− −= + + (5.13)

Esta ha sido la especificación más utilizada en la modelización de la volatilidad.

Siguiendo los mismos argumentos que para el modelo ARCH(1), tendremos que la

varianza incondicional de una proceso GARCH(1,1) queda expresada como sigue

17

( )2 0

1 11tE R αα β

= − + (5.14)

En este caso la varianza existe siempre y cuando 1 1 1α β+ < . En el caso de que

1 1 1α β+ ≥ la varianza no estará definida lo que implica no-estacionariedad en varianza.

En el caso concreto en que 1 1 1α β+ = , estaremos hablando de la existencia de varianza

con raíz unitaria. En cualquier caso, la no-estacionariedad en varianza no tiene

implicaciones tan extremas como en el caso de la no-estacionariedad en media. Sin

embargo, su existencia implica comportamientos que no ha podido ser explicados por la

teoría financiera. Tengamos en cuenta que la existencia de varianza no-estacionaria

implica que un shock en la varianza actual tiene repercusiones permanentes en el futuro.

5.3.- Estimación de los modelos ARCH y GARCH

Por diversas razones la estimación MCO de estos modelos no es posible. Entre estas

razones podemos destacar el hecho de que el método MCO estima los coeficientes de la

media condicional del modelo, pero no los de la varianza. La técnica de estimación

habitualmente utilizada en este tipo de modelos es la de máxima verosimilitud. En este

caso, la función de verosimilitud (concretamente el logaritmo de esta función) incorpora

los coeficientes que definen la varianza condicional, además de los correspondientes

para la media.

Concretamente, para un modelo ARCH, la estimación por máxima verosimilitud

implica la obtención de forma recursiva de la siguiente expresión6

1 2

'

i i

L

LE

αα α

α α

+

∂∂= +

∂ ∂ ∂

(5.15)

donde 0 1 . . qα α α α = , y L es el logaritmo de la función de verosimilitud,

concretamente7

6 Esta expresión se deriva de la aplicación del algoritmo denominado scoring utilizado en el trabajo de Engle (1982).

18

( )2

21 2

1 1ln ln2 2t

t t t tt

RL f R σσ−= Ψ = − − (5.16)

siendo ( )1t tf R −Ψ la función de verosimilitud, que para el caso de una distribución

normal condicionada como en (5.4) será igual a

( )2

1 22

1 1exp 22t

t ttt

Rf Rσσ π

−

Ψ = −

(5.17)

La primera derivada de (5.16) es

2 2

2 2

1 12

t t t

t t

L Rσα σ α σ

∂ ∂= − ∂ ∂

(5.18)

y la esperanza de la segunda derivada

2 2 2

4

1' 2 '

t t t

t

LE σ σα α σ α α

∂ ∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ ∂

(5.19)

de esta manera sustituyendo (5.18) y (5.19) en (5.15) tendremos que

'

2 2

2 21

1 2 2

2 21

11 12

1 112 '

t

tt

W

Tt t

t t ti i T

t t

i t t

ZZ

Rσσ α σ

α ασ σ

σ α σ α

=+

=

∂− ∂ = +

∂ ∂∂ ∂

∑

∑ (5.20)

Por tanto el algoritmo fijado en (5.15), finalmente queda representado como una

regresión MCO iterativa

7 En esta expresión se han eliminado los elementos constantes y que, por tanto, no afectan a la maximización de la función.

19

( ) 11 ' 'i i Z Z Z Wα α −+ = + (5.21)

teniendo en cuenta que

2

2 211 . .t

t t qR Rσα − −

∂ = ∂ (5.22)

[ ]

[ ]

' 2 21 1 22

1 2

1 1 . . ' . .

' . .

t t t q Tt

T

Z R R Z Z Z Z

W W W Wσ − − = ⇒ =

=

En la estimación de los modelos GARCH no se puede utilizar con la misma facilidad el

algoritmo scoring como en el caso de los ARCH. Esto se debe al elemento recursivo

que aparece en la primera derivada del logaritmo de la función de verosimilitud respecto

a la varianza. En un modelo ARCH esta expresión corresponde con la ecuación (5.22).

Sin embargo en un modelo GARCH tendríamos que

( )2 2

2 21

1

1 . .,

qt t i

t t q ii

Elemento recursivo

R Rσ σβα α β

−− −

=

∂ ∂ = + ∂ ∂∑ (5.23)

lo que complica sobremanera la obtención de la segunda derivada del logaritmo de la

función de verosimlitud8. Este inconveniente, ha llevado a la utilización de otros

algoritmos. Uno de los más utilizados es el algoritmo BHHH, propuesto por Berndt et

al. en 1974.

