Algintercap 6_expresiones Racionesles y Ecuaciones

366

Captulo 6

Expresiones racionales y ecuaciones

6.1 Simplificacin de expresiones racionales

6.2 Multiplicacin y divisin deexpresiones racionales

6.3 Suma y resta de expresiones racionales con denominador comn y determinacin del mnimocomn denominador

6.4 Suma y resta de expresiones racionales

6.5 Fracciones complejas

6.6 Solucin de ecuaciones racionales

6.7 Ecuaciones racionales:aplicaciones y solucin deproblemas

6.8 Variacin

Resumen del captuloEjercicios de repaso del

captuloExamen de prctica del

captuloExamen de repaso

acumulativo

L os avances tecnolgicos en la transportacin durante los ltimos 50 aos han cambia-do la forma de viajar de las personas, y han reducido de manera significativa la duracinde los viajes. En Japn, los usuarios del tren se han beneficiado del comit para trenes de al-ta velocidad del pas. En el ejercicio 24 de la pgina 424, utilizamos una ecuacin racional pa-ra determinar la distancia entre dos ciudades comparando el tiempo que hace un viajero enlos nuevos trenes bala de Japn, con el tiempo que habra hecho en uno de los viejos trenes.

Seccin 6.1 Simplificacin de expresiones racionales 367

Avance de la leccin uando estudi las fracciones,en aritmtica, trabaj con nmeros racionales.Aho-ra ampliar sus conocimientos incluyendo las fracciones que contienen variables

y que se conocen como expresiones racionales.En las secciones 6.1 a 6.5 emplear losmismos procedimientos bsicos que utiliz para simplificar (o reducir), sumar, restar,multiplicar y dividir fracciones aritmticas,esta vez para las expresiones racionales.Esconveniente que revise la seccin 1.3, ya que el material presentado en este captulose examinar a partir de los procedimientos que se presentaron all.

Muchos problemas de la vida real incluyen ecuaciones que tienen expresio-nes racionales, a las cuales se les denomina ecuaciones racionales. En la seccin 6.6resolveremos ecuaciones, y en las secciones 6.6 a 6.8 veremos aplicaciones reales deecuaciones racionales, incluyendo el uso de algunas frmulas comunes.

Para tener xito en este captulo necesita comprender completamente la facto-rizacin, la cual se present en el captulo 5. Las secciones 5.3 y 5.4 son especial-mente importantes..

C

6.1 SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES RACIONALES

1 Determinar los valores para los que est definida una expresin racional.

2 Entender los tres signos de una fraccin.

3 Simplificar expresiones racionales.

4 Factorizar un 1 negativo en un polinomio.

1 Determinar los valores para los que est definida una expresin racional

Iniciamos este captulo definiendo una expresin racional.

Una expresin racional es una expresin de la forma donde p y q son polinomios y

Ejemplos de expresiones racionales

El denominador de una expresin racional no puede ser igual a 0, ya que la

divisin entre 0 no est definida. En la expresin el valor de x no puede ser

0, ya que el denominador tendra un valor 0. Decimos que la expresin est

definida para todos los nmeros reales excepto 0. No est definida cuando x es 0.

En el valor de x no puede ser 3, ya que el denominador tendra un valor

0. Qu valores de x no pueden utilizarse en la expresin Si respondi 2

y 2, contest correctamente. Siempre que tengamos una expresin racional conuna variable en el denominador, supondremos hemos excluido el valor o valores de la variable que hacen al denominador igual a cero.

Un mtodo para determinar el valor o los valores de la variable que se ex-cluyen consiste en igualar el denominador y despus despejar a la variable de laecuacin resultante.

EJEMPLO 1 Determinemos el valor o los valores de la variable para los que est definida la expresin racional. a) b) c)

x + 3x2 + 6x - 7

x + 12x - 7

1x - 4

x

x2 - 4 ?

x2 + 4xx - 3

,

x + 3x

x + 3x

,

45

, x - 6

x,

x2 + 2xx - 3

, a

a2 - 4

q Z 0.p>q,

368 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones

Solucin a) Necesitamos determinar el valor o los valores de x que hacen a x 4 igual a 0y excluirlos.Analizando el denominador podemos ver que cuando x 4, el deno-minador es 4 4 o 0. As, no tomamos en cuenta a x 4 cuando consideremos la

expresin racional Esta expresin est definida para todos los nmeros

reales, excepto 4. En ocasiones simplificamos nuestra respuesta y escribimosb) Necesitamos determinar el valor o los valores de x que hacen a 2x 7 igual a0 y excluir estos valores. Podemos hacer esto, haciendo 2x 7 igual a 0 y despejara x en esta ecuacin.

Por tanto, no tomamos en cuenta cuando consideremos a la expresin ra-

cional Esta expresin est definida para todos los nmeros reales excepto

En ocasiones abreviamos nuestra respuesta y escribimos

c) Para determinar el valor o los valores que se excluyen, hacemos al denomina-dor igual a cero y resolvemos la ecuacin.

Por tanto, no tomamos en cuenta los valores x 7 o x 1 cuando consideremos

la expresin racional Tanto x 7 como x 1 hacen que el deno-

minador sea igual a cero. Esta expresin est definida para todos los nmeros rea-les, excepto x 7 y x 1. Por tanto, y

2 Entender los tres signos de una fraccin

Toda fraccin tiene asociados tres signos: el del numerador, el del denominador yel de la propia fraccin.

Siempre que omita cualquiera de los signos, supondremos que es positivo. Porejemplo,

a

b

-ab

- a

b

significa

significa

significa

+ +a+b

+ -a+b

- +a+b

Signo del numerador

Signo de la fraccin

Signo del denominador

+ -a+b

x Z 1.x Z -7

x + 3x2 + 6x + 7

.

x = -7 x = 1 x + 7 = 0 o bien x - 1 = 0

1x + 721x - 12 = 0 x2 + 6x - 7 = 0

x Z72

.x =72

.

x + 12x - 7

.

x =72

x =72

2x = 7 2x - 7 = 0

x Z 4.

1x - 4

.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15


Al cambiar dos de los tres signos de una fraccin no se cambia el valor de la fraccin.As,

Por lo general, no escribimos una fraccin con un denominador negativo.

Por ejemplo, la expresin se escribira como o como La expresin

puede escribirse ya que (4 x) 4 x o x 4.

3 Simplificar expresiones racionales

Una expresin racional est simplificada o reducida a su mnima expresin cuan-do el numerador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1. Lafraccin no est simplificada, ya que 9 y 12 tienen como factor comn el nme-ro 3. Cuando se factoriza el nmero 3, la fraccin simplificada es

La expresin racional no est simplificada, ya que el numerador y

el denominador tienen el factor comn b. Para simplificar esta expresin, factori-ce b en cada trmino del numerador; luego divida entre b.

As, se convierte en cuando se simplifica.

Para simplificar expresiones racionales

1. Factorice el numerador y el denominador tanto como sea posible.

2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes.

EJEMPLO 2 Simplifique

Solucin Factorice el mximo factor comn, 5x, de cada trmino en el numerador. Como 5xes un factor comn tanto del numerador como del denominador, divida entre l.

5x3 + 10x2 - 25x

10x2=

5x 1x2 + 2x - 52 5x # 2x =

x2 + 2x - 52x

5x3 + 10x2 - 25x10x2

.

a - b2

ab - b2

2b

ab - b2

2b=

b 1a - b22 b

=a - b

2

ab - b2

2b

912

= 3 1 # 3

3 1

# 4 =34

34 .

912

x

x - 4x

-14 - x2-

25

.-25

2-5

-ab

= - a

b=

a

-b



SUGERENCIA En el ejemplo 2, estamos simplificando un polinomio dividido entre un monomio usan-do factorizacin. En la seccin 4.6 dividimos polinomios entre monomios escribiendocada trmino en el numerador entre la expresin en el denominador. Por ejemplo,

La respuesta anterior, es equivalente a la obtenida al factorizar en

el ejemplo 2, como se muestra a continuacin.

Escriba cada trmino con el mcd 2x.

Cuando se pidi simplificar una expresin factorizamos los numeradores y los deno-minadores, tanto como sea posible, luego dividimos entre los factores comunes. Esteproceso se ilustr en el ejemplo 2 y se mostrar en los ejemplos 3 a 5.


Solucin Factorice el numerador; luego divida entre el factor comn.


Solucin Factorice el numerador; luego divida entre los factores comunes.

EJEMPLO 5 Simplifique .

Solucin Factorice el numerador; y el denominador; luego divida entre los factores comunes.

Observe que no puede simplificarse ms. 3x + 2x + 7

3x2 - 10x - 8x2 + 3x - 28

=13x + 22 1x - 42 1x + 72 1x - 42 =

3x + 2x + 7

.

3x2 - 10x - 8x2 + 3x - 28

r2 - 25r - 5

=1r + 52 1r - 52

r - 5 = r + 5

r2 - 25r - 5

.

x2 + 2x - 3x + 3

= 1x + 32 1x - 12

x + 3 = x - 1

x2 + 2x - 3x + 3

.

=x2 + 2x - 5

2x

=x2

2x+

2x2x

-5

2x

= x

x# x2

+

2x2x

-5

2x

x

2+ 1 -

52x

x2 + 2x - 52x

,

x

2+ 1 -

52x

,

=x

2+ 1 -

52x

5x3 + 10x2 - 25x

10x2=

5x3

10x2+

10x2

10x2-

25x10x2



Recuerde: al dividir expresiones slo se pueden eliminar factores comunes.

CORRECTO INCORRECTO

En el denominador del ejemplo a la izquierda, 4x, el 4 y la x son factores, ya que estnmultiplicndose. El 4 y la x tambin son factores del numerador 20x2, que puede escri-birse como 4 x 5x.

Algunos estudiantes dividen trminos de manera incorrecta. En la expresin

la x y 4 son trminos del denominador, no son factores, y por tanto no pue-

den dividirse.

4 Factorizar un 1 negativo en un polinomio

Recuerde que al factorizar 1 de un polinomio, cambia el signo de cada trminode ste.

Ejemplos

Siempre que los trminos del numerador y del denominador difieran slo porsus signos (uno es el opuesto o inverso aditivo del otro), podemos factorizar 1en el numerador o en el denominador (no en ambos) y luego dividir entre el fac-tor comn. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 6.


Solucin Como cada trmino en el numerador slo difiere en el signo de su trmino seme-jante en el denominador, factorizaremos 1 en cada trmino del denominador.

SUGERENCIAEn el ejemplo 6 determinamos que Observe que el numerador, 3x 7,

y el denominador, 7 3x, son opuestos ya que slo difieren en el signo. Esto es,

Siempre que tengamos el cociente de dos expresiones que son opuestas, como

el cociente puede remplazarse por 1.a - bb - a

, a Z b,

3x - 77 - 3x

=3x - 7

-13x - 72 = -1

3x - 77 - 3x

= -1.

= -1

= 3x - 7

- 13x - 72

3x - 77 - 3x

=3x - 7

-11-7 + 3x2

3x - 77 - 3x

.

-2x2 + 3x - 4 = -112x2 - 3x + 42 = -12x2 - 3x + 42 5 - 2x = -11-5 + 2x2 = -12x - 52

-3x + 7 = -113x - 72 = -13x - 72

x2 - 20x - 4

,

##

x2 x

- 20 5

x 1

- 4 1

20 5

x2 x

4 1

x 1

= 5x

CMO EVITAR ERRORES COMUNES

7. 7. and 8. The denominator cannot be 0. 8.x + 3x2 + 4

x - 6x2 + 2


En el ejemplo 7 utilizaremos la Sugerencia dada en la pgina anterior.


