INTRODUCCION AL CURSO

Señor estudianteEsta Actividad ha sido diseñada para verificar los conocimientos anteriores que posees sobre los temas del curso, así como para verificar la existencia de algunos conocimientos mínimos que debes mantener en tu estructura mental de saberes para que se facilite el proceso de aprendizaje.

De esta manera se ha diseñado la Actividad para que se revisen algunos conocimientos específicos que ayudaran al desarrollo del estudio y se han propuesto algunos contenidos en esta lección para que complementes los mismos.

Esta Actividad es evaluativa y de refuerzo, por lo tanto recuerda que debes leer cuidadosamente y posteriormente responder preguntas para seguir adelante.

El sistema te dejará avanzar hasta que termines la APREHENSION de algunos saberes mínimos, asi que ánimo y adelante con tu estudio y con tu proceso de aprendizaje.

EXITOS

Estudio de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales

ESTUDIO DE ECUACIONESUn problema didáctico es un ejercicio de raciocinio que se puede resolver utilizando las matemáticas y la lógica . Un problema planteado tiene tres elementos básicos: los datos necesarios para resolverlo (que son siempre explícitos), el método o relación entre los datos (que el estudiante debe averiguar o descubrir) y el resultado buscado (que se desprende mediante ciertas reglas de razonamiento y

supuestos a partir de los datos aplicado el método).

Los problemas didácticos, generalmente matemáticos, se utilizan en todos los niveles educativos de matemáticas para enseñar a los alumnos a asociar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas, es decir, a pensar con lógica .

La resolución de un problema matemático implica seguir tres pasos básicos comunes a todos los problemas:

1. Comprender lo que se está preguntando. 2. Abstraer el problema, encontrar una expresión

matemática que represente el problema y resolverlo. 3. Entender lo que quiere decir el resultado al que se ha

llegado.

Normalmente los problemas matemáticos son más difíciles de resolver que los ejercicios de matemáticas habituales incluso aunque el estudiante conozca las herramientas matemáticas necesarias para resolver el problema.

Un problema matemático consiste en buscar una determinada entidad matemática de entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además satisfaga las llamadas condiciones del problema.

Sistema de ecuaciones

En las matematicas , un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incognitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Link wikipedia  Sistema de ecuaciones y metodos de solución.

¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones corresponde a rectas de pendiente ? ?

I. 2x + 3y = 3

II. 3x – 2y – 1 = 0

III. 4x – 6y + 5 = 0 Su respuesta :

sólo III

CORRECTO. !FELICITACIONES!

Se llaman sistemas equivalentes:

A. Los que tienen el mismo número de ecuacionesB. Los que tienen el mismo número de incógnitas

C. Los que tienen las mismas solucionesD. Los que tienen el mismo rango

Su respuesta :

C

CORRECTO

En un sistema compatible indeterminado:

A. El rango de la matriz ampliada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes

B. El rango de la matriz ampliada es menor que el rango de la matriz de coeficientes

C. El rango de la matriz ampliada es mayor que el número de incógnitasD. El rango de la matriz ampliada es menor que el número de incógnitas

Su respuesta :

D

CORRECTO

Aprendizaje en matrices y determinantes

Matrices y determinantesUna matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en  cantidades abstractas que pueden sumarse o multiplicarse.

Definiciones y notaciones

Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz.

Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas . A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones . Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].

Normalmente para definir una matriz Am × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ? i ? m y 1 ? j ? n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan

en cero, en cuál caso se tiene 0 ? i ? m ? 1 y 0 ? j ? n ? 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Suma de matrices

Dadas las matrices m-por-nA y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar.

Propiedades de la suma de matrices

Asociativa

Dadas las matrices m-por-nA, B y C

A + (B + C) = (A + B) + C

Conmutativa

Dadas las matrices m-por-nA y B

A + B = B + A

Existencia de matriz cero o matriz nula

A + 0 = 0 + A = A

Existencia de matriz opuesta

con -A = [-aij]

A + (-A) = 0

Producto de una matriz por un escalar

Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalarc por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Propiedades del Producto Escalar

Sean A y B matrices y c y d escalares.

