3-0.- El Interes Simple (1)

Interés simpleInterés simpleInterés simpleInterés simple

Profesor Guido Quispe MayorgaProfesor Guido Quispe Mayorga

Interés Simple

• Es una operación financiera que permite calcular los intereses sobre un capital o principal que no varia en el tiempo. Es decir permanece constante

• En consecuencia, los intereses siempre alcanzan el mismo monto en todos los periodos

El interés (I) es una función de los tres siguientes factores, (Co, n, i) de los cuales depende, manteniendo con ellos una relación directa, que se expresa como:

I = f (Co, n , i)

Significa que si cualquiera de estos factores (Co, n o i) varia aumentando o disminuyendo, el monto del Interés (I) variará en el mismo sentido: aumentara o disminuirá

Factores que determinan del interés

Nomenclatura a usar

Para facilitar el manejo de las relaciones entre las variables del interés simple, haremos la siguiente convención; llamaremos:

I = Monto del Interés expresado en S/.Co = Capital. Inicial o Monto InicialCn = Capital final o Monto al final de la operaciónn = Plazo o tiempo de duración de la deuda (dado en unidades temporales: años, meses, semestres, quincenas, etc. )i = Tasa o tipo de interés expresado en

porcentajes % o en forma decimal 0.0n.

m = Periodos de capitalización contenidos en «n»

El Monto del Interés ( I)

El Monto del Interés simple es la ganancia o el pago que se establece sobre un Capital ( Co) sometido a una tasa de interés convenida por unidad de tiempo, durante todo el plazo (n) que dura la operación financiera. Resulta de la diferencia entre el Capital final (Cn) y el capital inicial (Co)

I = Cn - Co

Fórmula General del Interés Simple

La fórmula general del interés simple es:

I = Co x n x i

donde:

I = monto del interés

Co = Capital Inicial

n = plazo de la operación

i = Tasa de interés

El Banco de la Nación, paga el 5% sobre los depósitos a plazo. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de S/. 12,000?

•Datos:

C = 12,000i = 5% = 0.05n = 1 año

Operación

I= C x n x i.I = 12,OOO x 1 x

0.05I= 600I= 600

Respuesta .- El pago anual de intereses será de S/. 600

Ejemplo .Ejemplo .

• Una Caja Rural, paga el 6% sobre los depósitos a plazos. Determinar el pago anual por interés sobre un depósito de S/. 18,000.

•Datos• Co = 18,000; • n = 1 año ; • i = 0.06 anual ; • I = ?

•Solución:

I= C x n x i. I = 18,000*1*0.06 I = S/. 1,080

•Respuesta.- La Caja Rural paga sobre este depósito la suma de S/.1,080. anualmente

Monto del INTERES (I): Ejemplo

Si tomo prestados S/.500 al 7% durante 3 años. ¿Qué suma de interés se habrá ganado y a cuánto recibirá el acreedor al finalizar el plazo?

Datos:Datos:Co = 500n =3i = 7% =0.07

Al finalizar los tres años el acreedor recibirá :Cn = 500 + 105 ( El

capital mas los intereses ganados) Cn = S/. 605

Respuesta.- Se ganará S/. 105 de intereses y se recibirá al final S/. 605

OperaciónI= Co x n x i.I= 5OO x 3 x 0.07I= 105

Capital final (Cn) o Valor futuroEl capital final es el Valor (Cn) que alcanzará una suma (Co) que se impone, coloca o toma durante un determinado tiempo (n) a una tasa de interés convenida ( i )

Su valor se determina sumando el capital inicial (Co) y el monto de los intereses (I) que se generan durante determinado período

Sabemos Cn =Co + I También sabemos que I =Co n i Luego Cn se puede escribir como

Cn =Co + (Co . n . i)Cn =Co + (Co . n . i) Finalmente factorizando tendríamos

Cn =Co ( 1 + (n . i))Cn =Co ( 1 + (n . i))

También podemos realizar el siguiente cálculo En el problema anterior …si tomo prestados S/. 500 al 7% durante 3 años. ¿Cuánto recibirá el acreedor al finalizar el plazo?