SolucinLos trminos en n 6 slodifieren en el signo de los tr-minos en 6 n.

Remplace con 1.

Observe que tambin es una respuesta aceptable. -4n - 1 = -14n + 12

n - 66 - n

= 14n + 12 1-12

4n2 - 23n - 6

6 - n=14n + 12 1n - 62

6 - n

4n2 - 23n - 66 - n

.


Conjunto de ejercicios 6.1

Ejercicios conceptuales

1. a) Con sus propias palabras defina una expresin racional.

b) Proporcione tres ejemplos de expresiones racionales.

2. Explique cmo determinar el valor o los valores de la va-riable que hacen que una expresin racional no est defi-nida.

3. En cualquier expresin racional con una variable en el de-nominador, qu es lo que siempre suponemos acerca dela variable?

4. Con sus propias palabras, explique cmo simplificar unaexpresin racional.

Explique por qu las siguientes expresiones no pueden simplificarse.

5. 6.5x + 4y

12xy5. and 6. There is no factor common to both thenumerator and the denominator.

2 + 3x4

Explique por qu x puede representar cualquier nmero real en las siguientes expresiones.

En los ejercicios 9 y 10, determine los valores (si los hay), que x no puede representar. Explique.

9. 10.

11. La expresin es igual a 1? Explique. no 12. La expresin es igual a 1? Explique.- 3x + 2

-3x - 2-

x + 55 - x

x Z 4x

1x - 422x Z 2x + 3x - 2

Prctica de habilidades

Determine el valor o valores de la variable en donde cada expresin est definida.

13. all real numbers except 14. all real numbers except


17. all real numbers except 18. all real numbers except x = -5, x = 17

x2 + 4x - 5x = 2, x = -2

x + 4x2 - 4

x =32

52x - 3n = 3

74n - 12

r = -43

r + 4x = 0x - 3

x


Simplifique las expresiones racionales siguientes que tienen un monomio dividido entre otro monomio. Este material se es-tudi en las secciones 4.1 y 4.2, y le ayudarn a prepararse para la siguiente seccin.

25. 26. 27. 28.14r2 s32213r4 s23

4

b512a4 b5232a12 b20

4

5xy324x3 y2

30x4 y5x

3y47x3 y

21x2 y5

Simplifique

29. 30. 31. 5

32. 33. 34.

35. 36. 37.

38. 39. 40.

41. 42. 43.

44. 45. 46.

47. 48. 49.

50. 51. 52.

53. 54. 55.

56. 57. 58.

59. 60. 61.

62. 63. 64.

65. 66.31k - r2k + 2r

3k2 + 6kr - 9r2

k2 + 5kr + 6r22

x - y4x + 6y

2x2 + xy - 3y2

1a - 4b

a + 4ba2 - 16b2

3s + 4t9s2 - 16t2

3s - 4tx2 + 5x + 25

x + 5x3 - 125x2 - 25

a2 + 2a + 4a3 - 8a - 2x + 1

x3 + 1x2 - x + 1

x - 4x + 4

2x2 - 8x + 3x - 122x2 + 8x + 3x + 12

x - 22x + 3

x2 - 2x + 4x - 82x2 + 3x + 8x + 12

x + 4x2 - 3x + 4x - 12

x - 33t - 56t2 - 7t - 5

2t + 1

2x - 36x2 - 13x + 6

3x - 24x + 316x2 + 24x + 9

4x + 3x - 5x + 5

x2 - 251x + 522

2x - 5x - 3

2x2 - 11x + 151x - 322

14m - 5

m - 24m2 - 13m + 10

x + 5x + 2

x2 - 25x2 - 3x - 10

-1x + 322x2 + 5x - 31 - 2x3p + 2

3p2 - 13p - 10p - 5-

x + 62x

x2 + 3x - 18-2x2 + 6x

- 1

s - 57 - s

s2 - 12s + 35-1x + 22x

2 - 2x - 84 - x-2

8a - 63 - 4a

-12x - 33 - 2x

2x + 4x - 3

4x2 - 12x - 402x2 - 16x + 30

x + 1x + 2

x2 - 2x - 3x2 - x - 6

z - 5z + 5

z2 - 10z + 25z2 - 25

k - 3k + 3

k2 - 6k + 9k2 - 9

x + 63

x2 + 3x - 183x - 9

x

x + 2x2 + 2x

x2 + 4x + 41

b - 6b - 2

b2 - 8b + 12r - 2

r2 - r - 2r + 1

x2 y - 2x + 3x2 y2 - 2xy + 3y

yx2 + 6x + 3

2

x3 + 6x2 + 3x2x

x + 2x + 3

3x2 + 6x3x2 + 9x

5x + 15x + 3

x

x + 33x

3x + 91

1 + yx

x + xy

19. all real numbers except 20.

21. all real numbers 22.

23. all real numbers except 24.3

9r2 - 16p =

52

, p = - 52

p + 44p2 - 25

69 + x2

x

x2 + 16

x2 + 32x2 - 13x + 15

x =32

, x = 3x - 3

2x2 - 9x + 9

Solucin de problemas

Simplifique, si es posible, las siguientes expresiones. Trate el smbolo desconocido como si fuese una variable.

67. 68. 69.

70. 71. 72.1 - 322

2 - 6 + 9-1

3 - 22 - 3

+ 2

2 + 22 + 4 + 4

2 + 3

714 + 21

11 + 7

+ 72

4

3

12

Actividad en grupo

73. 74.2x2 + 11x + 12

= x + 4x + 2x2 - x - 6

= x - 3


Determine el denominador que hace verdadera cada proposicin. Explique cmo obtuvo su respuesta.

Determine el numerador que hace verdadera cada proposicin. Explique cmo obtuvo su respuesta.

75. 76.

x - 5= 2x - 1x2 + 7x + 12

x + 4= x + 3

Problemas de reto

En los ejercicios 77 al 79, a) determine el valor o valores que x no puede representar. b) Simplifique la expresin.

77. a) b) 78. a) b)

79. a) b)1

x12x - 32x Z 0, x Z -5, x Z32

x + 52x3 + 7x2 - 15x

12x - 5

x Z 4, x Z52

x - 42x2 - 5x - 8x + 20

1x - 2

x Z -3, x Z 2x + 3

x2 - 2x + 3x - 6

Simplifique. Explique cmo determin su respuesta.

80. 81. 1 82. -115 x

5 - 23 x423 x

4 - 15 x5

15 x

5 - 23 x415 x

5 - 23 x415

x -23

15 x

5 - 23 x4

x4

En grupo, analice y responda el ejercicio 83.

e) Miembro 3 del grupo: sustituya 2 en la expresin ori-ginal y en la expresin simplificada en la parte b). Com-pare sus respuestas.

f) Como grupo, analicen los resultados del trabajo de laspartes c) a e).

g) Ahora, en grupo, sustituyan 5 en la expresin originaly en la expresin simplificada.Analicen sus resultados.

h) La expresin siempre es igual a su

forma simplificada, para cualquier valor de x? Expli-que su respuesta.

x2 - 25x3 + 2x2 - 15x

83. a) Como grupo, determinen los valores de la variable en

donde la expresin no est definida.

b) Como grupo, simplifiquen la expresin racional.

c) Miembro 1 del grupo: sustituya 6 en la expresin origi-nal y evale.

d) Miembro 2 del grupo: sustituya 6 en la expresin sim-plificada de la parte b) y compare su resultado con eldel miembro 1 del grupo.

11198 =

118

x2 - 25x3 + 2x2 - 15x

Ejercicios de repaso acumulativo

[3.1] 84. Despeje y de la frmula .

[3.4] 85. Tringulo Determine las medidas de los tres ladosde un tringulo, si un ngulo es 30 mayor que elngulo ms pequeo, y el tercer ngulo es 10 ma-yor que 3 veces el ngulo ms pequeo.

[4.1] 86. Simplifique

[4.4] 87. Reste6x2 - 10x - 17

3x2 - 4x - 8 - 1-3x2 + 6x + 92.

16

81x4 y24x2 y2

9x4 y3 2.

y = x - 2zz =x - y

2[5.3] 88. Factorice completamente .

[5.7] 89. Determine la longitud de la hipotenusa del trin-gulo rectngulo.

12 pulg.

5 pulg.

3a2 - 30a + 72

Seccin 6.2 Multiplicacin y divisin de expresiones racionales 375

6.2 MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE EXPRESIONES RACIONALES

1 Multiplicacin de expresiones racionales.

2 Divisin de expresiones racionales.

1 Multiplicacin de expresiones racionales

En la seccin 1.3 revisamos la multiplicacin de fracciones numricas. Recuerdeque para multiplicar dos fracciones debemos multiplicar tanto sus numeradores co-mo sus denominadores.

Para multiplicar dos fracciones

EJEMPLO 1 Multiplique

Solucin Primero divida entre los factores comunes; luego multiplique.

El mismo principio se aplica cuando multiplicamos expresiones racionales

que tienen variables.Antes de multiplicar, primero debemos dividir entre los fac-tores comunes del numerador y el denominador.

Para multiplicar expresiones racionales

1. Factorice por completo todos los numeradores y los denominadores.

2. Divida entre los factores comunes.

3. Multiplique los numeradores por los numeradores y los denominadores por losdenominadores.


Solucin Este problema puede representarse como

Ahora multiplique entre s los numeradores que quedan; haga lo mismo con los de-nominadores.

2xy2

1 o bien 2xy2

Divida el 4 y el 2 entre 2 y divida las y.

3 1

x 1

x

2 1

y 1

# 4 2

y 1

yy

3 1

x 1

Divida entre los 3 y entre las x. 3 1

x 1

x

2y# 4yyy

3 1

x 1

3xx2y

# 4yyy3x

3x2

2y# 4y3

3x.

3 1

5# -2

9 3

=1 # 1-22

5 # 3 = - 215

a35b a -2

9b .

a

b# cd

=a # cb # d , b Z 0 y d Z 0



En lugar de ilustrar completamente este proceso cuando se multiplican ex-presiones racionales, con frecuencia procedemos como sigue:


Solucin En el ejemplo 3, cuando se dividi y2 en el numerador y el denominador no

colocamos un 1 arriba y abajo de los factores de y2. Cuando se factoriza en el de-nominador y en el numerador un factor, por lo comn no se muestran los unos.


Solucin


Solucin

En el ejemplo 5 podramos haber multiplicado los factores en el denominador

para obtener sta es tambin una respuesta correcta. En esta seccin

dejaremos las respuestas racionales con el numerador como un polinomio (en for-ma no factorizada) y los denominadores en forma factorizada, como se dio en elejemplo 5. Esto es consistente con la forma como dejaremos respuestas raciona-les cuando sumemos y restemos expresiones racionales en secciones posteriores.


Solucin

Este problema an no est completo. En la seccin 6.1 mostramos que 4 a es1(4 a) o bien 1(a 4). Por tanto,

21a - 42

4 - a=

2 1a - 42 -1 1a - 42 = -2

a - 4 3 1

a # 6

2 a

4 - a=

21a - 424 - a

.

a - 43a

# 6a4 - a

.

x + 22x2 - 4x

.

= 1x + 22 1x + 22

6 2

x2 x

# 3 1

x 1

1x + 22 1x - 22 =x + 2

2x1x - 22

1x + 222

6x2# 3xx2 - 4

=1x + 221x + 22

6x2# 3x1x + 221x - 22

1x + 2226x2

# 3xx2 - 4

.

1x - 62 # 5x3 - 6x2

= x - 6

1# 5x2 1x - 62 =

5x2

1x - 62 # 5x3 - 6x2

.

