16560335 Tecnicas de Muestreo

Blanca

TCNICAS DE MUESTREO PARA MANEJADORESDE RECURSOS NATURALES

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICODireccin General de Estudios de Posgrado

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATNCONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGA

INSTITUTO NACIONAL DE ECOLOGA

TCNICAS DE MUESTREO PARA MANEJADORESDE RECURSOS NATURALES

FRANCISCO BAUTISTA ZIGAEditor General

HUGO DELFN GONZLEZEditor Asociado

JOS LUIS PALACIO PRIETOEditor Asociado

MARA DEL CARMEN DELGADO CARRANZAAsistencia Tcnica

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICOUNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATN

CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGAINSTITUTO NACIONAL DE ECOLOGA

2004

Primera edicin: 2004

D.R. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICOCiudad Universitaria, C. P. 04510, Mxico, D. F.

D.R. UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATNCalle 60 nm. 491 por 57, Centro, C. P. 97000, Mrida Yucatn.

D.R. CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGAAv. Insurgentes Sur 1582, Col. Crdito Constructor, C. P. 03940, Mxico D. F.

D.R. INSTITUTO NACIONAL DE ECOLOGAPerifrico 5000, col. Insurgentes Cuicuilco, C. P. 04530, Mxico D. F.

Prohibida su reproduccin total o parcial por cualquier medio, sin autorizacin escritade su legtimo titular de derechos.

ISBN 970-32-1778-8

Impreso y hecho en Mxico

DI R E C T O R I O D E PA RT I C I PA N T E S

DR. JUAN JIMNEZ OSORNIODepartamento de Manejo y Conservacin de Recursos Naturales Tropicales, Facultad de Me-dicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Autnoma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

DR. JORGE NAVARRO ALBERTODepartamento de Ecologa, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

DR. VCTOR LUNA PABELLODepartamento de Ingeniera Qumica, Facultad de Qumica, UNAM.

ING. ALEJANDRO ALVA MARTNEZPista Olimpica de Remo y Canotaje Virgilio Uribe. Perifrico Sur S/N, [email protected]

ING. ARTURO BERNAL BECERRAUniversidad Autnoma Metropolitana, Unidad Xochimilco

DR. ROGER ARMANDO ORELLANA LANZADepartamento de Recursos Naturales. Centro de Investigaiones Cientficas de Yucatn.

DRA. MARA ENGRACIA HERNNDEZ CERDAInstituto de Geografa de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

DRA. SILKE CRAM HEYDRICHInstituto de Geografa, universidad Nacional Autnoma de Mxico.

M EN C. IRENE SOMMER CERVANTESInstituto de Geografa, universidad Nacional Autnoma de Mxico.

DR. FRANCISCO BAUTISTA ZIGADepartamento de Manejo y Conservacin de Recursos Naturales Tropicales, Facultad de Me-dicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Autnoma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico. Bzuniga(tunku.uady.mx

DR. RAFAEL VILLEGASInstituto Nacional de Investigaciones en Caa de Azcar, Cuba.

Q. RAFAEL MASInstituto Nacional de Investigaciones en Caa de Azcar, Cuba.

8TCNICAS DE MUESTREO PARA MANEJADORES DE RECURSOS NATURALES

I. FERNNDEZ DENISYInstituto Nacional de Investigaciones en Caa de Azcar, Cuba.

DR. F. JAVIER LVAREZ SNCHEZDepartamento de Ecologa. Facultad de Ciencias, UNAM.

DR. SALVADOR FLORES GUIDODepartamento de Botnica, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

DR. HUGO DELFN GONZLEZDepartamento de Zoologa, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mx.

M EN C. PABLO C. MANRIQUE SAIDEDepartamento de Zoologa, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

M EN C. CELIA SLEM SALASDepartamento de Zoologa, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. Km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

M EN C. SILVIA HERNNDEZ BETANCOURTDepartamento de Zoologa, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. Km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

M EN C. JAVIER SOSA ESCALANTEDepartamento de Zoologa, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. Km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

DRA. EDNA NARANJO GARCADepartamento de Zoologa, Instituto de Biologa. Universidad Nacional Autnoma de Mxi-co. Apartado Postal 70-153 04510 Mxico D.F.

DRA. CATALINA GMEZ ESPINOZADepartamento de Zoologa, Instituto de Biologa. Universidad Nacional Autnoma de Mxi-co. Apartado Postal 70-153 04510 Mxico D.F.

M EN C. JOS ALBERTO RAMOS ZAPATADepartamento de Biologa Experimental, Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Univer-sidad Autnoma de Yucatn. Km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

DR. BERNAD TRUMPHEM EN C. ARTURO CAAMAL MALDONADO

Departamento de Manejo y Conservacin de Recursos Naturales Tropicales, Facultad de Me-dicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Autnoma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

9INTRODUCCIN AL DISEO Y ANLISIS DE MUESTREO DE POBLACIONES FINITAS

DR. JOS C. SEGURA CORREAFacultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Autnoma de Yucatn. km 15.5carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

DR. GERMN A. ZRATE HOYOSUniversidad de California, Campus Riverside. EUA.

DR. JORGE SANTOS FLORESDepartamento de sistemas. Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Aut-noma de Yucatn. km 15.5 carretera Mrida-Xmatkuil. Mrida, Yucatn, Mxico.

DR. G. MOLINA C.DR. JOS LUIS PALACIO PRIETO

Instituto de Geografa. Universidad Nacional Autnoma de Mxico

BIL. ARMANDO PERALTA HIGUERAInstituto de Geografa. UNAM.

M EN C. JOS ANTONIO GONZLEZ ITURBE AHUMADADepartamento de Recursos Naturales. Centro de Investigacin Cientfica de [email protected]

BIL. CELENE ESPADAS MANRRIQUE

blanca

CONTENIDO

INTRODUCCIN ......................................................................................................... 13

I DISEO Y ANLISIS DEL MUESTREO ............................................................... 171 Introduccin al diseo y anlisis del muestreo de poblaciones finitas ............ 19

II EL AMBIENTE ................................................................................................ 712 Suelos ................................................................................................................ 733 Monolitos de suelo ............................................................................................ 994 Cuerpos de agua superficiales ......................................................................... 1175 Clima ............................................................................................................... 145

III LOS ORGANISMOS ........................................................................................1836 Microorganismos del suelo ............................................................................. 1857 Moluscos ......................................................................................................... 2118 Insectos terrestres ............................................................................................ 2359 Aves y mamferos ............................................................................................ 269

10 Flora y vegetacin ........................................................................................... 303

IV LOS AGROECOSISTEMAS ............................................................................... 32911Rendimiento de maz en milpas de campesinos ............................................... 33112 Arvenses .......................................................................................................... 34313 Animales de traspatio ...................................................................................... 36314 Diagnstico rural participativo ....................................................................... 39915 Matriz de contabilidad social .......................................................................... 421

V SENSORES REMOTOS Y MANEJO DE INFORMACIN GEOGRFICA ............................... 45316 Introduccin a la percepcin remota ............................................................... 45517 Video-teledeteccin y fotografa digital ......................................................... 48318 Introduccin a los sistemas de informacin geogrfica ................................. 495

INTRODUCCIN

Francisco Bautista-Ziga* y Juan Jimnez-Osornio*

Centro de Investigacin Cientfica de Yucatn [email protected] nivel mundial, pero de manera ms intensa en la cultura occidental, la mayorade las formas de produccin, fueron diseadas para operar en condiciones deabundancia de recursos naturales (suelo, agua y aire). Esto ha ocasionado que enlas ltimas dcadas, la explotacin de los recursos naturales se ha hechode manera tal, que no tiene precedente.

