Algintercap 3_formulas y Aplicaciones de Algebra

170

Captulo 3

Frmulas y aplicacionesdel lgebra

3.1 Frmulas

3.2 Conversin deproblemas de aplicacinen ecuaciones

3.3 Solucin de problemasde aplicacin

3.4 Problemas geomtricos

3.5 Problemas de movimiento,dinero y mezclas

Resumen del captuloEjercicios de repaso

del captuloExamen de prctica

del captuloExamen de repaso

acumulativo

E l acondicionamiento fsico se ha vuelto parte importante en la vida cotidiana. Encontra-mos gente corriendo, haciendo ciclismo y patinando en pistas de parques locales y en sen-deros naturales. Hacer ejercicio con amigos es motivador y ayuda al entretenimiento. En lapgina 221 resolvemos una ecuacin con base en la frmula de la distancia para determinarcunto tiempo tardar una persona en bicicleta en alcanzar a un amigo que comenz a correrms temprano por la ruta del Parque Griffith, en los ngeles, California.

Seccin 3.1 Frmulas 171

Avance de la leccin n este captulo mostraremos la terminologa y tcnicas necesarias para escribirproblemas de la vida real como ecuaciones. Despus resolveremos las ecuacio-

nes mediante los procedimientos del captulo 2. Para que las matemticas sean per-tinentes,deben ser tiles.En este captulo explicaremos e ilustraremos las aplicacionesdel lgebra en la vida real; debido a su importancia, queremos que lo aprenda bien ysienta confianza al aplicar las matemticas a situaciones reales. Es por ello que el ma-terial de este captulo lo cubriremos a un ritmo especial: lentamente. Debe tener con-fianza en su trabajo y hacer todas las tareas; mientras ms problemas resuelva, mejordesempeo tendr al plantear y resolver problemas de aplicacin (o verbales).

Comenzaremos con el anlisis de las frmulas. Explicaremos cmo evaluaruna frmula y despejar una variable. La mayora de los cursos de matemticas yciencias utilizan una amplia variedad de frmulas, al igual que en muchas otrasdisciplinas, incluso en las artes, negocios y economa, medicina y tecnologa, slopor citar algunas.

E

3.1 FRMULAS

1 Uso de la frmula del inters simple.

2 Uso de frmulas geomtricas.

3 Despejar una variable de una frmula.

Una frmula es una ecuacin utilizada por lo general para expresar una relacinmatemtica particular; por ejemplo, la frmula del rea de un rectngulo es:

rea largo ancho, o bien A laPara evaluar una frmula, sustituimos los valores numricos de las variables

y realizamos las operaciones indicadas.

1 Uso de la frmula del inters simple

Una frmula utilizada en el sistema bancario es la frmula de inters simple.

Frmula de inters simple

inters capital tasa de inters tiempo, o bien i prt

Aplicamos esta frmula para determinar el inters simple, i, generado por al-gunas cuentas de ahorro, o bien el inters simple que una persona debe pagar porciertos prstamos. En la frmula de inters simple, i prt, p es el capital (la can-tidad invertida o recibida en prstamo), r es la tasa de inters expresada en formadecimal, y t es el tiempo de inversin o prstamo.

EJEMPLO 1 Crdito para automvil Darcy Betts pide un prstamo de $10,000 a 3 aos, paracomprar un carro. El banco cobra una tasa de inters simple de 5% por el prsta-mo. Cunto pagar de intereses al banco?

Solucin Entender y traducir Como el banco cobra inters simple, empleamos la frmula deste para resolver el problema. Tenemos la tasa de inters, r, de 5% o 0.05 en for-ma decimal. El capital, p, es de $10,000, y el tiempo, t, de 3 aos. Sustituimos estosvalores en la frmula de inters simple y resolvemos para el inters, i.

Calcular

Revisar Hay varios modos de revisar este problema. En primer lugar, pregntese:es lgica la respuesta? $1500 es un valor lgico. El inters por $10,000 al 5% enel ao 1 es $500. Por tanto, para tres aos es de $1500.

i = 1500 i = 10,00010.052132 i = prt

##

#

172 Captulo 3 Frmulas y aplicaciones del lgebra

*Para informacin adicional acerca de la geometra y figuras geomtricas, consulte el apndice C.

TABLA 3.1 Frmulas de reas y permetrosde cuadrilteros y tringulos*

Figura Dibujo rea Permetro

Cuadrado

Rectngulo

Paralelogramo

Trapecio

Tringulo P = a + b + cA =12

bh

P = a + b + c + dA =12

h1b + d2

P = 2l + 2aA = lh

P = 2l + 2aA = la

P = 4lA = l2l

a

l

a

l

h

b

d

ca h

b

ha c

Respuesta Darcy pagar $1,500 de inters. Despus de 3 aos, cuando devuelvael prstamo, pagar el capital, $10,000, ms el inters de $1,500, lo que har un to-tal de $11,500.

EJEMPLO 2 Cuenta de ahorros John Starmack invierte $4000 durante dos aos en una cuen-ta de ahorro que paga inters simple. Si el inters que gan por la cuenta es de $500,encuentre la tasa de inters.

Solucin Entender y traducir Empleamos la frmula del inters simple, Tenemosel capital, p, el tiempo, t, y el inters, i. Debemos calcular la tasa de inters, r. Sus-tituimos los valores dados en la frmula de inters simple y despejamos r.

Calcular

Revisar y responder La tasa de inters simple de 0.0625 o 6.25% por ao es l-gica. Si sustituimos p $4000, r 0.0625 y t 2, obtenemos el inters, i $500.As, la respuesta coincide. La tasa de inters simple es de 6.25%.

2 Uso de frmulas geomtricas

El permetro, P, es la suma de las longitudes de los lados de una figura. Expresa-mos el permetro en la misma unidad de longitud utilizada para los lados; porejemplo, en centmetros, pulgadas o pies. El rea, A, es la superficie total dentro delos lmites de la figura. Medimos las reas en unidades cuadradas como: centme-tros cuadrados, pulgadas cuadradas o pies cuadrados. En la tabla 3.1 presentamos

0.0625 = r

500

8000=

8000r8000

500 = 8,000r 500 = 40001r2122

i = prt

i = prt.

AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 91

FIGURA 3.1


las frmulas para calcular las reas y los permetros de tringulos y cuadrilteros.Cuadriltero es el nombre general para una figura de cuatro lados.

En la tabla 3.1 utilizamos la letra h para representar la altura. En el trape-cio, los lados b y d reciben el nombre de bases. En el tringulo, el lado b se deno-mina base.

EJEMPLO 3 Construccin de un rea para ejercicio El mdico veterinario Hal Balmer deci-di cercar un rea rectangular del patio trasero de su oficina, con la finalidad deejercitar a los perros que estn pensionados. La seccin que va a cercar tendr40 pies de largo y 23 de ancho (figura 3.1).

a) Qu cantidad de cerca necesita?

b) Qu tan grande, en pies cuadrados, ser el rea cercada?

Solucin a) Entender Para encontrar la cantidad de cerca que requerir, necesitamoscalcular el permetro del espacio que se va a cercar. Sustituyamos 40 por l y 23 pora en la frmula del permetro del rectngulo: P 2l 2a.

Calcular

Revisar y responder Al ver la figura 3.1, observamos que un permetro de 126pies es una respuesta razonable.As que, necesitamos 126 pies de material para cer-car el espacio en que se ejercitar a los perros.

b) Para obtener la superficie que va a cercar, sustituimos en la frmula del rea delrectngulo 40 para la longitud y 23 para el ancho. Medimos tanto la longitud co-mo el ancho en pies. Como multiplicaremos una cantidad medida en pies por otratambin medida en pies, la respuesta estar en pies cuadrados (o pies2).

Con base en los datos proporcionados, el rea de 920 pies2 es lgica. La superficiepor cercar ser de 920 pies cuadrados.

EJEMPLO 4 Fotos panormicas Cathy Panic compr una cmara para tomar fotos panormi-cas (como la que se muestra), adems de fotos regulares. Una foto panormicatiene un permetro de 27 pulgadas y una longitud de 10. Encuentre el ancho de lafoto.

= 401232 = 920 pies cuadrados (o 920 pies2) A = la

P = 21402 + 21232 = 80 + 46 = 126P = 2l + 2a

40 pies23 pies

FIGURA 3.2


Solucin Entender y traducir El permetro, P, es de 27 pulgadas, y la longitud, l, es de 10.Sustituimos estos valores en la frmula del permetro de un rectngulo y despeja-mos el ancho, a.

Calcular

Restar 20 de ambos lados.

Dividir ambos lados entre 2.

Revisar y responder Comparando la fotografa con alguna otra que tenga a lamano podra darse cuenta de que las dimensiones de 10 pulgadas de largo y la res-puesta de que el ancho de la foto es de 3.5 pulgadas son razonables.

EJEMPLO 5 Karin Wagner, propietaria de un velero pequeo, necesita reemplazar una velatriangular que est desgastada.Al ordenar la vela, necesita especificar la base y al-tura de sta. Mide la base y encuentra que tiene 5 pies (figura 3.2).Tambin recuer-da que la vela tiene un rea de 30 pies cuadrados. Ella no quiere retirar la vela paramedir su altura, de modo que emplea el lgebra para calcularla. Encuentre la al-tura de la vela de Karin.

Solucin Entender y traducir Empleamos la frmula proporcionada en la tabla 3.1 para elrea de un tringulo.

Calcular Multiplicar ambos lados por 2.

Dividir los dos lados entre 5.

Revisar y responder La altura del tringulo es de 12 pies.Al ver la figura 3.2, nosdamos cuenta que una vela de 12 pies de altura y 5 de base es razonable. Por tan-to, la respuesta es correcta.

Otra figura que vemos y utilizamos de manera cotidiana, es el crculo. Lacircunferencia, C, es la longitud (o permetro) de la curva que constituye al crcu-lo. El radio, r, es el segmento de lnea recta que va del centro a cualquier punto delcrculo (figura 3.3a). El dimetro es un segmento de lnea que pasa por el centro

12 = h

60

5=

5h

5

60 = 5h

2 # 30 = 2 # 12

152h 30 =

12

152h A =

12

bh

3.5 = a

72

= a

7

2=

2a

2

7 = 2a 27 - 20 = 20 - 20 + 2a

27 = 20 + 2a 27 = 21102 + 2a P = 2l + 2a

dr

(a) (b)

FIGURA 3.3


5 pies

Pitgoras


EJEMPLO 6 Helipuerto El Centro Mdico Universitario (University Medical Center) tienecerca de la entrada a la sala de emergencias un helipuerto circular, para los heli-cpteros ambulancia. Determine el rea y permetro del helipuerto si su dimetroes de 40 pies.

Solucin El radio es la mitad del dimetro, por lo que

Para obtener nuestra respuesta de 1256. 64, utilizamos la tecla de una cal-

culadora, y la respuesta final se redonde al centsimo ms cercano. Si no posee

una calculadora que tenga la tecla y utiliz el valor de 3.14 para , la respues-

ta para el rea habr sido de 1256. La tabla 3.3 proporciona frmulas para calcular el volumen de ciertas figu-

ras tridimensionales. El volumen se mide en unidades cbicas, como centmetroscbicos o pies cbicos.

p

p A L 1256.64 pies cuadrados A = p14002 P L 125.66 pies A = p12022 P = 2p1202 A = pr2 P = 2pr

r =402

= 20 pies.

TABLA 3.2 Frmulas para el crculo

Crculo rea Permetro

P = 2prA = pr2r

y cuyos dos extremos estn sobre el crculo (figura 3.3b). Observe que la longituddel dimetro es el doble del radio.

