32.- Dinámica de los fluidos ideales.

32.- Dinámica de los fluidos ideales.

§32.1. Fluidos ideales (967); §32.2. La ecuación de Euler (967); §32.3. Otras ecuacionesde la dinámica de los fluidos (968); §32.4. Otra forma de la ecuación de Euler (970);§32.5. Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli (970); §32.6. Aplicación de la ecuaciónde Bernoulli al flujo irrotacional (971); §32.7. Generalización de la ecuación de Bernoullial flujo no estacionario (972); §32.8. Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli(973); §32.9. Trabajo realizado por una corriente fluida (975); §32.10. Medida de la presiónestática en un flujo (978); §32.11. Medida de la presión dinámica (979); §32.12. Efecto deVenturi (980); §32.13. Tubo de Pitot (982); §32.14. Efusión de un liquido. Teorema deTorricelli (983); §32.15. Efusión de gases. Ley de Bunsen (985); Problemas (986)

En la lección anterior hemos descrito el movimiento de los fluidos por medio de magnitudescinemáticas tales como la aceleración, la velocidad y la vorticidad; ahora relacionaremos esasmagnitudes cinemáticas con las fuerzas que actúan sobre un fluido en movimiento. Así nosintroduciremos en el estudio de la Dinámica de los fluidos, tema que proporciona las bases de lahidrodinámica, que se refiere al movimiento de los líquidos, como el agua, y de la aerodinámica,que concierne al movimiento de los gases, como el aire, y de cuerpos tales como aviones y cohetesen la atmósfera.

§32.1. Fluidos ideales.- La dinámica de los fluidos reales es un temamatemática y físicamente muy complejo; por ello resulta conveniente introducirciertas hipótesis simplificativas. En esta lección vamos a ocuparnos de los llamadosfluidos ideales, entendiendo por tales aquéllos en los que no existen esfuerzoscortantes, incluso cuando están en movimiento, de modo que las fuerzas superficiales(vide §28.3) sobre un elemento de fluido son debidas exclusivamente a la presión.

Por definición, los fluidos no soportan esfuerzos cortantes cuando están enequilibrio; pero todos los fluidos poseen cierta viscosidad, que introduce esfuerzoscortantes entre las capas fluidas adyacentes en movimiento relativo. Los fluidosideales no poseen viscosidad. Evidentemente, no encontraremos fluidos ideales en laNaturaleza; el fluido ideal no es más que una hipótesis de trabajo simplificadora. Enmuchos fluidos la viscosidad es muy pequeña (agua, aire, ...), de modo que el análisisrestringido de la dinámica de los fluidos a los fluidos ideales tendrá una ampliaaplicación práctica; si acaso, tras introducir las correcciones empíricas apropiadas.

§32.2. La ecuación de Euler.- Supongamos un fluido ideal en movimiento, yconsideremos un elemento infinitesimal del mismo (partícula fluida), de masa dm yvolumen dV (Figura 32.1). Sigamos a la partícula fluida en su movimiento. Natural-mente, supondremos que la masa (dm) de la partícula fluida permanece constante en

Física Universitaria 967

968 Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.

el transcurso de su movimiento, aunque su volumen (dV) podrá variar, a menos queel fluido sea incompresible. La segunda ley del movimiento de Newton nos relacionala aceleración total que adquiere la partícula con la resultante de todas las fuerzas queactúan sobre ella; i.e.,

Figura 32.1

[32.1]dFR (dm) dvdt

Las fuerzas que actúan sobre la partículafluida son de dos tipos (§28.3): fuerzas superfi-ciales y fuerzas másicas. Puesto que el fluido esideal, la fuerza superficial neta que actúa sobrela partícula fluida es debida únicamente a lapresión. De acuerdo con el estudio que hicimosen §28.4, podemos expresar dicha fuerza en laforma -∇pdV, ya que fp=-∇p representa lafuerza por unidad de volumen debida a lapresión. Las fuerzas másicas son fuerzas exte-

riores que actúan sobre la partícula fluida y que acostumbramos a expresar referidasa la unidad de volumen del fluido (fm, densidad de fuerza másica) o a la unidad demasa del mismo (g, fuerza másica específica), de modo que la fuerza másica neta queactúa sobre la partícula fluida será fmdV=gdm. Entonces, la segunda ley delmovimiento de Newton nos permite escribir en un referencial inercial

[32.2]∇p dV g dm dm dvdt

o sea [32.3]1ρ

∇p g dvdt

donde la aceleración dv/dt es la aceleración total o sustancial (método de Lagrange).Utilizaremos la expresión [31.9] para expresar la relación [32.3] en función de lasderivadas en un punto fijo del espacio (método de Euler); así obtendremos

[32.4]1ρ

∇p g ∂v∂t

(v ∇ ) v

que es la ecuación de Euler del movimiento de un fluido. Obviamente, la ecuaciónde Euler comprende como caso particular a la ecuación fundamental de la estática delos fluidos [29.28] cuando v=0 ó v=cte, i.e., ∇p=ρg.

§32.3. Otras ecuaciones de la dinámica de los fluidos.- Existen seisvariables básicas en la dinámica de los fluidos: las tres componentes de la velocidad,la presión, la densidad y la temperatura. Esto significa que necesitaremos seisecuaciones independientes para resolver los problemas de la dinámica de los fluidos.Las tres componentes escalares de la ecuación de Euler nos suministra tres de esasecuaciones; veamos cuáles son las otras tres.

§32.3.- Otras ecuaciones de la dinámica de los fluidos. 969

(a) Ecuación de continuidad.- Esta ecuación, establecida en la lección precedente,expresa el principio de conservación de la masa. En ausencia de manantiales y desumideros se escribe de la forma

[32.5]∂ρ∂t

∇ (ρv) 0

(b) Ecuación característica del fluido.- Esta ecuación expresa las propiedadesfundamentales del fluido, relacionando las magnitudes p, ρ y T. En general, sereduce a alguna de las formas siguientes:

[32.6]

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

ρ ρ(T)

ρ ρ0(T) [1 βp]

p ρ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

RM

T

; para un líquido incompresible.

; para un líquido poco compresible,

siendo β el coeficiente de compresibilidad.

; para un gas perfecto.

(c) Ecuación complementaria.- Esta ecuación caracteriza el tipo de transforma-ción termodinámica que experimenta la partícula fluida en el transcurso de sumovimiento. Bajo el influjo de los cambios de presión, la partícula fluida se expandeo se contrae, realizándose un trabajo por ella o sobre ella; parte de ese trabajo puedeaparecer en forma de calor. Las transformaciones más usuales son las siguientes:

(i) Transformación isotérmica.- Si los cambios de densidad experimentados porla partícula fluida son suficientemente lentos, la conducción calorífica mantendráconstante la temperatura en la partícula fluida. En estas condiciones, la relaciónexistente entre la densidad y la presión estará dada por el módulo de compresibilidadisotérmico o por la ecuación de estado a temperatura constante (ley de Boyle); i.e.,

[32.7]

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ρ cte

ρ ρ0 (1 βp)

p/ρ cte


; para un líquido poco compresible.


(ii) Transformación adiabática.- Cuando los cambios de densidad son muy rápi-dos no hay tiempo para que se produzca un flujo calorífico apreciable entre lapartícula fluida y su entorno, de modo que la transformación termodinámicaexperimentada por ésta puede considerarse como si fuese adiabática. En estascondiciones, deberemos utilizar el coeficiente de compresibilidad adiabático o larelación adiabática entre la presión y la densidad; i.e.,

[32.8]

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ρ cte

ρ ρ0 (1 αp)

pρ γ cte


; para un líquido poco compresible.


donde γ (coeficiente adiabático) es el cociente entre los calores molares a presióny a volumen constante (γ=Cp/CV).


