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Matemática cuarto
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I
GEOMETRÍA Y ALGEBRA CON APLICACIONES
PROFESOR CEFERINO RODRIGUEZ MELGAR
INTRODUCCIÓN
Este libro no pretende sustituir el álgebra sino por el contrario, poner los
temas mucho más claros para que cuando el alumno los lea, sea capaz de comprender con mayor facilidad cualquier libro de álgebra que se le
presente. Daremos en el mismo todo lo que es necesario conocer para poder comprender los temas de los capítulos posteriores. A su vez, se
da una idea, tan precisa como es posible, de qué es el álgebra y cual es su estructura. Esto es con el propósito de aclarar cual será el material
que conforma a este libro, pues el término álgebra es usado para nombrar libros cuyo contenido es muy distinto al de éste.
De acuerdo a nuestros intereses, todas las secciones de este libro están basadas a lo que realmente necesitamos conocer para poderlas aplicar.
Como este libro es para Cuarto, al inicio se hace una recapitulación de todo lo visto en el ciclo básico, el objetivo es complementarlo para que
se puedan aprender mejor todos los temas que trataremos. Confiamos en que la estructura del mismo se presta para ello.
Gracias a algunos alumnos que han solicitado becas en otros países y
que han venido a solicitar ayuda para poder someterse a los exámenes
en las embajadas correspondientes, hemos logrado recopilar contenidos de temas que necesitan saber para poder ingresar a las universidades
de esos países. Estos temas ya están siendo adicionados a nuestros contenidos para poder lograr sacar a nuestros alumnos con un nivel
distinto. He leído que la visión de Kinal es formar a los mejores técnicos para facilitarles su inserción en el campo laboral del país Y “para quienes
quieran ingresar posteriormente a la Universidad, proporcionarles una excelente preparación académica”. Nuestra intención es que nuestros
Introducción
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II
alumnos egresados tengan un nivel internacional también en el área de matemáticas.
En la primera sección se presenta un estudio sobre la geometría, pues en todos los documentos que nos han traído está la geometría, esta es
la razón por la cual la incluimos y tratamos de que sea muy completa, pues además de esta, agregamos algunos teoremas importantes como
el Thales, pues, como la experiencia nos convence, el conocimiento de ésta es fundamental, no solo para pasar a los capítulos siguientes, sino
para el acceso del lector a libros de nivel superior que incluyen material más abstracto o avanzado.
La segunda sección contiene información al respecto de la naturaleza del
álgebra. Creemos que una sección así es digna de cursos de álgebra a
nivel universitario, ya que a este nivel nuestros alumnos deben comenzar a concebir el álgebra, y las matemáticas en general, como
una ciencia lógica, deductiva y rigurosa, así como también debe percatarse de que el álgebra estudiada aquí, con todo y su estructura,
es tan solo una de tantas álgebras posibles y con propósitos distintos, no menos valiosos.
El autor.
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III
INDICE DE CONTENIDOS
UNIDAD 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE
GEOMETRÍA
Objetivos 3
1.1 Geometría 5
1.1 Polígonos 5
1.1.2 Clasificación 5
1.1.3 Perímetro y área 6
1.1.4 Diagonal 6
1.2 Cuadrado 10
1.3 Rectángulo 10
1.4 Rombo 11
1.5 Romboide 12
1.6 Trapecios 13
1.7 Triángulos 16
1.8 Clasificación 17
1.8.1 Por sus lados 17
Equiláteros 17
Isósceles 17
Escalenos 17
1.8.2 Por sus ángulos 17
Rectángulos 17
Acutángulos 17
Obtusángulos 17
1..8.3 Líneas del triángulo 20
Mediana 20
Mediatriz 20
Bisectriz 20
Alturas 21
1.8.4 Centros del triángulo 21
Baricentro 21
Circuncentro 21
Incentro 22
Ortocentro 22
1.9 La Línea 25
1.9.1 Rectas paralelas 25
1.9.2 Rectas perpendiculares 25
Índice
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IV
1.10 La circunferencia 26
1.10.1 Líneas de la circunferencia 26
Radio 26
Diámetro 26
Cuerda 26
Flecha 27
Tangente 27
Secante 27
Area o superficie 28
1.11 Polígonos regulares 29
1.11.1 Apotema 29
1.11.2 Volumen 32
1.12 Poliedros 32
Caras 33
Diagonal 33
Angulo diedro 33
Angulo poliedro 33
Arista 33
Vértice 33
Formulario 34
Problemas propuestos 36
1.13 Angulos 53
1.13.1 Por su tamaño 53
Agudos 53
Rectos 50
Obtusos 54
Llanos 54
1.13.2 Transportador 54
1.14 Rectas, rayos y segmentos 55
1.15 Teorema de rectas paralelas
Para ángulos 57
1.16 Teorema de Thales 61
1.16.1 Teorema de rectas paralelas
Para segmentos 61
1.16.2 Teorema de triángulos 63
1.16.3 Triángulos semejantes 67
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V
UNIDAD 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE
ALGEBRA
Objetivos 79
2.1 Algebra 79
2.2 Notación algebraica 79
2.3 Leyes de exponentes 80
2.4 Radicales 86
2.4.1 Simplificación de radicales 89
2.5 Racionalización 89
2.6 Productos notables 94
2.6.1 Cuadrado de un binomio 94
2.6.2 Producto de la forma (x + a)(x + b) 97
2.6.3 Producto de la suma por la
diferencia de dos cantidades
iguales 98
2.6.4 Cubo de un binomio 100
2.6.5 Cuadrado de un trinomio 101
2.7 Factorización 104
2.7.1 Término Algebraico 104
2.7.2 Factor común 106
2.7.3 Diferencia de cuadrados 108
2.7.4 Suma y diferencia de cubos 110
2.7.5 Trinomios 112
2.7.6 Agrupación de términos 121
2.7.7 Cubo perfecto de binomios 122
2.8 Simplificación de fracciones 124
2.8.1 Sumas y restas de fracciones 127
2.8.2 Multiplicación de fracciones 128
2.8.3 División de fracciones 130
UNIDAD 3
ECUACIONES
Objetivos 135
3.1 Ecuaciones de primer grado
con una incógnita 136
3.1.1 Ecuaciones con coeficiente
fraccionario 142
Índice
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VI
3.1.2 Problemas resueltos 149
3.2 Ecuaciones de segundo grado 161
3.2.1 solución por Factorización 161
3.2.2 Completación al cuadrado 163
3.2.3 Fórmula cuadrática 168
3.2.4 Problemas de aplicación 175
UNIDAD 4 NUMEROS COMPLEJOS E
INECUACIONES
Objetivos 179
4.1 Números complejos 180
4.1.1 Operaciones con números complejos 181
4.2 Ecuaciones de otros tipos 183
4.3 Desigualdades lineales o inecuaciones 189
4.4 Más sobre desigualdades 196
UNIDAD 5
FUNCIONES Y GRAFICAS
Objetivos 203
5.1 Plano cartesiano 203
5.2 Distancia entre dos puntos 206
5.3 Fórmula de Herón 207
5.4 Punto medio 212
5.5 Ecuación de la recta 213
5.6 Gráficas de ecuaciones 218
5.7 Ecuación de la circunferencia 228
5.8 La recta 233
5.8.1 Ecuación estandar de la recta 233
5.8.2 Ecuación general de la recta 233
5.8.3 Pendiente 234
5.8.4 Rectas paralelas 235
5.8.5 Rectas perpendiculares 235
Bibliografía 247
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1
Primera unidad: Geometría
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2
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3
OBJETIVOS
Durante el curso se tratará de lograr que todos los alumnos sean
capaces de:
Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr
demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos.
Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y resolver problemas de aplicación.
Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas de
estudio y su verdadera utilización.
Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y
lógicas para poderlas aplicar en las distintas demostraciones.
Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en
sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana.
Geometría plana
Introducción:
Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la geometría. Esta se
necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban.
La geometría es la rama de las Matemáticas que ha estado sometida a más cambios a lo largo de la historia. Con los griegos alcanzó su
plenitud, después cayó en el olvido como consecuencia de los éxitos del Álgebra y del Cálculo. En el siglo XIX recobró la importancia que tiene
actualmente.
La Geometría se divide en diversas ramas: pura o elemental, analítica,
diferencial y proyectiva
El libro de Geometría más importante es “Elementos” cuyo autor es Euclides. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones mas
controvertidas de la historia de las matemáticas.
Otros importantes matemáticos en la historia de la geometría han sido:
Pitágoras, Thales de Mileto, Descartes, Euler y Gauss.
Primera unidad: Geometría
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Importancia
¿Por qué estudiar geometría? El alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar con toda razón: ¿Que es la geometría?
¿Que gano con estudiarla?.
Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un
criterio al escuchar leer y pensar. Cuando estudia geometría, deja de
aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y crítica, antes de hacer conclusiones.
Otro es el adiestramiento en el uso exacto del idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar sus partes cruciales y
aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema.
Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los
matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización.
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GEOMETRIA
La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades de las formas o figuras del espacio, como son: Puntos,
rectas, planos, curvas, polígonos, superficies, poliedros, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a
medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, la regla, el teodolito, el pantógrafo etc.
Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de
posicionamiento global y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e
incluso en la fabricación de artesanías).
1.1 POLÍGONOS
Figura geométrica plana cerrada que no se corta a si misma.
1.1.2 Clasificación de los Polígonos
Los polígonos se clasifican básicamente en:
POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONOS IRREGULARES
Polígono Regular
Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud. Se
clasifican en:
triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
cuadrado: polígono regular de 4 lados,
pentágono regular: polígono regular de 5 lados,
hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así
sucesivamente.
Primera unidad: Geometría
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1.1.3 PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS. Perímetro de un polígono El perímetro es la longitud de toda la oril la de una figura, es
decir, es la suma de todos los lados de un polígono
Area de un polígono
Es la medida de la región o superficie encerrada por
una figura plana Ejemplo
20 cm
5cm 5cm
20 cm
Si el rectángulo anterior tiene 20 cm de largo y 5 cm de ancho, su perímetro es de 20cm + 5cm + 20cm + 5 cm =
50cm. Y su área es de 20cm(5cm) = 100cm2
1.1.4 DIAGONAL Es una línea recta que se traza dentro de un polígono
de esquina a esquina. Para encontrar el número de diagonales que tiene un polígono regular,
podemos utilizar la siguiente fórmula:
2
)3(
nnD En donde n es el número de lados o vértices del polígono
Ejemplo 1:
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7
Encuentre el número de diagonales que tiene un exágono
2
)3(
nnD
92
)3(6
2
)36(6
D
También podemos obtener el número de líneas que tiene un
polígono, por ejemplo, en el exágono anterior encontramos el número de diagonales que tiene, pero podemos encontrar
el número de líneas que tiene incluyendo las de las oril las.
Vamos a poner un ejemplo sencil lo que puede ser una aplicación: si hay 6 personas en una reunión y al despedirse
se dan un apretón de manos cada una, podemos hacer el ejemplo gráfico, señalando con una línea cada apretón de
manos.
Escribimos primero 6 puntos que representan las 6 personas y vayamos uniendo cada punto con una línea, esto
representará las veces que da la mano cada persona. Estos movimientos se representan en las siguientes gráficas.
. .
.
.
1)
. .
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8
. .
2) .
.
. . . .
3) .
.
. . . .
4) .
.
. . . .
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9
5) .
.
Estas son las veces que da la mano el primero. Siguiendo
con la segunda persona nos queda
Y al terminar de dar la mano todas las personas, cubriendo
todos los puntos obtenemos la misma f igura que la anterior
Contando las l íneas nos damos cuenta que son 15 porque se
cuentan también las de las oril las, en la anterior eran 9 porque únicamente se contaban las diagonales. Esto indica
que 6 personas, dándose la mano todas, se obtendrán 15 apretones de manos.
Este número de l íneas se puede encontrar a través de la siguiente fórmula.
Primera unidad: Geometría
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10
2
2 nnN
Que también se puede escribir 2
)1(
nnN
En donde a la N es el número de líneas del polígono y n es el número de lados que tiene
1.2 CUADRADO
Un cuadrado es una f igura geométrica que tiene cuatro lados
iguales y sus ángulos son rectos, es decir, de 90 o
d l
l = lado
diagonal 2ld
Perímetro lp 4
Area 2lA
Ejemplo 2: Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un cuadrado de 6m de lado.
Solución:
2lA 2ld lp 4
2)6( mA 26md )6(4 mp
A=36m2 d=8.49m p=24m
1.3 RECTANGULO Un rectángulo es una figura geométrica que tiene cuatro lados pero no
son iguales los cuatro, son iguales los lados paralelos entre sí. Sus ángulos sí son rectos.
d
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h
b
Diagonal 22 hbd
Perímetro )(2 hbP
Area hbA *
Ejemplo3: Encuentre el perímetro, la diagonal y el area de un rectánculo que mide 12m de largo y 8 m de ancho.
Solución: util izando las fórmulas que conocemos
Perímetro )(2 hbP
)812(2 P
)20(2P
P = 40m.
Diagonal 22 hbd
22 hbd
22222 20864144)8()12( mmmmmd
D=14.42m
Area hbA *
A = 12m(8m)
A = 96m2
1.4 ROMBO
Un rombo es una figura geométrica en la cual todos sus
lados son iguales, es decir, tienen la misma longitud y son
paralelos dos a dos; se diferencia del cuadrado
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en que sus ángulos no son rectos, podríamos decir que es un
cuadrado deformado.
lP 4
2
*dDA
Ejemplo 4:
Encuentre el área y el perímetro del siguiente rombo
Solución
P = 4*17 = 68cm.
P = 68cm.
22402
16*30cmA
A = 240cm2
1.5 ROMBOIDE
El romboide es un paralelogramo cuyos lados adyacentes y ángulos consecutivos son de distinta medida. Los lados paralelos miden lo
mismo, podríamos decir que es un rectángulo deformado puesto que sus ángulos no son rectos.
Area de un Romboide
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P=2(a + b)
A= bh
Ejemplo 5:
Encuentre el área y el perímetro del siguiente romboide
Solución:
P = 2(4+4.5) = 2(8.5) =17cm
A = 4(4) = 16cm2
1.6 TRAPECIOS
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la
distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos.
b
h
a
Tipos de trapecios
Los trapecios pueden ser: isósceles, rectángulos y escalenos.
Se llama trapecio isósceles si tienen igual medida los lados no paralelos.
Primera unidad: Geometría
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Los trapecios escalenos se caracterizan porque no tienen ninguno
de sus lados igual a otro y tampoco tienen ningún ángulo recto.
Trapecio
rectangular es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.
La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.
2
bam
En un trapecio isósceles: los ángulos adyacentes a cada base tienen
la misma amplitud, y los ángulos opuestos son suplementarios.
Cálculo de la altura de un trapecio
La altura (h) de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases (a,b) y de los dos lados (c,d), mediante la siguiente ecuación:
)(2
)(4222222
ba
badcdch
b
c h d
a
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En donde a es la base mayor, b la base menor y, los lados no paralelos son c y d.
Área de un trapecio
El área A de un trapecio de bases a y b y altura h es:
2
)( bahA
Es decir, la semisuma de las dos bases, o sea la mediana, multiplicada por la altura del trapecio.
Ejemplo 6:
Encuentre el área de un trapecio cuyas bases miden 17cm y 8cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5cm y 7.21cm.
Solución:
Como no me dan la altura y la necesito para encontrar el área, tengo que buscarla primero a través de la fórmula
)(2
)(4222222
ba
badcdch
)817(2
)817(21.75)21.7()5(4222222
h
)9(2
)9(9841.5125)9841.51)(25(4 2h
18
)0159.4(41.5198 2h
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16
18
12745281.1641.5198h
18
28254719.5182h
18
988.71h
h = 4
Ahora que ya tenemos la altura, utilizamos la fórmula para encontrar el
área
2
)( bahA
2
)817(4 A
2
)25(4A
2
100A
A = 50cm2
1.7 TRIÁNGULOS
Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de 3 rectas que se cortan en 3 puntos no alineados
llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un
ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o
trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está
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17
contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama
triángulo geodésico.
La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo será siempre de
1800
1.8 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
1.8.1 POR LA LONGITUD DE SUS LADOS
Los triángulos, por la longitud de sus lados se clasifican en: Equiláteros, isósceles y escalenos
Triángulos equiláteros: Son los triángulos que tienen la misma
medida en todos sus lados
Triángulo Isósceles: Son los triángulos que tienen dos lados iguales
y su tercer lado tiene diferente medida
Triángulo escaleno: Son los triángulos que no tienen ningún lado con la misma medida.
Equilátero Isósceles Escaleno
1.8.2 POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
Primera unidad: Geometría
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18
Los triángulos, por la medida de sus ángulos se clasifican en: Triángulo rectángulo, triángulo obtusángulo y triángulo acutángulo
Triángulos Rectángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo recto o de 90o
Triángulos Obtusángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo
obtuso o que mide más de 90o
Triángulos Acutángulos: Son los triángulos que tienen sus tres
ángulos agudos que miden menos de 90o
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Ejemplo 7. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. Respectivamente.
Solución: Como el triángulo es rectángulo, podemos encontrar el área
directamente ya que en un triángulo rectángulo los catetos son la base y la altura
A = 2
1bh =
2
1(6*8)
A = = 24cm2.
Para encontrar el perímetro necesitamos conocer el tercer lado, que en este caso, por ser triángulo rectángulo es la hipotenusa. En un triángulo
rectángulo, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.
C2 = a2 + b2
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19
22 bac
22 86 c
6436c
100c
c = 10cm.
Ahora ya podemos encontrar el perímetro
P = a + b + c
P = 6cm + 8cm + 10cm
P = 24 cm.
Ejemplo 8 Encuentre el área de un triángulo cuyos lados miden 3cm,
4cm y 5cm.
Solución: Como no me indican que sea un triángulo rectángulo,
asumiremos que únicamente es escaleno. Para encontrar el área de cualquier triángulo, conociendo la longitud de sus tres lados, podemos
utilizar la fórmula de Herón
))()(( csbsassA
En donde s es el semiperímetro del triángulo. Semiperímetro significa la mitad del perímetro que es lo mismo que semisuma o sea la mitad de la
suma.
2
cbas
2
12
2
543
s
s
s = 6
36
)1)(2)(3(6
)56)(46)(36(6
A
A
A
Primera unidad: Geometría
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20
A = 6cm2
1.8.3 LÍNEAS DEL TRIANGULO
MEDIANA
La mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del
lado opuesto, sin importar que sea perpendicular o no a este lado.
MEDIATRIZ
Es una línea recta que corta a la mitad el lado del triángulo pero
es perpendicular a él.
La mediana y la mediatriz cortan un segmento a la mitad; La diferencia entre ellas es que la mediana no es perpendicular al lado que corta y la
mediatriz sí.
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BISECTRIZ
Es una línea recta que divide al ángulo en dos partes iguales, es
decir, parte a un ángulo a la mitad
ALTURAS
Son líneas rectas que pasa por los vértices pero son perpendiculares al lado opuesto de éste
1.8.4 CENTROS DEL TRIÁNGULO
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:
BARICENTRO
El baricentro es el punto de intersección de las medianas de cada
uno de los lados del triángulo.
Primera unidad: Geometría
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CIRCUNCENTRO
El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Recibe este nombre por ser el
centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
INCENTRO
Se denomina al punto en el que se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. Tiene la propiedad de ser el centro
de la circunferencia inscrita en dicho triángulo, ya que equidista de sus tres lados. El incentro puede hallarse intersectando sólo dos
bisectrices, pues la tercera pasará siempre por este punto.
ORTOCENTRO
es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
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El único caso en que los tres primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.
El área de un triángulo se encuentra multiplicando la base por la altura
dividido 2
2
bhA
Y el perímetro es la suma de la longitud de sus tres lados.
Ejercicios 1
1. Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un cuadrado que tiene 3 m de lado.
2. Hallar la diagonal, el perímetro y el área de un cuadrado de 5 cm de lado.
3. Encuentre el número de diagonales que tiene un eptágono
4. Encuentre el número de diagonales que tiene un eneágono
5. Encuentre el número de líneas que tiene un octágono
6. Encuentre el número de líneas que tiene un pentágono
7. A una fiesta acudieron 8 personas. Si todos eran educados y al
retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno. ¿Cuántos apretones de manos se contaron en total?
8. A una fiesta acudieron 15 personas. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno.
¿Cuántos apretones de manos se contaron en total?
9. Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un rectángulo que tiene 15 cm de longitud y 12 cm de ancho.
10. Hallar el la diagonal, el área y el perímetro de un rectángulo cuya base mide 25 cm y su altura 15cm.
Primera unidad: Geometría
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11. Encuentre el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 15cm y 9 cm respectivamente y sus lados 10 cm.
12. Encuentre el área y el perímetro de un rombo que tiene diagonales de 25cm y 15 cm y sus lados miden 18cm.
13. Encuentre el área y el perímetro de un romboide que miden 5cm
y 6 cm respectivamente sus lados y su altura mide 4 cm.
14. Encuentre el área y el perímetro de un romboide cuya altura es
de 6 cm. Y sus lados miden 7cm y 9 cm.
15. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 13cm y 7 cm respectivamente y sus lados no
paralelos miden 5 cm.
16. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles que
miden 23 cm y 5 cm sus lados paralelos y 15 cm sus lados no paralelos.
17. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas
bases miden 10 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 3 cm.
18. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 9 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 4
cm.
19. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 16 cm y 4 cm respectivamente y su altura mide 8
cm.
20. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas
bases miden 21 cm y 3 cm respectivamente y su altura mide 12 cm.
21. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio escaleno cuyas
bases miden 24 cm y 5 cm y sus lados no paralelos miden 20 cm y 12.34 cm respectivamente.
22. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio escaleno cuyas bases miden 18 cm y 3 cm y sus lados no paralelos miden 15 cm
y 9.4868 cm respectivamente.
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25
23. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero que sus lados miden 9 cm.
24. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuyos lados miden 12 cm.
25. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuya
altura mide 5 cm
26. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero que
tiene una altura de 12 cm.
1.9 LA LINEA
Es una sucesión continua de puntos contenidos en un plano. Esta puede
ser:
Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma
dirección. Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de
curvatura. Línea quebrada o poligonal, formada por segmento rectos
consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
Propiedades de líneas rectas
1.9.1 Rectas paralelas:
Son líneas que se encuentran a la misma distancia en toda su
trayectoria, es decir, aunque se prolonguen indefinidamente nunca se encuentran o intersectan
Primera unidad: Geometría
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26
1.9.2 Rectas perpendiculares
Son líneas que cuando se cruzan o intersectan forman ángulos rectos o de 900
1.10 LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo llamado centro; esta distancia se
denomina radio. Sólo posee longitud.
1.10.1 Líneas de la circunferencia Radio Diámetro
Cuerda
Flecha Tangente
Secante
Radio Es un segmento que sale del centro a cualquier parte de la circunferencia
Diámetro
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27
Es un segmento que atraviesa a la circunferencia pasando por el centro, es decir, divide a la circunferencia en dos partes iguales
Cuerda Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia
Flecha
Segmento que une el punto medio de una cuerda con un punto de la
circunferencia y es perpendicular a dicha cuerda.
Tangente
Es una recta que pasa por un punto de la circunferencia pero sin introducirse a ella, la recta tangente es siempre perpendicular al radio
de la circunferencia
Primera unidad: Geometría
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28
Secante
Es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. Se diferencia
de la cuerda en que la secante atraviesa a la circunferencia.
AREA O SUPERFICIE El área o superficie de una circunferencia se encuentra de la siguiente
forma Cuando se conoce el radio
2rA
Cuando se conoce la longitud del diámetro podemos encontrar el radio,
ya que el diámetro es el doble del radio
El perímetro o longitud de la circunferencia se encuentra de la siguiente forma
rP 2
Ejemplo: Encontrar el área y el perímetro de una circunferencia que tiene un
diámetro de 4 metros
Solución:
En este caso que nos dan el diámetro, podemos encontrar el radio para
encontrar así el área y el perímetro o podemos hacerlo directamente con el diámetro, ya que también se puede puesto que dos radios es un
diámetro
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29
rd 2
2
dr
2
2
dA
2
2
4
A
A=π(2)2
A = π(4)
A = 12.57m2
Como el perímetro encontrándolo a través del diámetro es
dP P = π(4)
P = 12.57 m
1.11 POLIGONOS REGULARES
APOTEMA La apotema de un polígono es un segmento de recta trazado desde el centro del polígono hasta la mitad de cualquiera de sus lados, podemos
decir que la apotema es la altura del triángulo.
a r
Primera unidad: Geometría
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30
l
l2
1
Como la apotema corta a la mitad a su lado siendo perpendicular a él, se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras
2
2
2
1a
lr
El área de un polígono regular se encuentra multiplicando la apotema
por la longitud del polígono o sea por el perímetro dividido 2
2
apA
El perímetro de un polígono regular se encuentra multiplicando la longitud de cada lado por la cantidad de lados que tenga
P = ln
Por tanto la fórmula del área también se puede escribir
2
lnaA
Ejemplo:
Encuentre el área de un pentágono de radio 5cm y lado 6 cm.
Solución
Como para encontrar el área necesitamos la apotema, procedemos a encontrarla a través de la fórmula del teorema de Pitágoras.
Sabemos también que la apotema corta a la mitad a cada lado y el radio es la línea del centro al vértice, hacemos la siguiente figura
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31
2
2
2
1a
lr
a = 22 35
a = 925
a = 16
a = 4cm
Ahora ya podemos encontrar el área. Es importante denotar que a un polígono se le pueden trazar tantos triángulos como vértices
tenga. Observemos el ejemplo en el cual encontramos la apotema y tracemos sus triángulos.
r l
a
Podemos entonces encontrar el área de un triángulo y multiplicar esta por la cantidad de triángulos que tenga la figura, puesto que ya vimos
que la apotema es la misma que la altura de un triángulo.
Area de un triángulo = base por altura dividido 2
2
4*6A
2
24A
Primera unidad: Geometría
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32
A = 12 cm2. Esta es el área de un triángulo del pentágono, pero como son 5, el área del pentágono que tiene 6 cm. De lado y una altura o
apotema de 4 cm. Es: A = 12*5
A = 60cm2
Ejemplo: Encuentre el área y el perímetro de exágono cuyos lados
miden 1m.
Solución: Los hexágonos tienen las características que los triángulos
que se forman en su interior son equiláteros, por lo tanto, sus tres lados miden 1m. Procedemos entonces a encontrar la apotema que es la
altura de los triángulos.
2
2
2
11
a
4
11a
4
3a
a= 0.866m.
Ahora que ya conocemos la altura, podemos encontrar el área de un triángulo y lo multiplicamos por la cantidad de triángulos que tiene el
hexágono que son 6.
6*2
866.0*1A
6*2
866.0A
6*433.0A
1.11.2 VOLUMEN
En matemática, el volumen de un cuerpo, es la medida que se le asocia
al espacio que ocupa un cuerpo y es tridimensional.
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33
1.12 POLIEDROS
Un poliedro, en el sentido dado por la geometría clásica, es un cuerpo
geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen finito. El volumen del poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
CARAS
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que lo limitan
DIAGONAL
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices pertenecientes a las caras opuestas.
ANGULO DIEDRO
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.
ANGULO POLIEDRO
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.
ARISTA
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34
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro . Dos caras tienen una arista en común.
