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8/17/2019 70256636-Ejercicios-de-Curso-PRE-PAES-Resueltos.docx

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P á g i n a 1

Horas sociales Matemática

DESARROLLO DE EJERCICIOS PRE-PAES

1. La siguiente diferencia de cubs x3−103 está e!"resada crrectamente

en#

S$uci%n#

Lo primero que hacemos es extraer las raíces cúbicas, luego el primer factor es ldiferencia de ambos y el otro factor el cuadrado de la primera raíces, más la primera raípor la segunda, más la segunda raíz al cuadrado

x3−103=( x−10 ) ( ( x )2+(10 ) ( x )+(10 )2 )

x10=( x−10)( x2+10 x+100)

a! "x#1$! " x2+10 x+100¿

&. De$ siguiente sistema de ecuacines {7 x+3 y=172 x−3 y=1 ' (Cuá$es )a$res $satisfacen*

S$uci%n#

7 x+3 y=17 "1!

2 x−3 y=1 "%!

9 x=1

x=18

9

x=2

&ustituyendo en "1!7 x+3 y=17

7 (2 )+3 y=17

14+3 y=17

3 y=17−14

y=3

3=1

y=1

c! x=2 ; y=1

+. La "rbabi$idad de un suces debe cum"$ir#

S$uci%n#

Por axioma se sabe que la probabilidad de un suceso está comprendida entre $ y 1

'entro (scolar )*eneral +rancisco orazán-


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.ni/ersidad de (l &al/ador, +acultad de 'iencias 0aturales y atemática, Profesorado enatemática

a! 0 ≤ P(s)≤1

,. (u funci%n trignmtrica cum"$e /ue es "siti)a en e$ "rimer

cuadrante 0 negati)a en e$ cuart cuadrante*

S$uci%n#

&egún el círculo unitario un punto en el primer cuadrante se dene como

θ

cosθ , sin¿¿

,

pero sabemos que todas las funciones trigonom2tricas son positi/as en el primercuadrante, entonces resta analizar en el cuarto cuadrante

cosθ , es positi/a en el cuadrante 34

sin θ , es negati/a en el cuadrante 34, entonces tangente por denirse como seno sobr

coseno, esta es la que cumple la condici5n

c 2angente

3. 4Ds )eces ! a$ cuadrad mu$ti"$icad "r $a resta de ! 0 tres )eces 56 see!"resa en ntaci%n a$gebraica#

S$uci%n#

d! 2 x2( x−3 z )

7. Se escriben $s n8mers cnsecuti)s desde 1 9asta 1::&' es decir1'&'+','3';'


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P á g i n a :


k =999−1

4 =

998

4 ≈249.5(vemos que no cum ple)k =

1001−14

=1000

4 =250, 4emos que si cumpl

para x;1$$1

c! 1$$1

?. Rsa' Reina 0 Mi$a sn 9i@as de Di$ia' de +: as de edad. Rsa es 3 asma0r /ue Reina 0 Reina & as ma0r /ue Mi$a. Este a casua$mente $a sumade $as edades de $as tres 9@as es igua$ a $a edad de su mamá Di$ia' (Cuántsas tiene Mi$a*

S$uci%n#

&ea !, los a%! a


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P á g i n a ?


1&. Cien "ersnas asistirán a una esta' si $as entradas cuestan +: cada una.Pr cada increment de 3 en e$ "reci' die5 "ersnas mens irán a $a esta.(A /u "reci se deben )ender $as entradas "ara btener má!imas ganancias*

S$uci%n#

3ngresos totales; "total personas! "precio por unidad!

&ea !, el incremento

'omo el precio se incrementa D?, entonces ":$>?x!

&i el precio aumenta irán 1$ personas menos, entonces "1$$#1$x!

Ehora la funci5n de los incrementos es f ( x )=(30+5 x ) (100−10 x )=3000+200 x−50 x2

4emos que tenemos una parábola, entonces buscamos su /2rtice y la primera

componente corresponderá al aumento, mientras que la segunda nos dará lo quedebemos aumentar a D:$8

f ( x )=3000+200 x−50 x2 , entonces y=6+4 x− x2 , di/idiendo por ?$

y=− x2+4 x+6

y=−( x2−4 x+4−4 )+6 ,( 42 )2

=(2 )2=4

y=−( x−2 )2+6+4

y=−( x−2 )2+10

Por lo tanto el 42rtice es 4 "%,1$!, por lo tanto el precio al que debe /enderse lasentradas es D F$$$

c! DF$

1+. Si se sabe /ue cierta c$ecci%n de b@ets' s$ 9a0 de & c$res diferentesde 3 frmas diferentes 0 de + marcas diferentes' (Cuá$ es e$ má!im n8merde b@ets /ue "uede tener $a c$ecci%n*

S$uci%n#



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& 3 +c$res frmas marcas

Eplicamos el principio de multiplicaci5n8 % x ? x : ; +: es el número máximo de ob6etos

1,. Sea Cn'r e$ n8mer cmbinatri. Si 0 ≤ a b;1?

c! 1?