El campo de flujo de un fluido quedará completamente determinado una vez queexpresemos el vector velocidad v, la presión p, la densidad ρ y la temperatura T enfunción de las coordenadas espaciales y del tiempo. Las seis ecuaciones precedentespodrán tener o no, una o varias soluciones. En cualquier caso, esas soluciones, siexisten, contendrán constantes de integración que deberán evaluarse en cada problemaconcreto a partir de las condiciones de contorno en la región en que se está moviendoel fluido y de las condiciones iniciales.

§32.4. Otra forma de la ecuación de Euler.- De aquí en adelante, supondre-mos que la fuerza másica específica g es conservativa, de modo que puede expresarsecomo el gradiente (cambiado de signo) de una energía potencial específica (energíapotencial por unidad de masa) que designaremos por ; i.e.,

[32.9]g ∇

Como es obvio, normalmente la fuerza másica será debida al propio peso delfluido, en un campo gravitatorio uniforme, de modo que

[32.10]g g k gz

midiéndose z verticalmente hacia arriba a partir de un cierto plano horizontal dereferencia.

En estas condiciones, reescribiremos la ecuación de Euler [32.4] en la forma

[32.11]1ρ

∇p ∇ ∂v∂t

(v ∇) v

en la que conviene sustituir el último término por su equivalencia (vide [A10])

[32.12](v ∇)v ∇ ( v 2

2) (∇×v)×v

para obtener finalmente

[32.13]1ρ

∇p ∇ ∇ ( v 2

2) (∇×v)×v ∂v

∂t0

que es la forma en que nos serviremos de la ecuación de Euler en los epígrafessiguientes.

§32.5. Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli.- Consideremos el flujo deun fluido ideal en régimen estacionario. Entonces será ∂v/∂t=0 y la ecuación de Eulerse reduce a

[32.14]1ρ

∇p ∇ ∇ ( v 2

2) (∇×v)×v 0

Integraremos esta ecuación diferencial a lo largo de una línea de corriente. Paraello, multiplicaremos escalarmente todos sus términos por el desplazamientoelemental dr a lo largo de una línea de corriente (Figura 32.2). Así obtenemos

§32.5.- Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli. 971

[32.15]1ρ

∇p dr ∇ dr ∇ ( v 2

2) dr [(∇×v)×v] dr 0

El cuarto término de esta expresión es nulo, por tratarse de un producto mixtoen el que dos de los vectores dr y v, son siempre paralelos. Los otros tres términosson de la forma general ∇φ dr=dφ, donde el diferencial representa el cambioinfinitesimal de la magnitud escalar φ en la dirección del desplazamiento elementaldr; i.e., en la dirección de una línea de corriente. Por consiguiente, la expresión [32.15]

nos conduce a escribir

Figura 32.2

[32.16]dpρ

d d ( v 2

2) 0

que podemos integrar a lo largo de una línea de corrien-te para obtener

[32.17]⌡⌠dp

ρ12

v 2 cte

conocida como ecuación de SAINT VENANT o ecuacióncompresible de BERNOULLI. Esta ecuación podrá inte-grarse si la densidad ρ es expresable como función exclusiva de la presión p; i.e.,ρ=ρ(p).

Para un fluido incompresible (ρ=cte) tendremos

[32.18]pρ

12

v 2 cte (ρ cte.)

Si, además, la fuerza másica conservativa es debida exclusivamente al propio pesodel fluido (en un campo gravitatorio uniforme), podemos escribir la ecuación anterioren la forma

[32.19]pρ

gz 12

v 2 cte

conocida como ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario, no viscoso eincompresible. Fue presentada por primera vez por Daniel BERNOULLI1 en suHydrodynamica en 1738.

§32.6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli al flujo irrotacional.- Laecuación de Bernoulli desarrollada en el epígrafe anterior es aplicable entre dospuntos de una línea de corriente cualquiera en un flujo estacionario, no viscoso eincompresible. Pero si, además, el flujo es irrotacional, podemos demostrar que laecuación de Bernoulli es aplicable entre dos puntos cualesquiera del flujo.

1 Daniel BERNOULLI (1700-1782); matemático y físico suizo, hijo de Johann Bernoulli. Realizósus principales trabajos en el campo de la Hidrodinámica. Elaboró el primer estudio matemáticode los líquidos y sugirió loas primeras ideas acerca de la teoría cinética de los gases.


Consideremos un flujo ideal en régimen de flujo estacionario e irrotacional;entonces serán ∂v/∂t=0 y ∇×v=0, de modo que la ecuación de Euler [32.13] se reducea

[32.20]1ρ

∇p ∇ ∇ ( v 2

2) 0

Ahora, multiplicaremos escalarmente los tres términos de esta expresión por el vector

Figura 32.3

desplazamiento elemental dr, de dirección arbitraria (Figura 32.3)

[32.21]1ρ

∇p dr ∇ dr ∇ ( v 2

2) dr 0

Los tres términos de esta expresión son de laforma general ∇φ dr =dφ, donde la diferencialrepresenta el cambio infinitesimal que experimenta lamagnitud escalar φ en la dirección (arbitraria) deldesplazamiento dr. Así pues, obtenemos

[32.22]dpρ

d d ( v 2

2) cte

expresión que es idéntica a la expr. [32.16], de modoque de ella se siguen las mismas expresiones [32.17]-[32.19]; pero como ahora la dirección del desplaza-miento elemental dr es arbitraria, de modo que no

existen restricciones direccionales en las diferenciales de la expresión [32.22],tendremos que las fórmulas finitas [32.17]-[32.19] son aplicables a todos los puntos delflujo, sin estar restringidas a los puntos situados sobre una misma línea de corriente.

§32.7. Generalización de la ecuación de Bernoulli al flujo noestacionario.- Consideremos un flujo ideal en régimen de flujo currentilíneo y noestacionario. Entendemos por régimen de flujo currentilíneo aquél en el que ladirección de la velocidad en cada punto del espacio permanece constante en eltranscurso del tiempo, aun cuando su módulo pueda variar. En un flujo currentilíneo,incluso cuando no sea estacionario, podemos definir las líneas de corriente, quecoincidirán con las trayectorias seguidas por las partículas fluidas.

Multiplicaremos escalarmente todos los términos de la ecuación de Euler [32.13]

por el vector desplazamiento elemental dr a lo largo de una línea de corriente(Figura 32.2) para obtener

[32.23]1ρ

∇p dr ∇ dr ∇ ( v 2

2) dr [(∇×v)×] dr ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

∂v∂t

dr 0

Los tres primeros términos de esta expresión son de la forma general ∇φ dr =dφ.El cuarto término es nulo por ser v dr; por la misma razón, el quinto término puedeescribirse como (∂v/∂t)ds, donde ds= dr representa el elemento de longitud a lolargo de la línea de corriente. En definitiva, la expresión [32.23] nos conduce a

§32.7.- Generalización de la ecuación de Bernoulli al flujo no estacionario. 973

[32.24]dpρ

d d ( v 2

2) ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

∂v∂t

ds

ecuación diferencial que podemos integrar a lo largo de una línea de corriente, entrelos puntos 1 y 2, para obtener

[32.25]⌡⌠

2

1

dpρ

( 2 1)12

(v 22 v 2

1) ⌡⌠

2

1

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂v∂t

ds

ecuación válida para un régimen de flujo no estacionario y no viscoso y queconstituye una generalización de la ecuación de Bernoulli.