VERTICE
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro . Tres caras coinciden en un
mismo vértice. Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en
cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro
FORMULARIO
TABLA DE ÁREAS PERÍMETROSY VOLÚMENES
cuadrado
A = a2
P = 4l
triángulo
2
BhA
P = a + b + c
rectángulo
A = B · h
P = 2(B+h)
romboide
A = B · h
P = 2(B + A)
A
rombo
2
*dDA
trapecio
cabBP
hbB
A
2
)(
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35
P = 4l
polígono regular
2
*PaA
P = ln
círculo
A = π · R2
P = 2 · π· R
corona circular
A = π· (R2 - r2)
sector circular
360
2 onRA
Cubo
A = 6 · a2
V = a3
Cilindro
2A R(h+R)
V = π· R2 · h
Ortoedro
A = 2 · (a·b + a·c + b·c)
V = a · b · c
cono
A = π· R · (h + g)
3
2hRV
prisma recto
A = P · (h + a)
V = AB · h (3)
tronco de cono
A= π·
[g·(r+R)+r2+R2]
V = π· h · (R2+r2+R·r)
/ 3
tetraedro regular
A = a2 · √3
V = a2 · √2 / 12
esfera
A = 4 · π· R2
3
3
4RV
pirámide recta
A = P · (a + a') / 2
V = AB · h / 3
casquete
esférico
A = 2 · π· R · h
V = π· h2 · (3·R - h) / 3
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36
tronco de pirámide
A=½(P+P')·a+AB+AB'
V = (AB+AB'+√AB·√AB') · h/3
zona esférica
A = 2 · π· R · h
V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2) /
6
(1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema
(2) g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número
(3) AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;
Problemas propuestos de áreas y perímetros.
1. Determinar la medida de los lados de un triángulo
equilátero cuyo perímetro es igual al de un
cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus
áreas?
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37
2. Determinar el lado de un triángulo equilátero que
su perímetro mide lo mismo que el de un cuadrado
de 3 metros de lado.
3. Hallar el perímetro y el área del pentágono regular
4. Encuentre el área y el perímetro de un pentágono
cuyo radio es de 12cm. y sus lados miden 15cm.
5. Hallar el área de un hexágono inscrito en una
circunferencia de 4 cm de radio.
6. Encuentre el área de un hexágono inscrito en una
circunferencia de 5 cm. De radio.
Primera unidad: Geometría
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38
7. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una
circunferencia de 5 cm de radio.
8. Encuentre el área de un cuadrado inscrito en una
circunferencia de 3 cm de radio
9. Determinar el área del cuadrado inscrito en una
circunferencia de longitud 18.84cm.
10. Calcular el área de un tr iángulo equilátero
inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
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39
11. En un cuadrado de 2 cm. de lado se inscribe un
círculo y en este círculo un cuadrado y en este
otro círculo. Hallar el área comprendida entre e l
últ imo cuadrado y el último círculo.
12. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110
cm., las bases miden 40 y 30 cm
respectivamente. Calcular la longitud de los lados
no paralelos y el área del trapecio.
13. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles
se prolongan, quedaría formado un triángulo
equilátero de 6 cm de lado.
Sabiendo que el trapecio
Primera unidad: Geometría
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40
tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular
el área del trapecio.
El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el
área del hexágono regular que tiene su mismo
perímetro.
14. Encuentre el Area y el perímetro de un exágono
inscrito en una circunferencia de radio 32 cm.
15. En una circunferencia de
radio igual a 4 cm se
inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y
hacia el exterior se construyen triángulos
equiláteros. Hallar el área de la estrella así
formada.
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41
17. La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos
semicírculos en dos lados opuestos. Calcula el área.
18. A un hexágono regular de 4 cm de lado se le
inscribe una circunferencia y se le circunscribe
otra. Hallar el área de la corona circular así
formada.
19. En una circunferencia se traza una cuerda de 48
cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del
cìrculo.
20. Los catetos de un triángulo inscrito en una
circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm
respectivamente. Calcular la longitud de la
circunferencia y el área del círculo si la hipotenusa
es su diagonal.
Primera unidad: Geometría
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42
21. Calcular el área de la corona circular determinada
por las circunferencias inscrita y circunscrita a un
cuadrado de 8 cm de diagonal.
22. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un
ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento
circular comprendido entre una cuerda de 4 cm.
que une los extremos de los dos radios y su arco
correspondiente.
23. Dado un triángulo equilátero de 6 cm. de lado,
hallar el área de uno de los sectores determinado
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43
por la circunferencia circunscrita y por los radios
que pasan por los vértices.
24. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del
triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la
circunferencia.
25. Hallar el área del sector
circular cuya cuerda es el
lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la
circunferencia.
26. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm,
respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman
Primera unidad: Geometría
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44
un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular
formado.
27. Calcula el área sombreada, sabiendo que el radio del círculo
mide 2 cm.
28. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo
mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños mide 2
cm.
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45
29. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm,
ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de
centros B y D.
La parte sombreada se compone de dos segmentos
circulares
30. Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el
volumen de un cubo de 5 cm de arista
Primera unidad: Geometría
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46
31. Calcula el área lateral, total y el volumen de una
pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12
cm de altura.
32. Calcula el área lateral, total y el volumen de una
pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm
de arista lateral.
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47
33. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de
un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas
24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.
34. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono
cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de
5 cm.
35. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono
cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
Primera unidad: Geometría
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48
36. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de
un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10
cm.
37. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del
tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz
15 cm.
38. Calcular el área del círculo resultante de cortar una
esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya
distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
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49
39. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita
en un ci l indro de 2 m de altura.
40. Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de
radio.
41. Calcula el área y el volumen del siguiente casquete
esférico.
42. Calcular el área y el volumen de una zona esférica
cuyas circunferencias t ienen de radio 10 y 8cm, y la
distancia entre ellas es de 5 cm.
Primera unidad: Geometría
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50
43. Encontrar el volumen, en centímetros cúbicos, de una
habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y
2500 mm de alto.
44. Una piscina t iene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m
de profundidad. Se pinta la piscina a razón de Q.6.00 el metro cuadrado.
a. Cuánto costará pintarla.
b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
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51
45. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2
m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de
largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos
almacenar?
46. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y
un icosaedro de 5 cm de arista.
47. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de
la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.
48. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará
para hacer 10 botes de forma cil índrica de 10 cm de
diámetro y 20 cm de altura.
Primera unidad: Geometría
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52
49. Un ci l indro tiene por altura la misma longitud que la
circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.
Calcular:
a. El área total
b. El volumen
50. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro
cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura
l legará el agua cuando se derritan?
51. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se
necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10
m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad?
52. Un recipiente cil índrico de 5 cm de radio y y 10 cm de
altura se l lena de agua. Si la masa del recipiente l leno
es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
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53
53. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma
cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá util izado si
las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm
de generatriz?
54. Un cubo de 20 cm de arista está l leno de agua.
¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?
1.13 ANGULOS:
Es la abertura formada entre dos líneas que se unen en un punto
llamado vértice
Angulo
vértice
En nuestro curso nombraremos los ángulos en grados o en radianes
1.13.1 Los ángulos por su tamaño pueden ser:
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54
Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°.
Ej. Cualquier ángulo que se encuentre en el cuadrante I
Rectos: si su medida es 90°.
Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°.
Ej.
Llanos: Si su medida es 180°.
Ej.
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55
1.13.2 TRANSPORTADOR
El transportador es el instrumento utilizado para medir los ángulos y
consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0o hasta 180o.
Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema
sexagesimal.
Ángulos Suplementarios:
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.
Ángulos Rectos:
Son los que miden exactamente 900
Ángulos Complementarios:
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.
Ángulo Agudo:
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56
Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 0 y menor que 90°.
1.14 RECTAS. RAYOS Y SEGMENTOS.
RECTA
Una recta es una línea que no tiene principio ni fin. Para representarla gráficamente en un plano, se dibuja la recta con flecha en los dos
extremos
RAYO:
Un rayo es una fracción de recta que sí se sabe en donde es su inicio pero se desconoce su fin, para trazarla en un plano, se dibuja solo en uno de sus extremos una flecha, esta es la que indica que no es ese su
fin, el punto indica que este es su inicio
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57
SEGMENTO
Un segmento es una fracción de recta que tiene principio y tiene fin, es
decir, sabemos desde donde sale y hasta donde llega. Este no tiene ninguna flecha en sus extremos, ya que no continúa.
1.15 TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS
PARA ANGULOS.
Dos rectas son paralelas cuando al prolongarse indefinidamente, nunca se encuentran, es decir, se mantendrán siempre a la misma distancia una de la otra. El ángulo de inclinación será igual en las dos.
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58
Al intersectar rectas paralelas por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:
ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal, que puede ser arriba o abajo. Identifiqué los ángulos correspondientes con el mismo color
Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a
distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, también los escribí identificándolos con el mismo color.
Ángulos alternos externos: Son los que están "afuera" de las paralelas a
distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, también se identifican con el mismo color.
A B
C D
E F
G H
A B
C D
E F
G H
A B
C D
E F
G H
A B
C D
E F
G H
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59
Angulos opuestos por el vértice: Son los ángulos que tienen el mismo
vértice en común
Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:
1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.
2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.
3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
4. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.
Dado el siguiente diagrama encuentre todos los ángulos, nombrando el
concepto que utilizo, para resolverlos.
B = 72o Angulo suplementario
C = 72o Angulos apuestos por el vértice con B
D = 1080 Los conceptos que pueden tomarse son:
Opuestos por el vértice con A Suplementario con C
Suplementario con B
E = 108o Correspondiente con A
A B
C D
E F
G H
A = 108 B
C D
E F
G H
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60
F = 72o Los conceptos que se pueden tomar para hallar este ángulo son:
Suplementario de E Correspondiente con B
Alterno interno con C
G = 72o Opuestos por el vértice con F
Correspondiente con C Alterno externo con B
Suplementario de E
H = 108o Suplementario de G Opuesto por el vértice con E
Correspondiente con D Suplementario de F
Alterno externo con A
Resuelva correctamente lo que a continuación se le indica:
1) Encuentre los ángulos que hacen falta:
2 ) Encuentre el valor de x y la medida de todos los ángulos
40o B
C D
E
F
G H
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61
3) C = x + 16
E = 3x + 20
1.16 TEOREMA DE THALES
A B
C 4x
x + 21
F
G H
A B
C D
E F
G H
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62
Existen dos teoremas de Thales
El Teorema de rectas paralelas
El teorema de triángulos rectángulos
1.16.1 TEOREMA DE RECTAS PARALELAS
PARA SEGMENTOS
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas
paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la
otra.
r s
A A'
B B'
C C'
C'A'C'B'B'A'
ACBCAB
Ejemplo 1
Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
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63
10
14
2
x
10
2*14x x = 2.8cm
Ejemplo 2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Thales .
2
3
4
6
1.16.2 TEOREMA DE TRIÁNGULOS
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64
El teorema de triángulos dice los siguiente:
Si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus
lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales,
es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son
proporcionales a los del triángulo ABC.
C'B'C'B'
BC
A
AC
A
AB
Ejemplo:
Encuentre las medidas de los
segmentos a y b 6 cm 4 cm
2 cm a
4 cm
b
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65
) (
)24(
ladomismopequeñolado
grandelado
paralelopequeñolado
grandelado
2
6
4
b
2
)4(6b b = 12 cm
NOTA: No cometamos el error de igualar lados completos con segmentos de los lados.
Por ejemplo, es incorrecto igualar los lados paralelos con las partes de
cualquiera de los dos lados 2
4
4
b
Como a y 4 son los lados completos, tenemos que igualar lados completos.
Lo que sí se puede hacer es igualar segmentos proporcionales o también una proporción de un lado sobre el mismo lado completo
66
2
a
a en este caso estoy tomando en cuenta el segmento pequeño
sobre el lado completo igual al segmento pequeño sobre su propio lado en el otro lado del triángulo.
Que también puede hacerse
grandesegmento
pequeñosegmento
ladomismograndesegmento
pequeñosegment
o
64
2 a
4
)6(2a a = 3
Primera unidad: Geometría
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66
También se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no
pueda ser medida, y apoyándose en un punto
Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.
Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C
Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un
lápiz) en el mismo instante. = B
Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A
Luego hacemos la comparación aplicando el teorema de Thales, de
triángulos semejantes.
El cateto grande es al cateto grande como el cateto pequeño es al cateto
pequeño. D:C::A:B Que se lee D es a C como A es a B y lo podemos escribir
B
A
C
D
Y obtenemos donde D es la altura real del árbol.
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría
particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente
enunciado:
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67
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.
Thales de Mileto.
Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto
Este teorema es un caso particular de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo
y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π
Primera unidad: Geometría
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68
(radianes) o sea 180 grados. Dividiendo por dos, se obtiene:
0902BCA
En conclusión se forma un triángulo rectángulo.
1.16.3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Los lados a y a , b y b c y c se l laman lados homólogos. De
igual forma A y A , B y B , C y C son ángulos homólogos.
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son
proporcionales.
A = A B = B C = C
cb
b
a
a c
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos
se llama razón de semejanza.
Por ejemplo, si tenemos dos triángulos con sus ángulos iguales, estos serán semejantes.
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69
En la figura anterior, ABBC
Así mismo DEAC. Entonces, como el ángulo C es el mismo para los
dos triángulos, los triángulos ABC y DEC son semejantes.
Al ser dos triángulos semejantes, la hipotenusa de uno es a la hipotenusa del otro como el cateto más largo de uno de los triángulos es
al cateto más largo del otro. No igualemos las hipotenusas con los catetos que no son proporcionales.
Observemos BC es el cateto más grande del triángulo
grande.
EC es el cateto más grande en el triángulo más pequeño.
Podemos hacer entonces:
EC
BC
DC
AC
Primera unidad: Geometría
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70
Hipotenusa es a hipotenusa como cateto grande es a cateto grande
DE
AB
DC
AC
Hipotenusa es a hipotenusa como cateto pequeño es a cateto pequeño.
Si tenemos el mismo triángulo ya con datos: AC = 20cm, BC = 16cm y AB = 12cm. DE AC. El símbolo signif ica es perpendicular yAD. Es la bisectriz de BAC
a) calcular la longitud del segmento DE
b) Calcular el área del triángulo DCE
Solución: Como sabemos que AD es la bisectriz, esto significa
que esta l ínea divide el ángulo BAC en dos partes iguales.
Nos interesa conocer el ángulo porque no conocemos ningún lado del triángulo pequeño.
El ángulo grande A
20
16senA
)8.0(1SenA
A 530 7 48.37
Entonces la mitad del ángulo es 26 0 33 54.18
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71
Podemos entonces encontrar la longitud del segmento BD
tan 260 33' 54.18'' = 12
BD cmBD 6
Ahora ya podemos encontrar el segmento DC DC = 16cm – 6cm. =
10cm. Con semejanza de triángulos
grande triángulopequeño cateto
pequeño triángulopequeño cateto
grande triángulodel hipotenusa
pequeño triángulodel hipotenusa
1220
10 DE
.6cmDE
Como nos piden encontrar el área del triángulo DEC, necesitamos conocer el otro cateto
22 610EC
36100EC
8EC
Primera unidad: Geometría
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72
O también lo podemos encontrar con esta otra semejanza de
triángulos
grande triángulopequeño Cateto
pequeñotriángulopequeñoCateto
grandetriángulograndecateto
pequeñotriángulograndeCateto
12
6
16
EC
12
)16(6EC
.8cmEC
Conociendo los dos catetos podemos encontrar el área, ya que
esta y la de cualquier tr iángulo rectángulo se encuentra
mult ip l icac ión de los catetos dividido dos
2
6*8A
A=24cm2
Ejercicios
1) Calcular la altura de un edif ic io que proyecta una
sombra de 8 metros a la misma hora que un poste de 5
metros da una sombra de 1.6 metros
6.1
8
5
h
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73
6.1
)5(8h
h=25m
2) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24m y 10m.
¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al
primero cuya hipotenusa mide 52m?
261024 22 c
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos
iguales y sus lados proporcionales
A = A' B=B' C = C'
Primera unidad: Geometría
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74
Ejercicios: Resolver correctamente los siguientes problemas de
triángulos semejantes.
1) Una mujer que mide 1.72 metros de estatura camina en
una carretera horizontal. Si la sombra de un poste
vertical a la oril la de la carretera es de 5 metros y el
de la mujer es de 1.5 metros. ¿Cuál es la altura del
poste?
2) Para determinar la altura de un árbol, se mide a
determinada hora su sombra y se encuentra que es de
12 metros de longitud, luego se coloca a una persona
cuya estatura es de 1.60 metros y también se mide su
sombra la cual es de 2 metros de longitud. Con estos
datos encuentre la altura del árbol.
3) En la f igura se trazó un círcu lo con centro O y de área
78.5 cm2 Por los puntos C y B se trazaron las tangentes
AB y AC de manera que BAC =600 Calcula el área de
la parte sombreada.
4) Con apoyo en el vértice C del triángulo rectángulo ABC,
se trazó al arco MN tangente a la hipotenusa AB en T,
de manera que M es el punto medio de AC . Se conoce
.2cmBN Calcula el área de la región sombreada.
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75
5) En la Figura se trazó la diagonal BD en el trapecio
rectángulo ABCD y se cumple con que DBCE . Se sabe
además que .12cmAB cmCD 9 y .5cmCB calcule el área
sombreada
6) La figura ABCD es un cuadrado y E es el punto medio
de cmAB 8 . Se sabe además que DECM . Calcula el
área sombreada.
7) En la f igura e l tr iángulo ABC es rectángulo en C.
EF l l DG y ABEF . Se conoce EF = 10cm. .7cmFB cmAC 30 y
cmAG 20 . Calcula el área sombreada.
Primera unidad: Geometría
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76
8) En la figura el tr iángulo ABC es isósceles, de base
.6cmAB y en su interior se encuentra inscrito un
cuadrado DEFG de 16 cm2 de área. Calcular el área
sombreada.
9) En la f igura, el tr iángulo ABC es rectángulo y el
cuadrado ADEF, cuya área es de 36 cm 2 se encuentra
inscrito en el triángulo. Se sabe que cmAC 18 .Calcula el
perímetro del triángulo ABC y el área sombreada.
Matemática cuarto
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77
Bibliografía
Geometría aplicada a la técnica
Autor Miguel Angel Sauri
Geometria Euclidiana
Autor Martins Rodríguez
Geometría plana
Autor Aurelio Baldor
Internet
Segunda unidad: Álgebra
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78
Matemática cuarto
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79
Segunda unidad: Álgebra
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80
objetivos
Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento
lógico riguroso a través del estudio del álgebra.
Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra: Operaciones, aplicaciones a problemas,
Traducir a un lenguaje algebraico problemas expresados en lenguaje cotidiano y viceversa
2.1 ÁLGEBRA Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos
de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy
posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre
llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El
gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los
matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que
sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar
todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético,
puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante
números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se
representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les
asigne.
2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden
ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para
representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas
como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan
utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las
cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del
alfabeto: x, y, z…
Matemática cuarto
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81
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por
medio de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a
tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a
subdos, a subtres.
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las
cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.
2.3 LEYES DE EXPONENTES BASE: Es toda expresión que se debe multiplicar la cantidad de veces que indique su exponente
EXPONENTE: es el número que se coloca sobre la base e indica las
veces que se debe multiplicar la base por sí misma
23 = 2 * 2 * 2
(a + 4)2 = (a + 4)(a + 4)
POTENCIA: Es el resultado que se obtiene después de desarrollada la
base
1) Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes
nmnm aaa * 53232 aaaa aaaaaa 123)2(323
2) Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan
los exponentes
nm
n
m
aa
a 235
3
5
aaa
a 523)2(3
2
3
aaaa
a
Segunda unidad: Álgebra
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82
3) Cuando el exponente es cero, la potencia siempre será igual a 1, pero la base deberá ser diferente de cero
0
10
a
a
4) Cuando el exponente es uno (1), la potencia será igual a la misma base
aa 1
5) Cuando el exponente es negativo, la expresión se convierte en fracción, escribiendo como numerador la unidad y como
denominador la misma expresión, pero con el exponente positivo
n
n
aa
1
8
1
222
1
2
12
3
3
6) El exponente afecta únicamente al elemento sobre el cual se encuentra escrito
3x2 el exponente 2 es únicamente de la letra x. Si lo queremos
escribir desarrollado sería xx3
(3x)2 = 222 9333 xxxx
En este caso, el exponente afecta también al 3
7) Si el exponente se encuentra colocado afuera de un paréntesis,
este afectará a todo lo que se encuentre dentro del paréntesis, (signos, números y letras) y pueden ocurrir los siguientes casos:
a) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se
vuelve positivo por estarse multiplicando un número par de veces
(-3x)4 =(-)(-)(-)(-)(3)(3)(3)(3)(x)(x)(x)(x)= 81x4. Los signos, los números y las letras se multiplican.
b) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y
el exponente de afuera del paréntesis es impar, el signo sigue siendo negativo.
(-2x)3 = (-)(-)(-)(2)(2)(2)(x)(x)(x) = -8x3
8) Si la base es una fracción y el exponente es negativo, únicamente se invierte la fracción y el exponente se vuelve positivo
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83
nn
a
b
b
a
9) Cuando un exponente está elevado a otro exponente, se multiplican entre sí.
mnnm aa
10) Cuando en una fracción se encuentren exponentes
negativos, se cambian de lugar, (las bases con sus exponentes negativos de abajo se suben y los de arriba se bajan) para que los
exponentes se vuelvan positivos
n
n
n
n
a
b
b
a
22
33
323
21 )2(3
2
3
yam
xn
nm
xya
=22
3
22
3 24)8(3
yam
xn
yam
xn
11) Cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la
fracción es el exponente de la base y el denominador indicará siempre que es una raíz.
n mn
m
aa 6441616 332
3
Ejemplos 1: Resolver en forma desarrollada las siguientes expresiones: 1) 54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625
2) – 42 = – 4* 4 = – 16
3) ( – 3x3)2 = ( – 3x3)( – 3x3) = 9x6
4) 4
6
2
3
2
32
2
3 9333
y
x
y
x
y
x
y
x
Ejemplos 2: Resuelva y simplifique aplicando las leyes de exponentes, las siguientes operaciones.
a) 54 = 625 b) – 42 = – 16
Explicación: Como sabemos que el exponente es únicamente de la base en donde se encuentre; en este caso es sólo del 4 no así del signo
por eso es que el signo no se multiplica 2 veces.
c) ( – 3x3)2= 9x6 Explicación: El exponente de afuera del paréntesis afecta a todo lo que
está adentro, como es par, el signo menos está multiplicado un número par de veces por lo tanto se vuelve positivo, el 3 de base se multiplica 2
veces por él mismo por eso nos da 9; el 3 como exponente, como
Segunda unidad: Álgebra
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84
sabemos que un exponente elevado a otro exponente se multiplican 3 * 2 = 6
a) 4
62
2
3 93
y
x
y
x
Explicación: El exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se
vuelve +, 3 de base se multiplica 2 veces por el mismo, el exponente 3 se multiplica por el exponente de afuera que es 2 y el denominador “y”
que tiene exponente 2, se multiplica por el exponente de afuera.
4) 3 516x
Como es la raíz cúbica de 16x5 todos los factores del radicando pueden
salir si se encuentran 3 veces multiplicándose, para poder encontrarlos, descomponemos en factores primos todos los elementos que se
encuentran dentro de la raíz
Primero el 16 luego la x
16 2 x5 8 2 2 x
4 2 x x 2 2 x 1 x
x
Descomponiéndolos encontramos que el dos sale del radicando porque
cada 3 veces que se multiplica sale una, pero sobra uno. La x también sale porque también sale cada 3 pero sobran dos, los que sobran
vuelven a escribirse adentro de la raíz con su mismo índice
3 23 5 2216 xxx
Simplificación de potencias con exponentes racionales
Simplifica:
a) b)
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85
Solución
a)
32
8
2
)3(
)4(
)27()4()27(
5
2
5
23
2
5
3
2
b)
3
4
2
1
3
1
6
5
3
4
3
1
6
52
2
1
3
2
123432
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Ejercicios: Aplicando las leyes de exponentes resuelva los siguientes ejercicios.
1) -32
2) 32 3) (-3)2
4) 23
5) -23
6) (-2)3
7) -(2)4
8) –(-2)4
9) 2-3
10) -2-3
11) (-2)-3
12) 4-2
13) -4-2
14) (-4)-2
15) (-3)4
16) (-4)3
17) (-2)5
18) (-5)-1
19) (-6)2
20) (-7)3
21) 42
22) -33
23) -52
24) -73
25) -51
26)
2
4
3
27)
2
5
4
28)
3
3
2
29)
3
5
3
30)
2
5
2
31)
4
2
3
32)
1
3
4
33)
2
5
1
34)
3
4
3
35) 2
3
4
36) 2
3
16
37) 2
1
9
38) 2
5
9
1
39) 3
4
3
2
40) 1
2
5
4
41) 2
3
04.0
42) 2
3
)04.0(
43)(3x)(2x)
44) (2x2)(x)
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86
45) 4x(3x3)
46) (5x-2)(2x3)
47) (x4)(x3)
48) )6(2
1 22 xx
49)
332
2
12 xx
50)
5
12
2xy
cab
51)
2
5
3
x
52)
ba
x
xy
ab24
3 9
3
2
53) xx 2432
54)
1
2
4
2
6
x
x
55) 7
32
6
)3()2(
x
xx
56) 4
23
3
)2)(5(
m
nm
57) 5
23
4
)(3
x
xx
58)
2
2
2
4
3
x
y
59) 2
36
6
)3(4uv
vu
60) 43
22
)4(
)5(
n
m
61)
3
2
2
1
43 yy
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87
2.4 RADICALES
La raíz enésima de un número real se escribe de la siguiente
manera en donde n es un número entero positivo mayor de 1 y
a, un numero real.
1) Si 0a entonces
2) Si a es positivo, el resultado será un número real positivo
3) Si a es negativo y n es impar, entonces es un número
real negativo b tal que .
4) Si a es negativo y n es par, entonces no existe en los
números reales.
Si n=2 se escribe en lugar de y se llama raíz
cuadrada principal de a o simplemente raíz cuadrada de a . El
número es la raíz cúbica de a.
Ilustraciones:
Observa que porque, por definición, las raíces de
números reales positivos son positivas. El símbolo se lee "más menos". Para completar nuestra terminología, la
expresión es un radical, el número a se llama radicando
Segunda unidad: Álgebra
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88
y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical.
Si , entonces b2 = a; esto es, .
En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.
Propiedades de (n es un entero positivo).
Propiedad Ejemplo
aan n si 0a y n es
impar
De esta ultima propiedad vemos que: para todo numero real x.
En particular, si entonces sin embargo si x < 0, escrito de
esta forma es xx 2 , Pero de esta otra es xx 2
.