Este tipo de desarrollo actual, en el que se presenta una sobre-explotacin delcapital natural con la finalidad de obtener la mxima ganancia en el corto pla-zo, es el causante de los problemas ambientales globales (efecto invernadero,destruccin de la capa de ozono, contaminacin atmosfrica y del agua, entreotros) y en buena proporcin de los problemas locales (deforestacin, erosin,prdida de la biodiversidad, contaminacin, etc). A su vez, estos problemas am-bientales limitan el mismo tipo de desarrollo.

La explotacin-extraccin desmedida de los recursos naturales ocasiona pro-blemas de deterioro, renovacin y agotamiento de los recursos naturales (suelo,agua, aire, biodiversidad, etc.) y es la causa del incremento de problemas econ-micos y sociales de grandes consecuencias, como la distribucin desigual delingreso.

Resulta urgente la necesidad de disminuir o eliminar los problemas de mane-jo de los recursos naturales y/o desarrollar nuevas opciones de solucin o elabo-rar otras formas de manejo de los recursos naturales. Del mismo modo, se requieredisminuir el deterioro ambiental producto de la contaminacin por desechos de

* Departamento de Manejo y Conservacin de Recursos Naturales Tropicales, FMVZ UniversidadAutnoma de Yucatn

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TCNICAS DE MUESTREO PARA MANEJADORES DE RECURSOS NATURALES

origen antrpico, mediante acciones correctivas y de prevencin en el mejora-miento de los procesos productivos tendiendo hacia el diseo de tecnologa lim-pia o de bajo impacto. Adems se requiere informacin confiable de los mbitosambiental, biolgico, ecolgico, econmico y social, que pueda ser utilizada enel diagnstico, diseo de indicadores de la calidad del ambiente, elaboracin deinventarios de recursos, etc.

Ante este panorama, se han realizado diversas reuniones de carcter interna-cional en las que se ha discutido al respecto y se han diseado estrategias paraafrontar los problemas arriba mencionados (Ro, Colombia, Mxico, URSS, etc.).Por ejemplo, en la carta de Bogot se mencionan una conclusin y una recomen-dacin, ambas relacionadas con la educacin universitaria:

1. El estado actual del pensamiento ambiental no permite dar soluciones inme-diatas a esos problemas. La incorporacin de la dimensin ambiental al co-nocimiento requiere de grandes esfuerzos tericos y metodolgicos para laconduccin de investigaciones concretas y participativas en los problemasprioritarios del medio social, incluyendo la utilizacin racional del mediorural

2. La cuestin ambiental ha generado nuevas temticas interdisciplinarias queobligan a realizar un mayor esfuerzo en aspectos de investigacin, docenciay gestin en el manejo de los recursos naturales

Otra recomendacin hecha a los gobiernos, relacionada con la formacin deprofesionales, radica en la urgente necesidad de formar profesionales capaces deintegrar informacin de diversos mbitos, como el natural, ecolgico, social, eco-nmico y poltico, que sea capaz de disear, plantear, desarrollar e instrumentaropciones de solucin a los problemas ambientales, considerando el impacto eco-nmico y social de sus medidas. Es decir, el fomento del trabajo transdiciplinario.

La bsqueda de opciones viables con enfoque de sustentabilidad de los recur-sos naturales de manera integral y transdiciplinaria, se dificulta por la enormecantidad de informacin que se debe manejar para el diseo y ejecucin de losnuevos planes de manejo de recursos naturales.

Esta dificultad se incrementa por la escasez de profesores formados con ese enfo-que y la falta de libros en los que se incluyan tpicos prcticos y de generacin dedatos, ya que este conocimiento se adquiere con la prctica y los manuales de temasespecficos resultan atractivos solo para los especialistas. Es por ello que se pens enla elaboracin de un libro sobre las tcnicas de muestreo para la obtencin de datos enesos mbitos, que fuera escrito por profesionales con experiencia en cada una de lasreas, con la idea de que fuera un libro de consulta para los estudiantes preocupados

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INTRODUCCIN AL DISEO Y ANLISIS DE MUESTREO DE POBLACIONES FINITAS

por los efectos del desarrollo (p.e. deterioro del ambiente, pobreza).Por otro lado y a nivel de docencia, la formacin integral de los alumnos

tambin requiere su fortalecimiento en la prctica, siendo el libro de utilidad enese sentido. Este volumen pretende ayudar a disminuir problemas prcticos en lageneracin de datos con carcter cientfico.

En este sentido, este volumen pretende contribuir a la formacin demanejadores de recursos naturales, as como a estudiantes de biologa, agrono-ma, ingeniera civil y otras reas relacionadas con el manejo de recursos natura-les y el ambiente, mediante la exposicin de los principios estadsticos del diseode las tcnicas de muestreo, as como las particularidades en el estudio del am-biente (clima, suelo y agua); en las tcnicas de muestreo de plantas, tanto a nivelde flora como de anlisis de la vegetacin; en las tcnicas de muestreo y prepara-cin de invertebrados como los oligoquetos, moluscos e insectos; en observaciny registro de la presencia de vertebrados, del tipo de las aves y mamferos; enagroecosistemas (produccin en cultivos anuales, arvenses, animales de traspatio);en microorganismos de inters econmico como las micorrizas y las bacteriasfijadoras de nitrgeno; en aspectos socioeconmicos; y en la obtencin de infor-macin por sensores remotos y el manejo de informacin en sistemas de informa-cin geogrfica.

As este libro est estructurado en cinco ejes temticos que consideramosbsicos en la formacin de los manejadores de recursos naturales, a saber: I. Di-seo y anlisis del muestreo; II. El ambiente; III. Los organismos; IV. Losagrosistemas y V. Sensores remotos y manejo de informacin geogrfica. En lapresentacin de cada eje temtico incluimos una breve descripcin de los captu-los considerados y la importancia que reviste el estudio de cada uno de ellos,siempre en el contexto de ser una herramienta prctica y sin pretender agotar elmarco conceptual que le da sustento. En todos los captulos se justifica la impor-tancia del muestreo en el tema de referencia, para qu tomar la muestra, dndetomar la muestra, cundo tomar la muestra y cmo tomar la muestra.

Esperamos que esta breve introduccin despierte el inters para adentrarse enel estudio de los recursos naturales, utilizando las herramientas provistas por losautores que escribieron el presente texto.