Ejemplo I.- Determinar el periodo de las oscilaciones de la columna líquida contenida en un tubo

Figura 32.4

en ∪ de sección recta transversal constante y colocado verticalmente.

Evidentemente, el régimen de flujo currentilíneo en el tubo es uniforme y no estacionario.Aplicaremos la ecuación de Bernoulli generalizada para el flujo no estacionario e incompresibleentre los puntos 1 y 2 de una línea de corriente.

1ρ

(p2 p1) g(z2 z1)12

(v 22 v 2

1) ⌡⌠

2

1

∂v∂t

ds

con p1=p2=patm; z2-z1=2x; v1=v2=v y ∂v/∂t=dv/dt=d2x/dt2, de modo quetenemos

2gxdvdt

Ld2x

dt 2

2gL

x 0

que es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, cuyoperiodo es

T 2π L2g

§32.8. Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli.- La ecuaciónde Bernoulli es esencialmente una formulación del principio de conservación de laenergía aplicado al flujo estacionario e incompresible de un fluido ideal. Resulta fácile instructivo reencontrar la ecuación de Bernoulli a partir de tal principio deconservación, evitando los cálculos formales que hemos llevado a cabo en losepígrafes precedentes.

Consideremos un flujo en régimen estacionario de un fluido ideal a lo largo deun tubo de corriente, de sección recta infinitesimal y variable, como se muestra enla Figura 32.5. Puesto que el flujo es estacionario, la presión p, la densidad ρ y la velo-cidad v del fluido tendrán un valor constante en el transcurso del tiempo en todos lospuntos de una misma sección recta del tubo de corriente, aunque sus valores variaránde unas secciones a otras.


Centraremos nuestra atención en la porción de fluido representada por las áreas

Figura 32.5

sombreadas (oscuras) en la Figura 32.5; a esta porción de fluido la llamaremos elsistema o volumen de control. Transcurrido un intervalo de tiempo infinitesimal dt,el sistema se habrá movido desde la posición mostrada en la Figura 32.5 izq. a lamostrada en la Figura 32.5 dcha.. Como se comprenderá, el efecto neto desde un puntode vista energético es la elevación de la porción de fluido representada por el áreasombreada oscura desde la cota z1 a la cota z2; designaremos por dm la masa de dichaporción del fluido.

Comenzaremos calculando el trabajo neto realizado sobre el sistema por lasfuerzas de presión p1dS1 y p2dS2, ejercidas por el fluido inmediato y que actúan enla dirección del flujo, durante el intervalo de tiempo dt. Este trabajo es

[32.26]dW p1dS1dl1 p2dS2dl2 p1dV1 p2dV2

siendo dV1 y dV2 los volúmenes de las porciones de fluido sombreadas de oscuro enla Figura 32.5. De acuerdo con el principio de conservación de la masa (ecuación decontinuidad) tenemos

[32.27]dm ρ1 dV1 ρ2 dV2

de modo que el trabajo dW puede expresarse por

[32.28]dW⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p1

ρ1

p2

ρ2

dm

Ahora igualaremos este trabajo con el cambio que experimenta la energía totaldel sistema durante ese mismo intervalo de tiempo dt. A dicho cambio contribuyenlos cambios en

(a) la energía potencial gravitatoria; dEp dm g (z2 z1)

(b) la energía cinética; dEk

12

dm (v 22 v 2

1)

Entonces, podemos escribir

§32.8.- Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli. 975

[32.29]p1

ρ1

p2

ρ2

g (z2 z1)12

(v 22 v 2

1)

o sea [32.30]p1

ρ1

g z1

12

v 21

p2

ρ2

g z2

12

v 22

y como los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera a lo largo del tubode corriente, podemos suprimirlos y escribir simplemente

[32.31]e pρ

g z 12

v 2 cte

que es la ecuación de Bernoulli.Obsérvese que cada uno de los tres términos de la ecuación [32.31] tienen las

dimensiones de una energía por unidad de masa (energía específica). Llamaremosenergía mecánica total específica, y la designaremos por e, a la suma de la energíapotencial específica asociada a la presión (p/ρ), de la energía potencial gravitatoriaespecífica (gz) y de la energía cinética específica (v2/2). Así, la ecuación de Bernoulliestablece que

la energía mecánica total específica permanece constante a lo largo de unalínea de corriente.

En el caso de que el flujo sea incompresible, podemos dividir por ρ ambosmiembros de la expr. [32.31] y la ecuación de Bernoulli puede reescribirse en laforma:

[32.32]p ρgz 12

ρ v 2 cte

de modo que cada uno de los tres términos tenga dimensiones de presión o deenergía por unidad de volumen (densidad de energía). La presión dinámica o totales la suma de la presión estática (p+ρgz) y de la presión cinética (ρv2/2). La presióndinámica o total permanece constante a lo largo de una línea de corriente; cuandoaumenta la velocidad en un estrechamiento, aumenta la presión cinética y disminuyela presión estática. También podemos enunciar que la densidad de energía mecánicatotal permanece constante a lo largo de una misma línea de corriente.

La ecuación de Bernoulli también puede escribirse en la forma:

[32.33]pρg

z v 2

2gcte

de modo que los tres términos tienen las dimensiones de una longitud, y se designanfrecuentemente como alturas de presión, de cota o topográfica y de velocidad,respectivamente.

§32.9. Trabajo realizado por una corriente fluida.- Como acabamos de veren el epígrafe anterior, la ecuación de Bernoulli es esencialmente una formulación


del principio de conservación de la energía aplicado a las corrientes fluidas, ya quela expr. [32.31] representa el flujo de energía mecánica específica a través de unasección determinada del tubo de corriente, que permanece constante conformeavanzamos en la dirección del flujo.

Aplicaremos ahora este principio de conservación de la energía en su forma másgeneral (Primer Principio de la Termodinámica) a un tubo de corriente para cualquierrégimen flujo estacionario en el que se intercambie energía, en forma de calor o detrabajo, entre el fluido y su entorno. Entonces, la ecuación de Bernoulli deberáescribirse en la forma

[32.34]e1 u1 w q e2 u2

donde:e representa la energía mecánica específica (i.e., por unidad de masa) en un

punto de la corriente fluida, dada por

e ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

pρ

v 2

2gz

u representa la energía interna específica que varía generalmente de un puntoa otro del fluido,

w es el trabajo específico realizado2 sobre el fluido (w<0) o por el fluido(w>0), en el interior del volumen de control (zonas oscuras en la Figura 32.6)durante el intervalo de tiempo empleado por aquél en avanzar desde laposición 1 a la 2, como se ilustra en la Figura 32.6,

q es el calor transferido desde el medio ambiente al volumen de control defluido (q<0), o desde éste al medio ambiente (q>0), por unidad de masa defluido.

Ordenando los términos de la

Figura 32.6

expresión anterior, escribiremos:

[32.36]e1 e2 (u2 u1) w q

de modo que el segundo miembro de laexpr. [32.36] es igual a la pérdida deenergía mecánica específica durante elintervalo de tiempo empleado por elvolumen de control en avanzar desde lasección 1 a la 2.

Si el flujo es viscoso, existiránfuerzas de fricción entre los tubos decorriente o las capas fluidas adyacentesen movimiento relativo, lo que implica

una disipación de energía mecánica, de modo que parte del trabajo realizado por las

2 Utilizamos el criterio termodinámico de signos, ilustrado en la Figura 32.6, según el cuál seconsideran positivos el calor suministrado al sistema y el trabajo proporcionado por el sistema.