Utilicemos la Fórmula anterior: Cn = C ( 1 + (n . i))Cn = C ( 1 + (n . i))

Aplicamos la formula y Aplicamos la formula y tendremos :tendremos :

Cn = 500 (1 + (3 x 0.07)) Cn = 500 (1+ 0.21)Cn = 500 (1.21)Cn = 605

DATOSCo = 500n = 3 añosi = 7% = 0.07 anual

Respuesta .- Después de 3 años el acreedor recibirá S/. 605

Hallar el interés y el monto final de un préstamo de S/.1.000 impuesto durante dos años al 15 %

Datos Co = S/. 1,000 ; i = 0.15 ; n = 2 años

El interés en dos años I = Co i n es :I = 1000 x 0.15 x 2 = 300

El monto al final de dos años esCn = Co ( 1 + (n . i))Cn = Co ( 1 + (n . i))Cn = 1,000( 1 + 0.15 x 2 ) Cn = 1,300

Respuesta.- El Interés alcanza a S/. 300 y el monto final a 1,300

OPERACIONES Entonces >>>> I = Co . i . n = 5000 . 0,04 . 16 = 3,200 El monto(Cn) será : Cn = Co + I = 5000 + 3200 = 8,200

Interés y Capital finalSe colocan S/. 5,000 en un banco al 4% de interés mensual durante 8 bimestres. ¿ Cual será, al término de ese tiempo, el monto del interés y del principal?. DATOSPrimero “arreglamos” los tiempos y el interés para que sean homogéneos i = 4 % mensual = 0.04 mes n = 8 bimestres = 16 meses

C0 = S/. 5,000

RESPUESTA.- El Interés alcanzará a S/. 3,200 y el principal a S/. 8,200

•Nota.- También se podría hallar el valor de Cn con la otra fórmula:•

» Cn= Co . ( 1 + i .n ) = 5000 . ( 1 + 0.04 .16 ) » = 5000 x. 1,64» = 8200 $

Forma de considerar plazos

Interés ordinario Vs. Interés exacto

Año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno

Año de 365 días, con la cantidad exacta de días

según el mes de que se trate

Generan resultados distintos

Plazo ó Tiempo (n)

Plazo ó Tiempo (n)

Para calcular el tiempo o plazo (n) o se puede recurrir a dos fórmulas: Una al despejar (n) desde la formula del interés simple. La otra al despejar (n) desde la fórmula de Capital final (Cn) o monto, mencionada antes.

n= n=I

Co i

Cn - Co

Co i

Recuerdo que: I = Co.i.n Cn = Co + Co.i.n

Fórmula 1 Fórmula 2

Plazo ó Tiempo (n)• Una Empresa Invirtió S/.20,00.00 al 5% y ganó S/.3,000.00. ¿Qué tiempo estuvo

invertido el dinero?

n=3,000.00

20,000.00 x 0.05

n= 3 años

2,. Recuerdo que :

I = Co .n . i

4.- Operaciones y Solución

n=I

Co i

DATOSCo = 20,000 i = 5% = 0.05Cn = 3,000 n = ?

3.- Formula de n

Respuesta.- El dinero se invirtió durante 3 años

Plazo ó Tiempo (n)

Ejemplo: En cuanto tiempo S/. 5,000 se convertirán en 5,700 a una tasa del 7% ?

Datos:

Co = S/. 5,000

Cn = S/. 5,700

i = 7% = 0.07

Formula a utilizar

nCn Co

Co i . n

n

n años

x

5 700 5 0005 000 0 07

700350

2

, ,, .

Operación

Respuesta.- S/.5,000 se convertirán en S/. 5,700 en 2 años

• Durante cuanto tiempo se prestó un capital de S/. 250,000 a una tasa del 8.5% Se sabe que los intereses ganados fueron de S/. 175

• Datos:• Co = S/. 250,000 • i = 0.085• I = S/. 175.

