ENGLE_Riesgo y Volatilidad

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REVISTA ASTURIANA DE ECONOMÍA - RAE Nº 31 2004 221 RIESGO Y VOLATILIDAD: MODELOS ECONOMÉTRICOS Y PRÁCTICA FINANCIERA* Robert Engle** New York University El comportarse de manera óptima implica tomar riesgos que merecen la pena. En ello con- siste el paradigma central de las finanzas: debemos asumir ciertos riesgos para obtener beneficios, pero no todos los riesgos aportan las mismas compensaciones. Tanto los ries- gos como los beneficios pertenecen al futuro, así que se ponen en una balanza las pérdi- das previstas frente a las recompensas esperadas. Por lo tanto, optimizamos nuestro com- portamiento y, en particular, nuestra cartera financiera, para maximizar los rendimientos y minimizar los riesgos. Cuando los profesionales ponían en práctica sus estrategias finan- cieras, necesitaban estimaciones de las varianzas. Un método simple, a veces conocido con el nombre de volatilidad histórica, se solía usar y sigue usándose ampliamente. En este método, se estima la volatilidad mediante la desviación típica muestral de los rendimien- tos a lo largo de un corto periodo de tiempo. Pero, ¿cuál es el periodo que se debe emple- ar? Si éste es demasiado largo, no tendrá mucha relevancia para medir el riesgo del momento presente, y si es demasiado corto, tendrá mucho ruido. Por otra parte, en reali- dad es la volatilidad de un periodo futuro la que debería considerarse como medida del riesgo, por lo que son necesarias no sólo una medida de la volatilidad actual, sino también una predicción de la volatilidad futura. El método de la volatilidad histórica no ofrecía nin- guna solución para estos problemas. A un nivel algo más profundo, hay una inconsisten- cia lógica en suponer, por ejemplo, que la varianza es constante para un periodo de un año que se acabe hoy y que es constante también para el año que finalizó ayer, pero con un valor diferente. Se necesita una teoría de volatilidades dinámicas, y ése es el papel que cumplen los modelos ARCH y sus múltiples extensiones y éste es el tema que abordamos hoy. Describiré la génesis del modelo ARCH y abordaré algunas de sus múltiples generali- zaciones, así como su amplio respaldo empírico. En secciones posteriores, aportaré una demostración de cómo puede emplearse este modelo dinámico para predecir la volatilidad y el riesgo a largo plazo, y cómo se puede emplear para valorar opciones. Palabras clave: Conferencia Nobel, riesgo, volatilidad, modelo ARCH, modelo GARCH, volatilidad financiera, prácticas financieras, Value at Risk, valoración de opciones. (*) © The Nobel Foundation 2003 (http://www.nobelprize.org). Este artículo es una versión revisa- da del discurso pronunciado por el profesor Robert Engle en Estocolmo, el 8 de diciembre de 2003, cuando recibió, junto con el profesor Clive W. J. Granger, el Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas instituido en memoria de Alfred Nobel (Premio Nobel de Economía). El artículo se publica en RAE Revista Asturiana de Economía con el consentimiento del autor y la autorización de la Fundación Nobel. La traducción ha sido realizada por Sofía García y ha sido revisada por Arielle Beyaert, Carlos Capistrán y J. Gonzalo Rangel. (**) Stern School of Business, New York University. Este artículo es el resultado de más de dos décadas de investigación y de colaboración con numerosísimas personas. En particular, deseo expresarle mi agradecimiento a las audiencias del B.I.S, de Estocolmo, de Uppsala, de la Uni- versidad de Cornell y de la Universidad de Savoya por haberme escuchado durante la prepa- ración de esta charla. David Hendry, Tim Bollerslev, Andrew Patton, y Robert Ferstenberg me hicieron sugerencias detalladas. No obstante, soy el responsable de cualquier laguna posible.

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  • REVISTA ASTURIANA DE ECONOMA - RAE N 31 2004

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    RIESGO Y VOLATILIDAD:MODELOS ECONOMTRICOS

    Y PRCTICA FINANCIERA*

    Robert Engle**New York University

    El comportarse de manera ptima implica tomar riesgos que merecen la pena. En ello con-siste el paradigma central de las finanzas: debemos asumir ciertos riesgos para obtenerbeneficios, pero no todos los riesgos aportan las mismas compensaciones. Tanto los ries-gos como los beneficios pertenecen al futuro, as que se ponen en una balanza las prdi-das previstas frente a las recompensas esperadas. Por lo tanto, optimizamos nuestro com-portamiento y, en particular, nuestra cartera financiera, para maximizar los rendimientos yminimizar los riesgos. Cuando los profesionales ponan en prctica sus estrategias finan-cieras, necesitaban estimaciones de las varianzas. Un mtodo simple, a veces conocido conel nombre de volatilidad histrica, se sola usar y sigue usndose ampliamente. En estemtodo, se estima la volatilidad mediante la desviacin tpica muestral de los rendimien-tos a lo largo de un corto periodo de tiempo. Pero, cul es el periodo que se debe emple-ar? Si ste es demasiado largo, no tendr mucha relevancia para medir el riesgo delmomento presente, y si es demasiado corto, tendr mucho ruido. Por otra parte, en reali-dad es la volatilidad de un periodo futuro la que debera considerarse como medida delriesgo, por lo que son necesarias no slo una medida de la volatilidad actual, sino tambinuna prediccin de la volatilidad futura. El mtodo de la volatilidad histrica no ofreca nin-guna solucin para estos problemas. A un nivel algo ms profundo, hay una inconsisten-cia lgica en suponer, por ejemplo, que la varianza es constante para un periodo de un aoque se acabe hoy y que es constante tambin para el ao que finaliz ayer, pero con unvalor diferente. Se necesita una teora de volatilidades dinmicas, y se es el papel quecumplen los modelos ARCH y sus mltiples extensiones y ste es el tema que abordamoshoy. Describir la gnesis del modelo ARCH y abordar algunas de sus mltiples generali-zaciones, as como su amplio respaldo emprico. En secciones posteriores, aportar unademostracin de cmo puede emplearse este modelo dinmico para predecir la volatilidady el riesgo a largo plazo, y cmo se puede emplear para valorar opciones.Palabras clave: Conferencia Nobel, riesgo, volatilidad, modelo ARCH, modelo GARCH,volatilidad financiera, prcticas financieras, Value at Risk, valoracin de opciones.

    (*) The Nobel Foundation 2003 (http://www.nobelprize.org). Este artculo es una versin revisa-da del discurso pronunciado por el profesor Robert Engle en Estocolmo, el 8 de diciembre de2003, cuando recibi, junto con el profesor Clive W. J. Granger, el Premio del Banco de Sueciaen Ciencias Econmicas instituido en memoria de Alfred Nobel (Premio Nobel de Economa).El artculo se publica en RAE Revista Asturiana de Economa con el consentimiento del autor yla autorizacin de la Fundacin Nobel. La traduccin ha sido realizada por Sofa Garca y hasido revisada por Arielle Beyaert, Carlos Capistrn y J. Gonzalo Rangel.

    (**) Stern School of Business, New York University. Este artculo es el resultado de ms de dosdcadas de investigacin y de colaboracin con numerossimas personas. En particular, deseoexpresarle mi agradecimiento a las audiencias del B.I.S, de Estocolmo, de Uppsala, de la Uni-versidad de Cornell y de la Universidad de Savoya por haberme escuchado durante la prepa-racin de esta charla. David Hendry, Tim Bollerslev, Andrew Patton, y Robert Ferstenberg mehicieron sugerencias detalladas. No obstante, soy el responsable de cualquier laguna posible.

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    mikeText Boxhttp://www.nobelprize.org

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    La ventaja que presenta saber de riesgos es que nos permite cambiarnuestro comportamiento para evitarlos. Por supuesto, es fcil darse cuen-ta de que es imposible evitar todos los riesgos; para ello, tendramos quedejar de viajar en avin, en coche e incluso dejar de caminar, tendramosque comer y beber nicamente alimentos sanos, y no podramos dejarque nos diese nunca el sol. Incluso el darse un bao podra resultar peli-groso. No recibira este premio hoy si tratase siempre de evitar todo ries-go. Hay ciertos riesgos que decidimos asumir porque los beneficios quepodemos obtener tomndolos son superiores a los posibles costes. Elcomportarse de manera ptima implica tomar riesgos que merecen lapena. En ello consiste el paradigma central de las finanzas: debemos asu-mir ciertos riesgos para obtener beneficios, pero no todos los riesgosaportan las mismas compensaciones. Tanto los riesgos como los benefi-cios pertenecen al futuro, as que se ponen en una balanza las prdidasprevistas frente a las recompensas esperadas. Por lo tanto, optimizamosnuestro comportamiento y, en particular, nuestra cartera financiera, paramaximizar los rendimientos y minimizar los riesgos.

    Este simple concepto tiene una larga historia en economa y una largatradicin en la concesin de los Premios Nobel. Harry M. Markowitz (1952)y James Tobin (1958) asociaron el riesgo a la varianza del valor de unacartera. Basndose en la bsqueda de la evasin del riesgo, derivaron lateora de la cartera ptima y el comportamiento de los bancos. WilliamSharpe (1964) desarroll las implicaciones de que todos los inversoresbusquen los mismos objetivos con la misma informacin. Esta teora sellama Modelo de Valoracin de los Precios de los Activos de Capital, oCAPM (del ingls, Capital Asset Pricing Model), y demuestra que existeuna relacin natural entre los rendimientos esperados y la varianza. Estascontribuciones recibieron los premios Nobel de 1981 y 1990.