- 3 y2

2 x3 x

# 5 x2 7 y2

= - 15

14x

- 3y2

2x3# 5x27y2

.

= 3 1

x2 x

2 1

y 1

# 4 2

y3 y2

3 1

x 1

= 2xy2

3x2

2y# 4y3

3x




SUGERENCIA Cuando en un problema de multiplicacin, un numerador y un denominador slo difie-ren en el signo, factorice 1 de cualquiera de ellos, y luego divida entre el factor comn.


Solucin Factorizar.

Dividir entre los factores comunes.

Observe que el factor (1 2x) en el numerador de la segunda fraccin slo difie-re en signo de 2x 1, el denominador de la primera fraccin. Por tanto; factoriza-mos 1 de cada trmino de (1 2x) en el numerador de la segunda fraccin.

Factorizar 1 del segundo numerador.

Dividir entre los factores comunes.


Solucin Factorizamos completamente los numeradores y denominadores, y luego dividimosentre los factores comunes.


Solucin

=-21x - 62

9y=

-2x + 129y

= 2 x 1x - 62 1x - 12

6 3

y2 y

# -2 y 3 x 1x - 12

=2x1x - 621x - 12

6y2# -2y3x1x - 12

2x3 - 14x2 + 12x

6y2# -2y3x2 - 3x

=2x1x2 - 7x + 62

6y2# -2y3x1x - 12

2x3 - 14x2 + 12x6y2

# -2y3x2 - 3x

.

= 12x - 32 1x + 42

12x - 32 13x - 12 # 13x - 12 1x + 12 1x + 12 1x + 42 = 1

2x2 + 5x - 126x2 - 11x + 3

# 3x2 + 2x - 1x2 + 5x + 4

=12x - 321x + 4212x - 3213x - 12 #

13x - 121x + 121x + 121x + 42

2x2 + 5x - 126x2 - 11x + 3

# 3x2 + 2x - 1x2 + 5x + 4

.

=-41

= -4

= 3x + 2 2x - 1

# -4 12x - 12 3x + 2

= 3x + 2 2x - 1

# 41-1212x - 12 3x + 2

= 3x + 2 2x - 1

# 411 - 2x2 3x + 2

.

3x + 22x - 1

# 4 - 8x3x + 2

=3x + 22x - 1

# 411 - 2x23x + 2

3x + 22x - 1

# 4 - 8x3x + 2

.

a - bx

# y

b - a

= a - b

x# y

-1 1a - b2 = - y

x



Solucin

2 Divisin de expresiones racionales

En el captulo 1 aprendimos que para dividir una fraccin entre otra, invertimosel divisor y multiplicamos.

Para dividir dos fracciones

EJEMPLO 11 Divida a) b)

Solucin a) b) Para dividir expresiones racionales se utilizan los mismos principios.

Para dividir expresiones racionales

Obtenga el inverso del divisor (la segunda fraccin) y multiplique.

EJEMPLO 12 Divida

Solucin Obtenemos el inverso del divisor (la segunda fraccin), y luego multiplicamos.

EJEMPLO 13 Divida

Solucin

Factorizar y dividirentre los factores comunes.

=1x + 32 1x - 32

x + 4 # x + 4

x - 3 = x + 3

Obtener el inverso deldivisor y multiplicar.

x2 - 9x + 4

,x - 3x + 4

=x2 - 9x + 4

# x + 4x - 3

x2 - 9x + 4

,x - 3x + 4

.

8x3

z,

5z3

3=

8x3

z# 35z3

=24x3

5z4

8x3

z,

5z3

3.

34

,56

=3

4 2

# 6 3

5=

3 # 32 # 5 =

910

27

,57

=2

7 1

# 7 1

5=

2 # 11 # 5 =

25

34

,56

27

,57

a

b,

c

d=

a

b# d

c=

ad

bc, b Z 0, d Z 0, y c Z 0

=x + 2y2x + y

= 1x + y2 1x - y2

x + y # x + 2y12x + y2 1x - y2

x2 - y2

x + y# x + 2y2x2 - xy - y2

=1x + y21x - y2

x + y# x + 2y12x + y21x - y2

x2 - y2

x + y# x + 2y2x2 - xy - y2

.




EJEMPLO 14 Divida

Solucin

Factorizar 1, luego dividirentre los factores comunes.

EJEMPLO 15 Divida

Solucin (w 5)2 significa Factorizamos el numerador de la primera fraccin; lue-

go obtenemos el inverso del divisor y multiplicamos.

EJEMPLO 16 Divida

Solucin

=412x - 12

3=

8x - 43

=2 13x - 42 12x - 12

3 x # 2 x 1x + 22

13x - 42 1x + 22

=216x2 - 11x + 42

3x# 2x1x + 2213x - 421x + 22

12x2 - 22x + 8

3x,

3x2 + 2x - 82x2 + 4x

=12x2 - 22x + 8

3x# 2x2 + 4x3x2 + 2x - 8

12x2 - 22x + 83x

,3x2 + 2x - 8

2x2 + 4x.

=w - 6

w21w - 52

=1w - 62 1w - 52

w2# 1

1w - 52 1w - 52

w2 - 11w + 30

w2, 1w - 522 = w2 - 11w + 30

w2# 11w - 522

1w - 5221

.

w2 - 11w + 30w2

, 1w - 522.

=1-121-12112132 =

13

=-1

2x - 3 # -1 12x - 32

3

Obtener el inverso deldivisor y multiplicar.

-12x - 3

,3

3 - 2x=

-12x - 3

# 3 - 2x3

-12x - 3

,3

3 - 2x.




1. En sus palabras, explique cmo multiplicar expresionesracionales.

2. En sus palabras, explique cmo dividir expresiones racio-nales.

3. 4.

numerator must be numerator must be

5. 6.

denominator must be denominator must be 12x - 121x - 622x2 - 13x + 6;1x - 521x + 32x2 - 2x - 152x - 1x - 3

# x - 3

=1

x - 6x - 5x + 5

# x + 5

=1

x + 3

1x + 2212x - 322x2 + x - 6;1x - 421x + 22x2 - 2x - 8;x - 5x + 2

# x - 5

= 2x - 3x + 3x - 4

# x + 3

= x + 2

Qu polinomio debe colocarse en el rea sombreada de la segunda fraccin para hacer verdadera cada una de las proposi-ciones? Explique cmo determin su respuesta.



Multiplique.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15. 1

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.x + 3x - 3

x3 + 8x2 - x - 6

# x + 3x2 - 2x + 4

x + 3x + 3x - 3

# x3 - 27x2 + 3x + 9

2t2 - t - 62t2 - 3t - 2

# 2t2 - 5t - 32t2 + 11t + 12

x + 2x + 3

3x2 - 13x - 10x2 - 2x - 15

# x2 + x - 23x2 - x - 2

12

2x2 - 9x + 98x - 12

# 2xx2 - 3x

6x2 - 14x - 126x + 4

# x + 32x2 - 2x - 12

t - 63t

t2 - 36t2 + t - 30

# t - 53t

1

a2 - b2a

a2 - b2# a + ba2 + ab

b + 42

b2 + 7b + 122b

# b2 - 4bb2 - b - 12

x2 + 7x + 12x + 4

# 1x + 3-

3m2m + 5

m - 52m + 5

# 3m-m + 5

-3x + 23x + 2

3x - 23x + 2

# 4x - 11 - 4x

x + 3x + 4

x2 - 9x2 - 16

# x - 4x - 3

36x9 y2

25z76x5 y3

5z3# 6x45yz4

- 1

24m37n3

32m# -421m2 n3

80x4

y616x2

y4# 5x2

y23x2

y

15x3 y2

z# z5xy3

xy

8

5x4y

# y210

Divida.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 36.

37. 38. 39.

40. 41. 42.7n - 1n + 2

7n2 - 15n + 2n2 + n - 6

,n2 - 3n - 10n2 - 2n - 15

x + 1x - 4

5x2 - 4x - 15x2 + 6x + 1

,x2 - 5x + 4x2 + 2x + 1

6xy3 - 6y49x2 - 9y2

6x2 y2,

3x + 3y12x2 y5

-1x2 - y2

x2 - 2xy + y2,

x + yy - xax

2 + bx2a2 - b2

9,

3a - 3b27x2

x + 3x - 1

2x2 + 9x + 4x2 + 7x + 12

,2x2 - x - 11x + 322

a2 + 2a + 191a + b22

a - b9a + 9b

,a2 - b2

a2 + 2a + 1x2 - 12x + 32x2 - 6x - 16

,x2 - x - 12

x2 - 5x - 241

x2 + 7x - 18,

1x2 - 17x + 30

x + 7x2 + 5x - 14

x,

x - 2x

x

2y1x + 32x - 3

4y2,

x2 - 92xy

5r10r + 5

r,

2r + 1r2

z2

2y2xz ,

4xy

z5

6ab25xy

7ab2,

6xy

724

7xz

36y

7z2,

3xy

2z

9zx

15xy2

4z,

5x2 y2

12z236x3 y2

9x3

4,

116y2

3x2 y9x3

y2,

3xy3

Realice cada una de las operaciones que se indican.

43. 44. 45.

46. 47. 48.

49. 50. 51.12

13x + 52 # 16x + 10-

36z

y4-18x2 y

11z2# 22z3x2 y5

8mx7

3y2100m6

21x5 y7# 14x12 y5

25m5

9

5xy427x5y2

, 3x2 y23y2

a2-xy

a,

-2ax6y

- wy

3x

-2xwy5

,6x2

y6

7c

4ab263a2 b3

16c3# 4c49a3 b5

3x2 z2

8

5z3

8# 9x215z

4x2 y29x6y2

# 24x2 y49x

81. x2 - 5x + 6, x2 - x - 20

# x2 + 3x - 4x2 - 4x + 3

=x - 2x - 5


52. 5 53. 54.

55. 56. 57.

58. 59. 60.

61. 62. 63.

64. 65. 66.2z - 3z + 3

2z2 + 9z + 94z2 - 9

,1z + 32212z - 322

2n + 33n - 1

4n2 - 99n2 - 1

# 3n2 - 2n - 12n2 - 5n + 3

q2 - 11q + 302q2 - 7q - 15

,q2 - 2q - 24q2 - q - 20

x + 5x - 4

2x2 - 19x + 24x2 - 12x + 32

,2x2 + x - 6

x2 + 7x + 102w - 7w + 1

2w2 + 3w - 35w2 - 7w - 8

# w2 - 5w - 24w2 + 8w + 15

3z + 2z - 2

3z2 - 4z - 4z2 - 4

# 2z2 + 5z + 22z2 - 3z - 2

p - 3p

p2 - 5p + 6p2 - 10p + 16

,p2 + 2p

p2 - 6p - 16x - 4x - 3

x2 - 10x + 24x2 - 8x + 12

,x2 - 7x + 12x2 - 6x + 8

z + 2z + 4

z2 - z - 20z2 - 3z - 10

# 1z + 2221z + 422

r + 2r - 3

r2 + 5r + 6r2 + 9r + 18

# r2 + 4r - 12r2 - 5r + 6

9r3

2s83r5 s2

1r2 s323 #6r4

4s8

m4 n1114m22

8n3,

m6 n8

4

2x3 y5

9z2x2 y5

3z,

3z2x

7xy

14x2 y2

,1

28x3 y1

4x - 3# 120x - 152


Realice cada operacin que se indica. Trate a y como si fuesen variables.

67. 68.

