º –

–

1

A. Ecuaciones polinómicas, bicuadradas, racionales y radicales.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas,

𝑎) 1 −𝑥 + 1

6=

𝑥

2+

𝑥 − 1

3 𝑏)

𝑥 − 1

2−

3𝑥 − 10

5=

𝑥 − 2

3

𝑐) 7𝑥 − 4

6−

3𝑥 − 6

3+

9𝑥 − 2

9=

3𝑥 + 2

12 𝑑)

𝑥

6+

1

3· (

2

5−

𝑥

3) =

2𝑥 − 1

6

𝑒) 𝑥 + 𝑥2

8−

1 − 𝑥2

4=

𝑥 + 1

2− 1 𝑓) 1 −

3𝑥 + 2

3=

𝑥2

2+

1 + 𝑥2

6

𝑔) 1 − 5𝑥 · (1 − 3𝑥

2) =

𝑥

2 ℎ) 𝑥 −

4𝑥 + 3

8+

𝑥2 + 2

16= 1

𝑖) 1 − 𝑥

8−

𝑥 · (𝑥 + 3)

5= 1 +

𝑥

6 𝑗)

𝑥2 + 2

5−

𝑥2 + 𝑥

2=

3𝑥 + 1

10

2. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas,

𝑎) 𝑥

3· (

1

2+

𝑥2

4) = 𝑥 −

𝑥 + 1

3 𝑏)

𝑥3 + 1

7−

1 − 3𝑥

2=

𝑥

2·

7 − 𝑥

2

𝑐) 𝑥4 + 7

4−

1 − 2𝑥

3=

𝑥 · (𝑥 + 1)

9−

𝑥 − 1

2 𝑑)

𝑥 + 1

3· (

𝑥2

2− 2) =

2 − 𝑥

4

𝑒) 𝑥(1 + 𝑥2)

5−

2𝑥

3=

𝑥2 − 1

2 𝑓)

𝑥2 + 2

3−

2 − 𝑥

4=

𝑥3

2+

1 + 𝑥2

8

3. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas,

𝑎) 2𝑥5 + 250𝑥2 = 0 𝑏) 2𝑥5 − 98𝑥3 = 0 𝑐) 𝑥4 + 8𝑥 = 0

𝑑) 36𝑥4 − 4𝑥2 = 0 𝑒) 8𝑥3 + 1 = 0 𝑓) 𝑥5 + 27𝑥2 = 0

𝑔) 16 − 81𝑥4 = 0 ℎ) 𝑥7 + 𝑥8 = 0 𝑖) 4𝑥6 − 9𝑥8 = 0

º –

–

2

4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas,

𝑎) 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0 𝑏) 𝑥6 + 7𝑥3 − 8 = 0

𝑐) − 𝑥8 + 17𝑥4 − 16 = 0 𝑑) 36𝑥4 − 13𝑥2 + 1 = 0

𝑒) 8𝑥6 − 63𝑥3 − 8 = 0 𝑓) (𝑥2 − 5) · (𝑥2 − 3) = −1

𝑔) 16𝑥8 + 257𝑥4 + 16 = 0 ℎ) (3𝑥2 + 3) · (𝑥2 − 5) = −15

5. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales,

𝑎) 1

2𝑥 − 3−

3

2𝑥2 − 3𝑥=

5

𝑥 𝑏)

𝑥

𝑥 − 2−

4

𝑥 + 2= −

32

𝑥2 − 4

𝑐) 𝑥 + 1

𝑥 − 2+

𝑥 − 1

𝑥 + 2=

2(𝑥2 + 2)

𝑥2 − 4 𝑑)

𝑥 − 2

𝑥 − 3−

2𝑥 − 1

𝑥2 − 9=

7

𝑥 + 3

𝑒) 𝑥 + 1

𝑥 + 2+

𝑥 + 2

𝑥 + 1=

29

10 𝑓)