    Fisher Black y Myron Scholes (1972) y Robert C. Merton (1973) desa-rrollaron un modelo para evaluar el precio de las opciones. Si bien la teo-ra se basa en argumentos de rplica de la opcin mediante estrategias denegociacin dinmicas, sta tambin es consistente con el CAPM. Lasopciones put proporcionan al propietario el derecho de vender un activoa un precio determinado en un momento del futuro. En este sentido, estasopciones pueden ser consideradas como un seguro. Al comprar estasopciones put, se puede eliminar por completo el riesgo de la cartera. Pero,cunto cuesta este seguro? El precio de esta proteccin depende de losriesgos y estos riesgos se miden por la varianza de los rendimientos delactivo. Esta contribucin obtuvo el reconocimiento de un premio Nobelen 1997.

    Cuando los profesionales ponan en prctica estas estrategias finan-cieras, necesitaban estimaciones de las varianzas. Normalmente seempleaba la raz cuadrada de la varianza, llamada volatilidad. Estos pro-fesionales se dieron cuenta rpidamente de que las volatilidades cambia-ban con el tiempo. Asimismo, encontraban respuestas distintas para dife-rentes periodos de tiempo. Un mtodo simple, a veces conocido con elnombre de volatilidad histrica, se sola usar y sigue usndose amplia-mente. En este mtodo, se estima la volatilidad mediante la desviacintpica muestral de los rendimientos a lo largo de un corto periodo de tiem-

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    po. Pero, cul es el periodo que se debe emplear? Si ste es demasiadolargo, no tendr mucha relevancia para medir el riesgo del momento pre-sente; si es demasiado corto, tendr mucho ruido. Por otra parte, en rea-lidad es la volatilidad de un periodo futuro la que debera considerarsecomo medida del riesgo, por lo que son necesarias no slo una medidade la volatilidad actual, sino tambin una prediccin de la volatilidad futu-ra. Esto conlleva la posibilidad de que la prediccin de la volatilidad mediapara la semana siguiente sea diferente de la prediccin a un ao o a unadcada. El mtodo de la volatilidad histrica no ofreca ninguna solucinpara estos problemas.

    A un nivel algo ms profundo, hay una inconsistencia lgica en supo-ner, por ejemplo, que la varianza es constante para un periodo de un aoque se acabe hoy y que es constante tambin para el ao que finalizayer, pero con un valor diferente. Se necesita una teora de volatilidadesdinmicas, y se es el papel que cumplen los modelos ARCH y sus mlti-ples extensiones y ste es el tema que abordamos hoy.

    En la siguiente seccin, describir la gnesis del modelo ARCH, yabordar algunas de sus mltiples generalizaciones, as como su ampliorespaldo emprico. En secciones posteriores, aportar una demostracinde cmo puede emplearse este modelo dinmico para predecir la volati-lidad y el riesgo a largo plazo, y cmo se puede emplear para valoraropciones.

    1. NACIMIENTO DEL MODELO ARCH

    El modelo ARCH fue inventado durante mi estancia sabtica en la Lon-don School of Economics, en 1979. El ambiente que proporcionaba elalmuerzo en su sala de profesores, con David Hendry, Dennis Sargan, JimDurbin y muchos otros econmetras de primera fila, resultaba muy esti-mulante. Mi objetivo era encontrar un modelo que pudiese evaluar la vali-dez de una conjetura de Milton Friedman (1977), segn la cual el carcterimpredecible de la inflacin era una de las principales causas de los cicloseconmicos. Friedman haba adelantado la hiptesis de que el problemano era el nivel de inflacin por s mismo, sino que la incertidumbre sobrelos costes y los precios futuros era lo que desanimaba a los inversores yllevaba a una recesin. sta slo era posible si la incertidumbre cambia-ba con el tiempo; y mi objetivo consista en comprobarlo. Los econme-tras llaman a esto heteroscedasticidad. Poco antes, haba trabajadomucho con el filtro de Kalman y saba que una funcin de verosimilitudpoda descomponerse en la suma de sus densidades predictivas o condi-cionadas. Por otra parte, mi colega Clive Granger, con el que compartoeste premio, haba desarrollado, no haca mucho, un contraste paramodelos de series temporales bilineales basado en la dependencia en eltiempo de los residuos al cuadrado. En concreto, los residuos al cuadra-do estaban frecuentemente autocorrelacionados a pesar de que los resi-duos en s no lo estuviesen. Este contraste a menudo resultaba muy sig-nificativo para datos econmicos; sospech que estaba detectando algoms que bilinealidad, pero no saba de qu se trataba.

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    La respuesta era la heteroscedasticidad condicionada autorregresiva oARCH (autoregressive conditional heteroskedasticity); fue David Hendryquien invent el nombre. El modelo ARCH describe la prediccin de lavarianza en funcin de variables observables actuales. En vez de usar des-viaciones tpicas sobre muestras largas o cortas, el modelo ARCH propo-na usar medias ponderadas de los cuadrados de los errores de prediccindel pasado, es decir, una especie de varianza ponderada. Estas pondera-ciones podan conceder mayor influencia a la informacin reciente y res-tarle peso al pasado lejano. Claramente, el modelo ARCH era una simplegeneralizacin de la varianza muestral.

    El gran avance de este modelo resida en la posibilidad de estimar lasponderaciones mediante datos histricos a pesar de que la volatilidadverdadera no se hubiese observado nunca. Funciona de la siguientemanera: se pueden calcular predicciones cada da o en cada periodo. Exa-minando estas predicciones para diferentes ponderaciones, podemosencontrar el conjunto de ponderaciones que hacen que las prediccionessean tan cercanas a la varianza del siguiente rendimiento como sea posi-ble. Este procedimiento, basado en la mxima verosimilitud, ofrece unasolucin sistemtica al problema de estimar las ponderaciones ptimas.Una vez determinadas las ponderaciones, este modelo dinmico de vola-tilidad variable en el tiempo puede utilizarse para medir la volatilidad encualquier periodo, as como para predecirla en el futuro tanto cercanocomo lejano. El contraste de Granger para la bilinealidad result ser elcontraste ptimo o el contraste del multiplicador de Lagrange para elefecto ARCH, y hoy en da se utiliza ampliamente.

    La formulacin de un modelo dinmico explcito para la volatilidad pre-senta muchas ventajas. Como ya se ha mencionado anteriormente, losparmetros ptimos se pueden estimar por mxima verosimilitud. Se pue-den aplicar contrastes de adecuacin y precisin del modelo de volatilidadpara comprobar la validez del procedimiento. Sobre la base de estos par-metros estimados, pueden construirse predicciones para dentro de unperiodo o para varios periodos hacia adelante. Las distribuciones no con-dicionadas pueden expresarse matemticamente y, por lo general, sonrealistas. Si insertamos las variables pertinentes en el modelo, podemoscontrastar modelos econmicos que tratan de determinar las causas de lavolatilidad. De forma similar, la incorporacin de variables endgenas y deecuaciones adicionales permite contrastar modelos sobre las consecuen-cias de la volatilidad. Ms adelante veremos distintas aplicaciones.

    El colaborador de David Hendry, Frank Srba, fue quien escribi el pri-mer programa ARCH. La aplicacin que se public en Engle (1982) se refe-ra a la inflacin en el Reino Unido, ya que en ello consista la conjeturade Friedman. Si bien los datos indicaban con claridad que la incertidum-bre en las predicciones de inflacin variaba con el tiempo, no estaba rela-cionada con los ciclos econmicos del Reino Unido. Unos contrastes simi-lares sobre los datos de inflacin estadounidenses, recogidos en Engle(1983), confirmaron el descubrimiento del efecto ARCH, pero no eviden-ciaron ningn efecto relacionado con los ciclos econmicos. Si bien eldilema entre el riesgo y el rendimiento constituye una parte importante dela teora macroeconmica, las implicaciones empricas son, a menudo,

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    difciles de detectar porque estn camufladas por otros efectos dominan-tes y se ven oscurecidas por el uso de datos de frecuencia relativamentebaja. En finanzas, los efectos riesgo/rendimiento tienen una importanciaprimordial y se dispone de datos de frecuencia diaria, o incluso intra-dia-ria, que permiten hacer predicciones de volatilidad con precisin. Por ello,fue en el campo de las finanzas en el que se desarroll la gran riqueza yvariedad de modelos ARCH.

    2. GENERALIZACIN DEL MODELO ARCH

    Se pueden estimar y contrastar generalizaciones de distintos esque-mas de ponderacin. El modelo que se emplea de forma ms generaliza-da hoy en da es el que desarroll mi brillante estudiante Tim Bollerslev(1986), que recibi el nombre de Heteroscedasticidad Condicional Auto-rregresiva Generalizada o GARCH (Generalized Autoregressive Conditio-nal Heteroskedasticity). Este modelo, bsicamente, generaliza el modeloARCH, que es puramente autorregresivo, para lograr un modelo autorre-gresivo de medias mviles. Se establece el supuesto de que las pondera-ciones de los cuadrados de los residuos pasados disminuyen geomtri-camente a una tasa que debe estimarse a partir de los datos. El modeloGARCH (1,1) se presta a una interpretacin fcil de entender e intuitiva-mente atractiva. La prediccin GARCH de la varianza es una media pon-derada de tres predicciones diferentes de la varianza. Una de ellas es unavarianza constante que corresponde a la media de largo plazo. La segun-da es la prediccin que se hizo en el periodo anterior. La tercera corres-ponde a la nueva informacin que no estaba disponible cuando se hizo laprediccin anterior. sta podra considerarse como una prediccin de lavarianza basada en un nico periodo de informacin. Las ponderacionesde estas tres predicciones determinan la rapidez con la que cambia lavarianza al incluir informacin nueva y la rapidez con la que vuelve a sumedia de largo plazo.