Plazo ó Tiempo (n)

diasmesesañosn

añosn

xn

iCo

In

2528

23529.8

085.0000,250

175

.

Para determinar el numero de años, meses y días en la respuesta haga lo siguiente: Considere el primer entero como años (8). Multiplique la fracción 0.23529 x 12 (meses del año) la parte entera corresponde a los meses (2) y el resto de la cifra 0.82348 multiplíquelo por 30 (días del mes) la parte entera serán los días. Trate de redondear la cifra de días.

Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de S/. 3000 que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de S/. 400

Este problema se puede resolver con la fórmula: I = Co . i . n 400 = 3000 . 0,09 . n 400 = 270 . n 400 / 270 = n n = 1.4814

DATOSn = x C = S/.3000i = 0,09 anual I = S/. 400

La parte entera de este número expresa los años (ya que la tasa así lo indica), La parte decimal hay que transformarla a un tiempo real, para ello se debe interpretar lo siguiente:

1. 4814 años = 1 año + 0.4814 año = 0.4814 x 12 meses = 5.7768 = 5 meses + 0.7768 meses

; y 0.7768 x 30 días = 23.304 = 23 días entonces n = 1 año, 5 meses y 23 dias .

Plazo ó Tiempo (n)

Tiempo Fraccionado (n/….)

• Hay problemas en los cuales el tiempo se presenta fraccionado en relación con la tasa de interés

• En este caso, debe convertirse de preferencia el tiempo al periodo que señala la tasa; pudiendo también convertir la tasa al periodo que indica el tiempo.

• Lo que debe cuidarse es que el tiempo y la tasa estén expresados en la misma unidad de tiempo.

Tiempo Fraccionado Ejemplo (n/….)

Por ejemplo el 8% anual en 6 meses puede expresarse asi:• A.- Convirtiendo los meses al periodo de la tasa, es decir

expresándolos en términos de año. i = 8% año n = 6 meses n anual = 6/12 = 0.5 año

• B.- Igualmente se puede expresar el 8% anual en términos de meses

• i = 8% año i mensual 8/12 = 0.66667 mes n = 6 meses

• Para manejar el tiempo en función de la tasa en años se debe considerar lo siguiente:

a.- Para el caso de los días t = Nº dias / 360 …… 365

b.- Si el tiempo es en semanas t = Nº semanas / 52c.- Si el tiempo es en meses t = Nº meses /12

Si la tasa estuviera dada en meses y el tiempo en días t = Nº de dias / 30 Y al revés si se desea trabajar con la tasa en función del tiempo,

por ejemplo la tasa equivalente del 18% sería:


Base temporal Calculo Tasa periódica

Año 18/ 1 18.00%

Semestre 18/ 2 9.00%

Cuatrimestre 18/ 3 6.00%

Trimestre 18/ 4 4.50%

Mes 18/ 12 1.50%

Día 18/ 365 0.05%


Ejemplo: Que interés produce un capital de S/.45,000 al 6% anual durante 7 mesesDATOS ACo = 45,000 i = 0.06 n = 7 meses n en Años = 7/12 = 0.58333

DATO9S BCo = 45,0000 i = 0.06 i en años = 0.06/12 = 0.005 mes n = 7 meses

Formula a utilizar : I = Co i n y Reemplazando datos en la formula

I = 45,000 * 0.06 * 0.58333I = S/ 1575.00

I = 45,000 * 0.005 * 7I = 1575.00

Respuesta.- El capital invertido producirá S/ 1,575.00 en 7 meses

Hallar el interés y el monto de un préstamo de S/. 1.000 impuesto al 15 % anual durante a).- dos trimestres; b).- dos bimestres; c).- 10 meses; d) 15 días

