Prob Hiperestaticos 2015I

7/24/2019 Prob Hiperestaticos 2015I

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Resistencia de

MaterialesTema 6.1Estructuras Estaticamente

indeterminadas


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ndice de contenido

Introduccin

Seccin.1 - Estructuras estticamente indeterminadas

Seccin.2 - Tensiones de origen trmico

Seccin.3 Espfueros por monta!e o pre esfueros


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SISTE"#S $I%E&EST'TI()S ) EST'TI(#"E*TE I*+ETE&"I*#+)S

,n sistema se dice ue es iperesttico cuando /as fueras ue act0an sore uncuerpo no pueden determinarse so/o por /as ecuaciones de /a esttica poruea mas fueras desconocidas ue ecuaciones de eui/irio.%ara so/ucionar /os sistemas iperestticos es necesario sup/ementar /asecuaciones de/ eui/irio con ecuaciones de /as deformaciones4 esto es deemosdisponer de n ecuaciones independientes para a//ar /os 5a/ores de n incgnitas.En /os e!emp/os siguientes se i/ustra /a forma de so/ucionar pro/emasiperestticos o estticamente indeterminados. os sistemas anteriormenteestudiados se denominan sistemas Isostticos o estticamente determinados.


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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos

Las Condiciones de equilibrio

Se usa para determinar las fuerzasresistentes

Utiliza las ecuaciones de equilibrio de laesttica

Relaciones Compatibilidad y

eometr!aSe usa para deducir el cambio en la

longitud de la barra debido a fuerzasaxiales.

Relaciona la geometra y compatibilidad delas barras a nivel de desplazamientos

Condici"n Constituti#a

Ley de Hooe !"sf# $eformaci%n&

'ermite calcular las deformaciones axialesentre secciones.

7= PL/EA


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RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosTracci"n y compresi"n $iperest%ticas.

8

(uando /as reacciones de /as /igaduras no pueden determinarse uti/iando 0nicamente/as ecuaciones de /a Esttica se dice ue e/ sistema es iperesttico.

SistemaIsosttico

Sistema$iperesttico

9/ida so/o unaecuacin de /a esttica

0R P R P = =

Son necesarias ecuacionesen deformaciones

Ecuacin de /aesttica

A BR R P+ =

Estas ecuaciones deene:presar ue; laslasdeformaciones del sistemadeformaciones del sistema

deben ser compatibles condeben ser compatibles con

las ligaduras del mismolas ligaduras del mismo

0AB =


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E!emp/o

,na arra de seccin recta cuadrada de 8 cm de /ado est su!eta rgcomo se 5e en /a figura. +eterminar /as reacciones en /os e:tremos de /a arra e/ a/argamiento de /a parte dereca. (onsiderar E?21:1=6>g@cm2

+S de /a arra

&aA&?2= === >g


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(omo /a arra est fi!a a muros indeforma/es entonces /a deformacin de /aporcin iuierda de /a arra ser igua/ a /a deformacin de /a porcin dereca4entonces;

di

di

di

RRx

R

x

R

LL

5,1)101,2)(25(

)15(

)101,2)(25(

)10(66

=

=

=

Entonces;

)/101,2)(25(

)15(262 cmkgxcm

cmRL dd=

amientoalcmLd

arg0023,0 =

kgR

kgR

d

i

8000

12000

=

=

uego;


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E!emp/o;

(onsiderar /a arra #B de /a figura aso/utamente rg articu/ada en # soportada por /a 5ari//a de aceroEB por /a 5ari//a de core (+. a /ongitud de (+ es C= cm /a de EB es 18=cm. Si /a seccin de (+ es de 8 cmD /a de EB 3 cmD determinar e/ esfuero encada 5ari//a 5ertica/ e/ a/argamiento de /a de acero. +espreciar e/ peso de #B considerar para e/ core E?12:1=6>g@cm2 para e/ acero E?21:1=6>g@cm2


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+S de /a arra #B;

0)180(20000)240()120(0

0200000

00

=+=

=++=

==

acCuA

acCuyy

xx

FFM

FFAF

AF

(omo se puede 5er /as ecuaciones de/ eui/irio de/ sistema no son suficientespara so/ucionar e/ pro/ema4 deemos entonces sup/ementar estas ecuacionescon otras pro5enientes de /a deformacin ocurrida en e/ sistema.