69. 70.2 - 2

2 - 2 + 2,

+ -

+ 91 - 2

- 9 - 9

,2 - 2

2 + 2 + 2

- 2

2 + 5 - 6

2 + 5# 2

- + 61

6362

12# 12365

Para cada ecuacin, escriba un binomio o trinomio en el rea sombreada para hacer verdadera la proposicin. Expliquecmo determin su respuesta.

71. 72. 73.

74. 75. 76.

x2 + 3x - 10

x + 4x2 + 9x + 20

# x - 2

= 1x2 - 3x + 2

x2 - 4# x + 2x - 1

= 1x - 2

x2 - 7x + 10=

1x - 5

x2 - 3x - 10

x - 5= x + 2x2 - 9

x + 3

=1

x - 3x2 + 3x + 2

x + 2= x + 1

Problemas de reto

Simplifique.

77. 78.

79. 1 80.

1x + 1221x - 1221x + 224

x2 + 4x + 3x2 - 6x - 16

,x2 + 5x + 6x2 - 9x + 8

# x2 - 1x2 + 4x + 4

x2 + 4x + 3x2 - 6x - 16

, x2 + 5x + 6x2 - 9x + 8

# x2 - 1x2 + 4x + 4

x - 1x - 3

x2 - x - 62x2 - 9x + 9

,x2 + x - 12x2 + 3x - 4

# 2x2 - 5x + 3x2 + x - 2

x - 3x + 3

x + 2x2 - 4x - 12

# x2 - 9x + 18x - 2

, x2 + 5x + 6x2 - 4

Para los ejercicios 81 y 82, determine los polinomios que cuando son colocados en el rea sombreada hacen verdadera laproposicin. Explique cmo determin su respuesta.

82.

x2 + 2x - 3, x2 + 9x + 20

x2 + x - 2# x2 + 6x + 8

=x + 3x + 5


Actividad en grupo

83. Consideren los tres problemas siguientes:

(1)

(2)

(3)1x + 2221x - 323a

x + 2x - 3

b , x2 - 5x + 6x - 2

# ax + 2x - 3

b

1x + 2221x - 323x + 2x - 3 , x2 - 5x + 6x - 2 # ax + 2x - 3 b

1x - 3

ax + 2x - 3

b , x2 - 5x + 6x - 2

# x + 2x - 3

a) Sin resolverlo, en grupo decidan cules de ellos ten-

drn la misma respuesta.

b) De forma individual, simplifique cada uno de los tresproblemas

c) Compare sus respuestas de la parte b) con los otrosmiembros de su grupo. Si no obtuvo las mismas res-puestas, explique por qu.


[3.6] 84. Remolcador Un remolcador deja el puerto y viajaa un promedio de 15 millas por hora hacia un bar-co de fiestas para remolcarlo hacia el puerto. En elviaje de regreso, jalando el barco de fiestas, el re-molcador promedia 5 millas por hora. Si el viaje deregreso al muelle le tom 2 horas ms que el viajede ida, determine el tiempo que tard el remolcadoren llegar al barco de fiestas.

[4.5] 85. Multiplique

[4.6] 86. Divida

[5.4] 87. Factorice

[5.6] 88. Resuelva 5, -23x2 - 9x - 30 = 0.

31x - 521x + 223x2 - 9x - 30.

2x2 + x - 2 -2

2x - 14x3 - 5x2x - 1

.

20x4 y5 z1114x3 y2 z4215xy3 z72.

6.3 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES CON DENOMINADOR COMN Y DETERMINACIN DEL MNIMO COMN DENOMINADOR

1 Sumar y restar expresiones racionales con un denominadorcomn.

2 Determinar el mnimo comn denominador (mcd).

1 Sumar y restar expresiones racionales con un denominador comn

Recuerde que cuando sumamos (o restamos) dos fracciones aritmticas con undenominador comn, sumamos (o restamos) los numeradores y conservamos el de-nominador comn.

Para sumar o restar dos fracciones

a

c+

b

c=

a + bc

, c Z 0 a

c-

b

c=

a - bc

, c Z 0

Seccin 6.3 Suma y resta de expresiones racionales con denominador comn y... 383

EJEMPLO 1 a) Sume b) Reste

Solucin a) b)

En el ejemplo 1a) observe que no simplificamos a Las fracciones se dancon un denominador comn, 16. Si se simplificase a perderamos el denomi-nador comn que se necesita para sumar o restar fracciones.

Cuando sumamos o restamos expresiones racionales que tienen variables,se aplican los mismos principios.

Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador comn

1. Sume o reste los denominadores.

2. Coloque la suma o diferencia de los numeradores que determin en el paso 1 so-bre el denominador comn.

3. Si es posible, simplifique la fraccin.

EJEMPLO 2 Sume .

Solucin

EJEMPLO 3 Sume

Solucin

Ahora, de cada trmino en el numerador, factorice 2x y simplifique.

EJEMPLO 4 Sume x2 + 3x - 2

1x + 521x - 22 +4x + 12

1x + 521x - 22 .

= 2x 1x + 32

x + 3 = 2x

=2x2 + 6x

x + 3.

=2x2 + 5 + 6x - 5

x + 3

2x2 + 5x + 3

+6x - 5x + 3

=12x2 + 52 + 16x - 52

x + 3

2x2 + 5x + 3

+6x - 5x + 3

.

3x - 4

+x + 2x - 4

=3 + 1x + 22

x - 4=

x + 5x - 4

3x - 4

+x + 2x - 4

12 ,

816

12 .

816

59

-19

=5 - 1

9=

49

516

+8

16=

5 + 816

=1316

59

-19

.5

16+

816

.



Solucin

Cuando reste expresiones racionales, asegrese de restar el numerador com-

pleto de la fraccin que ser restada. Estudie detenidamente el siguiente recuadrode Cmo evitar errores comunes.

Considere la sustraccin

Muchas personas resuelven de forma incorrecta problemas de este tipo. Aqu estn lasformas correcta e incorrecta de resolver este problema.

CORRECTA INCORRECTA

Observe que todo el numerador de la segunda fraccin (y no slo el primer trmino) de-be restarse.Tambin note que cambiar el signo de cada trmino del numerador que serestar cuando se eliminan los parntesis.

EJEMPLO 5 Reste

Solucin

=2

x + 3

Factorizar, dividir entre elfactor comn.

=2 1x + 42

1x + 32 1x + 42

Reducir trminos semejantes. =

2x + 8x2 + 7x + 12

Eliminar parntesis. =

x2 - 2x + 3 - x2 + 4x + 5x2 + 7x + 12

Escribircomouna solafraccin.

x2 - 2x + 3x2 + 7x + 12

-x2 - 4x - 5

x2 + 7x + 12=1x2 - 2x + 32 - 1x2 - 4x - 52

x2 + 7x + 12

x2 - 2x + 3x2 + 7x + 12

-x2 - 4x - 5

x2 + 7x + 12.

=2x - 1x - 2

=4x - 2x - 1

x - 2

4xx - 2

-2x + 1x - 2

=4x - 2x + 1

x - 2

4xx - 2

-2x + 1x - 2

=4x - 12x + 12

x - 2

4xx - 2

-2x + 1x - 2


=x + 2x - 2

Factorizar, dividir entre elfactor comn.

= 1x + 52 1x + 22 1x + 52 1x - 22

Reducir trminos semejantes.

=x2 + 7x + 101x + 521x - 22

Quitar parntesis enel numerador.

=x2 + 3x - 2 + 4x + 121x + 521x - 22

Escribircomo unasola fraccin.

x2 + 3x - 21x + 521x - 22 +

4x + 121x + 521x - 22 =

1x2 + 3x - 22 + 14x + 1221x + 521x - 22


La variable que se utiliza cuando se trabaja con expresiones racionales es irre-levante. En el ejemplo 6, trabajamos con expresiones racionales con la variable r.

EJEMPLO 6 Reste .

Solucin Escribir como una solafraccin.

Eliminar parntesis.


Factorizar un 1.

2 Determinar el mnimo comn denominador (mcd)

Para sumar dos fracciones con denominadores diferentes, primero debemos obte-ner un denominador comn.Ahora explicamos cmo determinar el mnimo comndenominador (mcd) para expresiones racionales. Utilizaremos esta informacin enla seccin 6.4, cuando sumemos y restemos expresiones racionales.

EJEMPLO 7 Sume

Solucin El mnimo comn denominador (mcd) de las fracciones y es 21. Veintiuno esel nmero ms pequeo que es divisible entre ambos denominadores, 7 y 3. Escri-bimos nuevamente cada fraccin de modo que su denominador sea 21.

Para sumar o restar expresiones racionales, debemos escribir cada expresin

con un denominador comn.

Para determinar el mnimo comn denominador de expresiones racionales

1. Factorice completamente cada denominador. Cualesquiera factores que aparez-can ms de una vez deben expresarse como potencias. Por ejemplo, (x 3)(x 3)debe expresarse como (x 3)2.

2. Liste todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparezcan en cada uno delos denominadores. Cuando aparezca el mismo factor en ms de un denominador,escriba ese factor con la potencia ms alta con que aparezca.

3. El mnimo comn denominador es el producto de todos los factores que se lista-ron en el paso 2.

=1521

+1421

=2921

o bien 1 821

57

+23

= 33

# 57

+23

# 77

23

57

57

+23

.

= -14r - 32 o bien -4r + 3Factorizar, dividir entre el factor comn. =

-14r - 32 1r - 52 r - 5

=-14r2 - 23r + 152

r - 5

=-4r2 + 23r - 15

r - 5

=6r - 4r2 + 17r - 15

r - 5

6r

r - 5-

4r2 - 17r + 15r - 5

=6r - 14r2 - 17r + 152

r - 5

6rr - 5

-4r2 - 17r + 15

r - 5



EJEMPLO 8 Determine el mnimo comn denominador.

Solucin El nico factor (distinto de 1) del primer denominador es 3. El nico factor (dis-tinto de 1) del segundo denominador es y. Por tanto el mcd es

EJEMPLO 9 Determine el mcd.

Solucin Los factores que aparecen en los denominadores son 7 y x. Liste cada factor consu exponente ms grande. El mcd es el producto de estos factores


Solucin Escriba 18 y 27 como productos de factores primos: y 27 33. Si olvi-d cmo escribir un nmero como un producto de factores primos, lea ahora la sec-cin 5.1 o el apndice B.

Los factores que aparecen son 2, 3, x y y. Liste las potencias ms grandes de estosfactores.


Solucin Los factores en el denominador son x y x 3. Observe que x en el segundo deno-minador, x 3, es un trmino, no un factor.


Solucin Factorice ambos denominadores.

=7

3x1x - 22 +x2

1x - 222

7

3x2 - 6x+

x2

x2 - 4x + 4=

73x1x - 22 +

x2

1x - 221x - 22

73x2 - 6x

+x2

x2 - 4x + 4

mcd = x1x + 32

5x

-7y

x + 3

mcd = 2 # 33 # x3 # y3 = 54x3 y3

118x3 y

+5

27x2 y3=

12 # 32 x3 y +

533 x2 y3

18 = 2 # 32

118x3 y

+5

27x2 y3

Mayor potencia de x.

mcd = 7 # x2 = 7x2

5x2

-3

7x

3 # y = 3y.

13

+1y



Los factores en los denominadores son 3, x y x 2. Liste la potencia ms grandede cada uno de estos factores.


Solucin Factorice ambos denominadores.

Los factores en los denominadores son x 3, x 4 y x 3.

Aunque x 4 es un factor comn de cada denominador, la potencia ms grande conque aparece ese factor en cada denominador es 1.


Solucin Factorice el denominador del primer trmino.