    La segunda generalizacin de enorme importancia es la del GARCHExponencial o EGARCH (Exponential GARCH); se la debemos a Daniel B.Nelson (1991), que falleci de forma prematura en 1995 dejando un vacoirremplazable en nuestra profesin, como muy bien lo expresan Bollerslevy Peter E. Rossi (1995) en su panegrico. En su corta carrera acadmica, suscontribuciones tuvieron una influencia extraordinaria. Descubri que lavolatilidad poda responder de forma asimtrica a errores de prediccinpasados. En un contexto financiero, los rendimientos negativos parecanser predictores de la volatilidad ms importantes que los positivos. Las ca-das fuertes de los precios producen predicciones de mayor volatilidad quelas que producira un aumento de los precios en la misma proporcin. stees un efecto interesante desde el punto de vista econmico, que tieneimplicaciones de muy diversa ndole que trataremos ms adelante.

    Muchos otros investigadores han propuesto generalizaciones adicio-nales. Nos encontramos hoy en da frente a una sopa de letras de mode-los ARCH, entre los cuales hay que mencionar: AARCH, APARCH,FIGARCH, FIEGARCH, STARCH, SWARCH, GJR-GARCH, TARCH, MARCH,

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    NARCH, SNPARCH, SPARCH, SQGARCH, CESGARCH, ARCH con compo-nentes, ARCH con componentes asimtricos, Taylor-Schwert, ARCH con dis-tribucin t de Student, GED-ARCH, y muchos otros que, desgraciadamente,he tenido que pasar por alto. Bollerslev et al. (1992), Bollerslev et al. (1994),Engle (2002b), y Engle e Isao Ishida (2002) ofrecieron revisiones panormi-cas de muchos de estos modelos. Estos modelos reconocen que en la vola-tilidad podra haber importantes caractersticas de asimetra, no linealidad ymemoria larga, y que los rendimientos pueden ser no normales y presentartoda una variedad de distribuciones paramtricas y no paramtricas.

    Tambin ha tenido lugar otro enorme desarrollo de unos modelos devolatilidad muy relacionados con los anteriores, pero con caractersticasdistintas desde el punto de vista economtrico: los llamados modelos deVolatilidad Estocstica o modelos SV (Stochastic Volatility). Vase, porejemplo, Peter K. Clark (1973), Stephen Taylor (1986), Andrew C. Harvey etal. (1994), y Taylor (1994). Estos modelos tienen un proceso generador delos datos diferente, que los hacen ms adecuados para ciertos objetivospero ms difciles de estimar. En un marco lineal, estos modelos seransimplemente representaciones diferentes del mismo proceso; pero en elcontexto no lineal estas especificaciones alternativas no son equivalentes,a pesar de ser muy cercanas la una de la otra.

    3. MODELADO DE LOS RENDIMIENTOS FINANCIEROS

    El xito de la familia de modelos ARCH se puede atribuir en granmedida a las aplicaciones que stos tienen en finanzas. Si bien los mode-los pueden aplicarse a numerosos problemas estadsticos con series tem-porales, adquieren un valor especial cuando se aplican a series tempora-les financieras. Esto se debe en parte a la importancia del dilema del quehemos hablado antes entre riesgo y rendimiento en los mercados finan-cieros, y en parte a tres caractersticas omnipresentes de los rendimientosfinancieros de los activos con riesgo. Los rendimientos son prcticamen-te impredecibles, tienen, sorprendentemente, una gran cantidad de valo-res extremos, y tanto los periodos de ms agitacin como los ms tran-quilos estn agrupados en el tiempo. Estas caractersticas a menudo sedescriben como impredecibilidad, colas gordas (exceso de curtosis) yagrupamiento de la volatilidad. stas son precisamente las caractersticaspara las cuales se disea el modelo ARCH. Cuando la volatilidad es ele-vada, es probable que permanezca elevada, y cuando sta es baja es pro-bable que permanezca baja. Sin embargo, estos periodos estn limitadosen el tiempo, as que es seguro que la prediccin acabar volviendo haciavolatilidades menos extremas. Un proceso ARCH produce patrones din-micos de vuelta a la media que se pueden predecir. Tambin produce unmayor nmero de valores extremos de lo que se esperara de una distri-bucin normal estndar, ya que los valores extremos durante el periodode alta volatilidad son mayores de los que se hubiesen podido anticiparcon un proceso de volatilidad constante.

    La especificacin GARCH (1,1) es el caballo de batalla de las aplica-ciones financieras. Resulta llamativo el que se pueda emplear un nico

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    modelo para describir la dinmica de volatilidad de casi todas las seriesde rendimientos financieros. Esto es cierto no slo para las acciones deEstados Unidos, sino tambin para las acciones negociadas en la mayorade los mercados desarrollados, para la mayora de las acciones que senegocian en mercados emergentes y para la mayora de los ndices de losmercados de valores. Tambin es aplicable a tipos de cambio, rendimien-tos de obligaciones y rendimientos en los mercados de bienes primarios.En muchos casos se podra encontrar un modelo un poco mejor entre lalista de modelos nombrados anteriormente, pero el modelo GARCH es,por lo general, un excelente punto de partida.

    El amplio xito del modelo GARCH (1,1) exige una explicacin. Cules la teora que puede explicar el hecho de que la dinmica de la volatili-dad sea similar en tantos mercados financieros diferentes? Al desarrollartal teora debemos entender en primer lugar por qu cambian los preciosde los activos. Se compran y poseen activos financieros por las retribu-ciones futuras que se esperan de los mismos. Dado que estas retribucio-nes presentan incertidumbre y dependen de desarrollos futuros descono-cidos, el fijar el precio justo del activo requerir predicciones de la distri-bucin de estas retribuciones basadas en la mejor informacin de la quedisponemos en el presente. A medida que pasa el tiempo, vamos obte-niendo mayor informacin sobre estos eventos futuros y volvemos avalorar los activos. Por lo tanto, a un nivel muy bsico, podemos afirmarque la volatilidad de los precios financieros se debe a la llegada de nuevainformacin. El agrupamiento de la volatilidad corresponde simplementeal agrupamiento de la llegada de informacin. El hecho de que sta seacomn para tantos activos simplemente refleja el hecho de que la llegadade informacin nueva est generalmente agrupada en el tiempo.

    Para saber por qu es normal que las informaciones nuevas lleguende manera agrupada, debemos ser ms especficos en lo que respecta alflujo de informaciones. Consideremos un acontecimiento como, porejemplo, un invento que haga que aumente el valor de una empresa por-que hace que mejoren los beneficios futuros y los dividendos. El efecto dedicho acontecimiento sobre los precios de las acciones depender de lascondiciones econmicas de la economa y de la empresa. Si la empresaest cerca de la bancarrota, el efecto puede ser muy grande, mientras quesi ya opera a pleno rendimiento, ste podra ser reducido. Si la economatiene tipos de inters bajos y un excedente de mano de obra, podra serfcil desarrollar este nuevo producto. Manteniendo los dems factoresiguales, la respuesta ser mayor en un periodo de recesin que enmomento de auge. Por ello, no es sorprendente encontrarse frente amayores niveles de volatilidad en los momentos de recesin econmica apesar de que la tasa de llegada de nuevos inventos sea constante. Se tratade un tipo de agrupamiento de la volatilidad que evoluciona lentamentey que puede dar lugar a ciclos de varios aos.

    El mismo invento tambin acarrear un agrupamiento de la volatilidadde alta frecuencia. Cuando se d a conocer el invento, el mercado no sercapaz de estimar su valor de forma inmediata para que se refleje en el pre-cio de las acciones. Puede que los agentes no estn de acuerdo pero queestn lo suficientemente inseguros de sus evaluaciones como para pres-

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    tar atencin a la valoracin que los otros hacen de la empresa. Si un inver-sor compra hasta que el precio alcance el nivel que l estima como nuevoprecio adecuado, podra cambiar de estimacin al observar que losdems siguen comprando por precios cada vez ms elevados. Podra sos-pechar que los dems tienen mejor informacin o mejores modelos y, porlo tanto, aumentara su valoracin. Por supuesto, si constata que losdems venden sus acciones, podra entonces revisar su precio a la baja.Este proceso suele llamarse el descubrimiento del precio (price discovery)y se ha modelado de forma terica y emprica en los estudios de micro-estructura del mercado. Conduce a un agrupamiento de la volatilidad conuna frecuencia mucho ms elevada que la que habamos visto antes. Esteproceso podra durar unos pocos das o unos pocos minutos.

    No obstante, para entender la volatilidad, tenemos que tener en cuen-ta algo ms que un invento. Mientras que la tasa de llegada de inventospuede no seguir patrones claros, habr otro tipo de noticias que segura-mente s los sigan. La intensidad de informacin nueva suele ser altadurante las guerras o las pocas de peligro econmico. Es tambin muyprobable que durante las cumbres mundiales, las audiencias del congre-so o del parlamento, las elecciones o las reuniones del consejo de gobier-no del banco central haya muchos acontecimientos que constituyan noti-cias para el mercado. Este tipo de episodios suelen ser de duracin media:no suelen durar ms que unas semanas o unos meses.