I N T R O D U C C I N

blanca

I. DISEO Y ANLISIS DEL MUESTREO

Una vez que el problema, los objetivos y las hiptesis de una investigacin hansido planteados, la etapa siguiente que debe ser atendida es el diseo del muestreo.La parte estadstica del muestreo es indispensable en la obtencin de datos, es lapiedra angular de la investigacin. Una muestra que no tenga representacin de lapoblacin de estudio imposibilita la obtencin de datos con-fiables, an cuandoen las etapas posteriores se utilicen las tcnica de anlisis ms sofisticadas.

En este apartado se dan las bases tericas para atender las tres grandes pre-guntas que deben ser contestadas en todo proceso de muestreo: cmo debo to-mar las muestras?, dnde debo muestrear? y, cuntas muestras debo tomar? paraque mis datos sean representativos de la poblacin que pretendo estudiar.

blanca

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1INTRODUCCIN AL DISEO Y ANLISIS DEL MUESTREO

DE POBLACIONES FINITAS

Jorge Navarro Alberto*

Muestreo de poblaciones finitas I

Diseo de encuestas por muestreo

A diferencia de los cientficos fsicos que realizan experimentos, los cientficossociales y de la vida silvestre llevan a cabo encuestas para recolectar una muestra.Reconocemos as, que existen diferencias de un campo de la ciencia a otro, en lanaturaleza de las poblaciones y la naturaleza en la que una muestra puede serextrada. Por ejemplo, la poblacin de animales de una especie particular puedencontener nicamente un nmero pequeo de elementos.

Las limitaciones en el procedimiento de muestreo tambin varan de un reade la ciencia a otra. El muestreo en las ciencias fsicas frecuentemente pueden serejecutadas bajo condiciones experimentales controladas. Tal control es prctica-mente imposible en las ciencias sociales y manejo de recursos naturales. Por ejem-plo, un investigador en medicina puede comparar el crecimiento de ratas sometidasa dos frmacos diferentes. Para este experimento los pesos iniciales de las ratas yla ingesta diaria de alimento pueden ser controlados para reducir alguna varia-cin indeseable en el experimento. En contraste, muy pocas variables pueden sercontroladas al estudiar el efecto de las condiciones ambientales sobre el nmerode venados en la Pennsula de Yucatn.

Las tcnicas descritas en este captulo se han aplicado primordialmente en eldiseo y anlisis de encuestas, por ello el nombre dado a esta rea de la estadsti-

* Departamento de Ecologa. Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia. Universidad Autnoma deYucatn

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ca. No obstante, las tcnicas han sido ampliadas y mejoradas para dar cabida almuestreo de poblaciones biolgicas, en ramas como la Ecologa o el Manejo deRecursos Naturales. En este captulo se presentan mtodos bsicos para el diseoy anlisis del muestreo de poblaciones finitas tiles al manejador de recursosnaturales. Al revisar cada tema, tenga presente que el objetivo primordial de cadaseccin es la inferencia. Identifique el procedimiento de muestreo asociado acada seccin, los parmetros poblacionales de inters, sus estimadores y los lmi-tes asociados a los errores de estimacin.

Inferencia estadstica

El objetivo de cualquier encuesta por muestreo es realizar inferencias acerca deuna poblacin de inters, partiendo de la informacin obtenida en una muestra dedicha poblacin. Las inferencias en las encuestas por muestreo usualmente sondirigidas a la estimacin de ciertas caractersticas numricas de la poblacin, talescomo la media, el total o la varianza. Estas medidas descriptivas numricas de lapoblacin se denominan parmetros.

Ejemplos de parmetros (parmetros-objetivo).En esta parte introductoria consideraremos tres parmetros-objetivo que ha-

bitualmente se desearan estimar en estudios observacionales: la media, el total yla proporcin de xito. Los dos primeros parmetros son tiles cuando el inves-tigador tiene inters en variables cuantitativas. En el cuadro 1 se ejemplificansituaciones en donde estos dos parmetros podran ser estimados.

Cuando en lugar de variables cuantitativas, el investigador solamente desearegistrar una caracterstica cualitativa binaria (es decir, a cada elemento de la

VariablePeso de una vaca

Superficie de una fincarstica

Nmero de hijos de unafamiliaContenido en miligramosde fsforo de una hoja

TotalSuma de pesos de todaslas vacas de un hato

Suma de superficiesen hectreasSuma de hijos

Suma de miligramos

Media

Total dividido por el nmerode vacas del hatoTotal dividido por el nmerode fincas

Total dividido por el nmerode familiasTotal dividido por el nmerode hojas

Ejemplos de totales y medias poblacionales.

Cuadro 1

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poblacin corresponde una caracterstica o atributo yi que solo puede tomar dosvalores, llamados tcnicamente xito y fracaso), entonces un parmetro-ob-jetivo podra ser la proporcin de xitos en la poblacin. Para calcular estaproporcin se suma el nmero de veces que ocurre un xito; entonces la pro-porcin es igual a ese total dividido entre el nmero de elementos dela poblacin. Por tanto, la proporcin puede considerarse un caso particularde la media aritmtica cuando el resultado de la medida tiene que ser o xito ofracaso. Ejemplos de proporciones se dan en el Cuadro 2.

Desde ahora indicamos al lector que las frmulas que iremos presentando enel transcurso de este captulo (que se podrn identificar facilmente por estar encuadros etiquetados con la leyenda CAJA #), se referirn exclusivamente a losparmetros-objetivo media, total y proporcin.

Estimadores de parmetros

Un estimador es una funcin de variables aleatorias observables y quizs otrasconstantes conocidas, usado para estimar un parmetro.

Por ejemplo, la media muestral puede ser usada como un estimador de la mediapoblacional . Ntese que es una variable aleatoria y tiene una distribucin demuestreo que depende del mecanismo muestral. Algunos de los posibles valoresque puede tomar estarn cercanos a , y otros pueden estar bastante alejados de en cualquiera de los lados, positivo o negativo. Con los mtodos que veremos en estassecciones, seleccionaremos un plan de muestreo que nos asegure quey (elvalor esperado de es ) y que la varianza de, , es pequea.

Ejemplos de proporciones poblacionales

Cuadro 2

AtributoVenado adulto

Cultivo de maz

Estado civil, soltero

Opinin positiva sobredeterminada cuestin

Total de claseNmero de venadosadultos

Nmero de padres defamilia campesina quecultivan mazNmero de solteros

Nmero de personas conopiniones positivass

ProporcinTotal de la clase dividido por elnmero de animales(adultos y no-adultos)

Total de la clase dividido por elnmero de padres de familiacampesinaTotal de la clase dividido por elnmero de individuosTotal de la clase dividido por elnmero de opiniones registradas

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En general, sea un parmetro y sea un estimador para . Dos propiedadesdeseables para son:

1. (Insesgamiento de)2. es pequea. (Varianza mnima entre estimadores de ).Aunque la distribucin de muestreo de depender del mecanismo de muestreo

y los tamaos de muestra y la poblacin, en muchas situaciones se puede usar elTeorema del Lmite Central para afirmar que es aproximadamente normal. ElTeorema del Lmite Central y su aplicacin a estimadores como o p (probabi-lidad de xito de una poblacin binomial) es adecuada si n, el tamao de la mues-tra , es grande, digamos, .