En este caso cuando la tasa es anual y el periodo de liquidación menor a un año basta dividir la Tasa Anual (i) entre el, número de períodos (m) comprendidos en un año; es decir ( i / m ) ; siendo m = 4 trimestres en un año, 6 bimestres en un año, 12 meses y 360 días en un año Luego se procede aplicando la formula general..

a).- n = 2 trimestres; I = Co i/4 n = 1,000 x 0.15/4 x 2 = 75 Cn = Co + I = 1,000 + 75 = 1,075

c).- n = 10 meses; I = Co i/12 t = 1,000+ 0.15/12 x10 = 125 Cn = Co + I = 1,000 +125 = 1,125

Halle los valores solicitados en b) y d)


Cálculo de la Tasa de Interés (i)

Fórmula 1 Fórmula 2

i= i=I

Co n

Cn - Co

Co n

De manera similar como despejamos la fórmula de (n) también podemos despejar la fórmula del interés (i) de las mismas relaciones anteriores

Recuerdo que: I = Co.i.n Cn = Co + Co.i.n

Cálculo de la Tasa de Interés (i)Ejemplo: Una inversión de S/.4,000 durante 3 años generó una utilidad de S/. 960 ¿A que tasa de interés se invirtió?

Datos :Co = S/.4,000 n = 3 años I = 960

Recuerdo que ;

I = Co.i.n

Despejo i

iI

C n

0

Resolviendo

ix

i

i

960

4 000 3

0 08

8

,

.

%

Repuesta .- La inversión se realizó a un tasa del 8% anual


Con la última crisis europea, tuve que empeñar mi reloj y mi anillo de diamantes por E/. 1,500 si deseo rescatarlo después de tres años debo pagar E/. 1657.50 Que interés me están cobrando por año?

Datos Co = S/. 1,500Cn = S/. 1657.50 n = 3 años i = ?

Recuerdo que :I = Cn - CoAdemas que I = Co. i . NPor lo tanto puedo tenerCn-Co = Co.i.n

Despejo i

iCn Co

Co n

.

Resolviendo tengo :

El día de hoy obtenemos un préstamo por S/. 5,000 y después de un año pagamos S/. 5,900. Determinar el interés y la tasa de interés.

Determine cuanto debe pagarse por un préstamo de S/. 175,218 al 9%

durante 5 años si se tomó a interés simple.

Datos Co = 5,000Cn = 5,900 n = 1;I =? i =?;

Solucióna.- Monto del Interés I = 5,900 - 5,000

b.- Calculo de la tasaI = Co.i.n ; i = I / Co.n

i = 900 / 5,000 * 1i = 0.18 = 18%

Respuesta.- La tasa de interés que se pago por el préstamo en un año es 18%


• Datos: • Co = S/. 800 • Cn = S/. 850 por lo tanto • I = S/. 50 en 4 meses (2 bim)

• n = 2 bimestres = 4 meses.

Un capital de 800 S/ se transformó en 850 S/ en 2 bimestres. Calcular la tasa de interés mensual.

• Respuesta.- La tasa de interés mensual es 0,015 que también se puede expresar como 1,5 % mensual

Aplicando la formula

• I = Co . i . n

• 50 = 800 . i . 4• 50 = 3200 . i• 50 / 3200 = i• i = 0,0156

Nota el problema también puede plantearse por bimestres y al final determinar la tasa mensual 50 = 800 x i x 2 ; i = 31.3 bimestre = 0.0156 mes


• Si se depositan el día de hoy S/. 1´000,000 y después de 6 meses se retiran S/. 1´250,000 ¿ que tasa de interés mensual se ganó?

DATOS

Co = 1’000,000Cn = 1’250,000I= Cn-Co = 250,000 en 6 meses n = 6 meses

OPERACION

i = ((1’250,000 / (1’000,000)-1) / 6)

i =4.1666667 = 4.17 %

FORMULA

Cn = Co(1+in)

(Cn/Co)-1 =in

i =((Cn/Co)-1)/n

COMPROBACION .- Los intereses mensuales de S/.1,000,000 al 4.16667% son de 41,666.70 . En seis meses se ganara S/. 41,666.7 *6 = 250,000.20 . La diferencia se explica por el redondeo decimal en la tasa de interés…

Respuesta .- Se ganó un interés mensual de 4.17%

Valor Actual Simple

Valor Actual (Interes Simple)

Valor Actual Simple

C0 =1

1 + i.nCn [ ]C0 = 1 + i.n

Cn

Recuerdo que :.