La tabla 3.2 muestra las frmulas tanto para el rea como para el permetro(o circunferencia) de un crculo.

Uso de la calculadora

Las calculadoras cientficas y graficadoras tienen una tecla para el valor de . Si oprimimos la tecla ,

la calculadora mostrar en la pantalla el nmero 3.1415927. ste slo es una aproximacin de . Si tiene una

calculadora cientfica o graficadora, utilice la tecla para evaluar expresiones que contengan a . Si su cal-

culadora no tiene una tecla , use el valor de 3.14 para aproximarlo. Al evaluar una expresin que conten-

ga , usaremos la tecla de la mquina para obtener la respuesta. Por tanto, la solucin final que se presente

en el texto o en la seccin de respuestas, tal vez sea un poco diferente (y ms precisa) que la que obtenga si

utiliza 3.14 como valor de .

p

p

p

p

El valor de pi, representado por la letra griega minscula , es un nmero irracio-nal que no se puede expresar con exactitud en forma de nmero decimal o comocociente de dos nmeros; por tanto, podemos decir que el valor de pi es aproxima-damente de 3.14.



TABLA 3.3 Frmulas para calcular volmenesde figuras tridimensionales

Figura Dibujo Volumen

Prisma rectangular

Cilindro circular recto

Cono circular recto

Esfera V =43

pr3

V =13

pr2h

V = pr2h

V = lah

a

h

l

r

h

r

r

h

*La circunferencia oficial de una pelota de voleibol no debe ser menor de 25 pulgadas ni mayor de 27.

EJEMPLO 7 Wilson En la pelcula Castaway (El nufrago), con Tom Hanks,Tom tiene una pe-lota de voleibol como amiga y la llama Wilson.Wilson tiene un dimetro de aproxi-madamente 8.6 pulgadas.* Calcule el volumen de aire que hay dentro de la pelota.

Solucin Entender y traducir La tabla 3.3 proporciona la frmula para el volumen de laesfera. Esta frmula involucra el radio. Como el dimetro es de 8.6 pulgadas, su

radio es de

Calcular V =43

p14.323 = 43

p179.5072 L 333.04 V =

43

pr3

8.62

= 4.3 pulgadas.


a)

=252

-152

=102

= 5

=12

1252 - 32

152 =

12

1522 - 32

152 d =

12

n2 -32

n b)

= 32 - 12 = 20

=12

1642 - 12 =

12

1822 - 32

182 d =

12

n2 -32

n

Revisar y responder Un pie cbico ocupa un espacio de 12 pulg 12 pulg 12 pulg,o 1728 pulgadas cbicas. Como una pelota de voleibol cabra en una caja de 1 pie por1 pie por 1 pie, y la respuesta es menor que 1728 pulgadas cbicas, es aceptable. Elvolumen de la pelota de voleibol es de alrededor de 333 pulgadas cbicas.

EJEMPLO 8 Altura de un recipiente para gas El recipiente que se ilustra en la figura 3.4 esun cilindro circular recto. Encuentre su altura si tiene un radio de 8 pulgadas y vo-lumen de 4021 pulgadas cbicas.

Solucin Entender y traducir Sabemos que V 4021 y que r 8. Sustituimos estos valo-res en la frmula del volumen de un cilindro recto, y despejamos la altura, h.

Calcular

Dividir ambos lados entre 64

Respuesta La altura del recipiente es alrededor de 20 pulgadas.

EJEMPLO 9 Diagonales de un cuadriltero Un cuadriltero es un polgono* que tiene cua-

tro lados (figura 3.5). Observe que tiene dos diagonales. El nmero de diagonales,d, de un polgono de n lados est dado por la frmula

a) Cuntas diagonales tiene un pentgono (cinco lados)?

b) Cuntas diagonales tendr un octgono (ocho lados)?

Solucin

d = 12 n2 -32 n.

AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25

20 L h

402164p

= 64p h

64p

4021 = p1642h 4021 = p1822h

V = pr2h

*Un polgono es una figura cerrada formada por segmentos de lneas rectas (por ejemplo, un tringu-lo o un cuadrado). En el apndice C se estudian los polgonos.

Un pentgono tiene 5 diagonales y un octgono tiene 20. 3 Despejar una variable de una frmula

Es frecuente que en este curso y en otros de matemticas y ciencias, demos unaecuacin o frmula con una variable despejada y tengamos que despejar otra; aho-ra aprenderemos cmo hacerlo. Este material reforzar lo que aprendi en el ca-ptulo 2 acerca de la forma de resolver ecuaciones. En muchas otras secciones dellibro emplearemos los procedimientos aprendidos en este captulo a fin de resol-ver problemas.

Para despejar una variable en una frmula, consideramos cada una de lascantidades, excepto la que vamos a despejar, como si fueran constantes. Despus,despejamos la variable deseada, aislndola en un lado de la ecuacin, como se hi-zo en el captulo 2.

8 pulg

h

FIGURA 3.4

1 2

FIGURA 3.5



EJEMPLO 10 Permetro de un rectngulo La frmula para el permetro de un rectngulo es P 2l 2a. Despeje la longitud, l.

Solucin Asle l en un lado de la ecuacin. Comenzamos eliminando 2a del lado derecho dela ecuacin a fin de despejar al trmino que contiene a l.

Restamos 2a de ambos lados.

Dividimos los dos lados entre 2.

EJEMPLO 11 Frmula del inters simple En el ejemplo 1 utilizamos la frmula del inters sim-ple . Despeje el capital, p.

Solucin Despejemos p. Como sta se encuentra multiplicada tanto por r como por t; divi-dimos ambos lados de la ecuacin entre rt.

Cuando estudiemos el tema de graficacin, en el captulo 7, necesitaremos

despejar y en muchas ecuaciones. Asimismo, al graficar una ecuacin en una cal-culadora graficadora, necesitaremos despejar y antes de trazar su grfica. En elejemplo 12 se ilustra el procedimiento para despejar y en una ecuacin.

EJEMPLO 12 a) Despeje y en la ecuacin .b) Encuentre el valor de y si x 6.

Solucin a) Comenzamos por aislar el trmino que contiene la variable y.

Restamos 2x de ambos lados.

Dividimos los dos lados entre 3.

b) Para calcular el valor de y cuando x vale 6, sustituimos 6 en lugar de x en laecuacin que resolvimos para y en el inciso a).

y =12 - 2162

3=

12 - 123

=03

= 0

y =12 - 2x

3

y =12 - 2x

3 ao bien y = 12

3-

2x3

= 4 -23

xb 3 y

3 =

12 - 2x 3

3y = 12 - 2x 2x - 2x + 3y = 12 - 2x

2x + 3y = 12

2x + 3y = 12

i

rt= p

i

rt=

p rt

rt

i = prt

i = prt

P - 2a

2= l ao bien l = P

2- ab

P - 2a

2=

2 l

2

P - 2a = 2l P - 2a = 2l + 2a - 2a

P = 2l + 2a




Observamos que cuando x 6, y 0. Ciertas frmulas contienen fracciones. Si en una frmula hay una fraccin,

la eliminamos multiplicando ambos lados de la ecuacin por el mnimo comn de-nominador, como se ilustra en el ejemplo 13. Empleamos la propiedad de igual-dad de la multiplicacin, como explicamos en la seccin 2.3.

EJEMPLO 13 La frmula para obtener el rea de un tringulo es Despeje h.

Solucin Multiplicamos ambos lados de la ecuacin por el mcd, a fin de eliminar la frac-cin. Despus, despejamos la variable h.

Multiplicamos ambos lados por 2.

Dividimos ambos lados entre b.

As, En el captulo 7 introduciremos la forma punto-pendiente de una ecuacin

lineal; usted deber resolver ecuaciones similares a las del ejemplo 14.

EJEMPLO 14 Despeje y en la ecuacin .

Solucin Multiplicamos ambos lados de la ecuacin por el mcd, que es 12.

Multiplicar por 12 los dos lados.

Utilizar la propiedad distributiva en el lado izquierdo.

Utilizar la propiedad distributiva en el lado derecho.

Sumar 4 en ambos lados.

Dividir ambos lados entre 12.

La respuesta puede expresarse como

76

.y =14

x

y =3

12 x -

1412

o bieny =3x - 14

12

y =3x - 14

12

12y = 3x - 14

12y - 4 = 3x - 18

12y - 4 = 31x - 62 12 ay - 1

3b = 12 # 1

4 1x - 62

y -13

=14

1x - 62

y -13

=14

1x - 62

h =2Ab

.

2Ab

= h

2Ab

= b h

b

2A = bh

2 # A = 2 # 1 2

bh

A =12

bh

A =12

bh.




1. an equation used to express a relationship mathematically 2. to substitute values and perform the indicated operations 7. Whenyou multiply a unit by the same unit, you get a square unit. 8. When you multiply the same unit three times, you get a cubic unit.

1. Qu es una frmula?

2. Qu significa evaluar una frmula?

3. Escriba la frmula del inters simple, luego indique lo querepresenta cada letra que aparece en ella.

4. Qu es un cuadriltero?

5. Cul es la relacin entre el radio y el dimetro de uncrculo?


Conjunto de ejercicios 3.1

Ejercicios conceptuales

6. es igual a 3.14? Explique su respuesta.

7. Con el uso de cualquier frmula para calcular algn rea,explique por qu medimos sta en unidades cuadradas.

8. Emplee cualquier frmula para obtener un volumen, y ex-plique por qu medimos ste en unidades cbicas.

Prctica de habilidades

Aplique la frmula para determinar el valor de la variable indicada. Use una calculadora para ahorrar tiempo, y, si es necesa-rio, redondee la respuesta al centsimo ms cercano.

9. (permetro de un cuadrado); encuentre P si l 6.24

10. A la (rea de un rectngulo); determine A para valoresde l 12 y a 8.

11. A l2 (rea de un cuadrado); encuentre A si l 7.

12. cm 2.54 in (para cambiar pulgadas a centmetros); obten-ga cm cuando pulg 12.

13. (permetro de un rectngulo); determine Psi l 8 y a 5.

14. (para convertir la velocidad expresada enmph, a pie/s); encuentre f para m 60.

15. (rea de un crculo); calcule A si r 5.

16. (frmula para determinar la potencia elctrica);determine r cuando p 2000 e i 4.

17. (frmula estadstica para obtener el valor z);

encuentre z para x 100, m 80, y s 10.

18. (rea de un tringulo); obtenga b cuando A 30

y h 10.

19. (volumen de un cono); obtenga h si V 60 y

B 12.

20. P 2l 2a (permetro de un rectngulo); determine l pa-ra P 28 y a 6 .

21. (media de dos valores); calcule n para valo-

res de A 36 y m 16.

A =m + n

2

V =13

Bh

A =12

bh

z =x - m

s

p = i2r

A = pr2

f = 1.47 m

P = 2l + 2a

P = 4s 22. (frmula financiera para hallar la canti-dad disponible que hay en una cuenta); diga cunto vale rsi A 1050, t 1, y P 1000.

23. (para convertir temperaturas de grados

Celsius a Fahrenheit); encuentre F si C 15.

24. (volumen de una esfera); determine el valor

de V cuando r 8.

25. (volumen de un cilindro); calcule h para valo-res de V 678.24 y r 6.

26. (para convertir temperaturas de grados

Fahrenheit a Celsius); determine F si C 68.

27. (para hallar el ndice de masa corporal); en-

cuentre el valor de a cuando B 24 y h 61.