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E/ efecto de /a carga ap/icada deformar /as arras 5ertica/es por /o ue /a arra#B de!ar /a posicin orionta/ aparecer inc/inada como e/ esuema de /afigura;

CuAcCuAc == 2

120240

Teniendo en cuenta

ue;

AE

FLL=

)102,1)(5(

)90(2

)101,2)(3(

)150(66 x

F

x

F CuAc=

CuAc FF 26,1=&eso/5iendo e/ sistema deecuaciones tenemos;

2

2

/17005800

/360010700

cmkgkgF

cmkgkgF

CuCu

AcAc

==

==


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ES&'ER() *E )RI+ENT,RMIC)

L=L0

T

Lo L

L

C

A

L

OR


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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos -ariaciones trmicas

12

En sistemas isostticos no se presentan esfueros por temperatura.

En sistemas indeterminados /os camios de temperatura ocasionan esfuerossignificati5os.

a deformacin /ongitudina/ deido a un camio de temperatura es;

T+

+onde a/fa es e/ coeficiente de di/atacin trmica /ongitudina/

(oef di/at. Trmica core? =.====16 @=(

(oef di/at. Trmica acero? =.====12 @=

(

TL =


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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos -ariaciones trmicas y de/ectos de monta0e.

13

(uando /as deformaciones producidas por5ariaciones de temperatura estn tota/ o

parcia/mente impedidas aparecentensiones.

+eformacin ue seimpide;

L T

(ompatii/idad dedeformaciones. NLL T

E =

ProblemaHiperesttico

( )E

N L TL

=

0L T N >

0L T N =

T+

Si /a arra dee uedar montada entre /as dos paredes fuese F cm cortadeemos ap/icar/e una carga % ue /e produca esa deformacin. Esta carga uedaen /a arra despus de montada se superpone con /as dems cargas ap/icadas a/a arra.

EP

L

=

TL =


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( se denomina )oe*ciente de dilataci%n t+rmica y escaracterstica de cada material, sus valores estntabulados y se expresan en unidades -/)."n el caso mas simple0 se tiene una barra de longitudLo1

LoLodilata una cantidad 2L cuando la temperatura de Lose incrementa.

Lo2L

L


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Locontrae una cantidad 2L cuando la temperaturadisminuye

L 2L Lo

L3Lo#2L 532LLo3! L#Lo &Lo 5 es negativo


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a e:periencia a demostrado ue sia e:periencia a demostrado ue siincrementamos /a temperatura de un cuerpoincrementamos /a temperatura de un cuerpo

ste se di/ata G aumenta sus dimensionesH ste se di/ata G aumenta sus dimensionesH si se decrementa /a temperatura ste sesi se decrementa /a temperatura ste secontrae Greduce sus dimensionesH4 estecontrae Greduce sus dimensionesH4 estefenmeno es re5ersi/e es decir cuando e/fenmeno es re5ersi/e es decir cuando e/cuerpo 5ue/5e a /a temperatura inicia/cuerpo 5ue/5e a /a temperatura inicia/recupera /as dimensiones ue ten


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ci/mente se comprende ue en un cuerpoci/mente se comprende ue en un cuerpoen cuo interior e:ista un gradiente deen cuo interior e:ista un gradiente de

temperaturas /as di/ataciones de /astemperaturas /as di/ataciones de /assuperficies ue se encuentren en un instantesuperficies ue se encuentren en un instantedeterminado a maor temperatura serndeterminado a maor temperatura sernsuperiores a /as de temperaturas ms a!assuperiores a /as de temperaturas ms a!as

esta di/atacin re/ati5a de unas superficies esta di/atacin re/ati5a de unas superficiesrespecto de otras sern causa de un estadorespecto de otras sern causa de un estadode tensiones ue en a/gunos casos Gcomode tensiones ue en a/gunos casos Gcomoocurre en /as turinas de 5apor motoresocurre en /as turinas de 5apor motores+iese/H puede ser de e:traordinaria+iese/H puede ser de e:traordinariaimportancia su conocimiento.importancia su conocimiento.


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(onsideraremos en primer /ugar e/ caso(onsideraremos en primer /ugar e/ casoen ue e/ gradiente de temperaturas esen ue e/ gradiente de temperaturas esnu/o es decir cuando en todo e/ materia/nu/o es decir cuando en todo e/ materia/

/a temperaturas es nu/o es decir cuando/a temperaturas es nu/o es decir cuandoen todo e/ materia/ /a temperatura esen todo e/ materia/ /a temperatura esuniforme.uniforme.