13. Si α es un ángu$' (A /ue es igua$ e$ su"$ement de ,:- α *

S$uci%n#

Por denici5n dos ángulos α + β , son suplementarios se α + β=180°

(40−α )+ x=180,entonces , x=180−40+α , x=140+α

b! 1F$> α

17. (Cuánt )a$e cada un de $s ángu$s de n triángu$s rectángu$srectángu$ is%sce$es*

S$uci%n#

Por denici5n se sabe que los ángulos internos de un triángulo suman 1G$ gradosentonces al ser rectángulo se sabe que un ángulo es recto, pero como además se sabque esos triángulos son is5sceles, entonces a lados iguales se oponen ángulos iguales

como ya tenemos uno de B$, entonces los otros dos deben medir F? cada unob! F?,F?,B$

1?. Las ntas btenidas "r n a$umns en tres e!ámenes "arcia$es deEstadFstica fuern de B' < 0 ?. Si $s "rcenta@es asignads a cada e!amen sn+:G' +:G 0 ,:G res"ecti)amente' (Cuá$ es e$ "rmedi de a"rbaci%n de$a$umn*

'oordinador8 el/in 9ladimir &uárez


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P á g i n a C


S$uci%n#como el promedio se dene8 ´ x=∑i=1

n

xi f i

n

´ X =8 (30 )+9 (30 )+7 (40)30+30+40 =790100=7.9

a! CB

1B. Cuatr amigs traba@an en un su"ermercad a$gunas 9ras "r dFarecibiend e$ siguiente sa$ari "r 9ra# Juan &.&:H 2mas &.3:H Ja)ier &.,0 Me$)in &.1:. Si Juan traba@a &: 9ras' Ja)ier 1:' 2mas &: 0 Me$)in 13 a $asemana' (Cuá$ es e$ sa$ari "rmedi "r 9ra*

S$uci%n# .tilizando la f5rmula de la media aritm2tica ponderada ´ x=∑i=1n

xi f i

n

´ X =20 (2.2 )+20 (2.5 )+10 (2.4 )+15(2.1)

20+20+10+15 =

149.5

65 =2.3

a! D%:$

1


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(n la primera extracci5n se tienen : fa/orables, de 1$ posibles, entonces3

10 , en

seguida se extrae la segunda y se tienen C fa/orables, de B que han quedado, entonces

7

9 , luego aplicamos el principio de multiplicaci5n8 ( 3

10

)(7

9

)=

21

90=

7

30

a!7

30

&:. A$ res$)er $a ecuaci%n log8+ log x=3 se btiene "ara ! e$ )a$r de#

S$uci%n# Por propiedades de logaritmos se tiene que8 ( xy)=¿ log x+ log ylog ¿ entonces8

log8+ log x=3

log8 x=3

103=8 x

x=10008 =125

a! 1%?

&1. A$ mu$ti"$icar un n8mer "r &,' su )a$r aumenta en 1+&, unidades. (E$n8mer es*

S$uci%n#

&ea x el número, entonces

%Fx;x>1:%F

%Fx#x;1:%F

%:x;1:%F



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P á g i n a B


x=1324

23 ≈58

a! ?G

&&. E$ +G de B1 es igua$ a$


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(sta es la sucesi5n de los números cuadrados, es decir, n2

, n ; 1, %, :, J

n=9, f ( n )=n2 , f (9 )=92=81

b! G1

&3. (A /ue es igua$ e$ su"$ement de 40 °−α *

S$uci%n#

&ea β el suplemento del ángulo entonces se cumple que8 β+ (40 °−α )=180 °

β+ (40 °−α )=180 °

β=180 °−(40 °−α )

β=180 °−40°+α

β=140 °+α

b! 40°−α

&7. Dads $s cn@unts &= { x 'ϵ / x>−2 } 0 (={ x 'ϵ / x ≤5 } ' $a interce"ci%n de A

cn es#

Solución:

Krascribir los con6untos en notaci5n de inter/alos &=¿ ¿

¿−2,)+¿ , (=¿−) ,5¿¿

Luego colocarlos sobre la recta real y obser/ar en que inter/alo aparecen dos colores lo

cuales son los elementos en común

La respuesta es el literal a



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P á g i n a 1 1


&?. La nta media cnseguida en una c$ase de &: a$umns 9a sig 7. Diea$umns 9an re"rbad cn nta de + 0 e$ rest btu) más de 3. (Cuá$ es $anta media de $s a$umns a"rbads*

Solución:

&e forma % grupos con 1$ alumnos cada uno, se tiene una media total de I y una medide un grupo de : por propiedades "la media de una constante es la constante! entonce

se utiliza´ X t =

n1 ´ x1+n2 ´ x2n1+n2

Aatos8

n1=n2=10 ´ X t =6 ; ´ x1=3

´ X t =n1´ x1+n2 ´ x2n1+n2

6=10(3)+10 ´ x2

20

120=30+10 ´ x2

90=10 ´ x2

9.0=´ x2

La respuesta correcta es el literal a

&B. Se "retende rdenar a un gru" de + seras 0 + seres en una $Fnea. (Decuantas maneras se "ueden 9acer si se desea /ue $as + seras "ermane5ca @untas*

Solución:

3mporta el orden pues estarán colocados en la por ello se usan permutaciones &aplica el principio del producto debido a que son sucesos dependientes ":P:":P:!;IMI;:I



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La condici5n es que las tres mu6eres están 6untas por lo cual existen /arios casos8

3 HHH#######:I formas33 HHH#######:I formas333 HHH#######:I formas34 HHH#######:I formas

'ada suceso es independiente por ello se emplea el principio de la suma por ello so1FF formas diferentes que las tres mu6eres est2n 6untas respuesta es literal a

&


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P á g i n a 1 :


+1. En un carrit $e frecen una 9amburguesa básica' $a cua$ "uede agrandar me@rar cn 7 adere5s distints. E$ n8mer de 9amburguesas distintas /ueusted "uede "edir es de#

Solución:

(l orden de los aderezos no importa por ello se emplea las combinaciones pero nespecica que solamente puedo escoger un aderezo por ello de los I aderezos esco6cero, uno dos, tres, cuatro cinco y seis

' "I, $! >' "I, 1!>' "I, %!>' "I,:!>' "I,F!>' "I, ?!>' "I,I!;1>I>1?>%$>1?>I>1;IF

Por lo tanto la respuesta correcta es el literal c

+&. En una c$ase 9a0 +: a$umns' de $s cua$es 1B sn mu@eres 0 1& 9mbresSe desea e$egir e$ cmit de"rti) integrad "r + mu@eres 0 , 9mbres(Cuánts cmits distints es "sib$e e$egir*

Solución:

'omo no se especica que se tendrán cargos en el comit2 por ello no importa el ordenentonces se usa combinaciones Pero debe estar integrado por hombres y mu6eres poello se usa el principio del producto pues son sucesos dependientes

(sco6o hombres x (sco6o u6eres;"' "1%, F!!M"' "1G, :!!

