4 ESO 01 Ampliacion

8 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO

Los números reales11.1. Los números reales

Los números racionales son los números enteros, los decimales exactos y periódi-cos. Los números irracionales son números decimales no exactos, ni periódicos.

Operaciones con fracciones

( + ) : = · = · = =

1.2. Factorial de un número

Ejemplo

Calcula el factorial de 5: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Casos particulares: 0! = 1 1! = 1

1.3. Número combinatorio

En la práctica, un número combinatorio se calcula de la siguiente manera:

a) En el numerador se multiplican p factores, empezando en m y disminuyendo de uno en uno.

b)En el denominador se calcula el factorial de p

Ejemplo

( ) = = 56 56=3nCr88 · 7 · 63 · 2 · 1

83

m m m!El número combinatorio (—) se lee m sobre p, y se define por la fórmula: (—) = —————

p p p!(m – p)!

120=x!5

El factorial de un número natural es el producto de dicho número por todoslos números naturales menores que él hasta el uno. Se representa por n!

n! = n · (n – 1) · (n – 2) ··· 3 · 2 · 1

11 –ÆÆ 18=2ab/c3Ô)4ab/c3+6ab/c1(

1118

2236

23

1112

23

2 + 912

32

34

16

El conjunto de los números reales está formado por los números racionalesy los irracionales. Se representa por la letra �

Reales�

Irracionales: π, e, f, , , …3√5√2

Racionales�

Enteros�

Naturales �: 0, 1, 2, 3, …

Negativos: … – 3, – 2, – 1

Fraccionarios: – , – , , , …76

23

14

32

°§ §§¢§§§£

°§¢§£

°¢£

1/2 – 2/3

– 7/3

7,12345678…

e πf

– 23/47

4/5

1/7

4/13

Racionales: �

Irracionales

Números reales: �

Naturales: �

Enteros: �

– 1 – 2 – 3

– 54– 7

0 1 2

5 37

– 3/7

– 1/3

√2 √3 3√53√7

Configurala calculadora

a) Para que escriba directa-mente las fracciones im-propias:

(DISP)

(d/c)

b) Para que utilice la comacomo notación decimal:

(DISP)

(Comma) 2

�1MODE

2

1MODE

Aconsejamos la calculadoraCasio fx-82MS

Chema

Stamp

Chema

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© Grupo Editorial Bruño, SL. Ampliación de Matemáticas de 4º ESO. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

91. LOS NÚMEROS REALES

Propiedades de los números combinatorios

1.4. Sucesiones de números reales

Ejemplo

Calcula los 10 primeros términos de la sucesión an = 2n + 3. ¿Es creciente o decreciente?

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

Es creciente.

Límite de una sucesión

Ejemplo

Mediante la calculadora halla los términos de lugar 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista del

resultado obtenido halla intuitivamente

a10 = 2,41667; a100 = 2,93137; a1 000 = 2,99301. A la vista de los resultados obtenidos, el límite pedido es 3

1.5. El número e

La sucesión an = (1 + )n es monótona creciente y está acotada superiormente por 3; por tanto, tiene límite.

Ejemplo

Mediante la calculadora halla el término de lugar 1 000 000 de la sucesión an = (1 + )na1 000 000 = 2,718280469; vemos que tiene 6 dígitos exactos.

1n

1n

El número e viene definido por el siguiente límite. Es un número irracional.

1e = lím (1 + —)n = 2,71828182…

n 8 +@ n

3n – 1n + 2

límn 8 +@

3n – 1n + 2

El límite de una sucesión es el valor al que se aproxima la sucesión cuando n toma valores muy grandes. Serepresenta por lím an y se lee “límite de a sub n cuando n tiende a más infinito”. El límite puede ser un

n 88 +@@

número real, o bien más o menos infinito.

Una sucesión de números reales es un conjunto de números reales ordenado. El término general de una suce-sión se representa por an

Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior.

Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior.

Una sucesión es monótona cuando es creciente o decreciente.

Una sucesión está acotada superiormente cuando existe un número real K que es mayor o igual que todos sustérminos.

Una sucesión está acotada inferiormente cuando existe un número real k que es menor o igual que todos sustérminos.

m m m m – 1 m – 1a) (—) = (———) b) (—) = (———) + (———)p m – p p p p – 1

Chema

Text Box




Calcula:

( + ) :

Solución:a) Elige

b) Para escribir cada línea de comentario, eligeComentar (Ctrl + T). Escribe en un

solo bloque el número y el título del tema, elnombre de los dos alumnos y Paso a paso.Para pasar de una línea a la siguiente, sincambiar de bloque, pulsa [Intro]

c) Haz clic en Calcular para crear nuevobloque.

d) Elige Comentar y escribe: Ejercicio 1e) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro

del mismo bloque.

f ) Para elegir un tamaño de paréntesis que seajuste a su contenido, en elige

Paréntesis, y para escribir la fracción,elige Fracción

g) Haz clic en Calcular

Halla la expresión decimal con 15 dígitos delsiguiente número y clasifícalo como periódico:

Solución:a) Escribe: precisión(15)b)En la fracción, después del 24 va un punto

para que dé el resultado como decimal.