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E:perimenta/mente se a otenido ue /aE:perimenta/mente se a otenido ue /a5ariacin de /a /ongitud con /a temperatura5ariacin de /a /ongitud con /a temperatura

es una funcin /inea/ por /o ue /oses una funcin /inea/ por /o ue /osa/argamiento sern directamentea/argamiento sern directamenteproporciona/es a /os incrementos deproporciona/es a /os incrementos detemperatura.temperatura.

JJ?? JJooG1 AG1 A KTHKTH

o ieno ien

K/ ?K/ ? JJKTKT


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a constante de proporciona/idada constante de proporciona/idad LLes unaes unacaracter


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En consecuencia e/ camio unitario en /aEn consecuencia e/ camio unitario en /a/ongitud de /a arra deido a /a 5ariacin de/ongitud de /a arra deido a /a 5ariacin de

temperatura KT ser;temperatura KT ser;

Tl

l

=

=


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Es e5idente ue si /a arra sometida a unEs e5idente ue si /a arra sometida a uncamio de temperatura es /ire nocamio de temperatura es /ire no

aparecer tensin a/guna a ue no e:isteaparecer tensin a/guna a ue no e:isteninguna fuera sore /a misma.ninguna fuera sore /a misma.

En camio si /a arra como frecuentementeEn camio si /a arra como frecuentementeocurre est impedida a a/argarse e/ocurre est impedida a a/argarse e/fenmeno es eui5a/ente a una compresinfenmeno es eui5a/ente a una compresincuo acortamiento sea igua/ a/ a/argamientocuo acortamiento sea igua/ a/ a/argamiento

trmico.trmico.


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%or /a /e de%or /a /e de $oo>e$oo>e en /a arra se crear en /a arra se crearuna tensin norma/ dada por /a ecuacinuna tensin norma/ dada por /a ecuacin

? -? -EE ? -E? -E KTKT


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En /a construccin en e/ diseMoEn /a construccin en e/ diseMo

de miemros de un mecanismo ode miemros de un mecanismo oe/ementos estructura/es ese/ementos estructura/es esnecesario tener en cuenta /asnecesario tener en cuenta /as

deformaciones trmicas sore tododeformaciones trmicas sore todocuando se emp/ean distintoscuando se emp/ean distintosmateria/es.materia/es.


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#/gunas 5eces /os 5a/ores de/#/gunas 5eces /os 5a/ores de/

coeficiente de di/atacin trmicacoeficiente de di/atacin trmicason casi igua/es entonces seson casi igua/es entonces sefa5orece su uso con!unto comofa5orece su uso con!unto como

ocurre con e/ ormign e/ aceroocurre con e/ ormign e/ acerocuando se uti/ian amos en e/cuando se uti/ian amos en e/ormign armado.ormign armado.


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Es con5eniente uti/iar e/ siguiente procedimientoEs con5eniente uti/iar e/ siguiente procedimientopara determinar /as tensiones trmicas cuando separa determinar /as tensiones trmicas cuando se

impiden /as di/ataciones;impiden /as di/ataciones;

Se ca/cu/a /a di/atacin como si sta fuera /ire.Se ca/cu/a /a di/atacin como si sta fuera /ire. Se ap/ica /a fuera de traccin o compresinSe ap/ica /a fuera de traccin o compresin

monoa:ia/ para ue /a piea ocupe /a posicin amonoa:ia/ para ue /a piea ocupe /a posicin a/a ue est o/igada por /as /igaduras impuestas./a ue est o/igada por /as /igaduras impuestas. Se ace un esuema grfico de /os dosSe ace un esuema grfico de /os dos

apartados anteriores se deducir de / /aapartados anteriores se deducir de / /a

re/acin o re/aciones geomtricas entre /asre/acin o re/aciones geomtricas entre /asdeformaciones deidas a /as 5ariacionesdeformaciones deidas a /as 5ariacionestrmicas /as fueras de traccin o compresintrmicas /as fueras de traccin o compresinap/icadas.ap/icadas.