Como el denominador de es 1, la expresin puede volverse a escribir como

Por tanto, el mcd es o simplemente 1w - 521w - 92.11w - 521w - 92

6w1w - 521w - 92 +

w + 51

w + 5

6ww2 - 14w + 45

+ w + 5 =6w2

1w - 521w - 92 + w + 5

6ww2 - 14w + 45

+ w + 5

mcd = 1x + 321x - 421x - 32

5xx2 - x - 12

-6x2

x2 - 7x + 12=

5x1x + 321x - 42 -

6x2

1x - 321x - 42

5xx2 - x - 12

-6x2

x2 - 7x + 12

mcd = 3 # x # 1x - 222 = 3x1x - 222.




1. Con sus palabras, explique cmo sumar o restar expresio-nes racionales con un denominador comn.

2. Cuando se restan expresiones racionales, qu debe pa-sarle al signo de cada trmino del numerador que se res-tar? signs change

3. Con sus palabras, explique cmo determinar el mnimocomn denominador de dos expresiones racionales.

4. En la suma el mnimo comn denominador

es x, x 1 o x(x 1)? Explique.

1x

+1

x + 1,

Determine el mcd que se utilizar para realizar cada operacin que se indica. Explique cmo determinar el mcd. No realicelas operaciones.

5. 6. 7. 8.6

x - 3+

1x

-13

3x1x + 322x + 3

+1x

+13

51x - 222x - 2

+35

x1x + 625x + 6

-2x


13. 14. 15.

16. 17. 18. 9

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27. 0

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 1 36.

37. 4 38. 39.

40. 41. 42.

43. 44. 45.

46. 47. 48.20x2 + 5x + 16x2 + x - 2

-8x2 - 12x - 56x2 + x - 2

6x + 1x - 8

5x2 + 40x + 8x2 - 64

+x2 + 9xx2 - 64

x + 33x + 8

4x2 + 59x2 - 64

-x2 - x + 29

9x2 - 64

x2 + 3x - 6x2 - 5x + 4

--2x2 + 4x - 4

x2 - 5x + 43x2 + 15x

x3 + 2x2 - 8x+

2x2 + 5xx3 + 2x2 - 8x

3x2 - 4x + 43x2 + 7x + 2

-10x + 9

3x2 + 7x + 2

x - 5x3 - 10x2 + 35x

x1x - 62 -x2 + 5xx1x - 62

34

3x2 - 7x4x2 - 8x

+x

4x2 - 8xx - 5

x2 - 13x + 5

-12

x + 5

x2 + 2x1x + 621x - 32 -

151x + 621x - 32

x - 3x - 1

x2 - 2x2 + 6x - 7

--4x + 19

x2 + 6x - 7t - 3t + 3

--3t - 15

t + 3

-14x + 123 - x

-3x + 153 - x

b2 - 2b - 3b2 - b - 6

+b - 3

b2 - b - 6x - 4

x2

x + 4-

16x + 4

12

3x + 112x + 10

-21x + 322x + 10-

23x + 6

-4x + 23x + 6

+41x - 123x + 6x - 3

x2 + 4x + 3x + 2

-5x + 9x + 2

-4x - 13x

x2 - 63x

-x2 + 4x - 5

3xp - 10p - 5

2p - 5p - 5

-p + 5p - 5

2m + 51m + 421m - 32 -

m + 11m + 421m - 32

x + 43x + 2

-x + 4

3x + 21

x - 4-x - 4x2 - 16

+21x + 42x2 - 16

1x - 4

5x + 4x2 - x - 12

+-4x - 1

x2 - x - 12

3w + 5w2 + 2w + 1

+-2w - 4

w2 + 2w + 1t + 3

5t24t + 7

5t2-

3t + 45t2

2x - 11x - 7

4x - 3x - 7

-2x + 8x - 7

5x + 7x - 1

x

x - 1+

4x + 7x - 1-

10x

x - 6x

-x + 4

x-

12n

n - 5n

-n + 7

n

3x + 4x + 1

+6x + 5x + 1

x + 6x

2x

+x + 4

xx + 3

3x + 62

-x

2

3r - 14

3r + 24

-34

2x - 135

2x - 75

-65

3x - 27

x - 27

+2x7


En los ejercicios 9 a 12 a) explique por qu la expresin a la izquierda del signo = no es igual a la expresin del lado derecho;b) muestre qu debe hacerse a la expresin del lado derecho para que sea igual a la del lado izquierdo.

9. 10.

11.

12.4x + 5x2 - 6x

--x2 + 3x + 6

x2 - 6xZ

4x + 5 + x2 + 3x + 6x2 - 6x

6x - 2 - 3x2 + 4x - 5x2 - 4x + 3

6x - 2x2 - 4x + 3

-3x2 - 4x + 5x2 - 4x + 3

Z6x - 2 - 3x2 - 4x + 5

x2 - 4x + 3

5x + 3x + 72x - 3

5x2x - 3

--3x - 72x - 3

Z5x + 3x - 7

2x - 34x - 3 - 2x + 7

5x + 44x - 35x + 4

-2x - 75x + 4

Z4x - 3 - 2x - 7

5x + 4


Sume o reste.

Determine el mnimo comn denominador de cada expresin.

49. 5 50. 3 51.

52. 53. 54.

55. 56. 57.

58. 59. 60.

61. 62. 63. 18r4 s74

2r4 s5-

59r3 s7

40x4 y5-3

8x2 y2+

6

5x4 y536x3 y

x + 112x2 y

-7

9x3

21x3x

3x2+

97x3

x212x + 32x2x + 3

+4x2

14xx + 4

2x+

37x

3m - 4m + 33m - 4

+ m1x + 321x - 422xx + 3

+6

x - 4p3

6p

+3p3

2x5

2x+ 120x

35x

+74

71x + 121x + 1

-47

5n1n

+1

5n2 + r

3-

123

x

5+

x + 45


64. 65. 66.

67. 68. or 69.

70. or 71.

72. 73.

74. 75.

76. 77.

78. 79.

80. 81.

82. 83.

84. 85.

86. 87.

88. 89.

90. 91.

92. 93.

94.3x + 1

6x2 + 5x - 6+

x2 - 59x2 - 12x + 4

2x - 34x2 + 4x + 1

+x2 - 4

8x2 + 10x + 312x + 121x + 2213x - 22-4x + 7

2x2 + 5x + 2+

x2

3x2 + 4x - 4

t - 13t2 + 10t - 8

-6

3t2 + 11t - 41x + 521x - 52x - 1

x2 - 25+ x - 4

1x - 621x - 128x2

x2 - 7x + 6+ x - 31n + 521n + 221n - 327n + 71n + 521n + 22 -

3n - 51n - 321n + 52

1x - 3223x - 5x2 - 6x + 9

+3

x - 31x + 2226x + 5x + 2

+4x

1x + 222

2xx2 + 6x + 5

-5x2

x2 + 4x + 31x + 1221x - 123x + 5

x2 - 1+

x2 - 81x + 122

71a - 422 -

a + 2a2 - 7a + 12

1n + 221n - 221n - 724nn2 - 4

-n - 3

n2 - 5n - 14

x - 2x2 - 5x - 24

+3

x2 + 11x + 241x + 921x + 221x - 52x + 1

x2 + 11x + 18-

x2 - 4x2 - 3x - 10

1x + 621x + 529x + 4x + 6

-3x - 6x + 5x - 3

6x2 +9x

x - 3

61x + 421x + 2233x + 12

+3x + 62x + 41p + 521p - 52

p2 - 4p2 - 25

+3

p - 5

120x2 y321

24x2 y+

x + 415xy3

1x + 421x + 22101x + 421x + 22 -5 - xx + 2

52q2 + 2q

-5

3q2p12p + 12p

4p2 + 2p-

32p + 1

64k - 5r

-5

-4k + 5r -2a + 3b2a - 3b3

-2a + 3b-

12a - 3b

n

4n - 1+

n - 21 - 4n5 - tt - 5

4tt - 5

+2

5 - tx1x + 125x - 2x2 + x

-x2

x

x - 32x + 5

-6

x - 536w1w + 52w2 - 7

12w-

w + 391w + 5236w5 z4

3

4w5 z4+

29wz2


Liste los polinomios que deben colocarse en cada rea sombreada para hacer que la proposicin sea verdadera. Expliquecmo determin su respuesta.

95. 96.

sum of numerators must be difference of numerators must be

97. 98.

sum of numerators must be difference of numerators must be x2 + 3x-4x2 - 3x - 9,5x - 7x2 + 9x - 10,

-3x2 - 91x + 421x - 22 -

1x + 421x - 22 =x2 + 3x

1x + 421x - 22-x2 - 4x + 3

2x + 5+

....2x + 5

=5x - 72x + 5

2x2 + x - 32x2 - 7x - 4,2x2 - 5x - 6.x2 + x - 9,

4x2 - 6x - 7x2 - 4

-....x2 - 4

=2x2 + x - 3

x2 - 4x2 - 6x + 3

x + 3+

...x + 3

=2x2 - 5x - 6

x + 3


99. 100.

101. 102. \6

+ 3-

+ 52 - 4 + 3

1 + 321 - 3282 - 9

-2

+ 3

404 55

82 2+

6

54 55

3

+4

5


Problemas de reto

Realice cada operacin que se indica.

103. 104.x2 - 8x + 2

x + 7+

2x2 - 5xx + 7

-3x2 + 7x + 6

x + 7-3x2 + 12x + 4

x2 - 254x - 1x2 - 25

-3x2 - 8x2 - 25

+8x - 3x2 - 25


105. 106.

107. 108.

1x - 221x + 2213x - 121x - 421x + 321x - 224

x2 - 4-

113x2 + 5x - 2

+5

3x2 - 7x + 24

x2 - x - 12+

3x2 - 6x + 8

+5

x2 + x - 6

1x - 321x + 3212x - 3

-5

x2 - 9+

7x + 330x

12 y9

7

6x5 y9-

92x3 y

+4

5x12 y2


[1.3] 109. Reste

[2.5] 110. Resuelva 6x 4 (x 2) 3x 4.

[2.6] 111. Alimento para colibr Las instrucciones en una bo-tella de alimento concentrado para colibres indicaque deben mezclarse 6 onzas del concentrado con1 galn (128 onzas) de agua. Si desea mezclar elconcentrado con slo 48 onzas de agua, cunto con-centrado debe utilizar?.25 oz

9245

or 2 245

4 35

- 2 59

. [3.3] 112. Gimnasio El Gimnasio Norteo tiene dos planes depago.Plan 1,es un pago de $125 por membresa anualms $2.50 por hora de uso de la cancha de tenis. Plan2, es un pago de membresa anual de $300 sin cobropor el uso de la cancha de tenis. Cuntas horas en unao debe jugar Malcolm Wu para hacer que el costodel Plan 1 sea igual al costo del Plan 2? hrs

[4.3] 113. Utilice la notacin cientfica para evaluar

Deje su respuesta en notacin cientfica.

[5.6] 114. Resuelva 2x2 3 x.2.0 * 1011

420,000,0000.0021

.

6.4 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES

1 Suma y resta de expresiones racionales.

En la seccin 6.3 analizamos cmo sumar y restar expresiones racionales con undenominador comn. Ahora estudiamos la suma y resta de expresiones raciona-les que no tienen un denominador comn.

1 Suma y resta de expresiones racionales

El mtodo utilizado para sumar y restar expresiones racionales con denominado-res no comunes se bosqueja en el ejemplo 1.