§32.9.- Trabajo realizado por una corriente fluida. 977

fuerzas de presión y gravitatorias, que en el caso de un fluido no viscoso eincompresible se manifestaba como aumento de la energía cinética, ahora aparecerácomo energía calorífica. Esto es, se produce una conversión irreversible de energíamecánica en energía interna del fluido y en calor que es transferido al exterior. Enestas condiciones, la energía mecánica no permanecerá constante a lo largo del tubode corriente, sino que irá disminuyendo, a menos que se suministre energía al flujo,conforme se evalúa en puntos más avanzados de la corriente. Así, en los problemasprácticos en los que no pueda ignorarse la viscosidad deberán introducirse lascorrecciones empíricas o semiempíricas apropiadas para tener en cuenta esta pérdidade carga conforme se avanza en el sentido de la corriente.

Si el fluido es ideal e incompresible y no se aporta energía calorífica al mismo,la energía interna específica será constante a lo largo del tubo de corriente y podráser suprimida en la expresión anterior, de modo que podemos escribir:

[32.37]e1 e2 w

donde w será positivo o negativo según se extraiga (+) o se proporcione (-) energía,en forma de trabajo, de la corriente fluida. Podemos interpretar la expresión anteriorde la siguiente forma:

La pérdida de energía mecánica específica entre dos puntos del flujo esigual al trabajo específico realizado por el mismo.

La potencia, i.e., el trabajo por unidad de tiempo, realizado sobre el flujo (-) orealizado por el mismo (+) será

[32.38]P Φ w ρ w

como el lector comprobará fácilmente.

Ejemplo II.- Calcular la potencia nominal que deberá tener una bomba que extraiga agua de un

Figura 32.7

pozo abierto a la atmósfera, en el que la superficie libre del agua está a 20 m por debajo de lasuperficie del terreno, para que nos proporcione un caudal de 600 l/min a través de una tubería de2.54 cm (1 pulgada) de diámetro, suponiendo que el rendimiento de la bomba sea del 70%.

Aplicamos la expresión [32.37],

w e1 e2

p1 p2

ρg (z1 z2)

v 21 v 2

2

2

con p1 p2 patm z2 z1 h v1 0 v2 v

de modo que w gh12

v 2

donde el signo negativo significa que se realiza sobre el flujo,

y la potencia [32.38] será P ρ w

Sustituyendo los datos del problema:


600min

0.01 m 3

sS

πD 2

4π (25.4×10 3)2

45.07×10 4 m2

vS

0.01

5.07×10 417.9 m/s w 9.8×20 19.72

2391 J/kg

P 1000 × 0.01 × ( 391) 3907 W 3.9 kW

La potencia nominal de la bomba será

Pnom

Prend.

3.90.7

5.6 kW

§32.10. Medida de la presión estática en un flujo.- Consideremos un flujo

Figura 32.8

estacionario, no viscoso, incompresible e irrotacional en el interior de una tubería.Supongamos que la tubería sea rectilínea, cilíndrica o prismática, como ocurre en la

práctica en la mayor parte de la longitud de lastuberías. Entonces, las líneas de corriente sonlíneas rectas paralelas entre sí y a lasgeneratrices de la tubería. En estas condiciones,la velocidad tendrá el mismo valor en todos lospuntos de una misma sección recta de la tuberíay al aplicar la ecuación de Bernoulli entre dospuntos de una misma sección recta (Figura 32.8)tenemos

[32.39]pA ρgzA pB ρgzB

de modo que:

la presión estática p+ρgz es la misma en todos los puntos de una misma sec-ción recta de la tubería.

La presión estática p+ρgz en una sección recta de la tubería puede medirse

Figura 32.9

acoplando a ésta un tubo piezométrico; esto es, un tubo abierto por sus dos extremosy colocado, generalmente, en posición vertical.El extremo del tubo piezométrico acoplado a latubería se llama toma de presión estática y pue-de estar situado sobre la pared de la tubería(Figura 32.9) o en el interior de ésta (Figura 32.10).

En estas condiciones, parte del fluidopenetra y sube por el tubo piezométrico hastaque alcanza en él un cierto nivel, que medire-mos respecto a un plano horizontal de referen-cia; este nivel recibe el nombre de altura piezo-métrica (z1) y constituye una medida de lapresión estática en la sección recta AB de latubería (Figura 32.9). En efecto, puesto que la

§32.10.- Medida de la presión estática en un flujo. 979

presión estática p+ρgz permanece constante a lo largo del trayecto 1-A-C-B-2,podemos escribir (ecuación hidrostática):

[32.40]patm ρgz1 pA ρgzA p ρgz pB ρgzB patm ρgz2

o sea

Figura 32.10

[32.41]z1 z2

p patm

ρgz

de modo que la altura piezométrica permanececonstante cuando la toma de presión estática sedesplaza en una misma sección recta de latubería, bien sea sobre su contorno o en suinterior. La expresión [32.41] nos permite deter-minar la presión p en los puntos del interior dela tubería (en función de la cota z) a partir de lamedida de la altura piezométrica correspon-diente:

p patm ρg(z1 z)

La toma de presión estática puede situarse en el interior de la tubería; entonces, la toma depresión estática estará coronada por un disco plano, horadado (disco de Ser), cuyo plano será para-lelo a las líneas de corriente, como se ilustra en la Figura 32.10. Naturalmente, este será el procedi-miento a seguir cuando se trate de efectuar la medida de la presión estática en un flujo externo (noconfinado en tuberías o canales). En cualquier caso, será necesario asegurarse de que laintroducción del tubo piezométrico no altere significativamente las características del flujo.

§32.11. Medida de la presión dinámica.- Reconsideremos un flujo en el

Figura 32.11

interior de una tubería en las mismas condiciones que en el epígrafe anterior.Acoplaremos un tubo piezométrico en A paramedir la presión estática en esa sección recta deltubo (Figura 32.11). Además, acoplaremos otrotubo piezométrico que desemboque en el interiorde la tubería, en el punto C, de modo que esaobertura esté orientada perpendicularmente a laslíneas de corriente; el fluido penetrará y ascen-derá por este tubo hasta alcanzar un nivel z2,como se muestra en la Figura 32.11. Existe unalínea de corriente BC que se detiene en el puntoC; obviamente, esta línea de corriente es singu-lar3. El punto C recibe el nombre de punto deestancamiento, por ser nula en él la velocidaddel flujo.

3 No representa la trayectoria de las partículas fluidas; de ser así, el fluido se acumularíaindefinidamente en el punto de estancamiento o subiría indefinidamente por el tubo piezométrico.


Podemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1-A-B (como en elepígrafe anterior) y entre los puntos B-C-2. Así obtenemos las ecuaciones siguientes

[32.42]

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

patm ρgz1 pA ρgzA pB ρgzB

pB ρgzB

ρv 2B

2pC ρgzC patm ρgz2

La segunda de estas expresiones nos permite escribir

[32.43]ρgz2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

pB ρgzB

ρv 2B

2patm

de modo que la altura piezométrica z2 constituye una medida de la presión dinámicao total en el punto B. La toma de presión en C se llama toma de presión dinámicao total.