; ( 18 *3*∗15 * )∗( 12*4 *∗8 * ) Por lo cual la respuesta es eliteral d

++. De $as siguientes armacines (Cuá$ es $a ERDADERA*

a &i la probabilidad que el Oguila gane es $G$, entonces la probabilidad que no gane e$:$

b La probabilidad de un e/ento es siempre un número entero

c La probabilidad que una persona gane en una rifa puede ser #$:$

d La probabilidad de la uni5n de dos e/entos mutuamente excluyentes y exhausti/os e

siempre 1

Solución:

Para responder esta interrogante se debe discriminar las opciones de respuesta

a la suma de las probabilidades de un suceso y su complemento debe ser uno peresta resulta 11$ +EL&



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b +EL& pues 0≤ p ( xi ) ≤1

c La probabilidad nunca puede ser negati/ad

+,. Las estaturas de $as a$umnas de "rimer a de bac9i$$erat se distribu0e

nrma$mente cn una media de 17? cm 0 una des)iaci%n estándar de 7cm(Cuá$ es $a estatura de una a$umna de /uien se sabe /ue s$ e$ 13.


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P á g i n a 1 ?


La respuesta es el literal b

+3 (l /alor de sin (90 °−θ ) es igual al /alor de8

Solución:

Eplicando la f5rmula del seno de la diferencia de dos ángulos

sin (α − β )=sinα cos β−cosα sin β

sin (90 °−θ )=sin 90°cosθ−cos 90° sinθ=1∗cosθ−0∗sinθ=cosθ

Por lo tanto la respuesta correcta es literal b

+7. Ls signs de $as funcines sen' csen 0 tangente de un ángu$ de +1:N

sn res"ecti)amente#Solución:

Primero se debe identicar en que cuadrante se encuentra el ángulo θ=310 ° (st

ubicado en el cuarto cuadrante donde coseno es positi/o y el seno negati/o por lo cual ltangente será negati/a "cociente entre seno y coseno!, solo que la condici5n es lpregunta y su respecti/o orden seno "#!, coseno ">!, tangente "#!# Por lo tanto lrespuesta es el literal d

+?. (Cuá$ es e$ )a$r numric de $a e!"resi%n

4 sen2

6 0°+2cos2 45°

3cos2 60 °+sen230 ° *

Solución:

Para facilitar el proceso se usara los triángulos notables y las razones trigonom2tricas desos triángulos



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4 sen2

60°+2cos2 45°3cos

260 °+sen230 °

=

4 (√ 32 )2

+2( 1√ 2 )2

3( 12 )2

+( 12 )2 =

4 ( 34 )+2( 12 )3( 14 )+ 14

¿3+14

4

=4 Por lo tanto la respuesta es el literal c

+B. Sean $s cn@unts# &= { x 'ϵ /2≤ x4 } .E

resu$tad de ( &−( )∪( & /C ) es#

Solución:

Krascribir los con6untos en notaci5n de inter/alos &=¿ ¿

2,9¿¿

, (=¿−) ,6¿¿

¿C =¿4,)+¿ Para e/itar confusi5n se realizara cada operaci5n por aparte colocand

cada inter/alo sobre la recta real

Primero ( &−( ) es decir los elementos de E que no tienen relaci5n con 9, es deci

donde solo aparece el color naran6a

¿( &−( )=¿6,9¿

Luego obser/ar en que inter/alo aparecen dos colores los cuales son los elementos e

común entre E y '



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P á g i n a 1 C


¿4,9¿

( & / C )=¿

El realizar la uni5n de los inter/alos resultantes es8

¿4,9¿

( &−( )∪( & /C )=¿

la respuesta es el literal b

+


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Sue corresponde el literal d

,1. Lueg de descm"ner en factres un "$inmi se btu) cm resu$tad

(5 x+ 32 )(5 x+ 32 ) 1 (l polinomio que se factoriz5 es8

Solución:

(5 x+ 32 )(5 x+ 32 )=(5 x+32 )2

=(5 x )2+2 (5 x )( 32 )+(32 )

2

=25 x2+15 x+9

4

=espuesta es el literal d

,&. (Cuá$ es $a s$uci%n de $a ecuaci%n x+5−4 x

3 =2 x+1 *

Solución:

x+5−4 x

3 =2 x+1

3 x+5−4 x=6 x+3

3 x−4 x−6 x=3−5

−7 x=−2. x=2

7 La respuesta correcta el literal b

,+. (Cuá$ es e$ cn@unt s$uci%n de $a ecuaci%n 4 x2+9=12 x *

Solución:

La manera más fácil es aplicar la formula general para ecuaciones de segundo grado

4 x2+9=12 x

4 x2−12 x+9=0 E;F, 9;#1% y ';B



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P á g i n a 1 B


x=−b 2√ b

2−4ac2a

x=−(−12 )2√ 122−4∗4∗9

2∗4=

122√ 144−144

8

=12

8

=3

2

Por lo tanto la respuesta es el literal c

,,. n $abratrista tiene &:m$ de una s$uci%n /ue cntiene &3G dcncentraci%n de ácid. Si desea aumentar $a cncentraci%n a ,:G. (Cuántmi$Fmetrs de ácid debe agregar a $a s$uci%n*

Solución:

&ea x , la cantidad de ácido que hay que agregar

'antidad nal de

soluci5n

x+20

'antidad nal de ácido x+5

(ntonces como hay que agregar x cantidad, la

soluci5n nal es x+20 , pero sabemos que en

los %$ml, hay %? que son de concentraci5n de

ácido, es decir, 20 x25=20 (0.25 )=5 , pero

como /amos a agregar x cantidad de acido,

5+ x , de la cual queremos que aumente a

F$, entonces85+ x=0.40 (20+ x )