Seccin 6.4 Suma y resta de expresiones racionales 391


(contina en la pgina siguiente)

EJEMPLO 1 Sume

Solucin Primero determinamos el mcd como se expuso en la seccin 6.3.mcd xy

Escribimos cada fraccin con el mcd. Hacemos esto, multiplicando ambos, numera-dor y denominador de cada fraccin,por los factores necesarios para obtener el mcd.

En este problema, la fraccin de la izquierda debe multiplicarse por y lafraccin de la derecha debe multiplicarse por

Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo factor, en realidad es-tamos multiplicando por 1, lo cual no cambia el valor de la fraccin, slo su apa-riencia. As, la nueva fraccin es equivalente a la fraccin original.

Ahora sumamos los numeradores, y dejamos el mcd solo en el denominador.

Para sumar o restar dos expresiones racionales con denominadores no comunes

1. Determine el mcd.

2. Reescriba cada fraccin como una fraccin equivalente con el mcd. Esto se hacemultiplicando el numerador y el denominador por los factores necesarios para ob-tener el mcd.

3. Sume o reste los numeradores y conserve el mcd.

4. Cuando sea posible, factorice el numerador que queda y simplifique la fraccin.

EJEMPLO 2 Sume

Solucin El mcd es 28x2y3; debemos escribir cada fraccin con el denominador 28x2y3. Pa-ra hacer esto, multiplicamos la fraccin de la izquierda por y la fraccin dela derecha por

SUGERENCIAEn el ejemplo 2 multiplicamos la primera fraccin por y la segunda fraccin por

para obtener dos fracciones con un denominador comn. Cmo sabemos por culfraccin multiplicar? Muchos de ustedes pueden determinar esto observando el mcdy luego determinando por qu factor es necesario multiplicar cada denominador paraobtener el mcd. Si esto no es obvio, puede dividir el mcd por el denominador dado pa-ra determinar el factor por el que debe multiplicarse el numerador y el denominador

2x2x

7y2

7y2

=35y2 + 6x

28x2 y3 o bien

6x + 35y2

28x2 y3

=35y2

28x2 y3+

6x28x2 y3

5

4x2 y+

314xy3

= 7y2

7y2# 54x2 y

+3

14xy3#

2x2x

2x>2x. 7y2>7y2

54x2 y

+3

14xy3.

7yxy

+3xxy

=7y + 3x

xy o bien

3x + 7yxy

7x

+3y

= y

y# 7x

+3y

# xx

=7yxy

+3xxy

x>x. y>y

7x

+3y

.


de cada fraccin. En el ejemplo 2, el mcd es 28x2y3. Si dividimos 28x2y3 entre cada de-nominador dado, 4x2y y 14xy3, podemos determinar cul es el factor por el que debemultiplicarse el numerador y el denominador de cada fraccin,

As, debe multiplicarse por y debe multiplicarse por para obtener

el mcd, 28x2y3.

EJEMPLO 3 Sume

Solucin Debemos escribir cada fraccin con el mcd, que es x(x 2). Para hacer esto, mul-tiplicamos la fraccin de la izquierda por y la fraccin de la derecha por

Propiedad distributiva.

SUGERENCIAMire la respuesta al ejercicio 3, Observe que el numerador podra factorizarse

para obtener Tambin note que el denominador podra multiplicarse para

obtener Las tres respuestas son equivalentes y cada una de ellas es correcta.

En esta seccin, cuando escribamos las respuestas, a menos que exista un factor comnen el numerador y el denominador, dejaremos el numerador sin factorizar y el deno-minador en forma factorizada. Si tanto el numerador como el denominador tiene unfactor comn, factorizaremos el numerador y simplificaremos la fraccin.

EJEMPLO 4 Reste

Solucin El mcd es (w 7)(w 4). La fraccin de la izquierda debe multiplicarse porpara obtener el mcd. La fraccin de la derecha debe multipli-

carse por para obtener el mcd.1w - 72>1w - 721w - 42>1w - 42

w

w - 7-

3w - 4

.

8x + 10x2 + 2x

.

214x + 52x1x + 22 .

8x + 10x1x + 22 .

Reducir trmi-nos semejantesen el numerador.

=8x + 10x1x + 22

Eliminar parntesisen el numerador. =

3x + 5x + 10x1x + 22

Escribir como una so-la fraccin. =

3x + 15x + 102x1x + 22

=3x

x1x + 22 +5x + 10x1x + 22

Reescribir cada frac-cin como una fraccinequivalente con el mcd.

=3x

x1x + 22 +51x + 22x1x + 22

3

x + 2+

5x

= xx

# 3x + 2

+5x

#

x + 2x + 2

1x + 22>1x + 22. x>x

3x + 2

+5x

.

2x2x

314xy3

7y2

7y25

4x2 y

28x2 y3

4x2 y=

7y2 28x2 y3

14xy3=

2x




EJEMPLO 5 Reste

Solucin El mcd es (x 4)(x 4).

Utilice el mtodo PIES para multiplicar cada numerador.

Considere el problema

Cmo sumamos estas expresiones racionales? Podramos escribir cada fraccincon el denominador (x 2)(2 x). Sin embargo, hay una forma ms sencilla. Es-tudie la siguiente Sugerencia.

SUGERENCIA Cuando sumamos o restamos fracciones cuyos denominadores son opuestos (y portanto slo difieren en signos), multiplique el numerador y el denominador de cual-quiera de las fracciones por 1. De esta forma, ambas fracciones tendrn el mismo de-nominador.

=x - ya - b

=x

a - b+

-ya - b

x

a - b+

y

b - a=

x

a - b+

y

b - a# -1

-1

6x - 2

+x + 32 - x

Reducir trminossemejantes en elnumerador.

=7x + 20

1x + 421x - 42


x2 + 6x + 8 - x2 + x + 121x + 421x - 42

Escribir como una sola fraccin. =

1x2 + 6x + 82 - 1x2 - x - 1221x + 421x - 42

=x2 + 6x + 81x + 421x - 42 -

x2 - x - 121x + 421x - 42


=1x + 421x + 221x + 421x - 42 -

1x + 321x - 421x + 421x - 42

x + 2x - 4

-x + 3x + 4

= x + 4

x + 4# x + 2x - 4

-x + 3x + 4

#

x - 4x - 4

x + 2x - 4

-x + 3x + 4

.


=w2 - 7w + 211w - 421w - 72


w2 - 4w - 3w + 211w - 421w - 72


1w2 - 4w2 - 13w - 2121w - 421w - 72

=w2 - 4w

1w - 421w - 72 -3w - 21

1w - 421w - 72


=w1w - 42

1w - 421w - 72 -31w - 72

1w - 421w - 72

w

w - 7-

3w - 4

= w - 4

w - 4# ww - 7

-3

w - 4#

w - 7w - 7



EJEMPLO 6 Sume

Solucin Como los denominadores slo difieren en signo, podemos multiplicar por 1 el nu-merador y el denominador de cualquiera de las fracciones. Aqu multiplicaremosel numerador y el denominador de la segunda fraccin por 1 para obtener el de-nominador comn x 2.

Resolvamos otro ejemplo en donde los denominadores slo difieren en el signo.

EJEMPLO 7 Reste .

Solucin Los denominadores de las dos fracciones slo difieren en el signo. Resolveremoseste problema de una manera anloga a como resolvimos el ejemplo 6. Multipli-caremos por 1 el numerador y el denominador de la segunda fraccin para ob-tener el denominador comn 3a 4.

EJEMPLO 8 Sume

Solucin

El mcd es (x 2)(x 3)(3x 1).

3x2 + 5x + 6

+1

3x2 + 8x - 3=

31x + 221x + 32 +

113x - 121x + 32

3x2 + 5x + 6

+1

3x2 + 8x - 3.


=3a - 103a - 4

Eliminar los parnte-sis en el numerador.

a - 5 + 2a - 53a - 4


1a - 52 - 1-2a + 523a - 4

=a - 5

3a - 4-1-2a + 52

3a - 4

Multiplicar el numera-dor y el denominadorpor 1.

a - 53a - 4

-2a - 54 - 3a

=a - 5

3a - 4-

2a - 54 - 3a

# -1

-1

a - 53a - 4

-2a - 54 - 3a


=-x + 3x - 2


6 - x - 3x - 2


6 + 1-x - 32x - 2

=6

x - 2+1-x - 32

x - 2

Multiplicar por 1 elnumerador y el denominador.

6

x - 2+

x + 32 - x

=6

x - 2+

x + 32 - x

# -1

-1

6x - 2

+x + 32 - x

.




EJEMPLO 9 Reste

Solucin

El mcd es 5x(x 5).

Factorizar el numerador.

Simplificar.

Un error comn en un problema de suma o resta es sumar o restar los numeradores ylos denominadores. Aqu est un ejemplo de ello.

CORRECTO INCORRECTO

1x

-x

1=

1 - xx - 1

=1 + x2

x o bien

x2 + 1x

=1x

+x2

x

1x

+x

1=

1 + xx + 1

1x

+x

1=

1x

+x

1# x

x


=-11x + 52

5x o bien -

x + 55x

=-1 1x - 52 1x + 52

5x 1x - 52

5 - x = - 11x - 52 = -11x - 521x + 525x1x - 52

=15 - x215 + x2

5x1x - 52

=25 - x2

5x1x - 52

=25

5x1x - 52 -x2

5x1x - 52

= 55

# 5x1x - 52 -

x

51x - 52 # xx

5

x2 - 5x-

x

5x - 25=

5x1x - 52 -

x

51x - 52

5x2 - 5x

-x

5x - 25.

=10x - 1

13x - 121x + 221x + 32

=9x - 3 + x + 2

13x - 121x + 221x + 32

=19x - 32 + 1x + 22

13x - 121x + 221x + 32

=9x - 3

13x - 121x + 221x + 32 +x + 2

13x - 121x + 221x + 32

= 3x - 1

3x - 1# 31x + 221x + 32 +

113x - 121x + 32 #

x + 2x + 2

(contina en la pgina siguiente)




1. Cuando suma o resta fracciones con denominadores nocomunes, cmo puede determinar por cul factor debemultiplicar cada denominador para obtener el mcd?

2. Cuando multiplica tanto el numerador como el denomina-dor de una fraccin por los factores necesarios para obte-ner el mcd, por qu no cambia el valor de la fraccin?

3. a) Explique con sus propias palabras un procedimientopaso a paso para sumar o restar dos expresiones racio-nales que tienen denominadores diferentes.

b) Utilice el procedimiento descrito en la parte a), parasumar

4. Explique cmo sumar o restar fracciones cuyos denomina-dores son opuestos. Proporcione un ejemplo.

x2 + x - 91x + 221x - 321x - 22

x

x2 - x - 6+

3x2 - 4

.

5. Considere

a) Cul es el mcd?

b) Realice la operacin que se indica.

c) Si al sumar, por error utiliza 24z2 en lugar del mcd, aunas podra obtener la respuesta correcta? Explique.

6. Utilizara el mcd para realizar las operaciones siguien-tes? Explique.

a) yes b) no

c) yes d) no5

x2 - 9,

2x - 3

x +23

1x + 2

# 5x

3x + 3

-4x

+53

y

4z+

56z2


Sume o reste.

7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18.

19. 20. 21. 22.

23. 24. 25. 26.