3 − 𝑥

1 − 𝑥2+

2 + 𝑥

1 + 𝑥=

1

1 − 𝑥

𝑔) (𝑥 + 2

𝑥 + 1)

2

= 𝑥 + 1

𝑥 ℎ)

2𝑥

𝑥 − 4−

9

𝑥 + 4=

4𝑥 + 1

𝑥2 − 4

6. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales o radicales,

𝑎) 𝑥 − √25 − 𝑥2 = 1 𝑏) √𝑥2 − 5𝑥 + 1 + 1 = 2𝑥

𝑐) √𝑥 + 2 + √2𝑥 + 2 = 1 𝑑) √𝑥2 − 5 + 1 = √𝑥 − 2

𝑒) √3𝑥 − 2 = 𝑥 − √2𝑥 − 4 𝑓) 2√𝑥 + 5

4 − √𝑥=

4 + √𝑥

√𝑥

𝑔) 6√ 𝑥 = 𝑥 · √𝑥 − 5 ℎ) 𝑥

√𝑥= 𝑥 − √𝑥

B. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

7. Calcula la solución de las ecuaciones exponenciales siguientes:

𝑎) 4𝑥−2 = 64 𝑏) 63𝑥+1 = 36 𝑐) √1283

= 42𝑥

𝑑) 36𝑥+1 = 64𝑥−2 𝑒) 251−2𝑥 = 5−𝑥 𝑓) 4𝑥−3 = √8𝑥4

º –

–

3

8. Calcula la solución de las ecuaciones exponenciales siguientes:

𝑎) 3𝑥−2 + 3𝑥+1 = 84 𝑏) 2𝑥 + 2𝑥+1 − 2𝑥−1 = 5

𝑐) 7𝑥 − 2 · 7𝑥−2 + 7𝑥−1 = 54 𝑑) 9𝑥+1 − 2 · 9𝑥 = 7

𝑒) 4𝑥−1 + 41−x = 2 𝑓) 5𝑥+2 − 3 · 5𝑥−1 = 127 − 5𝑥

𝑔) 82−𝑥 + 8𝑥 = 65 ℎ) 2 · 91−𝑥 − 9𝑥+1 = 161

9. Calcula la solución de las ecuaciones exponenciales siguientes:

𝑎) 32𝑥 − 12 · 3𝑥 + 27 = 0 𝑏) 6 − 7 · 6𝑥 + 62𝑥 = 0

𝑐) 22𝑥 − 28 · 2𝑥 + 32 = 0 𝑑) 9𝑥 + 3 − 4 · 3𝑥 = 0

𝑒) 72𝑥 − 8 · 7𝑥 + 7 = 0 𝑓) 102𝑥 − 2 · 10𝑥+1 + 100 = 0

𝑔) 52𝑥+1 − 126 · 5𝑥 + 25 = 0 ℎ) 3 − 10 · 3𝑥 + 32𝑥+1 = 0

𝑖) 4𝑥 − 2𝑥+1 + 1 = 0 𝑗) 2 · 7𝑥 − 49x − 1 = 0

10. Calcula la solución de las ecuaciones logarítmicas siguientes:

𝑎) 𝑙𝑜𝑔2 √84

= 3𝑥 𝑏) 𝑙𝑜𝑔7 (1

49) = 𝑥 + 2 𝑐) 𝑙𝑜𝑔25125 = 𝑥 − 1

𝑑) 𝑙𝑜𝑔𝑥(9𝑥) = 3 𝑒) 𝑙𝑜𝑔3𝑥(18𝑥) = 2 𝑓) 𝑙𝑛√𝑒3

= 2𝑥

11. Calcula la solución de las ecuaciones logarítmicas siguientes:

𝑎) log (3x + 5) + log (x + 5) = 3 𝑏) log3 (x + 2) + log3 (x + 4) = 1

𝑐) log5 (x − 2)

2= 1 𝑑) log3 x − 3 · log3(x − 2) = 3 − log3 (x + 6)