5+ x=8+0.40 x

x−0.40 x=8−5

0.60 x=3

x= 3

0.60=5

Por lo tanto la soluci5n de ácido que hay que agregar es ? ml

,3. En un csta$ 9a0 ! cantidad de frutas. La tercera "arte sn mangs' $as d/uintas "artes sn naran@as 0 $as restantes sn 17: man5anas (u cantidadde naran@as 9a0 en e$ csta$*



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Solución:

&ea x8 la cantidad total de futas

x= x

3+2

5 x+160

x− x

3−

2

5 x=160

15 x−5 x−6 x15

=160

4 x=2400. x=600 &on la cantidad total de frutas pero la interrogante es el número d

naran6as en el costal25

x=25∗600=240 la respuesta es el literal d

,7. na em"resa cnsu$tra "aga a un ingenier en cm"utaci%n ,: "r 9ra0 a su a0udante 1: "r 9ra' Pr ciert traba@' $a em"resa $es e!tiende ambs un s$ c9e/ue "r &'&:: (Cuánt tiem" traba@ e$ a0udante' si e$abr 1: 9ras más /ue e$ ingenier*

Solución:

&ea x8 el número de horas que traba6o el ayudante

@#1$8 el número de horas que traba6o el ingeniero

( x ) (10 )+( x−10 ) (40 )=2200

10 x+40 x−400=2200

50 x=2200+400=2600

x=52 (l número de horas que laboro el ayudante son ?% que es el literal a

FC La re$aci%n entre $as esca$as de tem"eraturas Ce$sius 0 a9ren9eit est

dada "r $a ecuaci%n 9

5 C > +&. n gru" de ec$gistas infrma /ue e



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P á g i n a % 1


Santa 2ec$a $a tem"eratura está )ariand entre 68 ° y 72° a9ren9eit. (Cuá$ e

e$ rang de tem"eraturas en grads Ce$sius*

S$uci%n#

68° ≤ 9

5C +32° ≤72°

68 °−32≤ 9

5C +32 °−32° ≤ 72°−32 °

36 ° ≤ 95

C ≤40 °

36°( 59 )≤ 95 ( 59 )C ≤40 °( 59 )

20° ≤ C ≤22.2°

,B. Ls "sic%$gs "ara ca$cu$ar e$ ceciente inte$ectua$ de una "ersn

uti$i5an $a f%rmu$a# C3 = 4

C ∗100 dnde CIceciente inte$ectua$' Meda

menta$ 0 Cedad crn$%gica. Si "ara un gru" de @%)enes de 13 as de edad

se tiene /ue 80≤C3≤140 ' entnces e$ inter)a$ de sus edades menta$es es#

Solución:

80 ≤C3≤ 140

80≤ 4

C ∗100≤140

80≤ 4

15∗100≤140



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80∗15100

≤ 4 ≤ 140∗15

100

12≤ 4 ≤ 21 a5os (l inter/alo corresponde al literal a

,


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P á g i n a % :


31. $ises es un @)en em"rendedr' due de una "e/uea fábrica de "iatasa rea$i5ad estudis en $a ni)ersidad 0 sus cncimients de matemática $e9an "ermitid descubrir /ue e$ cst de "rducci%n C en d%$ares de un

n8mer ! de "iatas )iene dad "r $a e!"resi%n# C ( x )=2 x+500 ;0≤ x ≤1000. Esta ecuaci%n re"resenta una#

S$uci%n#

'omo el grado del polinomio es 1, entonces es una funci5n lineal

b! +unci5n lineal

3&. $a funci%n f ( x )=− x2+2 x+1 es creciente en e$ inter)a$#

S$uci%n#

9usquemos primero el /2rtice8

y=−( x2−2 x)+1

y=−( x2−2 x+1−1 )+1( 22 )2

=1

y=−( x−1 )2+2

4 "1, %!

'omo la parábola es c5nca/a hacia aba6o, entonces, el inter/alo que es creciente es de

menos innito hasta la abscisa del /2rtice, es decir, ¿−) ,1¿

b! ¿−) , 1¿

3+. (Cuá$ de $as funcines e!"resadas mediante ecuacines es una funci%ninfectica*

S$uci%n#

Por denici5n una funci5n es inyecti/a, sí y solo sí es, creciente o decreciente

"mon5tona!, y de las funciones presentadas la única que cumple es f ( x )=−3 x+4

a! f ( x )=−3 x+4



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3,. M%nica se 9a "r"uest a9rrar diner durante e$ "resente a. E$ "rimerdFa mete a su a$cancFa &: centa)s de d%$ar' e$ segund dFa mete ,: centa)s'$s tercers 7: centa)s' 0 asF sucesi)amente. Si sus a9rrs $s inici e$ 1 deener' (Cuánt diner tendrá en su a$cancFa e$ 1 de mar5 de este mism ainc$u0end $ de ese dFa*

S$uci%n#

Hacemos primero el diagrama del problema8

0.20

1ene#o

0.40

2ene#o

0.60

3ene#o 7 7..

an

1ma#zo

0ecesitamos conocer el número de días que han transcurrido, para ello8

4emos que n;I$ días

Ehora utilizamos la f5rmula para hallar la diferencia

$=0.40−0.20

2−1=

0.20

1=0.40

'omo ya tenemos la raz5n podemos conocer el t2rmino I$ que es 1 de marzo8

an=an+(n−1 ) $ , a60=0.20+(60−1 ) (0.20 )=0.20+11.8=12

(sto quiere decir que el día 1 de marzo ella insert5 1% d5lares Ehora solo buscamos lasumatoria de estos8

%n=

(a1+an ) n2 , %60=

(0.20+12)(60)2 =

(12.2)(60)2 =(30 ) (12.2 )=366

Ehora de lo anterior 5nica ahorro D :II

c! D :II

33. $a suma# %=7+7 (2 )+7 (4 )+7 (8 )+77(215) tiene un )a$r igua$ a#


$=an−a1n−1


25/50

P á g i n a % ?


