Actividad 2.2

Productos notables G. Edgar Mata Ortiz

Productos notables y factorización.

Productos notables y factorización.

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La matemática se construye como una herramienta para resolver problemas que se presentan en la realidad,

sin embargo, el conocimiento matemático se va refinando y desarrollando por sí mismo, convirtiéndose en un

objeto de estudio. Es así como, al realizar operaciones algebraicas, se encuentran regularidades que, al

generalizarse, se convierten en reglas empíricas o leyes de la matemática.

En el presente material se aborda el tema de los productos notables, que surgen como una consecuencia de la

aplicación de algoritmos algebraicos y la observación de regularidades que podemos convertir en reglas para

facilitar el procedimiento de la multiplicación.

Estas reglas, al mismo tiempo, se emplean para resolver operaciones algebraicas más complejas que las

estudiadas hasta ahora.

Contenido Introducción. .................................................................................................................................................................................................. 3

El triángulo de Pascal. ................................................................................................................................................................................ 3

Obtención de los productos notables. ............................................................................................................................................................ 4

Binomios con término común.................................................................................................................................................................... 4

Generalización de las observaciones. ................................................................................................................................................... 5

Resultado: Regla para obtener el producto de dos binomios con término común. ............................................................................. 7

Binomio al cuadrado. ................................................................................................................................................................................. 7

Generalización de las observaciones. ................................................................................................................................................... 8

Resultado: Regla para obtener el cuadrado de un binomio................................................................................................................ 10

Procedimiento para obtener los resultados de productos notables. ........................................................................................................... 10

Obtención de otros productos notables. ...................................................................................................................................................... 10

1. Binomios conjugados: 𝒂 + 𝒃𝒂 − 𝒃 ................................................................................................................................................ 10

2. Binomio al cubo: 𝒂 + 𝒃𝟑................................................................................................................................................................ 10

3. Trinomio al cuadrado: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄𝟐 ................................................................................................................................................ 10

4. Binomio a la cuarta potencia: 𝒂 + 𝒃𝟒............................................................................................................................................ 10

5. Binomio a la quinta potencia: 𝒂 + 𝒃𝟓 ........................................................................................................................................... 10

Factorización. ............................................................................................................................................................................................... 11

Factor común. .......................................................................................................................................................................................... 11

Trinomios que se factorizan como binomios con término común........................................................................................................... 12

Trinomio cuadrado perfecto. ................................................................................................................................................................... 13

Diferencia de cuadrados. ......................................................................................................................................................................... 14

Otras estrategias de factorización. .......................................................................................................................................................... 15

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Introducción. Las operaciones algebraicas pueden resultar laboriosas y, por ello mismo,

provocar errores. En la resolución de diversos problemas se ha

encontrado que ciertas multiplicaciones se presentan frecuentemente, se

les llama “productos notables”.

El resultado de estos productos se vuelve predecible, de modo que

pueden resolverse “directamente”, es decir, sin efectuar todo el

procedimiento.

Es conveniente memorizarlos ya que se ahorra mucho tiempo al omitir los

pasos del procedimiento y obtener el resultado aplicando las reglas

adecuadas según el producto que se esté tratando de obtener.

En el siguiente enlace se encuentra un formulario de matemáticas que

contiene algunas de estas reglas:

http://www.slideshare.net/licmata/for-mulario

Descarga el documento y escribe un comentario de 30 palabras, acerca de

los productos notables, en la página slideshare donde se encuentra dicho

formulario.

El triángulo de Pascal.

Un importante

recurso que vamos

a emplear en el

tema de los

productos

notables es el

Triángulo de

Pascal.

Explica,

brevemente, cómo

se construye este

triángulo y

complétalo hasta

llegar a 10 filas.

Las reglas

empíricas.

“Siempre que se multiplican

dos binomios, el resultado

es…”; “si está sumando,

pasa restando, y si está

restando…”; “cuando este

número es negativo,

siempre se puede resolver la

ecuación de segundo grado”

Las frases anteriores, no son

leyes matemáticas o

científicas, pero, después de

resolver varios problemas,

se van encontrando

regularidades que pueden

utilizarse para simplificar el

procedimiento de solución

de algún ejercicio, o para

verificar que el resultado es

correcto.

Estas generalizaciones

reciben el nombre de

“Reglas Empíricas”, porque

se obtienen de la práctica.

Es una forma de

conocimiento que debe

revisarse y corregirse

cuando sea necesario.