Parecerá ilógico que al elevarlo al cuadrado resulte un número negativo,
pero recordemos que en las leyes de exponentes aprendimos que al elevar un exponente a otro exponente, se multiplican entre sí, también
recordaremos que un número negativo no tiene raíz cuadrada porque en los números reales no existe pero de esta forma:
9)9()9(9 1
2
2
12
Sabemos que un número negativo elevado a
un exponente impar es negativo. Muchas calculadoras no tienen
capacidad de resolver este tipo de operaciones puesto que no están
capacitadas para elevar exponentes fraccionarios a otros exponentes, de igual forma tampoco resuelven ejercicios como el siguiente:
3
2
008.0
Para resolverlo principiamos haciendo cambios de escritura de las mismas cantidades:
1) Pasamos a notación científica 3
2
3 )10*8(
2) Luego escribimos el 8 con su base y exponente 3
2
33 )10*2(
3) Podemos hacer los cambios dentro del paréntesis 3
2
3
3
10
2
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89
4) Como sabemos que cuando el exponente de afuera del paréntesis es negativo podemos invertir la fracción y el exponente se vuelve
positivo 3
2
3
3
2
10
5) Sabemos también que cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la fracción es el exponente de la base, en este
caso, el exponente es par ya que es 2, por lo tanto el signo menos se vuelve positivo y además que un exponente elevado a
otro exponente se multiplican 254
100
2
10
2
102
2
3
23
3
23
Observación muy importante:
Hemos visto que 416 , también definimos que la raíz cuadrada de un
número real positivo es otro número real positivo, aunque hemos
aprendido que 416 ya que (4)2 = 4 * 4 = 16 y también (-4)2 = (-
4)(-4) = 16, pero esto únicamente se ve en las ecuaciones cuadráticas pero porque ha salido de elevar al cuadrado cantidades desconocidas,
no de raíces, por ejemplo x2 = 16, que es el valor desconocido que al elevarse al cuadrado nos de cómo resultado 16; en este casi sí se
incluye al 4 y al – 4 ya que este valor desconocido al elevarse al cuadrado también se vuelve positivo. Si aún le quedan dudas, puede
entrar al Internet y buscar definiciones de raíz cuadrada.
Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las
raíces sean números reales.
1) Ejemplo
2) Ejemplo
3) Ejemplo
Advertencia respecto a errores comunes:
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90
2.5 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Simplificar un radical significa que habrá que escribir todos los
elementos del radicando como potencias, es decir, con base y exponente, y luego simplificar los exponentes con el índice del radical
Eliminación de factores de radicales.
Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):
a) b) c)
Solución a) Una forma muy compresible de resolver es descomponiendo el
radicando en sus factores primos. 64 2
32 2 64 = 26
16 2
8 2 4 2
2 2 1
33 23
2
9
6
9 69 4222264
b) 12
3
12
6
12
3
12 36312 36 3327 xaxaxa
Al simplificar debemos de tener cuidado de dejar igual el denominador, para poderlo escribir como índice del radical nuevamente
4 24
1
4
2
4
1
33 xaxa
c) abababababa 232*31863 2347247532
2.5 RACIONALIZACIÓN
Racionalizar significa eliminar radicales. Si el denominador de una
fracción contiene un factor de la forma con k < n y a > 0 entonces
al multiplicar numerador y denominador por eliminaremos el
radical del denominador porque:
Matemática cuarto
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91
Dicho en otras palabras: Si el denominador contiene un radical, debemos llevar al exponente del radicando a que sea igual que el índice
del radical. Este proceso se llama racionalización del denominador.
Factor en el
denominador
Multiplicar numerador y
denominador por
Factor
resultante
Ejemplos
Racionalización de denominadores
Racionaliza:
a) b) 528y
x c) 3
4
65
9
16
yz
xm
Solución:
a) 5
5
5
5
5
5*
5
1
5
1
2
b) 528y
x
En este caso, como nos están pidiendo que racionalicemos el
denominador, no deben quedar raíces en el denominador, procedemos entonces a multiplicar por la unidad, agregando lo que haga falta para
que todos los denominadores tengan exponente igual al índice de la raíz, el numerador no nos interesa.
Descomponiendo el 8 = 23 obtenemos 5232 y
x Observamos que al 2 le
faltan 2 para llegar a ser exponente 5 que es el índice del radical y a la
“y” le faltan 3, entonces multiplicamos por 532
32
2
2
y
ypero dentro de la
misma raíz 5 35
55
3
532
32
234
2
1
2
4
2
2*
2xy
yy
xy
y
y
y
x
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92
c) 34
65
9
16
yz
xm
Descompongamos los números en todos sus factores y nos queda
342
654
3
2
yz
xm
Sacamos todos los factores que sean la misma cantidad del índice del
radical, es decir, cada tres factores sale uno. Arriba o sea en el
numerador no importa si salen o no salen; si salen los sacamos pero si no salen, no tenemos que completar para que sea igual al índice porque
nos piden que racionalicemos el denominador.
Arriba sale el dos pero sobra uno ya que hay cuatro puesto que el
exponente nos indica que se está multiplicando 4 veces, también sale la m pero sobran dos porque hay cinco. Los factores que sobran se
quedan dentro del radical pero multiplicados.
Abajo o sea el denominador tenemos que ver si son iguales al índice. Si
son iguales salen pero si no son iguales debemos completar o multiplicar por los mismos factores para hacerlos igual a su índice de radical. Si su
exponente es mayor que el índice pero no es múltiplo, debemos ver
cuánto le falta para llegar al próximo múltiplo del índice, en este caso. 3 hay 2, falta 1; “y” hay una, faltan 2; “z” hay 4, significa que ya se
pasaron y el próximo múltiplo de 3 es 6, por lo tanto faltan 2, debemos multiplicar por los que faltan.
3 222
2
2
3633
22654
322
22
42
654
63
2
3
3*2
3
3
3
2zym
yz
mx
zy
zyxm
zy
zy
yz
xm
Ejercicios:
Simplifique los siguientes radicales
82
Descomponemos los radicandos en sus factores primos y luego
aplicamos las leyes de los radicales. Utilizaremos una forma diferente, Al encontrar los factores primos, estos salen de la
raíz cuando se multiplican la misma cantidad de veces que lo que indica el índice del radical
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93
En este caso, como es raíz cuadrada, salen del radical los números cuando se multiplican dos veces.
El 2 no sale porque sus factores primos son 2 y 1. El 18 si porque al descomponerlo queda de la siguiente forma:
18 2 9 3
3 3
1 Entonces, por estarse multiplicando el 3 dos veces, sale de la raíz
pero como el 2 no sale, nos queda
24232182
A continuación encontrará algunos ejercicios resueltos.
3736332108312
3
20
3
)3(4)3(10234310
3
2122310
3
2
Racionalizando 3
320
3
3
3
20
32226
312212
6
126184
6
6*
6
2634
3*2
2634
3
6
2
4
Ejercicios
Simplificar los siguientes radicales y racionalizar denominadores cuando sea el caso
1) 348
2) 4925
3) 1664
4) 12*6
5) 2712
6) 542245
7) 33 8124
8) 4535
10
9) 18
1
10) bbbb 322712 33
11) 4 154 11 xxx
12) 3
27
1
13) 2816 ba
14) 3 4
1
15) 4 8581 sr
16) 52
311
9
3
x
yx
17) 25
18) 9
19) 3 8
20)
2)36(
21) 2)1(
22)
225
23)
264
24) 48
25) 54
26) 50
27) 20
28) 3
3
2
16
29) 4
4
3
48
30) 3 18
31) 49
32) 2
1
33) 5
1
34) 7
1
Segunda unidad: Álgebra
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94
35) 3
1
36) 3 4
1
37) 3 9
1
38) 3 25
1
39) 3 49
1
40) 3 4354 yx
41) 62 yx
42) 3 23627 zyx
43) 449 yx
44) 4 2416 yx
45) 3 348 yx
46) 5 75ba
47) y
x
4
3
48) y
x
2
9
49) 323
5
4 zy
x
50) 452
3
8
3
zy
x
51) 23
1
xy
52) 35
33
xy
x
53) 462
510
4
3
yx
yx
54) 52
4
8
3
y
x
55)
64727
64
yx
56) 342
4
4 zy
x
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95
2.6 PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables son resultados que pueden escribirse sin
necesidad de efectuar la multiplicación; para hacer esto posible, es necesario conocer algunas reglas.
2.6.1 CUADRADO DE UN BINOMIO (a b)2
Pasos para escribir la solución del cuadrado de un binomio
1. Se eleva al cuadrado el primer término
(a + b)2 = a2 (a – b)2 = a2
2. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del
binomio (a + b)2 = a2 +
(a – b)2 = a2 –
3. Se multiplica dos por los dos términos
(a + b)2 = a2 + 2ab (a – b)2 = a2 – 2ab
4. Se escribe el signo + (a + b)2 = a2 + 2ab +
(a – b)2 = a2 – 2ab +
5. Se eleva al cuadrado el segundo término (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(1 – b)2 = a2 – 2ab + b2
Segunda unidad: Álgebra
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Ejemplo 1: Resolver (x – 1)2
Solución: (x – 1)2 = x2 – 2x + 1
Ejemplo 2
Resolver (3x – 4)2
Se eleva al cuadrado el primer término, número y letra (3x)2 = 9x2
Se escribe el mismo signo (3x)2 = 9x2 –
Se multiplica 2 por los dos términos 2(3x)(4) = 24x
(3x)2 = 9x2 – 24x
Se escribe el signo + (3x)2 = 9x2 – 24x +
Se eleva al cuadrado el segundo término 42 = 16
(3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16
Ejemplo 3
Resolver (3x3 – 2x)2
Solución: Se eleva al cuadrado el primero término (3x3)2 = 9x6 ya que un
exponente elevado a otro exponente se multiplican
se escribe el mismo signo (3x3)2 = 9x6 –
Se multiplica 2 por los dos términos 2(3x3)(2x) = 12x4
Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término
(3x3 – 2x)2 = 9x6 – 12x4 + 4x2
Ejemplo 4 Resolver (x + y) – 12
Solución: Se eleva al cuadrado el primer término (x + 4)2
Se escribe el mismo signo (x + y)2 –
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97
Se multiplica dos por los dos términos 2(x + y)(1) = 2(x + y)
Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término (x + y) – 12 = (x + y)2 – 2(x + y) + 1
Luego resolviendo las operaciones indicadas que quedaron
(x + y)2 es un producto notable
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
– 2(x + y) = – 2x – 2y
(x + y) – 12 = (x + y)2 – 2(x + 4) + 1
(x + y) – 12 = x2 + 2xy + y2 – 2x – 2y + 1
Ejercicio:
Resuelva los siguientes productos notables
1) (x + 3y)2 2) (1 – 4x)2
3) ( 3x – 5)2 4) (3m +5)2
5) (y + 6)2 6) (3u + 4v)2
7) (1 – 7p)2 8) (4x – 5)2
9) (x + y)2 10) (3r – 9p)2
11) (5x2 + y)2 12) (2m4 + 3mn)2
13) ( 3x3 – 2xy)2 14) (3m4 – 5m2n)2
15) (2x3 + 4x2y5)2 16) (x +3) + 42
17) (3x – 1) + 42 18) (3x – y) – 3y2
19) 5 – (x – 1)2 20) 6+(1 – 4y)2
21) (x + y) + z2 22) (x – 4y) + 32
23) 4 – 6x) – 3y2 24) 7 – (4m + 5n)2
Segunda unidad: Álgebra
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98
2.6.2 PRODUCTO DE LA FORMA (x + a)(x + b) En este producto, las letras a y b, representan números conocidos. Para
escribir su respuesta sin efectuar la multiplicación, se procede de la siguiente manera:
1. Se eleva al cuadrado el primer término
2. Se efectúa la suma algebraica de los segundos términos y se copia el primero.
2.1 Signos iguales se suman y se escribe el mismo signo 2.2 Signos contrarios se restan y se escribe el signo de los que hay
más. 3. Se multiplican los segundos términos, aplicando la ley de signos.
Ejemplo1
Escribir por simple inspección el resultado de (x + 3)(x + 5)
Solución: 1. Se eleva al cuadrado la x = x2
2. Como los signos son iguales, sumamos 3 y 5 y copiamos la x luego escribimos el mismo signo
3. multiplicamos 3 *5 = 15. Aplicando la ley de signos, nos queda +
(x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15
Ejemplo 2
Escribir el resultado de (x – 1)(x – 4)
Solución: 1. Elevamos al cuadrado la x
2. Como los signos son iguales, sumamos 1 y 4, copiamos la letra y escribimos el mismo signo – 5x
3. Multiplicamos 1 * 4. Aplicando la ley de signos nos queda +
(x – 1)(x – 4) = x2 – 5x + 4
Ejemplo 3
Escribir el resultado de (x + 4)(x – 3) (x + 4)(x – 3) = x2 + x – 12
En el segundo término quedó sólo x, ya que los signos son contrarios, se
restan y el signo que queda es del 4; pero como es 1, el 1 no se escribe, únicamente la letra.
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99
Ejemplo 4 Escribir el resultado de (x – 6)(x + 4)
(x – 6)(x + 4) = x2 – 2x – 24
2.6.3 SUMA POR LA DIFERENCIA DE
DOS CANTIDADES IGUALES (x + a)(x – a)
El resultado de este producto es únicamente el cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo
(x + a)(x – a) = x2 – a2
Ejemplo1 Escribir el resultado de (x + 5)(x – 5) = x2 – 25
Ejemplo 2 Escribir el resultado de (3x – 4y)(3x + 4y) = 9x2 – 16y2
Ejemplo 3
Escribir el resultado de (x + 3) - y(x + 3) + y
Solución: Como el paréntesis es un solo término, por estar agrupado, es
la suma por la diferencia de dos cantidades iguales. (x + 3) - y(x + 3) + y = (x + 3)2 – y2 y resolviendo el paréntesis,
que quedó nuevamente el cuadrado de un binomio, nos queda
(x + 3) - y(x + 3) + y = (x + 3)2 – y2 = x2 + 6x + 9 – y2
Segunda unidad: Álgebra
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100
1) (x + 4)(x + 3) 2) (x + 6)(x + 5)
3) (x + 10)(x + 3 4) (x + 3)(x + 1)
5) (x + 4)(x + 8) 6) (x + 1)(x + 2)
7) (x +3)(x + 9) 8) (x – 2)(x – 3)
9) (x – 1)(x – 7) 10) (x – 10)(x – 9)
11) (x – 2)(x – 5) 12) (x – 5)(x – 7)
13) (x – 3)(x + 5) 14) (x + 4)(x – 1)
15) (x – 10)(x + 6) 16) (x – 8)(x + 3)
17) ((x + 5)(x – 6) 18) (x + 1)(x – 2)
19) (x + 4)(x – 3) 20) (x + 10)(x – 8)
21) (x – 4)(x + 7) 22) (x – 4)(x + 4)
23) (x + 1)(x – 1) 24) (x + 7)(x – 7)
25) (x – 10)(x + 10) 26) (2x – 1)(2x + 1)
27) (1 – 4y)(1 + 4y) 28) (4x + 3)(4x – 3)
29) (5x + 4)(5x – 4) 30) (6x + 5y)(6x – 5y)
Ejercicio.
Escribir correctamente el resultado de los siguientes productos
notables.
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101
2.6.4 CUBO DE UN BINOMIO
(a b)3
Para desarrollar el cubo de un binomio, se procede de la siguiente
manera:
1. Se eleva al cubo el primer término (a + b)3 = a3 (a – b)3 = a3
2. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio
(a + b)3 = a3 + (a – b)3 = a3 –
3. Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el segundo
(a + b)3 = a3 + 3a2b (a – b)3 = a3 – 3a2b
4. Se escribe el signo mas (a + b)3 = a3 + 3a2b +
(a – b)3 = a3 – 3a2b +
5. Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 6. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del
binomio (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 –
7. Se eleva al cubo el segundo término. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ejemplo Escribir el resultado de (3x + 4)3
Solución: Se eleva al cubo el primer término (3x)3 = 27x3. Se eleva número y
letra.
Se escribe el mismo signo +, 27x3 + Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el
segundo 3(3x)2(4) = 3(9x2)(4) = 108x2 Se escribe el signo +
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102
Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado 3(3x)(4)2 = 9x(16) = 144x
Se escribe el mismo signo +
Se eleva al cubo el segundo término 43 = 64
(3x + 4)3 =
(3x)3 + 3(3x)2(4) + 3(3x)(4)2 + (4)3 = 27x3 + 108x2 + 144x + 64
Ejercicios: Escribir por simple inspección el resultado de los siguientes productos
notables
1. (1+2b)3 2. (a – 2)3
3) (x + 3y)3 4) (3x – 1)3
5) (2m – 3n)3 6) (4x – 3)3
7) (m – 2n)3 8) ( 3x + 7y)3
9) (x + 4y)3 10) (4m – 5p)3
2.6.5 CUADRADO DE UN TRINOMIO Para resolver el cuadrado de un trinomio se procede de la siguiente
manera:
1) se escriben los tres términos sumándose, elevados al cuadrado, sin
importar el signo que tengan
(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2
2) se multiplica 2 por el primer término y por el segundo.
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103
3) Se multiplica 2 por el primer término y por el tercero. 4) Se multiplica 2 por el segundo término y por el tercero.
(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc.
Ejercicios:
Escribir por simple inspección el resultado de:
1) (2x + y – 3z)2 2) (x – 3y + 4z)2
3) ( 5x – 3y + z)2 4) ( 4x – 3y – 3z)2
5) ( 3x + 4y+ 5z)2 6) ( 2x2 + 2x + 3)2
7) (a2 – 4a + 3)2 8) (4y2 – 2y – 5)2
9) (2z3 – z2 + 3z)2 10) (b3 + 6y2 + y)2
Ejercicios: Efectúe correctamente los siguientes productos notables.
1) (2t + 9)(2t – 9) 2) (2x2 - 3x)2
3) [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) – x] 4) (x + 2)2
5) (x + 8)(x – 8) 6) (x – 5)3
7) (2t – 5)2 8) (t – 5)(t + 5)
9) ( 4 – 3t)3 10) (3s + 11)2
11) (2x2 + 5x)(2x2 – 5x) 12) (u + 1)3
13) [(1 – x) + x2][(1 – x) – x2] 14) (3x + 2y)(x – 5y)
15) [(2t + 1) + t2]3 16) (3x – 9)(3x + 9)
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104
17) (4x – 4)2 18) (2x2y + z)(2x2y – z)
19) (u + 4v)3 20) (3x + 5y2z)(3x – 5y2z)
21) (x + 10)(x + 2) 22) (x + 6)(x + 8)
23) (x + 12)(x – 3) 24) (x – 8)(x + 4)
25) (x + 2)2(x – 2)2 26) (2x – 1)2(2x + 1)2
27) ))(( baba 28) ))(( yxyx
29) 22 )()( yxyx 30) 22 )()( baba
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105
2.7 FACTORIZACION
Para poder factorizar, debemos tener bien claro algunos aspectos muy importantes
2.7.1 TERMINO ALGEBRAICO Un término algebraico debe tener: Signo, coeficiente numérico,
parte literal y exponente.
Ejemplo
Cada término algebraico está separado por los signos más o menos. Si no tienen estos signos, seguirá siendo un solo término Ej:
5xy2z3 Es un solo término. Expresión algebraica llamada MONOMIO
a + 2b Expresión algebraica que consta de dos términos llamada
BINOMIO
x + 2y – 3z Expresión algebraica que consta de 3 términos llamada TRINOMIO
y así, cada polinomio es una expresión algebraica que recibe el nombre
de acuerdo a la cantidad de términos que contenga.
Factorizar es escribir expresiones algebraicas como el producto de sus factores. Dicho en otras palabras:
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106
Factorizar es escribir sumas y restas como
multiplicaciones
Factores: En matemática, son todos los elementos que se encuentran
multiplicando en una expresión algebraica. Si se están sumando o restando se llaman TÉRMINOS
ab
c
yxa )(
En la expresión anterior podemos ver que x con y se están sumando,
estos, al estar separados son términos pero en la forma que están son
factores ya que se están multiplicando con la a “y” y por c
1.
Si ya sabemos qué son factores, podemos descomponer expresiones como el producto de los mismos, por ejemplo 12 lo
podemos descomponer en factores y escribirlo como el producto de ellos, sin efectuar la multiplicación.
Los factores de 12 son
12 y 1
6 y 2 4 y 3
Entonces 12 lo podemos escribir de las siguientes formas
12*1, 6 * 2; 4 * 3
En este libro, La factorización la resumiremos en 5 casos: Factor común, Binomios, trinomios, agrupación de términos y cubo
perfecto de binomios.
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107
COMO IDENTIFICAR EL TIPO DE FACTORIZACIÓN A USAR.
Primero: observar si existe factor común.
Para ver si una expresión dada tiene factor común, debemos observar todos sus términos.
2.7.2 FACTOR COMÚN Nota: En este caso no importa la cantidad de términos que tenga
el polinomio
Dado un polinomio, se le saca a los números el máximo común divisor (si es que tienen) y se escribe, luego se buscan la letra o letras
que se repiten en todos los términos y se toma como común las repetidas con su menor exponente, al haber hecho lo anterior se escribe
un paréntesis, divide todo el polinomio entre lo encontrado y los resultados se van escribiendo dentro del paréntesis.
El factor común, es todo lo que se encuentra repetido en un polinomio
Ejemplo 1) factorizar 12x5 + 6x4 + 3x2
SOLUCIÓN
Se busca primero el factor común en los números, sacándoles sólo lo que tengan en común, de la siguiente manera:
Sacar el factor común de los números es únicamente buscar el Máximo Común Divisor (M.C.D.)
Como únicamente tienen tercera parte los tres números, el factor común a ellos es 3.
Seguidamente se observa si todos los términos tienen alguna letra en común; en este caso, vemos que todos los términos tiene en común la x
y el menor exponente que tiene es 2, se escribe entonces la x2 a continuación del 3, se abre paréntesis y dentro de él, lo que quede al
dividir cada término entre el factor común.
3x2(4x3 +2x2 + 1)
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108
Ejemplo 2) Factorizar ax3y4 + xy2
SOLUCIÓN. Nuevamente buscamos el factor común. En números no tiene, ya que
sólo vemos letras, entonces buscamos la letra o letras que se encuentren repetidas y su menor exponente de cada una de ellas.
Se repite la x, su menor exponente es 1.
Se repite también la y, y su menor exponente es 2, por lo tanto procedemos a escribir el factor común y a continuación abrimos
paréntesis y dentro de él, escribimos lo que nos quede al dividir ax3y4 + xy2 = xy2(ax2y3 + 1)
En el ejemplo 1) ya que el MCD entre los números es 3 se tomo
junto con la x2, porque es la letra que se repite y 2 es el menor exponente que tiene escrito, luego se dividió toda la expresión entre 3x2
y se escribió dentro del paréntesis el resultado (al resolver la operación que quedó indicada (Multiplicación), llegamos al polinomio original).
En el ejemplo 2), como las letras que se repiten son “x” y “y” se tomaron con su menor exponente y se dividieron cada uno de los
términos del polinomio entre el factor común que encontramos, para obtener el resultado que se escribió dentro del paréntesis. El 1 resulta
de dividir una expresión entre ella misma.
Ejemplo 3) Factorice 3(x – 5) + y(x – 5)
SOLUCIÓN:
Vemos que tiene dos términos, buscamos si tiene elementos repetidos y
vemos que se repite el paréntesis por lo tanto este es el factor común, lo escribimos y en el otro paréntesis lo que queda fuera del paréntesis.
3(x – 5) + y(x – 5) = (x – 5)(3 + y)
EJERCICIOS Factorice Completamente
1) 25 + 50x 2) 36x2 – 45x 3) 4x2y – 8x2 4) 10xyz + 84yz
5) 56xay – 77xaz 6) 16x3 – 8x2 + 4x 7) 15 + 5y – 20z 8) 4x2y3z + 16x3y5 + 44y2z
9) 22abc + 33a2b + 44abc3 10) x(a + 1) – 3(a + 1) 11)25x2 + 20x6y + 15x2 – 5x3y7 12) 2(x – 1) + y(x – 1)
13)25x2 + 20x6y + 15x2 – 5x3y7 14) a(n + 2) + n + 2
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109
15) x(a + 1) – a – 1 16) –m – n + x(m + n)
17) 4m(a2 + x – 1) + 3n(x – 1 + a2)
18) (x + y)(n + 1) – 3(n + 1) 19) a(x – 1) – (a + 2)(x – 1)
20) (x + m)(x + 1) – (x + 1)(x – n)
21) (3x + 2)(x + y – z)–(3x + 2)
Segundo: Si no existe factor común, contamos la cantidad de
términos que tenga la expresión algebraica,
1. Si tiene dos términos, será un binomio, que sólo puede ser
suma o diferencia.
2. Si es resta, observamos los exponentes. Si estos son pares, entonces será una diferencia de cuadrados.
3. Si es suma, sólo podrán ser exponentes mayores que dos.
BINOMIOS
DIFERENCIA DE CUADRADOS
En este caso, si se tienen dos términos y ambos tienen raíz cuadrada exacta y se están restando.
Para factorizarlos, Se saca la raíz cuadrada de cada término,
se abren dos paréntesis y en uno de ellos se colocan las dos raíces, en un paréntesis sumándose y el en otro restándose.
Ejemplo 4) Factorizar: x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
Ejemplo 5) Factorizar: x4 – 81 = (x2 + 9)(x2 – 9) pero como en el segundo término aparece nuevamente el ejemplo 4) entonces se
factoriza nuevamente x4 – 81 = (x2 + 9)(x + 3)(x – 3)
En el ejemplo 4) como ambos tienen raíz cuadrada exacta se abren los paréntesis y se escribe en uno la raíz cuadrada de ambos sumándose y
en el otro restándose, de igual forma en el ejemplo 5) pero como en el
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110
segundo paréntesis nuevamente hay una diferencia de cuadrados se opera hasta llegar al resultado final.
Nota: La suma de cuadrados no es factorizable.
Ejemplo 6) Factorizar m – 9m3
SOLUCIÓN
Como sabemos que lo primero que buscamos es el factor común, en
este caso sí existe el factor común que es la m
m – 9m3 = m(1 – 9m2)
como en el paréntesis me quedó otra diferencia de cuadrados, factorizamos esta también
m – 9m3 = m(1 – 9m2) = m(1 + 3m)(1 – 3m)
EJERCICIOS
Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 16x2 2) 81y2 – 49
3) x2 – 1 4) a2b2 – 4x2z2
5) 25x2 – 36 6) 100c2 – 144
7) x2 – y4 8) 9 – s2
9) y4z4 – 1 10) 36x2 – 81
11) ax2 – ax4 12) 2b2y4 – 8b2x2
13) 27x2 – 12 14) 125x2y2 – 180z2
15) xy2 – xz4 16) 8a2y – 8b2y3
17) x4y5 + yz4 18) a – ax4
19) 25y6 – 2500z4 20) 1 – a8
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111
2.7.4 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Para identificar una diferencia de cubos, se deben observar los dos términos, los cuales deben tener raíz cúbica exacta.
Para factorizar cubos se procede de la siguiente manera:
X3 + y3
X3 – y3
1.- Se saca la raíz cúbica de los dos términos y estas raíces se colocan dentro de un paréntesis con el mismo signo que tiene en medio los dos
términos.