Definicin.Sea un parmetro y un estimador de . El error de estimacin se define

como: .No podemos establecer que un estimador observado estar dentro de una dis-

tancia especificada de , pero podemos, aproximadamente, encontrar un lmitetal que:

para cualquier probabilidad deseada, , donde . Si tiene unadistribucin normal, , donde es el valor que separa un rea de /2en la cola del lado derecho de la distribucin normal estndar. Si, .95entonces 1.96, o sea, aproximadamente 2. Ya que muchos estima-dores que usamos a lo largo de estas sesiones no van a tener una distribucinprecisamente normal para muchos valores de los tamaos de muestra n y de lostamaos de poblacin N, y ya que el Teorema de Tchebysheff establece que almenos 75% de las observaciones para cualquier distribucin de probabilidad estardentro de dos desviaciones estndar de su media vamos a usar como lmitedel error de estimacin.

Esto nos da una 0.95 para los casos aproximadamente norma-les y 0.75 en cualquier otro caso, si .

Si entonces, . En esta forma , se denomina un intervalo de confianza para con coeficiente de

confianza 1 . La cantidad B se llama el lmite inferior de confianza (LIC)y B se llama el lmite superior de confianza (LSC).

$$

$

$

$

$$

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B B

Elementos del problema de muestreo

Consideraremos el problema particular del muestreo de poblaciones finitas, aunqueocasionalmente nos referiremos a poblaciones infinitas.

La cantidad de informacin obtenida en la muestra para hacer inferenciasacerca de la poblacin depende del nmero de elementos muestreados y de lacantidad de variacin de los datos.

El diseo de la encuesta por muestreo es el mtodo de seleccin de la muestradirigido a controlar la variacin de los datos que pudiera afectar la inferencia.

El diseo de la encuesta y el tamao de la muestra determinan la cantidad deinformacin pertinente a un parmetro poblacional, siempre y cuando se obten-gan mediciones exactas en cada elemento muestreado. Como siempre estaremossujetos a errores, la manera de controlar la exactitud de las mediciones sera me-diante mtodos adecuados de recoleccin de datos y por una buena elaboracindel instrumento de muestreo (o cuestionario o plan de muestreo).

Ejemplo. En la comunidad de Villa Natura se realiz una encuesta de opininpara determinar la actitud del pblico hacia la creacin de una nueva seccinespecial para acampar en un parque ecolgico. El objetivo de la encuesta fueestimar la proporcin del nmero de personas en la comunidad mayores de 18aos que pudieran hacer uso de la nueva seccin para acampar.

Un tem o unidad experimental ltima es un objeto en el cual se toman lasmediciones. En el ejemplo anterior, una unidad experimental ltima es un habi-tante de la comunidad, mayor de 18 aos.

La medicin tomada de esta unidad experimental ltima es la preferencia delindividuo en cuestin respecto a la posibilidad de uso, en el futuro, de la seccinpara acampar. Podra registrarse la medicin como 0 = no lo usar; 1 = la usar.

Una poblacin es una coleccin de elementos acerca de los cuales deseamoshacer una inferencia. La poblacin en el ejemplo de anterior es la coleccin delos habitantes mayores de 18 aos de la comunidad. Otros ejemplos de poblacio-nes podran ser todos los hospitales en una ciudad, todos los pacientes con unaenfermedad ahora y en el futuro, todos los venados cola blanca en un rea, o todas

$

$ $

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las rdenes de pago procesadas por una compaa en el perodo de un ao. Algu-nas poblaciones, tales como los hospitales en una ciudad, son de un tamao finitode modo que pueden determinarse si es necesario. Otras, como los pacientes conun enfermedad ahora y en el futuro son finitas, pero de un tamao indeterminado.En algunos casos una poblacin es infinita, como son los resultados que puedenobtenerse repetidamente al lanzar una moneda y ver si el resultado es guila o sol.

Consideraciones importantes

Uno debe definir cuidadosa y completamente la poblacin antes de recolectar lamuestra. As, debemos distinguir entre la poblacin muestreada y la poblacinobjetivo, puesto que algunas partes de la poblacin objetivo pueden ser imposiblesde alcanzar (p.e. los nios de la calle o los mendigos en ciudades grandes noestn en listas y no tienen residencias permanentes). Sin embargo, ellos son anparte de la poblacin de la ciudad. De manera similar, al considerar la poblacinde pacientes potenciales con una enfermedad, no hay manera de muestrear aaquellos que no han nacido aun. Los estudios debern ser diseados de modo quela correspondencia entre la poblacin objetivo y la poblacin muestreada sea loms estrecha posible.

Volviendo al ejemplo, si la nica poblacin disponible para el muestreo esuna lista de residentes de la comunidad, entonces se debe recolectar informacinacerca de la edad de la persona muestreada y, as, identificar si el individuo tienems de 18 aos.

Las unidades de muestreo son colecciones no sobrelapadas de elementos dela poblacin que cubren la poblacin completa.

En el ejemplo anterior, una unidad de muestreo puede ser un habitante de lacomunidad mayor de 18 aos, visitante potencial o no, de la zona para acamparen el parque. Sin embargo, un proceso ms eficiente puede ser muestrear hogares(colecciones de unidades experimentales ltimas). Si los hogares son unidades demuestreo, stos deben definirse de tal manera que ninguna persona mayor de 18aos de la poblacin pueda ser muestreada ms de una vez, y que cada unidadexperimental ltima tenga alguna oportunidad de ser seleccionada.

NOTA. Las muestras de parcelas tomadas, por ejemplo, en estudios en una regin endonde vive un animal, son frecuentemente circulares. A pesar de sus ventajas, ob-viamente las parcelas no pueden cubrir un campo sin que ocurra algn sobrela-pamiento. Se sugiere que ste sea lo ms pequeo posible para lograr un muestreoeficiente.

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Un marco es una lista de unidades de muestreo. Como ilustracin de lo quepodra ser un marco, consideremos de nuevo el ejemplo de Villa Natura. Si espe-cificamos al visitante del parque, potencial o no, mayor de 18 aos, habitante dela comunidad, como unidad de muestreo = unidad experimental ltima, una listade estos elementos puede servir como el marco de esta encuesta. Tomando encuenta que el marco tiene que tomarse de una lista ms amplia, no est claromuchas veces cules son los elementos de la poblacin. Adems actualizar lalista diariamente es imposible. En otras situaciones, un directorio de la ciudad ouna lista de padres de familia obtenida de los datos del censo puede servir comoun marco.

Algunos esquemas de muestreo pueden requerir de marcos mltiples. Porejemplo, la estimacin de rendimientos de un cultivo en un estado, puede involu-crar una lista de productores para ser entrevistados y una lista de parcelas para sermedidas.