S$uci%n#

bser/amos que es una sucesi5n geom2trica, luego factoramos para conocer el número

de t2rminos, 7(20+21+23+7+215) , de lo que se puede notar que n;1I, ya que comienz

en cero la sucesi5n Luego /emos que la raz5n es "C"%!NC!;%

Ehora sustituimos en %n=7(2n−1)

#−1 ,

%16=7(216−1)

2−1 =7(216−1)

a! 7 (216−1 )

37. un cu$ti) cntiene inicia$mente 1: bacterias 0 este n8mer se du"$ic cad3 minuts. De ta$ manera /ue $ueg de 9ra' en e$ cu$ti) 9abFa 7,bacterias. Si inicia$mente 9ubiese 9abid &: bacterias' (Cuá$ de $as siguientearmacines es )erdadera*

&L.'3U0

in $ ? 1$ 1? %$ &3 :$9acteria

1$ %$ F$ G$ 1I$ :%$ IF$

9acteria

%$ F$ G$ 1I$ :%$ 7,: 1%G$

Por lo que al cabo de 25 minutos, la mínima cantidad de bacterias será de 640.

c! (n %? minutos el mínimo de bacterias seria de IF$



26/50


3?. A cntinuaci%n se "resenta ds c$umnas# $a de $a i5/uierda cntiene $ainfrmaci%n /ue se /uiera re"resentar 0 $a de $a derec9a e$ ti" de grac /uese "drFa uti$i5ar.

Infrmaci%n 2i" de grac1 &alarios mensuales de un

grupo de traba6adores demaquilas

% (xportaciones eimportaciones, en d5lares deun país en la última d2cada

: Porcenta6es de personassimpatizantes condeterminado partido político

a Ae barras doblesb Ae sectoresc Ae barras simplesd Histograma

V'uál es la relaci5n correcta entre la informaci5n y el tipo de graco a utilizarW

Los salarios mensuales de los traba6adores, por ser cantidades continuas se representana tra/2s de HistogramaLas exportaciones e importaciones, la comparaci5n de estas % /ariables que se puederepresentar con un gráco de barras doblesLos porcenta6es de personas simpatizantes se presta para su representaci5n con grácade sectores

d! 1d#%a#:b

3B. $as )entas rea$i5adas "r Arn$d en e$ 8$tim semestre fuern#

1X mes8D%$$$

%X mes8D%?$$

:X mes8D:$$$

FX mes8DF$$$

?X mes8DF?$$

IX mes8D?$$$

V'uál de las siguientes conclusiones puede ser obtenida a partir de la inferenciaestadísticaW

&L.'3U0

Saquemos la media aritmética de los datos

x=2000+2500+3000+4000+4500+5000

6

x=3500

La inferencia estadística nos permita suponer predecir lo que podría suceder.



27/50


Por lo que el literal !a" no nos proporciona una inferencia porque esta a#rmacin e

correcta es un dato que se puede conocer a tra$és de su cálculo.%l literal !b" ob$iamente es al&o que a simple $ista podemos concluir, sin necesidad de

inferir en el resultado.Si anali'amos el literal"d" podemos $er que ese dato es un resultado $erdadero, del qu

no es necesario inferir.Por todo lo anterior ( anali'ando el enunciado del literal" se puede inferir que las $entas

reali'adas por )rnoldo, puede ser que sean ma(ores de *5000 el pr+imo mes.

c! (n el mes que /iene las /entas serán mayores que D?$$$

3


28/50


)-ora bien lo que se requiere es saber que cali#cacin debe obtener para lo&rar ele$a

su promedio a .0.Llamemos + la /ltima cali#cacin, ( estructuremos la si&uiente ecuacin.

9.0=8.8+ x

2

x=9.2

c! BG

71. Su"nga /ue usted está rea$i5and un estudi sbre $a nutrici%n de $ @%)enes. Entre trs' 9a cnseguid dats referids a $s "ess de dic9 @%)enes' $s cua$es deberá rgani5ar' ana$i5ar e inter"retar "ara $a e$abraci%de$ infrme. Si desea btener $ /ue se es"ecica en $a c$umna M' (umedida de $a c$umna Q debe ca$cu$ar*

C$umna M C$umnas Q1 Peso promedio del con6unto

de 65/enes% 4ariabilidad o dispersi5n de

los pesos: Peso de un 6o/en que supera

a un determinado porcenta6ede los participantes en elestudio

Z edianax Aes/iaci5n(stándary edia Eritm2ticaz Aeciles

S$uci%n#

&egún los datos el numeral uno referido al promedio del con6unto de 65/enes, de lasmedidas de posici5n, la que me6or lo representa es la media aritm2tica y la mediana "1y#1Z!, por ser los estadígrafos de posici5n que tienden a ocupar la posici5n central, luegoen el segundo numeral /emos que se reere a /ariabilidad, por ello la que lo representaes la des/iaci5n estándar "%x!, y por ultimo 'uando habla de un determinado peso quesupera a un determinado porcenta6e, la medida de posici5n que me6or lo expresa es losAeciles ":z!