Es importante asegurarnos

de que estas reglas se

pueden aplicar en todos los

casos y no solamente en

algunos, para evitar cometer

errores al generalizar

situaciones que solamente

son aplicables en casos

particulares.

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Obtención de los productos notables. En lugar de simplemente consultar cómo se resuelven los productos notables,

vamos a realizar las operaciones paso a paso y a observar las regularidades de

las que hemos estado hablando para obtener las reglas correspondientes a los

productos notables conocidos y otros menos usuales.

Binomios con término común. Reciben este nombre los binomios que se caracterizan por tener uno de sus términos, iguales entre sí, por

ejemplo:

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) =__________________________

Efectúa la multiplicación en las siguientes líneas y anota solamente el resultado en la línea que sigue a la

multiplicación.

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Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 1 a la 5 en las líneas siguientes y anota solamente los resultados

junto a cada producto.

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1. (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) =__________________________

2. (𝑥 + 1)(𝑥 + 4) =__________________________

3. (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) =__________________________

4. (𝑥 + 6)(𝑥 + 2) =__________________________

5. (𝑥 + 7)(𝑥 + 3) =__________________________

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Generalización de las observaciones. ¿Qué sucede si el término no común, es negativo en uno de los binomios? ¿y en los dos?

Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 6 a la 10 en las líneas siguientes y anota solamente los

resultados junto a cada producto.

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6. (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) =__________________________

7. (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) =__________________________

8. (𝑥 + 5)(𝑥 − 1) =__________________________

9. (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) =__________________________

10. (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) =__________________________

Regla para obtener el resultado directamente, sin efectuar la multiplicación:

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

Esta es la primera etapa del proceso: obtener una regla a partir de observaciones empíricas

y generalizarla a binomios con términos negativos.

Como segunda etapa, debemos probar nuestra regla bajo condiciones más complejas:

cuando el término común está elevado a alguna potencia, y/o tiene coeficiente diferente

de uno, también debemos considerar el caso en el que el término no común, también

contiene a la variable.

Los siguientes casos servirán para probar que la regla que desarrollamos, realmente

funciona en todos los casos.

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Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 11 a la 20 en las líneas siguientes.

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Ahora obtén el resultado directamente, sin efectuar todo el procedimiento, aplicando la regla que obtuviste

anteriormente.

11. (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 1) = _____________________________________________________

12. (3𝑥2 + 1)(3𝑥2 − 4) = _____________________________________________________

13. (2𝑥3 + 5)(2𝑥3 − 1) = _____________________________________________________

14. (5𝑥2 − 𝑥)(5𝑥2 − 2𝑥) = _____________________________________________________

15. (4𝑥3 − 5𝑥)(4𝑥3 − 2𝑥) = _____________________________________________________

16. (−2𝑥4 + 2𝑥2)(−2𝑥4 − 3𝑥) = _____________________________________________________

17. (−6𝑥5 + 𝑥3)(−6𝑥5 − 4𝑥3) = _____________________________________________________

18. (5𝑥6 + 4𝑥2)(5𝑥6 − 𝑥2) = _____________________________________________________

19. (3𝑥6 − 3𝑥)(3𝑥6 − 4𝑥) = _____________________________________________________

20. (2𝑥7 − 5𝑥4)(2𝑥7 − 2𝑥4) = _____________________________________________________

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Resultado: Regla para obtener el producto de dos binomios con término común. Anota en las siguientes líneas la regla corregida para determinar, sin efectuar la operación, el producto de dos

binomios con término común.

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Binomio al cuadrado. El procedimiento para desarrollar la regla que nos permite obtener el cuadrado de un binomio, directamente,

sin efectuar la multiplicación, es el mismo que seguimos para el caso de los binomios con término común:

Un primer paso consistente en efectuar las multiplicaciones, poniendo atención en las regularidades que se

observan en los resultados, primero tomando casos con términos positivos, luego agregamos negativos y

obtenemos una regla para obtener el resultado sin efectuar operaciones.

Luego, un segundo paso consistente en la verificación de la regla que se redactó, resolviendo casos con

términos de diferentes signos, con coeficientes y potencias diferentes de uno. Si la regla estaba bien desde un

principio, se deja tal como estaba, en caso contrario, se corrige.

Vamos a realizar este procedimiento.

Primer paso: Efectúa las operaciones de los binomios al cuadrado 1 a la 5 en las líneas siguientes y anota

solamente los resultados junto a cada ejercicio.