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

Asociatividad: (cd)A = c(dA) Elemento Neutro: 1·A = A

Distributividad:

De escalar: c(A+B) = cA+cB De matriz: (c+d)A = cA+dA

Producto de matrices

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha.

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ? BA . La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B , no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.

Es el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador,

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz es 1 dividido por el determinante de dicha matriz mutiplicado por sus adjuntos transpuestos.

Clases de matrices

Algunas matrices presentan características particulares en la posición o en la naturaleza de sus elementos. Muchas de ellas son tan importantes en la teoría y en las aplicaciones, que han recibido denominaciones específicas.

• Matriz antisimétrica

• Matriz de adjuntos

• Matriz banda

• Matriz cuadrada

• Matriz definida positivamente

• Matriz de diagonal estrictamente dominante

• Matriz diagonal

• Matrices elementales

• Matriz hermítica

• Matriz idempotente

• Matriz identidad

• Matriz inversa

• Matriz invertible

• Matriz involutiva

• Matriz jacobiana

• Matriz nilpotente

• Matriz normal

• Matriz nula

• Matriz no singular

• Matriz ortogonal

• Matriz permutación

• Matriz simétrica

• Matriz singular

• Matriz traspuesta

• Matriz triangular (superior o inferior)

Determinantes

Se define el determinante como una forma n- lineal de un cuerpo En. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Determinantes de cualquier dimensión

Un determinante de orden 3 se calcula mediante el metodo de sarrus (ver link)

Determinantes de orden superior a 3

Suele desarrollarse el determinante de orden n a partir de una fila o columna, eliminando así filas y columnas hasta obtener un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el numero de fila y j el numero de columna. Para el primer elemento, se eleva al cuadrado, por lo que (-1)² = 1. El segundo se eleva al cubo, (-1)³ = -1. Se observa que los signos iran alternando de un elemento al siguiente). Luego, se suman todos los productos, y se obtiene el determinante. En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3.

La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinates de orden 3. En un determinante de orden 5, se

obtienen 5 determinates de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinates de orden 3.

También se pueden aplicar operaciones elementales entre filas y columnas para lograr la mayor cantidad de ceros en una fila o columna, conocido como metodo de Gauss. De esta manera se reduce notablemente la cantidad de calculos. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demas determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula). También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.

Es también conveniente antes de realizar cualquiera de esas operaciones, observar atentamente el determinante y verificar que no existen casos especiales, como una combinación lineal, de lo que se deduciría al instante que el determinante es cero, o en el caso de una matriz triangular, donde el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

En general, sin embargo, los cálculos de determinantes de ordenes altos pueden realizarse mediante la programación de estos algoritmos en ordenadores que realizan esos cálculos muy rápidamente.

Propiedades

El determinante de una matriz es un invariante algebráico , lo cual implica que dada una aplicación lineal cualquier matriz que la represente tendrá el determinante. Eso permite definir el valor del determinante no sólo para matrices sino también para apliaciones lineales.

Una propiedad fundamental del determinante es su comportamiento multiplicativo frente al producto de matrices: Eso implica en términos de aplicaciones lineales dada la relación existente entre la composición de aplicaciones

lineales y el producto de matrices que las representan que, dadas dos aplicaciones linales

El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden.

Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante no es nulo. Por lo tanto, una matriz con coeficientes en un cuerpoes invertible si y sólo si su determinante es no nulo.

Una propiedad interesante es que el rangocoincide con el orden del menor no nulo más grande posible, siendo el cálculo de menores una de los medios más empleados para calcular el rango de una matriz o de una aplicación lineal.

Link para profundizar: Ejercicios de matrices y determinantes

(Link original: personales.unican.es/camposn/matrices_ch.pdf).