X3 + y3 (x + y)
X3 – y3 (x – y)
2.- Se abre otro paréntesis y dentro de él, tomando en cuenta el
paréntesis donde están las raíces del binomio, se escribe de la siguiente manera:
2.1 Se eleva al cuadrado el primer término. X3 + y3 (x + y)(x2
X3 – y3 (x – y)(x2
2.2 Se escribe el signo cambiado.
X3 + y3 (x + y)(x2 –
X3 – y3 (x – y)(x2 +
2.3 Se multiplican los dos términos.
X3 + y3 (x + y)(x2 – xy
X3 – y3 (x – y)(x2 +xy
2.4 Se escribe el signo más.
X3 + y3 (x + y)(x2 – xy +
X3 – y3 (x – y)(x2 + xy +
2.5 Se eleva al cuadrado el segundo término. X3 + y3 (x + y)(x2 – xy + y2)
X3 – y3 (x – y)(x2 + xy + y2)
Ejemplo 7) Factorizar a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
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112
Ejemplo 8) Factorizar 27x3 – 64y3
Solución: Extraemos la raíz cúbica de 27x3. La raíz cúbica de 27 es 3, ya que 33 = 3 * 3 * 3 = 27. La raíz cúbica de
x3 es x.
La raíz cúbica de 64 es 4 y de y3 es “y”, por lo tanto
27x3 – 64y3 = (3x – 4y)(9x2 + 12xy + 16y2)
EJERCICIO
Factorice los siguientes ejercicios 1) x3 – 27 2) 8 + a3
3) 125m3 – 1 4) 64 + 8x3
5) 512 + 27a3 6) x3y6 – 216y9
7) x9 + y9 8) 1000x3 – 1
9) 27m3 – 64n9 10) 5a3 + 625b12
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2.7.5 TRINOMIOS
Tercero. Si tiene tres términos, sólo podrá ser trinomio.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
1. Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto, observamos
los extremos del mismo y vemos si tienen raíz cuadrada exacta. Luego observamos el término del medio y si es el
doble producto de las dos raíces cuadradas de los extremos, sí es trinomio cuadrado perfecto y para factorizarlo, basta
con escribir dentro de un paréntesis las dos raíces y este paréntesis se eleva al cuadrado.
Ejemplo 9) Factorizar x2 + 2x + 1
Los extremos que son x y 1 sí tienen raíz cuadrada exacta x2 + 2x + 1
x 1
Luego vemos que al multiplicar x * 1 = x y el doble de x es 2x,
entonces vemos que sí es un trinomio cuadrado perfecto y escribimos las dos raíces cuadradas en un paréntesis, escribiendo el mismo signo
que tiene el segundo término y el paréntesis se eleva al cuadrado.
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Ejemplo 10) Factorizar 9x2 + 12x + 4
Solución: Sacamos la raíz cuadrada de los extremos que son 9x2 y 4. Dichas
raíces son 3x y 2, luego vemos que al multiplicar 3x * 2 y el resultado es 6x y el doble de 6x es 12x y como el término del medio es 12x,
entonces sí es trinomio cuadrado perfecto
9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2
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EJERCICIOS:
Factorice correctamente los siguientes ejercicios
1) x2+ 2x + 1 2) 1 – 4x + 4x2
3) 9x2 – 12x + 4 4) 16 + 8x + x2
5) y2 + 14y + 49 6) m2 – 2mn + n2
7) 25m2 + 10mn + 4n2 8) 36a2 + 12ab + b2
9) x2 – 18x + 81 10) 4m2 + 28mn2 +
49n4
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c Al encontrar un trinomio que los extremos o alguno de ellos no tenga
raíz cuadrada exacta, hacemos lo siguiente:
Si el primer término no tiene coeficiente y el último no tiene
raíz cuadrada exacta, entonces es trinomio de la forma x2 + bx + c, en este caso, abrimos dos paréntesis y colocamos la
raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo de cada paréntesis, luego escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que
tiene el segundo término y en el segundo paréntesis, el signo
que se obtiene al aplicar la ley de signos, luego se buscan dos factores del tercer término que al sumarse o restarse,
dependiendo de cómo hayan quedado los signos, den como resultado el segundo término.
Ejercicio 11) Factorizar x2 – 5x + 6
Solución: Como es un trinomio y el 6 no tiene raíz cuadrada exacta,
procedemos a escribir dos paréntesis
x2 – 5x + 6 = ( )( )
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Luego escribimos la raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo en los dos paréntesis
x2 – 5x + 6 = (x )(x ) Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el
segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé al aplicar la ley de signos
x2 – 5x + 6 = (x - )(x - ) como los signos en los paréntesis quedaron iguales, se buscan dos
factores del 6 que al sumarse nos dé como resultado 5. Los dos números son 2 y 3, ya que 2 * 3 = 6 y 2 + 3 = 5.
Escribamos siempre el número mayor en el primer paréntesis Entonces x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
Ejemplo 12) Factorizar x2 + x – 12 Solución. Como es un trinomio y el 12 no tiene raíz cuadrada exacta,
procedemos de igual manera, abriendo dos paréntesis y escribiendo del lado izquierdo en cada paréntesis
x2 + x – 12 = (x )(x )
Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el
segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos
x2 + x – 12 = (x + )(x - )
Luego buscamos dos factores del 12 que al restarse den 1 por ser
contrarios los signos, ya que sabemos que si la letra no tiene ningún número escrito, su coeficiente es uno.
Los factores del 12 son:
12 * 1
6 * 2 4 * 3
Los que cumplen con lo requerido son 4 y 3, porque 4 * 3 = 12 y 4 – 3 = 1
Entonces x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3)
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Ejercicio 13) Factorizar x2 + 54x + 720
Solución: como el número 720 no tiene raíz cuadrada exacta,
procedemos de la misma manera, escribiendo los dos paréntesis y del lado izquierdo la raíz cuadrada de la letra.
x2 + 54x + 720 = (x )(x )
Luego, en el primer paréntesis, escribimos el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis, el signo que dé la ley
de signos.
x2 + 54x + 720 = (x + )(x + ) Buscamos dos factores de 720 y como los signos son iguales, que
sumados de 54.
Como en este caso no es fácil encontrar los números mentalmente, procedemos de la siguiente manera.
Descomponemos el 720 en sus factores primos 720 2
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Luego buscamos los números que sumados den 54, haciendo diferentes combinaciones.
Probamos primero con todos los números 2 y los otros números juntos
2 * 2 * 2 * 2 = 16 3 * 3 * 5 = 45.
No son estos números, pues aunque 16 * 45 da 720, 16 + 45 no da
54. Probamos con otras combinaciones.
720 2
360 2
180 2
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90 2
45 3
15 3
5 5
1
2 * 2 * 2 * 3 = 24
2 * 3 * 5 = 30
Los números son 24 y 30, pues 24 * 30 = 720 y 24 + 30 = 54
Entonces nos queda
x2 + 54x + 720 = (x + 30)(x + 24)
Ejercicios: Factorice las siguientes expresiones algebraicas.
1) x2 + 8x + 15 2) x2 + 9x + 18
3) x2 + 15 + 50 4) x2 + 5x – 24
5) x2 + 3x – 4 6) x2 – 8x + 12
7) x2 – 7x + 12 8) x2 – x – 72
9) x2 – x – 30 10) x2 + x – 2
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
Si la expresión algebraica tiene 3 términos y el primer término tiene coeficiente numérico, entonces será trinomio de la forma ax2+ bx + c
Ejemplo 14) Factorizar 3x2 – 5x – 2
Solución: Al buscar factor común no tiene, pues entre 3 y 5 no hay nada en común y el último término no tiene letra.
Es un trinomio porque tiene tres términos. No es cuadrado perfecto,
puesto que los extremos no tienen raíz cuadrada.
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Colocamos entonces los dos paréntesis, sólo que ahora escribimos también el número que está con la x2 en el lado izquierdo de los dos
paréntesis.
3x2 – 5x – 2 = (3x )(3x )
Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo, el signo que nos dé la ley de
signos
3x2 – 5x – 2 = (3x - )(3x + )
Luego multiplicamos el número que está con la x2 y el último término
6 3x2 – 5x – 2 = (3x - )(3x + )
Ahora buscamos dos números que nos dé como resultado 6, que fue
el producto de 3 * 2, y restados 5, por ser contrarios los signos.
3x2 – 5x – 2 = (3x - 6)(3x + 1)
Como habíamos multiplicado por 3, ahora tenemos que dividir por 3
en el paréntesis que se pueda, en este caso se puede en el primero
3x2 – 5x – 2 =
3
63x(3x + 1)
Nos queda
3x2 – 5x – 2 = (x - 2)(3x + 1)
OTRA FORMA DE FACTORIZAR
3x2 – 5x – 2 se sacan los factores de los extremos
3x2 – 5x – 2
3x 2
x 1
luego buscamos los signos, como en el caso anterior, el signo del
segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de signos.
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119
3x2 – 5x – 2
– +
3x 2
x 1
Como los signos que quedan son contrarios, buscamos, de los factores que ya tenemos, dos productos que al restarse del como
resultado el término de en medio del trinomio. 3x2 – 5x – 2
– + 3x 2 = 6x
x 1 = x
la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué, para no escribirlos en el mismo paréntesis y el número mayor del resultado
debe llevar el mismo signo del segundo término
3x2 – 5x – 2 - +
3x 2 = – 6x
x 1 = x
como – 6x salió de multiplicar 3x por 2, entonces al 2 se le escribe el signo –
3x2 – 5x – 2 – +
3x – 2 = – 6x
x 1 = x
ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó sino con el otro
3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2)
Ejemplo 15) Factorizar 6x2 – 7x + 2 Solución: Procedemos de la misma forma que los anteriores,
darnos cuenta que es un trinomio sin factor común
Escribimos los dos paréntesis y del lado izquierdo de cada paréntesis, el 6,
6x2 – 7x + 2 = (6x - )( 6x – )
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120
Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el
segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos, luego multiplicamos los números de los extremos 6 y 2
12
6x2 – 7x + 2 = (6x - )( 6x – )
A continuación buscamos 2 números que multiplicados nos den 12 y sumados 7
6x2 – 7x + 2 = (6x - 4)( 6x – 3)
Los números son 4 y 3. Ahora procedemos a dividir por 6, pero como
en ningún paréntesis se puede, buscamos dos factores del 6, que son 2 y 3.
Ahora buscamos en cual paréntesis se puede dividir por 2 y en cuál
por 3. En el primero podemos dividir por 2 y en el segundo por 3
6x2 – 7x + 2 =
3
36
2
46 xx
6x2 – 7x + 2 = (3x - 2)(2x – 1)
la otra forma
6x2 – 7x + 2
se sacan los factores de los extremos
6x2 – 7x + 2
3x 2
2x 1
luego buscamos los signos, como en el caso anterior, el signo del segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de
signos.
6x2 – 7x + 2 – –
3x 2 2x 1
Como los signos que quedan son iguales, buscamos, de los factores que ya tenemos, dos productos que al sumarse den como resultado el
término de en medio del trinomio.
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6x2 – 7x + 2
– –
3x 2 = 3x
2x 1 = 4x
la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué, para no escribirlos en el mismo paréntesis. En este caso, como los signos
son iguales, tiene que escribirse el mismo signo en los dos términos
6x2 – 7x + 2 – –
3x – 2 = – 3x
2x – 1 = – 4x
ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó
x2 – 7x + 2 = (3x – 2)(2x – 1).
Puede notarse que si al multiplicarlos en línea no da el resultado, se
deben multiplicar cruzados y si así tampoco da el resultado, puede ser por dos razones. Que no sea factorizable o sean otros factores
cuando los coeficientes tienen varios factores.
Ejercicios: Factorice completamente las siguientes expresiones
algebraicas.
1) 3x2 – 13x – 10 2) 2x2 – 3x – 9
3) 5x2 + 18x – 8 4) 6x2 + x – 5
5) 2x2 + 13x – 7 6) 7x2 – 44x + 12
7) 6x2 – 7x – 20 8) 12x2 – 5x – 2
9) 10x2 – 9x – 9 10) 12x2 – 5x – 28
11) x2 – 14x + 49 12) x2 + 12xy + 36y2
13) a2 + 10ab + 25b2 14) 1 + 2c + c2
15) m2n2 – 50mnx + 625x2 16) x4 + 5x2 + 4
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122
17) x2 +2ax – 15a2 18) 5 + 4x –x2
19) 25x2 – 25x – 84 20) 2x2 + 3x – 2
21) 5x2 + 13x – 6 22) 12m2 – 13m – 35
23) 21x2 + 11x – 2 24) 44n + 20n2 – 15
25) x2 – 24xy + 144 26) 48 + 2x2 – x4
27) m2n4 – 4mn2x + 4x2 28) 30x4 – 91x2 – 30
29) m2 + abcm – 56a2b2c2 30) 27ab – 9b2 –20a2
31) a2 + 2axy – 440x2y2 32) 4x2 – 36
33) x4y2 – 81y2
Cuarto:
2.7.6 AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Cuando vamos a factorizar una expresión algebraica que no tenga
factor común, contamos la cantidad de términos que contenga: si
tiene dos términos es binomio, si tiene 3 es trinomio, si tiene más de 3 términos, la factorizaremos agrupando los términos en paréntesis,
términos que contengan entre sí factores comunes.
Ejemplo16) Factorizar am + bm – 5a – 5b
Solución: Primero buscamos si hay factor común, pero no tiene, ya que no hay nada que esté en todos los términos.
Procedemos a contar la cantidad de términos y vemos que tiene 4.
Como ya sabemos cómo se factorizan binomios y trinomios, ya que
éste es diferente, procedemos a agrupar términos de manera que nos queden agrupados los que tengan términos semejantes entre sí, en
este caso vemos que tienen en común los primeros dos, la letra m; y
los segundos, el número cinco.
Agrupamos entonces (am + bm) y en el otro paréntesis –5a y –5b, pero como el signo que
tiene el término que vamos a escribir de primero en el paréntesis es negativo, escribimos este signo afuera del paréntesis y éste nos
hará que todos los términos que se escriban dentro del paréntesis,
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123
estén con signo contrario al que tenían inicialmente.
am + bm – 5a – 5b = (am + bm) – (5a + 5b)
Ya que tenemos los términos agrupados, procedemos a sacar el factor común de cada paréntesis
am + bm – 5a – 5b = m(a + b) – 5(a + b)
Luego vemos que nos quedó el paréntesis igual, entonces este es el factor común, lo escribimos en un paréntesis y en otro lo que se
encuentra afuera de él.
am + bm – 5a – 5b = (a + b)(m – 5)
EJERCICIO:
Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas
1) x3 – 4x2 + x – 4 2) 3x + 3y – x2 – xy
3) y3 + 3y2 – 2y – 6 4) 9a2 + 4b2 – 12b – 9
5) y2 – 3y + xy – 3x 6) y2 + 4xy + 4x2 – 3y – 6x
7) x2 + 6xy + 9y2 + 2x + 6y 8) a2 – 2ab + b2 – c2 + 4cd – 4d2
9) x2 – 2xy + y2 + 3x + 3y + 2 10) am – an – bm + bn
2.7.7 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Algunas veces nos encontramos con expresiones que a pesar de tener
cuatro términos, no es una agrupación. Para identificarla, observamos los extremos y si estos tienen raíces cúbicas, no será agrupación de
términos.
Ejemplo 17) Factorizar x3 + 3x2 + 3x + 1
solución: Vemos que hay cuatro términos, observamos los extremos
y vemos que el primero tiene raíz cúbica, ya que su exponente es 3. El uno tiene cualquier raíz, ya que cuantas veces lo multipliquemos
por él mismo, siempre su resultado será uno.
Vemos entonces los términos del medio, los cuales deben tener los siguientes requisitos:
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124
El segundo debe ser el triple producto de la raíz del primer término elevado al cuadrado multiplicado por el segundo, en este caso, la raíz
cúbica de x3 es x y la raíz cúbica de 1 es 1
3(x2)(1) = 3x2
Sí coincide
El tercer término debe ser el triple producto la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo elevado al cuadrado
3(x)12 = 3x, ya que 3 * x = 3x y 12 = 1 * 1 = 1 y 3x * 1 = 3x
También coincide el tercer término, Entonces escribimos las dos raíces cúbicas en un paréntesis con el
mismo signo que tenga el segundo término y lo elevamos al cubo
x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3
EJERCICIO
1) 27 – 27x + 9x2 – x3 2) 1 + 3a + 3a2 + a3
3) 8 + 12x2 + 6x4 + x6 4) m3 – 3m2n + 3mn2 – n3
5) 125x3 – 1 – 75x2 + 15x 6) 8 + 36x + 54x2 + 27x3
7) x9 – 9x6y4 + 27x3y8 – 27y12
8) 1 + 18a2b3 + 108a4b6 + 216a6b9 9) 3a12 + 1 + 3a6 + a18
10) m3 – 3am2n + 3a2mn2 – a3n3
PROBLEMAS DIVERSOS
Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 9m2 2) 9m2 + 6m + 1
3) 6x2 – 5x + 1 4) 6x2 – 5x – 6
5) 5x3 – 20x 6) 3x2 – 18x + 27
7) 6x3 – 5x2 + x 8) 4x5 – 32x2
9) 2u4 – 7u2 + 5 10) x3y2 + 2x2y3 + xy4
11) (a + 2b)2 – 3(a + 2b) – 28 12) (2a + b)3 – 8
13) (a + 3b)4 – 1 14) x2 + 4xy + 4y2 – x2y2
15) x2 – 6xy + 9y2 + 4x – 12y 16) x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y + 2
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17) 9x4 – 24x2y2 + 16y4 – y2 18) 9x4 + 15x2y2 + 16y4
19) x4 – 3x2y2 + y4 20) 8x2(x – 2) + 8x(x - 2) + 2(x – 2)
21) (x + 3)2(x + 2)3 – 20(x + 3)(x + 2)2
22) (x – 3y)(x + 5y)4 – 4(x – 3y)(x + 5y)2
23) x2n + 3xn + 2 24) xn+3 + 5xn + x3 + 5
2.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Simplificar es llevar fracciones algebraicas a su más mínimo
expresión, dicho en otras palabras, es eliminar numeradores con denominadores, pero para que esto sea posible, tanto el numerador
como el denominador deben de estar escritos como un producto, es decir, que toda la expresión debe ser una multiplicación, ya que
sumas y restas, no se pueden eliminar.
Por ejemplo, si tenemos la expresión 4
4*4
En este caso podemos eliminar un 4 de arriba con un 4 de abajo y nos queda como resultado 4, ya que aunque efectuemos la
multiplicación, 44
16
4
4*4 .
Pero si en lugar de multiplicación tenemos una suma 4
44
En este caso no se pueden eliminar, pues no es lo mismo si eliminamos un 4 con un 4, ya que nos queda un 4 y al efectuar la
suma el resultado es 2. 24
8
4
44
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el
denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.
Ejemplo1: Simplificar yxx
xyyxx23
223
66
363
Solución:
Sabemos que no se pueden eliminar términos sino solo factores, por lo tanto procedemos a factorizar tanto el numerador como el
Segunda unidad: Álgebra
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126
denominador y teniendo las expresiones factorizadas, procedemos a eliminar factores que sean iguales uno de arriba con uno de abajo.
2
2
33
6
x x y
x x y
x x y
3
x y
.2. x .x x y 2
x y
x
Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de
ser la de factorizarlos.
Ejemplo 2: Simplificar
3
2 3
x
x x
Sollución:
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por lo tanto antes de simplificar hay que factorizarlo.
En este caso el método adecuado es sacar factor común 2x así
3 3 2
2 3 2 1
x x x
x x x x
2
.x
x 11
x
xx
Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
1.
2
3
15
25
a
a Como tenemos un término arriba y un término abajo,
simplificamos directamente o buscamos los factores de cada término para eliminarlos
2
3
15 3.5
25
a
a
2.a
5.5 2.a
3
5. aa
2.
3
4 2
212
18
xy
x y
.2.3. x 2. y .
2
y
.3.3. x 3 2. .x y3
2
3
y
x
3.
2x x
yx y
En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el
denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos
Sacar factor común x en el numerador y “y” en el denominador
Matemática cuarto
Centro Educativo Kinal
127
2 1x xx x
yx y
1y x
x
y
4. 2
1
2 1
x
x x
, aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador si se puede factorizar ya que es el un trinomio cuadrado perfecto.
22
1 1 1
2 1 1
x x x
x x x
1x
1
11 xx
5. 2
1
1
x
x
, aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se
trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por la diferencia de sus raíces
EJERCICIO: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.
1) 385
317202
2
xx
xx 2)
9x
3 5x 2x2
2
3) 49x
4914x x2
2
4)
44
82
3
xx
x
5) x
xyx 6)
4
442
2
x
xx
7) 239
192
2
xx
x 8)
23
3
63
3
xx
x
9) 143
122
2
xx
xx 10)
43
822
2
xx
xx
11) 96
272
3
aa
a 12)
403318
845182
2
xx
xx
13) 43
23
8127
927
xx
xx
14)
87
562
2
xx
xx
15) 351312
1513202
2
xx
xx 16)
1
1332
23
x
xxx
Segunda unidad: Álgebra
Centro Educativo Kinal
128
17) 22
23
cb
cbb
18)
4
652
2
x
xx
19) 16
411324
24
xx
xx 20)
12)5)(2
6)()(22
2
yxyx
yxyx
Matemática cuarto
Centro Educativo Kinal
129
SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Para sumar o restar fracciones algebraicas, se procede de igual forma que en artimética, buscando un denominador común
Ejemplo1 :
Simplificar a) 4
3
4
622
x
x
x b)
2525
4
s
s
s
Solución :
Como en estos casos el denominador de las dos fracciones es igual, solamente lo copiamos
a)
b) 25
4
2525
4
s
s
s
s
s
Ejemplo 2
Simplificar a) 32
5125
x
x
x
x
x
b)
9
18
3
4
3 2
tt
t
t
t
Solucion: a) Cuando tenemos iguales denominadores pero con diferentes
exponentes, escribimos el que tiene mayor exponente y luego dividimos por cada denominador y lo que nos queda lo multiplicamos por su
respectivo numerador
Como el trinomio que nos quedó no se puede factorizar, así se queda la respuesta.
b) Cuando los denominadores son diferentes y se pueden factorizar, se factorizan y luego se escribe el denominador común, es decir, el que
contenga a todos los denominadores luego se procede de igual forma que los anteriores
Segunda unidad: Álgebra
Centro Educativo Kinal
130
)3)(3(
1895
)3)(3(
181243
)3)(3(
18)3(4)3(
9
18
3
4
3
222
2 tt
tt
tt
tttt
tt
tttt
ttt
t
3
65
)3)(3(
)3)(65(
t
t
tt
tt
Ejercicios
Resuelva las siguientes operaciones y simplifíquelas
1) xxx
5-
2
6 2)
3
1
3
xx
x
3) 34
3 -
34
4
xx
x 4)
128
23 -
128
322
2
xx
xx
xx
xx
5) x
x
x
x
8
14
6
23
6)
22 15
103 -
9
6
x
x
x
x
7) 1
4 - 2x x
8) 2
2 -
2
3
xx
9) 12
2
1
2
x
x
x 10)
2
4
42
x
x
x
x
11) 4
3
82
62
xxx
x 12)
9
18
12
7
22
xxx
x
13) 12
3
82
222
xx
x
xx 14)
2
6
23
4322
xxxx
x
15) 65
22 -
32
15
22
xx
x
xx
x 16)
23
6 -
8103
14722
xx
x
xx
x
17) 2
4
2
3 -
4
44
2
xxx
x 18)
3
1 -
3
2
9
2
2
xxx
x
19) 16
10
43
2 -
42118
182
xxxx
20) 2
3-
242
14
82
10422
xxx
x
xx
x
2.8.2 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones algebraicas no es necesario buscar un denominador común, únicamente se multiplican numeradores con
numeradores y denominadores con denominadores factorizándolos antes de multiplicarlos para poder eliminar factores comunes
Matemática cuarto
Centro Educativo Kinal
131
Ejemplo:
Simplificar xx
xxx
xx
x
827
469*
253
494
234
2
2
Solución
)827(
)469(
)1)(23(
)23)(23(
827
469
253
493
22
4
234
2
2
xx
xxx
xx
xx
xx
xxx
xx
x
1)469)(23(
)469(*
)1)(23(
)23)(23(2
22
x
x
xxxx
xxx
xx
xx
EJERCICIO
Simplificar:
1) 6342
812
1624
2112 2
x
x
x
xx 2)
xx
x
xx
xx
8414
3015
63
42722
23
2) 34
232
23
4
2
xx
yx
yx
xx 4)
2
2
2
5 43
86 xy
xx
xx
xy
5) 54
32
65
62
2
2
2
xx
xx
xx
xx 6)
158
209
127
962
2
2
2
xx
xx
xx
xx
7) xx
xx
xx
xx
1554
536
816
2242
2
2
2
8)
xx
xx
xx
xx
1128
1342
1340
9202
2
2
2
9) 22
22
22
22
124124
32369
8219
324
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
10)
3212
482
30
24102
2
2
2
xx
xx
xx
xx
Segunda unidad: Álgebra
Centro Educativo Kinal
132
2.8.3 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división es la multiplicación invertida, por esta razón únicamente se invierte el divisor y se procede de igual forma que las multiplicaciones.
Ejemplo
Simplificar: aa
aa
a
aa
2
42025
16
41252
2
4
2
Ejercicios:
Simplificar:
1) 3
2
62
32
12
15
8
6
xy
ba
yx
ba 2)
1064
785
523
986
cba
zyx
cba
zyx
3)
32
4
2
32
4
43
*yx
ba
xy
ba
yx
ba 4)
5
32
3
32
23
4
*ab
yx
yx
ba
ba
xy
5) 4
263 2
2
22
x
aba
x
abba
6)
aba
x
baa
x
96
3
2114 223
7) 122
23
2
3
xx
xx
xx
xx 8)
xx
xx
xx
x
2
2
44
1232
23
2
2
9) 86
44
43
822
2
2
2
xx
xx
xx
xx 10)
245
2411
276
1872
2
2
2
xx
xx
xx
xx
Matemática cuarto
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133
Ejercicios variados Simplifique las siguientes fracciones algebraicas.
1) 15136
10762
2
xx
xx 2)
1920
3122
2
yy
yy
3) 12235
2129102
2
xx
xx 4)
zz
zz
32
91242
2
5) 310
5762
2
aa
aa 6)
3625
2562
y
yy
7) 234
3
61110
94
xxx
xx
8)
xxx
xxx
6254
81623
234
9) 278
693
t
t*
121012
942
2
tt
t 10)
23
342
2
aa
aa*
21132
232
2
aa
aa
11) 16
41254
2
x
xx
xx
xx
2
420252
2
12)
4
82
3
x
x
83 x
x
13) 1892
2483423
3
ppp
ppp 14)
wyyzwxxz
wywxyzxy
326
362
15) 32
1 -
322
1
xhx h 16)
25
7 -
255
7
xhx h
17) h
xhx 22)( 18)
37
5
x-
12
2
x+
314
42 xx
x
19) 1
-1
-
bb
a
b
b
a
20)
x-1
5 -1
1
x
x
Segunda unidad: Álgebra
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134
21)
3
7
1
3
2
1
5
xx
xx
x
x 22) 1
x+
1
y
23) s
r-
r
s
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135
Tercera unidad: Ecuaciones
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136
Matemática cuarto
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137
OBJETIVOS
Conocer el lenguaje algebraico para representar, resolver situaciones de la vida cotidiana e interpretar las soluciones.
Trasladar al lenguaje simbólico frases sencillas de contenido numérico y viceversa.
Reconocer ecuaciones y diferenciarlas de expresiones algebraicas.
Plantear y resolver ecuaciones, utilizando en cada caso el método que mejor convenga.