    Los patrones de volatilidad emprica que observamos estn compues-tos por estos tres tipos de acontecimientos. Por lo tanto, esperamosencontrarnos con dinmicas de volatilidad ms bien elaboradas y amenudo nos basamos en series temporales largas para producir modelosprecisos de las diferentes constantes en el tiempo.

    4. MODELADO DE LAS CAUSAS Y LAS CONSECUENCIAS DE LAVOLATILIDAD FINANCIERA

    Una vez desarrollado un modelo para medir la volatilidad, lo normales intentar explicar las causas de la volatilidad y los efectos de la volatili-dad sobre la economa. Contamos hoy en da con una amplia literaturaque examina estas cuestiones. Tratar nicamente algunos de los descu-brimientos correspondientes a los mercados financieros.

    En los mercados financieros, las consecuencias de la volatilidad sonfciles de describir a pesar de ser quizs difciles de medir. En una econo-ma con un nico activo de riesgo, un aumento de la volatilidad deberallevar a los inversores a vender una parte de ese activo. Si hay una ofertafija, el precio puede bajar lo suficiente como para que los compradoresadopten la postura contraria. Con este nuevo precio ms reducido, losrendimientos esperados son ms elevados, justo en la medida suficientecomo para compensar a los inversores por el aumento del riesgo. En elequilibrio, una volatilidad alta debera corresponder a altos rendimientosesperados. Merton (1980) formul este modelo terico en tiempo conti-nuo y Engle et al. (1987) propusieron un modelo en tiempo discreto. Si el

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    precio del riesgo fuese constante en el tiempo, un aumento de las varian-zas condicionadas se traducira linealmente en un aumento de los rendi-mientos esperados. As, la media de la ecuacin de rendimiento ya no seconsiderara igual a cero, sino que dependera de los rendimientos pasa-dos al cuadrado, exactamente del mismo modo que lo hace la varianzacondicionada. Esta restriccin muy fuerte sobre los coeficientes puedecontrastarse y usarse para estimar el precio del riesgo. Tambin se puedeusar para medir el coeficiente de la aversin al riesgo relativa del agenterepresentativo bajo los mismos supuestos.

    La evidencia emprica de esta medicin no ha aportado resultadosunnimes. Mientras que Engle et al. (1987) encontraron un efecto positi-vo y significativo, Ray-Yeutien Chou et al. (1992) y Lawrence R. Glosten etal. (1993) encontraron una relacin que vara a lo largo del tiempo ypodra ser negativa debido a la omisin de variables. Kenneth R. Frenchet al. (1987) demostraron que una sorpresa positiva en la volatilidad debe-ra tener, y de hecho tiene, un efecto negativo sobre los precios de los acti-vos. No hay un nico activo con riesgo en la economa y no es muy pro-bable que el precio del riesgo permanezca constante; por lo tanto, la ines-tabilidad no debe sorprender y no descarta la existencia de un dilemariesgo/rendimiento, pero el modelar mejor este dilema constituye todo unreto.

    Las causas de la volatilidad se modelan de forma ms directa. Dadoque el modelo ARCH bsico y sus numerosas variantes describen lavarianza condicionada como una funcin de los retardos del cuadrado delos rendimientos, stas son probablemente las causas ms cercanas de lavolatilidad. Pero es mejor interpretarlos como observables que ayudan apredecir la volatilidad y no como causas. Si las verdaderas causas seincluyesen en la especificacin, entonces no se necesitaran los retardos.

    Ciertos artculos han seguido esta va. Torben G. Andersen y Bollers-lev (1998b) examinaron los efectos de los comunicados en prensa sobrela volatilidad de los tipos de cambio. La dificultad de encontrar un fuertepoder explicativo queda patente incluso si dichos comunicados tienenefectos importantes. Otro enfoque consiste en usar la volatilidad medidaen otros mercados. Engle et al. (1990b) demuestran que la volatilidad enlas acciones causa volatilidad en las obligaciones en el futuro. Engle et al.(1990a) modelan la influencia de la volatilidad en los mercados que cie-rran antes sobre los mercados que cierran ms tarde. Examinan, porejemplo, la influencia de la volatilidad actual en los mercados europeos yasiticos de divisas y del da anterior en el mercado estadounidense sobrela volatilidad actual del mercado americano. Yasushi Hamao et al. (1990),Pat Burns et al. (1998) y otros han aplicado tcnicas similares para el mer-cado global de acciones.

    5. UN EJEMPLO

    Para ilustrar el uso de los modelos ARCH en las aplicaciones financie-ras, har un anlisis ms bien extenso del ndice compuesto Standard &

    ENGLE 15/4/02 12:26 Pgina 229

  • ROBERT ENGLE. RIESGO Y VOLATILIDAD: MODELOS ECONOMTRICOS Y PRCTICA FINANCIERA

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    Poors 500. Este ndice representa el grueso de las valoraciones en el mer-cado de valores americano. Examinar los niveles diarios de este ndicedesde 1963 hasta finales de noviembre de 2003. De esta manera, tendre-mos una visin global de la historia financiera de Estados Unidos, lo cualofrece un marco ideal para discutir cmo se usan los modelos ARCH parael tratamiento del riesgo y la valoracin de opciones. Todos los estadsti-cos y los grficos se han obtenido con EViewsTM 4.1.

    Los datos iniciales se muestran en el grfico 1, en el que los preciosse representan en el eje de la izquierda. La curva inferior, que es ms biensuave, muestra la evolucin de este ndice a lo largo de los ltimos 40aos. Es fcil detectar el importante crecimiento de los precios de lasacciones en ese periodo y la disminucin subsiguiente tras la llegada delnuevo milenio. A principios de 1963, el ndice tena un valor de 63 dlaresy al final del periodo era de 1.035 dlares. Eso significa que un dlar inver-tido en 1963 tendra un valor de 16 dlares en noviembre de 2003 (ms elflujo de dividendos que se habran recibido, puesto que este ndice notoma en cuenta los dividendos en datos diarios). Si el inversor hubiesesido lo suficientemente inteligente como para vender su posicin el 24 demarzo de 2000, sta hubiese tenido un valor de 24 dlares. Con un pocode suerte, no habra comprado ese da. Aunque a menudo vemos imge-nes del nivel de estos ndices, es obviamente el precio relativo entre elmomento de compra y el momento de venta lo que importa. As, los

    Grfico 1PRECIOS DIARIOS Y RENDIMIENTOS DEL NDICE S&P 500 ENTRE

    ENERO DE 1963 Y NOVIEMBRE DE 2003

    65 70 75 80 85 90 95 00

    1.600

    800

    400

    200

    100

    50

    0,1

    0,0

    -0,1

    -0,2

    -0,3

    SP500 SPRENDIMIENTOS

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  • REVISTA ASTURIANA DE ECONOMA - RAE N 31 2004

    231

    economistas centran su atencin sobre los rendimientos, que se mues-tran en la parte superior del grfico. ste muestra el cambio diario en elprecio en el eje de la derecha (calculado como el logaritmo del precio dehoy dividido por el precio de ayer). Esta serie de rendimientos est cen-trada en cero a lo largo del periodo de la muestra aunque a veces los pre-cios aumenten y otras veces disminuyan. El acontecimiento ms dramti-co es el crac de octubre de 1987 que hace que todos los dems rendi-mientos sean comparativamente minsculos en lo que se refiere altamao de la cada y a la subsiguiente recuperacin parcial.

    Se pueden observar otras de las caractersticas importantes de estaserie de datos trabajando con porciones del periodo completo. Por ejem-plo, el grfico 2 muestra el mismo grfico antes de 1987. Se ve claramen-te que la amplitud de los rendimientos est cambiando. La magnitud delos cambios es grande en ocasiones y reducida en otras. Precisamenteste es el efecto que el modelo ARCH se encarga de medir y que hemosdenominado agrupamiento de la volatilidad. Pero hay otra caractersticaimportante en este grfico. La volatilidad es claramente superior cuandolos precios estn cayendo. La volatilidad tiende a ser superior en merca-dos con tendencia a la baja. Este es el efecto de volatilidad asimtrica queNelson describe con su modelo EGARCH.

    Si examinamos el siguiente subperiodo, el posterior al crac de 1987,en el grfico 3 podemos ver el periodo record de baja volatilidad demediados de la dcada de los 90. Este periodo vino acompaado por un

    Grfico 2NDICE DIARIO S&P 500 ANTES DE 1987

    0,06

    0,04

    0,02

    0,00

    -0,02

    -0,04

    -0,06

    400

    200

    100

    50

    1965 1970 1975 1980 1985

    SP500 SPRENDIMIENTOS

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  • ROBERT ENGLE. RIESGO Y VOLATILIDAD: MODELOS ECONOMTRICOS Y PRCTICA FINANCIERA

    232

    crecimiento lento y sostenido de los precios de las acciones. Frecuente-mente se sostuvo que nos estbamos encaminando hacia una nueva erade baja volatilidad. La historia ha demostrado que no. La volatilidadcomenz a aumentar al tiempo que los precios de las acciones se incre-mentaban progresivamente, alcanzando niveles muy altos desde 1998 enadelante. La bolsa, desde esta perspectiva, resultaba claramente arriesga-da, pero los inversores estaban dispuestos a tomar este riesgo debido alos altos rendimientos que poda aportar. Si nos fijamos en el ltimoperiodo, desde 1998, en el grfico 4 podemos ver que la alta volatilidadperdur mientras el mercado caa. Slo al final de la muestra, cuando con-cluy oficialmente la guerra en Irak, se ven disminuciones importantes enla volatilidad. Esto aparentemente ha animado a que los inversores vol-vieran al mercado, que ha experimentado un crecimiento substancial delos precios.