28. (para obtener la fuerza de atraccin); calcule

m si F 6000 y g 32.

29. PV C rC (para determinar el precio de venta si se tie-ne el margen de utilidad de un artculo); determine PV pa-ra C 160 y r 0.12 (o 12%).

30. PV C rC (para hallar el precio de venta de un artcu-lo con descuento); obtener C para valores de PV 92 yr 0.08 (u 8%).

F =12

mg2

B =703a

h2

C =59

1F - 322

V = pr2 h

V =43

pr3

F =95

C + 32

A = P11 + rt2

En los ejercicios 37 a 60, despeje la variable indicada.

37. para l 38. para a 39. para t

40. para d 41. para l 42. para t

43. para b 44. para I

45. para a 46. para T

47. para t 48. para n

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60. A =a + b + c

3, para cR =

I + 3w2

, para w

A =m + 2d

3, para dA =

m + d2

, para m

V =13

pr2 h, para hV = pr2 h, para h

ax + by + c = 0, para yax + by = c, para yd = a + b + c, para by = mx + b, para xA = P + Prt, para ry = mx + b, para b3m + 2n = 25,5 - 2t = m,PV = KT,P = 2l + 2a,

E = IR,A =12

bh,

i = prt,V = lah,C = pd,t = d>rd = rt,w = A>lA = la,P = 4s,


En los ejercicios 31 a 36, utilice las tablas 3.1, 3.2 y 3.3 y determine cul es la frmula para calcular el rea o volumen de la fi-gura. Despus calcule ya sea la superficie o el volumen.

31. 32. 33.

34. 35. 36. L 134.04 m3

4 m

8 m

16.5 ft24 pies

7 pies

3 pies

60 ft3

5 pies

4 pies3 pies

L 452.39 cm34 cm

9 cm

L 28.27 ft2

6 pies

12 in.2

6 pulg.

4 pulg.

Para los ejercicios 61 a 76, a) Despeje y para cada ecuacin, despus b) encuentre el valor de y para el valor dado de x.

61. a) b) 62.

63. a) b) 8 64.

65. a) b) 0 66.

67. a) b) 68.

69. a) b) 70.

71. a) b) 6 72.

73. 74.

75. 76. y + 5 =34

ax + 12b , x = 0y - 1

5= 2ax + 1

3b , x = 4

y - 3 =23

1x + 42, x = 3y + 3 = - 13

1x - 42, x = 62x + 5y = 20, x = -5y = 1-x + 82>2-8 = -x - 2y, x = -4-12 = -2x - 3y, x = -2-5>2y = 1x - 52>215 - 3x = -6y, x = 03x - 2y = -18, x = -12>5y = 13x - 102>5-3x + 5y = -10, x = 415 = 3y - x, x = 3y = 13x - 122>55y = -12 + 3x, x = 4-2y + 6x = -10, x = 0y = 12x + 42>34x = 6y - 8, x = 106x + 2y = -12, x = -3-1y = -3x + 53x + y = 5, x = 2

Con el empleo de la frmula del ejemplo 9, encuentre el nmero de diagonales de la figura cuyo nmero de la-dos se proporciona.

d = 12 n2 -32 n,

77. 10 lados 78. 6 lados


Utilice la frmula para determinar la temperatura Celsius (C) equivalente a la temperatura Fahrenheit (F) dada.C = 59 1F - 32279. 80. F = 86F = 50

Utilice la frmula para determinar la temperatura Fahrenheit (F) equivalente a la temperatura dada en gradosCelsius (C).

F = 95 C + 32,

81. 82. F = 50C = 10F = 77C = 25

En qumica, la ley del gas ideal es , donde P es la presin, T es la temperatura, V el volumen y K es una constante.Determine la cantidad faltante.

P = KT>V

83. 84.

85. 86. P = 100, K = 2, V = 6P = 80, T = 100, V = 5T = 30, P = 3, K = 0.5T = 20, K = 2, V = 1

Solucin de problemas

87. Considere la frmula para calcular el rea de un cuadra-do, A l2. Si la longitud del lado, l, se duplica, cul es elcambio en su rea?

88. Considere la frmula para obtener el volumen de un cu-bo, V l3. Si se duplica la longitud de su arista, l, cul esel cambio que sufre su volumen?

La suma de los primeros n nmeros pares se encuentra pormedio de la frmula Determine la suma de losnmeros que se indica.

S = n2 + n.

89. Primeros 6 nmeros pares

90. Los primeros 10 nmeros pares

En los ejercicios 91 a 94 utilice la frmula del inters simple.

91. Prstamo para auto Thang Tran decidi pedir a Citibankun prstamo de $6000 que lo ayudar a pagar un auto. Suprstamo es por 3 aos con una tasa de inters simple de8%. Qu cantidad pagar de intereses?

92. Prstamo con inters simple Danielle Maderi prest $4,000a su hermano por un periodo de 2 aos. Al final de los 2aos, su hermano haba pagado los $4,000 ms $640 de in-ters. Qu tasa de inters simple pag?

93. Cuenta de ahorros Kate Lynch invirti cierta cantidad dedinero en una cuenta de ahorros que paga el 3% de inte-rs simple por ao. Cuando retir su dinero al final de 3aos, recibi $450 de intereses. Cunto dinero haba de-positado Kate en la cuenta?

94. Cuenta de ahorros Peter Ostroushko deposit $6,000 enuna cuenta de ahorros que paga el de inters simplepor ao. Cuando retir su dinero, recibi $840 por con-cepto de intereses. Cunto tiempo tuvo su dinero en lacuenta?

3 12 %

Utilice las frmulas que se dan en las tablas 3.1, 3.2 y 3.3para resolver los ejercicios 95 a 108.

triangular cuyos lados medan 12, 8 y 5 pies. Encuentre elpermetro de la cubierta de la mesa.

96. Pantalla de calculadora La pantalla rectangular de la cal-culadora Texas Instruments tiene una zona de trabajo (oventana) de 2.5 pulgadas por 1.5 pulgadas. Encuentre elrea de la ventana.

97. Sealamiento Un sealamiento es triangular, con base de36 pulgadas y altura de 35 pulgadas. Encuentre el rea delsealamiento.

98. Cerca Milt McGowen tiene un lote rectangular que mi-de 100 pies por 60 pies. Si Milt quiere cercarlo, qu can-tidad de cerca necesitar?

99. Mesa del comedor Una mesa redonda de un comedor tie-ne una cubierta cuyo dimetro mide 3 pies. Encuentre elrea de la cubierta de la mesa.

100. Alberca Una alberca circular tiene un dimetro de 24 pies.Determine su circunferencia.

101. Papalote A continuacin presentamos un papalote. Cal-cule su rea.

2 pies

2 pies

3 pies

Seala- miento

95. Tabla triangular Para exhibir ciertos libros en una con-vencin, Cynthia Lenno utiliz la cubierta de una mesa


102. Seal trapezoidal Canter Martin hizo un letrero paraexhibirlo en un juego de bisbol.Tena forma de trapecio.Sus bases medan 4 y 3 pies, y su altura 2 pies. Calcule elrea del letrero.

103. Jacuzzi El interior circular de un jacuzzi mide 8 pies dedimetro. Si el agua dentro de l tiene una profundidadde 3 pies, calcule, en pies cbicos, el volumen del agua quecontiene.

104. rbol del tule El rbol del tule ms grande de los Esta-dos Unidos se encuentra en Edison House, en Fort Myers,Florida. La circunferencia de las races areas del rbolmide 390 pies. Determine su dimetro, aproximando a d-cimas de pie.

Vamos, Vamos equipo!!

105. Anfiteatro Los asientos en un anfiteatro se encuentrandentro de un rea trapezoidal, como se ilustra en la figura.

Las bases del trapecio miden 80 y 200 pies, y la altura 100pies. Calcule el rea del piso que ocupan los asientos.

106. Tambo de aceite Roberto Snchez tiene un tambo de acei-te vaco que utiliza para almacenamiento. El tambo mide4 pies de alto y tiene un dimetro de 24 pulgadas. Encuen-tre su volumen en pies cbicos.

107. Helado Calcule el volumen de un cono de helado (sloel del cono), si su dimetro mide 3 pulgadas y su altura 5pulgadas.

108. Rockefeller Center Una pista de hielo para patinar, en elRockefeller Center de Nueva York, tiene forma casi rec-tangular (sus esquinas estn curvadas). La longitud es de150 pies y el ancho de 120 pies. Si el hielo que la cubre tie-ne una profundidad de 0.25 pies, determine el volumen dehielo que contiene (suponga que la pista es rectangular).

109. ndice de masa corporal El ndice de masa corporal deuna persona (IMC) se encuentra con la multiplicacin delpeso del individuo, w, en libras, por 703, y despus se divi-de dicho producto entre el cuadrado de la estatura de lapersona, h, en pulgadas.

a) Escriba la frmula para hallar el IMC.

b) Brandy Belmont mide 5 pies 3 pulgadas de estatura, ypesa 135 libras. Calcule su IMC.

110. ndice de masa corporal Consulte el ejercicio 109. El pe-so de Mario Guzza es de 162 libras, y mide 5 pies 7 pulga-das de estatura. Determine su IMC.

200 pies

80 pies

100 pies


Problemas de reto

111. Caja de cereal Una caja de cereal se fabricar doblandouna hoja de cartn a lo largo de las lneas punteadas, segnse indica en la figura de la derecha.

a) Utilice la frmula

escriba una ecuacin para encontrar el volumen de lacaja.

b) Calcule el volumen de la caja si x 7 cm.

c) Escriba una ecuacin para el rea superficial de lacaja.

d) Determine el rea superficial cuando x 7 cm.

volumen = longitud # ancho # altura

Cereal integralCereal

integral

3x cm

(6x

1

) cm

(6x

1

) cm

x cm

x cm

Frente

Parte posterior

Parte superior

Fondo

Lad

o

Lad

o

Actividad en grupo

112. Cara de un cubo Considere la siguiente fotografa. Elfrente de la figura es un cuadrado que contiene en el cen-tro, otro ms pequeo pintado de negro. Suponga que lalongitud de un lado del cuadrado mayor es A, y la del cua-drado menor (en negro) es B.Asimismo, considere que elespesor del bloque es C.

a) Miembro 1 del grupo: Determine una expresin para lasuperficie del cuadrado negro.

b) Miembro 2 del grupo: Determine una expresin para elrea del cuadrado ms grande (la cual incluye al cua-drado menor).

c) Miembro 3 del grupo: encuentre el rea del cuadradomayor menos el cuadrado negro (es decir, encuentreel rea del cuadrado ms grande).

d) Como grupo, escriban una expresin para calcular elvolumen de todo el bloque slido.

e) Como grupo, determinen el volumen de todo el blo-que slido, si su longitud es de 1.5 pies y su ancho es de0.8 pies.

Ejercicios de repaso acumulativo

[1.9] 113. Evale

[2.6] 114. Caballos Un establo tiene cuatro caballos de razaMorgan y seis rabes. Calcule la razn de los ra-bes a los Morgan.

115. Vaciar una alberca Bombear 25 galones de aguafuera de una alberca toma 3 minutos. Cunto

34112 , 22 - 32242. tiempo tomar extraer 13,500 galones? Escriba unaproporcin que se utilice para resolver el problema,y despus encuentre el valor que se pide.

[2.7] 116. Resuelva 21x - 42 3x + 9.