Una muestra es una coleccin de unidades seleccionadas de un marco o va-rios marcos. En el ejemplo de la encuesta sobre una nueva seccin del parque,cierto nmero de habitantes con las caractersticas sealadas (la muestra) va a serentrevistado para determinar su posibilidad de uso de la nueva seccin. Podemosusar la informacin obtenida de estos habitantes acerca de la opinin de los habi-tantes mayores de 18 aos en toda la comunidad.

Por qu tomar muestras?

Hay tres razones principales por las que en una poblacin se deben tomar muestrasen lugar de realizar censos:

1. Puede ser imprctico un censo completo debido al costo y el esfuerzoinvolucrados (p.e. un botnico puede no tener suficiente tiempo para muestrearcada planta en un rea).

2. El muestreo es ms rpido que un conteo completo (p.e. una administracingubernamental puede decidir tomar una muestra del 10% de la poblacinporque los resultados de un censo completo pueden estar parcialmenteobsoletos en el momento en que sean procesados).

3. Las muestras pueden ser ms exactas que los censos completos. La tercerarazn puede ser sorprendente. Esto sucede porque a menudo los errores msgrandes en la encuesta no son los errores de muestreo (debidos a los efectoscasuales al seleccionar las unidades experimentales). Ms bien, son los erro-res de no-muestreo que se deben a cosas como un muestreo sesgado, datos

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mal registrados, preguntas no entendidas correctamente, registros perdidos,etc. Una muestra relativamente pequea pero bien organizada puede darmejores resultados que una encuesta completa o una muestra grande que nopuede ser administrada debido a la falta de recursos.

Cmo seleccionar la muestra? El diseo de la encuesta por muestreo.

Si es el parmetro de inters en una poblacin y es el estimador de , debemosespecificar un lmite o cota para el error de estimacin, B.

error de estimacin

con la condicin de que:

P(error de estimacin

Una seleccin usual de B es: .

Despus de obtener un lmite especfico con su probabilidad asociada 1 ,podemos comparar diseos diferentes para determinar cul procedimiento pro-porciona la precisin deseada al mnimo costo. Los diseos bsicos se irn tratan-do en las siguientes secciones.

Muestreo irrestricto aleatorio. Procedimiento y estimaciones de medias,totales y proporciones

Diseo bsico: Muestreo irrestricto aleatorio (m.i.a).

Si un tamao de muestra n es seleccionado de una poblacin de tamao N de talmanera que cada muestra posible de tamao n tiene la misma probabilidad de serseleccionada, el procedimiento de muestreo se denomina muestreo irrestrictoaleatorio. A la muestra obtenida se llama muestra irrestricta aleatoria.

Lo que es importante aqu es el proceso de seleccin ms que el resultado.Por tanto, una muestra puede ser aleatoria aun cuando parezca que no es aleatoriaporque sucede que por pura casualidad sus elementos provienen de una partepequea de la poblacin. Por ejemplo, si se toma una muestra aleatoria de muje-

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res de una comunidad campesina entonces se podra notar que pareciera contenerdemasiadas mujeres jvenes. Esto no invalida la muestra puesto que la mayorade las muestras pequeas tienen alguna apariencia de no ser representativas.

Cmo seleccionar una muestra irrestricta aleatoria? Con la ayuda de tablasde nmeros aleatorios (o calculadoras con nmeros aleatorios). La seleccin denmeros corresponder al nmero de elementos de la muestra, de entre un totalde N elementos de la poblacin. Con base en esta seleccin, se procede al muestreomismo.

Cmo se analizan los datos generados por un muestreo irrestricto aleatorio?El anlisis de los datos generados depender del parmetro-objetivo. En las Cajas1 y 2, se describen los estimadores para la media y el total poblacionales, res-pectivamente. En estos casos, se supone que la variable medida en cada unidadmuestral es continua. As, yi representa la variable medida en la i-sima unidad demuestreo seleccionada por el m.i.a., i = 1, 2,, n.

NOTAS La cantidad (N-n)/N se llama correccin por poblacin finita (cpf). Cuando n sea

relativamente pequea con respecto al tamao de la poblacin, la cpf estar muycercana a 1. En la prctica, la cpf puede despreciarse si (N-n)/N 0.95, oequivalentemente, si . En tal caso, la varianza estimada de es la canti-dad s2/n, conocida como el error estndar de la media muestral.

Las frmulas dadas arriba se justifican por el Teorema del Lmite Central.

(media muestral de y)

VARIANZA ESTIMADA DE:

Donde (varianza muestral de y)

LMITE PARA EL ERROR DE ESTIMACIN:

Estimador de la media poblacional m, muestreo irrestricto aleatorio

Caja 1

28


En muchos casos el tamao de la poblacin no est claramente definido o sedesconoce. Por ejemplo, generalmente es imposible conocer el nmero de contri-buyentes de un estado, en donde se quisiera seleccionar una muestra de tal pobla-cin acerca de sus ingresos. Aqu N se supone grande y la cpf se omite.

Ejercicio (Scheaffer et al. 1987, pg. 68).

1. Los encargados de administrar los recursos de los terrenos dedicados a lacaza silvestre estn interesados en el tamao de las poblaciones de venado yde conejo en los meses de invierno en un bosque particular. Como una esti-macin del tamao de la poblacin, los administradores proponen usar elnmero promedio de grupos densos de conejos y de venados por parcelas de10 metros por lado. Una muestra irrestricta aleatoria de n = 500 parcelas fueseleccionada, y se observ un nmero de grupos densos de conejos y devenados. Los resultados de este estudio se resumen en el cuadro 3. Estime m1y m2, el nmero promedio de grupos densos de venados y de conejos, respec-tivamente, por parcelas de 10 metros por lado. Establezca los lmites para loserrores de estimacin.

Grupos densos de venados y conejos

Cuadro 3

Venados Conejos

Media muestral = 2.30 Varianza muestral = 0.65Media muestral = 4.52 Varianza muestral = 0.97



Estimador del total poblacional en el m.i.a.

Caja 1

29


Ejercicio (Modificado de Scheaffer et al. 1987, pg. 70).

2. Un investigador est interesado en estimar el nmero total de rbolesmarcados (rboles ms grandes que cierto tamao especfico) en una plan-tacin de N=1500 mecates (parcelas de 400 m2 c/u). Esta informacin seutiliza para estimar el volumen total de madera aserrada para los rbolesde la plantacin. Una muestra irrestricta aleatoria de n=100 parcelas de1 mecate fue seleccionada, y cada parcela fue examinada en relacin con elnmero de rboles marcados. El promedio muestral para las n=100 parcelasde 1 mecate fue, con una varianza muestral de s2=136. Estime el nmerototal de rboles marcados en la plantacin. Establezca un lmite para el errorde estimacin.

es simplemente el nmero de xitos dividido entre el tamao de muestra, osea, es el nmero promedio de xitos en la muestra.