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1. (𝑥 + 2)2 =_______________________________

2. (𝑥 + 1)2 =_______________________________

3. (𝑥 + 5)2 =_______________________________

4. (𝑥 + 6)2 =_______________________________

5. (𝑥 + 3)2 =_______________________________

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Generalización de las observaciones. ¿Qué sucede si algún término es negativo? ¿y los dos?

Efectúa las operaciones de los binomios al cuadrado 6 a la 10 en las líneas siguientes y anota solamente los

resultados junto a cada producto.

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6. (𝑥 − 2)2 =_______________________________

7. (−𝑥 + 1)2 = _____________________________

8. (𝑥 − 5)2 =_______________________________

9. (−𝑥 + 6)2 = _____________________________

10. (−𝑥 − 3)2 = _____________________________

Regla para obtener el resultado directamente, sin efectuar la multiplicación:

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Recuerda que es necesario verificar la validez de esta regla, sometiéndola a prueba,

al elevar binomios más complejos, al cuadrado.

Digamos que esta regla es, por ahora, una hipótesis, y para comprobar si es válida

debemos realizar algunos “experimentos” tomando binomios con características

especiales que podrían hacer fallar la regla que desarrollamos.

Este redescubrimiento del conocimiento matemático es muy similar al método de

investigación que se emplea en la ciencia.

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Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 11 a la 20 en las líneas siguientes.

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Ahora obtén el resultado directamente, sin efectuar todo el procedimiento, aplicando la regla que obtuviste

anteriormente.

11. (3𝑥 − 2)2 = ___________________________________________________________

12. (−4𝑥 + 1)2 = ___________________________________________________________

13. (𝑥2 − 5)2 = ___________________________________________________________

14. (−5𝑥2 + 2)2 = ___________________________________________________________

15. (−2𝑥2 − 3)2 = ___________________________________________________________

16. (4𝑥2 − 2𝑥)2 = ___________________________________________________________

17. (−2𝑥3 + 3𝑥2)2 = ___________________________________________________________

18. (3𝑥4 − 5𝑥3)2 = ___________________________________________________________

19. (−2𝑥5 + 6𝑥2)2 = ___________________________________________________________

20. (−4𝑥5 − 3𝑥2)2 = ___________________________________________________________

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Resultado: Regla para obtener el cuadrado de un binomio. Anota en las siguientes líneas la regla corregida para determinar, sin efectuar la operación, el cuadrado de un

binomio.

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Procedimiento para obtener los resultados de productos notables. 1. Efectuar la operación paso a paso tomando solamente términos positivos del grado más pequeño

posible, al menos 5 ejercicios para visualizar claramente las regularidades

2. Obtener una regla a partir de los ejercicios resueltos en el paso 1

3. Efectuar la operación paso a paso tomando términos positivos y negativos del grado más pequeño

posible, al menos 5 ejercicios para visualizar claramente las regularidades

4. Mejorar la regla a partir de los ejercicios resueltos en el paso 3

5. Probar si la regla funciona tomando 10 ejercicios con grados mayores a uno mezclando diversos casos

en cuanto a los signos.

6. Elaborar la regla general

Obtención de otros productos notables. Siguiendo el procedimiento, de 6 pasos, para obtener los resultados de productos notables, y utilizando el

formato F-2.2, obtén las reglas para los siguientes productos notables:

1. Binomios conjugados: (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

2. Binomio al cubo: (𝒂 + 𝒃)𝟑

3. Trinomio al cuadrado: (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐

4. Binomio a la cuarta potencia: (𝒂 + 𝒃)𝟒

5. Binomio a la quinta potencia: (𝒂 + 𝒃)𝟓

Explica, en las siguientes líneas, cómo puede utilizarse el Triángulo de Pascal, para obtener las reglas que nos

permiten elevar un binomio al cubo, a la cuarta y a la quinta potencia.

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Explica, en las siguientes líneas, cómo puede utilizarse el Triángulo de Pascal para obtener las reglas que nos

permiten elevar un binomio a la sexta y séptima potencia.

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Factorización. Esta operación consiste en que conocemos el resultado de una multiplicación y deseamos saber cuáles fueron

los factores que dieron como resultado el producto que tenemos. Se utiliza para efectuar algunas divisiones

más fácilmente. Veamos un ejemplo:

Cuando multiplicamos un monomio por un polinomio obtenemos:

(𝑥2 + 2𝑥 − 4)(5𝑥2) = 𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐

La factorización consiste en que conocemos el resultado: 5𝑥4 + 10𝑥3 − 20𝑥2

Y deseamos identificar los factores: (? ? )(? ? ) = 𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐

Existen diferentes casos de factorización, en este problema se aplica:

Factor común. Esta factorización consiste en que se desea obtener un monomio que, multiplicado por un polinomio, produzca

el polinomio que tenemos como dato. No debemos confundir factor común, con término común.