Seccin 3.2 Conversin de problemas de aplicacin en ecuaciones 185

CONSEJO PARAESTUDIAR

TABLA 3.4

Palabra o frase Operacin Enunciado Forma algebraica

Sumado a 7 sumado a un nmeroMs que Suma 5 ms que un nmeroIncrementado en Un nmero incrementado en 3La suma de La suma de un nmero y 4

Restado de 6 restado de un nmeroMenos de 7 menos de un nmeroDisminuido en Resta Un nmero disminuido en 5La diferencia entre La diferencia entre un nmero y 9

Multiplicado por Un nmero multiplicado por 6 6xEl producto de El producto de 4 y un nmero 4xEl doble de un nmero, 3 veces un nmero, etc. Multiplicacin El doble de un nmeroDe, cuando se usa con un porcentaje o fraccin 20% de un nmero

Dividido entre Un nmero dividido entre 8

El cociente de Divisin El cociente de un nmero y 6

La mitad de un nmero, un tercio, etctera. Un sptimo de un nmerox

7

x

6

x

8

0.20x2x

x - 9x - 5x - 7x - 6x + 4x + 3x + 5x + 7

3.2 CONVERSIN DE PROBLEMAS DE APLICACIN EN ECUACIONES

1 Traduccin de frases a expresiones matemticas.

2 Escribir expresiones que involucran porcentajes.

3 Expresar las relaciones entre dos cantidades relacionadas.

4 Escribir expresiones que implican multiplicacin.

5 Conversin de aplicaciones en ecuaciones.

1 Traduccin de frases a expresiones matemticas

SUGERENCIA Es importante que se prepare cuidadosamente para el resto del captulo.Asegrese deleer el libro y resolver los ejemplos a conciencia. Asista todos los das a clase, y, lo msimportante, haga todos los ejercicios de tarea.

Conforme lea los ejemplos del captulo, piense acerca de cmo extenderlos aotros problemas similares. Por ejemplo, en el ejercicio 1a) se afirma que la distancia,d, incrementada en 12 millas, se representa como d 12. Esto se generaliza a otrosproblemas parecidos. Por ejemplo, un peso, w, incrementado en 15 libras, se represen-tara como w 15.

Una ventaja prctica del lgebra es su utilidad para solucionar problemas cotidia-nos que requieren de las matemticas. A fin de que el lgebra sea til para resol-ver problemas cotidianos, usted debe ser capaz de transformar los problemas deaplicacin al lenguaje matemtico. El propsito de esta seccin es ayudarlo a abor-dar un problema de aplicacin, tambin conocido como problema verbal o en pa-labras, y escribirlo en forma de ecuacin matemtica.

La parte ms difcil de la solucin de un problema de aplicacin es transfor-marlo en una ecuacin.Antes de hacerlo, debe entender el significado de ciertas pa-labras y frases, y la manera en que se expresan en forma matemtica. La tabla 3.4es una lista de palabras y frases seleccionadas, as como de las operaciones que im-plican. Se utiliza la variable x. Sin embargo, pudo haberse empleado cualquier otra.


Enunciado Forma algebraica

Cuatro ms que el doble de un nmero

El doble de un nmeroCinco menos que el triple de un nmero

El triple de un nmeroTres veces la suma de un nmero y 8

La suma de un nmero y 8Dos veces la diferencia entre un nmero y 4

La diferencia entre un nmero y 421x - 42

()*

31x + 82()*

3x()*

- 5

2x()*

+ 4

Es frecuente que un enunciado contenga ms de una operacin. La tablaque sigue proporciona algunos ejemplos de esto.

Para obtener ms prctica con los trminos matemticos, convertiremos al-gunas expresiones algebraicas en enunciados. Con frecuencia, una expresin alge-braica puede escribirse de diferentes maneras.A continuacin damos una lista dealgunos de los enunciados posibles que utilizamos para representar algunas ex-presiones algebraicas dadas.

Algebraica Enunciados

EJEMPLO 1 Exprese cada enunciado como expresin algebraica.a) La distancia, d, incrementada en 12 millasb) Ocho menos que el doble del rea, ac) Cuatro libras ms que 5 veces el peso, wd) El doble de la suma de la altura, h, y tres pies

Solucin a) b) c) d)

EJEMPLO 2 Escriba tres enunciados diferentes para representar las siguientes expresiones.a) b)

Solucin a) 1. Dos menos que 5 veces un nmero2. Cinco veces un nmero, disminuido en 23. La diferencia entre el quntuplo de un nmero y 2

b) 1. Siete ms el doble de un nmero2. Dos veces un nmero, incrementado en 73. La suma del doble de un nmero y 7

2x + 75x - 2

21h + 325w + 42a - 8d + 12

d Cuatro menos que el triple de un nmeroEl triple de un nmero, disminuido en 4La diferencia entre el triple de un nmero y 4Cuatro restado del triple de un nmero

3x - 4

d Tres ms que el doble de un nmeroLa suma del doble de un nmero y 3El doble de un nmero, incrementado en 3Tres sumado al doble de un nmero

2x + 3

GRAN

VENTA

25% de

descue

nto


EJEMPLO 3 Escriba un enunciado que represente cada expresin.a) b)

Solucin a) Uno de muchos enunciados posibles es el triple de un nmero menos 4.b) La expresin entre parntesis puede escribirse como la diferencia entre unnmero y 4. Por tanto, toda la expresin se escribira como el triple de la diferen-cia entre un nmero y 4.

2 Escribir expresiones que involucran porcentajes

Como el empleo de porcentajes es tan frecuente, debe tener una comprensin clarade cmo escribir expresiones que involucran porcentajes. Siempre que realicemosun clculo que implique porcentajes, por lo general primero se cambia a su formadecimal o de fraccin.

EJEMPLO 4 Exprese cada frase como expresin algebraica.a) El costo de un par de botas, c, incrementado en 6%.b) La poblacin en la ciudad de Brooksville, p, disminuida en 12%.

Solucin a) Al ir de compras se ven letreros que dicen 25% de descuento. Se supone queesto significa 25% menos del costo original, aun cuando no se diga as. En esteejercicio se pregunta por el costo incrementado en un 6%. Se supone que esto sig-nifica el costo original incrementado en un 6%, y se escribe

As, la respuesta esb) Con el empleo del mismo razonamiento que en el inciso a) la respuesta es

En el ejemplo 4a) se pide representar un costo, c, incrementado en 6%. Observemosque la respuesta es c 0.06c. Es frecuente que los estudiantes escriban la respuesta a es-ta pregunta como c 0.06. Es importante darse cuenta de que un porcentaje de unacantidad siempre es un porcentaje multiplicado por algn nmero o letra. A continua-cin presentamos ciertas frases que involucran la palabra porcentaje, y la interpretacincorrecta e incorrecta.

FRASE CORRECTA INCORRECTA

Impuesto de sobre las ventas por c pesos 0.075c 0.075

El costo, c, incrementado un por el impuesto

sobre las ventas

El costo, c, reducido un 25%

3 Expresar las relaciones entre dos cantidades relacionadas

En ocasiones, en un problema los nmeros se relacionan de cierta forma. Con fre-cuencia, representamos al nmero ms sencillo, o ms bsico, como una variable,y el otro como una expresin que contiene a dicha variable.A continuacin damosalgunos ejemplos.

Enunciado Un nmero Segundo nmeroDos nmeros difieren en 5 xLa edad de Mike ahora y dentro de 8 aos xUn nmero es 6 veces otro nmero x 6xUn nmero es 12% menos que el otro x x - 0.12x

x + 8x + 5

c - 0.25c - 0.25cc + 0.075c + 0.075c

7 12

%

7 12

%

CMO EVITARERRORES COMUNES

p - 0.12p.

c + 0.06c.Incrementado en 6% del costo originalCosto original

c + 0.06c

31x - 423x - 4



Observe que a menudo se pueden utilizar diversas parejas de expresiones pa-ra representar los dos nmeros. Por ejemplo,dos nmeros difieren en 5 tambinse expresa como x y x 5. Ahora veremos dos enunciados ms.

Enunciado Un nmero Segundo nmeroLa suma de dos nmeros es igual a 10 xUna pieza de madera de 25 pies de longitud se corta en dos piezas x

Tal vez no es obvio por qu en la suma de dos nmeros es igual a 10, losdos nmeros se representan como x y 10 x. Suponga que un nmero es 2; cules el otro nmero? Como la suma es 10, el segundo nmero debe ser 10 2, u 8.Suponga que un nmero fuera 6, el segundo nmero debera ser 10 6, o 4. Engeneral, si el primer nmero es x, el segundo debe ser 10 x. Observe que la su-ma de x y 10 x es 10 (figura 3.6).

Considere el enunciado una pieza de madera de 25 pies de longitud se corta endos piezas. Si se llama x a una longitud, entonces la otra longitud debe ser 25 x.Por ejemplo, si una longitud es de 6 pies, la otra debe ser de 25 6, o 19 pies (fi-gura 3.7).

25 - x

10 - x

EJEMPLO 5 Para cada una de las relaciones siguientes, seleccionemos una variable que repre-sente una cantidad y definamos lo que representa. Despus, expresemos la segun-da cantidad en trminos de la variable seleccionada.a) Los Bisontes obtuvieron 12 puntos ms que los Chicklets.b) Sheila caminaba 1.4 veces ms rpido que Jim.c) Bill y Mary comparten $75.d) Kim tiene 7 ms que el quntuplo de la cantidad que tiene Sylvia.e) La longitud de un rectngulo es 3 pies menos que el cudruplo de su ancho.f) En Delphi Corporation, el nmero de empleados se increment un 12% de2002 a 2003.

g) La utilidad de un negocio, en porcentaje, la comparten dos socios, Luigi y Juan.

Solucin Al responder estas preguntas, en primer lugar debemos decidir qu cantidad serla que represente la variable. En general, si damos una cantidad en trminos deotra, haremos que la variable represente la cantidad bsica (es decir, la original)en que basamos la segunda.Por ejemplo, suponga que decimos que Paul tiene 6 aos

x (10 x) 10

10 x

x

FIGURA 3.6

x

25

25 x 6 25 6 19

25

FIGURA 3.7

Vea el ejemplo 5 f).


ms que George. Como damos la edad de Paul en trminos de la de George, ha-cemos que la variable represente la edad de George.

Ahora necesitamos decidir cul letra emplear como variable. Aunque paraello se emplea la x con frecuencia,es posible usar otras letras.Por ejemplo,en el enun-ciado Paul tiene 6 aos ms que George, si x representa la edad de George, enton-ces la de Paul es x 6. Si representamos la edad de George con g, entonces laedad de Paul es igual a g 6. Ambas respuestas son correctas; todo depende dequ letra elija. A continuacin responderemos las preguntas.a) Sea c el nmero de puntos que obtuvieron los Chicklets. Entonces los que lo-graron los Bisontes son c 12.b) Sea j la velocidad de Jim. Entonces, la de Sheila es de 1.4j.c) No se dice cunto recibe cada uno de los $75. En este caso, la variable represen-ta a cualquier persona. Si a es la cantidad que recibe Bill. Entonces la que recibeMary es 75 a. Por ejemplo, si Bill recibiera $20, Mary recibira 75 20, o $55.d) Si s representa la cantidad que tiene Silvia. Entonces, la que tiene Kim es 5s 7.e) Como damos la longitud en trminos del ancho, haremos que la variable re-presente esta dimensin. Si a es el ancho, por tanto, la longitud es 4a 3.f) Basamos el nmero de empleados que haba en 2003 en el que haba en 2002.Por tanto, si n es el nmero de trabajadores en 2002; este nmero incrementadoen 12% es n 0.12n.As, el nmero de empleados en Delphi Corporation en 2003,es de n 0.12n.g) El total por compartir es 100%, pero no sabemos cunto corresponde a cada so-cio. Hacemos que la variable represente ya sea el porcentaje de Luigi o el de Juan.Si p es el porcentaje de Luigi, entonces 100 p es el que logra Juan. Observe quela utilidad total es 100%. [Es decir, p (100 p) 100.]