𝑒) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 1) + 2 · 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔23

𝑓) 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 1) − 2 · 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1) = log (2𝑥 − 1)

𝑔) log(𝑥 − 5) −1

2· log(3𝑥 − 20) = log 2 ℎ) 3 · lnx − 2 · ln (𝑥 − 1) = ln7

º –

–

4

𝑖)𝑙𝑜𝑔3(2x − 3) = 4 − 𝑙𝑜𝑔3(x + 3) 𝑗) 1

2· 𝑙𝑜𝑔

5(x + 2) + 2 = 𝑙𝑜𝑔5(x + 26)

C. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y

racionales con números.

12. Calcula un número sabiendo que si se suman ocho unidades y el resultado se

divide entre tres, se obtiene una unidad menos de la mitad del número.

(Solución: 22).

13. Si al triple de un número se le suman 28 unidades, se obtiene el quíntuplo del

número menos 4 unidades. ¿Qué número es? Solución: 16

14. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 685, ¿Cuáles

son esos números? (Solución: 18 y 19)

15. El cuadrado de un número más 6 es igual a 5 veces el propio número, ¿Qué

número es? (Solución: Pueden ser el 3 y 2)

16. Busca un número positivo tal que 6 veces su cuarta potencia más 7 veces su

cuadrado sea igual a 124. (Solución: 24 ya que dicen que sólo la positiva)

17. En un examen de 20 preguntas, cada acierto suma 2 puntos y cada fallo resta

medio punto. Para aprobar es necesario contestar todas las preguntas y obtener al

menos 20 puntos. ¿Cuántas preguntas, como mínimo, hay que responder bien

para aprobar? (Solución: 12 preguntas)

18. Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 5

26. (Solución: 5)

19. Al sumar una fracción de denominador 3 con su inversa obtenemos 109/30. ¿Cuál

es esa fracción? (Solución: 10/3)

20. Calcular todos los números que al restarles su inverso, se obtiene 35/6. (Solución:

6 y 1/6)

21.La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el

número? (Solución: 27)

22.Los 2/3 de un número, más sus 3/4, menos sus 5/6 son 14. ¿Qué número es?

Solución: 24

23.Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, con tan mala suerte que

tropieza, y se le rompen 2/5 de la mercancía. Entonces vuelve al gallinero y

recoge 21 huevos más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad

inicial.¿Cuántos huevos tenía al principio? Sol: 40 huevos.

º –

–

5

24.Si en un cine estuvieran ocupadas los 3/5 de las butacas, sobrarían 60 asientos más

que si estuvieran ocupadas los 3/4 de las butacas. ¿Cuántas plazas tiene el cine?

Solución: 400 butacas.

25. De un depósito de agua que estaba lleno, el lunes se gastaron 2/7; el martes, 1/6; y

el miércoles, 1/5 de su capacidad, quedando aún 7300 litros. ¿Cuál es la

capacidad del depósito? Solución: 21 000 litros

26. Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean

iguales. (Solución: k = 12 o k = – 12)

27. El numerador de una fracción positiva es 4. Si añadimos 9 unidades al

denominador el valor de la fracción disminuye en una unidad. ¿Cuál es el

denominador original? (Solución: El denominador es 3)

D. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y

racionales con dinero.

28. Marta tiene dos terceras partes del dinero que tiene Tatiana, y entre ambas juntan

25 €. ¿Cuánto tiene cada una? Solución: Tatiana 15 € y Marta 10 €

29. Rosa ha salido 5 días de vacaciones. Sabiendo que en total ha gastado 130 €, y

que cada día gastó 3 euros más que el día anterior, ¿cuánto gastó el primer día?

Solución: 20 €

30. Un bolígrafo cuesta 25 céntimos más que un lapicero. He pagado 3 € por 3

lapiceros y 2 bolígrafos. ¿Cuál es el precio de cada uno? Solución: Lápiz 0,50 €;

bolígrafo 0,75 €

31. Un rotulador cuesta lo mismo que dos bolígrafos, y un bolígrafo lo mismo que

tres lapiceros. Por un rotulador, un bolígrafo y dos lapiceros he pagado 3,30 €.