Repercusión de la existencia de no-normalidad en el proceso

Tal y como se ha visto en la estimación de estos modelos, se ha usado la función de

verosimilitud de una distribución normal condicionada como en (5.16). Esta hipótesis

puede ser contrastada. Teniendo en cuenta (5.1), tendremos que

8 Un ejemplo de la utilización del algoritmo scoring para un modelo GARCH(q,1) se puede ver en Acosta-González (1996). En este caso el orden de retardo de la varianza condicionada es p=1, lo que simplifica en cierta medida el elemento recursivo en ( ). La dificultad que entraña la utilización de este algoritmo para órdenes de retardo para p > 1 aconsejan la utilización de algoritmos alternativos.

20

( )~ 0,1tt

t

Rz Nσ

= (5.24)

A partir de la estimación del modelo podremos obtener

ˆˆ

tt

t

Rzσ

= (5.25)

Bajo la hipótesis nula, esta expresión debe seguir una distribución normal. En la

práctica, raramente, (5.25) sigue una distribución normal, presentando en la mayoría de

los casos una curtosis mayor a la esperada9. Sin embargo, este hecho no implica un

problema para la estimación por máxima verosimilitud, dado que los parámetros, aún

cuando (5.24) no sigua una distribución normal son consistentes siempre y cuando la

media y la varianza estén correctamente especificados. Solamente existirán problemas

en la estimación de la matriz de varianzas-covarianzas de los estimadores. En este caso,

se tendrá que usar procedimientos de estimación robustos a la no-normalidad como el

propuesto por Bollerslev y Wooldridge en 1992. A todo este procedimiento se le

denomina estimación de quasi-máxima verosimilitud.

Tanto el modelo ARCH como el modelo GARCH consideran que la variación de la

volatilidad no viene determinada por el signo de la variación de los rendimientos, sino

por su magnitud. Este supuesto puede ser muy restrictivo en los mercados de capitales.

En estos mercados es habitual que ante una misma variación, el incremento de la

volatilidad sea mayor si ésta es negativa que si es positiva. A este efecto se le conoce

con el nombre de leverage. Los dos modelos siguientes tienen la ventaja de recoger esta

asimetría producida por shocks en los rendimientos. Estos modelos son el GJR-GARCH

y el EGARCH.

9 Recordemos que el coeficiente de curtosis de una distribución normal es igual a 3.

21

5.4.- El Modelo GJR-GARCH

Fue propuesto por Glosten, Jagannathan y Runkle en 1993. Se trata de una extensión del

modelo GARCH para recoger las posibles asimetrías que pudieran existir en los datos.

De esta manera la especificación de la varianza condicional es

2 2 2 2 2 2

0 1 1 1 1 1 1... ...t t q t q t p t p t tR R R Iσ α α α β σ β σ γ− − − − − −= + + + + + + + (5.26)

donde 11

1 00

tt

si RI

en caso contrario−

−

<=

El efecto leverage se producirá cuando 0γ > . En este caso, a las restricciones

habituales de no-negatividad se le añade la siguiente: 1 0α γ+ ≥ .

5.5.- El Modelo EGARCH

Fue propuesto por Nelson en 1991. Existen varias alternativas a la hora de especificar la

varianza condicional en este modelo, una de ellas es la siguiente:

( ) ( )2 2 1 11

1 1

ln ln t tt t

t t

R Rwσ β σ γ ασ σ

− −−

− −

= + + + (5.27)

Este modelo presenta diversas ventajas sobre el GARCH. Dado que se modeliza el

logaritmo de 2tσ no hace falta imponer restricciones de no-negatividad, dado que 2

tσ será

siempre positivo. La presencia del efecto leverage se puede contrastar mediante la

hipótesis nula: 0 : 0H γ > . La asimetría se producirá en cualquier caso cuando 0γ ≠ .

5.6.- El Modelo GARCH-M

Según la teoría financiera, la rentabilidad y el riesgo son dos variables claves a la hora

de que los agentes tomoen posiciones en el mercado de valores. De esta manera, la

asunción de un mayor riesgo siempre debe venir acompañada de una mayor

22

rentabilidad. La especificación del modelo GARCH-M recoge esta relación,

introduciendo como variable explicativa de la rentabilidad la volatilidad condicionada.

Este modelo fue propuesto inicialmente por Engle, Lilien y Robins en 1987. Su

especificación queda recogida de la siguiente manera

2~ (0, )t t t t tR u donde u Nδσ σ= + (5.28)

y 2tσ sigue un proceso como en (5.12) para un determinado valor de “q” y “p”. De esta

manera, en el caso de que 0δ > , un incremento en la volatilidad producirá un

incremento en la rentabilidad.

6.- EVALUACIÓN DE LA CAPACIDAD PREDICTIVA DE LA VOLATILIDAD

La comparación entre las predicciones de diferentes modelos es una de las cuestiones

más importantes a la hora de la selección de los mismos.