Co=I

i . n I = Co. i . n

Cn= Co ( 1+n i)

Encontrar el valor actual de S/. 1500 que fueron colocados al 6% de interés anual simple hace 9 meses

VALOR ACTUAL SIMPLE

DATOS

Cn = 1,500 i = o.o6 anual n = 9/12 = 3/4 = 0.75 año

Sabemos que Cn= Co( 1+ in)

1500 = Co ( 1+(0.06* 0.75))1500 = Co ( 1.045)Co = 1500/ 1.045)Co = S/. 1435.41

Respuesta .- El valor actual de S/. 1,500 al 6% en 9 meses es S/. 1,435.41

Capital inicial o Valor actual¿Qué capital, invertido al 5% durante año y medio

produce una ganancia de S/.60.00? DATOS

C= ?i = 0.05 añoI = 60.00n= 18/12 = 1.5 años

C=I

n i

C=60.00

1.5 x .05

C= 800.00

RESPUESTA.- Es necesario invertir S/. 800.00 paa ganar S/. 60 en 1-5 años

Un capital se transformó en 25,000 S/. en dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial ?

Con estos datos la única fórmulacapaz de resolver el problema es:

M = Co ( 1 + i . n )

25000 = Co ( 1 + 0,03 . 6 )

25000 = Co ( 1 + 0.18 )

25000 = Co (1,18)

25000 / 1,18 = Co

21,186,44 = Co Co = S/. 21,186,44

DATOSCo = ? ( averiguar) Cn = 25,000 n = 2 trimestres = 6 meses i = 3 % = 0, 03 mes

RESPUESTA.- El capital inicial fue de S/. 21, 186.44

Problemas PropuestosProblemas Propuestos

Guido Quispe Mayorga

Instrucciones

• A continuación se presentan 25 problemas para resolver y entregarlos resueltos voluntariamente.

• Los cálculos respectivos se realizarán en una página en limpio, a mano y de manera individual

• Al ser entregados, el orden y la presentación serán considerados por su importancia

• Al termino de los ejercicios, en pocas líneas expondrán lo que consideran que han aprendido con el cálculo de interés simple, y cómo les puede ayudar a tomar una decisión en el futuro?.

1. Calcular el interés devengado si:a.- Si se invierte S/. 3,000 durante 4 años al 5% anual

b.- Se prestó S/.850 durante 2.5 años al 11%

c.- Se prestó S/. 6,500 durante 4 años y 6 meses al 3% anual

d.- Se invirtió S/. 1,900 al 5% anual durante un año y tres meses

2. Durante cuánto tiempo se debe invertir:

a.- S/.3,200 al 81/2% para ganar S/.544

b.- S/. 590 al 6% para ganar S/. 177

c.- S/.120,000 al 31/4% para ganar S/.39,000

d.- S/.40,000 al 5% para ganar S/.7,000

3. A qué tasa de interés se invirtió un capital de:

a.- S/. 3,000 a dos años e interés de S/. 750

b.- S/. 4,500 a 3y1/2 años e interés de S/. 551.25

c.- S/. 20,000 a 4 años e interés de S/. 2,000

d.- S/. 23,000 a 5 años e interés de S/. 3,750

Mix de problemas

1.- Un capital de S/.3,000 prestado al 3% durante 3 años que monto y que interés generará R.- S/. 3,270

2.- Una persona solicitó un crédito de S/. 125 durante un año, al cabo del mismo entregó S/. 150 al prestamista ¿ que tasa de interés pago por esa operación ? R .- 20%

3.- Calcular el interés simple que producirá un capital de S/. 27.600,00 al 7,5% anual, en 7 años. R.- 14,490

4- Si el mismo capital, del problema 3, en el mismo plazo, hubiera generado un interés simple de S/. 17.388,00 ¿Cuál hubiera sido la tasa semestral de interés simple aplicada en la operación?