¿Cuánto cuesta cada artículo? Solución: Rotulador 1,80 €; bolígrafo 0,90 €;

lapicero 0,30 €

32. Una cinta de música cuesta 8 € menos que un cd, pero el precio de dos cintas

sobrepasa en 2 € al de un cd. ¿Cuánto cuesta una cinta y cuánto un disco?

Solución: Cinta 10 €; CD, 18 €

33. Un kilo de manzanas cuesta el doble que uno de naranjas. Por 3 kilos de naranjas

y 1 de manzanas he pagado 6€. ¿Cuál es el precio de cada fruta? Solución:

Manzanas 2,40€; naranjas 1,20€

º –

–

6

34. Tres hermanos se reparten 1300 €. El mayor recibe doble que el mediano y este el

cuádruplo que el pequeño.¿Cuánto recibe cada uno? Solución: Mayor 800 €;

mediano 400 €; pequeño 100€

35. Con el dinero que tengo puedo comprar tres cintas de música y dos discos, y aún

me sobrarían 4 €. También podría comprar únicamente 4 discos y no me sobraría

nada. ¿Cuánto dinero tengo sabiendo que un disco cuesta el doble que una cinta?

Solución: 32 €

36. Natalia tiene 4 euros más que Andrés, pero la mitad que Rosa. ¿Cuánto tiene cada

no si entre los tres juntan 40 euros? Solución: Natalia 11€; Andrés 7 €; Rosa 22 €

37. Jorge tenía en la hucha 62 € y su hermana Marta 39 €. Han comprado, y pagado a

medias, un regalo para el cumpleaños de su madre. ¿Cuál ha sido el precio del

regalo si ahora Jorge tiene el doble que Marta? Solución: 32 €

38. Un joven gasta 1/5 de su dinero en transporte; 1/4 en el cine y 3/8 en un libro. Si

aún le quedan 3,50 €, ¿cuánto tenía? Solución: 20 €

E. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y

racionales con edades.

39. La edad de Juan era, hace nueva años, la raíz cuadrada de la que tendrá dentro de

11. Determinar su edad actual.(Solución: 14 años)

40. Las edades actuales de una mujer y su hija son 49 y 25 años. ¿Hace cuántos años

el producto de sus edades era 640? (Solución: 9 años)

41. ¿Qué edad tiene Rita sabiendo que dentro de 24 años tendrá el triple de la que

tiene ahora? Solución: 12 años

42. Entre un padre y dos hijas tienen 48 años. La edad de la hija mayor es el triple

que la edad de la menor. La edad del padre es el quíntuplo de la suma de las

edades de las hijas. ¿Cuál es la edad de cada una? Solución: Padre 40 años; hija

mayor 6 años; hija menor 2 años.

43. Juan tiene 4 años menos que su hermano Víctor y un año más que su hermana

Carol. Si entre todos suman 30 años, ¿cuál es la edad de cada uno? Solución:

Juan 9 años; Víctor 13 años; Cárol 8 años.

44. Mi padre le saca 3 años a mi madre, quien tiene 26 años más que yo. ¿Qué edad

tenemos cada uno si entre los tres sumamos 100 años? Solución: Padre 44 años;

madre 41 años; hijo 15 años.

º –

–

7

45. Roberto tiene 3 años más que su amiga Natalia y 4 menos que su amigo Federico.

¿Cuántos años tiene cada uno sabiendo que el año que viene, entre los tres,

completarán un siglo? Solución: Roberto 32 años; Natalia 29 años;

Federico 36 años

46. Las edades de Juan, Carmela y Rosa suman 39 años. Carmela tiene cinco años

menos que Juan y dos más que Rosa. ¿Cuál es la edad de cada uno? Solución:

Juan 17 años; Carmela 12 años; Rosa 10 años.

