2016 Resolver prob. vs RPM. [Modo de compatibilidad] · para resolver el problema. Así, por...

Resolver Problemas de Matemáticas

vs

Resolución de Problemas de Matemáticas

¿Qué hacemos y qué evaluamos?

Lorenzo J. Blanco NietoUniversidad de Extremadura

Zaragoza, 14 de enero de 2016

Diferenciamos entre:

Resolución de Problemas

Conocimientosobre Resolución de

Problemas

Resolver problemas Conocimiento matemático

(Conceptos y procesos)Enunciar/inventar Modelizar/

¿Qué hacemos y qué evaluamos?

6 cm.

Resolver Problemas de Matemáticas

Calcular el área del cuadrado de la figura cuya diagonal mide 6 cm.

Resolved el problemaLevantad la mano cuando tengáis la solución

Utilizamos y evaluamos conocimiento matemático

Con los dos lados y la diagonal tenemos un triángulo rectángulo y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado del cuadrado

l

l

d = 6 cm.

d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2

36 = 2 l2 18 = l2 l = √18

A = 4,24 cm x 4,24 cm = 17,9 cm2

Solución: El área del cuadrado mide 17,9 cm2

l = √18 = 4,24


l

l

d = 6 cm.

d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2

36 = 2 l2 18 = l2 l = √18

El lado del cuadrado vale √18 cm

El área del cuadrado es l2

A = √18 cm x √18 cm = 18 cm2

Solución: El área del cuadrado mide 18 cm2

Utilizamos y evaluamos conocimiento matemático

¿QUE EDAD TIENEN?Dos amigos se encuentran por la calle después de mucho

tiempo sin verse. Uno de ellos, tras los saludos correspondientes, pregunta acerca de las edades de los hijos del otro. Este, enigmático le contesta:

- El producto de las edades de mis tres hijas es 36, y su suma es el número de la casa de enfrente.

El amigo, tras escuchar la curiosa respuesta y observar el número de la casa, le respondió:

- Me falta un datoA lo que el primero añadió:- Mi hija mayor toca el piano.¿Qué edades tenían las hijas del intrigante amigo?. ¿Cuál es el

número de la casa de enfrente?.

Tenemos el conocimiento matemático implícito en

su resolución,pero, dificultades para

abordar el problema

6 cm.

Calcular el área del cuadrado de la figura cuya diagonal mide 6 cm.

Modelo General de Resolución de Problemas

Trabajemos con esta situación matemática

Acomodación/análisis/comprensión/ familiarización con la situación

Búsqueda/diseño de estrategia/s de solución

Ejecución de la/s estrategia/s

Análisis del proceso y de la solución

SugerenciasEtapasRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

. . .

. . .

. . . ¿Cómo me siento? ¿Qué he

aprendido?. . .

RelajaciónAutoinstrucciones

Heurísticos

1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . .

Calcular el área del cuadrado de la figura

A B

D C

6 cm.

O


Figuras¿Qué nombres podemos asociar a la figura ABCD?

¿Conocemos la fórmula o fórmulas que podemos

aplicar para calcular su área?

ABCD

A B

D C

O

Cuadrado; Rombo; Rectángulo; Cuadrilátero; Polígono; Polígono regular

6 cm.

Para el CuadradoPara el Rombo


Sus catetos son los lados del cuadrado

¿Qué relación tiene con el cuadrado/rombo ABCD?

Son triángulos rectángulos e isóscelesTriángulos ABC; BCD; ADC; ABD

A B

D C

O

6 cm.

b = 6 cm.

La hipotenusa es la diagonal del cuadrado/rombo

¿Podemos calcular el área del triángulo ABC?

A

B

C

h = 3 cm.


Sus catetos miden 3 cm. La mitad de la diagonal

¿Cómo podemos

conocer su área?

¿Qué relación tiene con el cuadrado ABCD?

Es un triángulo rectángulo e isóscelesEl triángulo ABO

A B

D

A

O

6 cm.