    Grfico 3NDICE S&P 500 DESDE 1988 HASTA 2000

    Mostramos ahora algunos estadsticos que ilustran los tres hechosestilizados mencionados anteriormente: rendimientos prcticamenteimpredecibles, colas gordas y agrupamiento de la volatilidad. En el cua-dro 1 se muestran algunas caractersticas de los rendimientos. En com-paracin con la desviacin tpica, la media se aproxima a cero para ambosperiodos. Se sita en el 0,03 por ciento por da de apertura o alrededor deun 7,8 por ciento por ao. La desviacin tpica es ligeramente superior en

    0,08

    0,04

    0,00

    -0,04

    -0,08

    1.600

    800

    400

    200

    1992 1994 1996 20001988 1990 1998

    SP500 SPRENDIMIENTOS

    ENGLE 15/4/02 12:26 Pgina 232

  • REVISTA ASTURIANA DE ECONOMA - RAE N 31 2004

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    los aos 90. Estas desviaciones corresponden a volatilidades anualizadasdel 15 y del 17 por ciento. La asimetra es reducida en todo el periodo.

    Grfico 4NDICE S&P 500 DESDE 1998 HASTA 2003

    Cuadro 1RENDIMIENTOS DEL S&P 500

    Muestra Completa Desde 1990

    Media 0,0003 0,0003Desviacin tpica 0,0094 0,0104Asimetra 1,44 0,10Curtosis 41,45 6,78

    La caracterstica ms interesante es la curtosis que mide la magnitudde los extremos. Si los rendimientos se distribuyesen segn una normal,la curtosis debera ser igual a 3. La curtosis de los noventa alcanzaba unvalor de 6,8, y para el conjunto de la muestra un impresionante 41. staes una prueba clara de que los extremos son ms importantes de lo quepodramos esperar de una variable aleatoria normal. Se obtiene la mismaevidencia del grfico 5, que es un diagrama de los cuantiles de los datosposteriores a 1990. Sera una lnea recta si los rendimientos se distribu-yesen normalmente y tiene forma de S si hay ms valores extremos.

    1.600

    800

    1.000

    1.200

    1.400

    0,08

    0,04

    0,00

    -0,04

    -0,08

    2000 2001 20031998 1999 2002

    SP500 SPRENDIMIENTOS

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    Grfico 5GRFICO DE LOS CUNTILES DE LOS RENDIMIENTOS DEL NDICE

    S&P 500 POSTERIORES A 1990

    La impredecibilidad de los rendimientos y el agrupamiento de la volatili-dad se pueden mostrar de forma concisa en las autocorrelaciones. Las auto-correlaciones son correlaciones calculadas entre el valor de una variable ale-atoria hoy y su valor de hace unos das. Las autocorrelaciones significativas delos rendimientos pueden ser un indicio de la predictibilidad de la serie, mien-tras que las autocorrelaciones significativas de los rendimientos al cuadrado oen trminos absolutos reflejan la existencia de agrupamiento de la volatilidad.En el grfico 6 se representan estas autocorrelaciones para los datos posterio-res a 1990. Bajo los criterios convencionales1, las autocorrelaciones superioresa 0,033 en valor absoluto seran significativas a un nivel del 5 por ciento. Lasautocorrelaciones del rendimiento son claramente casi todas no significativas,mientras que los rendimientos al cuadrado tienen casi todos autocorrelacio-

    4

    3

    2

    1

    0

    -1

    -2

    -3

    -4

    Cu

    anti

    l de

    la d

    istr

    ibu

    ci

    n n

    orm

    al

    -0,04

    SPRENDIMIENTOS

    0,04 0,08-0,08 0,00

    (1) Los valores crticos reales sern algo superiores dado que las series presentan, clara-mente, heteroscedasticidad. Esto hace que la no predictibilidad de los rendimientos seaan ms probable.

    ENGLE 15/4/02 12:26 Pgina 234

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    nes que s lo son. Adems, las autocorrelaciones de los rendimientos al cua-drado son todas positivas, lo cual es muy poco probable que ocurra por casua-lidad. Este grfico proporciona pruebas de peso tanto de la no predictibilidadde los rendimientos como del agrupamiento de la volatilidad.

    Grfico 6AUTOCORRELACIN DE LOS RENDIMIENTOS

    Y DE LOS RENDIMIENTOS AL CUADRADO

    Abordamos ahora el problema de la estimacin de la volatilidad. Lasestimaciones llamadas volatilidad histrica se basan en las desviacionestpicas de los rendimientos calculadas sobre periodos de tiempo sucesivostomando una ventana de datos fija. En el grfico 7 se han construido conventanas de cinco das, de un ao y de cinco aos. Mientras que cada unode estos clculos podra parecer razonable, las respuestas son claramentemuy diferentes. La estimacin sobre cinco das es extremadamente varia-ble mientras que las otras dos son mucho ms suaves. La estimacinsobre cinco aos es suave en los lugares en que las otras dos estimacionesrevelan picos y cadas. Con esta ventana, la recuperacin tras el crac de1987 es particularmente lenta, como tambin lo es la aparicin del aumen-to de la volatilidad en 1998-2000. De la misma manera, la estimacin anualno muestra todos los detalles que revela la volatilidad de cinco das. Peroalgunos de estos detalles podran no ser ms que ruido. Sin ninguna medi-da verdadera de volatilidad, es difcil elegir entre estos candidatos.

    El modelo ARCH proporciona una solucin a este dilema. Estimandolos parmetros desconocidos basndonos en datos histricos, podemos

    0,25

    0,20

    0,15

    0,10

    0,05

    0,00

    -0,05

    -0,10

    SP Rendimientos SQ Rendimientos al cuadrado

    ENGLE 15/4/02 12:26 Pgina 235

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    236

    obtener predicciones para cada da en el periodo de la muestra y paracualquier periodo posterior a la muestra. El primer modelo a estimar quese impone de manera natural sera el GARCH (1,1). Este modelo da pon-deraciones a la varianza incondicional, a la prediccin anterior y a las nue-vas informaciones medidas como el cuadrado del rendimiento de ayer. Elvalor estimado de las ponderaciones es 0,004; 0,941 y 0,055 respectiva-mente2. El grueso de la informacin viene claramente de la prediccin delda anterior. La informacin nueva la cambia ligeramente y la varianzamedia a largo plazo tiene un efecto muy pequeo. El efecto de la varian-za a largo plazo resulta ser tan reducido que podra no ser importante.Esto no es del todo correcto. Cuando predecimos para un horizonte leja-no, la varianza a largo plazo acaba dominando al ir desapareciendo laimportancia de las informaciones nuevas y recientes. Es pequea comoconsecuencia natural del uso de datos diarios.

    Grfico 7VOLATILIDAD HISTRICA CON DISTINTAS VENTANAS

    En este ejemplo, usaremos un modelo de volatilidad asimtrica que, aveces, recibe el nombre de GJR-GARCH, respondiendo a las siglas deGlosten et al (1993), o de TARCH (por Threshold ARCH) de Jean MichaelZakoian (1994). Los resultados estadsticos se ofrecen en el cuadro 2. En

    0,6

    0,4

    0,2

    0,0

    64 70 74 80 84 88 92 0066 72 76 82 86 90 98 0268 78 94 96

    (2) Para un modelo GARCH convencional definido como ht + 1 = + rt2 + ht, las pondera-ciones son ((1 ), , ).

    ENGLE 15/4/02 12:26 Pgina 236

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    este caso, hay dos tipos de informacin nuevas. El rendimiento al cua-drado, por un lado, y, por otro, otra variable que es el rendimiento al cua-drado cuando los rendimientos son negativos y que es nula en el casocontrario. ste es, en promedio, la mitad de grande que la varianza y porlo tanto debera duplicarse, lo cual implica que las ponderaciones se redu-ciran a la mitad. Las ponderaciones se calculan ahora sobre la media alargo plazo, la prediccin anterior, las noticias simtricas as como lasnoticias negativas. Estas ponderaciones se estiman en 0,002; 0,931; 0,029y 0,038, respectivamente3. Es evidente que la asimetra es importante yaque, sin ella, el ltimo trmino sera cero. De hecho, los rendimientosnegativos en este modelo tienen un efecto ms de tres veces superior alde los rendimientos positivos de varianzas futuras. Desde el punto devista estadstico, el trmino asimtrico tiene un estadstico t de casi 20 yresulta muy significativo.

    Cuadro 2ESTIMACIN TARCH DE LOS DATOS DE RENDIMIENTO DEL S&P 500

    Variable dependiente: NEWRET_SPMtodo de estimacin: ML-ARCH (Marquardt)Periodo muestral ajustado: 3-I-1963 / 21-XI-2003N de observaciones: 10.667 despus de ajustar por los puntos finalesConvergencia alcanzada despus de 22 iteracionesPrediccin hacia atrs de la varianza: activada

    Coeficiente Error estndar Estadstico-z Probabilidad

    C 0,000301 6,67E-05 4,512504 0,0000

    Ecuacin de la varianza

    C 4,55E-07 5,06E-08 8,980473 0,0000ARCH(1) 0,028575 0,003322 8,602582 0,0000(RESID < 0)*ARCH(1) 0,076169 0,003821 19,93374 0,0000GARCH(1) 0,930752 0,002246 414,4693 0,0000

    La serie de volatilidad generada por este modelo se puede ver en elgrfico 8. La serie tiene ms picos que las volatilidades histricas anualeso quinquenales, pero es menos variable que las volatilidades de cincodas. Dado que est diseada para medir la volatilidad de los rendimien-tos del da siguiente, es lgico formar intervalos de confianza para los ren-dimientos. En el grfico 9, los rendimientos se representan junto con

    (3) Si el modelo est definido como ht = + ht1 + rt12 + rt12 Irt1 < 0, entonces las pondera-ciones son (1 /2, , , /2).