27. 28. 29.-6d2 + 15d + 25

6d13d + 525

6d-

d

3d + 52a2 - b2

a1a + b2a

a + b+

a - ba

11p + 6p1p + 32

9p + 3

+2p

6x - 21x - 3

6 -3

x - 311x - 12x1x - 32

4x

+7

x - 34x - 13

4x

x - 3x

-1

4x20a2 - 4b

5a2 b

4b

-4

5a2

6p - 2510p2

35p

-5

2p24x2 + 2y

xy

4xy

+2y

xy5n + 3

n

3n

+ 59a + 16a

3a - 12a

+2

3a

xy + xy

x +x

y3y2 + x

y3y +

x

y25y2 - 12x2

60x4 y35

12x4 y-

15x2 y3

35y + 12x20x2 y2

74x2 y

+3

5xy2

3x - 5x2

3x

-5x2

3x + 105x2

2x2

+3

5x25y + 18

30y25

6y+

35y2

3x + 5x

3 +5x

2x2 - 1x2

2 -1x2

3x + 102x2

5x2

+3

2x5

4x

14x

+1x

134x

14x

+3x

Recuerde que para sumar o restar fracciones primero debe tener un denominador co-mn. Despus sume o reste los numeradores conservando el denominador comn.

Otro error comn es tratar un problema de suma o resta como un problema demultiplicacin. Puede dividir entre los factores comunes cuando se multipliquen frac-ciones, no cuando se sumen o resten.

CORRECTO INCORRECTO

= 1 + 1 = 2 = 1 # 1 = 1 1x

+x

1=

1 x 1

+ x 1

1 1x

# x1

=1

x 1

# x 1

1


30. 31. 32.

33. 34. 35.

36. 37. 38.

39. 40. 41.

42. 43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.8

1m - 4226m

3m2 - 24m + 48-

2m - 4

921r - 32

3r2r2 - 10r + 12

+3

r - 2

1x - 7

5x + 10x2 - 5x - 14

-4

x - 71

w - 33w + 12

w2 + w - 12-

2w - 3

3x2 - 11x - 215x + 121x - 2213x - 12

x

5x2 - 9x - 2-

23x2 - 7x + 2

2x2 - 3x - 414x + 321x + 2212x - 12

x

4x2 + 11x + 6-

28x2 + 2x - 3

x2 + 13x + 1013x + 2212x + 121x - 22

x

6x2 + 7x + 2+

52x2 - 3x - 2

3x2 - 8x - 312x + 1213x - 221x + 32

x

2x2 + 7x + 3-

33x2 + 7x - 6

x2 - x - 212x - 121x + 421x - 52

x

2x2 + 7x - 4+

2x2 - x - 20

5x + 51x + 3221x - 22

2x2 + 6x + 9

+3

x2 + x - 6

2a + 41a + 521a - 321a + 32

3a2 + 2a - 15

-1

a2 - 92a + 13

1a - 821a - 121a + 225

a2 - 9a + 8-

3a2 - 6a - 16

x + yx1x - y2

x

x2 - xy-

y

xy - x2x2 + 3x - 181x + 522

x - 3x2 + 10x + 25

+x - 3x + 5

-x2 + 2x + 31x - 222

x + 1x2 - 4x + 4

-x + 1x - 2

6x - 81x + 421x - 22

x2

x2 + 2x - 8-

x - 4x + 4

-x - 11x - 521x + 22

x + 3x2 - 3x - 10

-2

x - 5r + 10

1r - 421r - 623r + 2

r2 - 10r + 24-

2r - 6

8x - 41x + 221x - 221x + 32

31x - 221x + 32 +

51x + 221x + 32

-x + 61x + 221x - 22

x + 2x2 - 4

-2

x + 2

2x + 131x + 422

51x + 422 +

2x + 4

5z - 161z + 421z - 42

z

z2 - 16+

4z + 4

k2 + 18k41k - 221k + 22

5k4k - 8

-k

k + 2

13w + 5621w + 521w + 22

32w + 10

+5

w + 23x2 - 4x + 412x1x - 12

x

4x - 4-

13x

-19n - 123n12n + 12

56n + 3

-4n

14x + 581x + 321x + 72

x + 7x + 3

-x - 3x + 7

20x1x - 521x + 52

x + 5x - 5

-x - 5x + 5

7y + 11y + 121y - 12

4y - 1

+3

y + 1

a + 1221a - 22

6a - 2

+a

2a - 411

7x - 16

7x - 1-

51 - 7x

14x + 7

9x + 7

-5

-x - 7

4n - 5

3n - 5

-1

5 - n2

p - 34

p - 3+

23 - p

-2x + 101x - 321x - 12

2x - 3

-4

x - 1


Para qu valor(es) de x est definida cada expresin?


67. all real numbers except 68. all real numbers except x = -3x = 3,4

x2 - 9-

1x + 3x = -6x = 4,

5x - 4

+7

x + 6

x = 0x = 1,2

x - 1-

3x

x = 02x

+ 6

Sume o reste. Trate cada smbolo desconocido como si fuesen las variables.

69. 70.

22 + 7 - 4+

22 - - 20

4 - 2

3 - 2

-1

2 -


Realice cada operacin que se indica.

73. 0 74. 1

75. 76.

77. 78.3x3 - 6x2 + 16x - 8

1x + 221x - 221x2 - 2x + 423x

x2 - 4+

4x3 + 8

6x + 51x + 221x - 321x +12

2x2 - x - 6

+3

x2 - 2x - 3+

1x2 + 3x + 2

8x3 - 8x2 - 14x + 331x + 221x - 3212x + 32

3x - 1x + 2

+x

x - 3-

42x + 3

2x - 32 - x

x + 64 - x2

-x + 3x + 2

+x - 32 - x

5xx2 + x - 6

+x

x + 3-

2x - 2

x

x2 - 9+

3xx + 3

+3x2 - 8x

9 - x2

Actividad en grupo

En grupo, analicen y respondan el ejercicio 79.

f) Miembro 3 del grupo: sume las fracciones numricasque se encontraron en las partes d) y e).

g) En forma individual, sustituya 2 por x y 1 por y en lasexpresiones obtenidas en la parte b) y evale.

h) De forma individual, sustituya 2 por x y 1 por y en la ex-presin que obtuvo en la parte c), evale y comparesus respuestas.

i) En grupo, analicen lo que descubrieron con base en es-ta actividad.

j) Cree que sus resultados habran sido similares paracualesquiera nmeros sustituidos por x y y (para losque el denominador no es 0)? Por qu?

79. a) Como grupo, determinen el mcd de

b) Como grupo, realicen la operacin que se indica, perono simplifiquen su respuesta.

c) Como grupo, simplifiquen su respuesta.

d) Miembro 1 del grupo: sustituya 2 por x y 1 por y en lafraccin de la izquierda en la parte a) y evale.

e) Miembro 2 del grupo: sustituya 2 por x y 1 por y en lafraccin de la derecha en la parte a) y evale.

x + 3yx2 + 3xy + 2y2

+y - x

2x2 + 3xy + y2


[2.6] 80. White Pass Railroad es una estrecha va que atra-viesa lentamente las montaas de Alaska. Si el trenviaja a 22 millas en 0.8 horas, cunto tardar en re-correr 42 millas? Suponga que el tren viaja con lamisma rapidez durante todo el viaje.

[2.7] 81. Resuelva la desigualdad 3(x 2) 2 4(x 1) ygrafique la solucin en una recta numrica.x 7 -8,

6

[4.6] 82. Divida

[6.2] 83. Multiplique

-1

x2 + xy - 6y2

x2 - xy - 2y2# y2 - x2x2 + 2xy - 3y2

.

4x - 3 -4

2x + 3

18x2 + 6x - 132 , 12x + 32.

Problemas de reto

Bajo qu condiciones est definida cada expresin? Explique sus respuestas.

71. all 72.x + 2

x + 5y-

y - 32x

5a + b

+3a

Seccin 6.5 Fracciones complejas 399

6.5 FRACCIONES COMPLEJAS

1 Simplificar fracciones complejas por medio de reduccin detrminos.

2 Simplificar fracciones complejas, multiplicando primero paraeliminar fracciones.

1 Simplificar fracciones complejas por medio de reduccin de trminos

Una fraccin compleja es aquella que tiene una fraccin en su numerador o en sudenominador, o en ambos.

Ejemplos de fracciones complejas

La expresin sobre la lnea principal de la fraccin es el numerador, y la que estdebajo es el denominador de la fraccin compleja.

Existen dos mtodos para simplificar fracciones complejas. El primero refuer-za muchos de los conceptos utilizados en este captulo, ya que en ocasiones hay quesumar, restar, multiplicar y dividir fracciones ms simples cuando simplificamos lafraccin compleja. Muchos estudiantes prefieren utilizar el segundo mtodo, ya quela respuesta puede obtenerse de manera ms rpida.Daremos dos ejemplos utilizan-do el primer mtodo y luego resolveremos tres ejemplos con el segundo mtodo.

Mtodo 1Para simplificar una fraccin complejareduciendo trminos

1. Sume o reste las fracciones en el numerador y en el denominador de la fraccincompleja para obtener fracciones sencillas, tanto en el numerador como en el de-nominador.

2. Obtenga el inverso del denominador de la fraccin compleja y multiplquelo porel numerador.

3. Si es posible, simplifique posteriormente.


Solucin Como tanto el numerador como el denominador ya son fracciones sencillas, omi-timos el paso 1 e iniciamos con el paso 2. Cuando obtenemos el inverso del deno-minador de la fraccin compleja y lo multiplicamos por el numerador, obtenemoslo siguiente.

ab2

c3

a

bc2

.

Numerador de lafraccin compleja

Denominador de la fraccin compleja

Lnea principal de la fraccin.a + b

ae

a + ba

e

354

x + 1x

2x

xy

x + 1

a + ba

a - bb


Por tanto, la expresin se simplifica a


Solucin Exprese tanto el numerador como el denominador de la fraccin compleja comofracciones sencillas. El mcd del numerador es x y el mcd del denominador es a.

Ahora calcule el inverso del denominador y multiplique el numerador por l.

En el ejemplo 4 de la siguiente pgina volveremos a resolver el ejemplo 2. Sin em-bargo, se har por medio del mtodo 2. La mayora de los estudiantes coincidirnen que el mtodo 2 es ms sencillo de usar en problemas de este tipo, en donde elnumerador o el denominador consisten en una suma o diferencia de trminos.Aqu ilustramos el ejemplo 2 para mostrarle que el mtodo 1 funciona para pro-blemas de este tipo, y le proporcionamos ms prctica con el mtodo 1.

2 Simplificar fracciones complejas, multiplicando primero para eliminar fracciones

Aqu est el segundo mtodo para simplificar fracciones complejas.

Mtodo 2Para simplificar una fraccin compleja multiplicando primero

1. Determine el mnimo comn denominador de todos los denominadores que apa-recen en la fraccin compleja.

2. Multiplique el numerador y el denominador de la fraccin compleja por el mcdque se determin en el paso 1.

3. Simplifique cuando sea posible.


Solucin Los denominadores en la fraccin compleja son 3 y 5. El mcd de 3 y 5 es 15. Asque 15 es el mcd de la fraccin compleja. Multiplique el numerador y el denomi-nador de la fraccin compleja por 15.

13

+45

45

-13

.

= ax + 1

x# a

ax + 1 =

ax

a +1x

x +1a

=

xx# a + 1

x

aa# x + 1

a

=

axx

+1x

axa

+1a

=

ax + 1x

ax + 1a

a +1x

x +1a

.

b3

c.

ab2

c3

a

bc2

= a b2

c3 c

# b c2 1

a =

b3

c


Seccin 6.5 Fracciones complejas 401

Ahora simplifique.

Ahora volveremos a resolver el ejemplo 2, por medio del mtodo 2.


Solucin Los denominadores en la fraccin compleja son x y a. Por tanto, el mcd de la frac-cin compleja es ax. Multiplique tanto el numerador como el denominador de lafraccin compleja por ax.