4 Escribir expresiones que involucran multiplicacin

Considere el enunciado el costo de 3 artculos a $5 cada uno. Cmo represen-tamos esta cantidad con smbolos matemticos? Es probable que piense que elcosto es 3 por $5, y escriba o 3(5).

Ahora considere el enunciado el costo de x artculos a $5 cada uno. Cmolo representamos con notacin matemtica? Si empleamos el mismo razonamiento,podemos escribir o x(5). Otra manera de escribir este producto es 5x; por tan-to, el costo de x artculos a $5 cada uno podra representarse como 5x.

Por ltimo, consideremos el enunciado el costo de x artculos a y pesos ca-da uno. Al seguir el razonamiento que empleamos en las dos ilustraciones ante-riores, podemos escribir o bien x(y). Como estos productos se escriben comoxy, el costo de x artculos a y pesos cada uno podra representarse como xy.

EJEMPLO 6 Escriba cada enunciado como una expresin algebraica.a) El costo de comprar x plumas a $2 cada una.b) Una comisin de 5% por x pesos de venta.c) La cantidad de pesos que ganamos en h horas, si una persona gana $6.50 por hora.d) El nmero de caloras en x barras de chocolate, si cada barra tiene 55 caloras.e) El incremento de la poblacin de una ciudad en n aos, si crece a razn de 300personas por ao.f) La distancia que viajamos en t horas si se recorren 55 millas por hora.

Solucin a) Podemos razonar lo siguiente: una pluma costara 1(2) pesos, dos plumas cos-taran 2(2) pesos, tres, 3(2), cuatro, 4(2), y as sucesivamente. Al continuar con es-te proceso de razonamiento observamos que x plumas costaran x(2) o 2x pesos.

x # y

x # 5

3 # 5



b) Una comisin de 5% por ventas de $1 sera 0.05(1), por ventas de $2, 0.05(2),de $3, 0.05(3), de $4, 0.05(4), etctera. Por tanto, la comisin sobre las ventas de xpesos sera 0.05(x) o 0.05x.c)d)e)f)

EJEMPLO 7 Costo del cine El costo del boleto para ver una pelcula en una sala de cine AMCes de $6.50 por adulto y $4.25 por nio. Escriba una expresin algebraica que re-presente el ingreso total que el cine recibe por la admisin de x adultos y y nios.

Solucin Por x adultos, el cine recibe 6.50x pesos.Por y nios, el cine recibe 4.25y pesos.Por x adultos y y nios, el cine recibe 6.50x 4.25y pesos.

EJEMPLO 8 Escriba una expresin algebraica para cada enunciado.a) El nmero de onzas en x libras.b) El nmero de centavos en a monedas de 10 centavos y b monedas de cinco centavos.c) El nmero de segundos en x horas, y minutos y z segundos (3,600 segundos 1 hora).

Solucin a) Como una libra contiene 15 onzas, x libras es igual a 16 x, o 16x onzas.b) Como a monedas de 10 centavos es 10a centavos y b monedas de 5 centavos es5b centavos, la respuesta es 10a 5b.c)

Algunos trminos que utilizaremos en el texto, son enteros consecutivos, pa-res consecutivos e impares consecutivos. Los enteros consecutivos son aquellosque difieren en una unidad. Por ejemplo, 6 y 7 son enteros consecutivos. Represen-tamos dos enteros consecutivos como x y x 1. Los enteros pares consecutivos sonaquellos que difieren en dos unidades. Por ejemplo, 6 y 8 son enteros pares conse-cutivos. Los enteros impares consecutivos tambin difieren en 2 unidades. Porejemplo, 7 y 9 son enteros impares consecutivos. Representamos dos pares o im-pares consecutivos como x y x 2.

5 Conversin de aplicaciones en ecuaciones

La palabra es, cuando aparece en un problema de aplicacin, con frecuencia sig-nifica es igual a, y se representa por medio de un signo de igualdad. A continua-cin presentamos algunos ejemplos de enunciados escritos como ecuaciones.

Enunciado Ecuacin

Seis unidades ms que el doble de un nmero es 4.Un nmero disminuido en 4 es 3 ms que el doble

del nmero.El producto de dos enteros consecutivos es 56.La suma de un nmero y ese nmero incrementado

en 4 es 60.El doble de la diferencia de un nmero y 3 es la suma

del nmero y 20.Un nmero incrementado en 15% es 120.La suma de dos impares consecutivos es 24. x + 1x + 22 = 24

x + 0.15x = 120

21x - 32 = x + 20 x + 1x + 42 = 60

x1x + 12 = 56 x - 4 = 2x + 3

2x + 6 = 4

3600x + 60y + z

55t300n55x6.50h




Ahora, convirtamos algunas ecuaciones en enunciados; a continuacin pre-sentamos algunos ejemplos. Slo escribiremos dos enunciados por cada ecuacin,pero recuerde que existen otras posibilidades para escribirlas.

Ecuacin Enunciados

EJEMPLO 9 Escriba dos enunciados para representar la ecuacin

Solucin 1. Un nmero disminuido en 4 es 6 menos que el triple del nmero.2. La diferencia entre un nmero y 4 es la diferencia entre el triple del nmeroy 6.

EJEMPLO 10 Escriba un enunciado que represente la ecuacin

Solucin La suma de un nmero y el doble de la diferencia entre el nmero y 4 es 6.

EJEMPLO 11 Traducir palabras a ecuaciones Escriba cada problema como una ecuacin.a) Un nmero es 4 menos que el doble de otro. Su suma es 14.

b) Para dos enteros consecutivos, la suma del menor y el triple del mayor es 23.

Solucin a) En primer lugar, expresamos los dos nmeros en trminos de la variable.

Ahora escribimos la ecuacin utilizando la informacin dada.

b) En primer lugar, expresamos los dos enteros consecutivos en trminos de lavariable.

Ahora escribimos la ecuacin con el empleo de la informacin dada.

x + 31x + 12 = 23 menor + 3 veces el mayor = 23

entonces x + 1 = el mayor de los enteros consecutivos Sea x = el menor de los enteros consecutivos

x + 12x - 42 = 14 primer nmero + segundo nmero = 14

entonces 2x - 4 = segundo nmero Sea x = un nmero

x + 21x - 42 = 6.

x - 4 = 3x - 6.

fEl triple de la diferencia entre un nmeroy 2 es 4 menos que el sxtuplo del nmero.

El producto de 3 y la diferencia entre unnmero y 2 es el sxtuplo del nmerodisminuido en 4.

31x - 22 = 6x - 4

eCuatro menos que el triple de un nmero es 3ms que el cudruplo del nmero.

El triple de un nmero disminuido en 4 es el cudruplo del nmero incrementado en 3.

3x - 4 = 4x + 3



SUGERENCIA Si examinamos el ejemplo 11a), veremos que empleamos la palabra es dos veces, una encada oracin. Sin embargo, slo aparece un signo igual en las ecuaciones. Cuando la pa-labra es aparece ms de una vez, como en el ejemplo 11a), por lo general la utilizamosuna vez para expresar la relacin entre los nmeros, y la segunda ocasin para represen-tar el signo igual en la ecuacin. Cuando atraviese esta situacin, debe leer la preguntacuidadosamente para determinar cul es la palabra es que representa al signo igual.

EJEMPLO 12 Traducir palabras a ecuaciones Escriba el problema siguiente como ecuacin.Un tren recorre 3 millas ms que el doble de la distancia que recorre otro tren. Ladistancia total que viajan ambos trenes es de 800 millas.

Solucin En primer lugar, expresamos la distancia que viaja cada tren en trminos de la va-riable.

Sea x distancia que viaja un tren

entonces 2x 3 distancia que viaja el segundo tren

Ahora escribimos la ecuacin por medio de la informacin dada.

distancia recorrida por el tren 1 distancia recorrida por el tren 2 distancia total

EJEMPLO 13 Traducir palabras a ecuaciones Escriba el siguiente problema como una ecuacin.

Lori Soushon tiene 4 aos ms que el triple de la edad de su hijo Ron. La diferen-cia entre la edad de Lori y la de Ron es de 26 aos.

Solucin Como tenemos la edad de Lori en trminos de la de Ron, haremos que la varia-ble represente la edad de ste.

Sea x edad de Ron

entonces 3x 4 edad de Lori

Dijimos que la diferencia entre la edad de Lori y la de Ron es de 26 aos. La pa-labra diferencia indica una resta.

Edad de Lori edad de Ron 26

SUGERENCIA En una expresin escrita utilizamos diversas palabras en lugar de es para representaral signo igual. Algunas de ellas son ser, fue y resulta. Por ejemplo, expresamosel enunciado cuando sumamos 4 a un nmero, la suma ser el triple del nmero, co-mo

Expresamos seis restado de un nmero fue la mitad del nmero, como

Expresamos cinco sumado a un nmero resulta en el triple del nmero, como

Por lo general, empleamos la palabra es para representar al signo igual, pero enciertos casos es necesario estudiar el planteamiento de la pregunta para determinar elsitio donde colocaremos el signo igual.

EJEMPLO 14 Traducir palabras a ecuaciones Exprese cada problema como ecuacin.a) George Devenney rent un bote por x das a un costo de $22 por da. El costode la renta fue de $88.

x + 5 = 3x.

x - 6 = 12 x.

x + 4 = 3x.

13x + 42 - x = 26

x + 12x + 32 = 800

1. Proporcione cuatro frases que indiquen la operacin desuma.

2. Proporcione cuatro frases que indiquen la operacin deresta.

3. Proporcione cuatro frases que indiquen la operacin demultiplicacin.

4. Proporcione cuatro frases que indiquen la operacin dedivisin.

5. Explique por qu c 0.25 no representa el costo de unartculo incrementado en 25 por ciento.

6. Explique por qu c 0.10 no representa el costo de unartculo disminuido en 10 por ciento.


b) La distancia que viaj Scott Borden durante x das a 600 millas por da fue de1500 millas.

c) La poblacin en la ciudad de Rush aumenta en 500 personas cada ao. El in-cremento de la poblacin en t aos es de 2500.

d) El nmero de centavos en d monedas de 10 centavos es 120.

Solucin a) El costo de rentar el bote durante x das es 22x. Por tanto, la ecuacin es 22x 88.b) La distancia recorrida a 600 millas por da durante x das es 600x. Entonces, laecuacin es

c) El aumento de poblacin en t aos es 500t. Por tanto, la ecuacin es

d) El nmero de centavos en d monedas de 10 centavos es 10d. Por tanto, la ecua-cin es

SUGERENCIA Es importante que comprenda esta seccin y resuelva todos los problemas de tarea, yaque emplearemos lo aprendido en las dos siguientes secciones y a lo largo del libro.

En los ejemplos de esta seccin empleamos letras diferentes para representar lavariable. Es frecuente que empleemos la letra x, pero tambin es posible utilizar otras.Por ejemplo, al estudiar una expresin o ecuacin que involucre distancia, sera posi-ble usar x para representar la distancia, o tal vez podramos emplear d u otra variable.As, para representar la expresin la distancia incrementada en 20 millas, escribire-mos como x 20, o d 20. Ambas formas son correctas.