Sumando miembro a miembro las expresiones [32.42], se deduce fácilmente que

[32.44]ρg (z2 z1)12

ρv 2B

resultando que la diferencia de alturas piezométricas en ambos tubos constituye unamedida de la presión cinética (ρvB

2/2) en el punto B.Naturalmente, será necesario asegurarse de que la introducción de los tubos

piezométricos no altere significativamente las características del flujo, lo que seconseguirá mediante un diseño apropiado de las tomas de presión.

§32.12. Efecto de Venturi.- El efecto de Venturi se refiere a la disminuciónde presión estática asociada con el aumento de velocidad en un flujo ideal4. El efectode Venturi, así llamado en honor del físico suizo Giovani Battista VENTURI (1746-1822), es una consecuencia inmediata de la ecuación de Bernoulli. Puesto que lapresión dinámica o total permanece constante en un flujo ideal, un aumento de lapresión cinética ρv2/2 (i.e., de la velocidad) implica una disminución de la presiónestática p+ρgz, y viceversa. En un flujo ideal, la variación de la velocidad serápuramente convectiva.

Consideremos un flujo ideal en el interior de un tubería rectilínea cilíndrica oprismática, de sección recta S variable; para mayor simplicidad la consideraremoshorizontal como se ilustra en la Figura 32.12. La ecuación de continuidad (vS=cte) nospermite asegurar que la velocidad del flujo en el punto B será mayor que en A. Porconsiguiente, al aplicar la ec. de Bernoulli entre los puntos A y B

[32.45]pA

12

ρv 2A pB

12

ρv 2B

4 Llamamos flujo ideal a un flujo estacionario, no viscoso, incompresible e irrotacional.

§32.12.- Efecto de Venturi. 981

o sea

Figura 32.12

[32.46]pA pB

12

ρ (v 2B v 2

A) > 0

Los tubos piezométricos acoplados endiferentes secciones rectas de la tubería indi-carán diferentes alturas piezométricas; cuantomenor sea la sección recta de la tubería, menorserá la altura piezométrica (i.e., la presiónestática) correspondiente. La diferencia de presiones estáticas entre los puntos A yB viene dada por pA-pB = ρg(z1-z2). Este gradiente de presión estática entre los puntosA y B proporciona la fuerza neta necesaria para acelerar al fluido (convectivamente)a lo largo de la convergencia de la tubería.

El paso de un fluido por un estrechamiento puede dar lugar a importantesreducciones de la presión estática. En el caso de los líquidos, será necesario que lapresión absoluta (p) mínima (en el estrechamiento) sea superior a la tensión de vaporsaturante a la temperatura del flujo; en caso contrario, el líquido entra en ebullicióny se forman burbujas de vapor en el seno del flujo. Este fenómeno recibe el nombrede cavitación; en estas condiciones, el flujo ya no es ideal y no se cumple la ec. deBernoulli. El fenómeno de la cavitación es, en general, perjudicial y debe evitarse suaparición en el flujo. Las burbujas de vapor producen una acción físico-químicaintensa (corrosión) y su desaparición, en las regiones en las que la presión vuelve asubir, provoca acciones mecánicas violentas (vibraciones, ruidos, choques, ...) quedañan los materiales de las conducciones.

La reducción de presión estática en un estrechamiento tiene diversas aplicaciones técnicas. Así,en el pulverizador o atomizador (Figura 32.13), una corriente de aire alcanza suficiente velocidad enel estrechamiento del tubo por la que circula como para que se produzca una gran caída de presión(inferior a la patm) de modo que el líquido contenido en el recipiente pueda ascender por el tubovertical y ser dispersado por la corriente de aire. Este es el principio de funcionamiento que permitela inyección de la mezcla de gasolina-aire en los cilindros de un motor de explosión.

En la trompa de agua o de vacío (Figura 32.14), se produce una gran caída de presión en el

Figura 32.13 Figura 32.14

estrechamiento A del tubo que conduce agua, y el aire circundante es arrastrado por el chorro deagua. Si la tubuladura B está unida a otro recipiente, los gases y vapores contenidos en éste seránsuccionados por la trompa; así se pueden conseguir vacíos hasta del orden de unas decenas de Torr.


Ejemplo III.- Contador de Venturi.- El contador de Venturi (venturímetro) es un dispositivo quepermite determinar el caudal que circula por una tubería. Consiste en un tubo convergente-divergente, diseñado de forma adecuada para evitar las turbulencias, que se intercala en la tubería(Figura 32.15). El tubo de Venturi lleva acoplado un manómetro diferencial que permite medir ladiferencia de presiones pA-pB entre las secciones rectas de áreas SA y SB. Encontrar una expresiónque nos permita determinar el caudal el función de la lectura del manómetro diferencial.

Aplicando las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli entre los puntos A y B tenemos

[32.47]vASA vBSB pA

12

ρv 2A pB

12

ρv 2B

y eliminando vB entre esas dos ecuaciones y teniendo en cuenta que pA-pB = (ρm-ρ)gh (vide

Figura 32.15

Problema 32.13), siendo ρm la densidad del líquido manométrico, obtenemos

[32.48]vA SB

2(ρm ρ)gh

ρ(S 2A S 2

B)

y el caudal que circula por la tubería es

[32.49]vASA SASB

2(ρm ρ)gh

ρ (S 2A S 2

B)

§32.13. Tubo de Pitot.- El tubo de Pitot es un aparato que se utiliza para medir

Figura 32.16

la velocidad de una corriente fluida, generalmente gaseosa y en régimen de flujoexterno. El tubo de Pitot5 consiste en una sonda, diseñada con un perfil apropiado paraevitar perturbaciones significativas en el régimen de flujo, que posee una abertura (A) ensu extremo, enfrentada directamente a la corriente fluida, y otras aberturas (B) laterales,colocadas lo suficientemente hacia atrás para que en ellas la velocidad y la presióncorrespondan a los valores de corriente libre. La abertura A constituye una toma de presióntotal (punto de estancamiento); las oberturas B son tomas de presión estática. Aplicando

la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y Btenemos

[32.50]pA pB

12

ρ v 2

La diferencia de presiones pA-pB estarámedida por la diferencia de niveles (h) dellíquido manométrico (de densidad ρm) en lasdos ramas de un manómetro diferencialacoplado a las tomas de presión; i.e.,

5 En realidad, el esquema de la Figura 32.14 corresponde al llamado tubo de Prandtl, en honordel Ludwig PRANDTL (1875-1953), científico alemán, autor de numerosos trabajos en Mecánica deFluidos.

§32.13.- Tubo de Pitot. 983

pA pB

12

ρv 2 (ρm ρ) gh

de modo que podemos calibrar el manómetro para leer directamente velocidades (paraun fluido determinado), ya que

[32.52]v 22(pA pB)

ρ2(ρm ρ)g

ρh

Los tubos de Pitot se utilizan en los aviones para determinar la velocidad deéstos respecto al aire. En los anemómetros, el tubo de Pitot va montadosolidariamente con una veleta que se encarga de enfrentarlo a la dirección del viento.