47. La edad de Rosa es triple que la de su hija Sara, pero dentro de 10 años será

solamente el doble. ¿Qué edad tiene cada una? Solución: Rosa 30 años;

Sara 10 años

48. ¿Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su

edad actual? Solución: 14 años

49. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad, se obtiene la edad de Andrea. Cuál

es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años? Solución: 16 años

50. Si a Pablo se le doblará la edad, aún le faltarían 5 años para igualar la edad de su

padre. Sabiendo que Pablo nació cando su padre tenía 25 años, ¿cuál es la edad de

cada uno? Solución: Pablo 20 años; padre 45 años

51.Hace 15 años mi edad era 2/3 de la que tengo ahora. ¿Cuál es mi edad actual?

Solución: 45 años.

52. Si al triple de mi edad le restas el quíntuplo de la que tenía hace 12 años,

obtendrás mi edad actual. ¿Cuántos años tengo? Solución: 20 años

53. Amelia tiene 14 años y su hermano Jorge, 12. ¿Cuántos años deben transcurrir

para que entre los dos completen medio siglo? Solución: 12 años

54. Un padre tiene 47 años y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la

edad del padre sea triple que la del hijo? Solución: 7 años

F. Problemas mediante ecuaciones polinómicas, bicuadradas, radicales y

racionales con geometría.

55. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un

camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su

área es 540 m². (Solución: 3 m)

56. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una

caja ortogonal de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina

y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. (Solución: 26 cm por 22

cm con 6 cm de alto como dice el enunciado).

º –

–

8

57. Halla la medida de los tres lados de un triángulo rectángulo si son tres números

consecutivos. (Solución: 3, 4 y 5 unidades)

58. Un rectángulo de área 84 cm2 tiene su base 5 cm más larga que su altura. Halla

sus dimensiones. (Solución: 7 cm y 12 cm)

59. El perímetro de un triángulo isósceles es 19 cm. La longitud de cada uno de los

lados iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto

miden los lados del triángulo? (Solución: Los lados iguales miden 8 cm mientras

que el lado desigual mide 3 cm)

60. En un triángulo isósceles los lados iguales miden 13 cm y la altura mide 2 cm

más que la base. Calcula el área. (Solución: altura 12 cm; base 10 cm y

área 60 cm2)

61. El perímetro de un triángulo isósceles es 34cm y el lado desigual mide 2 cm

menos que cada uno de los lados iguales. Calcula la medida de cada lado.

Solución: Lados iguales 12 cm; lado desigual 10 cm

62. La base de un rectángulo es 5 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 42

cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. Solución: Base 13 cm; altura 8 cm

63. Calcula las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendo que la diagonal

mide 58 cm y el lado mayor excede en 2 cm al menor. (Solución: 40 cm y 42 cm)

64. Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 cm y a su

lado contiguo se aumenta en 3 cm, se consigue un aumento de área de 71 cm2.

¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado inicial? (Solución: 7 cm).

65. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es triple que la

altura y que el perímetro mide 96 cm. (Solución: Base 36; altura 12 cm)

66. En un triángulo isósceles, la base mide la mitad que uno de los lados iguales, y el

perímetro es 55 cm. ¿Cuánto miden los lados del triángulo? (Solución: Lados

iguales 22 cm; lado desigual 11 cm)

67. En un triángulo, el ángulo mayor es doble que el mediano, y el mediano es triple

que el menor. ¿Cuánto mide cada ángulo? Solución: 18º; 54ª; 108ª

68. En un triángulo escaleno, el lado mediano es 5 cm más corto que el lado mayor 5

cm más largo que el lado menor. Calcula los lados sabiendo que el perímetro es

de 45 cm. (Solución: 10cm; 15 cm; 20 cm)

69. La base de un rectángulo es triple que la altura. Si fuera 22 metros más largo y 2

metros más estrecho, el perímetro sería doble. ¿Cuáles son las dimensiones del

rectángulo? Solución: Base 15 cm; altura 5 cm

º –

–

9

G. Sistemas de ecuaciones lineales.

70. Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de sustitución.