Observe que las respuestas a los ejemplos 2 y 4 son iguales.


Solucin Los denominadores en la fraccin compleja son x y y. Por tanto, el mcd de la frac-cin compleja es xy. Multiplique el numerador y el denominador de la fraccincompleja por xy.

=x2 y

y + x

=x2 y

xya 1xb + xya 1

yb

x

1x

+1y

= xy

xy

# xa 1

x+

1yb

x

1x

+1y

.

=a 1ax + 12 x 1ax + 12 =

ax

a +

1x

x +1a

=

ax

ax

#aa + 1

xb

ax + 1ab

=a2 x + aax2 + x

a +1x

x +1a

.

=5 + 1212 - 5

=177

13

+45

45

-13

= 15

15

#a1

3+

45b

a45

-13b

=15a1

3b + 15a4

5b

15a45b - 15a1

3b




Cuando se le pida simplificar una fraccin compleja, puede utilizar cualquie-ra de los mtodos, a menos que su profesor le pida utilizar un mtodo especfico.Lea la siguiente Sugerencia.

SUGERENCIA Hemos presentado dos mtodos para la simplificacin de fracciones complejas. Culmtodo debe utilizar? Aunque se puede utilizar cualquiera de ellos, la mayora de losestudiantes prefieren usar el mtodo 1 cuando el numerador y el denominador cons-tan de un solo trmino, como en el ejemplo 1. Cuando la fraccin compleja tiene unasuma o diferencia de expresiones en el numerador o el denominador, como en losejemplos 2, 3, 4 o 5, la mayora prefieren utilizar el mtodo 2.



1. Qu es una fraccin compleja?

2. Cul es el numerador y cul el denominador de cada frac-cin compleja?

a) b)

3. Cul es el numerador y cul el denominador de cada frac-cin compleja?

a) b)

12y

+ x

3y

+ x

x + 34

7

x2 + 5x + 6

53

x2 + 5x + 65

3

x2 + 5x + 6

4. a) Seleccione el mtodo que prefiera para simplificar frac-ciones complejas. Luego escriba con sus propias pala-bras un procedimiento paso a paso para la simplificacinde fracciones complejas utilizando ese mtodo.

b) Por medio del procedimiento que escribi en la partea), simplifique la fraccin compleja siguiente.

2x

-3y

x +1y


Simplifique.

5. 2 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.ab + 1

a

a +1b

a

b

ab - a1 + a

a -a

b

1 + a

b

12x3

y6

36x4

5y4 z5

9xy2

15z5

2ab3

15c2

6a2b

5

9ac2

b2

48a

b5

12ab3

b2

4

x3 y2

27

xy2

9

3x2

y - xxy

1 -x

y

x3

448

27

-14

6 -23

6576

14

+56

23

+35

5732

2 +38

1 +13

30435

3 +45

1 -9

16

4 +23

2 +13

MaSeccin 6.5 Fracciones complejas 403

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

29. 30. 31. 32.

33. 34. 1 35. 36.x2 - yx + y2

x

y-

1x

y

x+

1y

ab2 + b2

a21b + 12

3a

+3a2

3b

+3b2

4x2

+4x

4x

+4x2

1y - x

1xy

1x

-1y

b + ab

1a

+1b

1a

a2 + bb1b + 12

a

b+

1a

b

a+

1a

b - aa + b

1a

-1b

1a

+1b

b - a

1a

-1b

1ab

b + aa2 b2

1a

+1b

aba21a - b2

a2 - b2

a

a + ba3

-1

x

y- 2

-xy

+ 2-1

5 -a

b

a

b- 5

1 - 3x3x2 + 1

1x2

-3x

3 +1x2

- a

b

a2

b- b

b2

a- a

x

1 + xy1

1x

+ y

m - nm

m

n-

n

m

m + nn

y

x1x - y2

x

x - y

x2

y

5x - 14x - 1

5 -1x

4 -1x

7

3a2

3a

+1

2a

a +a

2

3x

9x

+3x2

3 +1x


Para las fracciones complejas en los ejercicios 37 al 40,

a) Determine cul de los dos mtodos estudiados en esta seccin utilizara para simplificar la fraccin. Explique por qu.b) Simplifique por medio del mtodo que seleccion en la parte a).c) Simplifique por medio del mtodo que no seleccion en la parte a). Si sus respuestas a las partes b) y c) no son las mismas,

explique por qu.

37. 38. 39. 40.

En los ejercicios 41 y 42, a) escriba la fraccin compleja, y b) simplifquela.

25x - y

+4

x + y5

x - y-

3x + y

x - yx + y

+3

x + y

2 -7

x + y

x3 + x2 y - x4

x - y + 5x5

x + yx3

-1x

x - yx5

+ 5-

224155

5 +35

18

- 4

41. El numerador de la fraccin compleja consta de un trmi-no: 5 se divide entre 12x. El denominador de la fraccincompleja consta de dos trminos: 4 dividido entre 3x quese resta de 8 dividido entre x2.

42. El numerador de la fraccin compleja consta de dos trmi-nos: 3 dividido entre 2x que se resta de 6 dividido entre x.El denominador de la fraccin compleja consta de dos tr-minos: la suma de x y la cantidad 1 dividida entre x.

Simplifique. (Sugerencia: consulte la seccin 4.2, que analiza los exponentes negativos.)

43. 44. 45. 46.x-2 - y-2

y-1 - x-1x + y

x-1 + y-1

x-1 y-1y + x

y

x-1 + y-1

x-1y + x2xy

x-1 + y-1

2


Problemas de reto

47. La eficiencia de un gato mecnico, E, se expresa por me-

dio de la frmula donde h se determina por

el paso de la rosca del gato. Determine la eficienciade un gato, si h es

a) b)413

45

27

23

E =12 h

h + 12,

Paso

Simplifique.

48. 49. 50.x

1 +x

1 + x

a3 b + a2 b3 - ab2

a3 - ab3 + b2

a

b+ b -

1a

a

b2-

b

a+

1a2

x2 + y2 + yx2 + xy2

x

y+

y

x+

1x

x

y+ y


[2.5] 51. Resuelva la ecuacin

[4.4] 52. Qu es un polinomio?n expression containing a fi-nite number of terms of the form where a is a realnumber and n is a whole number.

axn

1729x - 31x + 22.=2x - 815 - x2

[5.3] 53. Factorice .

[6.4] 54. Restex

3x2 + 17x - 6-

2x2 + 3x - 18

.

x2 - 13x + 42

6.6 SOLUCIN DE ECUACIONES RACIONALES

1 Solucionar ecuaciones racionales con denominadores enteros.

2 Solucionar ecuaciones racionales en donde una variableaparece en el denominador.

1 Solucionar ecuaciones racionales con denominadores enteros

En las secciones 6.1 a 6.5 nos enfocamos a cmo sumar, restar, multiplicar y divi-dir expresiones racionales; ahora estamos preparados para resolverlas. Una ecua-cin racional es aquella que tiene una o ms expresiones racionales (o fraccionales).Una expresin racional puede ser una que tenga coeficientes racionales, como

o bien o una que tenga trminos racionales con una

variable en el denominador, como En las secciones 4.4 y 4.5 resolvimos

ecuaciones lineales con coeficientes racionales.En esta seccin haremos nfasis en la solucin de ecuaciones racionales en

donde aparece una variable en un denominador. El siguiente procedimiento queutilizaremos, en esta seccin, para resolver ecuaciones racionales es muy similar alprocedimiento que utilizamos en el captulo 2.

3x - 2

= 5.

x

2+

3x5

= 8,12

x +35

x = 8

Seccin 6.6 Solucin de ecuaciones racionales 405

Para resolver ecuaciones racionales

1. Determine el mnimo comn denominador (mcd) de todas las fracciones en laecuacin.

2. Multiplique ambos lados de la ecuacin por el mcd. Esto tendr como resultadoque todos los trminos en la ecuacin sean multiplicados por el mcd.

3. Elimine todos los parntesis, si los hay, y reduzca los trminos semejantes en cadalado de la ecuacin.

4. Resuelva la ecuacin por medio de las propiedades analizadas en los captulos an-teriores.

5. Compruebe su solucin en la ecuacin original.

El propsito de multiplicar ambos lados de la ecuacin por el mcd (paso 2) es eli-minar todas las fracciones de la ecuacin. Despus de que ambos lados de la ecua-cin se multiplican por el mcd, la ecuacin resultante no debe tener fracciones.Omitiremos algunas de las comprobaciones para ahorrar espacio.

Antes de resolver ecuaciones racionales en donde una variable aparece enun denominador, revisaremos cmo resolver ecuaciones con coeficientes raciona-les. Los ejemplo 1 y 2 ilustran el procedimiento.

EJEMPLO 1 Despeje t de .

Solucin El mcd de 4 y 5 es 20. Multiplique ambos lados de la ecuacin por 20.

Multiplicar ambos lados por el mcd, 20.


Comprobacin

Verdadero.

EJEMPLO 2 Resuelva .

Solucin El mnimo comn denominador es 30. Multiplique ambos lados de la ecuacinpor 30.

Multiplicar ambos lados por el mcd, 30.

Propiedad distributiva. x - 5 = 30 a45b - 30 ax - 1

10b

30 ax - 530

b = 30 a45

-x - 1

10b

x - 5

30=

45

-x - 1

10

x - 530

=45

-x - 1

10

1 = 1 5 - 4 =? 1

204

-205

=? 1

t

4-

t

5= 1

t = 20 5t - 4t = 20

20a t4b - 20a t

5b = 20

20 a t4

-t

5b = 20 # 1

t

4-

t

5= 1

t

4-

t

5= 1

TEACHING TIPPoint out that the strategy we willuse to solve rational equations isto change the rational equationinto the kind of equation we cansolve.





Se sum 3x a ambos lados.

Se sum 5 a ambos lados.

Ambos lados se dividieron entre 4.

Una comprobacin mostrar que la respuesta es 8. Sugerimos que compruebe es-ta respuesta ahora, para ganar prctica en la verificacin de respuestas. En el ejemplo 2, la ecuacin tambin podra haber sido escrita como

Para ejemplos adicionales de resolucin de ecuaciones racionales con enteros enlos denominadores, revise las secciones 2.4 y 2.5.

2 Solucionar ecuaciones racionalesen donde una variable aparece en el denominador

Ahora estamos preparados para resolver ecuaciones racionales en donde una va-riable aparece en el denominador. Al resolver este tipo de ecuaciones debe com-probar su respuesta. Vea la siguiente advertencia!

Advertencia Siempre que una variable aparezca en algn denominador de unaecuacin racional, es necesario comprobar su respuesta en la ecuacin original. Sila respuesta obtenida hace que algn denominador sea igual a cero, ese valor noes una solucin de la ecuacin. Tales valores se denominan races extraas o solu-ciones extraas.

EJEMPLO 3 Resuelva la ecuacin

Solucin Multiplique ambos lados de la ecuacin por el mcd, 2x.

Multiplicar ambos lados por el mcd, 2x.


5x se rest de ambos lados.Se sum 8 a ambos lados.

Comprobacin

Verdadero.

Como 8 cumple, es la solucin de la ecuacin.

52

=52

3 -12

=?52

3 -48

=?52

3 -4x

=52

x = 8 x - 8 = 0

6x - 8 = 5x

2x132 - 2 x a 4 x b = a 5

2 b # 2 x

2x a3 - 4xb = a5

2b # 2x

3 -4x

=52

.

130

1x - 52 = 45

-110

1x - 12.

x = 8 4x = 32

4x -

Algintercap 6_expresiones Racionesles y Ecuaciones

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