3. El Departamento de Caza y Pesca de cierto estado est interesado en la direc-cin de sus programas futuros de caza. Para mantener un potencial mayor decaza futura, el departamento desea determinar la proporcin de cazadoresque buscan cualquier tipo de ave de caza. Se obtuvo una muestra irrestrictaaleatoria de n = 1000 de los N = 99,000 cazadores con permiso. Suponga que

VARIANZA ESTIMADA DE :


Estimador de una proporcin poblacional en el m.i.a.

Caja 3

Si la i sima unidad de muestreo posee la caracterstica deseada de otro modo

30


430 indicaron que cazaron aves. Estime , la proporcin de cazadores conpermiso que buscan aves de caza. Establezca un lmite para el error de esti-macin.

Muestreo aleatorio estratificado. Procedimiento y estimaciones de medias,totales y proporciones

Diseo bsico: Muestreo aleatorio estratificado (m.a.e).

Aunque el diseo de muestreo irrestricto aleatorio suele suministrar buenasestimaciones de cantidades poblacionales a un costo bajo, es posible incrementarla cantidad de informacin para un costo dado con el muestreo aleatorioestratificado.

Muestra aleatoria estratificada

Una muestra aleatoria estratificada es la obtenida mediante la separacin de lapoblacin en grupos que no presenten traslapes llamados estratos y la seleccinposterior de una muestra irrestricta aleatoria en cada estrato.

En general, no hay nada que perder al usar este tipo de muestreo ms compli-cado, pero hay algunas ganacias potenciales. Primero, si los individuos dentro decada estrato son mucho ms similares que los individuos en general, entonces laestimacin de la media poblacional global tendr un error estndar menor que elque puede obtenerse con un muestreo irrestricto aleatorio del mismo tamaomuestral. Segundo, puede ser de valor tener estimaciones separadas de losparmetros poblacionales para los diferentes estratos. Tercero, la estratificacinhace posible muestrear diferentes partes de una poblacin en diferentes formas,lo cual puede constituir un posible ahorro en los costos.

Generalmente, los tipos de estratificacin que deberan ser considerados sonaquellos basados en ubicaciones espaciales, regiones dentro de las cuales se espe-ra que la poblacin sea uniforme. Por ejemplo, al muestrear una poblacin deplantas sobre un rea grande es natural tomar un mapa y partir el rea en unoscuantos estratos aparentemente homogneos basados en factores tales como alti-tud y tipo de vegetacin. Al muestrear insectos en rboles puede tener sentidoestratificar con base en dimetros pequeos, medios y grandes de los rboles. Almuestrear casas-habitacin, un poblado puede dividirse en regiones en donde lascaractersticas de edad y clase social son relativamente uniformes. Usualmente la

31


eleccin de qu estratificar es slo una cuestin de sentido comn para la encues-ta en cuestin.

Cmo seleccionar una muestra aleatoria estratificada?

1. Especificar claramente los estratos: cada unidad muestral debe ubicarse enuno y slo un estrato apropiado

2. Seleccionar una muestra irrestricta aleatoria de cada estrato, mediante la tc-nica correspondiente

3. Asegurarse que las muestras seleccionadas en los estratos sean independientes

Notacin para el muestreo aleatorio estratificado.

L = nmero de estratos.Ni = nmero de unidades muestrales en el estrato i.N = nmero de unidades muestrales en la poblacin

= N1+ N2 ++ NL .ni = tamao de la muestra en el estrato i.N = tamao de la muestra combinada

= n1+ n2++ nL .

Puede verse en la Caja 4 que la estimacin de la media poblacional en elm.a.e. es un promedio pesado o ponderado de las medias de las muestras irrestrictasaleatorias en cada estrato, donde los pesos son los tamaos proporcionales de losestratos: Ni /N. De manera similar, la varianza de la media muestral en el m.a.e. esuna ponderacin de las varianzas de las muestras irrestrictas aleatorias de cadaestrato. Estas ponderaciones aparecen tambin en las frmulas correspondientesa la estimacin de un total en el m.a.e.

32


Ejemplo (Manly, 1992, pgs. 30-31).

En un bosque se disponen 4 bloques, y cada bloque se subdivide en parcelas de20 20, haciendo un total de 400 parcelas por bloque. Para estimar el nmero derboles en el bosque, se toma una muestra aleatoria de los bloques (estratos)eligiendo un nmero de rengln aleatorio entre 1 y 20 y un nmero de columnaaleatorio entre 1 y 20, usando un generador de nmeros aleatorios en unacomputadora. Esto produce los conteos muestrales para el nmero de rboles porparcela que se muestra en el cuadro 4.

Con estos datos, la media de la poblacin estimada se encuentra usando laecuacin del cuadro correspondiente a la estimacin de : = 5.075, con unerror estndar de o.238.

Ejercicio (Scheaffer et al. 1987, pg. 114)

1. Una escuela desea estimar la calificacin promedio que pueden obtener estu-diantes de sexto grado en un examen de comprensin de lectura. Los estu-



Estimador de la media poblacional m para el m.a.e.

Caja 4

33


diantes de la escuela son agrupados en tres estratos, los que aprenden demanera rpida en el estrato I, los que aprenden regular en el estrato II y losque aprenden lento en el estrato III. La escuela decide esta estratificacinporque de esta manera se reduce la variabilidad en las calificaciones del exa-men. El sexto grado contiene 55 estudiantes en el estrato I, 80 en el estrato IIy 65 en el estrato III. Una muestra aleatoria estratificada de 50 estudiantes esasignada proporcionalmente y produce muestras irrestrictas aleatorias den1= 14, n2=20 y n3 =16 de los estratos I, II y III respectivamente. El examense aplica a la muestra de estudiantes y se obtienen los resultados que se mues-tran en el cuadro 5. Estimar: a) La calificacin promedio para este grado y b)Un lmite para el error de estimacin.

Nmero de rboles por bloque o estrato

Cuadro 4

EstratoUnidad Muestral 1 2 3 4

1 8 3 8 02 6 5 3 43 8 5 5 34 6 6 8 45 7 2 2 56 7 4 4 47 7 6 7 68 6 4 6 39 8 5 5 3

10 8 3 7 4

Media 7.1 4.3 5.5 3.4Desviacin estndar 0.88 1.34 2.07 1.65

Calificaciones por estratos

Cuadro 5

Estrato I Estrato II Estrato III80 92 85 82 42 3268 85 48 75 36 3172 87 53 73 65 2985 91 65 78 43 1990 81 49 69 53 1462 79 72 81 61 3161 83 53 59 42 30

68 5271 6159 42

34


Ejemplo.

Respecto al ejemplo referido arriba acerca del muestreo estratificado de rbolesen un bosque, y tomando como base los resultados del mismo, obtenemos elnmero total de rboles estimados en la poblacin como:

1600 . 5.075=8210

El error estndar estimado es:

= 1600 . 0.238 = 380.8. De aqu, el intervalo de con-fianza aproximado del 95% para el total poblacional es 8120 380.8, o de 7359a 8882.