𝑎) 2𝑥 − 5𝑦 = −1

−3𝑥 + 2𝑦 = −4 } 𝑏)

4𝑥 + 7𝑦 = −52𝑥 + 4𝑦 = −3

} 𝑐) 𝑥 − 3𝑦 = 3

4𝑥 + 𝑦 = −1 }

𝑑)

3𝑥

4−

2𝑦

3= −5

𝑥 + 2𝑦 = 2 } 𝑒)

𝑥 − 𝑦

3= 4

𝑥 − 1

2− 3𝑦 = 9

} 𝑓)

2𝑥 + 1

5 −

𝑦

2= −2

𝑥 + 2

4+

𝑦

3= 3

}

71. Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de igualación.

𝑎) 3𝑥 − 6𝑦 = 94𝑥 + 3𝑦 = 1

} 𝑏) −𝑥 + 2𝑦 = 63𝑥 + 5𝑦 = 4

} 𝑐) 2𝑥 − 𝑦 = 2

6𝑥 + 2𝑦 = 1 }

𝑑)

𝑥

3−

𝑦

2= −1

𝑥 + 2𝑦 = 11 } 𝑒)

𝑦

3= 𝑥 + 4

𝑦 − 1

6= 1 + 3𝑥

} 𝑓)

3𝑥

4− 1 =

𝑦

2 𝑦

4+ 2 =

𝑥

3

}

72. Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método de reducción.

𝑎) 5𝑥 − 8𝑦 = 2 3𝑥 + 4𝑦 = 10

} 𝑏) 4𝑥 + 2𝑦 = 4 2𝑥 − 3𝑦 = −2

} 𝑐) 2𝑥 − 𝑦 = 3 𝑦 − 5𝑥 = −6

}

𝑑) 𝑥 − 2𝑦 = −

1

2

2𝑥 + 𝑦 = 3

2

} 𝑒) 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑦 − 𝑥 = 1

} 𝑓) 0´5𝑥 + 3𝑦 = 21´5𝑥 + 2𝑦 = 5

}

73. Resuelve los siguientes sistemas lineales por el método gráfico.

𝑎) 2𝑥 − 𝑦 = 4 3𝑥 + 𝑦 = 1

} 𝑏) 𝑥 + 2𝑦 = 2

3𝑥 − 2𝑦 = 2 } 𝑐)

𝑥 − 𝑦 = 6 𝑥 + 𝑦 = 2

}

𝑑) 𝑥 = 4 − 𝑦

𝑦 + 5 = 2𝑥 } 𝑒)

3𝑥 + 4𝑦 = −3 𝑦 − 2𝑥 = 2

} 𝑓) 𝑥 + 2 · (1 − 𝑦) = −13 · (𝑥 + 1) + 2𝑦 = 2

}

74. Representa los siguientes sistemas y explica qué ocurre con sus soluciones,

𝑎) 4𝑥 − 2𝑦 = 6−2𝑥 + 𝑦 = −3

} 𝑏) 2𝑥 + 𝑦 = 1 6𝑥 + 3𝑦 = 2

} 𝑐) −𝑥 − 𝑦 = 6

𝑥 + 𝑦 = 2 }

𝑑) 3𝑥 − 𝑦 = −1 −9𝑥 + 3𝑦 = 3

} 𝑒) 𝑥 + 2𝑦 = 2´5

2𝑥 + 4𝑦 = 5 } 𝑓)

8𝑥 − 12𝑦 = 4 −2𝑥 + 3𝑦 = −1

}

º –

–

10

75. Resuelve los siguientes sistemas y explica qué ocurre con sus soluciones,

𝑎) 𝑥 + 3𝑦 = 22𝑥 + 6𝑦 = 1

} 𝑏) −𝑥 + 𝑦 = 3

𝑥 − 𝑦 = 4 } 𝑐)