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a arra #( representada en /a figura es tota/mente rg e/ de /as otras dos arrases desprecia/e. Si /a temperatura de /as arras B+ (E aumenta 7= N(. $a//ar /osesfueros producidos en esas arras. B+ es de core para e/ cua/ E ? 1=8 : 1=6>g@cm2 L ? 1OO : 1=-6@ N( /a seccin 12 cm2 mientras ue (E es de acero parae/ cua/ E ? 21 : 1=6>g@cm2 L ? 11 : 1=-6 @ N( /a seccin 6 cm2 despreciar /aposii/idad de pandeo /atera/ en /as arras

EJEMPLO:


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E/ diagrama de s/ido /ire de /a arra #B( se muestra en e/ grfico siguiente;

+e/ eui/irio de/ sistema podemos otener /as siguientes ecuaciones;

00 == xx AFkgCEBDAF yy 50000 =++=

)120(5000)240()120(0 =+= CEBDMA kgCEBD 50002 =+(omo se aprecia e/ pro/ema es iperesttico por /o ue reuerimos sup/ementar/as ecuaciones de/ eui/irio con ecuaciones de deformacin de /os componentesde/ sistema en estudio.

----G1H


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as arras B+ (E se deforman por accin mecnica efecto trmico entonces/a arra #B( adoptar una posicin inc/inada como se muestra en e/ esuema

+e este esuema se otiene;

BDCECEBD

cm

=

=

2

240120

TAE

P+=

a deformacin cuando es originada por accin mecnica por efecto trmico see:presa de /a forma siguiente;

+=+ )40)(/107,17(90

)12(/1005,1

)90(2)40)(/1011(90

)6(/101,2

)90( 6226

6

226 CCxcm

cmcmkgx

cmBDCCxcm

cmcmkgx

cmCE

-------- G2H

+e /a ecuacin G2H con /os datos de/ pro/ema se tiene;


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+e donde; O172C (E-72P8O B+ ? PO P7= ----------G3H

(onsiderando /a ecuacin G1H tenemos;

O172C (E 172P8OG8 === >g 2 (EH ? POP7= de donde;

(E ? 7 78C82 >g B+ ? - 3 C1C=7 >g entonces /os esfueros sern;

26

52,4459

cm

kgCE =

2

/25,743 cmkgCE=

2

12

04,3919

cm

kgBD

=

2/59,326 cmkgBD =


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E!emp/os;E!emp/os; La viga rgida indeformable articulada en el punto OLa viga rgida indeformable articulada en el punto O

est colgada de dos tirantes elsticos iguales.est colgada de dos tirantes elsticos iguales.

Determinar los esfuerzos en los tirantes alDeterminar los esfuerzos en los tirantes al

calentarlos Tcalentarlos T ooC.C.


33/56

(ortamos /os tirantes e introducimos /as fueras *(ortamos /os tirantes e introducimos /as fueras *11 * *22Qfigura GHR.Qfigura GHR.

Igua/ando a cero /a suma de /os momentos de /asIgua/ando a cero /a suma de /os momentos de /asfueras respecto a /a articu/acin ) a//aremosfueras respecto a /a articu/acin ) a//aremos

**11a A 2 *a A 2 *22a ? =a ? =


34/56

Supongamos aora ue como resu/tado de/Supongamos aora ue como resu/tado de/ca/entamiento de /os tirantes /a 5iga r


35/56

) de acuerdo con /a ecuacin ue nos da e/) de acuerdo con /a ecuacin ue nos da e/a/argamiento de una arra omognea so/icitada ena/argamiento de una arra omognea so/icitada ensus e:tremos ca/entada uniformemente;sus e:tremos ca/entada uniformemente;

T

SE

P+=


36/56

+=+ T

SE

NT

SE

N

12 2


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Es decirEs decir

**22 2 * 2 *11? E S? E S LLKTKT


38/56

&eso/5iendo esta ecuacin simu/tneamente con /a de&eso/5iendo esta ecuacin simu/tneamente con /a deeui/irio otendremoseui/irio otendremos

TSE5

1NyTSE5

2N 21 ==

E/ signo negati5o de *E/ signo negati5o de *11indica ue /a primera arra noindica ue /a primera arra no

traa!a a traccin como se supuso anteriormente sino atraa!a a traccin como se supuso anteriormente sino acompresin.compresin.