§32.14. Efusión de un liquido. Teorema de Torricelli.- Consideremos un

Figura 32.17

depósito cerrado, cilíndrico o prismático, de sección transversal de área S1, quecontiene un líquido de densidad ρ hasta un cierto nivel z1 y aire a la presión p1 porencima de la superficie libre del líquido (Figu-

ra 32.17). El líquido fluye al aire libre (presiónatmosférica) a través de un pequeño orificio, deárea S, practicado en la pared del depósito. Laexperiencia nos dice que todo el líquido participaen el movimiento y que el flujo es de tipo con-vergente en el depósito. Supongamos que la rela-ción entre las áreas S1/S2 sea suficientementegrande, de modo que podamos despreciar lavariación del nivel z1 durante un corto intervalode tiempo Δt, durante el cual el flujo puedeconsiderarse como si fuera estacionario6. En estascondiciones, la ecuación de Bernoulli nos permitedeterminar la velocidad de efusión del líquido porel orificio. Aplicando la ecuación de Bernoullientre los puntos 1 y 2 tenemos

[32.53]p1 ρgz1

12

ρv 21 p2 ρgz2

12

ρv 22

y puesto que z1-z2=h y p2=patm, resulta

[32.54]v 22 v 2

1 2p1 patm

ρ2gh

Si consideramos el caso particular muy frecuente en el que la presión que actúasobre la superficie libre del líquido sea también la presión atmosférica, entoncesp1=patm y nos queda

6 Una situación equivalente se consigue reponiendo líquido en el depósito, al mismo ritmo conque sale de él, para mantener constante su nivel.


[32.55]v 22 v 2

1 2gh

y si, además, es S1 S2, de modo que será v1 v2, entonces podemos considerar quev1

2≈0, con gran aproximación, de modo que tenemos

[32.56]v 2gh

Esto es,

el líquido sale por el orificio con la misma velocidad que adquiriría un móvilen caída libre desde una altura h.

Este es el enunciado del teorema de Torricelli. No puede sorprendernos esteresultado, puesto que el líquido gana energía cinética en la salida a expensas de laenergía potencial gravitatoria que pierde en el nivel de su superficie libre.

Para calcular el gasto o caudal a través del orificio, hay que tener en cuenta que,a causa de la convergencia de las líneas de corriente en las proximidades del orificio,el área de la sección recta del chorro continua disminuyendo durante un cortorecorrido fuera del depósito (del orden del radio, para un orificio circular), hasta quefinalmente las líneas de corriente son paralelas entre sí. El chorro toma una formacaracterística (Figura 32.18); el área mínima de la sección transversal del chorro (Sc)recibe el nombre de sección contracta o vena contracta. La ley de Torricelli da lavelocidad de salida una vez completada la contracción. El gasto vendrá dado por elproducto

[32.57]v2 Sc

pero como el valor de Sc no resulta fácil de medir, es conveniente definir el llamadocoeficiente de contracción Cc

[32.58]Cc

área de la sección contractaárea del orificio

Sc

S2

de modo que el gasto vendrá dado por

[32.59]Cc v2 S2

El coeficiente de contracción se determina experimentalmente; sus valores están

Figura 32.18

tabulados, en obras especializadas, para diversas formas de los orificios y tubos de

§32.14.- Efusión de un liquido. Teorema de Torricelli. 985

descarga. Así, para un orificio bien perfilado (Figura 32.18a), es Cc=1.0; para un orificiocircular de bordes finos (Figura 32.18b), es Cc=0.6; para un orificio reentrante o tubode Borda (Figura 32.18c), es Cc=0.5.

§32.15. Efusión de gases. Ley de Bunsen.- Consideremos un depósito llenocon un gas de densidad ρ y a una presión pA. El gas escapa a través de un orificiode pequeñas dimensiones en las paredes del depósito. Sea pB la presión existente enel exterior del depósito (por ejemplo pB=patm).

Si la diferencia de presiones Δp=pA-pB es pequeña en

Figura 32.19

comparación con pB, podemos considerar el gas comoincompresible y aplicaremos la ec. de Bernoulli entre elpunto A en el interior del depósito y alejado del orificioy un punto B situado en la sección contracta del chorrode gas a la salida. En el caso de los gases, podemosprescindir generalmente de los cambios de presióndebidos al peso del gas, i.e., ρgh, ya que ρ es muypequeña y h no suele ser demasiado grande. Entoncespodemos escribir

[32.60]pA

12

ρv 2A pB

12

ρv 2B

y como vA vB, la velocidad de efusión del gas será

[32.61]vB

2 ( pA pB)

ρ

Así, para una diferencia de presión Δp=pA-pB dada,

la velocidad de efusión de un gas por un orificio es inversamente proporcio-nal a la raíz cuadrada de la densidad del mismo.

Este es el enunciado de la ley de Bunsen. Si el gas puede considerarse como un gasperfecto, entonces es ρ=(p/RT)M, de modo que la velocidad de efusión esinversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molecular. Si tenemos unamezcla de gases, esta propiedad nos permite llevar a cabo la separación fraccionadade los distintos componentes de la mezcla (v.g., la separación isotópica para unelemento determinado).


Problemas

32.1.- Supongamos un flujo bidimensional deun fluido incompresible y no viscoso, cuyocampo de velocidades venga dado por

v = Axi - Ayj

a) Determinar la ecuación general de las líneasde corriente. b) Dibujar un esquema del patrónde líneas de corriente. c) Encontrar laexpresión del campo de presión p(x,y,z) to-mando como referencia la presión p en elorigen de coordenadas. (El eje z se suponevertical).

32.2.- Repetir los tres apartados del Proble-ma 32.1 para el campo de velocidades

v = - Ayj + Bxj.

32.3.- Reconsideremos el flujo bidimensionaly estacionario de un fluido incompresible y noviscoso alrededor de un cilindro, tal como lodescribimos en el Prob. 31.14. a) Encontrar elsignificado físico de la constante v∞ queaparece en la expresión del campo de veloci-dades de dicho flujo. b) Encontrar la expresióndel campo de presión p(r,θ) tomando comoreferencia la presión correspondiente a lacorriente libre. c) Determinar la distribución depresión absoluta sobre la superficie delcilindro. d) Calcular la fuerza neta debida a lapresión que actúa sobre la superficie delcilindro.

32.4.- Dado el campo de velocidades

v = (2t - 6x)i + 6yj + 12t2k,

para un flujo incompresible y no viscoso,encontrar la expresión del campo de presiónp(x,y,z,t) tomando como referencia la presiónp0(t) en el origen de coordenadas.

32.5.- Un grifo, de sección recta circular deradio r0, deja salir un chorro de agua, verti-calmente hacia abajo, con una velocidad inicialv0. Puesto que v0 es pequeña, el agua fluye enrégimen laminar durante un cierto tramo de sucaída vertical. Expresar el radio r del chorrode agua, en ese tramo, en función de ladistancia h a la boca del grifo.

32.6.- Calcular la presión ejercida sobre elcentro de la superficie frontal de un torpedoque se desplaza en el mar (ρ=1.02 g/cm3) a

una profundidad de 10 metros y con unavelocidad de 54 km/h.

32.7.- Para medir la

Prob. 32.7

velocidad del agua quecircula por un arroyo,se dispone de un tuboen L, como se muestraen la figura adjunta.¿Cuál será la velocidadde la corriente si elagua asciende por eltubo vertical hasta unaaltura de 40 cm porencima de la superficielibre del agua?

32.8.- Un fluido ideal, de densidad ρ, circula

Prob. 32.8

en régimen estacionario por una tubería desección uniforme S. Para determinar el caudalen la tubería acoplamos dos tubos piezométri-cos que nos permiten medir la diferencia entrelas presiones estática y dinámica por medio deun manómetro diferencia en el que el líquidomanométrico tiene una densidad ρm. Expresarel caudal en función de la lectura h del manó-metro diferencial.