Sea  AX = B  un sistema de ecuaciones lineales con M  ecuaciones y N  incógnitas. E  la forma Escalonada Reducida por Filas de A con R filas no nulas y N>M>R

Presenta ecuaciones dependientes e independientes por tanto podemos concluir que el sistema tiene. ?

Su respuesta :

M - R ecuaciones dependientes

Correcto. !Felicitaciones !

Una matriz tiene cuatro columnas y tres filas F1, F2 y F3. Si F1 es

combinación lineal de F2 y F3:

A. F2 es combinación lineal de F1 y F3

B. El rango de la matriz es 2C. Las tres primeras columnas son dependientes

D. F1, F2 y F3 son independientes

Su respuesta :

C

CORRECTO

Una de estas afirmaciones es falsa:

A. La inversa de una matriz simétrica es también simétrica B. Las filas de las matrices triangulares son independientes

C. Las transformaciones que no cambian el rango de una matriz pueden cambiar  los determinantes.

D. La matriz unidad es simétrica

Su respuesta :

B

CORRECTO

Derivación e integración

Profundizar en el siguiente Link :Profundizar con el material de Ecuaciones diferenciales Autor Jorge Rondón

Derivación e integración

CALCULO INTEGRALEl Cálculo Integral (también conocido como Cálculo Infinitesimal ) es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes , Newton y Barrow, éste ultimo fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral el cual propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

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Sus principales objetivos son:

Integral indefinida

Integral definida

Teorema fundamental del cálculo

Área de una región plana

Volumen de un sólido de revolución

Técnicas de integración

Integrales impropias

Integración indefinida

En Cálculo la integral indefinida, primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ? = f. El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo integral, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Práctica y realiza la profundización en el modúlo de Calculo integral de la Unad.

Link Módulo Cálculo Integral. Autor Jorge Rondon

Si un cuerpo se mueve de acuerdo con la ley funcional

S = f(t) 10 t + 5 t 2 donde S es el desplazamiento del cuerpo y t el tiempo empleado por el mismo, la velocidad promedio del cuerpo

( df(t)/dt) se expresa mediante

Su respuesta :

10 t + 10

Correcto.! Felicitaciones!

Decir que una sucesión a n tiene limite ? , cuando n tiende a infinito significa:

Su respuesta :

lim an = ? si y solo si lim (an – ? ) = 0

Correcto.! Felicitaciones!

PREGUNTAS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

Este tipo de preguntas consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE.  Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une.

Para responder este tipo de preguntas, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación.Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación.Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

Si se tiene una función implícita f(x, y) = 0, donde sea imposible explicitarla de la forma y = f(x), aun así se puede hallar la primera derivada.  PORQUE  la derivación logarítmica ayuda a evitar la utilización repetida de las reglas del producto y del cociente.

Su respuesta :

B

CORRECTO

PREGUNTA DE ANÁLISIS DE POSTULADOS

La pregunta que encontrará a continuación consta de una afirmación VERDADERA (tesis) y dos postulados también VERDADEROS, identificados con POSTULADO I y POSTULADO II.  Usted debe analizar si los postulados se deducen lógicamente de la afirmación y selecciona la respuesta en su hoja de cotejo, conforme a la siguiente instrucción:

Marque A si de la tesis se deducen los postulados I y II.Marque B si de la tesis se deduce el postulado I.Marque C si de la tesis sólo se deduce el postulado II.Marque D si ninguno de los postulados se deduce de la tesis.                                                                                                      

El criterio de la primera derivada tiene como fundamento, observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de tener en cuenta que:  Cuando la derivada es positiva la función crece.Cuando la derivada es negativa la función decrece.Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

TESIS: Si f´(a) > 0, se puede probar que f(x) es creciente en x=a y de forma análoga, si f´(a) < 0 entonces f(x) es decreciente en x=a.

POSTULADO I: La función f(x) = ½ es constante en x = 0.

POSTULADO II: La función f(x) = x2 es creciente en x = 1.

Su respuesta :

C

Correcto

Enhorabuena, ha llegado al final de la lección

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Su calificación actual es 8.0 sobre 8