𝑥 + 2𝑦 = 1 3𝑥 + 6𝑦 = 3

}

𝑑) 𝑥 − 𝑦 = 1

−𝑥 + 𝑦 = 1 } 𝑒)

−𝑥 − 2𝑦 = 1 3𝑥 + 6𝑦 = −3

} 𝑓) 2𝑥 − 4𝑦 = 2 −𝑥 + 2𝑦 = 3

}

76.Clasifica los siguientes sistemas en Sistemas Compatibles Determinados,

Compatibles indeterminados o Sistemas Incompatibles en función del número de

soluciones del sistema.

𝑎) 2𝑥 − 𝑦 = 4 3𝑥 + 𝑦 = 1

} 𝑏) 𝑥 + 2𝑦 = 2

3𝑥 − 2𝑦 = 2 } 𝑐)

𝑥 − 𝑦 = 6 𝑥 + 𝑦 = 2

}

𝑑) 𝑥 = 4 − 𝑦

𝑦 + 5 = 2𝑥 } 𝑒)

3𝑥 + 4𝑦 = −3 𝑦 − 2𝑥 = 2

} 𝑓) 𝑥 + 2 · (1 − 𝑦) = −13 · (𝑥 + 1) + 2𝑦 = 2

}

77. ¿Qué representación gráfica tendrán los sistemas del ejercicio anterior y por qué?

78. Responde a las siguientes cuestiones:

a) Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos 3 = 3. ¿De qué tipo de

sistema se trata?, ¿cuántas soluciones tiene?, ¿qué representación gráfica

tendrá?

b) Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos 0 = – 2. ¿De qué tipo

de sistema se trata?, ¿cuántas soluciones tiene?, ¿qué representación gráfica

tendrá?

c) Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos 0 = 0. ¿De qué tipo de

sistema se trata?, ¿cuántas soluciones tiene?, ¿qué representación gráfica

tendrá?

d) Resolviendo un sistema de ecuaciones lineal obtenemos – 3 = 5. ¿De qué tipo

de sistema se trata?, ¿cuántas soluciones tiene?, ¿qué representación gráfica

tendrá?

º –

–

11

H. Sistemas de ecuaciones no lineales.

79. Resuelve los siguientes sistemas no lineales,

𝑎) 𝑥2 + 3𝑦 = −5

2𝑥2 + 𝑦2 = 6 } 𝑏)

𝑥𝑦 = 16−𝑥 + 4𝑦 = 12

} 𝑐) 𝑥2 = 4 − 6𝑦

𝑥

𝑦= −2

}

𝑑) 𝑥2 − 𝑦 = 1

𝑥 + 𝑦2 = 7 } 𝑒)

3𝑥3 − 2𝑦2 = −11

2𝑥3 + 𝑦2 = 2 } 𝑓)

2𝑥

𝑦= 3

4𝑥2 − 3𝑦2 = 24

}

𝑔)

𝑥𝑦 = 64 𝑥

𝑦= 4 } ℎ)

4𝑥2 − 2𝑦3 = 6

3𝑥2 + 6𝑦3 = −3 } 𝑖)

2𝑥 − 𝑦2 = −2

𝑥3 + 𝑦 = 3 }

𝑗) 𝑥 = 𝑦2

𝑥 + 𝑦4 = 20 } 𝑘)

𝑥 · 𝑦3 = −24

𝑥 + 𝑦3 = −5 } 𝑙)

𝑥3 + 2𝑦 = −3

𝑥2 + 3𝑦 = −5 }

I. Problemas con sistemas de ecuaciones lineales.

80. En un parque de atracciones subir a la noria cuesta 1 € y subir a la montaña rusa

4 €. Ana sube un total de 13 veces y gasta 16 €. ¿Cuántas veces subió a cada

atracción? (Solución: 12 veces a la noria y 1 a la montaña)

81. En un almacén hay dos tipos de lámparas: las de tipo A que tienen 2 bombillas; y

las de tipo B que usan 7 bombillas. Si en total hay en el almacén 25 lámparas y

160 bombillas, ¿cuántas lámparas hay de cada tipo? (Solución: 3 son del tipo A y

22 del tipo B)

82. En un hotel hay 67 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el total de camas de

92, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo? (Solución: 25 dobles y 42 sencillas).