3 cm.

b = 3 cm.

h = 3 cm.

C BO

Recortamos y giramos

Dibujamos triángulos más pequeños: AEO; EDF

Podemos calcular el área de los triángulos AEO y EDF

¿Qué datos conocemos o podemos conocer de estos triángulos?

Es decir, una base EF mide 3 m. ¿Cuánto medirá la altura DP?

DP medirá la mitad de OD.DP = 1,5 m.


¿Qué relación tiene con el cuadrado original?

A B

D C

O

6 cm.

F

E

p

3 cm.

A B

D C

O

¿Conocemos el valor del lado de la nueva figura?

E

F

G

H

La figura anterior sugiere otra división del cuadrado

¿Sabemos calcular su área?

¿Qué relación tiene con el cuadrado/rombo otiginal ABCD?

1. Acomodación / análisis / comprensión/ familiarización . . . A B

D C

O6 cm.

F

E

p

Seguro que ya se os han ocurrido diferentes estrategias para resolver el problema

Repasamos los conceptos que hemos utilizado en esta primera fase de la resolución del Problema

Cuadrado; Rombo; Rectángulo; Cuadrilátero; Polígono; Polígono regular; Lado de un cuadrado;

Diagonal de un cuadrado;Triángulo; Triángulo Isósceles; Triángulo

Rectángulo; Cateto de un Triángulo Rectángulo; Hipotenusa de un Triángulo Rectángulo; Altura de

un Triángulo; Base de un Triángulo; Área de un Cuadrado; Área de un Rombo; Área de un

Triángulo; Área de un Triángulo Rectángulo.

¿Qué estrategias podemos seguir para resolver el problema?

2. Búsqueda y diseño de estrategia/s de solución

A B

D C

O

6 cm.Escribid

estrategias diferentes

para calcular

el área del cuadrado

Redactar cinco estrategias diferentes para resolver el problema.: Calcular el área de un cuadrado de diagonal 6 cm.

En el desarrollo de la primera fase se habían sugerido, explícita o implícitamente, algunas de ellas.La primera observación de la actividad de los estudiantes nos muestra la dificultad que tienen para diferenciar la redacción de la estrategia y el proceso de resolución del problema. Pero, igualmente,

muchos estudiantes renuncian a los apuntes tomados en la primera fase, incluido las figuras y representaciones, e intentan redactar las estrategias partiendo de cero. Es decir, no aprovechan el trabajo

que ellos mismos han realizado.Las respuestas de los alumnos muestran las dificultades que tienen para escribir las estrategias concretas

para resolver el problema. Así, por ejemplo, podemos encontrar una redacción como la que sigue:“Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras, dado que conocemos la diagonal (que sería la

hipotenusa de un triángulo cuya área es la mitad del cuadrado) y con ella averiguamos los catetos, que son los lados del cuadrado. Con ello ya podemos aplicar el área del cuadrado, aplicando la fórmula”.La redacción anterior muestra, en primer lugar algunas afirmaciones que no son precisas y rigurosas. Así, “Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras”, no es una afirmación cierta. El teorema de

Pitágoras relaciona la medida de los lados o la superficie de los cuadrados que podemos forma con ellos.Pero al mismo tiempo indica dificultades claras para discernir entre una estrategia concreta para un

problema específico y una estrategia general para problemas similares.Así, podemos encontrar: “Usamos el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2. Con el mismo averiguamos el

valor de los lados del cuadrado. Multiplicando un lado por el otro obtenemos el área”. Que son cuestiones generales pero sin relación específica con el problema y sin unir específicamente las

proposiciones entre sí.También resulta interesante la falta de rigor en el uso de los símbolos. Así, por ejemplo, pueden utilizar para calcular el valor del lado del cuadrado la expresión h2 = c2 + c2 y cambiar la letra ‘h’ por la ‘l’ para