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  • ROBERT ENGLE. RIESGO Y VOLATILIDAD: MODELOS ECONOMTRICOS Y PRCTICA FINANCIERA

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    ms/menos tres desviaciones tpicas TARCH. Claramente, los intervalos deconfianza estn cambiando de una forma muy verosmil. Una banda cons-tante sera demasiado ancha en ciertos periodos y demasiado estrecha enotros. Los intervalos TARCH deberan tener una probabilidad del 99,7 porciento de incluir la siguiente observacin si en la realidad los datos se dis-tribuyeran normalmente. Se esperara entonces que el siguiente rendi-miento estuviera fuera del intervalo solamente en 29 de los ms de 10.000das. En realidad, hay 75, lo que indica que hay ms observaciones atpi-cas de lo que podramos esperar de una distribucin normal.

    El mercado de opciones contiene informacin adicional sobre la vola-tilidad. El valor de las opciones negociadas depende directamente de lavolatilidad del activo subyacente. Una cartera de opciones creada con-cienzudamente con diferentes precios de ejercicio tendr un valor quemide la estimacin del mercado de opciones de la volatilidad futura bajosupuestos ms bien dbiles. El clculo se realiza ahora por el CBOE paralas opciones S&P 500 y se presenta como el VIX. Hay dos supuestos sub-yacentes en este ndice que merece la pena mencionar. El proceso de losprecios debera ser continuo y no debera haber prima de riesgo asociadaa los shocks de volatilidad. Si estos supuestos son aproximaciones ade-cuadas, las volatilidades implcitas pueden compararse con las volatilida-des ARCH. Las volatilidades TARCH deben ser predicciones a un mes, yaque esto representa la volatilidad promedio sobre la vida de la opcin,que es la que debe compararse con las volatilidades implcitas.

    Grfico 8VOLATILIDADES GARCH

    1,4

    1,2

    1,0

    0,8

    0,6

    0,4

    0,2

    0,065 70 75 80 85 90 95 00

    GARCHVOL

    ENGLE 15/4/02 12:26 Pgina 238

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    Grfico 9INTERVALOS DE CONFIANZA GARCH:

    TRES DESVIACIONES TPICAS

    Grfico 10VOLATILIDADES IMPLCITAS Y VOLATILIDADES GARCH

    0,10

    0,05

    0,00

    -0,05

    -0,10

    1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

    3*GARCHSTD SPRENDIMIENTOS -3*GARCHSTD

    0,5

    0,4

    0,3

    0,2

    0,1

    0,01990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

    VIX GARCHM

    ENGLE 15/4/02 12:26 Pgina 239

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    240

    Los resultados estn representados en el grfico 104. El patrn generales bastante parecido, aunque el TARCH est ligeramente por debajo del VIX.Estas diferencias se pueden atribuir a dos causas. En primer lugar, la relacinpara la valoracin de opciones no es del todo correcta en esta situacin y notoma en cuenta ni la prima de riesgo de volatilidad ni la posibilidad de ren-dimientos no normales. Estos ajustes llevaran a precios de opciones mselevados y, por lo tanto, a volatilidades implcitas que seran demasiado ele-vadas. En segundo lugar, los modelos ARCH bsicos tienen conjuntos deinformacin muy limitados. No usan informacin relativa a los beneficios,las guerras, las elecciones, etc. De hecho, las predicciones de volatilidad delos operadores deberan ser normalmente superiores y las diferencias podr-an deberse a la informacin sobre acontecimientos de larga duracin.

    Este largo ejemplo ilustra muchas de las caractersticas de los mode-los ARCH/GARCH y cmo se pueden usar para estudiar procesos de vola-tilidad. Pasaremos ahora a la prctica financiera y describiremos dos apli-caciones ampliamente utilizadas. En la presentacin, ilustraremos algu-nas implicaciones novedosas de la volatilidad asimtrica.

    6. PRCTICA FINANCIERA: EL VALOR EN RIESGOCada maana, en miles de bancos e instituciones de servicios financieros

    del mundo entero, el Director de Gestin del Riesgo le presenta al DirectorGeneral el perfil de riesgo del banco. Recibe una estimacin del riesgo delconjunto de la cartera y del riesgo de muchos de sus componentes. Normal-mente, sabr en ese momento cul es el riesgo al que se enfrentan su Depar-tamento de acciones del mercado europeo, su Departamento de deuda delestado, su Unidad de divisas, su Unidad de derivados, etctera. Incluso, sepodran detallar los riesgos por analistas financieros. Se le proporcionaentonces una perspectiva general al sistema regulador, aunque puede queno sea la misma que la empleada para fines internos. El riesgo para la com-paa como conjunto es menor que la suma de todas sus partes ya que lasdiferentes porciones del riesgo no estarn correlacionadas perfectamente.

    La medida tpica de cada uno de estos riesgos es el Valor en Riesgo(Value at Risk), que a menudo se abrevia por VaR. El VaR es una forma demedir la probabilidad de prdidas que podra sufrir la cartera. El VaR a unda al 99 por ciento es un importe en dlares con el que el director indicaque est seguro al 99 por ciento de que cualquier prdida que pueda tenerlugar al da siguiente no superar dicho importe. Si el VaR a un da deldepartamento de divisas es de 50.000 dlares, esto significa que el geren-te del riesgo afirma que slo en un da de entre 100 habr perdidas supe-riores a 50.000 dlares en esa cartera. Esto significa, por supuesto, que,aproximadamente, en dos das y medio al ao las prdidas sern supe-riores al VaR. El VaR es una forma de medir el riesgo que es fcil de enten-der sin tener conocimientos de estadstica. Sin embargo, no es ms queun cuantil de la distribucin predictiva y, por lo tanto, tiene informacinlimitada sobre las probabilidades de prdida.

    (4) El VIX est ajustado para un ao de 252 das de transacciones.

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  • REVISTA ASTURIANA DE ECONOMA - RAE N 31 2004

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    En ocasiones se define el VaR sobre una base de varios das. Un VaRdel 99 por ciento a diez das es una cantidad de dlares superior a la pr-dida realizada en la cartera a lo largo de diez das con probabilidad 0,99.ste es un estndar comn en las normas vigentes, pero se calcula nor-malmente ajustando simplemente el VaR a un da, tal y como veremosms adelante. Las cifras de prdida suponen que la cartera no cambia enel periodo de diez das, lo cual puede ir contra los hechos.

    Para calcular el VaR de una unidad de negocio o de una empresa ensu conjunto, es necesario tener varianzas y covarianzas o, lo que es lomismo, volatilidades y correlaciones para todos los activos que seencuentran en la cartera. Normalmente, se considera que los activos res-ponden principalmente a uno o ms factores de riesgo que se modelandirectamente. RiskmetricsTM, por ejemplo, emplea unos 400 factores deriesgo mundiales. BARRA emplea factores de riesgo industriales as comofactores de riesgo basados en las caractersticas de la compaa y otrosfactores. Una cartera diversificada de renta variable de Estados Unidostendra riesgos determinados principalmente por los ndices agregadosde mercado como por ejemplo el S&P 500. Seguiremos con el ejemplo dela seccin anterior para calcular el VaR de una cartera que mimetice elS&P.

    El VaR a un da, y al 99 por ciento, del S&P se puede estimar emple-ando el enfoque ARCH. Sobre la base de datos histricos, se estima elmejor modelo, y luego se calcula la desviacin tpica para el da siguien-te. En el caso de S&P del 24 de noviembre, esta prediccin para la des-viacin tpica es de 0,0076. Para transformarlo en VaR, tenemos que hacerun supuesto sobre la distribucin de los rendimientos. Si suponemos nor-malidad, el cuantil del 1 por ciento se sita a 2,33 desviaciones tpicas decero. As, el Valor en Riesgo es 2,33 veces la desviacin tpica o, en el casodel 24 de noviembre, el 1,77 por ciento. Podemos estar seguros al 99 porciento de que no perderemos ms del 1,77 por ciento del valor de la car-tera el 24 de noviembre. De hecho el mercado evolucion al alza el da 24,es decir que no hubo prdidas.

    El supuesto de normalidad es muy cuestionable. Hemos observadoque los rendimientos financieros tienen una cantidad sorprendente derendimientos altos. Si dividimos los rendimientos por las desviacionestpicas TARCH, el resultado tendr una volatilidad constante de uno, perotendr una distribucin no normal. La curtosis de estos rendimientosdesvolatilizados o residuos estandarizados es 6,5, lo cual es muy infe-rior a la curtosis incondicional, pero sigue siendo bastante ms de la cur-tosis normal. Con estos rendimientos desvolatilizados podemos encon-trar el cuantil del uno por ciento y utilizarlo para dar una idea mejor delVaR. Resulta ser 2,65 desviaciones tpicas por debajo de la media. De estamanera, nuestra cartera es ms arriesgada de lo que pensbamos con laaproximacin normal. El VaR a un da al 99 por ciento se estima ahora enel 2 por ciento.