39/56

Se trata de un pro/ema iperesttico por /o ue es con5enientesuponer ue e/ e:tremo superior se encuentra /ire. E/ +S sercomo e/ de /a figura. En esta condicin /a 5iga puede deformarse/iremente entonces;

mxCmCxTLL 46

1034,2)105)(1)(/104,23(

=== Esta ser


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L

EALF

..=+e /a re/acin;

kgm

cmkgxcmmx

F 2,6551

)/108,2)(10)(1034,2( 2524

==

%or /o tanto /a tensin GesfueroH ue se desarro//a en /a 5iga por efecto trmico es;

210

2,655

cm

kg

A

F

==

Entonces; 2/52,65 cmkg=


41/56

Solucin:E/ camio de /ongitud GacortamientoH por efecto trmico ser;

TLL =

mmCmmCxL 1,62)20020)(300)(/105,11( 4 ==

162L


42/56

a deformacin a:ia/ unitaria es; 207,0300

1,62==

=

mm

mm

L

L

uego e/ esfuero ue se desarro//a en /a arra es;

)/101,2(207,0 25 mmNxE==

2/43470 mmN=

%roa/emente despus de una /igera deformacin /a arra se rompa antes deue /a temperatura a/cance /os 2= N(.


43/56

+e /a re/acin; TLL = )tenemos

CmmCx

mm

L

LT 26,5

)200)(/1019(

2,06

==

=

Solucin:

E/ aumento de temperatura necesario para ue e/ e:tremo # de /a arra a/cance /apared r


44/56

Este incremento de temperatura es;

CCCT 74,4426,550 ==

E/ esfuero ue se genera en e/ interior de /a arra por efecto de este incrementode temperatura es;

TEE ==

GPaCCxGPa 0935,0)74,44)(/1019)(110( 6 ==

MPa5,93=


45/56

Solucin:

%odemos determinar /a fuera cortante en e/ torni//o 5ertica/ en ase a / sepueden rea/iar c/cu/os para /a 5ari//a de acero.'rea de/ torni//o;

252

10854,74

)01,0(

4mx

mDA ===


46/56

Entonces /a fuera cortante en e/ torni//o es;

NmxPaxAF 4,4712)10854,7)(1060( 256 ===

a fuera en /a 5ari//a ser; NNFP 8,9424)4,4712(22 ===E/ esfuero en /a 5ari//a es; MpaPax

mx

N

A

P120102,1

10854,7

8,9424 825

====

E/ aumento de temperatura ue genere este esfuero se puede ca/cu/ar uti/iando/a re/acin;

TE =

#s


47/56

RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E

7O

E:isten esfueros inicia/es producidas por e/ monta!e deidas a errores en /as/ongitudes de /as arras o a 5ariaciones intencionadas de /os correctos de aue//as/ongitudes.

Estos esfueros e:isten aun cuando no actuen cargas e:teriores dependen de /asproporciones mecanicas de /os materia/es de /a magnitud de /os errores.

En sistemas isostticos no se presentan esfueros por efectos de monta!e

m



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7P

En sistemas indeterminados /os efectos de monta!e ocasionan esfuerossignificati5os.

m

#

B

(1

2

3

a arra 3 es mas corta de su diseMo origina/

uego de rea/iado e/ monta!e se producen esfueros en /as tres arras por efecto

so/o de monta!e.



49/56


7C

P!O"LEMA #eterminar los es$uer%os &ue sur'en en las barras de acero(despu)s de *aberse e$ectuado el monta+e del sistema estructural( si labarra , $ue $abricada en O-. mm menor de lo pro0ectado- 1onsiderar -E= ,-232 4a 5'/cm,



50/56


8=

Solucin:

Efectuamos e/ monta!e de/ sistema acemos un corte en todas /as arras;

()*+I(I)* +E EU,IIB&I)



51/56

S S C ob e as pe es a cos ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E

81

VE)"ET&I# W ()"%#TIBII+#+#na/iamos e/ diagrama de desp/aamientos;



52/56

p ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E

82

()*+I(I)* ()*STIT,TI9#



53/56


83

P!O"LEMA , En el sistema de barras de acero( la barra central $ue$abricada ma0or en &ue su lon'itud pro0ectada- #eterminar los

es$uer%os en las barras despu)s de e$ectuar el monta+e de la estructura en"( con la condicin de &ue son de reas i'uales- 1onsiderar - E= ,-2 32 46'/cm,



54/56


87

EU,IIB&I)



55/56


88

()"%#TIBII+#+ W VE)"ET&I#



56/56


()*+I(I)* ()*STIT,TI9# +E )S "#TE&I#ES

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