significar la expresión del área del cuadrado

* Las respuestas de los alumnos muestran las dificultades que tienen para escribir las estrategias concretas para resolver el problema, * Y para diferenciar la redacción de la estrategia y el proceso de resolución del problema.* Poca precisión en el lenguaje: “Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras, . . . ”.* Pero al mismo tiempo indica dificultades claras para discernir entre una estrategia concreta para un problema específico y una estrategia general para problemas similares: “Usamos el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2. Con el mismo averiguamos el valor de los lados del cuadrado. Multiplicando un lado por el otro obtenemos el área”. * Falta de rigor en el uso de los símbolos. Utilizan para calcular el valor del lado del cuadrado la expresión h2 = c2 + c2 y cambiar la letra ‘h’ por la ‘l’ para significar la expresión del área del cuadrado

10/03/2014

“Usamos el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2.

Con el mismo averiguamos el valor de los lados del

cuadrado. Multiplicando un lado por el

otro obtenemos el área”.

Estrategia general sin relación directa con los datos del problema

10/03/2014

“Tomando como referencia el triángulo (AOB),

calculamos el área b x h /2. Este resultado . . . ”.

Estrategia general sin relación directa con los datos del problema

La base y la altura del triángulo AOB pueden variar

“Hallar el área mediante el teorema de Pitágoras, dado que conocemos la diagonal

. . .

El Teorema de Pitágoras solo nos permite calcular el lado del cuadrado,

Falta de rigor en el uso de los símbolos para describir

la estrategia de solución

Para calcular el valor del lado del cuadrado utiliza la expresión

h2 = c2 + c2

. Luego, cambia la letra ‘h’ por la ‘l’ para significar la expresión del

área del cuadradoA = l2


Consideramos el triángulo rectángulo e

isósceles BCD,

Conocemos su hipotenusa (BD = 6 cm)

Los catetos del Triángulo coinciden con

los lados del Cuadrado,

Aplicamos el Teorema de Pitágoras y

calculamos el valor del lado de cuadrado.

Luego, aplicamos la fórmula A = L2


A B

D C

O

6 cm.


Dado que la figura ABCD es un rombo, podemos aplicar la fórmula de A = (D x d) / 2 para calcular su área.Sabemos que la diagonal mide 6 cm.


A B

D C

O

6 cm.


Consideramos el triángulo ABD


La base BD vale 6 cm. Y la altura mide 3 cm.

Podemos calcular su área puesto que conocemos la base (AC = 6cm y la altura que vale 3 cm.El área del cuadrado es el doble del área del triángulo ABD

A B

D C

O

b = 6 cm.

h = 3 cm.

b = 6 cm.A

B

C

h = 3 cm.


Miramos el triángulo rectángulo BOC.


Los catetos BO y OC miden 3 cm.

En los triángulos rectángulos un cateto es una base y el otro su altura.

Aplicamos la fórmula para calcular el área del triángulo

A B

DC

O

6 cm.

El área del cuadrado es cuatro veces el área del triángulo ABD

A

b = 3 cm.

h = 3 cm.

BO


Miramos el triángulo rectángulo BOC.


Los catetos BO y OC miden 3 cm.

La hipotenusa es el lado del cuadrado

Aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular el lado del cuadrado

A B

DC

O

6 cm.

Luego, aplicamos la fórmula para calcular el área del cuadrado

A

b = 3 cm.

h = 3 cm.

BO

Observemos y repasemos el procedimiento seguido

l

ld = 6 cm.

d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2

36 = 2 l2 18 = l2 l = √18

El lado del cuadrado vale √18 cm

El área del cuadrado es l2

A = l2 √18 cm x √18 cm = 18 cm2

Solución: El área del cuadrado mide 18 cm2

Sabemos que el área del cuadrado es l2

18 = l2

Registrar, explicar y controlar todos los pasos, actuando con rigor, orden y precisión

3. Ejecución de la/s estrategia/sRegistrar, explicar y controlar todos los pasos, actuando con rigor, orden y precisión

¿Alguna

observación sobre

esta resolución?