83. En un corral hay ovejas y gallinas. Si hay un total de 77 animales y contamos 274

patas, ¿cuántas ovejas y cuántas gallinas hay? (Solución 17 gallinas y 60 ovejas)

84. Una empresa ha gastado 1.500 € en comprar un móvil a cada uno de sus 25

empleados. Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 € y

otro a 50 €. ¿Cuántos móviles de cada modelo compró? (Solución: 10 móviles de

75 € y 15 móviles de 50 €).

85. El triple de un número más la mitad de otro suman 10. Si sumamos 14 unidades

al primer número obtenemos el doble del segundo. ¿Cuáles son dichos números?

(Solución: Son 2 y 8)

º –

–

12

86. La profesora de actividades extraescolares recauda para una excursión 335 € en

billetes de 5 € y de 10 €; si en total tiene 52 billetes, ¿cuántos tiene de cada

clase?(Solución:15 de 10€, 37 de 5€)

87. Beatriz pagó 272 € por cuatro entradas para un concierto y 8 para el teatro.

Ángela pagó 237 € por 9 entradas para el mismo concierto y 3 para el mismo

teatro. ¿Cuánto cuesta la entrada a cada espectáculo? (Solución: La entrada del

teatro 25 € y la del concierto 18 €).

88. Entre Beatriz y Sara tienen 124 libros. Si Beatriz le diera a Sara 3 libros entonces

Beatriz tendría el triple de libros que Sara. ¿cuántos libros tiene ahora cada una?

(Solución: Beatriz tiene 96 libros y Sara 28 libros)

J. Problemas con sistemas de ecuaciones NO lineales.

89. El producto de dos números es 144 y la suma de sus cuadrados es 612.¿Cuáles

son esos números? (Solución: 6 y 24).

90. Para vallar una finca rectangular de 750 m² en la que aprovechamos que uno de

los lados tiene una pared para no vallarlo, se han utilizado un total de 85 m de

cerca. Calcula las dimensiones de la finca. (Solución: 40 m de largo por 15 m de

ancho teniendo la pared en uno de los lados de 15 m o 60 m de largo por 22´5 m

de ancho teniendo la pared en uno de los lados de 60 m).

91. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que uno de los lados. Calcula las

dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 14 cm. (Solución:Las

dimensiones son 3 cm y 4 cm)

92. El doble del cuadrado de la edad de un hijo es la edad de su padre. Dentro de 10

años, la edad del padre será el triple que la del hijo, ¿Cuántos años tiene

actualmente cada uno? (Solución: 32 años y 4 años)

93. El producto de las dos cifras de un número es 14 y la suma de la cifra de las

unidades con el doble de las de las decenas es 16. Halla el número. (Solución: El

número es el 72).

94. Halla dos números naturales cuya suma es 24 y su producto es 135. (Solución:

Son el 9 y el 15)

95. La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 cm2 y la suma de sus perímetros es

56 cm, ¿cuánto miden los lados? (Solución: Miden 6 y 8 cm)

96. Para vallar una finca rectangular de 720 m2 se han utilizado 112 m de cerca.

Calcula las dimensiones de la finca. (Solución: 36 m y 20 m)

97. La suma de las edades de dos personas es 18 años y el producto 77, ¿qué edad

tiene cada una? (Solución: 7 y 11 años)

* Colección obtenida del I.E.S.”Pablo Serrano” cuyo autor es Francisco Soler a la

que se le han añadido problemas de LA WEB DEL PROFE DE MATES.