32.9.- Géiser. El géiser Old Faithful (Yellows-tone Park) expulsa periódicamente un chorrode agua que alcanza una altura de hasta40 metros. a) Determinar la velocidad del aguaen la base del chorro. b) Calcular la presiónmanométrica que debe existir en el interior delgéiser, a una profundidad de 100 m, para quepueda proyectar el chorro de agua hasta esaaltura.

32.10.- Repostando en marcha. Para alimen-tar de agua, durante la marcha, el ténder deuna locomotora de vapor, se dispone de unatubería, de 10 cm de diámetro interior, uno decuyos extremos se sumerge en una alberca que

Problemas 987

hay entre los

Prob. 32.10

raíles, comose muestra enla figura, y elotro extremodesemboca alaire libre, enel interior deldepósito dea g u a d e lténder, a unaa l t u r a d e2.5 m sobre la superficie libre del agua de laalberca. a) ¿A partir de qué velocidad de lalocomotora se cargará agua en el ténder?b) ¿Cuál será el caudal de agua que entra en elténder cuando la locomotora marche a unavelocidad constante de 72 km/h?

32.11.- Para medir la velocidad del agua que

Prob. 32.11

circula por un canal de suministro, de seccióntransversal rectangular, disponemos de un tubodoblado en L, como se muestra en la figura.a) ¿Cuál será la velocidad de la corrientecuando el agua asciende por el tubo una alturah=40 cm por encima de la superficie libre delagua. b) Calcular la velocidad de la corriente(v′) y el descenso de nivel (a) asociados a unaelevación de la solera, b=17.5 cm, como seindica en la figura.

32.12.- Por un canal abierto, de sección trans-versal rectangular, circula agua con una pro-fundidad de 3 m y una velocidad de 2 m/s. Enun cierto lugar, el fondo del canal presenta unaelevación transversal. Se observa que el niveldel agua en el canal desciende 15 cm en lavertical del obstáculo. Determinar la altura delobstáculo transversal.

32.13.- Demostrar que la diferencia de pre-siones existente entre los puntos A y B de laFigura 32.15 viene medida por la diferencia deniveles del líquido manométrico en ambasramas del manómetro diferencial, a través dela relación pA - pB = (ρm - ρ)gh, donde ρ y

ρm son las densidades del fluido circulante ydel líquido manométrico, respectivamente.

32.14.- Tubo de Venturi. Consideremos untubo de Venturi con tres tomas de presiónestática verticales, como en la Figura 32.12.Los radios internos de la sección principal ydel estrechamiento son 25 cm y 10 cm, res-pectivamente. Cuando circula un caudal deagua de 200 l/s, el nivel del agua en los tubosde la derecha y de la izquierda se encuentra a3.00 m por encima del eje de la tubería.a) ¿Cuál es la presión manométrica en lospuntos A y B? b) ¿Hasta donde subirá el aguapor el tubo central? c) ¿Para qué caudal deagua se succionará aire por el tubo central?(Hacer las hipótesis que se consideren apropia-das).

32.15.- Venturímetro. Para medir el caudal deagua que circula por una tubería, se intercalaen ésta un venturímetro cuyos diámetros en eltramo principal y en el estrechamiento son5 cm y 1 cm, respectivamente. La diferenciade presión entre el tramo principal y el estre-chamiento resulta ser de 0.35 atm. ¿Cuál es elcaudal?

32.16.- En un pulverizador de perfume (videFigura 32.13, se sopla aire sobre el extremosuperior de un tubito abierto por sus dos extre-mos, estando el extremo inferior sumergido enun recipiente que contiene perfume dedensidad 0.92 g/cm3. ¿Cuál deberá ser lavelocidad mínima del aire que pueda elevar elperfume 10 cm para ser dispersado? (Densidaddel aire, 1.25 g/litro).

32.17.- Tubo de Pitot. Un tubo de Pitot estámontado en el ala de una avioneta. Cuando laavioneta vuela a una altura en la que la densi-dad del aire es 1.20 g/litro, el manómetrodiferencial acoplado al tubo de Pitot indica undesnivel entre sus dos ramas de 15 cm dealcohol (densidad, 0.80 g/cm3). ¿Cuál es lavelocidad de la avioneta respecto al aire?

32.18.- Un depósito abierto, de grandes dimen-

Prob. 32.18

siones y paredes verticales, contiene agua hastauna altura Hpor encima desu fondo. Sepract ica unorificio en lap a r e d d e ldepósito, a unaprofundidad hpor debajo dela superficielibre del agua.El chorro de


agua sale horizontalmente y, tras describir unatrayectoria parabólica, llega al suelo a unadistancia x del pie del depósito, como seilustra en la figura adjunta. a) ¿Cuál será elalcance x del chorro sobre el plano horizontal?b) ¿Será posible abrir un segundo orificio, adistinta profundidad, de modo que el chorroque salga de él tenga el mismo alcance queantes? En caso afirmativo, ¿a qué profundidad?c) ¿A qué profundidad se deberá perforar untercer orificio para que el alcance del chorrosea máximo? ¿Cuál será ese alcance máximo?

32.19.- Un depósito

Prob. 32.19

abierto, de grandesdimensiones, quedesagua a través deuna tubería de10 cm de diámetrointerior, recibe unaporte de agua de50 litros/s, como semuestra en la figura. El diámetro del depósitoes mucho mayor que el de la tubería de desa-güe. Algún tiempo después de abrir la llave dela tubería de desagüe, se alcanza un estadoestacionario en el que el nivel del agua en eldepósito permanece constante. ¿Cuál es esenivel? Nota: El coeficiente de descarga parauna tubería larga puede tomarse igual a 0.5.

32.20.- Un depósito de grandes dimensiones

Prob. 32.20

contiene un líquido de densidad ρ. A unaprofundidad h, acoplamos una tubería horizon-tal de sección transversal S1 que presenta unestrechamiento, de sección transversal S2, en elque se ha conectado un tubo vertical abierto,como se ilustra en la figura. Determinar elvalor mínimo de la sección S2 con tal de queno penetre aire en la corriente fluida a travésdel tubo vertical.

32.21.- Dos depósitos de gran tamaño, A y B,

Prob. 32.21

como se ilustra en la figura, contienen unmismo líquido. El depósito A descarga pormedio de una tubería horizontal que presentaun estrechamiento en el que se acopla un tubocuyo extremo inferior se sumerge en el líquidodel depósito B. La relación entre las áreas delas secciones rectas del tramo principal y delestrechamiento de la tubería es 2:1. Supondre-

mos que el régimen de flujo sea ideal. Expre-sar la altura de ascenso h2 del líquido por eltubo en función de la altura h1 del líquido enel depósito A.

32.22.- Un depósito abierto, cilíndrico, de ejevertical y sección recta S1 está lleno de aguahasta una altura H por encima de su fondo.a) Determinar el tiempo necesario para que sevacíe el depósito a través de un orificio bienperfilado, de área S2, practicado en su fondo.b) Aplicación numérica: S1=2 m2, S2=10 cm2,H=3 m.

32.23.- Clepsidra (reloj de agua). Determinarla forma que debe darse a un recipiente consimetría de revolución alrededor de un ejevertical para que al vaciarse por un orificiosituado en su fondo sea constante la velocidadde descenso del nivel del agua que contiene.