Si el maestro, o el ejercicio, no indica cul letra utilizar para representar la varia-ble, seleccione la que desee. Si en el apndice de respuestas hay una que diga d 20 yla de usted es x 20, sta sera correcta, si x y d representan la misma cantidad.

10d = 120.

500t = 2500.

600x = 1500.


Conjunto de ejercicios 3.2

Ejercicios conceptuales

Prctica de habilidades

9. Plumas En una venta, una pluma marca Dr. Gripp cues-ta $4. Escriba una expresin que represente el costo decomprar x plumas.

10. Precio nuevo Un artculo que cuesta r pesos es incremen-tado en $6. Escriba una expresin que represente el pre-cio nuevo.

7. Edad LeDawn Webb tiene una edad de n aos. Escribauna expresin que represente su edad dentro de 7 aos.

8. Edad Hannah Whitlock tiene una edad de t aos. Escribauna expresin que represente la de David Alevy, si stetiene cuatro veces ms edad que ella.


11. Motocicleta Melissa Blum vende su motocicleta. Peda xpesos por ella pero rebaj el precio a la mitad. Escriba unaexpresin que represente el nuevo precio.

12. Zapatos Keri Goldberg va a comprar zapatos. La tiendatiene una venta al dos por uno, es decir: que al comprarun par se regala otro. Escriba una expresin que represen-te el nmero de pares de zapatos que obtendr Keri sicompra y pares.

13. Jirafa en crecimiento En un ao, la estatura, h, de una ji-rafa se incrementa en 0.8 pies. Escriba una expresin querepresente su estatura actual.

14. Lectura veloz John Debruzzi sola leer p palabras porminuto. Despus de tomar un curso de lectura veloz,su velocidad aument a 60 palabras por minuto. Escri-ba una expresin que represente su velocidad nueva delectura.

15. Precio de acciones En 2002, el precio p de las acciones deGeneral Electric cay 8%. Escriba una expresin para elprecio despus de que baj.

16. Reciclar llantas Cada ao, en Estados Unidos se dese-chan t llantas. Slo se recicla el 7% de todas. Escriba unaexpresin que represente el nmero de las llantas reci-cladas.

17. Vitaminas En una cpsula de vitaminas Solaray, el n-mero de miligramos de riboflavina es 5 menos que unadcima del nmero de miligramos de vitamina C. Si nrepresenta el nmero de miligramos de sta, escribauna expresin para el nmero de miligramos de ribo-flavina.

18. Poblacin En 2001, China tena la poblacin ms gran-de, mientras que India tena la segunda ms grande. Si p re-presenta la poblacin de India, en millones, escriba unaexpresin para la poblacin de China si sta tena 40 mi-llones ms que 1.2 veces la poblacin de India.

19. Ascenso Suponga que el ltimo ao Jos Rivera tena unsalario de m pesos. Este ao recibi un ascenso y su nue-vo salario es de $16,000 ms ocho novenos del anterior.Escriba una expresin que represente su salario nuevo.

20. Montaa rusa En una bajada especfica de cierta monta-a rusa en los Universal Studios, la velocidad de los carrosque descienden es 12 millas por hora mayor que 8 veces lavelocidad, s, de los que suben por otro lugar. Escriba unaexpresin que represente la velocidad de los carros quebajan por la pendiente especfica.

21. Renta de camioneta Bob Melina rent una camionetapara hacer un viaje. Hizo un pago diario de $45 y una ta-rifa por distancia de 40 centavos por milla. Escriba unaexpresin que represente su costo total, si viaja x millas enun da.

22. Incremento de la poblacin La ciudad de Clarkville tie-ne una poblacin de 4000. Si sta se incrementa en 300personas por ao, plantee una expresin que representela poblacin en n aos.

23. Dinero Carolyn Curley vio que tena x monedas de 25centavos en su bolsa. Escriba una expresin que represen-te la cantidad de dinero en centavos.

24. Estatura La estatura de Dennis De Valeriz es de x pies yy pulgadas. Escriba una expresin que represente su esta-tura en pulgadas.

25. Peso El peso de Kim Wager es de x libras y y onzas. Plan-tee una expresin que represente su peso en onzas.

26. Recin nacido El beb recin nacido de Jill tiene una edadde m minutos y s segundos. Escriba una expresin que re-presente su edad en segundos.

27. Equipo de ventas El equipo de ventas de Prentice HallPublishing Company se increment en 4% de 2001 a 2002.Si n representa el nmero de personas en dicho equipo en2001, escriba una expresin para el nmero en 2002.

28. Reactores nucleares El nmero de reactores nucleares enEuropa Occidental es de 137 menos que 2.4 veces el nme-ro en los Estados Unidos. Si r representa el nmero en losEstados Unidos, escriba una expresin para el nmero enEuropa Occidental.

Escriba cada expresin matemtica en forma de enunciado. (Hay muchas respuestas correctas.)

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46. 31x + 2221x - 124 + 6x2 - 3x

5 - x4x - 2

7x - 66x - 7

3x - 44x + 1

x + 5x - 3


Vea el ejercicio 32, Las Vegas de noche

29. Manates Un manat en particular (tambin se los cono-ce como vaca marina) perdi el 2% de su peso en los me-ses de invierno. Si su peso original era de p libras, escribauna expresin para su nuevo peso.

30. Impuestos Por medio de una planeacin fiscal cuidado-sa, Gil French pudo reducir sus impuestos federales de2002 a 2003 en un 18%. Si sus impuestos de 2002 fueronpor t pesos, escriba una expresin que represente los de2003.

31. Conteo de caloras Cada rebanada de pan blanco tiene110 caloras, y cada cucharadita de mermelada de fresatiene 80. Si Donna Contoy se prepara un sndwich (2 re-banadas de pan) de mermelada de fresa y utiliza x cucha-raditas de sta, escriba una expresin que represente elnmero de caloras que contiene el sndwich.

32. Crecimiento de Las Vegas De acuerdo con la U.S. Cen-sus Bureau, Las Vegas, Nevada, tuvo el crecimiento msgrande de poblacin entre 1990 y 2000 que cualquier otrade las ciudades principales de los Estados Unidos. En 2000,la poblacin de Las Vegas fue de 38,156 menos que el do-ble de la que tena en 1990. Si p representa la que haba en1990, escriba una expresin para la que Las Vegas tenaen 2000.

33. Colesterol Un huevo promedio de pollo contiene cercade 275 miligramos (mg) de colesterol, y una onza de pollo,25 mg. Escriba una expresin que represente la cantidadde colesterol en x huevos de pollo y y onzas de pollo.

34. Lectura de etiquetas de alimentos De acuerdo con los li-neamientos de Estados Unidos, cada gramo de carbohi-dratos contiene 4 caloras, cada gramo de protena tiene 4caloras, y en cada gramo de grasa hay 9 caloras. Escribauna expresin que represente el nmero de caloras en unproducto que contiene x gramos de carbohidratos, y gra-mos de protena y z gramos de grasa.

En los ejercicios 47 a 74 damos una variable que representa una cantidad. Exprese la cantidad que se especifica en trminosde la variable que damos. Por ejemplo, para el enunciado Mike tiene 2 aos ms que el triple de la edad de Don, d, entoncesla edad de Mike se representara como 3d 2. Con el enunciado El salario de Paul en 2003 fue 8% mayor que el de 2002, s,entonces el salario de Paul en 2003 se representara como s 0.08s. Vase el ejemplo 5 para ver ms ilustraciones.

47. Edad Judy tiene 5 aos ms que la edad de Scott, s. Escri-ba una expresin para la edad de Judy.

48. Edad El hijo de Lois Heater tiene un tercio de la edad deLois, l. Escriba una expresin para la edad del hijo.

49. Carrera docente Traci ha practicado la docencia durante6 aos menos que Ben, b. Escriba una expresin para eltiempo que Traci ha sido maestra.

50. Dinero Se dividen cien pesos entre Romayne y Jim, j. Es-criba una expresin para la cantidad de Romayne.

51. Tierra En dos camiones colocamos un total de seiscientaslibras de tierra. Si en uno de ellos ponemos a libras, escri-ba una expresin para la cantidad de tierra que colocamosen los dos vehculos.

criba una expresin para el tiempo promedio de viaje rum-bo al trabajo en el estado de Nueva York. (Fuente: USAToday.)

62. Espectculos en Broadway Al 2 de septiembre de 2001,la obra que haba permanecido ms tiempo en cartelera enBroadway era Cats, y en segundo lugar A Chorus Line. Es-ta ltima tuvo 16,318 menos representaciones que el tripledel nmero que tuvo Cats, c. Escriba una expresin para elnmero de representaciones que tuvo A Chorus Line.

63. Mediana del ingreso De acuerdo con la Oficina del Cen-so, en el ao 2000, Nueva Jersey fue el estado con la me-diana del ingreso domstico ms elevada. La mediana enE.U. fue de $67,109 menos que el doble de la de NuevaJersey, n. Escriba una expresin para el promedio (media-na) de los E.U.

64. Precio de acciones El precio de las acciones de Enron enenero de 2002 fue de $0.60 menos que veces su precioen enero de 2001, p. Escriba una expresin para el preciode las acciones de dicha empresa en enero de 2002.

65. Incremento de las ventas Mike Sutton es representantede una compaa de suministros mdicos. Sus ventas de2003 aumentaron 20% sobre las de 2002, s. Escriba unaexpresin para las ventas de 2003.

66. Consumo de electricidad El consumo de electricidad deGeorge Young en 2003, disminuy 12% respecto del quetuvo en 2002, e. Escriba una expresin para el consumo de2003.

67. Aumento salarial Karen Moreau, ingeniera, tuvo un au-mento de salario de 15% sobre el del ao anterior, s. Plan-tee una expresin para su salario de este ao.

68. Golf femenil Karrie Webb fue la jugadora de golf feme-nil que ms dinero gan tanto en 1999 como en 2000. Susingresos se incrementaron alrededor de 18% de 1999 a2001. Si w representa los ingresos de Karrie Webb, escri-ba una expresin para stos en 2000.

69. Tienda de pizzas El nmero de clientes de Family FunPizza Parlor disminuy 12% de septiembre a octubre. Si frepresenta el nmero de clientes en septiembre, escribauna expresin para el nmero de ellos en octubre.

70. Casos de gripa El nmero de casos de gripa en Archvilledisminuy 2% en relacin con el ao anterior. Si f repre-senta el nmero de casos de gripa en dicha poblacin du-rante el ao anterior, escriba una expresin para el nmerode casos en este ao.

71. Costo de un carro El costo de un auto nuevo que se ad-quiera en Collier County incluye un impuesto de 7% so-bre la venta. Si c representa el costo del carro antes deimpuestos, escriba una expresin para el costo total, que in-cluya el impuesto.

72. Venta de camisetas En una venta de remate con 25% dedescuento en todos los artculos, Bill Winchief compruna camiseta nueva. Si c representa el costo anterior a laventa, plantee una expresin para el precio de venta dela camiseta.

1130


52. Compra de televisin Una televisin marca Sony cuesta1.4 veces lo que una RCA, r. Escriba una expresin parael costo de la Sony.

53. Utilidades Mnica y Julia comparten las utilidades, enporcentaje, de una tienda de juguetes. Escriba una expre-sin para la cantidad que recibe Julia si lo que recibe Mo-nica es m.

54. Caloras Las caloras en una porcin de mezcla de nueceses de 280 caloras menos que el doble del nmero de ca-loras de una castaa, c. Escriba una expresin para el n-mero de caloras en una porcin de mezcla de nueces.