Simplificar expresiones y fórmulas mediante las reglas de uso de los paréntesis y de la jerarquía de las operaciones.
Reconocer un valor dado como solución de una ecuación.
Clasificar las ecuaciones según el número de soluciones.
Reconocer dos ecuaciones equivalentes.
Tercera unidad: Ecuaciones
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138
3.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión
(denominados miembros de la ecuación, el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que
aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).
En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se
expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la
ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o
elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos,
es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede ser que todo valor posible de la incógnita valga. Estas
últimas expresiones se llaman identidades.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten las mismas soluciones.
Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará Inecuación.
5x – 3 = 2x – 5 Ecuación lineal
x2 – 5x + 6 = 0 Ecuación cuadrática x2 – 5x + 6 Expresión algebraica. Observe que la expresión algebraica no tiene la igualdad mientras que la ecuación si.
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se deben transponer términos, es decir, se deben dejar de un lado
del signo igual todos los términos que contengan variables y del otro lado, los términos independientes. Términos independientes se le
llama a todos los términos que no tengan letra, es decir, que únicamente sean números.
Matemática cuarto
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139
2. Todos los términos que cambien de lado, pasarán haciendo la operación inversa de lo que hacían en su lugar original
2.1. Si están sumando, pasarán del otro lado restando 2.2. Si están restando, pasarán del otro lado sumando
2.3. Si están multiplicando, pasarán del otro lado dividiendo
2.4. Si están dividiendo, pasarán del otro lado multiplicando 2.5. Si están como una potencia, pasará del otro lado como un
radical. 2.6. Si está como un radical, pasará del otro lado como una
potencia.
Ejemplo 1 Dada la ecuación x + 3 = 5
Éste que es el ejemplo más sencillo, se hace lo siguiente para encontrar
el valor de la variable (en este caso x):
Solución:
Se procede a dejar de un lado del signo igual la variable y todo lo que pase del otro lado, deberá pasar. Haciendo la operación inversa
x + 3 = 5
x = 5 - 3 x = 2
Como se observó, el tres estaba al principio sumándose con la x, al
pasar del otro lado, pasó restando al 5. Se pasó del otro lado, porque no tenía letra y se encontró de este modo el valor de x. Para comprobar el
valor se reemplaza en la ecuación original el valor encontrado, como se muestra a continuación.
(Ecuación original) x + 3 = 5
(Sustituyendo x = 2) 2 + 3 = 5
5 = 5 Se pueden tener casos en donde en ambos lados de la igualdad se
encuentren incógnitas y números, tal y como se mostrará en el siguiente ejemplo:
Tercera unidad: Ecuaciones
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140
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 11
SOLUCIÓN Principiamos transponiendo términos, las letras de un lado y los
números del otro. Debiendo tener cuidado que lo que está sumando de
un lado, pasará restando en el otro y se reducen los términos semejantes.
5x + 7 = 3x + 11 5x – 3x = 11 – 7
2x = 4
Como se puede observar la literal quedó acompañada de un número que la multiplica, al cual se le llama coeficiente. Este número o coeficiente,
pasa a dividir al número que está del otro lado del signo de igualdad, y se realiza la operación si se puede, de lo contrario se deja expresada
como fracción simplificada
2x = 4 x = 4
2
x = 2
Para comprobar se sustituye el valor por la literal y se opera:
5(2) + 7 = 3(2) + 11
10 + 7 = 6 + 11 17 = 17
Como se podemos ver, se cumplió la igualdad.
Ejemplo 3 Otro caso que se puede dar a la hora de resolver una ecuación.
Dada la Ecuación:
5x + 3(5x + 2) = 12 – 2(3x - 36)
Solución:
En este caso se realizan primero las operaciones indicadas por los paréntesis, ya que afectan a unos términos de la igualdad y evitan que
se pueda despejar la literal.
5x + 15x + 6 = 12 – 6x + 72
Matemática cuarto
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141
El tres se multiplicó por 5x y por 2, en el primer lado de la igualdad, tomándose en cuenta la ley de signos, y el –2 se multiplicó por el 3x y
–36, como se ve el resultado final de éste lado se tomo en cuenta la ley de signos.
Como se hizo en el ejemplo anterior, transponiendo términos dejando de un solo lado las variables y del otro los términos independientes
5x + 15x + 6x = 12 + 72 – 6 26x = 78
26
78x
x = 3
Para asegurarse que el valor encontrado es correcto se hace la prueba.
sustituyendo x = 3
5(3) + 3[5(3) + 2] = 12 – 2[3(3) – 36] 15 + 3(15 + 2) = 12 – 2(9 – 36)
15 + 3(17) = 12 – 2(-27) 15 + 51 = 12 + 54
66 = 66
EJERCICIO Resuelva las siguientes ecuaciones.
1) 4x = 12
2) 3x = 6
3) 5x = 20
4) 2x = 6
5) 6x = 12
6) 6x = 6
7) 4x = 4
8) 6x = 2
9) 16x = 8
10) 20x = 40
11) 2
1x = 3
12) 4
1x = 1
Tercera unidad: Ecuaciones
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142
13) 95
3x
14) 215
3x
15) 26
4x
16) 79
7x
17) 311
6x
18) 65
3y
19) 68
7s
20) 109
5z
21) 7
6
5
3w
22) 5
3
10
9x
23) 7
6
5
4z
24) 11
8
11
9y
25) 7
3
5
1x
26) 8
5
7
6y
27) 18
7
9
5y
28) 15
6
9
1w
29) 5
1
15
7y
20) 3
1
3
1y
31) 0.2x = 2
32) 0.8y = 3
33) 0.5x = 2
34) 5x = 0.2
35) 0.3y = 0.3
36) 0.1x = 0.25
37) 2x = 0.1
38) 0.5y = 0.25
39) 0.6x = 0.36
40) 0.11z = 0.33
Matemática cuarto
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143
EJERCICIO Resolver las siguientes ecuaciones.
1) 4x + 3x = 21
2) 5x + x = 24
3) 3x + x = 12
4) 2x + 3x = 15
5) 4x – x = 12
6) 3x – x = 8
7) 5x – 2x = 15
8) 8x – x = 28
9) 10x – 12x = 1
10) 9x – 12x = 3
11) 10x – 3x = 14
12) 9x – 2x = 14
13) 25x – 20x = 4
14) 8x – x = 1
15) 5x – 4x = 3
16) 6x – 5x = 4
17) 6x – 7x = 5
18) 8x – 9x = 2
19) 5x – 6x = 4
20) x – 2x = –6
21) x – 3x = –6
22) 3x + 2x + x = 18
23) x + 2x + 5x = 24
24) 2x + 5x + x = 4
25) 14x + x + 2x = –3
26) 4x – 2x + x = 4
27) x – 2x + x = 5
28) 4x – 5x + x = 6
29) 2x + x – 3x = 4
30) 4x + 2x – 6x = 8
31) 4x-3= x+3
32) 3x+2=3-2x
33) x + 5 = 6 – 2x
34) 5 – 2x = 8 + x
35) 3x – 2 = 10 – x
36) 5x + 3 = 2x - 3
37) 8x – 5 = 6x + 5
38) 4x – 1 = 2x + 5
39) 5x + 8 = 2x – 4
40) 10x + 5 = 3x – 9
41) 6x + 3(x + 1) = 8
42) 4x + 4(x – 2) = 0
Tercera unidad: Ecuaciones
Centro Educativo Kinal
144
43) 5x + 3[-4 + 3(5x + 2) –x] = 0
44) 4x – 3 = 5[x – 3{4x + 1}] + 6
45) 3x – (5x + 2) = 9[-x + 2(x + 3)]
46) 6x – 3 + 4x = 8x – 2(x – 2)
47) 25x + 3 = 8x – 3{x + [x + 2(3 – 5x)+1]}
48) 3x + 4(5x + 3) = 2(5x + 3) – 2
3.1.1 Ecuaciones con coeficiente fraccionario En estas ecuaciones son las que llevan números racionales.
Ejemplo 1
29
2
5
15
7
5
xx
Como se puede observar existen denominadores en la igualdad, para
resolver éste tipo de ecuaciones se procede de igual forma que para hacer sumas y restas de fracciones aritméticas. Si se nos ha olvidado,
se siguen los siguientes pasos:
1er paso. Se busca el común denominador entre los números de la siguiente forma:
7 9 5 7 1 9 5 5
1 9 1 3 1 3 1 3
1 1 1 315
2do paso. Ahora colocamos el común denominador y lo dividimos entre los denominadores que aparezcan y lo multiplicamos por el numerador,
en donde no aparezcan denominadores los multiplicamos por el entero.
Matemática cuarto
Centro Educativo Kinal
145
315 7 * 5x = 225x
315 5 * 15 = 945
315 9 * 2x = 70x
315 * 2 = 630
Lo trabajado anteriormente es para observar paso por paso como es que
va a quedar en la ecuación, quedando de la siguiente manera, anulando el denominador, porque ya lo hemos trabajado:
225x + 945 = 70x – 630 315
Al haber trabajado esto lo tomamos como se han trabajado las
ecuaciones anteriores: 225x – 70x = -630 – 945
155x = -1575 x = -1575
155
31
315x
Al tener éste resultado realizamos nuevamente la prueba para estar
seguros.
Ejemplo 2
5
1094252
x
x
x
x
Como se puede observar existen denominadores con letras y con números, para resolver esta ecuación se hace lo siguiente:
1er. Paso. Se busca el común denominador entre números, en este
ejercicio solamente tenemos el 5.
2do. Paso. Se busca el común denominador entre letras, como se puede
observar solo aparece la literal “x”, entonces se toma con su mayor exponente, quedando de la siguiente forma:
5x2
Tercera unidad: Ecuaciones
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146
3er. Paso. Dividimos el común denominador entre cada denominador y
luego el resultado lo multiplicamos por el numerador.
5x2 x
Como podemos observar aquí se elimina una equis con el cuadrado y
queda como resultado 5x
5x2 x = 5x
Ahora este resultado lo multiplicamos por el numerador que le corresponde. Como el denominador de 5 + 2x es “x” y ya la dividimos
entre 5x2 que es el común denominador a toda la ecuación y el resultado nos dio 5x lo multiplicamos por 5 + 2x.
5x(5 + 2x) = 25x + 10x2
Ahora hacemos lo mismo para el siguiente término
5x2 x2
Al realizar esta operación nos podemos dar cuenta de que se elimina la x2 y queda como resultado solamente el 5
5x2 x2 = 5
Ahora este resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador
5(4x + 9) = 20x + 45
Por último tomamos el último denominador y hacemos lo mismo pasos anteriores:
5x2 5 = x2
Luego lo multiplicamos por su numerador
x2 * 10= 10x2
Matemática cuarto
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147
Al colocarlo sobre la línea queda de la siguiente forma y como ya esta trabajado el denominador lo eliminamos colocándole una línea.
5x(5 + 2x) + 5(4x + 9) = 10x2 5x2
Ahora trabajamos con lo que nos quedó sobre la línea operando las multiplicaciones correspondientes:
25x + 10x2 + 20x + 45 = 10x2
Ahora dejamos todas las literales de un lado de la ecuación y los números del otro lado y operamos:
25x + 10x2 + 20x – 10x2 = -45
Como se puede observar se eliminan los términos que llevan la x2 y nos
queda una ecuación lineal
45x = -45
45
45x
x = -1
Ahora, para comprobar si la solución que encontramos es correcta, realizamos la verificación sustituyendo el valor en la ecuación original
5 + 2x + 4x + 9 = 10
x x2 5
(Sustituyendo 5 + 2(-1) + 4(-1) + 9 = 10
x = -1) (-1) (-1)2 5
Operando nos queda lo siguiente:
5 – 2 + -4 + 9 = 10
-1 1 5
3 + 5 = 10
-1 1 5
-3 + 5 = 2
2 = 2
El dos de la igualdad salió de dividir 10 entre 5.
Tercera unidad: Ecuaciones
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148
Ejercicios:
Resuelva correctamente las siguientes ecuaciones encontrando el valor
de la variable.
1) 5
7
10
1
5
3 xx
2) 19
44
9
5
3
2 xx
3) 5
438
5
3 xx
4) 97
3
7
6 yy
5) 4
37
4
3
7
4 xx
6) 3748
5 zz
7) 35
2
5
3
7
4 xx
8) 11
5
22
7
11
6 xx
9) 35
2
5
3 yy
10) 73
1
2
1 xx
11) 7
24
5
2
5
4
7
2 xxx
12) 117
63
7
4 xxx
13) 418
22
9
5 yyy
14) 86
5
2
13 xxx
15) 5
2348
5
3
7
5 zzz
16) 2
1
2
1
5
4
4
1 xxx
17) 697
5
4
53 yyy
18) 175
22
4
3 yyy
19) 272
54
7
3 zzz
20) 1410
2
5
125 xxx
21) 543
253 xxx
22) xxx2
123
5
2386
23) xxx 34
1
4
55
5
4
24) xxx 7155
21916
Matemática cuarto
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149
25) zzz5
3541
7
4
26) yyy2
12
6
2
4
31
27) 54
139
6
1
9
1
3
19 xxx
28) zzz12
112
4
18
29) www4
15
5
2
5
14
2
1
30) 9
7
9
4
6
1
9
2
3
1 zzz
31) www20
7
5
7
10
2
5
4
5
2
32) zzz 7
1
7
1
21
73
3
2
33) yyy16
12
8
3
4
5
2
1
34) 10
3
15
4
10
33
5
1 xxx
35) xxx8
72
8
3
2
1
4
3
36) xxx 428
1
14
1
7
3
37) 16
1
2
1
4
3
2
15 xxx
38) xxx3
26
3
4
18
3
9
2
39) 15
22
15
4
2
1
5
3 xxx
40) www
68
1
34
32
17
6
41) 36
1
24
zzz
42) zzz
16
5
42
1
8
3
43) 428
15
4
3
4
3
zxx
44) zz
z 817
2
5
1
EJERCICIO:
Las siguientes ecuaciones son fórmulas matemáticas, despeje la variable
que se le indica.
I = prt. Despejar r
2. d = rt Despejar t
3. A = bh Despejar
h
4. C= 2r Despejar r
5. P = 2l + 2w Despejar w
6. S = p + prt Despejar p
7. ax + by + cz = d Despejar b
8. ax + by + c = 0 Despejar c
Tercera unidad: Ecuaciones
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150
9. R = I
E Despejar
I
10. K = g
mv
2
2
Despejar
m
11. V = hr 2
3
1 Despejar
h
12. F=2
21
d
mmg Despejar
m1
13. S=r
a
1 Despejar r
14) m=22
12
xx
yy
Despejar
y1
15) 321
1111
RRRR
Despejar R1
16) 1b
y
a
x Despejar b
17) S = P + Prt Despejar r
18) F = 9
5C + 32 Despejar C
19) V = h2(3r – h) Despejar r
20) S = gt2 + vot Despejar vo
21) S = rl
rla
Despejar r
22) S = a + (n – 1)d Despejar d
23) Ft = mv1 – mv2 Despejar m
24) 21
111
fff Despejar f
25) A = (b1 + b2)h Despejar h
26) A = 2r(r + h) Despejar h
27) t
vva 12 Despejar t
28) l = lo(l + ct) Despejar t
29) nI
rInER
Despejar I
30) 1
21
T
TTE
Despejar T1
Matemática cuarto
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151
3.1.2 PROBLEMAS RESUELTOS DE
ECUACIONES LINEALES 1. Si a un número se le suma 14, el resultado es 25. Encuentre el
número
Solución: El valor desconocido es el número al cual se le sumará 14
x + 14 = 25 x = 25 – 14
x = 11 R: el número es 11
2. Un alumno tiene calificaciones parciales de 70, 28, 60, 54. ¿Qué
nota debe obtener en la siguiente prueba para ganar el curso si este se aprueba con 60pts.
Solución: Como un promedio se encuentra sumando todas las notas
y dividiendo entre el total de notas, únicamente sumamos todas las notas y dividimos entre 5 ya que todas las notas valen lo mismo.
605
54602870
x
212 + x = 60(5)
212 + x = 300
x = 300 – 212 x = 88
R: Debe obtener una nota de 88 puntos
3. Antes del examen final un alumno tiene calificaciones parciales, 72, 80, 65, 78, 60pts, el examen final cuenta como la tercera parte de la
calificación definitiva, que calificación deberá tener el alumno para tener un promedio final de 76pts.
Solución: Como nos indican que la nota del examen final cuenta como
la tercera parte de su calificación definitiva, esto significa que la zona acumulada es los otros dos tercios de toda su nota, por lo tanto:
Tercera unidad: Ecuaciones
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152
763
1
5
6078658072
3
2
x
7635
355
3
2
x
763
713
2
x
7633
142
x
763
142
x
142 + x = 76(3)
142 + x = 228
x = 228 – 142
x = 86
R: Debe obtener una nota de 86 puntos, para que su promedio sea de
76 puntos
4. La cantidad líquida que un trabajador recibe es de Q.4,920.00
después de haber deducido un total de 40% de impuesto sobre el valor nominal, cual es su salario nominal.
Matemática cuarto
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153
Solución: Como nos indican que la cantidad líquida que el trabajador recibe es de Q.4,920.00, esto significa que su sueldo es 40% mayor.
X = salario nominal
Como el descuento se lo hacen al salario nominal 0.4(x) = descuento
Salario nominal – descuentos = salario líquido X - 0.4x = 4920
0.6x = 4920
6.0
4920x
x= 8200
R: El salario nominal del trabajador es de Q.8,200.00
5. Una pareja va a cenar a un restaurante y paga Q.170.66. En dicho restaurante, a la cuenta de la cena le agregan un impuesto del 6% y
además tienen que pagar 15% de propina después de haber sumado el impuesto. ¿Cuánto fue lo que pagaron solo en comida?.
Solución: Como el impuesto se lo cargan a lo que se gasta en comida y
la propina nos dicen que se carga después de haber agregado el impuesto.
X = lo que gasta en comida
0.06(x) = impuesto 0.15(x + 0.06x)
Gasto en comida + impuesto + propina = pago total
x + 0.06x + 0.15(x + 0.06x) = 170.66 x + 0.06x + 0.15x + 0.009x = 170.66
1.219x = 170.66
219.1
66.170x
x = 140
R: Lo que consumieron en comida fue de Q.140.00
Tercera unidad: Ecuaciones
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154
El costo de instalar material aislante en una casa es de Q.1800.00. Los costos actuales de calefacción son en promedio 600.00 mensuales
pero se espera que el material aislante los reduzca en un 10%. Cuantos meses se necesitaran para recuperar el costo del material.
Solución: Como nos indican que el material aislante reducirá los gastos
en un 10%, entonces nos interesa averiguar de cuánto es el ahorro
obtenido con el material para ver en cuanto tiempo se recupera el gasto
X = cantidad de meses 600 es el gasto mensual
0.1(600) = ahorro mensual
600(0.1) = 60 Esto significa que el ahorro mensual será de Q.60.00
60X=1800
60
1800x
x = 30
R: Se necesitarán 30 meses para recuperar el gasto del material aislante.
Un alumno recibió Q.10,000.00 y desea depositarlos en 2 bancos diferentes que le paguen el 8% y 6.4% de intereses
respectivamente. Si el total de intereses es de Q.750.00. ¿cuanto tiene depositado en cada cuenta.
Solución: Cuando tenemos cierta cantidad y la queremos repartir en dos partes que no sean iguales, le damos el valor de x a una de estas
partes y a la otra el total que teníamos menos la otra que ya dimos que
en este caso es x
x es una cantidad 10,000 – x es la otra cantidad
X=Cantidad depositada 8%
10000 - X= Cantidad depositada 6.4% 0.08(x)+0.064(10000 - x)=750
0.08x+640 – 0.064x=75 0.08x – 0.064x = 750 – 640
0.016x= 110
016.0
110x
X=6875 10000 – 6875 = 3125
Matemática cuarto
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155
R: Tiene depositados Q.6,875.00 En el banco que le paga 8% y
Q.3,125.00 en el que le paga el 6.4% A la presentación de una película asistieron 700 personas. Los boletos
de adultos cuestan Q.25.00 y los de niños Q.15.00. Lo recaudado en la taquilla fue por un total de Q.14,670.00. ¿Cuántos niños asistieron
a ver la película?
Solución: Al igual que el problema anterior, conocemos la cantidad
total, en este caso, si al total de personas le quitamos los niños quedan los adultos y si le quitamos los adultos quedan los niños. Como la
pregunta es cuántos niños entraron, le damos el valor de la variable a los niños.
X = Cantidad de niños
700 – X = Cantidad de adultos
Como el total de dinero recaudado en los niños se encuentra multiplicando la cantidad que pagó cada niño por la cantidad de niños
que entraron y lo recaudado en los adultos se encuentra multiplicando lo que pagó cada adulto por la cantidad de adultos que entraron. El total
recaudado es la suma de lo que hicieron con los niños más lo que
hicieron con los adultos
15(x) +25(700 – x) = 14,670 15x + 17500 – 25x = 14,670
15x – 25x = 14,670 – 17,500 – 10x = – 2830
10
2830
x
x =283
R: Ingresaron 283 niños Un albañil cobra Q. 35.00 por hora de trabajo y a su ayudante le paga
Q.20.00 por hora. Si a un cliente, por un trabajo que le hicieron entre los dos, le cobraron en total Q.1440.00. ¿ Cuántas horas
trabajó cada uno si el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil?
Solución: En este caso no conocemos el total de horas trabajadas por
cada uno, pero sí conocemos la diferencia, pues nos indican que el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil y además conocemos el
total que cobraron. Horas trabajadas
Albañil Ayudante
Tercera unidad: Ecuaciones
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156
X x + 6 Como sabemos cuanto cobraba por hora cada uno, multiplicamos lo que
cobraba cada uno por hora, por las horas que trabajó cada uno y esto se suma para encontrar el total cobrado
35(x) + 20(x + 6) = 1440 35x + 20x + 120 = 1440
35x + 20x = 1440 – 120
55x = 1320
55
1320x
x = 24
Estas son las horas trabajadas por el albañil, ya que el las horas que trabajó él fue a las que les dimos el valor de x.
El ayudante trabajó x + 6 o sea 24 + 6 = 30.
R: El albañil trabajó 24 horas y el ayudante 30
Para calmar la tos, un adulto necesita ingerir un jarabe que contenga 30% de un ingrediente activo, mientras que un niño solo necesita
que contenga el 20% del mismo ingrediente. Si el farmacéutico solo tiene jarabe para adultos ¿ Qué cantidad de jarabe del que tiene
debe utilizar y cuánta agua, para preparar 60ml. de jarabe para un niño?
Solución: En los problemas de mezclas, debemos darle el valor de x a
la cantidad de uno de los componentes y el total que necesitamos menos x a la cantidad del otro componente.
Componente del 30% componente que no tiene ingrediente X 60 – x
Ahora multiplicamos el porcentaje que contiene ingrediente activo por la cantidad de cada uno y lo sumamos.
Como la cantidad x tiene 30% (esto es 3.0100
30 ), a esto le sumamos la
otra que no tiene componente activo, por eso tiene 0 por ciento y esto
será igual a la cantidad que necesita por el porcentaje de ingrediente que quiere.
0.3(x) + 0(60 – x) = 0.2(60) 0.3x + 0 = 12
0.3x = 12
3.0
12x
Matemática cuarto
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157
x = 40 Como x es la cantidad de ml que tiene el componente activo, esta es la
cantidad que se debe utilizar y el resto de agua
R: Debe utilizar 40 ml del componente activo al 30% y 20ml de agua
9. Un vendedor de café tiene dos clases diferentes. un tipo de café
cuesta Q.60.00 la libra y el otro Q.20.00 la libra. Si el café que cuesta Q.60 casi no se vende, entonces el vendedor desea mezclarlos para
vender un solo tipo de café. ¿A cómo tiene que vender cada libra de mezcla si tiene 75 libras del que cuesta Q.60.00 y 45 libras del que
cuesta Q.20.00 para no ganar ni perder? Solución: Como en este caso el precio desconocido es el que se quiere
vender la mezcla, planteamos la ecuación de la siguiente forma:
60(75) +20(45) = x(120) 4500 +900 = 120x
5400 = 120x
x120
5400
x = 45 R: Cada libra de mezcla se tiene que vender a Q.45.00 para no
ganar ni perder
10. Dos niños que se encuentran a una distancia de 247.5m comienzan a caminar uno hacia al otro al mismo instante, a velocidades de 2.5m/s
y 3m/s, respectivamente. a) ¿Cuando tiempo tardarán en encontrarse?
b) ¿Que distancia habrá caminado cada uno?
Solución: En este caso, la distancia que recorre cada uno es diferente,
pero el tiempo es igual, puesto que nos indican que salen al mismo instante. Decimos que la distancia es diferente porque la velocidad de
cada uno es diferente.
X = distancia que recorrió el que llevaba la velocidad de 2.5 m/seg 247.5 – x = distancia recorrida por el que iba a la velocidad de 3 m/seg
t = tiempo utilizado
Como también sabemos que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo
2.5(t) = distancia del primero
3(t) = distancia recorrida por el segundo
Tercera unidad: Ecuaciones
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158
También sabemos que la distancia recorrida entre los dos es de 247.5
Distancia recorrida por el primero + distancia recorrida por el segundo igual a la distancia total
2.5t + 3t = 247.5 5.5t = 247.5
5.5
5.247t
t = 45
Distancia recorrida por el primero x x = 2.5(45)
x = 112.5 Distancia recorrida por el segundo
247.5 – x =
247.5 – 112.5 = 135
R: El tiempo que tardaron en encontrarse fue de 45 seg. Y la distancia que recorrieron fue de 112.5 m el que llevaba la
velocidad de 2.5 m/seg y de 135 m el que llevaba la velocidad de 3 m/seg.
11. Un muchacho le pega al otro y sale corriendo con una velocidad de 5
m/s 2 segundos después sale en su persecución el agredido dando una velocidad de 7 m/s a que distancia lo alcanza y en cuanto tiempo.
Solución: En este caso, los tiempos son diferentes pero las distancias son iguales.
t = tiempo del primero 5m/seg = velocidad del primero
t – 2 = tiempo del segundo
7m/seg = velocidad del segundo Distancia = velocidad por tiempo
Distancia del primero igual a distancia del segundo 5(t) = 7(t – 2)
5t = 7t – 14 5t – 7t = – 14
– 2t = – 14
2
14
t
t = 7
R: Lo alcanzará en 7 segundos.
PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Resuelva correctamente los siguientes problemas. 1. Encuentre dos números cuya suma sea 9 y su diferencia 5
Matemática cuarto
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159
2. Si a un número se le suma 4, el resultado es 15. Encuentre el
número 3. Si a un número se le suma 22, el resultado es 68. Encuentre el
número 4. Si a un número se le resta 11, el resultado es 48. Encuentre el
número. 5. Si al doble de un número se le suma 3, el resultado es 25. Halle el
número. 6. Encuentre 2 números cuya suma sea 20 y su diferencia 10 7. Un vendedor de periódicos tiene Q.2.30 en monedas de 10 y 25
centavos. Si en total tiene 14 monedas. Cuántas tiene de cada
denominación
8. Una niña tiene 75 monedas de 5 y 10 centavos. Si en total tiene Q.5.75. Cuántas monedas tiene de cada una.
9. Si tengo Q. 45.00 en billetes de Q.5.00 y Q.10.00. Si en total tengo 7 billetes. ¿Cuántos tengo de cada denominación?
10. Una señora compró 22 aves entre gallinas y patos con Q.125.00. Si
cada gallina le costó Q.5.00 cada pato Q. 6.25. ¿Cuántas gallinas y Cuántos patos compró?