2. Un guardabosques quiere estimar el nmero total de acres plantados de rbo-les en los ranchos de un estado. Ya que el nmero de acres de rboles varaconsiderablemente con respecto al tamao del rancho, decide estratificar conbase en el tamao de los ranchos. Los 240 ranchos en el estado son puestosen una de 4 categoras de acuerdo con el tamao. Una muestra aleatoriaestratificada de 40 ranchos, seleccionada mediante asignacin proporcional,



Estimador de la media poblacional m para el m.a.e.

Caja 5

35


produce los resultados del nmero de acres plantados de rboles que se mues-tran en el cuadro 6. Estime el nmero total de acres plantados de rboles enlos ranchos del estado, y fije un lmite para el error de estimacin.

El ejercicio 6, que se presenta a continuacin, se resuelve mediante la estima-cin de una proporcin poblacional para un m.a.e. El resumen de las frmulascorrespondientes se da en la Caja 6. Nuevamente, el estimador del parmetro encuestin es un promedio pesado de las estimaciones de las proporcionespoblacionales en cada estrato, con pesos iguales a NI /N.


3. Una administracin municipal est interesada en ampliar las instalacionesde un centro de atencin diurna para nios con retraso mental. La amplia-cin va a incrementar los costos de asistencia a los nios del centro. Serealiza una encuesta por muestreo para estimar la proporcin de familiascon nios afectados que utilizarn las instalaciones ampliadas. Las fami-lias viven en la ciudad donde se encuentra localizado el centro, y otrasviven en las reas rurales o suburbanas de los alrededores. Entonces se usamuestreo aleatorio estratificado con personas en la ciudad que usan lasinstalaciones, personas de los alrededores que las usan, personas en la ciu-dad que no las usan y personas en los alrededores que no las usan, forman-do los estratos I, 2, 3 y 4, respectivamente. Registros existentes nos dan N1= 97, N2 = 43, N3 = 145 y N4 = 68. Se obtiene la siguiente proporcin queusarn las nuevas instalaciones: p1 = 0.87, p2 = 0.93, p3 = 0.60, p4 = 0.53.Estime la proporcin poblacional, p, y establezca un lmite para el error deestimacin.

Nmero de rboles por tamao de rancho

Cuadro 6

Estrato I Estrato II Estrato III Estrato IV

N1= 86 N2 = 72 N3= 52 N4 = 30n1 = 14 n2 = 12 n3 = 9 n4 = 5

97 67 125 155 142 256 167 65542 125 67 96 310 440 220 54025 92 256 47 495 510 780

105 86 310 236 320 39627 43 220 352 19645 59 142 190

53 21

36


Contrastes entre el muestreo irrestricto aleatorio y el muestreo estratificadoaleatorio. Regla ptima para formar estratos

La varianza estimada de un parmetro puede ser menor en el muestreoirrestricto aleatorio que en el muestreo estratificado aleatorio. Esto puededeberse a que hay mucha variacin dentro de algn estrato (ver ejemplo 5.16,del Scheaffer et al. (1987), pgs. 103-105).

Si nuestro objetivo en la estratificacin es producir estimadores con varianzapequea, entonces el mejor criterio para definir los estratos es el conjunto devalores que la respuesta puede tomar. Por ejemplo, supngase que deseamosestimar el ingreso promedio por hogar en una comunidad. Podramos esti-mar este promedio con bastante exactitud si pudiramos poner todos los ho-gares de bajos ingresos en un estrato y todos los hogares de altos ingresos enotro estrato antes de muestrear. Pero frecuentemente esto es imposible por-que el conocimiento detallado de los ingresos antes del muestreo hace des-aparecer en principio el problema estadstico. Sin embargo, en ocasionestenemos algunas frecuencias de datos en categoras generales de la variable



Estimador de la media poblacional para el m.a.e.

Caja 6

Aqu p1 es la estimacin de la proporcin de xito en el l-simo estrato; q1 = 1 p1

37


de inters o de alguna variable altamente correlacionada. Para delimitar losestratos, existe el mtodo acumulativo de la raz cuadrada de la frecuen-cia. Esta regla para encontrar el nmero adecuado de estratos, L, se aplicacomo sigue:

1. Tabular los datos disponibles en una distribucin de frecuencias basadaen la variable de estratificacin

2. Calcular la raz cuadrada de la frecuencia observada y acumula estas ra-ces cuadradas hacia abajo de la tabla

3. Obtener las lmites superiores de los estratos para L estratos de los puntosigualmente espaciados

Ejercicio (Krebs, 1989, pg. 223-225)

4. Se tom del Cuadro 6.4 de Krebs (1989). Son las abundancias de almejas de lacosta de New Jersey en 1981, de acuerdo a los datos originales publicados porIachan (1985), dispuestos en orden de la profundidad de la muestra. El objeti-vo es estimar la abundancia de almejas para esta regin. En este caso la estra-tificacin se lleva a cabo con base en una variable auxiliar profundidad. Hazla delimitacin de las muestras en L = 5 estratos y, despus, estima la abundan-cia media global con base en la estratificacin generada (Cuadro 7).

Ejercicio (Krebs, 1989, pg. 235)

5. Tabular el nmero observado de almejas (X) en el cuadro 7 en una distribu-cin de frecuencias acumulativa. Estimar los lmites ptimos de los estratospara esta variable, basado en tres estratos, usando el procedimientoacumulativo de la raz cuadrada de la frecuencia. Qu tanto difieren losresultados de esta estratificacin de los obtenidos estratificando con la varia-ble profundidad.

38


Muestreo sistemtico. Procedimiento y estimaciones de medias, totales yproporciones

Diseo bsico: Muestreo sistemtico (m.s.)

El muestreo irrestricto aleatorio y el muestreo aleatorio estratificado requieren untrabajo muy detallado en el proceso de seleccin de la muestra. Las unidades demuestreo en un marco adecuado deben ser numeradas de modo que un mecanismode aleatorizacin, tal como una tabla de nmeros aleatorios, pueda utilizarse paraseleccionar unidades especficas de la muestra.

Frecuencia de almejas observadas a diferentes profundidades

Cuadro 7

Clase Profundidad, Y (m) No. de f Nmero de almejasmuestras observadas, X

1 14 4 34, 128, 13, 02 15 1 273 18 2 361, 44 19 3 0, 5, 3635 20 4 176, 32, 122, 416 21 1 217 22 2 0, 08 23 5 9, 112, 255, 3, 659 24 4 122, 102, 0, 7

10 25 2 18, 111 26 2 14, 912 27 1 313 28 2 8, 3014 29 3 35, 25, 4615 30 1 1516 32 1 1117 33 4 9, 0, 4, 1918 34 2 11, 719 35 3 2, 10, 9720 36 2 0, 1021 37 3 2, 1, 1022 38 2 4, 1323 40 3 0, 1, 224 41 4 0, 2, 2, 1525 42 1 1326 45 2 0, 027 49 1 028 52 1 0

39


Un diseo de muestreo usado a menudo debido principalmente a que simpli-fica el proceso de seleccin de la muestra se denomina muestreo sistemtico.