    A menudo las agencias de regulacin requieren un VaR a diez das, yse utiliza tambin frecuentemente a nivel interno. Por supuesto, la canti-dad que puede perder una cartera en diez das es mucho mayor de lo que

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    puede perder en un da. Pero, cun mayor es? Si las volatilidades fuesenconstantes, la respuesta sera simple; ser superior por un factor multipli-cativo igual a la raz cuadrada de diez. Dado que la varianza a diez das esdiez veces la varianza a un da, el multiplicador de la volatilidad de diezdas sera la raz cuadrada de diez. Cogeramos la desviacin tpica de unda y la multiplicaramos por 3,16 y, despus, la multiplicaramos, bajo elsupuesto de normalidad, por 2,33, lo cual nos dara la desviacin estn-dar multiplicada por 7,36. sta es la solucin convencional en la prctica.Para el 24 de noviembre, el VaR a diez das al 99 por ciento es el 5,6 porciento del valor de la cartera.

    Sin embargo, este resultado no tiene en cuenta dos caractersticasmuy importantes de los modelos de volatilidad dinmica. En primer lugar,no da lo mismo que las volatilidades reales sean bajas o altas en relacincon la media a largo plazo, ya que son predicciones de subidas o de baja-das para los prximos diez das. Dado que la volatilidad es relativamentebaja en noviembre, el modelo TARCH predecir un aumento para lossiguientes 10 das. En este caso, este efecto no es muy grande porque sepredice que la desviacin estndar aumente de 0,0076 a 0,0077 durante elperiodo de 10 das.

    El efecto de asimetra en la varianza para rendimientos multiperiodosresulta ms interesante. A pesar de que cada periodo tiene una distribu-cin simtrica, la distribucin del rendimiento multiperiodo ser asimtri-ca. Es fcil entender este efecto, pero no ha sido reconocido en general.Se puede ilustrar fcilmente con un rbol binomial en dos etapas (ver gr-fico 11), tal y como se hace en los modelos bsicos de valoracin deopciones. En el primer periodo, el precio del activo puede aumentar o dis-minuir y cualquier resultado es igual de probable. En el segundo periodo,la varianza depender de si el precio aument o disminuy. Si aument,la varianza ser inferior, de tal manera que las ramas binomiales estarnbastante prximas. Si el precio disminuy, la varianza ser superior, de talmanera que los resultados estarn ms separados. Despus de los dosperiodos, hay cuatro resultados que son igual de probables. La distribu-cin ser bastante asimtrica, ya que el resultado malo es mucho peorque el que se tendra si la varianza hubiera sido constante.

    Para calcular el VaR en este planteamiento, se necesita una simula-cin. El modelo TARCH se simula para diez das utilizando variables alea-torias normales y empezando con valores del 21 de noviembre5. Esto sehizo 10.000 veces y se ordenaron los peores resultados para encontrar elValor en Riesgo correspondiente al cuantil del 1 por ciento. La respuestafue 7,89 veces la desviacin tpica. Este VaR es bastante mayor que elvalor que obtendramos bajo el supuesto de volatilidad constante.

    (5) En este ejemplo, se inici la simulacin con la varianza incondicional de tal manera queel efecto de agregacin temporal puediese ser examinado de forma independiente.Adems, se estableci la media en cero, pero esto no tiene mucho efecto en horizontestan cortos

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    Para evitar el supuesto de normalidad, la simulacin puede hacersetambin empleando la distribucin emprica de los residuos estandariza-dos. Esta simulacin se llama a menudo simulacin bootstrap; cadaextraccin de las variables aleatorias tiene exactamente la misma proba-bilidad de ser cualquier observacin de los residuos estandarizados.Puede ser que la observacin del crac de octubre de 1987 se extrajera unao incluso dos veces en algunas simulaciones pero ninguna en otras. Elresultado es un multiplicador de la desviacin tpica de 8,52 que se debe-ra usar para calcular el VaR. En nuestro caso, para el 24 de noviembre, elVaR a diez das al 99 por ciento es el 6,5 por ciento del valor de la cartera.

    Grfico 11RBOL BINOMIAL A DOS PERIODOS CON VOLATILIDAD ASIMTRICA

    Varianzabaja

    Varianzaalta

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    7. PRCTICA FINANCIERA: LA VALORACIN DE OPCIONES

    Otra rama importante de la prctica financiera es la valoracin y lagestin de derivados como las opciones. stas se suelen valorar de formaterica, suponiendo la existencia de un determinado proceso para el acti-vo subyacente y, sobre dicha base, los precios de mercado de los deriva-dos se infieren de los parmetros del proceso que sigue el activo subya-cente. Esta estrategia se suele denominar valoracin libre de arbitraje(arbitrage free pricing) y resulta inadecuada para algunas de las tareasdel anlisis financiero. No puede determinar el riesgo de una posicin enderivados porque cada nuevo precio de mercado podra corresponder aun conjunto diferente de parmetros y son justamente el tamao y la fre-cuencia de los cambios en estos parmetros los que representan un ries-go. Por la misma razn, es difcil encontrar estrategias ptimas de pro-teccin contra el riesgo. Finalmente, no hay ninguna manera de determi-nar el precio de una nueva emisin o determinar si ciertos derivados seestn vendiendo con descuentos o con primas.

    Un anlisis similar que, a menudo, se lleva a cabo por los operadoresde derivados consiste en desarrollar modelos de valoracin basados enlas variables fundamentales (fundamentals pricing models), que determi-nan el precio apropiado para un derivado basndose en las caractersticasdel activo subyacente. Estos modelos podran incluir medidas del costede transaccin, del coste de cobertura y del riesgo en la gestin de la car-tera de opciones.

    En esta seccin se usar un modelo simple de valoracin de opcio-nes basado en una simulacin para ilustrar el empleo de modelos ARCHen este tipo de anlisis fundamental. El ejemplo ser la valoracin deopciones put en el S&P 500, a las cuales les quedan 10 das para llegaral vencimiento.

    Una opcin put proporciona al propietario el derecho de vender unactivo, a su vencimiento, a un precio determinado, llamado precio de ejer-cicio. De esta manera, si el precio del activo est por debajo del precio deejercicio, puede ganar dinero vendiendo al precio de ejercicio y compran-do a precio de mercado. El beneficio ser la diferencia entre estos precios.Sin embargo, si el precio del mercado es superior al precio de ejercicio,entonces la opcin no tiene valor. Si el inversor posee el activo subya-cente en su cartera y compra una opcin put, tendr la garanta de obte-ner como mnimo el precio de ejercicio en el vencimiento. Por eso, estasopciones pueden considerarse como contratos de seguro.

    La simulacin funciona exactamente igual que en la seccin anterior.El modelo TARCH se simula desde el final del periodo de la muestra10.000 veces. Adoptamos el enfoque bootstrap, as que la no normalidadest incorporada ya en la simulacin. Esta simulacin debera ser de ladistribucin neutral al riesgo, es decir una distribucin en la cual losactivos se valorasen en sus valores esperados descontados. La distribu-cin neutral al riesgo difiere de la distribucin emprica en aspectos suti-les, de tal manera que hay una prima de riesgo explcita en la distribucinemprica, que no es necesaria en la distribucin neutral al riesgo. En algu-

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    nos modelos, como el de Black-Scholes, basta con ajustar la media paraque sta sea la tasa libre de riesgo. Esto es lo que haremos en el ejemplo.Se simula la distribucin con una media cero, que se considera la tasalibre de riesgo. Como veremos ms adelante, este ajuste podra ser nosuficiente como para obtener la distribucin neutral al riesgo.

    Con la simulacin, tenemos 10.000 resultados con igual probabilidad paradiez das futuros. Podemos calcular el valor de una determinada opcin putpara cada uno de estos resultados. Dado que stos son igual de probables yque la tasa libre de riesgo se considera igual a cero, la mejor estimacin delvalor intrnseco de la opcin put es la media de estos valores. Esto se puedehacer para opciones put con diferentes precios de ejercicio. El resultado semuestra en el grfico 12. Se supone que el S&P empieza en 1.000 de talmanera que una opcin establecida con un precio de ejercicio de 990 prote-ger ese valor por diez das. Esta opcin put debera venderse por 11 dlares.El proteger la cartera en su valor actual costara 15 dlares y asegurarse deque valiese al menos 1.010 nos costara 21 dlares. El VaR calculado en la sec-cin anterior costaba 65 dlares para un horizonte de 10 das. Proteger la car-tera en este nivel costara unos 2 dlares. Estos precios put tienen la formaesperada; son montonos crecientes y convexos.

    Grfico 12PRECIOS DE OPCIONES PUT OBTENIDOS CON LA SIMULACIN

    GARCH60

    50

    40

    30

    20

    10

    0

    PUT

    920 960 1.000 1.040 1.080

    K

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    Grfico 13VOLATILIDADES IMPLCITAS OBTENIDAS CON LA SIMULACIN

    GARCH

    Sin embargo, estos precios son claramente diferentes de los genera-dos por el modelo Black-Scholes. Esto se puede ver fcilmente calculan-do la volatilidad implcita en cada una de estas opciones put. Se puede verel resultado en el grfico 13. Las volatilidades implcitas son superiorespara las opciones put fuera del dinero (out-of-the money) que para lasopciones put cuyo precio de ejercicio coincide con el precio del subya-cente (en el dinero, at-the-money) y las volatilidades de las opciones putdentro del dinero (in-the-money) son incluso inferiores. Si los precios delas opciones put los generase el modelo Black-Scholes, estas volatilida-des implcitas seran todas iguales. Este grfico de las volatilidades impl-citas en funcin del precio de ejercicio es una herramienta muy utilizadapor los que negocian opciones. La curva decreciente recibe el nombre deasimetra de volatilidad (volatility skew) y corresponde a una distri-bucin asimtrica de los activos subyacentes. Esta caracterstica se mani-fiesta de una forma muy pronunciada en las opciones sobre ndices, notanto en las opciones sobre acciones individuales, y prcticamente no seda cuando se trata de divisas, en cuyo caso se habla de sonrisa de vola-

    0,168

    0,164

    0,160

    0,156

    0,152

    0,148

    0,144

    PU

    TIM

    P

    920 960 1.000 1.080

    K

    1.040

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    tilidad (smile). Es evidente que se trata de una consecuencia del mode-lo de volatilidad asimtrica y, por lo mismo, no se encuentra asimetra enel caso de las divisas, y esta asimetra es ms dbil cuando se trata deopciones sobre acciones individuales que cuando son sobre ndices.