Calcula el factorial de 5

Solución:

Calcula ( )Solución:En elige Combinaciones

Halla los 10 primeros términos de la sucesión:

an = 2n + 3

¿Qué es: creciente o decreciente?

Solución:

Escribe la función aplicar_función,Apunta a está en

Mediante Wiris halla los términos de lugar 10,

100 y 1 000 de la sucesión an = . A la

vista del resultado obtenido, halla intuitivamente

Solución:

Después de la sucesión escribe la lista [10, 100,1 000]

Calcula el siguiente límite:

(1 + )n¿Qué número se obtiene?

Solución:

En elige Límite. El Infini-to positivo está en

1n

límn 8 +@

7

3n – 1n + 2

límn 8 +@

3n – 1n + 2

6

5

83

4

3

2411

2

32

34

16

1

Paso a paso

Chema

Text Box



Linux/Windows

Halla la expresión decimal con 15 dígitos delnúmero e y clasifícalo como racional o irra-cional:

Solución:

En elige Número decimal e

Plantea el siguiente problemas y resuélvelo con ayudade Wiris:

Aplica las propiedades de los números combi-natorios y calcula el valor de x en la siguienteigualdad:

( ) = ( )Solución:Planteamiento: x + 2 = 12 – (x – 2)

En elige yescribe la ecuación.

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eli-ge Matemáticas, curso y tema.

10

12x + 2

12x – 2

9

8

Así funciona

Menú edición Menú análisis Menú combinatoria

Comentar (Ctrl+T) Límite Combinaciones

Menú operaciones

Paréntesis Fracción

Menú símbolos

Apunta a Infinito positivo Número decimal e

Número e Número decimal PI Número PI

Notación decimal en Wiris

Wiris utiliza como notación decimal el punto (.), en vez de la coma (,). En Wiris, para obtener un resultadocon decimales, es suficiente con añadir a uno de los números de la operación un punto de decimal al final.Wiris utiliza la función precisión(n) para indicar el número de cifras significativas con las que deseamostrabajar. El mayor valor que puede tomar n es 15. Esta función solo tiene efecto dentro del bloque en la queestá definida. Devuelve el número de cifras significativas que había anteriormente; por defecto son 5

El número π y el número e

En se elige Número decimal PI si se quiere la expresión decimal o Número PI si no sequiere la expresión decimal. De la misma forma, se elige Número decimal e, o bien Número e

Términos de una sucesión

Se emplea la función aplicar_función, que calcula los términos de una sucesión dada por una fórmula.

Chema

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Linux/Windows

Calcula: · – : = Calcula: · – =

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:

=


=

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional oirracional:

=

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irra-cional: π =

Calcula: 6! = Calcula: 8! =

Calcula: = Calcula: =

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = . ¿Es creciente o decreciente?

Halla = Halla =

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:

Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:

=

Planteamiento: Solución: x =

Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?26

)9x – 2()9

x – 5(25

n2

n + 1lím

n 8 +@24

6n – 32n + 5

límn 8 +@

23

(–n)n

n22

21

)126(20)7

5(19

1817

16

1 + √Ä5

3

15

2843

14

6712

13

)56

94(4

312

54

38

74

23

11

Practica con Wiris

Chema

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Ejercicios y problemas

Calcula: · – : =

Calcula: · – =


=


=

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional oirracional:

=1 + √Ä

53

15

2843

14

6712

13

)56

94(4

312

54

38

74

23

11

Practica con bolígrafo y papel

Chema

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Ejercicios y problemasHalla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irra-cional:

π =

Calcula: 6! =

Calcula: 8! =

Calcula: =

Calcula: =

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = . ¿Es creciente o decreciente?(–n)n

n22

21

)126(20

)75(19

18

17

16

Chema

Text Box



Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista de los resultados obteni-dos, halla el siguiente límite:

a10 =

a100 =

a1 000 =

=

Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista de los resultados obteni-dos, halla el siguiente límite:

a10 =

a100 =

a1 000 =

=

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:

Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:

=

Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?26

)9x – 2()9

x – 5(25

n2

n + 1lím

n 8 +@

n2

n + 124

6n – 32n + 5

límn 8 +@

6n – 32n + 5

23

Chema

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