R.- 4.5% semestral

• 5.- Calcular el tiempo en el que un capital se cuadruplicará, si lo depositamos a interés simple a una tasa del 10% semestral.

• R.- 30 semestres = 15 años

• 6.- Determinar el interés simple que gano un capital de S/. 4,900 entre el 15 de marzo y el 15 de julio si la tasa de interés fue:

• a.- ¼ % bimestral R.- 2,490.83 b.- 3% trimestral R.- 199.26

• c.- 8% semestral R.- 265.69 d.- 0.0002 % diario R.- 119.56

• Nota.- Para determinar el tiempo exacto en días, no cuente el primer día (fecha inicial) pero considere el ultimo día (fecha de vencimiento) por ejemplo entre el 03 de marzo y el 23 de abril hay 28 dìas de marzo y y 23 de abril = 51 dias

Mix de problemas

• 8.- Que monto deberá devolver quien se ha prestado S/. 5,000 a una tasa de interés de 0.04% diario si tuvo ese capital durante dos años en su poder R.- 6,440

• 9.- Escriba las siguientes expresiones según se indique a.- En decimales los siguientes En porcentajes los siguientes porcentajes decimales 5% = 0.2 =

28% = 0.40 = 120% = ¾ = 1500 % = ½ =

10.- Determinar el tiempo necesario para que un capital colocado al 5% anual se convierta en 2 veces el capital inicial R.- 20 años

Mix de problemas

11: Calcular el interés que generan S/. 500,000 durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10%. R.- S/. 16,500

12: Calcular el capital final que tendríamos si invertimos S/.1´000,000 durante 6 meses al 12%. R.- S/. 1´060,000

13: Recibimos S/. 500,000 dentro de 6 meses y S/. 800,000 dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año. R.- 1’ 367,500

14: ¿ Qué es preferible recibir 500,000 soles. dentro de 3 meses, 400,000 soles dentro de 6 meses, o 600,000 soles. dentro de 1 año, si estos importe se pueden invertir al 12% anual ? R.- S/.600

15: Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual.

Mix de problemas

• 16) Un cierto capital se transformó en 4600 S/.en 4 cuatrimestres, si se aplicó un 1% mensual. ¿Cuál fue el capital inicial y el interés ganado ?

• 17) Hallar el interés aplicado a un capital de 800 S/.para

transformarse en 700 S/.

• 18) Indicar el valor del capital que al ser colocado al 5 % bimestral durante 3 años produjeron un monto de 6900 S/.

• 19) Un capital de 640 S/.sufre un aumento del 20 % y luego

un descuento del mismo valor, hallar el monto final. • 20) Un capital de 900 S/.se transforman en 980 S/.en un año.

Calcular el interés, y la tasa bimestral.

Mix de problemas

• 21) Un hombre coloca 5000 S/.en un banco que le paga un 4 % bimestral en un año, luego retira la cuarta parte del monto y lo coloca en otro banco al 5 % bimestral durante medio año, con la plata que le sobraba gasta un 40 % en pasajes y un 30 % en indumentaria. ¿cuánta plata le queda para emprender el viaje?

• 22) Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de 500 S/.si se obtuvo una ganancia de 30 S/.al ser colocado al 6% bimestral.

• 23 Indicar el porcentaje de aumento final que sufre un producto si valía 400 S/.y le fueron agregados tres aumentos consecutivos del 10 % cada uno.

• 24 Se depositan 4000S/. el 1 de marzo y se retiran el 31 de julio. Si la razón era del 4 % bimestral. Calcular el interés y el monto.

Mix de problemas

3-0.- El Interes Simple (1)

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