    Esta caracterstica de los precios de las opciones constituye una con-firmacin contundente de los modelos de volatilidad asimtrica. Desgra-ciadamente, la historia es algo ms compleja que esto. La verdadera asi-metra de las opciones es, por lo general, algo ms fuerte que la que gene-ran los modelos asimtricos ARCH. Esto pone en tela de juicio laneutralizacin del riesgo adoptada en la simulacin. Existen cada vez mspruebas de que los inversores estn particularmente preocupados por lasgrandes prdidas y estn dispuestos a pagar primas extra para evitardichas prdidas. Esto hace que la asimetra sea an mayor. La neutraliza-cin del riesgo requerida la han estudiado diferentes autores, como JensC. Jackwerth (2000), Joshua V. Rosenberg y Engle (2002) y David S. Bates(2003).

    8. NUEVAS FRONTERAS

    Desde que se public el artculo del ARCH, han pasado ya ms de 20aos. Los desarrollos y aplicaciones que se han llevado a cabo han idomucho ms all de las previsiones ms optimistas. Pero, qu podemosesperar en el futuro? Cules sern las prximas fronteras?

    Parece haber dos fronteras importantes para la investigacin, queestn mereciendo la atencin de varios investigadores y que son muyprometedoras respecto a las aplicaciones. Se trata de los modelos devolatilidad de alta frecuencia y de los modelos multivariantes de grandimensin. Har una descripcin breve de algunos de los desarrollos pro-metedores en estos campos.

    Es probable que fuese Merton el primero en destacar los beneficios delos datos de alta frecuencia para el clculo de la volatilidad. Examinandoel comportamiento de los precios de las acciones en una escala de tiem-po cada vez ms reducida, se pueden conseguir medidas de la volatilidadcada vez mejores. Esto resulta muy til si la volatilidad cambia slo len-tamente, de tal manera que se puedan ignorar las consideraciones din-micas. Andersen y Bollerslev (1998a) destacaron que los datos intra-dia-rios podan emplearse para medir la validez de los modelos de volatilidaddiaria. Andersen et al. (2003) y Engle (2002b) sugieren cmo se puedenemplear los datos intra-diarios para formar mejores predicciones de lavolatilidad diaria.

    Sin embargo, la pregunta ms interesante es cmo usar los datos dealta frecuencia para obtener predicciones de volatilidad de alta frecuencia.Al emplear observaciones de frecuencia cada vez ms elevada, hay apa-rentemente un lmite dado por el periodo en el que se observa y seemplea cada transaccin. Engle (2000) denomina a estos datos con elrtulo de datos de frecuencia ultra-alta (ultra high frecuency data).

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    Estas transacciones ocurren a intervalos irregulares y no en momentosequidistantes en el tiempo. En principio, se podra disear un estimadorde la volatilidad que actualizase la volatilidad cada vez que se registraseuna operacin. Sin embargo, incluso la ausencia de operacin podra serinformacin til para la actualizacin de la volatilidad, as que se podranhacer actualizaciones incluso ms frecuentes. Dado que el momento enque llega una operacin es aleatorio, la formulacin de modelos de vola-tilidad de frecuencia ultra alta requiere un modelo del proceso de llegadade las operaciones. Engle y Jeffrey R. Russell (1998) proponen para ello elmodelo autorregresivo de duracin condicionada o modelo ACD (Autore-gressive Conditional Duration). Es un modelo muy parecido a los mode-los ARCH diseados para detectar el agrupamiento de operaciones o deotros acontecimientos econmicos, que utiliza esta informacin para pre-decir la probabilidad de llegada del siguiente acontecimiento.

    Muchos investigadores que realizan trabajos empricos en microestructura de mercados estn estudiando ahora aspectos de los mercadosfinancieros que tienen relevancia para este problema. Resulta que cuan-do las operaciones se aglutinan la volatilidad es ms alta. Las operacio-nes en s conllevan informacin que har que se muevan los precios. Uncomprador de talla media o grande har que suban los precios, por lomenos en parte, porque los agentes del mercado pueden considerar quepodra tener informacin importante que indique que la accin est sub-valorada. Este efecto recibe el nombre de impacto del precio y es un com-ponente central de riesgo de liquidez y una caracterstica clave de volati-lidad para datos de frecuencia ultra-alta. Tambin constituye un elementode preocupacin clave para los operadores que no quieren operar sisaben que tendrn un impacto grande sobre los precios, especialmente sise trata slo de un impacto temporal. A medida que los mercados finan-cieros se informatizan, la velocidad y frecuencia de las operacionesaumenta. Los mtodos de utilizacin de esta informacin, para lograr unamejor comprensin de los fenmenos de volatilidad y de estabilidad deestos mercados, sern cada vez ms importantes.

    La otra frontera que promete, a mi parecer, grandes desarrollos yaplicaciones es la de los sistemas de gran dimensin. En esta presenta-cin me he centrado en la volatilidad de un nico activo. Para la mayorade las aplicaciones financieras hay miles de activos. Por tanto, necesita-mos no slo modelos de sus volatilidades sino tambin de sus correla-ciones. Desde que se public el modelo ARCH original se han propuestomuchos enfoques para sistemas multivariantes. Sin embargo, no se hadescubierto todava la mejor forma de hacerlo. Al aumentar el nmero deactivos, se vuelve extremadamente difcil estimar los modelos y especi-ficarlos de forma precisa. Bsicamente, existen demasiadas posibilida-des. Hay pocas publicaciones con ejemplos de modelos con ms decinco activos. El modelo de mayor xito para estos casos es el modelo decorrelacin condicionada constante o CCC (Constant Conditional Corre-lation) de Bollerslev (1990). Este estimador logra sus resultados estable-ciendo el supuesto de que las correlaciones condicionadas son constan-tes. Esto permite que las varianzas y covarianzas cambien sin que lohagan las correlaciones.

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    El modelo de correlacin condicionado dinmico, DDC (DynamicConditional Correlation), de Engle (2002a), constituye una generalizacinde este enfoque. Este modelo introduce un nmero reducido de parme-tros para modelar las correlaciones, independientemente del nmero deactivos. Las volatilidades estn modeladas con especificaciones univa-riantes. De esta manera, se pueden predecir grandes matrices de cova-rianzas. El investigador empieza por estimar las volatilidades una poruna, y estima despus las correlaciones conjuntamente con una cantidadreducida de parmetros adicionales. La investigacin preliminar sobreeste tipo de modelos resulta prometedora. Se han modelado sistemas dehasta 100 activos obteniendo buenos resultados. Las aplicaciones para lagestin del riesgo y la asignacin de activos son inmediatas. Muchosinvestigadores estn desarrollando ya modelos relacionados con stosque podran dar incluso mejores resultados. No es descabellado pensarque en los prximos aos contaremos con un conjunto de mtodos ti-les para modelar las volatilidades y las correlaciones de grandes siste-mas de activos.

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    ABSTRACT

    Optimal behaviour takes risks that are worthwhile. This is the cen-tral paradigm of finance; we must take risks to achieve rewardsbut not all risks are equally rewarded. Both the risks and therewards are in the future, so it is the expectation of loss that isbalanced against the expectation of reward. Thus we optimize ourbehaviour, and in particular our portfolio, to maximize rewardsand minimize risks. When practitioners implemented their finan-cial strategies, they required estimates of the variances. Typicallythe square root of the variance, called the volatility, was reported.They immediately recognized that the volatilities were changingover time. They found different answers for different time periods.A simple approach, sometimes called historical volatility, was,and remains, widely used. In this method, the volatility is estima-ted by the sample standard deviation of returns over a shortperiod. But, what is the right period to use? If it is too long, thenit will not be so relevant for today and if it is too short, it will bevery noisy. Furthermore, it is really the volatility over a futureperiod that should be considered the risk, hence a forecast of vola-tility is need as well as a measure for today. Historical volatilityhad no solution for these problems. On a more fundamental level,it is logically inconsistent to assume, for example, that the varian-ce is constant for a period such as one year ending today and alsothat it is constant for the year ending on the previous day but witha different value. A theory of dynamic volatilities is needed; this isthe role that is filled by the ARCH models and their many exten-sions that we discuss today. I will describe the genesis of theARCH model, and then discuss some of its many generalizationsand widespread empirical support. In subsequent sections, I willshow how this dynamic model can be used to forecast volatilityand risk over a long horizon and how it can be used to valueoptions.

    Key words: Nobel lecture, risk, volatility, ARCH Model, GARCHmodel, financial volatility, financial practice, value at risk, valuingoptions.

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