55. Nmero de empleados En Elten-Mark Company, el n-mero de empleadas mujeres es de 6 menos que dos ter-cios de los hombres, m. Escriba una expresin para elnmero de mujeres empleadas.

56. Superficie del territorio El estado con mayor superficie delos Estados Unidos es Alaska, y el que tiene menos esRhode Island. El rea de Alaska es 462 millas cuadradasms que 479 veces la de Rhode Island, r. Escriba una ex-presin para el rea de Alaska.

57. Jonrones En el bisbol profesional, el lder de todos lostiempos en cuanto a jonrones es Hank Aaron, y Babe Ruthes el segundo. Hank Aaron hizo 673 jonrones menos queel doble de los de Babe Ruth, r. Escriba una expresin pa-ra el nmero de jonrones que anot Hank Aaron.

58. Esperanza de vida En 2001, el pas con la esperanza de vi-da ms elevada era Japn, y el que tena la ms baja eraBotswana. La esperanza de vida promedio en Japn era de9.3 aos ms que el doble de Botswana, b. Escriba una ex-presin para la esperanza de vida promedio en Japn.(Fuente: Naciones Unidas.)

59. Museo saturado En 2000, el nmero de visitantes al Na-tional Air and Space Museum (que forma parte del Smith-sonian) fue de 2.7 millones menos que el doble del nmeroque acudi al Louvre, en Pars, p. Escriba una expresinpara el nmero de visitantes que tuvo en 2000 el Air andSpace Museum. (Fuente: USA Today.)

60. Boleto para el cine En abril de 2001, el precio promediode un boleto para el cine en los Estados Unidos era de 70centavos menos que 30 veces el precio promedio en 1928,p. Escriba una expresin para el precio, en centavos, de unboleto para el cine en abril de 2001. (Fuente: Money Ma-gazine.)

61. Viaje al trabajo El tiempo promedio de viaje al trabajoen el estado de Nueva York (el promedio ms elevado) esde 15 minutos menos que el triple del tiempo del viaje pro-medio en Dakota del Norte (el promedio ms bajo), n. Es-


73. Contaminacin El nivel de contaminacin en Detroit dis-minuy en 50%. Si p representa el nivel que haba antes dela disminucin, escriba una expresin para el nuevo nivel.

74. Calificaciones El nmero de estudiantes que obtuvieronuna calificacin de A en este curso, se increment en

100%. Si n representa el nmero de los que sacaron A an-tes del incremento, escriba una expresin para el nmerode estudiantes que ahora lograron una A.

Lea con cuidado cada uno de los ejercicios 75 a 92. Despus seleccione una letra que represente una de las cantidades yenuncie con exactitud lo que la letra (o variable) represente. Despus escriba una ecuacin para representar el problema. Porejemplo, si se dice que La edad de Steve es el doble de la de Gail, y la suma de ambas es 20, quiz se haga que g representela edad de Gail, por lo que la de Steve sera 2g. Como la suma de las dos edades es 20, la ecuacin que buscamos es 2g g 20.Como pudimos utilizar letras diferentes para representar la variable, es posible que haya otras respuestas. Por ejemplo, 2a a 20 tambin sera aceptable si empleamos la letra a para representar la edad de Gail. Consulte los ejemplos 11 a 14 paratener ms ilustraciones.

87. Costo de la comida Beth Rechsteiner comi en un restau-rante. El costo de la comida ms la propina de 15% fue de$42.50.

88. Cintas de video En Better Buy Warehouse, Anne Longcompr una reproductora de videos en $208; el precio es-taba rebajado un 10%.

89. Salario En 2000, el rea metropolitana con el salario pro-medio anual ms elevado fue San Jos, California, y el se-gundo lugar era San Francisco. El salario promedio enSan Jos fue alrededor de 1.28 veces el promedio en SanFrancisco. La diferencia entre los promedios de las dosciudades fue de $16,762. (Fuente: Bureau of Labor Sta-tistics.)

90. Esperaza de vida Las mujeres vivieron mucho ms en2000 de lo que vivan en 1900. La esperanza de vida paralas mujeres de Estados Unidos, en 2000, fue de 16.9 aosmenos que el doble de su esperanza de vida en 1900. La di-ferencia en ambas esperanzas fue de 31.4 aos. (Fuente:U.S. Census Bureau.)

91. Ciruga con lser El nmero de cirugas oftlmicas conlser fue de 0.55 millones ms en 2000 que en 1999. La su-ma total de ellas en 1999 y 2000 fue de 2.45 millones.(Fuente: U.S. News and World Report.)

92. Ferrocarril En una va frrea estrecha, la distancia entrelos rieles es alrededor de 64% de la distancia entre los deuna va estndar. La diferencia en las distancias entre losrieles de una va estndar y otra estrecha es de casi 1.67pies.

75. Dos nmeros Un nmero es el cudruplo de otro. La su-ma de los dos nmeros es 20.

76. Edad Marie tiene 6 aos ms que Denise. La suma de susedades es 48.

77. Enteros consecutivos La suma de dos enteros consecuti-vos es 41.

78. Enteros pares El producto de dos enteros pares consecu-tivos es 728.

79. Nmeros El doble de un nmero, disminuido en 8 es 12.

80. Enteros consecutivos Para dos enteros consecutivos, lasuma del ms pequeo y el doble del ms grande es 29.

81. Nmeros Un quinto de la suma de un nmero y 10 es 150.

82. Trote David Ostrow corre 5 veces ms distancia que Jen-nifer Freer. La distancia total que recorren los dos es de8 millas.

83. Amtrak Un tren de Amtrak recorre 4 millas menos que eldoble de la distancia que viaja otro de Southern Pacific. Ladistancia total que recorren ambos es de 890 millas.

84. Viaje en carreta En un viaje en carreta, el nmero de mu-chachas fue 8 menos que el doble del nmero de chicos. Eltotal de todos los que iban en la carreta fue de 24.

85. Carro nuevo Carlotta Daz compr un carro nuevo. Elcosto del vehculo ms el impuesto de 7% sobre la ventafue de $32,600.

86. Chamarra deportiva David Guillespie compr una cha-marra deportiva con un 25% de descuento. Pag por ella$195.

En los ejercicios 93 a 104, exprese cada ecuacin en forma de enunciado. (Existen muchas respuestas correctas.)

93. 94. 95.

96. 97. 98.

99. 100. 101.

102. 103. 104. 2x - 1x + 32 = 62x + 1x + 32 = 5x + 12x + 12 = 5x + 1x + 42 = 8x - 3 = 21x + 125x + 6 = 6x - 14x + 6 = 21x - 3241x - 12 = 6x - 3 = 2x + 33x - 1 = 2x + 4x - 5 = 2xx + 2 = 5

105. Explique por qu el costo de la compra de x artculos a 6pesos cada uno est representado por 6x.


Problemas de reto

107. Tiempo

a) Escriba una expresin algebraica para el nmero desegundos en d das, m minutos y s segundos.

b) Emplee la expresin que hall en el inciso a) para de-terminar el nmero de segundos que hay en 4 das, 6horas, 15 minutos y 25 segundos.

108. Cuotas Al momento de escribir esto, la cuota por utilizarla autopista sur del puente Golden Gate es de $1.50 por ca-da eje del vehculo (no se cobra por usar la autopista nor-te, la circulacin es gratuita los fines de semana).

a) Si el nmero de ejes de los vehculos con 2, 3, 4, 5 y 6se representa con las letras r, s, t, u y v, respectivamen-te, escriba una expresin para el ingreso diario de laGolden Gate Bridge Authority.

b) Escriba una ecuacin que se emplee para determinar elingreso diario, d.

Actividad en grupo

Los ejercicios 109 y 110 lo ayudarn a prepararse para la siguiente seccin, en la que planteamos y resolvemos problemas deaplicacin. Como grupo, estudien y resuelvan cada ejercicio. Para cada uno, escriban la cantidad que pedimos encontrar yrepresntenla con una variable. Despus escriban una ecuacin que contenga la variable que se utiliz para resolver elproblema. No resuelvan la ecuacin.

109. Uso del agua Un bao de tina promedio utiliza 30 galo-nes de agua, y una ducha promedio emplea 6 galones dellquido por minuto. En cunto tiempo una ducha usarala misma cantidad de agua que un bao de tina?

110. Planes salariales Un empleado tiene la posibilidad de es-coger entre dos planes de salario. El Plan A proporciona unsalario semanal de $200 ms una comisin de 5% sobre lasventas del empleado. El Plan B proporciona un salario se-manal de $100 ms una comisin de 8% sobre las ventasque haga. Cules deben ser las ventas semanales para quelos dos planes brinden el mismo salario semanal?

106. Explique por qu el costo de la compra de x artculos a ypesos cada uno est representado como xy.

[1.9] 111. Evale

[2.6] 112. Resuelva la proporcin

[2.7] 113. Resuelva la desigualdad y grafique la solucin sobre una recta numrica.

[3.1] 114. encuentre l cuando P 40 y w 5.

115. Resuelva para y. Despus encuentre el valor de y cuando x tiene un valor de 6.3x - 2y = 6P = 2l + 2w;

2x - 4 7 3

3.6x

=107

.

3314 - 162 , 24 + 52 - 3.

Seccin 3.3 Solucin de problemas de aplicacin 199

Ejercicios de repaso acumulativo

3.3 SOLUCIN DE PROBLEMAS DE APLICACIN

1 Utilizar el procedimiento de solucin de problemas.

2 Plantear y resolver problemas numricos de aplicacin.

3 Plantear y resolver problemas de aplicacin que involucrandinero.

4 Plantear y resolver aplicaciones que implican porcentajes.

1 Utilizar el procedimiento de solucin de problemas

Hay muchos tipos de problemas de aplicacin que pueden resolverse utilizando ellgebra. En esta seccin presentamos algunos; adems, en las secciones 3.4, 3.5 ya lo largo del libro, introduciremos tipos adicionales de aplicaciones. Su profesortal vez no tenga tiempo de cubrir todas las aplicaciones que presentamos en eltexto. Si as fuera, tal vez querr dedicar parte de su tiempo a leer dichos proble-mas a fin de adquirir experiencia sobre las aplicaciones que se presentan.

Para prepararse para esta seccin, debe entender el material que presenta-mos en la seccin 3.2. La prctica es la mejor forma de aprender a plantear unproblema de aplicacin o verbal. Entre ms problemas resuelva, ms fcil ser so-lucionarlos.

Es frecuente que traduzcamos problemas a trminos matemticos sin darnoscuenta de ello. Por ejemplo, si necesitamos 3 tazas de leche para una receta, y enel recipiente para medir slo caben 2 tazas, razonamos que necesitamos 1 taza adi-cional de leche despus de las 2 iniciales.Tal vez no lo note, pero al hacer esta ope-racin simple se est utilizando el lgebra.

Sea x nmero de tazas adicionales de leche que necesitamos

Proceso completo:

Ecuacin que representa el problema:

Al despejar x obtenemos 1 taza de leche.

Es probable que nos preguntemos: por qu tengo que hacer todo eso si sque la respuesta es 3 2 1 taza? Al realizar dicha resta, ha resuelto mental-mente la ecuacin 2 x 3.

Restar 2 en ambos lados.

x = 1 x = 3 - 2

2 - 2 + x = 3 - 2 2 + x = 3

2 + x = 3

12 tazas iniciales2 + a nmeroadicional de tazas

b = leche total que se necesita

1 tazagaln

2 tazas


Esta ilustracin es muy elemental. Sin embargo, la mayora de problemas en estecaptulo no se resolvern por observacin y requerir el uso del lgebra.