Puede tomarse el factor positivo o negativo, según convenga. En este caso tomaremos el signo positivo por ser

más sencillo.

El coeficiente del factor común se determina calculando el máximo común divisor de los coeficientes de los

términos del polinomio, en este caso es 5.

En cuanto a las variables, se toman las que forman parte de todos los términos con el menor grado que se

encuentre, en este ejercicio la única variable es equis, y el grado menor es segundo. Entonces, el factor común

es: +𝟓𝒙𝟐

Ahora debemos obtener el polinomio que se multiplica por el factor común y permite obtener el polinomio que

tenemos como ejercicio.

𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 = +𝟓𝒙𝟐(? ? ? ? )

Para determinar el polinomio que va entre paréntesis se plantea la pregunta, ¿Por cuánto debemos multiplicar

el factor común, +𝟓𝒙𝟐, para obtener el primer término del polinomio que estamos factorizando, 𝟓𝒙𝟒.

La respuesta es, evidentemente, 𝒙𝟐.

𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 = +𝟓𝒙𝟐(𝒙𝟐+? ? ? )

Los términos faltantes se obtienen utilizando la misma estrategia:

¿Por cuánto debemos multiplicar +𝟓𝒙𝟐 para obtener el segundo término del polinomio que estamos

factorizando +𝟏𝟎𝒙𝟑? Y la respuesta es: +𝟐𝒙

𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 = +𝟓𝒙𝟐(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙+? ? ? )

Finalmente: ¿Por cuánto debemos multiplicar +𝟓𝒙𝟐 para obtener el tercer término del polinomio que estamos

factorizando −𝟐𝟎𝒙𝟐? Y la respuesta es: −𝟒

𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 = +𝟓𝒙𝟐(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒)

El resultado es el que se muestra, si se desea comprobar, se efectúa la multiplicación indicada.

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Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

1. 16𝑥3 + 32𝑥2 − 8𝑥 =

2. −5𝑦4 + 10𝑦3 − 15𝑦2 =

3. −12𝑥2𝑦4 − 6𝑥3𝑦3 + 18𝑥4𝑦2 =

4. 9𝑎4𝑏3 − 6𝑎3𝑏4 − 3𝑎3𝑏3 =

5. 12𝑚4𝑛3𝑝2 − 4𝑚3𝑛2𝑝4 − 8𝑚2𝑛4𝑝3 =

Trinomios que se factorizan como binomios con término común. Este caso de factorización está basado en la multiplicación de binomios con término común, por ejemplo:

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 =

Este trinomio no tiene factor común; los coeficientes no tienen divisor común (excepto el uno), y tampoco

tienen ninguna variable en común. Vamos a tratar de factorizarlo como dos binomios con término común.

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 )(𝒙 )

El término común es la raíz cuadrada del término de mayor grado: 𝒙𝟐, es decir, 𝒙.

Para determinar los términos que completan los dos binomios observamos que el término de menor grado es

solamente un número, el +𝟔, por lo tanto, los términos faltantes deben ser también números sin variables.

Estos números que estamos buscando deben cumplir dos condiciones:

Dos números que al multiplicarse den como resultado +𝟔, y al sumarse den como resultado +𝟓.

Dos números que al multiplicarse dan como resultado +𝟔 son:

(+𝟑) × (+𝟐), (−𝟑) × (−𝟐), (+𝟔) × (+𝟏) y (−𝟔) × (−𝟏), pero de estas parejas de números, solamente una,

al sumarse, da como resultado +𝟓, son los números: (+𝟑) y (+𝟐).

(+𝟑) × (+𝟐) = +𝟔 (+𝟑) + (+𝟐) = +𝟓

Entonces, la factorización es: 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)

Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas

1. 𝑥2 + 6𝑥 + 8 =

2. 𝑦2 − 3𝑦 − 4 =

3. 𝑧4 + 4𝑧2 − 12 =

4. 𝑎4 − 9𝑎2 + 18 =

5. 4𝑏4 − 4𝑏2 − 15 =

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Trinomio cuadrado perfecto. Este trinomio es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, por lo tanto, al factorizarlo, debe obtenerse

dicho binomio al cuadrado.