l

l

d = 6 cm.

d2 = l2 + l2 62 = l2 + l2 = 2 l2

36 = 2 l2 18 = l2 l = √18

A = 4,24 cm x 4,24 cm = 17,9 cm2

Solución: El área del cuadrado mide 17,9 cm2

l = √18 = 4,24

Registrar y explicar todos los pasos, actuar con rigor, orden y precisión

3. Ejecución de la/s estrategia/s

Área de la figura A = ( 6 cm. x 6 cm. ) / 2 = 36 / 2 = 18 cm2

La diagonal del rombo ABCD viene dada en el enunciado del problema y vale 6 cm.

A B

D C

O

6 cm.



Área del cuadrado será Ac = 18 cm2 x 2 = 18 cm2

A B

D C

O

6 cm.

b = 6 cm.A

B

C

h = 3 cm.

Área del Triángulo ABCAt = 6 cm. x 3 cm. / 2 = 18 cm2 / 2 = 18 cm2



Área del cuadrado será Ac = 4,5 cm2 x 4 = 18 cm2

A B

D C

O

6 cm.

Área del Triángulo AOBAt = 3 cm. x 3 cm. / 2 = 9 cm2 / 2 = 4,5 cm2

A

b = 3 cm.

h = 3 cm.

BO

Triángulo AOB

Recordamos el enunciado y leemos el problema resuelto

4. Examen/control de la solución y del proceso

Comprobamos que el resultado es el mismo en todas las

estrategias desarrolladas

Observamos la consistencia de la solución obtenida con el

objetivo el problema

Repasamos los conceptos utilizados en la resolución del problema

Cuadrado, rombo, rectángulo, triángulo, t. rectángulo, t. isósceles . . . Lado, diagonal, cateto, hipotenusa, . . .

Expresiones para calcular las áreas del cuadrado, rombo y del triángulo . . . Teorema de Pitágoras

El resultado ha sido el mismo A = 18 cm2, salvo en un caso

Son unidades de superficie

Analizamos el problema resuelto para obtener conclusiones del resultado y del proceso. Recordamos y comparamos las diferentes estrategias

Para calcular el área del cuadrado hemos:* Utilizado la expresión A = l2


* ¿Qué estrategia nos ha gustado más? ¿Cuál nos ha parecido más fácil?

* Realizado composición y descomposición de las figuras interiores al cuadrado

* Utilizado la expresión A = (D x d) / 2

Y, también hemos utilizado la expresión cateto x cateto / 2, para calcular el área de un triángulo rectángulo

Enunciamos problemas similares


A B

D

C

D

DO

6 cm.

Calcular el área de un hexágono regular, sabiendo que su diagonal mide 6 cm.

Calcular el área de un hexágono regular, sabiendo que su radio mide 3 cm.

3 cm.

Sugerencias

He fallado o tenido dificultad en algún paso pero he intentado seguir, en lugar de quedarme bloqueado. Me he esforzado

Me he dado la oportunidad de aprender,

5. ¿Cómo me siento? ¿Qué he aprendido?

Autoinstrucciones

He aprendido algo nuevoNo me ha parecido difícil

Creo que podré aprender a hacerlo

Resolver /Formular

Problemas de Matemáticas

Resolución de Problemas de Matemáticasvs

La Resolución de Problemas

es un contexto y pretexto

para hacer/aprender Matemáticas

FORMAR UNA CADENA CERRADATenemos 4 piezas de una cadena teniendo cada parte 3 eslabones, todos cerrados como se muestra en la figura.Abrir un eslabón cuesta 2 euros y cerrarlos 3 euros.

¿Cuánto costaría hacer una cadena cerrada con todos los eslabones?

Abrir un eslabón cuesta 2 euros

La primera reacción es abrir un eslabón de la punta, enganchar otro y cerrar.

Se repite la operación 4 vecesTotal 4 x 5 euros = 20 euros

Hemos obtenido un resultado. ¿Podríamos

asegurar que hemos resuelto el problema?