11. Encuentre dos enteros consecutivos tales que su suma sea 29
12. Encuentre 2 enteros consecutivos cuya suma sea 47
13. La suma de 3 enteros consecutivos es 24. Encuéntrelos.
14. La suma de 3 enteros consecutivos es 45. Encuéntrelos.
15. Encuentre 3 enteros consecutivos cuya suma sea 33
16. Las calificaciones de un estudiante son 75, 80 y 60. ¿Cuánto tiene que sacar en el próximo examen par que su nota promedio sea de 75
puntos?
17. Al llegar al examen final, un estudiante tiene las siguientes notas. 55, 70, 84, 75 y 90 puntos. Si el examen final vale la tercera parte
de la nota final.¿ Cuánto tiene que obtener para ganar la clase con 70 puntos?
Tercera unidad: Ecuaciones
Centro Educativo Kinal
160
18. Un alumno a obtenido las siguientes notas: 55, 40 y 60. Si la nota
final es el promedio de sus 4 evaluaciones parciales. ¿Podrá ganar el curso todavía o ya no?. De ser posible, ¿cuánto tiene que sacar en su
evaluación final?
19. Una mujer de negocios desea invertir Q.30.000 en dos bancos
diferentes que pagan 8% y 12% de interés simple anual respectivamente. Si al final del año se encuentra con un beneficio de
Q.3280.00 entre las dos cuentas. ¿Cuánto tiene depositado en cada una?
20. Una persona desea depositar Q.20000.00 en dos cuentas diferentes
que le pagan 8% y 12% respectivamente. ¿Cuánto debe depositar en cada cuenta si al final del año desea tener un interés total de
Q.1920.00?
21. Un comerciante invierte Q. 15,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 20% y en el otro el 15%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si
su ganancia total fue de Q.2,600.00?
22. Un comerciante invierte Q. 25,000.00 en dos negocios. Si en uno
ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.1050.00?
23. Un comerciante invierte Q. 28,000.00 en dos negocios. Si en uno
ganó el 14% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.560.00?
24. Un comerciante invierte Q. 25,000.00 en dos negocios. Si en uno
ganó el 12% y en el otro perdió el 15%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.300.00?
25. Un comerciante invierte Q. 25,000.00 en dos negocios. Si en uno
ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una pérdida de Q.300.00?
26. Un comerciante invierte Q. 15,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 25% y en el otro perdió el 20%. ¿Cuánto invirtió en cada
negocio si al final obtuvo una pérdida de Q.1200.00?
27. Un corredor sale de un punto a una velocidad constante de 6 millas por hora. Circo minutos más tarde, un segundo corredor sale del
Matemática cuarto
Centro Educativo Kinal
161
mismo lugar y hace el mimo recorrido a una velocidad de 8 millas por hora ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo corredor al primero?
28. Un vehículo sale de una ciudad, con una velocidad constante de 40
Km./h. 1 hora más tarde sale otro vehículo en persecución del primero, con una velocidad constante de 50Km/h. ¿En cuánto tiempo
alcanza el segundo vehículo al primero y a qué distancia del punto de
partida?
29. Dos muchachos se encuentra separados una distancia de 225 metros, cuando ambos empiezan a caminar, uno en dirección del
otro, con velocidades de 2m/seg y 3m/seg. ¿En cuánto tiempo se encuentran y qué distancia recorrió cada uno?
30. Un muchacho le pega a otro y sale corriendo con una velocidad de
5m/seg. La reacción del segundo dura 3 seg. y sale en persecución del primero, con una velocidad de 8m/seg.¿En cuánto tiempo alcanza
el segundo muchacho al que le pegó? 31. Dos vehículos salen a un mismo tiempo de dos ciudades distantes
entre sí 300Km. uno en dirección del otro. Si uno viaja a una velocidad de 50Km/h y el otro a 6oKm/h. ¿En cuánto tiempo se
encuentran?
32. Si al radio de un circulo se le aumentan 2 cm, su área aumenta en l6
cm2 ¿Cual era el radio original del círculo?
33. Un rectángulo mide el doble de largo que de ancho Si el largo y al ancho se les reducen 2 cm y 3cm respectivamente, el Area disminuye
30 cm2. Encuentre las dimensiones originales.
34. Un autobús viajó de una ciudad a otra, a una velocidad promedio de 50 millas por hora. Si viaje de regreso tomó 15 minutos más a una
velocidad promedio 45 millas por hora. ¿Cuál fue la distancia total que recorri6 el autobús?
35. Los boletos de entrada a un cine cuestan Q.20.00 para adulto y
Q.15.00 para niño. Si en una función se vendieron 500 entradas y el
total de dinero recaudado fue de Q.8625.00. ¿Cuántos adultos y cuántos niños entraron?
36. A un muchacho le toma 90 minutos podar el jardín de su casa, pero
su hermana puede hacerlo en 60 minutos ¿Cuánto tiempo les tomará podar el jardín si trabajan juntos, usando dos cortadoras?
Tercera unidad: Ecuaciones
Centro Educativo Kinal
162
37. Una manguera puede llenar una piscina en 8 horas. Otra manguera mayor que la primera puede llenar la piscina en 5 horas ¿Cuánto
tiempo tomará llenarla a si utilizan las dos mangueras simultáneamente?
38. A las 6 am una máquina barredora, que avanza a velocidad
constante, empieza a despejar una carretera que conduce a las afueras de la ciudad. A las 8 am. Un automóvil toma esa carretera a
una velocidad de 30 km/h. y la alcanza 30 minutos después. Encuentre la velocidad de la máquina.
39. Dos niños tienen aparatos de radiocomunicación, cuyo alcance
máximo es de 2 millas. Uno de ellos empieza a caminar de cierto punto hacia el norte a la 1:00 pm a una velocidad de 4mi/h. El otro
niño sale del mismo punto a la 1:15 pm y camina hacia el sur a una velocidad de 6 mi/h. ¿A qué hora ya no podrán comunicarse?
40. Un muchacho puede remar en aguas tranquilas a una velocidad de 5
mi/h. Si rema en contra de una corriente constante durante 15 minutos y luego regresa hacia el punto de donde salió en 12 minutos.
Encuentre:
a) La velocidad de la corriente
b) La distancia que recorrió río arriba.
41. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad de su largo y
su perímetro es 40 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones?
42. El lado más largo de un triángulo es el doble de la longitud del lado más corto y dos centímetros mayor que el tercer lado. Si el perímetro
del triángulo es 33 cm. ¿Cuánto mide cada lado?
43. Los boletos de admisión a un cine costaron Q.6.00 por adulto y Q.4.50 por niño. Si se vendieron 810 boletos y el total recaudado fue
de Q.4, 279.50 Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
44. Un muchacho rema y recorre 500 pies en 10 minutos en una
corriente constante hacia arriba; luego rema río abajo 300 pies en 5 minutos. Encuentre la velocidad de la corriente y la velocidad a la
que rema el muchacho.
Matemática cuarto
Centro Educativo Kinal
163
45. Un agente de ventas compró un automóvil que promediaba 25 millas por galón en la ciudad y 40 en carretera, según la publicidad. En un
viaje de negocios gastó 51 galones para recorrer 1800 millas. Si suponemos que el anuncio era correcto ¿Cuántas millas recorrió en la
ciudad?
46. Se dispara un proyectil horizontalmente hacia un blanco y el sonido
del impacto se escucha 1.5 segundos después de haberlo lanzado. Si la velocidad del proyectil es de 3,300 pies/seg. Y la velocidad del
sonido es de 1100 pies/seg. ¿A qué distancia se halla el blanco?
47. Qué cantidad de agua debe evaporarse de una solución de 500 gramos de agua con una concentración del 6% sal, para que la
solución resultante que quede tenga 15% de sal?
48. Un químico tiene dos soluciones de ácido. La primera tiene 20% y la segunda 35%. ¿Cuántos ml de cada solución debe mezclar para
obtener 50 ml de solución con 30% de ácido?
3.2 ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO O CUADRÁTICAS
La ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0
Para resolver estas ecuaciones utilizaremos tres métodos; la primera de ellas es por medio de factorización, la segunda por completación al
cuadrado y la tercera pro fórmula general o de Vieta.
3.2.1 SOLUCION DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN
Resolver por factorización x2 – 3x + 2 = 0
Como es un trinomio que no tiene número la x2, procedemos a escribir
los dos paréntesis y escribir la raíz cuadrada de la x2 en el lado izquierdo de los dos paréntesis, escribimos en el primer paréntesis el mismo signo
del segundo término, en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos y buscamos dos factores del dos que al sumarse den 3
Tercera unidad: Ecuaciones
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164
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2)(x – 1) = 0
Luego igualamos cada paréntesis a cero, puesto que cualquier cantidad, para que su producto sea cero, se tiene que multiplicar por cero.
x – 2 = 0 x – 1 = 0
Y despejamos la x en las dos ecuaciones
Quedándonos x = 2 y x = 1
A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. Analícelos y si
tiene alguna duda, puede consultar con su profesor.
1) 0126 2 xx 2) 1582 xx
(2x + 3)(3x – 4) =0 (x – 5)(x – 3) =0
2x = – 3 3x = 4 x = 5 x = 3
2
31 x
3
42 x
3) 0144 2 xx 4) 01072 xx
(4x – 7)(x + 2) = 0 (x – 5)(x – 2) = 0 (4x – 7) = 0 (x + 2) = 0 x – 5 = 0 x – 2 =
0
4
71 x x2 = – 2 x1 = 5
x 2 = 2
5) 2x -10x + 24=0 6) 2x – 2x – 35 = 0
(x – 6)(x – 4) = 0 (x – 7)(x +
5) = 0
x – 6 = 0 x-4=0 x + 5 = 0 x –7 = 0
x1 = 6 x2 = 4 x = – 5 x = 7
7) 012815 2 xx
(3x – 2)(5x + 6) = 0 3x – 2 = 0 5x + 6 = 0
3x = 2 5x = – 6
3
2x
5
6x
Matemática cuarto
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165
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones:
1) x2 + 8x + 15 = 0
2) x2 + 6x + 8 = 0
3) x2 + x – 12 = 0
4) x2 – 2x – 3 = 0
5) x2 + 4x – 12 = 0
6) x2 – 13x + 42 = 0
7) x2 – 4x + 3 = 0
8) x2 – 12x + 36 = 0
9) x2 – 2x + 1 = 0
10) x2 14x + 49 = 0
11) x2 – 4 = 0
12) x2 – 9 = 0
13) x2 – 16 = 0
14) x2 – 2 = 0
15) 2x2 + 7x + 3 = 0
16) 3x2 + 10x – 8 = 0
17) 4x2 – 5x – 6 = 0
18) 2x2 – 12x + 18 = 0
19) 5x2 – 11x + 2 = 0
20) 6x2 + 4x – 2 = 0
21) 4 – 9m2 = 0
22) 9m2 + 6m + 1 = 0
23) 6x2 – 5x + 1 = 0
24) 6x2 – 5x – 6 = 0
25) 3x2 – 18x + 27 = 0
26) 3x2+ x = 0
27) 2x2 – 3x = 0
28) 3x2 + 5x = 0
29) x2 = 16
30) 4x2 = 25
3.2.2 COMPLETACIÓN AL CUADRADO
Tercera unidad: Ecuaciones
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166
Para completar al cuadrado, únicamente deben tomarse los términos que tienen la x, o sea la incógnita, por ejemplo
Dada la expresión x2 + 6x + 5.
Para completar al cuadrado, solamente tomamos x2 + 6x
El coeficiente del segundo término lo dividimos por dos y el resultado lo elevamos al cuadrado.
x2 + 6x + 9 y con esto ya completamos un trinomio cuadrado perfecto.
Cuando tenemos que completar una expresión que no sea divisible exactamente por dos, no escribimos decimales sino que dejamos la
fracción y esta la elevamos al cuadrado.
x2 – 5x + 6
Al dividir el 5 entre 2, no se puede, entonces nos quedaría 2
5, y aunque
no deben escribirse, se elevan al cuadrado y este será el tercer término
para completar el trinomio cuadrado perfecto.
4
2552 xx . Luego este trinomio se factoriza y nos queda
2
2
5
x
Ejercicio:
Completar al cuadrado y factorizar.
1) x2 + 4x 2) x2 + 8x 3) x2 – 10x
4) x2 – 12x 5) x2 + 3x 6) x2 – 5x
7) x2 – x 8) x2 – 2x 9) x2 – 7x
10) xx3
42 11) xx5
62 12) xx5
12
Matemática cuarto
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167
13) xx4
32 14) xx5
22 15) xx3
52
16) 2x2 + 4x 17) 3x2 – 6x 18) 4x2 + 12x
19) 3x2+ x 20) 2x2 – 3x 21) 3x2 + 5x
Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadráticas por
Completación al cuadrado, se procede de la siguiente manera:
Resolver la ecuación x2 – 5x + 6 = 0.
Primero dejamos de un solo lado los términos que tienen x.
x2 – 5x = – 6
Luego completamos al cuadrado
4
256
4
2552 xx
Los 4
25 que salieron de completar al cuadrado, como se sumaron en un
lado, también se suman en el otro para que la ecuación no cambie y
luego se resuelve.
4
2524
2
52
x
4
1
2
52
x
4
1
2
5x
2
1
2
5x
2
1
2
5x
Luego separamos para encontrar los valores que puede tener la x
Tercera unidad: Ecuaciones
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168
32
6
2
1
2
51 x 2
2
4
2
1
2
52 x
Entonces la x puede valer 3 o 2.
Ejemplo 1 Resolver por Completación al cuadrado
2x + 4x + 4 = 0 2x -8x+16=0
Como el objetivo es formar un trinomio cuadrado perfecto, en estos casos no hay nada qué hacer para completar porque ya son trinomios
cuadrados perfectos, solamente los factorizamos
0)2( 2 x 0)4( 2 x
x + 2= 0 x – 4 = 0
x = – 2 x = 4
Ejemplo 2 Resolver por completación al cuadrado
a) 01522 xx b) 0862 xx
Solución:
Procedemos a dejar de un solo lado las x para completar a cuadrado 2x – 2x = 15 98962 xx 2x – 2x + 1 = 15 + 1 1)3( 2 x
16)1( 2 x 13 x
161x 13x
41
41
x
x
2
213
1
1
x
x
5
41
1
1
x
x
4
413
2
2
x
x
3412 x
32 x
A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. Analícelos y si aún tiene dudas, resuélvalas con su profesor.
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169
1) 2x +20x + 51 = 0 2) 2x + 20x + 36=0
2x +20x = – 51 2x +20x = – 36 2x +20x+100= – 51 + 100 2x +20x +100= – 36 +100
49102x 64)10( 2 x
x + 10= 49 x + 10= 64
x +10 = 7 x + 10= 8
x = – 10 7 x = – 10 8
17
17710
3
3710
2
2
1
1
x
x
x
x
18
18810
2
2810
2
2
1
1
x
x
x
x
3) 02156 2 aa
6
21
6
5
6
6 2
aa
144
25
2
7
144
25
6
52 aa
144
25504
12
52
a
144
529
12
52
a
144
529
12
5a
12
5a =
12
23
2
3
12
18
12
235
12
23
12
5
12
23
12
5
1
1
1
1
a
a
a
a
a
3
7
12
28
12
235
12
23
12
5
2
2
2
2
a
a
a
a
PROBLEMAS PROPUESTOS
Tercera unidad: Ecuaciones
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170
Resolver por completación al cuadrado
1) x2 + 4x – 9 = 0
2) x2 + 8x + 7 = 0
3) x2 – 10x –11 = 0
4) x2 – 12x + 11 = 0
5) x2 + 3x 04
5
6) x2 – 5x + 04
9
7) x2 – x 04
3
8) x2 – 2x –5 = 0
9) x2 – 7x + 4
13
10) 2x2 + 4x - 16 = 0
11) 3x2 – 18x – 21 = 0
12) 4x2 + 12x – 81 = 0
13) 3x2+ x = 6
14) 2x2 – 3x = 12
15) 3x2 + 5x = 15
3.2.3 FÓRMULA CUADRÁTICA O DE VIETA
La fórmula general o de Vieta, se obtiene de resolver la ecuación cuadrática por la Completación al cuadrado
ax2 + bx + c = 0
Principiamos por pasar la c hacia el otro lado, para dejar sólo los
términos que contienen la variable x
ax2 + bx = -c
Luego tratamos de eliminar la a que tiene la x2, dividiendo todo el
término por ella
a
c
a
bx
a
ax
2
Matemática cuarto
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171
y nos queda a
cx
a
bx 2
Luego completamos al cuadrado 2
2
2
22
44 a
b
a
c
a
bx
a
bx
Factorizando del lado izquierdo y sumando los términos del lado derecho obtenemos
2
22
4
4
2 a
bacbx
Despejando 2
2
4
4
2 a
bacbx
Como dentro de la raíz tiene raíz cuadrada el 4 y la a2, se sacan y se
obtiene
a
acbbx
2
4
2
2
Luego buscando denominador común que es 2a,
a
acbbx
2
42
Como la ecuación de segundo grado o cuadrática tiene la siguiente
forma: 02 cbxax , no la vamos a estar resolviendo en cada vez
(Esto equivaldría a resolver las ecuaciones siempre por completación al cuadrado), a, b y c son los números que tiene la
ecuación; a es el número que tiene la x2, b es el número que tiene la x y
c es el término independiente, es decir, el número que no tiene letra.
a
acbbx
2
42
Ejemplo 1:
Resolver por fórmula cuadrática x2 – 3x + 2 = 0
SOLUCIÓN:
Tercera unidad: Ecuaciones
Centro Educativo Kinal
172
Como se puede observar el número que acompaña a la “x2” es el 1, el
que acompaña a la “x” es el –3 y el término independiente es 2, se les da su nombre respectivo:
a = 1, b = -3, c= 2
Hemos escrito cada número con su respectivo signo, ahora lo que
corresponde es colocarlos en la fórmula:
a
acbbx
2
42
)1(2
)2)(1(4)3(3 2 x
El –b indica que se debe cambiar el signo que tenga el valor de b, por lo
tanto, el signo del –3 pasa a ser +3 y adentro del radical se opera el –3 al cuadrado dando como resultado 9 positivo porque todo número
negativo elevado a exponente par da positivo, luego operamos –4 por 1 por 2, y por ley de signos menos del cuatro por más del uno, da menos
y luego este menos por el más del dos da nuevamente menos colocamos menos y multiplicamos los números 4 * 1 * 2 y el resultado es
8, y luego multiplicamos el denominador que es 2 por 1, dando como
resultado 2 y al final lo escribimos de la siguiente manera:
2
893 x
Ahora operamos lo que quedó dentro del radical y le sacamos raíz cuadrada
2
13x
2
13x
El signo quiere decir que al tres le tenemos que sumar y restar el uno
y luego el resultado se divide entre dos, a continuación se mostrará
como se trabaja:
22
4
2
131
x
12
2
2
132
x
En una ecuación cuadrática siempre quedarán dos resultados para “x”
con los cuales se cumple la igualdad, en este caso que es cero siempre.
Matemática cuarto
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173
Ahora, al sustituir en la ecuación los resultados encontrados para equis
nos dará cero la igualdad.
x2 – 3x + 2 = 0
(Sustituyendo (2)2 – 3(2) + 2=0
x = 2 4 – 6 + 2 = 0
0 = 0
Como podemos observar se cumple la igualdad, ahora hagámoslo con 1
(Sustituyendo (1)2 – 3(1) + 2 = 0
x = 1 1 – 3 + 2 = 0
0 = 0
También se cumple la igualdad.
Ejemplo 2:
11x2 + 10x - 1 = 0
Solución
1ro. Tomamos nuestros valores a, b, c.
a= 11, b= 10, c=-1
2do. Colocamos los valores en la fórmula
)11(2
)1)(11(41010 2 x
3ro. Ahora operamos lo que está indicado
Tercera unidad: Ecuaciones
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174
22
4410010 x
22
14410 x
22
1210 x
4to. Como tenemos un signo operamos los resultados una vez
sumándolos y otra vez restándolos y obtendremos los dos resultados
para la equis.
11
1
22
2
22
12101
x 1
22
22
22
12102
x
PROBLEMAS RESUELTOS POR FORMULA GENERAL
a
acbbx
2
42
02422 xx 02422 xx
)1(2
)24)(1(4)2(2 2 x
)1(2
)24)(1(4)2(2 2 x
2
9642 x
2
9642 x
2
922 x
2
1002 x
Como la raíz cuadrada quedó x= 62
12
2
102
Negativa, no tiene solución en los 42
8
2
102
x
Números reales.
Matemática cuarto
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175
EJERCICIO:
Resolver por fórmula cuadrática las siguientes ecuaciones
1) 3x2 + 8x – 16 = 0
2) 5x2 + 24x – 5 = 0
3) 4x2 – 4x – 3 = 0
4) 6x2 + 8x – 8 = 0
5) 8x2 + 6x – 5 = 0
6) 8x2 – 22x – 21 = 0
7) 10x2 – 3x – 1 = 0
8) 48x2 – 58x + 15 = 0
9) 12x2 + 12x – 9 = 0
10) x2 + 2x – 3 = 0
11) x2 – x – 12 = 0
12) x2 + 14 = 15x
13) x2 = x + 72
14) x2 + 3x + 5 = 0
15) x2 + 8 = -4x
16) 3x2 + 5x = 0
17) 2x2 = 1 + x
18) 3x2 = 32 + 20x
19) 4x2 + 24 = 35x
20) 6x – x
4 = 5
21) 2
x + 1 =
x
1
22) 4x – 2
7
x = 6
23) 5x + 4
21
x = 6
24) x32
7
= 3x + 8
Tercera unidad: Ecuaciones
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176
25) 1
2
x = 3x – 2
26) 11
4
2
4
xx
27) 12
4
1
2
xx
x
28) 112
3
13
2
xx
x
29) 53
24
2
1
xx
30) 2
34
x
x
x
x
Matemática cuarto
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177
3.2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
1) Un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rectangulares y
una altura de 3 m es construido con un costo de Q 2,240.00 de
material. Si el material para el fondo cuesta Q. 50.00 por m2 y el material de los lados tiene un costo de Q.30.00 por m2. ¿Cuál
deberá ser el volumen del depósito?
2) Se desea hacer un depósito abierto con fondo cuadrado, lados
rectangulares y una altura de 4 metros para guardar granos de una cosecha. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del mismo si se
sabe que el material para el fondo cuesta Q.150.00 por metro cuadrado y el material para los lados cuesta Q.120.00 por metro
cuadrado y se cuenta con Q. 7110.00 para el material
3) Se desea cercar un terreno cuyo largo es el cuádruplo de su
ancho. Encuentre sus dimensiones su el perímetro es de 100 metros
4) Hallar las dimensiones de un rectángulo cuyo largo es el triple de su ancho y su perímetro mide 80 metros.
5) Un rectángulo que su ancho mide 6 centímetros menos que su
largo tiene una superficie de 135 cm2. Encuentre sus dimensiones.
6) Encuentre las dimensiones de un rectángulo que su longitud tiene 3 cm más que se ancho y de superficie tiene 270 cm2
7) Una página de 144 cm2 de región impresa tiene un margen de 4.5 cm en las partes superior e inferior de la hoja y un margen
de 2 cm en los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la página, si su ancho es cuatro novenos de su longitud?
8) En una página cuya longitud tiene 2 pulgadas más que su ancho
se imprime un paisaje de 63 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones de la página si el margen superior debe ser igual al
de los lados, de 2 pulgadas. El margen inferior, el cual servirá para poner los datos del alumno, debe quedar de 6 pulgadas.
9) Se desea usar una hoja de papel de 24 pulg x 36 pulg para un cartel rectangular cuyo largo sea vertical. Los márgenes a los
lados y en la parte superior deben tener igual anchura, pero el margen inferior debe tener doble anchura que los demás. Calcule
Tercera unidad: Ecuaciones
Centro Educativo Kinal
178
el ancho de los márgenes, si el área impresa debe tener 661.5 pulg2.
10) Un parque de forma rectangular con dimensiones de 60 m por
100 m contiene un jardín rectangular limitado por una banqueta de ancho uniforme. Si el área del jardín es la mitad del área del
parque, ¿cuál es el ancho de la banqueta?
11) Cuál es el ancho de la faja alrededor de un terreno de 100m de largo por 60 m de ancho que deberá ser asfaltada para que esta
parte corresponda a las dos terceras partes del área del terreno?
12) Una sección rectangular de terreno cuyas dimensiones son 26 por 30 pies, está rodeada por una acera de ancho uniforme. El
área de la acera es 240 pies2. ¿Cuál es el ancho de esa acera?
13) A un jardín cuyas dimensiones son 26 por 30 metros se le quiere
hacer una acera de ancho uniforme alrededor, pero dentro de sus dimensiones, para convertirlo en parque. Si el área de la
acera debe ser de 240 m2 ¿Cuál deberá ser el ancho de dicha
acera?
14) Se debe fabricar una caja sin tapa, cortando cuadrados de 3 pulg de lado en las esquinas de una lámina rectangular de estaño,
cuya longitud sea el doble de su ancho. ¿ Qué tamaño de lámina daría como resultado una caja que tenga un volumen de 60
pulg3? 15) Un terreno cuadrado se va a cercar. Si la cerca cuesta Q.25.00
por metro y el costo de preparar el terreno es 10 por m2, calcule el tamaño del terreno si el gasto total es deQ.15,750.00.
16) Un campesino proyecta cercar un terreno rectangular,
aprovechando parte de su granero como uno de los lados, y cercando los otros tres. Si el lado paralelo al granero debe tener
doble longitud que la de sus lados adyacentes, y el área del
terreno debe ser 128 pies2, ¿cuántos pies de cerca debe comprar?
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179
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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180
Matemática cuarto
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181
OBJETIVOS
Conocer: Unidad imaginario, número complejo, parte real y parte
imaginaria Hallar el conjugado de un complejo
Efectuar operaciones básicas algebraicas con números complejos Reconocer la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones
Reconocer cuando y porqué las inecuaciones son abiertas o cerradas
Escribir enunciados verbales en forma de inecuaciones
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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182
4.1 NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos describen la suma de un número real y un
número imaginario, que se indica con la letra i. Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la
física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad
para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es el número imaginario. Estos números se pueden
sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica
de las llamadas cuerpo en matemáticas.