Recordemos el procedimiento general para resolver problemas que vimos enla seccin 1.2 para solucionar todos los tipos de problemas verbales.A continuacinpresentamos nuevamente el procedimiento de cinco pasos para resolver proble-mas, a fin de que lo consulte con facilidad. Incluimos cierta informacin adicionalen los pasos 1 y 2, porque en esta seccin haremos nfasis en la transformacin deproblemas de aplicacin en ecuaciones.

Procedimiento para resolver problemas de aplicacin

1. Entender el problemaIdentificar la cantidad o cantidades que se pide encontrar.

2. Traducir el problema a lenguaje matemtico (expresarlo en forma de ecuacin).

a) Elegir una variable que represente una cantidad, y escribir exactamente lo querepresenta. Hay que representar cualesquiera otras cantidades que encontremos,en trminos de esta variable.

b) Utilizar la informacin del inciso a), escribir una ecuacin que represente laaplicacin.

3. Efectuar los clculos matemticos (resolver la ecuacin).

4. Revisar la respuesta (empleando la aplicacin original).

5. Responder la pregunta que se pide.

A veces combinaremos dos pasos del procedimiento de resolucin de pro-blemas si ayuda a aclarar la explicacin. En ocasiones no haremos la comproba-cin de un problema a fin de ahorrar espacio. Aun si no se hiciera, debe revisar elproblema y asegurarse de que su respuesta es razonable y tiene sentido.

Ahora plantearemos y resolveremos ciertos problemas de aplicacin em-pleando este procedimiento. Primero resolveremos problemas de aplicacin quecontienen porcentajes, despus haremos lo mismo con otros que s los contienen.

2 Plantear y resolver problemas numricos de aplicacin

Los ejemplos que presentamos en este objetivo involucran informacin y datos, pe-ro no contienen porcentajes.Al resolverlos seguiremos el procedimiento de cincopasos para resolver problemas.

EJEMPLO 1 Un nmero desconocido Dos restado del cudruplo de un nmero es 10. En-cuentre dicho nmero.

Solucin Entender Para resolver este problema, necesitamos expresar como ecuacin elenunciado dado. Pedimos encontrar el nmero desconocido. Usamos la informa-cin que aprendimos en la seccin anterior para escribir la ecuacin.

Traducir Sea x nmero desconocido. Ahora, escribimos la ecuacin.

Calcular

x = 3 4x = 12

2 restado del cudruplo de un nmero es 10

4x - 2 = 10

Seccin 3.3 Solucin de problemas de aplicacin 201

Revisar Sustituimos 3 por el nmero en el problema original: 2 restado del cu-druplo de un nmero es 10.

Verdadero.

Respuesta Como la solucin coincide, el nmero desconocido es 3. EJEMPLO 2 Problema numrico La suma de dos nmeros es 26. Encuentre los dos nmeros

si el mayor es 2 menos que el triple del menor.

Solucin Entender Este problema involucra el clculo de dos nmeros. Cuando encontra-mos dos nmeros, si expresamos el segundo en trminos del primero, por lo gene-ral hacemos que la variable represente al primero. Despus representamos alsegundo como una expresin que contiene a la variable que utilizamos para el pri-mer nmero. En este ejemplo, se dice que el nmero mayor es 2 menos que eltriple del menor. Observe que el nmero mayor est expresado en trminos delmenor. Por tanto, haremos que la variable represente al menor.

Traducir Sea x nmero menor

entonces 3x 2 nmero mayor

La suma de los dos nmeros es 26. Por tanto, escribimos la ecuacin

nmero menor nmero mayor 26

Calcular Ahora resolvemos la ecuacin.

El nmero menor es 7. En seguida se obtiene el nmero mayor.

Sustituir 7 en lugar de x.

El nmero mayor es 19.

Revisar La suma de los dos nmeros es 26.

Verdadero.

Respuesta Los dos nmeros son 7 y 19.

SUGERENCIA Al leer un problema verbal, pregntese cuntas respuestas se requieren? En elejemplo 2, preguntamos por los dos nmeros. La respuesta es 7 y 19. Es importante queleamos la pregunta e identifiquemos lo que pedimos. Si la pregunta hubiera sido en-cuentre el menor de los dos nmeros si el mayor es 2 menos que el triple del menor,entonces la respuesta habra sido slo el 7. Si la pregunta hubiera sido obtener el ma-yor de los dos nmeros, entonces la respuesta habra sido slo el 19. Asegrese de res-ponder la pregunta.

26 = 26 7 + 19 =? 26

= 19 = 3172 - 2

nmero mayor = 3x - 2

x = 7 4x = 28

4x - 2 = 26

x + 13x - 22 = 26

10 = 10 4132 - 2 =? 10



EJEMPLO 3 Tenis Candice Cotton y Thomas Johnson formaron una corporacin que manu-factura tenis. Su corporacin, denominada CoJo, fabricar 1,200 pares de tenis esteao. Quiere aumentar la produccin a razn de 550 pares hasta alcanzar anualmen-te los 4,500 pares. Cunto tiempo les tomar alcanzar su meta de produccin?

Solucin Entender Pedimos calcular el nmero de aos que tomar que su produccin al-cance 4500 pares al ao. El prximo ao su produccin aumentar en 550 pares.En dos aos su produccin se incrementar en 2(550) ms que la del presente ao.En n aos, su produccin crecer en n(550) o 550n. Utilizaremos esta informacincuando se escriba la ecuacin para resolver el problema.

Traducir Sea n nmero de aos

entonces 550n incremento de la produccin en n aos

Calcular

Revisar y responder Como comprobacin, hacemos una lista del nmero de pa-res producidos este ao y los siguientes 6.

Este ao Ao siguiente Ao 2 Ao 3 Ao 4 Ao 5 Ao 6

1,200 1,750 2,300 2,850 3,400 3,950 4,500

As, en 6 aos producirn 4500 pares de tenis por ao.

3 Plantear y resolver problemas de aplicacin que involucran dinero

EJEMPLO 4 Renta de un camin Armando Rodrguez va a mudarse. Planea rentar un ca-min por un da para hacer el traslado local. El costo de rentar el camin es de $60diarios ms 40 centavos por milla. Encuentre la distancia mxima que Armandopuede recorrer si slo cuenta con $92.

Solucin Entender El costo total de rentar el camin de manzanas consta de dos partes:un costo fijo de $60 por da, y otro variable de 40 centavos por milla. Necesitamosdeterminar el nmero de millas que Armando puede recorrer de modo que el cos-to total sea $92. Como el costo fijo est dado en pesos, escribiremos el costo va-riable, o costo por milla, tambin en pesos.

Traducir Sea x nmero de millas

entonces 0.40x costo de manejar x millas

costo diario costo por milla costo total

Calcular

x = 80

0.40x0.40

=320.40

0.40x = 32 60 + 0.40x = 92

ppppppp

n = 6 aos

n =3,300550

550n = 3,300

1,200 + 550n = 4,500

1produccin presente2+ aProduccin incrementadaen n aos

b = produccin futura


MUDANZAS

MaSeccin 3.3 Solucin de problemas de aplicacin 203

Revisar El costo de recorrer 80 millas a 40 centavos por milla es 80(0.40) $32.Al sumarlo al costo diario de $60 se obtiene $92, por lo que la respuesta coincide.

Respuesta Armando puede recorrer un mximo de 80 millas. EJEMPLO 5 Sistemas de seguridad Jos Alvarado planea instalar un sistema de seguridad en

su casa. Ha reducido su eleccin a dos proveedores: Moneywell y Doile. El sistemade Moneywell cuesta $3,580 por concepto de instalacin y $20 al mes por cuota devigilancia. El sistema equivalente de Doile cuesta slo $2,620 por instalacin, pe-ro su cuota de vigilancia es de $32 por mes. Si suponemos que las cuotas de vigi-lancia no cambian, en cuntos meses seran equivalentes los costos de Moneywelly Doile?

Solucin Entender El sistema de Doile tiene un costo inicial ms pequeo ($2,620 contra$3,580); sin embargo, sus cuotas mensuales por vigilancia son mayores ($32 con-tra $20). Se pide calcular el nmero de meses despus de los cuales el costo totalde los dos sistemas sera el mismo.

Traducir

Calcular

Revisar y responder El costo total sera el mismo dentro de 80 meses, o alrede-dor de 6.7 aos. Dejaremos la comprobacin como ejercicio para usted. Si conser-vamos el sistema de seguridad por menos de 6.7 aos, Doile sera la alternativamenos costosa. Despus de 6.7 Aos, Moneywell sera la ms barata.

EJEMPLO 6 Hipotecas Kristen Schwartz va a comprar su primera casa y ha reducido sus elec-ciones de pedir una hipoteca a dos bancos, el Bank of America y Sun Trust. ElBank of America le informa que el pago mensual por concepto del capital ms elinters sera de $650 al mes. Sun Trust le dice que su pago mensual sera de $637por mes, ms $1,500 que necesita pagar por cuotas (o puntos) para obtener la hi-poteca. Cunto tiempo tomara que el costo de ambas hipotecas fuera el mismo?

Solucin Entender Los pagos mensuales con Sun Trust son menores que los de Bank ofAmerica, pero Sun Trust exige una cuota de $1,500 que el otro banco no pide. Ne-cesitamos determinar el nmero de meses en que los pagos ms bajos equival-dran a la cuota adicional de $1,500.

Traducir

y 637x = pagos mensuales en x meses con Sun Trustentonces 650x = pagos mensuales en x meses con Bank of America

Sea x = nmero de meses

80 = n 960 = 12n

960 + 20n = 32n

3580 + 20n = 2620 + 32n

a costoinicial

b + a costo mensualpor n meses

b = a costoinicial

b + a costo mensualpor n meses

b costo total de Moneywell = costo total de Doile

y 32n = costo mensual por vigilancia por el sistema de Doile, por n meses entonces 20n = costo mensual por vigilancia del sistema Moneywell, por n meses

Sea n = nmero de meses


Esta casa est protegida

por los sistemas de seguridad de Moneywell

Ahora, planteamos la ecuacin para resolver el problema.

Bank of America Sun Trust

pagos mensuales pagos mensuales cuotas

1500

x 115.4

Revisar Comprobamos esta respuesta calculando los costos totales en 115.4 me-ses para ambos bancos.

Bank of America Sun Trust

Observe que las cantidades son casi las mismas. Hay un pequeo error de redondeo.

Respuesta El costo total de ambas hipotecas sera el mismo en unos 115.4 me-ses (o 9.62 aos). Si Kristen planea conservar la casa por un tiempo menor que ese,el Bank of America sera la opcin menos cara. Si planea conservar el inmueblepor ms de ese plazo, Sun Trust sera la ms barata.

4 Plantear y resolver aplicaciones que implican porcentajes

A continuacin veremos algunos problemas de aplicacin que involucran porcen-tajes. Hay que recordar que un porcentaje siempre es un porcentaje de algo. As,si incrementamos el costo de un artculo, c, en 8%, representaramos el costo nue-vo como c 0.08c, y no como c 0.08. Consulte el recuadro de Cmo evitar erro-res comunes, en la pgina 187.

EJEMPLO 7 Renta de bicicletas acuticas En un hotel frente al mar, el costo de rentar una bi-cicleta acutica es de $20 por media hora, lo que incluye un impuesto sobre lasventas de . Calcule el costo de la renta antes de impuestos.

Solucin Entender Pedimos calcular el costo de la renta de una bicicle

Algintercap 3_formulas y Aplicaciones de Algebra

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