Por lo tanto la 1Z#1y#%x#:z, es el orden respecti/o

c 1Z#1y#%x#:z

7&. de $as siguientes medidas' $a /ue me@r re"resenta e$ sa$ari "rmedi de$cn@unt de sa$aris mstrad es#

Sa$aris de $a em"resa 4AC6D%$$ D%$$



29/50


D%??DF$$D?$$DF$$$

D%?$DF?$D:$$$

S$uci%n#

Por el comportamiento de los datos, /emos que hay datos que sesgan el análisis, por locual no podemos aplicar un promedio, ni moda, por lo tanto la me6or medida de posici5que representa la informaci5n mostrada es la mediana

b! ediana

7+. Para $a distribuci%n mstrada $a armaci%n )erdadera referida a$ )a$"ercenti$ c9enta es#

2IEMPO DE DESPLATAMIEQ2O DE S OKAR AL 2RAAJO DE EMPLEADOS DE4UVI2O S.A. DE C..6

2iem"min :$ [ :B BF$ [ FB 1I?$ [ ?B 1:I$ [ IB GC$ [ CB %G$ [GB 1B$ [ BB 12ta$ 3:

S$uci%n#

Primero le a


30/50


Ehora solo sustituimos en

9k =li+C [ k (n+1100 )− 6aa

f ] 9 80=60+9 [80( 50+1100 )−38

8 ]=60+3.15=63.15Ehora /emos que está en la cuarta clase, pero /emos por las respuestas que la que másse acerca es el literal d

a! (stá en la segunda clase pero más pr5ximo a F$ min

7,. $as cantidades de diner /ue cinc "ersnas cargan en sus carteras sn+' 3' B' < 0 1:. La des)iaci%n tF"ica de estas cantidades es#

S$uci%n#

La f5rmula para encontrar la des/iaci5n8% x=

∑i=1

n

( x i−´ x )2

n

, pero /emos que antes

necesitamos conocer la media ´ x=1

n∑i=1

n

x i , entonces ´ x=3+5+8+9+10

5 =

35

5 =7

34

5=¿√ 6.8

% x=

√(3−7)

2

+(5−7)2

+(8−7)2

+(9−7)2

+(10−7)2

5=√ ¿

A5lares

c! √ 6.8 d5lares

73. En una em"resa $a media aritmtica de $s sa$aris de $s traba@adres e,::' 0 $a des)iaci%n estándar es de &3. Si a cada traba@adr se $e da unaument de 3:' entnces $a nue)a media 0 $a nue)a des)iaci%n estándar seráres"ecti)amente#

S$uci%n#

Ecá se deducen las propiedades8 Aado x1+a , x2+a , x3+a , 7 7 7 1 , xn+a

´ x 2 a=1

n∑i=1

n

( x i 2 a )=1

n∑i=1

n

x i 2 1

n∑i=1

n

a=1

n∑i=1

n

xi 2 1

n ( na )=´ x 2 a



31/50


x

(¿¿ i 2 a)−(´ x 2 a)¿¿¿2¿

¿% x 2a

2 =1

n∑i=1

n

¿

% x 2 a=% x

'omo la media era de D F$$, por la formula, la nue/a media es D F?$ y la des/iaci5nestándar permanece igual, es decir, D %?

b! F?$ y %? d5lares

77. $a media aritmtica de $s sa$aris de $s traba@adres de una em"resa' e+:: d%$ares 0 $a )arian5a 1:: d%$ares. Si a cada traba@adr se $e da un aumentde$ &3G de su sa$ari' (Cuá$es serán res"ecti)amente' $a nue)a media 0 $anue)a des)iaci%n estándar*

S$uci%n#

&e deducen las siguientes propiedades8

Aados x1+a x1 , x2+a x2 , x3+a x3, 7 7 7 1 , xn+a xn

(ntonces8 x1(1+a), x2(1+a), x3(1+a) , 7 7 7 1 , x n(1+a)

1+a xi(¿)¿

x i=¿ (1+a ) 1

n∑i=1

n

( x i )=(1+a) ´ x

¿

(a ´ x+ ´ x )=1

n∑i=1

n

¿



32/50


1+a¿¿¿

%ax+ x2 =

1

n∑i=1

n

((1+a ) x i−(1+a ) ´ x )2=

1

n∑i=1

n

¿

a

1+¿¿¿2¿¿¿

%ax=√ a2

% x2=(1+a)% x

'omo %? quiere decir que se está multiplicando por 1$$, procedemos a di/idirlo po1$$ para sustituir en la formula %?N1$$ ; $%? ; a

Por las propiedades anteriores, la nue/a media será8

(a ´ x+ ´ x )=(1+a ) ´ x=(1+0.25 ) (300 )=(1.25 )(300)=375

La des/iaci5n es %ax=√ (1+0.25)2(100)=√ (1.25 )

2(100)=12.5 , por lo tanto la nue/a media

es D :C? y la des/iaci5n estándar es D 1%?

a! D:C? y D1%?

7?. La media aritmtica de $s "unta@es de un e!amen de Ciencias Qatura$efue 73' cn una des)iaci%n estándar de 3. Debid a un ma$ mane@ de$ registrde ca$icacines en $a cm"utadra' cada nta de $s a$umns disminu0 en 3"unts. Est "ermaneci% asF 9asta /ue e$ dcente se di cuenta' 0 "arcrregir e$ errr s$icit /ue cada una de $as 8$timas ntas /ue a"arecerFan smu$ti"$icara "r 1.&. (Cuá$es sn res"ecti)amente $a media 0 $a des)iaci%ntF"ica de $as ntas des"us de 9aberse rea$i5ad $s /ue e$ dcente s$icit*

S$uci%n#

'omo cada una de las notas disminuy5 en ? puntos entonces por la propiedad8

x 2 a⟹ ´ x 2 a ,



33/50


(ntonces la media es ´ x 2 a=65−5=60 , pero como se multiplica por 1%, entonces la

nue/a media es ax⇒ a ´ x , entonces ´ x=60 (1.2 )=72 y la des/iaci5n %ax=a % x ,

%=(1.2 ) (5 )=6

a! C% I

7B. E$ n8mer de inasistencias a su traba@ durante e$ a' de un gru" de 1:em"$eads de una cina gubernamenta$ se "resenta a cntinuaci%n# ?' 7' 1:?' 3' ?' +'


34/50

1I C

% FB

?