32.24.- Sifón (I). Un sifón es un dispositivo

Prob. 32.24

que se utiliza para extraer líquido de un de-pósito. Su forma de operar se muestra en lafigura adjunta. El extremo (B) del tubo queestá sumergido en el líquido puede estarlo acualquier profundidad. Naturalmente, para queel sifón funcione deberá estarinicialmente lleno de agua;pero una vez que está lleno,el sifón succionará líquidodel depósito hasta que elnivel en éste descienda pordebajo del nivel del extremodel tubo abierto al aire libre.Supongamos que el líquidosea agua a 15.5 °C(ps 13 Torr) y despreciemostotalmente la fricción. a) De-terminar la velocidad desalida del líquido por elextremo D del tubo del sifón.b) ¿Cuánto vale la presiónabsoluta en el punto C?c) ¿A qué altura máxima

Problemas 989

sobre el punto D puede estar el punto C sinque el sifón falle por cavitación?

32.25.- Sifón (II). Un sifón está constituidopor un tubo de 6 cm de diámetro que se elevaa una altura de 3 m por encima del nivel de lasuperficie libre del agua (a 15.5 °C) contenidaen un depósito de grandes dimensiones. ¿Cuálserá el caudal máximo que podemos esperarobtener con este dispositivo sin que se pro-duzca cavitación?

32.26.- Frasco de Mariotte. Un frasco de

Prob. 32.26

Mariotte es un dispositivo destinado a conse-guir una velocidad de efusión constante paralos líquidos. Consiste en un recipiente cerradoherméticamente, cuya tapa está atravesada porun tubo, abierto en sus dos extremos, que sesumerge en ellíquido conte-nido en elr e c i p i e n t e ,c o m o s emuestra en lafigura adjun-ta. De estemodo, la pre-sión en elnivel HH esigual a lapresión at-mosférica, yaque el airetiene acceso aese nivel. Amedida quebaja el niveldel líquido en el recipiente, el aire irápenetrando a través del tubo, burbujeará yascenderá en el líquido. Supongamos que ellíquido sea agua a 15.5 °C (ps 13 Torr).a) Expresar la velocidad de efusión del aguaen B en función de la longitud L del tubo dedesagüe y de la altura H. b) Se sabe que lavelocidad máxima del flujo se alcanza en elpunto C y que vale 1.4vB. Entonces, ¿cuálserá la longitud máxima que puede tener eltubo de desagüe sin que se produzca cavita-ción? Expresar el resultado en función de H.Aplicación numérica: H=0.5 m; L=2 m.

32.27.- La efusión de un líquido o de un gaspor un orificio practicado en la pared del reci-piente que lo contiene produce una fuerza dereacción o empuje sobre el resto del sistema.Los fundamento mecánicos de este problemason los mismos que intervienen en la propul-sión de los cohetes. Demostrar que la fuerzade empuje viene dada por F= 2(Δp)S, siendo Sel área de la sección contracta del orificio y

Δp la diferencia de presiones del fluido entreel interior y el exterior del recipiente.

32.28.- Una embarcación es impulsada a unavelocidad constante de 36 km/h mediantepropulsión por chorro de agua. La fuerza deempuje total es de 1500 kg y el diámetro de lasección contracta del chorro es 20 cm. a) Cal-cular la velocidad del agua del chorro respectoa la embarcación. b) Calcular la presiónmanométrica del agua a la salida de la bombade expulsión.

32.29.- Un depósito cerrado, cilíndrico y de ejevertical, de 400 cm2 de base, contiene agua yaire a la presión manométrica de 3 atm. Seabre un orificio, cuya área de sección contractaes 1 cm2, a una profundidad de 1.5 m pordebajo de la superficie libre del agua.a) Calcular la velocidad de salida del agua.b) Calcular la fuerza de empuje que produce elchorro sobre el resto del sistema.

32.30.- Cohete de agua. En la figura adjunta

Prob. 32.30

se muestra el esquema de un juguete llamado"cohete de agua". El aire atrapado por encimade la superficie libre del agua se encuentrainicialmente a una presión absoluta de 2 atm.El agua escapa a través de un orificio bienperfilado en la basedel cohete, de 8 cm dediámetro. Si aban-donamos el cohetepartiendo del reposo:a) Calcular la velo-cidad de efusión delagua por el orificio enel instante inicial;b) calcular el empujeejercido inicialmentesobre el cohete. c) Lafuerza de empuje es lamisma que actuaría siel cohete estuvieselleno solamente deaire a la misma pre-sión; entonces, ¿cuáles la razón de lautilización del agua?

32.31.- Apertura de válvula. Un depósito degrandes dimensiones está lleno de agua ydispone de una tubería de desagüe, de secciónconstante de 6 cm de diámetro y 100 m delongitud, colocada horizontalmente y conectada5 m por debajo del nivel del agua en eldepósito. La tubería vierte directamente a laatmósfera. Determinar el flujo de agua a lasalida de la tubería en función del tiempo, apartir del instante en que se abre repentina-mente una válvula colocada en su extremo


libre. (Nota: El depósito es suficientementegrande como para que pueda despreciarse eldescenso del nivel de agua en el mismo).

32.32.- Dos discos circulares idénticos, deradio R, están enfrentados entre sí y separadospor una distancia b. Uno de los discos semueve hacia el otro con una velocidad cons-tante v0. El espacio comprendido entre losdiscos está ocupado por un fluido no viscosoe incompresible, de densidad ρ, que es empu-jado hacia afuera a medida que los discos seaproximan. La presión en los alrededores delos discos es la atmosférica. Supongamos quela velocidad del fluido a una distancia dada rdel eje de simetría del sistema sea uniforme entodo el espesor b; pero téngase en cuenta queb es función del tiempo. Calcular la presiónmanométrica sobre el eje de simetría (r=0).

32.33.- Trasvasando aceite. Dos depósitos degrandes dimensiones, abiertos a la atmósfera,contiene aceite de oliva (0.918 g/cm3), exis-tiendo un desnivel entre las superficies libresdel aceite en ellos de 10 m. Los depósitos estáintercomunicados mediante una tubería hori-zontal, de 12 cm de diámetro, con entradasbien perfiladas por debajo de los niveles deaceite en cada depósito. a) Determinar elcaudal que circula por la tubería. b) Calcularla potencia nominal de la bomba que se nece-sitará (70% de rendimiento) para conseguir elmismo caudal en sentido inverso.

32.34.- Salto de agua. Calcular la potenciamáxima que podrá suministrar un salto deagua en el que la turbina está situada a 50 mpor debajo del nivel del agua en el embalse,sabiendo que el caudal que la alimenta es de5 m3/s y que la velocidad del agua en eldesagüe es de 10 m/s.

32.35.- Surtidor. El surtidor de una fuentelanza verticalmente un chorro de agua hastauna altura de 12 m a través de una boquilla de1 cm de diámetro. La fuente se abastecemediante una bomba que toma agua de undepósito cuya superficie libre, a la presiónatmosférica, está situada a 3 m por debajo dela boquilla. La tubería que conecta la bombacon la boquilla tiene 4 cm de diámetro. a) Cal-cular la potencia que debe suministrar labomba. b) Determinar la presión (absoluta) enla tubería, en un punto próximo a la boquilla.

32.36.- Bomberos. Un manguera contraincen-dios, que está provista de una boquilla desalida de 2 cm de diámetro, toma agua de unaboca de riego a una presión manométrica de0.40 atm. El chorro de agua lanzado por lamanguera deberá alcanzar la parte más alta de

un edificio de 25 m de altura, cuando elbombero está situado en la calle, a 10 m delpie del edificio. Una bomba, instalada en elcamión de los bomberos, se encarga de au-mentar la presión del agua a la entrada de lamanguera. Calcular la potencia nominal dedicha bomba, estimando su rendimiento en un70%.

32.- Dinámica de los fluidos ideales.

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