La base principal de los números complejos es que i2 es – 1, para poder obtener la raíz par de cantidades negativas. Por ejemplo
Resolver 9 , en los números reales sabemos que cualquier número
negativo no tiene raíz cuadrada, pero para pasar al campo de los
números complejos, trabajaremos de la siguiente forma:
Como sabemos que i2 = – 1, podemos multiplicar ( – 9)( – 1) para que nos dé +9 y a este resultado le podemos sacar la raíz cuadrada, pero
multiplicamos por i2
ii 39 2
A continuación presento una tabla con los resultados que quedan dependiendo del exponente que tenga i. La explicación que daré es la
siguiente: El exponente me indicará si queda i o queda uno, tomando en cuenta lo
siguiente: 1) Si el exponente de la i es par, no queda i sino 1
i = i Porque el exponente es 1 (impar) i2 = 1 porque el exponente es par
i3 = i porque el exponente es impar i4 = 1 porque el exponente es par
así mismo el signo que resulte después de ver si queda i o 1
2) El exponente que queda tiene que ser par y al dividirlo entre 2.
a) si el resultado es par, queda signo más b) Si el resultado es impar, queda signo menos
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183
Por ejemplo: i12 sabemos que no queda i sino 1 por ser el exponente par. dividimos 12 entre 2 y el resultado es 6, como
también este resultado es par el signo es positivo i12 = +1
i14 Nuevamente vemos que no queda i por ser exponente par. Al dividir 14 entre 2, el resultado es 7, impar, por lo tanto el resultado
es 1 y el signo es negativo
I14 = – 1
1) Si el exponente es par, el resultado será uno i12 = 1
i14 = – 1
2) Si el exponente es impar, el resultado será i
i15 = – i i17 = i
4.1.1 Operaciones de Números Complejos
Suma de Números Complejos La suma de números complejos se efectúa exactamente igual que
la de expresiones algebraicas, reducción de términos semejantes, ejemplo
Ejemplos: Resolver las siguientes operaciones y escribir la respuesta de
la forma a + bi
1) ( – 5 + 7i) + (4 + 9i)
– 5 + 7i + 4 + 9i = – 1 + 16i
2) (– 3 + 8i) – (2 + 3i)
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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184
Multiplicación de Números Complejos 3) ( – 2 + 6i)(8 – i)
División de Números Complejos Para dividir números complejos se procede de igual forma que para
racionalizar, ya que en la racionalización el objetivo es eliminar radicales, en la división de números complejos es eliminar la i del
denominador. En el siguiente ejercicio podemos multiplicar solamente por i para eliminarla porque al ser i2 se convierte en – 1
4) i
i
2
62
iii
i
ii
i
i
i
i
3
2
2
2
6
2
62
2
62*
2
622
2
5) 42
3
i
Como ahora tenemos como divisor una resta, multiplicamos por el
conjugado para completar una diferencia de cuadrados
13
6
13
9
13
96
94
96
94
96
32
32*
32
32
iii
i
i
i
i
i
i13
6
13
9
Ejercicios
Resolver las siguientes operaciones de números complejos y escribir la respuesta en forma a+b î .
1) (4 – 2i) + (2 – i)
2) (5 + 4i) + (1 – 5i) 3) (2 + i) – (4 + 3i)
4) (1 + 7i) – ( – 4 – 7i)
5) îî 9494
6) îî 55
7) î72
5
8) î
î
5
24
9) ³)²5( îîî
10) ²³4îî
11) ( 2 + 4i)2
12) (5 – 4i)2
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185
13) (1 + 2i)3 14) (3 + 2i)3
15) )4
12
i
i
16) i
i
53
3
17) 9234
18) )166)(11(
19) 928
20) 368253
21) 251
1215
22) 23
1
23) 32
23
i
4.2 ECUACIONES DE OTROS TIPOS
Se llama ecuaciones de otros tipos porque tienen valor absoluto,
radicales, exponentes de grado mayor que dos, exponentes negativos o
exponentes racionales.
Resolver correctamente las siguientes ecuaciones y verificar que las
respuestas sean solución.
Ejemplo
Encontrar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones
1) 43 x 2) 51252 x
Solución:
Cuando tenemos ecuaciones de valor absoluto, como sabemos que el
resultado del valor absoluto de cualquier número, después de sacarlo
del signo de valor absoluto, ya sea positivo o negativo, siempre será
positivo. En el caso 1), lo que se encuentra dentro del símbolo
de valor absoluto puede ser 4 o – 4, ya que 44 , asimismo
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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186
44 y en el caso 2) se tiene que despejar el valor absoluto para
determinar qué número puede ser el resultado del valor absoluto.
Para el caso 1 puede resolverse directamente la ecuación de la siguiente
manera:
escribimos el mismo número del lado izquierdo con signo negativo,
luego el signo igual y a continuación lo que se encuentra dentro del
valor absoluto pero ya sin el símbolo en seguida el signo igual y al final
el mismo número y despejamos la variable debiendo transponer los
números a los dos lados
1)
En el ejercicio 2) tenemos que despejar primero el valor absoluto y
luego hacemos lo mismo que en el ejemplo 1
2)
)5
1,1(
5
11
5
1
5
5
x
x
x
155
23523
3253
325
2625
6252
15252
51252
x
x
x
x
x
x
x
x
)7,1(
71
3434
434
43
x
x
x
x
x
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187
A continuación encontrará varios ejercicios resueltos para que los
estudie; si le quedan dudas, consúltelas con su profesor
4) 3x3 – 4x2 – 27x + 36 = 0 5)
(3x3 – 4x2) – (27x – 36) = 0
X2(3x – 4) – 9(3x – 4) = 0
(3x – 4)(x2 – 9) = 0
(3x – 4)(x + 3)(x – 3)= 0
3x – 4 = 0 x + 3 = 0 x – 3 = 0
3
4x 3x x = 3
6)
5
7
0)5)(7(
0352
xu
0352
2
1-
12
u
u
uu
uu
xx
7)
2
02
3
2
23
023
0)2)(23(
0443
0443
2
3
1
3
1
3
2
u
u
u
u
u
uu
uu
xu
xx
5
9
5
9
95
185
851
)2()51(
251
0512
333
3
3
t
t
t
t
t
t
t
t
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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188
7
1
17
1
1
x
x
xu
xu
5
1
15
1
x
x
xu
29
8
3
2
3
2
33
3
3
x
x
x
8
)2(
2
2
3
3
3
1
x
x
x
x
Ejemplo 8
Un transbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una
isla que dista 7 millas de aquella y está a 3 millas en línea recta de la
playa. El transbordador navega a lo largo de la playa hasta un punto y
luego avanza directamente hacia la isla. Si el transbordador navega a 12
millas por hora a lo largo de la playa y a 10 millas por hora cuando se
interna en el mar, determina las rutas que tienen un tiempo de recorrido
de 45 minutos.
Solución: denotemos con x la distancia recorrida a lo largo de la playa
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189
La distancia que recorrió se encuentra marcada con azul, que es x y d
222 3)7( xd
d2 = 49 – 14x +x2+ 9
d2 = x2 – 14x +58
d = 58142 xx
22
2
2
2
2
54558146
54558146
60
45581465
4
3
10
5814
12
min451012
xxx
xxx
xxx
xxx
dx
)11(2
)63)(11(4)54(54
0635411
0202545025208850436
254502025)5814(36
2
2
22
22
x
xx
xxxx
xxxx
22
66
22
1254
22
1254
22
14454
22
2772291654
1
x
x
x
x
31 x
22
42
22
12542
x
11
212 x
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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190
Al comprobarlo en la ecuación original podemos verificar que existen dos
rutas, una cuando haya avanzado 3 millas paralelas a la playa y la otra
11
21 millas 1.9 millas, antes de cruzar hacia la isla.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones.
1) 32 x
2) 513 x
3) 7352 x
4) 134 x
5) 2 535 x
6) 3 6515 x
7) 35 x
8) 74 x
9) 35 x
10) 74 x
11) 232 x
12) 352 x
13) 6 xx
14) xx 6
15) 173 xx
16) xx 142
17) 15 xx
18) 01212 xx
19) 716 xx
20) 116 xx
21) 0843 x
22) 3x3- 4x2- 27x+ 36= 0
23) 9x3- 18x2- 4x+ 8=
24) 2
1
2
3
xx
25) 03
1
3
2
xx )
26) yy 33
2
27) 36U2- 13U+ 1=0
28) 0443 3
1
3
2
xx
29) 0132 6
1
3
1
yy
30) 0113x36x 24
31) 0613u6u 4
1
2
1
32) 081t
2t
1t
t2
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191
4.3 DESIGUALDADES LINEALES CON UNA
VARIABLE
O
INECUACIONES
Una ecuación es una igualdad.
Una inecuación es una desigualdad.
Iniciaremos nuestro curso escribiendo enunciados verbales como
desigualdades matemáticas
Exprese los siguientes enunciados en forma de desigualdad.
1. b es positivo. b > 0
2. s no es negativo.
s > 0
3. w es mayor o igual a – 4 .
w > – 4
4. c está entre 5
1 y
3
1.
3
1 > c >
5
1
5. p no es menor o igual que -2.
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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192
p < – 2
6. El negativo de m no es menor que -2.
– m > – 2
7. El cociente de r y s es por lo menos 5
1.
s
r >
5
1
8. El recíproco de m es cuando mucho 14.
m
1<14
9. El valor absoluto de x es menor que 4.
x < 4.
10. x debe ser por lo menos 60.
x > 60 11) Si x representa la edad de una persona,
a) escriba como desigualdad y como un intervalo que sea menor de
edad.
b) De la misma forma que sea mayor de edad.
a) Como la edad de una persona puede ser cero si no tiene ni un
año, el cero está incluido pero el 18 no, porque al tener 18 años
ya no es menor de edad , entonces debemos escribir la
desigualdad y el intervalo cerrados en cero porque lo incluye y
abierta en 18 porque no lo incluye.
El menor o igual o mayor o igual incluye al número, por lo
tanto se dice que es cerrado, el mayor o menor no lo
incluyen, estos se dice que son abiertos .
El corchete también incluye al número, por lo tanto también
es cerrado; el paréntesis indica que es abierto.
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193
Desigualdad: 180 x
Intervalo: [0,18)
b) Como los mayores de edad deben tener 18 años o más
Desigualdad: 18x
Intervalo: [18,)
Aunque nadie vive hasta el infinito, debe escribirse de esta forma
porque no se sabe hasta que edad específicamente vive una
persona.
Exprese las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su
grafica.
1) 5x
Como nos piden que escribamos como intervalos y en forma gráfica,
primero dibujemos la gráfica y de ella obtenemos el intervalo.
x representa cualquier número
Entonces al hacer la recta numérica, localizamos el 5 y decimos:
números que sean menores que el 5 y luego pensamos que son los que
tiene a su izquierda y señalamos con la flecha hacia la izquerda.
Nota: Cualquier número es mayor que los que tiene a su
izquierda y es menor que los que tiene a su derecha.
Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va
desde el infinito y termina en 5, pero como nos indican también el igual,
es cerrado en este punto.
(- ,5]
2) 3x
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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194
Trazamos la recta numérica y localizamos el -3 y decimos: números que
sean mayores que el -3 y luego pensamos que son los que tiene a su
derecha y señalamos con la flecha hacia la derecha.
Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va
desde el -3 hacia el infinito porque no hay otro punto indicado. Como
ahora solamente nos indican mayor que el 3, el número no está incluido
es, por lo tanto, el intervalo abierto.
(-3,)
3) 3x
Ahora nos indican que el valor absoluto de los números, que son los
valores que puede adquirir x, tienen que ser mayores que 3.
Para resolver desigualdades de valor absoluto, sabemos que escribimos
el número, si es positivo, del lado izquierdo con signo negativo y luego
resolvemos la desigualdad para encontrar los valores de la x. Esto lo
aprendimos en ecuaciones de otros tipos.
-3 > x > 3
),3()3,(
En este caso es unido porque cualquier valor negativo, el valor absoluto
lo vuelve positivo, por ejemplo, el valor absoluto de – 4 es 4 y por lo
tanto es mayor que el 3
4) 3x
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195
R// Todos los números reales Porque como es valor absoluto, cualquier
número será mayor que el menos 3
5) 3x
En este caso no tiene solución puesto que cualquier número que salga del valor
absoluto será positivo, por lo tanto no puede ser menor que un número negativo.
6) 53 x
Como menos 3 es menor que x, la flecha se dirige hacia la derecha
porque está indicando de cuales números es menor el -3.
En el siguiente, como los números desconocidos representan la x y estos
son menores que el 5, la flecha señala hacia la izquierda y el intervalo
en el cual quedan las dos flechas es de -3 hasta 5, por lo tanto el
intervalo es:
[-3,5)
6) 51 x
No hay solución puesto que el 1 es mayor que los números
“x” y el 1 es mayor que todos los que tiene a su izquierda. Del otro lado
nos indica que los números desconocidos x son mayores que el 5 y
todos los números mayores que el 5 son todos los que están a su
derecha, entonces las flechas no se cruzan en ningún lado.
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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196
Nota: el único que es solución cuando las flechas no se cruzan
es el valor absoluto porque este símbolo los vuelve positivos.
7) 63 x
La solución es de 3 a 6, pues es el intervalo en donde se cruzan las
flechas. Por ejemplo, para comprobarlo se sustituye la x por alguno de
estos valores. Sustituyámoslo con 4, nos queda: 643 y es correcto
porque e es menor que el 4 y el 4 es menor que el 6, por lo tanto este
intervalo escrito como una desigualdad queda
(3,6]
8) Escriba como desigualdad el peso “w” de un luchador que debe
tener una diferencia máxima de 2 libras, respecto a 148 libras.
Solución: Como nos indican que su diferencia debe ser máxima de 2
libras, esto quiere decir que puede pesar 2 libras más o 2 libras menos.
Graficado nos quedaría
146 148 150
146 x 150
150146 x
Escribiéndolo como una desigualdad, la diferencia tiene que ser positiva,
por lo tanto se escribe como valor absoluto
150146
14822148
21482
2148
w
w
w
w
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197
A continuación le presento otros ejercicios resueltos pero ya sin
explicación. Si al observarlos le queda duda, consulte con su profesor.
Exprese el intervalo en forma de desigualdad
1) [0,4) 2) (3,6[ 3) (3,7)
40 x 63 x 73 x
4) ( ,2] 5) (-3,∞)
2x x >-3
Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones como
intervalos.
Para resolver desigualdades de esta forma, se procede igual que en las
ecuaciones, despejando la x pero si el coeficiente de la variable queda
negativo, se cambian todos los signos incluyendo el mayor o menor.
Ejercicios: Escriba las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su gráfica
1) 3x 2) 5x 3) 3x
4) 5x 5) 51 x 6) 3x
Exprese el intervalo en forma de desigualdad 1) [0,2) 2) 6] (-2, 3) 6[ (1,
4) 7) (1, 5) ) (3, 6) 5(-
Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones en términos de intervalos
1) 32 x 2) 513 x
3) 7352 x 4) 134 x
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198
5) 2 535 x 6) 3 6515 x
7) 642 x 8) 11< 23 x
9) 3x – 1 > x – 3 10) 5x + 2 > 6x – 1
11) 4 < 2x < 8 12) 6 > x + 3 > 12
15) 03
44< 2
x 16) 4 - >
3
5310
x
17) 05
2
x 18) 0
1
3
x
19) 04
1
x 20) 0
52
3
x
21) 02
3
x 22) 615 x
23) 7123 x 24) 2426 x
25) 33312 x 26) 615 x
27) 7123 x 28) 2426 x
29) 33312 x 30) 615 x
4.4 MAS SOBRE DESIGUALDADES Resolver las siguientes desigualdades utilizando tabla para encontrar
los intervalos.
1. 053 xx
Igualamos cada factor a cero y despejamos la x para encontrar los
intervalos x + 3 = 0 x – 5 = 0
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199
x = – 3 x = 5
Luego localizamos en una recta numérica estos valores para identificar los intervalos. El primer intervalo principia en menos
infinito y termina en el primer valor localizado en la recta numérica; luego los demás intervalos están de punto a punto. En este caso el
primer intervalo está desde hasta – 3 , el segundo intervalo
está desde – 3 hasta 5 y como no hay más puntos, el último intervalo está del último punto hasta el infinito positivo, es decir,
desde 5 hasta
En la tabla, los intervalos se escriben en la fila de arriba y en la
columna del lado izquierdo se escriben los factores
3, 5,3 ,5
3x 5x
Luego sustituimos en los factores, específicamente en donde está la
x, con un valor que pertenezca al intervalo y en el cuadro escribimos el signo que nos quede.
Por ejemplo, en el primer intervalo podemos tomar el – 4 y
sustituirlo en los factores
x + 3 = – 4 + 3 = – 1 y escribimos el signo que nos queda
3, 5,3 ,5
3x - 5x
Luego en el otro factor hacemos lo mismo y escribimos el signo en su casilla correspondiente
x – 5 = – 4 – 5 = – 9
3, 5,3 ,5
3x -
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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200
5x -
Hacemos lo mismo con los otros intervalos y escribimos el signo que queda en las operaciones y cuando ya está llena la tabla de los
signos encontrados, hacemos la ley de signos y el signo resultante lo
escribimos en la fila de abajo y este nos indica qué signo quedará en las operaciones efectuadas en cada intervalo, en la desigualdad
original.
3, 5,3 ,5
3x - + +
5x - - + signosdeLey + - +
Como en la inecuación nos dicen que el resultado tiene que ser mayor que cero, esto significa que el resultado tiene que ser positivo
y los intervalos que nos da el resultado positivo es de 3, y luego
de ,5 , entonces la solución es
),53,(: USolución
A continuación encontrará otros ejercicios resueltos los que puede analizar, tratar de resolver y si no encuentra los resultados puede
consultar con su profesor.
2. 07432 xx
3
2,
4
7,
3
2 ,
4
7
x32 + - - 74 x - - +
signosdeLey - + -
4
7,
3
2:Solución
3. 0253 xxx
3, 2,3 5,2 ,5
5x - - - +
Matemática cuarto
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201
3x - + + +
2 x + + - - signosdeLey + - + -
),5()2,3(: USolución
4. 0342 xx
En este caso, como no nos dan la ecuación factorizada, debemos
factorizar para encontrar los factores que nos servirán y luego
procedemos de la misma forma que los que nos dieron factorizados. x2 + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
3, 1,3 ,1
3x - + +
1x - - + signosdeLey + - +
),13,(: USolución
5. 41742 xx
La inecuación debe ser mayor o menor que cero x2 – 4x – 17 – 4 0
x2 – 4x – 21 = 0 (x – 7)(x + 3) = 0
3, 7,3 ,7
7x - - + 3x - + +
signosdeLey + - +
7,3: Solución
6. 0)13( xx
Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades
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202
0,
3
1,0 ,
3
1
x - + +
13 x - - + signosdeLey + - +
3
1,0:Solución
7. 03232 23 xxx
1,
1,1
2
3,1 ,
2
3
32 x - - - + 1x - + + +
1x - - + + signosdeLey - + - +
2
3,11,(: USolución
8. 0)1)(2(
)2(2
xx
xx
2,
1,2 0,1
,0
2x + + + +
2x - + + + 2x - + + +
1x - - + + signosdeLey - - + +
),00,1(: USolución
Ejercicios Resuelva correctamente las siguientes desigualdades, luego encuentre
los soluciones utilizando la tabla.
1) x2 + 8x + 15 >0
2) x2 + 9x + 18 > 0
3) x2 + 15 + 50 < 0
4) x2 + 5x – 24 < 0
5) x2 + 3x – 4 > 0
6) x2 – 8x + 12 > 0
7) 3x2 – 13x – 10 < 0
8) 2x2 – 3x – 9 < 0
9) 5x2 + 18x – 8 ≥ 0
10) 6x2 + x – 5 ≥ 0
11) 2x2 + 13x – 7 ≥ 0
12) 7x2 – 44x + 12 ≥ 0
Matemática cuarto
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203
13) 6x2 – 7x – 20 ≤ 0
14) 12x2 – 5x – 2 ≤ 0
15) 10x2 – 9x > 9
16) 12x2 – 5x > 28
17) 09
)3)(1(2
2
x
xx
18) 0)1)(1(
)1()12( 2
xxx
xx
19) 0103
22
xx
x
20) 453
2
x
x
21) 1
3
2
1
xx
22) 6t3 > 7t2 + 3t
23) X4 – 13x2 + 36 < 0
24) X5 – 5x3 + 4x > 0
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205
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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206
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207
OBJETIVOS Identificar los elementos del plano cartesiano: ejes, origen,
ordenada, abscisa, puntos, coordenadas
Localizar puntos en el plano
Distinguir el cuadrante en que se encuentra un punto, conocida sus coordenadas
Trazar gráficas de ecuaciones Aplicar las coordenadas cartesianas para plantear y resolver
problemas Demostrar que puntos dados en el plano corresponden a
vértices de figuras geométricas
5.1 PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano no es más que dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el origen formando 4 cuadrantes. A la recta horizontal se le denomina eje x o eje de las abscisas; a la recta vertical se le denomina eje “y” o eje de las ordenadas. Al eje x también se le llama variable independiente y al eje “y” se le llama también variable dependiente. Los cuadrantes se enumeran como aparece en la siguiente figura en contra del movimiento de las agujas del reloj.
x
yxyx
IVIII
yxyx
III
y
),(),(
),(),(
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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208
Para acostumbrarnos a leer o identificar figuras en el plano, resolveremos los ejercicios que se plantean a continuación. Describa el conjunto de todos los puntos (x, y) en un plano de
coordenadas que satisfaga las condiciones dadas:
1. x=-2 es una línea recta vertical que cruza el eje x en -2
2. y=3 es una línea recta horizontal, que cruza el eje “y” en 3
3. x>0
Son todos los puntos en los cuadrantes 1 y 4
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209
4. xy>0 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 3
5. Y< 0
Es todo punto en los cuadrantes 3 y 4, debajo de x
6. X = 0 Es todo punto que está en el eje y
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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210
7. Y> 1 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 2 pero arriba de la línea
horizontal que atraviesa al eje “y” en 1
5.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para encontrar la distancia entre dos puntos existe la siguiente fórmula:
2
12
2
1221 )()( yyxxPPd
Ejemplo 1. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) Solución:
22
21 )58()32( PPd
22
21 )13()1( PPd
169121 PPd
17021 PPd
D = 13.04
Ejemplo 2. Grafique los puntos A(3,5) y B(-1, -2) y encuentre
la distancia entre ellos
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211
2
22
2
12 )()(x yyxd
22 )25()13( d
22 )7()4( d
4916d
65d
d: 8.06
5.3 FORMULA DE HERÓN La fórmula de Herón sirve para calcular el área de cualquier triángulo sin importar que sea rectángulo o no, basta con conocer la longitud de cada
lado. Esta fórmula es la siguiente:
))()(( csbsassA
En donde s es el semiperímetro del triángulo y a, b, c son los lados del mismo.
Semiperímetro es la mitad del perímetro del triángulo.
Ejemplo 3. Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,3) y
C(2,-3)
Solución:
Como no sabemos si es un triángulo rectángulo, encontramos entonces la
longitud de cada lado del triángulo a través de la distancia entre dos
puntos.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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212
22 )31()42( AB 22 )31()22( AC
22 )2()6( AB 22 4)4( AC
436AB 1616AC
40AB 32AC
32.6AB 66.5AC
22 )33()24( BC
22 62 BC
364BC
40BC
32.6BC
Ahora que ya tenemos la longitud de los tres lados, buscamos el semiperímetro
15.92
3.18
2
66.532.632.6
s
S=9.15
))()(( csbsassA
)32.615.9)(66.515.9)(32.615.9(15.9 A
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213
)83.2)(49.3)(83.2(15.9A
75.255A
A= 15.99 u2
Ejemplo 4. Graficar los puntos A: (-3, 6); B: (5, 1) y hallar la distancia entre ellos.
22 )16()53( d
22 5)8( d
2564d
89d
d: 9.43
Ejemplo 5. Demuestre que los puntos A: (-1, -3) B: (6, 1) C: (2, -5) son coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo y encuentre su área
22 )13()61( AB
22 )4()7( AB
1649 AB
65AB
22 )53()21( AC
22 2)3( AC
49 AC
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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214
13AC
22 )51()26( BC
22 64 BC
3616 BC
52BC
Para demostrar que es un triángulo rectángulo hay que hacerlo a través del teorema de Pitágoras que nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos
222 bac
En donde la hipotenusa es el lado más largo. En este caso el lado más
largo es 65AB
222
521365
65 = 13 + 52
65 = 65
Para encontrar el, como ya demostramos que sí es un triángulo
rectángulo, procedemos a multiplicar los catetos y el resultado lo dividimos entre 2
2
* hbA
2
52*13A
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215
2
676A
2
26A
A = 13u2
Ejemplo 6 Dados los puntos A(1,7); B(-3,2) y C(4, ½), demuestra que
C está en la mediatriz del segmento AB.
Solución: Para que un punto esté en la mediatriz de un segmento, este punto debe ser equidistante a los puntos extremos del segmento, por lo
tanto la distancia BCAC
2
2
2
2
222
2
3)7(
2
13)3(
)2/12()43()2/17()41(
4
205
4
205
4
949
4
1699
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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216
5.4 PUNTO MEDIO El punto medio de un segmento es el promedio de los puntos, su fórmula es:
2,
2
1212 yyxxM
Ejemplo 1. Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano.
Determine:
Coordenadas del punto medio M del segmento 21PP
Solución:
2
01,
2
31M
2
1,
2
2M
2
1,1M
En la figura adjunta se ilustra el segmento 21PP y los puntos pedidos
Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces: Encontrados estos puntos por separado nos quedarían:
2
1
2
01
2
yyy
12
31
2
xxx
21m
21m
Luego, las coordenadas del punto M son.
2
1,1M
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217
5.5 ECUACIÓN DE LA RECTA Para encontrar la ecuación de una recta necesitamos conocer la
pendiente y un punto por donde pasa
)( 11 xxmyy
Para encontrar la pendiente m, necesitamos conocer dos puntos por
donde pasa la recta.
La fórmula para encontrar la pendiente m es:
12
12
xx
yym
Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.
Solución: Como la fórmula para encontrar la pendiente m es:
12
12
xx
yym
21
13
m
3
2m
Ahora que ya tenemos la pendiente, podemos encontrar la ecuación a través de la siguiente fórmula:
)( 11 xxmyy
)1(3
23 xy
)1(2)3(3 xy
2293 xy
3y – 2x – 9 + 2 = 0
3y – 2x – 7 = 0
La ecuación debe quedar “y” en función de x, en este caso que nos
quedó negativa la x, cambiamos todos los signos que es equivalente a multiplicar la ecuación por – 1 y nos queda:
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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218
2x – 3y + 7 = 0
En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta L que pasa por
ellos.
Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en la ecuación x = 0,
2x – 3y + 7 = 0
2(0) – 3y + 7 = 0
- 3y = -7
3
7y
Ejemplo 2. Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes coordenados.
Solución:
En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea OHd la
distancia del origen a la recta.
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219
Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la
altura que cae sobre ella.
Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se
tiene: ABOHOAOB
Es decir, 22 badab de donde 22 ba
bad
EJERCICIOS:
1. Representar los siguientes puntos sobre un sistema de coordenadas rectangulares e identificar el cuadrante en que cae cada uno:
a) (1, 2)
b) (2, 4) c) (-1, 1)
d) -2, 3) e) (-3, -1)
f) (-5, -2) 2. a) ¿Cuál eje representa la ecuación x = 0?
b) ¿Cuál eje representa la ecuación y = 0?
3. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos:
a. (3, -2) y (9, 6)
b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4)
d. (5, -8) y (-7, 8)
4. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles
5. Demostrar que los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5) son vértices
de un triángulo isósceles.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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220
6. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10,
3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.
7. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son
vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área.
8. Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), C: (4, ½), demostrar
que C esta en la mediatriz del segmento A – B.
Mediatriz: línea recta que pasa por la mitad del un segmento y es
perpendicular al mismo, Para que un punto esté en la mediatriz, debe ser equidistante a los extremos
del segmento.