Eplicando el principio de multiplicaci5n8 2 x 4 x 3 x 2=48

b! FG

?:. Da)id' Kab0' Migue$' I)án 0 Diana 9acen $a "ara ser )acunads cntra ettan. Si Kab0 0 Diana /uieren estar siem"re @untas' (De cuantas maneradistintas "ueden rdenarse en $a $a*

S$uci%n#

'onstruimos el posible resultado por defecto8

% 1 : % 1

1e# 2$o 3e# 4¿

5¿

Pero como dos de ellas desean ir 6untas, entonces por principio multiplicati/o8

(2* ) (3 * ) (4 )=48

a! FG

?1. En una esta infanti$' e$ "a0as in)itad $$ama a siete a "artici"ar en u @ueg. Para e$$ $e da a cada ni un de $s siete cartnes mstrads 0 $e

"ide /ue frmen cantidades de cuatr cifras ma0res de 3+::. (Cuántacantidades "drFan frmarse*

S$uci%n# se tiene 1, I, %, C, F, B, ?

Primero /ericamos todos los casos8 : 74=7 p 4=840

Ehora /emos los que no cumplen lo que se solicita8

3 x 6 x 5 x 4=360

1 x 2 x 5 x 4=40

Ehora solo a todos los posibles les restamos los que no cumplen8



35/50


GF$#:I$#F$;FF$

a! FF$

?&. E$ n8mer de "a$abras de cinc $etras /ue es "sib$e frmar cn $as $etrasde LIRE2A es#

S$uci%n# como no nos da restricci5n, aplicamos principio de multiplicaci5n8

7 x 6 x 5 x 4 x 3 ; %?%$

a! %?%$

?+. En una urna se tienen < b$as numeradas de$ : a$ B. Si se e!traen , b$itasuna des"us de $a tra 0 sin re"sici%n' (Cuá$ es $a "rbabi$idad /ue se frmeun n8mer de cuatr cifras signicati)as 0 /ue sea "ar*

S$uci%n#

&e tiene %={0 ,1,2 ,3,4 ,5,6 ,7, 8 } n"&! ; B

C I ? ?

1$?$

; $:B$I%?G G C I %IG

G

?,. En $as "áginas de un dcument de un @ue5 están escrits $s nmbres de1: mu@eres 0 B 9mbres. Se se$eccinan a$ a5ar cinc nmbres "ara cnfrmarun tribuna$ de cnciencia. La "rbabi$idad de /ue e$ tribuna$ /uedecnfrmad "r tres mu@eres 0 ds 9mbres es igua$ a#

S$uci%n#

Por lo que menciona el problema, utilizamos la Ley de Laplace, y el principio demultiplicaci5n8

(10

3 )(8

2)(185 )

=20

51

d!20

51



36/50


?3. A un bebe $e 9an rega$ad 7 cubsH cada un tiene escrits en sus seicaras una s$a de $as siguientes $etras# O' R' Q' ' E' M. $a "rbabi$idad /ue bebe rdene $s cubs frmand $a "a$abra QWMERO es#

S$uci%n# .tilizamos la Ley de Laplace y principio de multiplicaci5n8

( 16 )( 15 )( 14 )( 13 )(12 )(11 )= 1720

a!1

720

?7. n @)en /ue estudia $a terFa de "rbabi$idades' determina a A 0 cme)ents de un es"aci muestra$ S' de ta$ manera /ue PA :.3' P :., 0 PA :.?. (Cuá$ de $as siguientes "r"sicines referidas a $s e)ents A 0 es )erdadera*

S$uci%n#

Por las condiciones mencionadas hay una uni5n de sucesos, y si /emos E y 9 no sonmutuamente excluyentes ya que tienen una intersecci5n, dado que están unidos,además no son complementarios, ya que no cumplen ni siquiera las condicionesanteriores, y mucho menos suman uno, por lo que podemos decir que son dependientes

a! E y 9 son e/entos dependientes

??. Ciert ti" de fcs tiene una durante media igua$ a


37/50


(l procedimiento consiste en cambiar la /ariable @ por otra llamada /ariable estándar T

- = X − +

p (850≤ x ≤1000 )= p(850−900

50 ≤ X −900

50 ≤ 1000−900

50 )= p (−1≤ - ≤2 )

; p (- ≤ 2 )− p ( - ≤−1 )= p (- ≤ 2 )− {1− p (- ≤1 ) }

¿0.9772− {1−0.8413 }=0.9772−0.1587=0.8185

Para obtener el porcenta6e basta multiplicar por 1$$ la probabilidad obtenida G1G? lcual corresponde al literal b

?B. $a duraci%n "rmedi de $s anuncis "r te$e)isi%n es de +: segunds cuna des)iaci%n tF"ica de 3 segunds. Asumiend /ue $s tiem"s de duraci%tienen tendencia nrma$' $a "rbabi$idad a"r!imadamente /ue un cmerciadure más de +3 segunds es#

S$uci%n#

&ea x8 el número de horas que dura los comerciales, +=30 y =5

(l área buscada "o probabilidad! es la de la gráca

(l procedimiento consiste en cambiar la /ariable @ por otra llamada /ariable estándar T

- = X +



38/50


p ( x


39/50


S$uci%n#

'omo por denici5n dos ángulos suplementarios suman 180 ° , entonces podemos

conocer que el ángulo que se forma con la línea recta es de 25 ° , luego como los

angulos interiores de un triangulo suman 180 ° , lueo 35 °+25°+θ=180 ° , despe6ando

obtenemos θ=120 ° , luego lo con/ertimos a radianes8

=#a$ 180 °

@ 120 °

x=(120°)(=#a$ )

180 ° =

2 =

3 #a$

b!

2 =

3

#a$1

B1. cuand un triángu$ tiene sus tres $ads "r"rcina$es a tr triangu$' sedice /ue $s triángu$s sn#

S$uci%n#

Por denici5n son seme6antes

c! &eme6antes

B&. Para $a siguiente gura' encuentre e$ )a$r de !' sabiend /ue#

S=;x>F, =&;%x>:, SP; :, K&; ?