El procedimiento para factorizar estos binomios consiste en extraer la raíz cuadrada del término de mayor

grado, después extraer la raíz cuadrada del término de menor grado y verificar que el doble producto de estas

dos raíces de como resultado el término intermedio. Por ejemplo:

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 =

La raíz cuadrada del término de mayor grado: √𝒙𝟐 = 𝒙

La raíz cuadrada del término de menor grado: √𝟗 = 𝟑

El doble producto de estas raíces cuadradas es: 𝟐(𝒙)(𝟑) = 𝟔𝒙, es igual al término intermedio.

Por lo tanto, la factorización es un binomio al cuadrado:

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = (𝒙 + 𝟑)𝟐

Podemos verificar el resultado efectuando la potencia indicada.

Cuando no es un trinomio cuadrado perfecto y, por lo tanto, no se cumplen las condiciones mencionadas,

puede tratar de factorizar como dos binomios con término común. Por ejemplo:

𝒚𝟐 + 𝟓𝒚 + 𝟒 =

La raíz cuadrada del término de mayor grado: √𝒚𝟐 = 𝒚

La raíz cuadrada del término de menor grado: √𝟒 = 𝟐

El doble producto de estas raíces cuadradas es: 𝟐(𝒚)(𝟐) = 𝟒𝒚, NO es igual al término intermedio: 𝟓𝒚

Por lo tanto, la factorización no es un binomio al cuadrado.

Vamos a tratar de factorizarlo como dos binomios con término común.

𝒚𝟐 + 𝟓𝒚 + 𝟒 =

El término común es la raíz cuadrada del término de mayor grado: 𝒚𝟐, es decir, 𝒚.

Para determinar los términos que completan los dos binomios observamos que el término de menor grado es

solamente un número, el +𝟒, por lo tanto, los términos faltantes deben ser también números sin variables.

Estos números que estamos buscando deben cumplir dos condiciones:

Dos números que al multiplicarse den como resultado +𝟒, y al sumarse den como resultado +𝟓.

Dos números que al multiplicarse dan como resultado +𝟒 son: (+𝟐) × (+𝟐), (−𝟐) × (−𝟐), (+𝟒) × (+𝟏) y

(−𝟒) × (−𝟏), pero de estas parejas de números, solamente una, al sumarse, da como resultado +𝟓, son los

números: (+𝟒) y (+𝟏).

(+𝟒) × (+𝟏) = +𝟒 (+𝟒) + (+𝟏) = +𝟓

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Entonces, la factorización es: 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟒 = (𝒚 + 𝟒)(𝒚 + 𝟏)

Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas; primero prueba como trinomio

cuadrado perfecto, si no es posible, factoriza como binomios con término común.

1. 𝑧4 − 10𝑧2 + 16 =

2. 𝑎4 − 12𝑎2 + 36 =

3. 4𝑏4 − 12𝑏2 + 9 =

4. 9𝑎4 − 15𝑎2 + 4 =

5. 25𝑦4 − 30𝑦2 + 8 =

Diferencia de cuadrados. Esta expresión algebraica es un binomio que proviene de la multiplicación de dos binomios conjugados, por lo

tanto, esa será la forma de factorizarlo. Veamos un ejemplo:

Factoriza el binomio: 𝒙𝟐 − 𝟗 =

Identificamos la expresión como una diferencia de cuadrados:

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: 𝒙𝟐, es decir, √𝒙𝟐 = 𝒙.

Obtenemos la raíz cuadrada del segundo término, sin tomar en cuenta el signo: 𝟗, es decir, √𝟗 = 𝟑.

La factorización está formada por dos binomios que contienen estas raíces cuadradas, separadas por signos

diferentes, uno positivo y otro negativo:

𝒙𝟐 − 𝟗 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)

Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas aplicando la regla que corresponda a

cada ejercicio.

1. 𝑦2 − 16 =

2. 𝑧3 − 10𝑧2 + 16𝑧 =

3. 2𝑎5 + 24𝑎3 + 72𝑎 =

4. 18𝑎3𝑏 − 8𝑎𝑏3 =

5. 27𝑎3𝑏3 + 36𝑎3𝑏2 + 12𝑎3𝑏 =

6. 2𝑎3 − 2𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 − 𝑏3 =

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7. 4𝑥3 − 8𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 + 2𝑦3 =

8. 18𝑥3 − 9𝑥2𝑦 − 8𝑥 + 4𝑦 =

Otras estrategias de factorización. Realiza una investigación y selecciona otras tres estrategias de factorización que consideres necesario incluir en

este trabajo.

Anota en las siguientes líneas los 3 casos que seleccionaste:

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Incluye 5 ejemplos de cada uno de estos casos.

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Lecturas recomendadas.