Una evaluación inmediata supone determinar la utilidad que la predicción de la

volatilidad proporciona al inversor. Para reliazar esta tarea es necesario conocer el

proceso de decisión a la hora de realizar inversiones y saber el lugar donde la volatilidad

interviene dentro de ese proceso. Normalmente, la determinación de esta utilidad es

difícil debido a que es desconocida en la práctica. Por tanto, al final se determina

utilizando medidas estadísticas.

Entre las medidas más utilizadas tenemos el error cuadrático medio:

2

1

N

ii

eECM

N==∑

, la raíz del error cuadrático medio:

2

1

N

ii

eRECM

N==∑

, el error absoluto

medio: 1

N

ii

eEAM

N==∑

, error absoluto medio en porcentaje; 1

Ni

ii

eY

EAMPN

==∑

, la U de

Theil:

23

( )( )

2

12

1

ˆ

ˆ

N

i íi

NRE

i ii

X XU Theil

X X

=

=

−− =

−

∑

∑ (6.1)

donde ˆ REiX es la predicción del modelo de referencia con el que se compara el modelo

que se avalúa. En muchas ocasiones esta predicción es la propia de un camino aleatorio.

Excepto en la U de Theil, el resto de medidas que se presentan no toman como

referencia ningún tipo de predicción. Para finalizar tenemos la medida LINEX que se

obtiene tal que

( ){ } ( )1

1 ˆ ˆexp 1N

i i i ii

LINEX a X X a X XN =

= − − − − ∑ (6.2)

En este caso la función de perdida diferencia entre la existencia de errores positivos

frente a errores negativos. La elección del valor de “a” es subjetiva. En el caso de que

“a” sea menor que cero, la función es aproximadamente linear para las sobre-

predicciones y exponencial en el caso de infra-predicciones.

El uso del cuadrado de los rendimientos como proxy de la volatilidad

La volatilidad es una variable latente ya que desconocemos su valor concreto. Muchos

autores han utilizado el cuadrado de los rendimientos como variable proxy. Sin

embargo, a pesar de que 2tR es una estimación insesgada de 2

tσ , esta medida es muy

imprecisa debido a la asimetría de su distribución. Supongamos que t t tR zσ= donde

~ (0,1)tz . En este caso 2 2 2 21 1t t t t t tE R E zσ σ− − Ψ = Ψ = teniendo en cuenta que

2 21~tz χ . Sin embargo, dado que la mediana de una 2

1χ es 0.455, tendremos que

2 212t tR σ< en más del 50% de las veces.

24

La utilización del cuadrado del rendimiento como variable proxy de la volatilidad

induce a utilizar la siguiente regresión para evaluar la capacidad predictiva de un

determinado modelo

2 2

0 1 ˆt t tR vδ δ σ= + + (6.3)

Si las predicciones son insesgadas, entonces δ0 = 0 and δ1 = 1. Sin embargo, la

obtención de valores distintos significaría que las predicciones de la volatilidad son

sesgadas. En definitiva, este contraste consiste en determinar si las predicciones de la

volatilidad son predicciones sesgadas del cuadrado del proceso. Sin embargo, la

estimación por Mínimos Cuadrado Ordinarios (MCO) de la regresión (6.3) para el caso

en que las volatilidades condicionadas ( tσ ) sean obtenidas a partir de un modelo de la

familia ARCH, implica estimaciones sesgadas como consecuencia del comportamiento

autorregresivo de la varianza condicionada. Así, por ejemplo, para el caso del modelo

GARCH(1,1) donde la varianza condicional sigue un proceso según (5.13).

Sustituyendo la estimación de este proceso en (6.3) tendremos que

2 2 2

0 1 0 1 1 1 1ˆˆ ˆ ˆ( )t t t tR R uδ δ α α β σ− −= + + + + (6.4)

En este caso, debido a la presencia de la variable endógena retardada 21tR − como

regresor, es bien conocido que en (6.3)

[ ] 0')'( 1 ≠− UXXXE (6.5)

donde X es una matriz de dimensión (Tx2) con una primera columna de unos y en la

segunda los valores de 2ˆtσ , y U un vector (Tx1) de las perturbaciones tv . Lo que

implica que las estimaciones de 10 δδ y son sesgadas. Sin embargo, las propiedades

asintóticas de los estimadores MCO de la regresión (6.3) sustentadas en el teorema de

Mann y Wald (1943) implica que

[ ] 0')'(lim 1 =− UXXXp (6.6)

25

donde limp es la abreviatura de límite en probabilidad, lo que conlleva a que los

estimadores MCO de (6.3) sean consistentes en tanto en cuanto convergen en

probabilidad al verdadero valor del parámetro a medida que aumenta el tamaño

muestral.