Equidistante: Que está a la misma distancia de los puntos dados 9. Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), encuentre el punto
medio del segmento AB y compare las distancias demostradas que d(AM) = d(BM)
10. Dados los puntos A: (2, 6), B: (2, 2), C: (-1, 2), demostrar que
son vértices de un triangulo rectángulo. Y hallar su área.
11. Si la pendiente de la recta que une los puntos:
a. A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1.
b. A(6, -1), y, B(10, Y1) es 3
2 , encontrar Y1.
12. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y
C(1,7).
a. Localizar los puntos medios de los lados. b. Localizar el punto de intersección de las medianas.
c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de
su longitud.
13. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el cuarto vértice.
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221
14. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3).
15. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos:
a. A(0, 0), B(9, 2) y C(1, 4) es rectángulo. b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo.
16. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2.
17. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son:
a. (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b. (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3)
c. (3, 4), (-2, 1) y (1, -5) d. (3, 6), (-2, 7) y (-1, -2)
18. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0,
3) y C(1, 2). a. Encuentre las ecuaciones de las medianas.
b. Encuentre las ecuaciones de las alturas. c. Encuentre las ecuaciones de las bisectrices interiores.
d. Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo.
e. Localice el baricentro, ortocentro, incentro y el circuncentro del triángulo.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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222
5.6 GRAFICAS DE ECUACIONES Aprenderemos a trazar la gráfica de las ecuaciones, sin hacer uso de la tabla, es decir, sabremos qué tipo de gráfica nos quedará
solamente con ver su ecuación.
Ejemplo 1: Trazar la gráfica de
23 xy
Cuando tenemos una ecuación en la cual ninguna de las variables tiene
exponente, esta gráfica corresponderá a una línea recta. En donde el número que está solo, sin letra o sea el término independiente, me
indicará el lugar por donde atraviesa al eje “y” y el número que tiene la x, indicará la pendiente.
En este caso, el 2 indica la intersección en el eje “y” y el 3 es la pendiente, esto indica que por cada x que se avance, en el eje “y”
subirá 3 por ser el 3 positivo.
Ejemplo 2: Trazar la gráfica de 12 xy
Intersección en 1y
Pendiente – 2
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223
Ejemplo 3: Trazar la gráfica de 23
2 xy
Intersección en el eje “y” = – 2
Pendiente 3
2
Podemos hacer dos cosas con esta ecuación:
1 alejarnos 1 del punto de intersección con el eje “y” y bajar 3
2
Por tener signo negativo 2 Avanzar 3 en el eje x y bajar 2 en el eje “y”
Nota: En el eje x siempre avanzamos sin importar el signo que tenga la pendiente, este servirá para el eje “y”.
Avanzar en el eje x es ir siempre hacia la derecha
El comportamiento de las gráficas cuando alguna de las variables está elevada al cuadrado es el siguiente.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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224
Ejemplo 4: Trazar la gráfica de 12 2 xy
Esta no es una línea recta ya que una de las variables tiene exponente 2, por lo tanto es una parábola.
Para trazarla sin hacer uso de la tabla, localizamos el vértice que es el número solo o término independiente; en este caso el 1
Luego nos alejamos uno en x y decimos uno al cuadrado es 1 por el 2
que está con la x, 1*2 = 2 y contamos dos espacios hacia abajo por ser negativo el signo que tiene a su izquierda el 2.
A continuación nos alejamos 2 espacios hacia la derecha alineado con el vértice y decimos 2 al cuadrado 4 por 2 = 8 y contamos 8 hacia abajo.
Como una parábola es simétrica con respecto del eje “y”, localizamos los
puntos en el otro lado del eje “y” y la gráfica que nos queda es la siguiente.
Ejemplo 5: Trazar la gráfica de xY2
Solución:
Como en este caso solamente tenemos x2, el vértice está en el origen, localizamos entonces el vértice en (0,0) y como la x tiene signo positivo,
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225
nos alejamos 1 en x y decimos uno al cuadrado es uno y subimos un espacio en “y”. Luego nos alejamos dos y decimos dos al cuadrado
cuatro y contamos 4 hacia arriba y así sucesivamente. Como la gráfica de x2 es simétrica con el eje “y”, localizamos en la misma dirección y a
la misma distancia del eje “y” los otros puntos para poder trazarla.
Ejemplo 6: Graficar 32 xy
Solución: La gráfica es exactamente la misma que la anterior, ya que la x2 no
tiene número ni signo, solamente que está corrida 3 espacios hacia
abajo puesto que el vértice está ahora en – 3
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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226
Ejemplo 7: Trazar la gráfica de yx2
Solución:
Ahora la gráfica es horizontal ya que la letra que está elevada al cuadrado es la “y”, procedemos entonces a localizar el vértice que se
encuentra en el origen pero ahora no se abre hacia arriba sino hacia la derecha porque la “y” no tiene signo. Y hacemos lo mismo que con la x2
solo que en el otro eje.
Ejemplo 8: Trazar la gráfica de 532
yx
Solución:
Nuevamente es una gráfica horizontal por estar elevada al cuadrado la
“y”, pero como ahora tiene signo negativo, la gráfica se abre hacia la izquierda. Localizamos el vértice, luego nos alejamos 1 hacia cualquier
lado y decimos: Uno al cuadrado es 1, por 3 igual a 3, contamos entonces 3 hacia la izquierda; Luego nos alejamos dos, siempre del
vértice y decimos: Dos al cuadrado igual a 4, por 3, igual a 12 y
contamos 12 hacia la izquierda y así sucesivamente
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227
Ejemplo 9: Trazar la gráfica de: 4 xY
Solución:
En este caso, ya no es una parábola sino una semiparábola por ser raíz cuadrada. El signo que tiene del lado izquierdo la raíz cuadrada, es el
signo correspondiente a la “y”, como no tiene, se sobreentiende que es positivo y el de la x es también positivo, entonces la gráfica está en el
primer cuadrante : Eje positivo de la x y eje positivo de las “y”.
Para encontrar el lugar de donde sale, igualamos la raíz a cero, ya que
sabemos que la raíz cuadrada solamente se le puede sacar a números positivos y al cero y despejamos la x
04 x
4x
Entonces ya sabemos que la gráfica sale del 4 positivo de las x. Ahora falta saber para donde
Nos imaginamos entonces cual será la variable que quedaría elevada al cuadrado y nos damos cuenta que es la variable “y”, ya que si le
quitáramos la raíz cuadrada a x – 4, es la “y” la que quedaría elevada al cuadrado, entonces concluimos que la gráfica es horizontal y queda
trazada de la siguiente forma.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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228
Ejemplo 10: Graficar xy
Solución: Tenemos nuevamente una raíz cuadrada con el eje “y” positivo y el eje
x también positivo, entonces la gráfica queda en el primer cuadrante, o sea que es la misma que trazamos anteriormente pero ahora sale del
origen puesto que no tiene ningún número dentro de la raíz.
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229
Ejemplo 11: Trazar la gráfica de 1 xy
Solución:
En este caso tenemos eje negativo de las “y” y positivo de las x, por lo
tanto la gráfica se ubica en el IV cuadrante. Despejamos la x para ver cuánto vale la x cuando la “y” valga cero.
01x
x= – 1
la gráfica que queda es la siguiente
Ejemplo 12: Graficar 3 xy
Solución:
Tenemos ahora eje negativo de las x y eje negativo de las “y”, La gráfica está en el III cuadrante.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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230
Ejemplo 13: Trazar la gráfica de xY3
Solución:
Esta es una gráfica simétrica con el origen, como es cúbica y no tiene ningún número la x del lado derecho, esto significa que tiene su cambio
en el origen. A este cambio se le llama Punto de inflexión. Nos colocamos entonces en el punto de inflexión y nos alejamos primero
hacia la derecha y como la x no tiene tampoco ningún número del lado izquierdo, decimos: uno al cubo igual a 1 y nos alejamos uno hacia
arriba. Nos ubicamos nuevamente en el punto de inflexión y nos alejamos dos unidades siempre hacia la derecha y decimos: dos al cubo
igual a 8 y nos alejemos 8 hacia arriba. Luego hacemos lo mismo hacia
el lado izquierdo y la gráfica queda de la siguiente manera.
EJERCICIOS
Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones sin hacer uso de la tabla.
1) Y = 3x
2) y = -2x
3) y = 4
4) y = 2
5) y = -1
6) y = 2x – 3
7) y = x – 2
8) y = - x + 3
9) y = - 2x – 3
10) 12
1 xy
11) 22
3 xy
12) Y = x2 – 2
13) Y = x2 + 1
Matemática cuarto
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231
14) Y = 2x2 – 3
15) Y = 3x2 – 2
16) 12
1 2 xy
17) 23
1 2 xy
18) 24
1 2 xy
19) 43
2 2 xy
20) 22xy
21) 43
2 xy
22) 12 yx
23) 32 yx
24) 42 2 yx
25) 23 2 yx
26) 3 xy
27) 2 xy
28) 1 xy
29) 3 xy
30) 2 xy
31) 1 xy
32) xy 2
33) 3 xy
34) 2 xy
35) xy 3
36) 3 yx
37) 2 yx
38) 1 yx
39) 3 yx
40) 2 yx
41) 1 yx
42) yx 2
43) 3 yx
44) 2 yx
45) yx 3
46) 2
3
xy
47) 1
2
xy
48) 3
2
x
xy
49) 4
3
x
xy
50) x
xy
4
51) 3xy
52) 3xy
53) 32 3 xy
54) 13 xy
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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232
5.7 ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen es
222 ryx
En donde x y “y” son cualquier número y r es el radio, el centro se
encuentra en el origen.
La ecuación de la circunferencia con centro en C(h,k) es
222 )()( rkyhx
En donde (h,k) es el centro de la circunferencia, este punto ya no se encuentra en el origen y r sigue siendo el radio
Ejemplo 1: Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuación es 2522 yx y trace su gráfica.
Solución:
Por la forma como está escrita la ecuación, es una circunferencia que tiene su centro en el origen
C(0,0)
5
25
252
r
r
r
La gráfica es la que aparece a continuación.
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233
Ejemplo 2: Encuentre el centro y el radio y trace la gráfica del círculo
cuya ecuación es 91222 yx
Solución:
Esta es una circunferencia que tiene su centro en C(2,-1) y su radio es 3
Ejemplo 3: Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y pasa por el punto 5,2P
Solución:
Para encontrar la ecuación de una circunferencia necesitamos conocer el
centro y el radio. En este caso, como nos indican que tiene su centro en el origen, únicamente debemos encontrar el radio.
Como conocemos dos puntos que son el centro y un punto por donde pasa, encontramos el radio a través de la distancia entre dos puntos.
2
12
2
12 )()( yyxxr
22 )05()02( r
29
254
52 22
r
r
r
Como sabemos que tiene centro en el origen y ya encontramos el radio, la ecuación y la gráfica quedan de la siguiente forma
2922 yx
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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234
Ejemplo 4: Encuentre la ecuación de la circunferencia que es Tangente a ambos ejes, centro en el segundo cuadrante radio 4
Solución:
Trazamos la gráfica para localizar con facilidad el radio
Como vemos que el radio es de 4, podemos escribir la ecuación
164422 yx
Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la circunferencia que los extremos
de un diámetro están en A(5, 3), B(1, 7)
Solución:
Para encontrar el radio buscamos primero el punto medio que es el
centro de la circunferencia, para ayudarnos trazaremos la circunferencia conociendo su diámetro
Matemática cuarto
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235
)5,3(
2
10,
2
6
2
73,
2
15
2,
2
1212
Pm
Pm
Pm
YYXXPm
Como ya conocemos el centro, podemos encontrar el radio a través de
la distancia entre dos puntos
22 )53()35( r
22 )2(2 r
44r
8r
Como sabemos que para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos conocer el centro y el radio, ya podemos encontrarla.
8)5()3( 22 yx
Ejemplo 6: Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuación es 0168622 yxyx y trace su gráfica
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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236
Solución: Como nos dieron la ecuación general de la circunferencia, tenemos que encontrar la estandar para poder graficarla, procedemos
entonces a hacer la Completación al cuadrado
16)8()6( 22 yyxx
16916)168()96( 22 yyxx
9)4()3( 22 yx
Encontramos entonces que el centro es C(3, – 4) y r2 = 9, por lo tanto r = 3
Ejercicios
Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias y trace su gráfica. Indique si es solo un punto o si no existe
1) 122 yx
2) 422 yx
3) 1822 22 yx
4) 4833 22 yx
5) (x + 2)2 + y2 = 9
6) (x – 1)2 + y2 = 25
7) X2 + (y – 2)2 = 16
8) X2 + (y + 2)2 = 9
9) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16
10) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4
11) x2 + y2 – 10x + 8y+32 = 0
12) x2 + y2 – 4x + 2y – 9 = 0
13) x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0
14) x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0
15) x2 + y2 – 6x + 6y +14 = 0
16) x2 + y2 – 2x + 8y +14 = 0
17) x2 + y2 – 12x–10y+62 = 0
Matemática cuarto
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237
18) x2 + y2 + 12x –
4y+43 = 0
19) x2 + y2 – 4x + 2y – 4
= 0
20) x2 + y2 – 12x +
4y+38 = 0
21) x2 + y2 – 6x – 4y + 8 = 0
22) x2 + y2 + 4x – 10y+22 = 0
23) x2 + y2 + 6x – 2y +10 = 0
24) x2 + y2 – 4x – 6y + 13 = 0
25) x2 + y2 – 4x – 6y + 12 = 0
5.8 LA RECTA
Nuestro estudio se basará a las rectas en un plano de coordenadas cartesianas, lo que nos permitirá el uso de métodos algebraicos para
estudiar sus propiedades. Anteriormente en este mismo capítulo hicimos una introducción a la recta, ahora las estudiaremos más detenidamente.
ECUACIÓN DE LA RECTA
Para encontrar la ecuación de una recta, necesitamos conocer su pendiente y un punto por donde pase.
5.8.1 Ecuación estandar de la recta:
La ecuación estandar de la recta es la que está escrita para poder ser graficada, es decir, ya se encuentra despejada la “y”
bmxy
En donde m es la pendiente y b es el punto de intersección con el eje “y”, es decir, en donde atraviesa la recta al eje de las ordenadas.
5.8.2 Ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta debe estar igualada a cero.
0 CByAx
En donde A, B y C son valores conocidos.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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238
5.8.3 PENDIENTE Es el grado de inclinación que tiene una recta, podemos decir que
es lo que sube o baja por cada avance en el eje “x”. A la pendiente la designamos con la letra m
Cuando m es la recta se abre Cuando m es (-) la recta
de la siguiente forma queda de la siguiente forma
Cuando m es 0, la recta no sube ni Cuando m es
indefinida
Baja, es una recta horizontal 0
1m , la recta es
totalmente vertical
Matemática cuarto
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239
5.8.4 Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente 1m
2m
21 mm
5.8.5 Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una es igual a la
inversa de la otra con signo contrario. 1
2
1
mm
Si 1m Entonces 2m
2 2
1
3
2
2
3
4
1 4
A través de las pendientes, demuestre que los puntos 1,3A 3,5B
0,3C 2,5 D son vértices de un paralelogramo.
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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240
Los lados de un paralelogramo tienen que ser paralelos con su opuesto; para que esto suceda, las pendientes de estos lados tienen que ser
iguales
8
2
8
2
53
20
35
13
2
3
2
3
53
21
35
03
4
1
4
1
Si es paralelogramo porque sus rectas son paralelas, ya que las
pendientes de sus lados opuestos son iguales.
Ejercicios resueltos: Encuentre la pendiente de la recta que cumpla con las condiciones dadas.
1) Pasa por )2,5( A paralela al eje “y”
Solución: Esta es una recta vertical por ser paralela al eje “y”. Sabemos
que si una recta es vertical su pendiente es indefinida, para nuestra conveniencia, si la pendiente es indefinida la representaremos como
0
1m y de esta forma nos será mucho más fácil encontrar su ecuación.
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241
50
5)2(0
)5(0
1)2(
0
1
x
xy
xy
m
O bien x = 5
2) Pasa por )2,4(A perpendicular al eje y
En este caso que nos indican que la recta es perpendicular al eje y,
esto significa que la recta es horizontal, por lo tanto la pendiente es cero.
2
02
)4(0)2(
0
y
y
xy
m
3) Pasa por )3,5( A pendiente -4
En este otro caso ya está dada la pendiente y como sabemos que
para encontrar la ecuación de la recta lo que necesitamos saber es su pendiente y un punto por donde pasa, procedemos directamente a
encontrarla
0174
0174
02043
2043
)5(4)3(
yx
xy
xy
xy
xy
4) Pasa por )0,4(A pendiente 3
123
)4(3)0(
xy
xy
5) Pasa por )5,4( A , )6,3(B
Como ahora no nos dan la pendiente, nos dan dos puntos por donde pasa para que la podamos encontrar. La fórmula para encontrarla es
la siguiente
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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242
12
12
xx
yym
09711
09117
4411357
)4(7
11)5(
7
11
7
11
34
65
yx
xy
xy
xy
m
6) Pasa por )4,2( A paralelas a la recta 425 yx
Cuando dos rectas son paralelas sabemos que tienen la pendiente igual, por lo tanto encontramos la pendiente de la ecuación dada.
Cuando la ecuación que conocemos es la ecuación general de la recta, podemos encontrar la pendiente a través de la siguiente
fórmula
B
Am
2
5
2
51
B
Am
Esta misma pendiente tiene la recta que pasa por el punto dado, ya que son paralelas, procedemos entonces a encontrarla tomando esta misma
pendiente.
01825
10582
)2(2
5)4(
yx
xy
xy
7) Pasa por )3,7( A perpendicular a la recta 852 yx
Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos o de 900 al cruzarse,
por lo tanto la pendiente de una es igual a la inversa de la otra con signo contrario.
5
2
5
21
B
Am
2
52 m
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243
02925
035625
35562
)7(5)3(2
)7(2
5)3(
yx
yx
xy
xy
xy
ECUACION GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de la recta es cuando la “y” no esté despejada
Ax + By + c = 0. Cuando tenemos que trazar gráficas y la ecuación que nos dan no es la estandar sino la ecuación general, podemos despejar la “y” para
encontrar la ecuación estandar o bien encontrar la intersección en el eje”y” y la pendiente de la siguiente manera:
B
Am y la intersección
B
Cy en donde A, B y C son números reales.
8) Trazar la gráfica de 4x – 2y + 2 = 0
22
4
m y la intersección 1
2
2y
Podemos entonces trazar la gráfica puesto que ya conocemos la intersección en el eje “y” y la pendiente
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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244
Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-1, -2)
22
4
11
22
m
2m
Para encontrar la ecuación de la recta necesitamos conocer la pendiente
y un punto por donde pasa
9) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,4) y B(3,6).
Encontramos primero la pendiente
21
2
23
46
m
2m
La ecuación de la recta se encuentra restándole a y la coordenada del punto de “y” que tomemos y esto lo igualamos a la pendiente m por x
menos la coordenada de x del mismo punto que tomamos: y-y1=m(x-x1) Ejemplo: si tomamos el punto A, la ecuación la
encontramos de la siguiente manera:
)2(24 xy
y – 4 = 2x – 4
y = 2x – 4 + 4 y = 2x
Nota: Cuando la “y” no tiene número y el coeficiente de la x no es una fracción, la ecuación general también se puede escribir de la misma
forma que la ecuación estandar, es decir, las dos ecuaciones se pueden escribir de la misma forma.
Y = 2x Ecuación estandar
Y = 2x Ecuación general
Y – 2x = 0 Ecuación general
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245
10) Dada la recta L cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar:
a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a L.
b) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es
perpendicular a L.
Sean L1 y L2 las rectas paralela y perpendicular a L respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2).
Sean m1, m y m2 las pendientes de L1, L y L2 respectivamente.
Como L1 // L entonces m1 = m y puesto que m = 4
3 se sigue que m1 =
4
3 .
Ahora, usando la forma punto – pendiente de la ecuación de la recta,
se tiene para L1: )1x(4
32y y simplificándola se puede escribir en
la forma general: 3x + 4y – 11 = 0
b) Como L2 L, entonces m2 = m
1 y como m =
4
3 , se sigue que
m2 =3
4 .
Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para L2:
)1x(3
42y
y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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246
EJERCICIOS 1. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones:
a) y = x + 3
b) y = x – 2
c) y = - x + 3
d) y = - x – 2
e) y = 2x – 1
f) y = 3x – 3
g) y = - 4x
h) y = - 5x
i) xy3
2
j) xy2
3
k) 13
5 xy
l) 25
2 xy
1) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3,-5) paralela al eje x.
2) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2,1) y es perpendicular al eje x.
3) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-1,6) abscisa en el origen 4.
4) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-3,5) y es paralela a la recta 13 yx .
5) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2, -3) con pendiente -1.
6) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, 5) con pendiente 3.
7) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3, 4) con
pendiente 4
3m .
8) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-5, 4
3) con
pendiente 8
5m .
9) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A( 3, -1), B(2, 5).
10) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-6, 8), B(3, -2). 11) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(0,-4)
perpendicular a la recta 45 yx .
12) Si una recta L tiene la ecuación general: 2x + 0.6y-10.8 = 0,
encontrar la parte faltante en cada uno de los casos siguientes:
a) (3 , ?)
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247
b) (? , 15) c) Cuál es la pendiente de L ?
d) L intercepta a y en?
13) ¿Cuáles de los puntos siguientes quedan en la recta cuya ecuación es 3x + 4y - 10 = 0?
a. (1, 2)
b. (-2,4) c. (10, -5)
d. (-25, 21) e. (0, 0)
f. (22/9, 2/3)
14) Obtenga la ecuación general de la recta, sabiendo que:
a. pendiente = 2/5 intersección con y en 3/2 b. pendiente = -2.5 intersección con y en -1.5
15) Escribir las siguientes ecuaciones en la forma pendiente-
intersección (forma estandar) e indicar la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas.
a. 2x + y = 1 b) 2y = x+ 2 c) 3y - 2 = x d) 3s = 4 - 2t
16) Encontrar la ecuación de la recta que:
a. Pasa por (5, 15) y tiene una pendiente de -3. b. Pasa por el punto (6, 4) y es paralela al eje de las x
c. Pasa por el punto (-1, 2) y es paralela a la recta que une los puntos (20, 50) y (100,400)
17) Para cada uno de los pares de puntos siguientes:
a. Hallar la pendiente de la recta que pasa por ambos b. Hallar la ecuación de la recta.
c. Trazar su gráfica i. (0, 0) y (6, 3)
ii. (3
10, 0 ) y
2
5,0
iii. (-7, 4) y (8, 4)
iv. (3, -2) y (3, 5) v. (-1, -2) y (4, 1)
vi. (-2, -3) y (-5, -6)
18) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-1, -2) y (3, 7)
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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248
19) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 3) y es paralela a la que pasa por los puntos (0, -3) y (6,1)
20) 10)Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 15) y es paralela a la recta cuya ecuación es y = x + 25
21) 11)Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es
(0, -3) y que es perpendicular a la que pasa por los puntos
(-2,-1) y (2, 5) 22) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,4) y es
perpendicular a la recta que tiene le ecuación 2x + y + 2 = 0
23) Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos:
1. (3, -2) y (9, 6) 2. (4, -3) y (-1, 9)
3. (8, -4) y (-7, 4) 4. (5, -8) y (-7, 8)
24) Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles
25) Igual que el ejercicio 24 Con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y
)5,0( C .
26) Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0),
P3(10,3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.
27) Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son
vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área.
28) Si la pendiente de la recta que une los puntos:
1. A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1.
2. A(6, -1), y, B(10, Y1) es 3
2 , encontrar Y1.
PROBLEMAS DEL LIBRO DE SWOKOWSKI
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249
1) Determine una ecuación del círculo cuyo centro es C(3, -2) y que es
tangente a la recta y = 5.
2) Encuentre una ecuación de la recta tangente al círculo 2522 yx
en el punto P(3,4).
3) El crecimiento de un feto de más de 12 semanas se puede
aproximar mediante la fórmula L=1.53t– 6.7,en la cual L es la
longitud en cm, y t la edad en semanas. La longitud prenatal se
puede determinar mediante ultrasonido. Calcule la edad aproximada
de un feto cuya longitud es 28 cm.
4) El peso esperado, W, en toneladas, de una ballena jorobada, se
puede aproximar a partir de su longitud, L, en pies: mediante la
fórmula W = 1.70L - 42.8, para 30 L 50.
a. Estime el peso de una ballena jorobada de 40 pies.
b. Si el error en la estimación de la longitud puede ser hasta de
2 pies, ¿cuál es el error correspondiente de la estimación del
peso?
5) Las ballenas azules recién nacidas tienen aproximadamente 24 pies
de longitud y pesan 3 toneladas. Las ballenas jóvenes maman
durante 7 meses, y para cuando son destetadas, con frecuencia
tienen 53 pies de largo y pesan 23 ton. Sean L y W la longitud (en
pies) y el peso (en toneladas), respectivamente, de una ballena
que tiene t meses de edad.
a. Si L Y t están relacionadas linealmente, exprese L en términos
de t
Quinta unidad: Funciones y gráficas
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250
b. ¿Cuál es el aumento diario de longitud de una ballena bebé?
(Tomara l mes = 30 días.)
c. ¿Cuál es aumento mensual en la longitud de la ballena?
d. Cuánto mide la ballena cuando tiene 3 meses de edad
e. Sj W y t están lineal mente relacionadas, exprese W en
términos de t.
f. ¿Cuál es el incremento diario en el peso, de una ballena
bebé?
g. ¿Cuánto pesa la ballena cuando tiene 5 meses de edad?
6) Suponga que un jugador de béisbol, de grandes ligas, ha logrado 5
homeruns en los primeros 14 juegos, y mantiene ese paso en toda
la temporada, de 162 juegos.
a. Exprese el número de homeruns, “y”, en términos del número
de juegos x en que ha intervenido.
b. ¿Cuántos homeruns realizará este jugador en la temporada?
7) Un fabricante de quesos produce 18 000 lb del 1 de enero al 24 de
marzo. Suponga que este nivel de producción continúa durante el
resto del año.
a. Exprese el número de libras, “y” de queso producido, en
función del número del día, x, en un año que tiene 365 días.
b. Prediga el número de libras que se producen en el año.
8) Un bebé pesa 10 lb al nacer, y 3 años después, .su peso es de 30
lb. Suponga que el peso, en libras, W, está relacionado linealmente
con la edad en años, t.
a. Exprese W en términos de t.
b. ¿Cuál es W al sexto cumpleaños del niño?
c. ¿A qué edad pesará 70 lb el niño?
d. Trace, en un plano tW, una gráfica que muestre la relación
Matemática cuarto
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251
entre W y t para 0 t 12.
9) Un estudiante universitario recibe un préstamo libre de intereses,
de $8 250, de un pariente. El estudiante pagará $125 mensual
hasta liquidado
a. Exprese la cantidad P (en dólares), que falta por pagar, en
términos del tiempo t (en meses).
b. ¿Después de cuántos meses la deuda del estudiante será
$5OOO?
c. Haga una gráfica, en un plano tP, que indique la relación
entre P y t durante la vigencia del préstamo.
BIBLIOGRAFIA
Algebra y Trigonometría con geometría analítica de
swokowski
Algebra de Baldor Algebra de Lehman
Algebra elemental de Alfonse Gobran Internet