40/50


S$uci%n#

4emos que los ángulos ∡0'P=θ=∡%'> ,luego separamos los triángulos y escribimos la

informaci5n que nos proporcionan8

Luego como tienendos ángulos

iguales, entoncespor criterio deseme6anza aa, lostriángulos8⊿0'P ?⊿%'>

(ntonces80'

%' =

0P

%>

x+42 x+3

=3

5

Ehora despe6amos x8

5 ( x+4 )=3 (2 x+3 )

5 x+20=6 x+9

x=1

d! 11



41/50


B+. cosθ=3

5 y θ es n ángu$ agud' entnces tanθ=¿

S$uci%n#

Por teorema de Pitágoras sabemos que c2=a2+b2 , y sobre razones trigonom2tricas

cosθ=C 1 a

@

&olo despe6amos a o b de la formula, a=√ c2−b2 , entonces a=√ 5

2−32=4 , ahora este

es el cateto opuesto, y como la tangente se dene tan θ= C1Apuesto

C 1 &$yacente=

4

3

a!4

3

B,. na esca$era de 7.?m de $ngitud se c$ca cntra una "ared 9aciend un

ángu$ de 63° cn res"ect a$ sue$. (Cuánts metrs arriba /uedarán $a

"unta de $a "ared de $a esca$era cn res"ect a$ "is*

S$uci%n# Primero hacemos un bosque6o del problema8

Ehora busquemos una raz5ntrigonom2trica que nos relacione toda lainformaci5n'omo tenemos hipotenusa y ladoopuesto que es el que queremosconocer, entonces utilizamos seno

sin63 °= x

6.7

x=(6.7)(sin 63)

x ≈6

d! I



42/50


B3. n @ardFn engramad tiene frma triangu$ar' cn $as medidas mstradas en

$a gura sin esca$a. La cantidad de drama cntenida en m2

e

a"r!imadamente#

S$uci%n#

Por Keorema se sabe que el área en funci5n de sus lados es8 p=

a+b+c

2 ,

&=√ p ( p−a ) ( p−b ) ( p−c )

p=7+5+11

2=11.5 , &=√ 11.5(11.5−7)(11.5−5)(11.5−11)≈13

e! 1:

B7. n decágn es un "$Fgn cn 1: )rtices 0 1: $ads. na diagna$ es u

segment de recta /ue cnecta ds )rtices n cnsecuti)s de$ "$FgnEncuentre $a cantidad tta$ de diagna$es /ue "ueden dibu@arse en udecágn.

S$uci%n#

'omo es un decágono entonces tiene 1$ /2rtices, y para obtener el número de

diagonales que pueden dibu6arse, es dado por (nk )−n"me#o$ela$os , siendo ];%

Ehora8 (102 )−10=45−10=35

d! :?



43/50


B?. $as "sicines cu"adas "r un cic$ista' a medida transcurre e$ tiem" Vsn cm se muestra en $a tab$a. Si se e!"resa cm funci%n de !' se btienuna#

2iem" t en min Psici%n en metrs$1 ?$$$% F?$$: F$$$F :?$$

S$uci%n#

'on los datos en la tabla /emos que en uno comienza con ?$$$, en dos decrece a F,?$$luego en tres F$$$, y se obser/a que la relaci5n /e decreciendo entre ambascomponentes, y por ello podemos armar que es una funci5n lineal

b! +unci5n lineal

GG (l /alor de tan 50o

es igual al de8

S$uci%n#

Lo que hacemos es simplemente probar utilizando la calculadora "se puede hacerutilizando las deniciones, pero es muy tedioso!

&abemos8

sin acsca=

1

sina

cos aseca=

1

cosa

tan acot a=

1

tan a

(ntonces cotangente ; 1N tan ?$ °=tan50 °

a! cotangente de F$$

B


44/50


Por denici5n la pendiente está dada por8 m= y

2− y

1

x2− x1 , sustituimos

m=5−(−1)

2−(−3)

=5+1

2+3

=6

5

'!6

5


45/50


( x−3 )2−8=−4 y Egrupando

( x−3 )2−8−4

= y despe6ando y

−( x−3 )2

4+8

4= y

y−2=−( x−3 )2

4 , po# lo tanto el:#tice es: (3,2)

a! ":,%!


46/50


1 % : F ? I$

%

F

I

G

1$

1%

V'uántos goles se anotaron durante el torneoW

S$uci%n#

'omo la relaci5n de las barras es goles anotados por número de 6ugadores entonces8

*oles anotados durante el torneo ; 1$"1!>I"%!>F":!>F"F!>%"?!>1"I!; II goles

d! II


47/50


(s la representaci5n del producto cartesiano8

b! ̂ #1,%^x_1,:_


48/50


Cm DCXXA 0 ADXX C' entncesACD es "ara$e$gram' entncesADC 0 ADC' además $s ángu$s

∡(9C =θ=∡ &(9 ' entnces "r

criteri de cngruencia F&F ' $s

triángu$s ⊿ &9( G⊿ 9@(

c! Los triángulos EA9 y AH9


49/50


b! y=6−2 x


50/50


inter)a$ esta $a s$uci%n#

( x+4) −¿ +¿ +¿

( x−3) −¿ −¿ +¿

( x−3)( x+4) +¿ −¿ +¿

Luego la parte sombreada constituye el con6unto soluci5n, es decir,

¿3,+)¿

¿−) ,−4 ¿H ¿

b!

¿3,+)¿

¿−) ,−4 ¿H ¿

1::. A$ factri5ar e$ "$inmi# x3−64 ' btenems cm resu$tad#

S$uci%n#

Lo primero que hacemos es extraer las raíces cúbicas, luego el primer factor es ldiferencia de ambos y el otro factor el cuadrado de la primera raíces, más la primera raípor la segunda, más la segunda raíz al cuadrado

x

3

−43

=( x−4 ) ( ( x )2

+(4 ) ( x )+(4 )2

)

x 4=( x−4)( x2+4 x+16)

a! ( x−4)( x2+4 x+16)

:#F

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