Tal y como se puede ver en Davidson y MacKinnon (1993), cuando la perturbación de

(6.3) sigue una distribución normal de media nula y varianza constante, la convergencia

suele alcanzarse para valores de T aproximadamente de 500. Sin embargo, en este caso

tv no sigue una distribución normal debido a que trabajamos con el cuadrado de tR .

Este hecho hace que la convergencia en probabilidad de los estimadores de (6.3) sea

muy lenta, de tal manera que ésta se alcanza para valores de T muy grandes, que no son

habituales en trabajos empíricos donde se utiliza la metodología de los modelos

GARCH. Mediante simulación se puede comprobar que la convergencia depende

fuertemente del valor de los parámetros del proceso de la varianza condicionada, pero

para los casos en el que la convergencia es más rápida, estamos hablando de tamaños

muestrales del orden de millones.

Como alternativa a la realización del contraste, teniendo en cuenta las dificultades de

obtener estimaciones insesgadas de los coeficientes de (6.3) para el caso de modelos de

la familia ARCH, se podría utilizar el coeficiente de determinación como elemento que

determinará la capacidad predictiva del la volatilidad. Sin embargo, Andersen y

Bollerslev (1998) demuestran que el coeficiente de determinación de la regresión (6.3)

es igual a 1k − donde k es el coeficiente de curtosis de los residuos estandarizados.

Concretamente, en el caso de un GARCH(1,1) normal condicionado el coeficiente de

determinación tiene un cota de 13 . Estos hechos limitan enormemente el uso del

coeficiente como medida para determinar la capacidad predictiva de la volatilidad

obtenida a partir de cualquier modelo.

Otras consideraciones sobre la evaluación de la predicción

Uno de los aspectos más importantes a tener en cuenta en la predicción es la distinción

entre predicción muestral y extra-muestral. En la muestral se predice el valor de la

variable para momentos del tiempo que se han utilizado en la estimación de los

26

parámetros del modelo. Por tanto, en la práctica, el verdadero valor de la variable que se

pretende predecir es conocido y el objetivo de la predicción normalmente consiste en

determinar la bondad del ajuste. Por el contrario, en la extra-muestral, se predice

momentos del tiempo que no han sido utilizados en la estimación. Esta predicción

asume que los parámetros del proceso se mantienen constantes en el tiempo. Este es el

sentido que generalmente se le da al concepto de predicción.

27

REFERENCIAS Acosta González, E. (1996). Formación de Carteras con Riesgo Condicionado: Una Aplicación Empírica al Mercado de Valores Español. Tesis doctoral. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. (http://bdigital.ulpgc.es/digital/visualizar/previo.php?accion=tesis). Andersen, T. y Bollerslev, T. (1998). Answering the Skeptics: Yes, Standard Volatility Models Do Provide Achúrate Forecasts. International Economic Review, 39, pp 885-905. Berndt, E.K., Hall, B.H., Hall, R.E. y Hausman, J.A. (1974). Estimation and Inference in Nolinear Structural Models. Annals of Economic and Social Measurement, 4pp 653-665 Bollerslev, T. (1986). Generalized Autoregressive Condicional Heteroscedasticity. Journal of Econometrics, 31, pp 307-327. Bollerslev, T. y Woolddridge, J.M. (1992). Quasi-Maximim Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances, Econometric Reviews, 11, pp 143-172. Brock, W.A., Dechert, D. y Scheinkman, H. y LeBaron, B. (1996). A Test for Independence Based on the Correlation Dimension. Econometric Reviews, 15, pp 197-235. Engle, R.F. (1982). Autoregressive Condicional Heteroscedasticity with Estimates of the Variante of United Kingdom Inflation. Econometrica, 50, pp 987-1008. Engle, R.F. y Bollerslev, T. (1986). Modelling the Persistence of Conditional Variances. Econometric Reviews, 5, pp 1-87. Engle, R.F., Lilien, D.M. y Robins, R.P. (1987). Estimating Time Varying Risk Premia in Term Structure: The ARCH-M Model. Econometrica, 55, pp 391-407. Glosten, L.R., Jagannathan, R. y RunkleD.E. (1993). On the Relation Between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks.m The Journal of Finance, 48, pp 1779-1801. Mann, H.B. y Wald, A. (1943): «On the statistical treatment of linear stochastic difference equations», Econometrica, 11, 173-220. Nelson, D.B. (1991). Conditional Heterocedasticity in Asset Returns: A New Approach. Econometrica, 59, pp 347-370. Ramsey, J.B. (1969). Test for Specification Errors in Classical Linear Least-Squares Regression Analysis. Journal of the Royal Statistical Society B, 31, pp 350-371. Shiller, R.J. (1981). Do Stock Prices Move too Much to be Justified by Subsequent Changes in Dividends?. American Economic Review, 71, pp 421-436.