Cerrar un eslabón cuesta 3 euros

Abrir/Cerrar 1 eslabón cuesta 5 euros

Hemos obtenido un resultado. ¿Podríamos

asegurar que hemos resuelto el problema?

Abrir un eslabón cuesta 2 euros

La primera reacción es abrir un eslabón de la punta, enganchar otro y cerrar.

Se repite la operación 4 vecesTotal 4 x 5 euros = 20 euros

Cerrar un eslabón cuesta 3 euros

Abrir/Cerrar 1 eslabón cuesta 5 euros

Supongamos la misma situación en la realidad, bien por un

caso personal o un empresario que trabajara con cadenas

similares ¿cómo abordaría el problema?

La pregunta implícita en estos casos sería ¿cuál es el

procedimiento más barato?

¿Es válida la solución para este caso?

¿Cómo se plantearía la resolución del problema?

¿Es posible hacerlo más barato?

Hemos abierto un eslabón. ¿Es el único que podemos abrir?

Podemos abrir un eslabón del medio

Y los otros dos eslabones

Unimos la cadena de otra manera

Cada eslabón abierto y cerrado unirá dos grupos de 3 eslabones

Hemos abierto 3 eslabones (6 euros) y cerrado 3 eslabones (9 euros).El precio total es de 15 euros

Dos personas comparten la comida. El primero aporta dos panes y tres, el segundo. Al comenzar, llega un tercero que no aporta ningún pan y, a cambio, da cinco monedas a los dos comensales anteriores. ¿Cómo deberían distribuirse las cinco

monedas los dos primeros?

Comensal 1º Comensal 2º

Dos panes Tres panes

Comensal 3º

Cinco monedas

Solución trivial

Se le da dos monedas al primer comensal y tres monedas al segundo

Dos personas comparten la comida. El primero aporta dos panes y tres, el segundo. Al comenzar, llega un tercero que no aporta

ningún pan, pero da cinco monedas a los comensales anteriores. ¿Cómo deberían distribuirse las cinco monedas los dos primeros?

Dividimos cada pan en tres partes (15 trozos en total)

El comensal 3º coge un trozo de pan del comensal 1

Dos panes Tres panesHacemos una representación

de la situación

Comensal 1º Comensal 2º

Comensal 3º

que repartimos a partes iguales 5 trozos a cada uno

El comensal 3º coge 4 trozos de pan del comensal 2¿Cómo debería ser el reparto?*

Bibliografía

Blanco, L.J.; Guerrero, E. y Caballero, A. (2013) Cognition and Affect in Mathematics Problem Solving with Prospective Teachers.The Mathematics Enthusiast. Special Issue : International Perspectives on Problem Solving Research in Mathematics Education. Guest Edited by Manuel Santos-Trigo & Luis Moreno-Armella (Mexico). Vol.10, No. 1 & 2 (January 2013). 335 –364. http://www.math.umt.edu/tmme/vol10no1and2/13-Blanco-et%20al_pp335_364.pdf

Blanco, L.J. y Cárdenas, J.A. (2013). La Resolución de Problemas como contenido en el Currículo de Matemáticas de Primaria y Secundaria. Revista Campo Abierto 32(1), pp. 137-156 http://revistas.ojs.es/index.php/campoabierto/issue/view/206/showToc

Blanco Nieto, L.J.; Cárdenas Lizarazo, J.A. y Caballero Carrasco, A. (2016). La Resolución de Problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de Profesores de Primaria. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura. Manuales Unex On-line.http://mascvuex.unex.es/ebooks/sites/mascvuex.unex.es.mascvuex.ebooks/files/files/file/Matematicas_9788460697602.pdf

Caballero, Blanco, L.J. y Guerrero, E. (2011). Problem Solving and Emotional Education in Initial Primary Teacher EducationEURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education Volume 7, Number 4, Nov. 281-292.

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