Ejemplo. (Krebs, 1989, pgs. 227-229.)

Los eclogos usan a menudo muestreo sistemtico en el campo. As, las trampaspara ratones pueden ser puestas sobre una lnea o en una retcula en intervalos a50 metros. O el llamado mtodo de la distancia del punto-cuarto pudiera aplicarsea lo largo de una lnea siguiendo una brjula con 100 metros entre puntos. Dehecho, el tipo de muestreo sistemtico ms comn en ecologa es el rea demuestreo sistemtico cntrico ilustrado en la Figura 1. El rea de estudio sesubdivide en cuadrados iguales y una unidad muestral se toma del centro de cadacuadro. Las muestras a lo largo del lmite exterior estn a la mitad de la distanciade la frontera como lo estn de la muestra ms cercana. Ntese que una vez queha sido especificado el nmero de muestras, solamente hay una muestra cntricapara cualquier rea todas las otras muestras sern excntricas-.

Desde el punto de vista de la teora del muestreo por encuesta de poblacionesfinitas, el muestreo sistemtico, se define como sigue:

Una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente un elemento de los pri-meros k elementos en el marco y despus seleccionar cada k-simo elemento, sedenomina muestra sistemtica de 1 en k.

El muestreo sistemtico proporciona una opcin til para el muestreo irrestrictoaleatorio por las siguientes razones:

1. El muestreo sistemtico es fcil de llevar a cabo en el campo, y por tanto, adiferencia de las muestras irrestrictas aleatorias y las muestras aleatoriasestratificadas, est menos expuesto a errores de seleccin que cometen losinvestigadores en el campo.

Figura 1

40


2. El muestreo sistemtico puede proporcionar mayor informacin que la quepuede proporcionar el muestreo irrestricto aleatorio por unidad de costo. Estopuede ser consecuencia del deseo de muestrear de manera pareja a lo largodel rea de estudio completa (por ejemplo en ecologa, todo un hbitat).

Cmo seleccionar una muestra sistemtica?

1. Se selecciona algn punto de arranque, entre 1 y k, para localizar en elmarco. Se requiere conocer el tamao de la poblacin N para poder seleccio-nar exactamente k. En este caso, para una muestra sistemtica de n elemen-tos de una poblacin de tamao N, k debe ser un nmero aleatorio menor oigual que N/n (k N/n).

2. Se selecciona una unidad al azar entre 1 y k, y despus se selecciona cada k-simo elemento desde el punto de arranque.

Ejemplo (Scheaffer et al., 1987, pg. 171).

Un investigador en medicina est interesado en obtener informacin acerca delnmero promedio de veces en que 15000 especialistas recetaron un ciertomedicamento en el ao anterior (N = 15000). Si se quisiera seleccionar unamuestra sistemtica con n = 100 elementos de la poblacin, elegimos el valor de

. Supngase que el valor de k elegido es k = 9.Entonces podra-mos seleccionar un nombre (especialista) al azar de entre losprimeros k = 9 nombres que aparecen en la lista y luego seleccionar cada novenonombre hasta que el tamao de muestra 100 es seleccionado. Esta muestrasistemtica es de 1 en 9.

NOTA. En las estimaciones de m y p, si N es desconocida, eliminamos la correcinpor poblacin finita (c.p.f.) a saber, (N-n)/N, en las ecuaciones correspondientes.

41


Es correcto usar las frmulas para el m.i.a en las estimaciones de parmetrosbasados en una m.s.? Reconocers que la varianza estimada de , y esidntica a la varianza estimada de usando m.i.a. Este resultado no implica que lasvarianzas poblacionales sean iguales.

La varianza de es: . Mientras que en el muestreo



Estimador de la media poblacional m en el muestreo sistemtico

Caja 7

donde



Estimador de un total poblacional t en el m.s.

Caja 8

(Requisito: Conocer N, el tamao de la poblacin)

42


sistemtico es: , donde es una medida de correlacin

entre pares de elementos dentro de la misma muestra sistemtica.

Si 1, entonces los elementos dentro de la muestra son bastante similarescon respecto a la caracterstica que se est midiendo y el muestreo sistemti-co producir una varianza de la media muestral mayor que la obtenida por elm.i.a.

Si es negativo, entonces el muestreo sistemtico puede ser mejor que elm.i.a. La correlacin puede ser negativa si los elementos dentro de la mues-tra sistemtica tienden a ser extremadamente diferentes.

no puede alcanzar un valor negativo muy grande como para que la expre-sin de la varianza llegue a ser negativa.

Para cercano a cero y N bastante grande, el muestreo sistemtico y el m.i.a.son aproximadamente iguales.

En general, cuando el muestreo sistemtico es equivalente al m.i.a. podemostomar (por ejemplo, como aproximadamente igual a la varianzaestimada de en el m.i.a. La posibilidad de que ocurra esto tiene que considerarel tipo de poblacin objetivo:

$



Estimador de una proporcin poblacional p en el m.s.

Caja 9

Si la i sima unidad de muestreo posee la caracterstica deseada de otro modo

43


1. Poblacin aleatoria. Una poblacin es aleatoria si sus elementos estnordenados al azar

2. Poblacin ordenada. Una poblacin est ordenada si sus elementos den-tro de la poblacin estn ordenados de acuerdo a algn esquema

3. Poblacin peridica. Una poblacin es peridica si los elementos de lapoblacin tienen variacin cclica

Relaciones entre el m.s. y el m.i.a.

1. Los elementos de una muestra sistemtica de una poblacin aleatoria se esperaque sean heterogneos con 0. Por tanto, cuando N es grande y, en este caso, el muestreo sistemtico es equivalente al muestreo irrestrictoaleatorio.

Ejemplo (Scheaffer et al. 1987, pgs. 175-176)

Un investigador desea determinar la calidad del jarabe de arce contenido en lasavia de los rboles de una finca. El nmero total de rboles es desconocido; porlo tanto, es imposible realizar un m.i.a. de rboles. Como un procedimientoalternativo, el investigador decide usar una muestra sistemtica de 1 en 7. Siquisiera estimar m, el contenido de azcar promedio de los rboles de arce en lafinca, es razonable que l suponga que la poblacin de rboles es aleatoria. Segnesta suposicin, la estimada estara dada po la frmula correspondiente

para el m.i.a.,

2. Una muestra sistemtica extrada de una poblacin ordenada es generalmen-te heterognea con 0. Puede demostrarse que para una poblacin ordena-da, .Por tanto, una muestra aleatoria de una poblacin ordenada proporciona msinformacin que una m.i.a. por unidad de costo. Ya que no podemos obteneruna estimacin de con base en los datos de la muestra, una estimacin con-servadora (una que es mayor que lo que se esperara) de est dada por:

44


Ejemplo.

Si el marco del cual se extrae una muestra sistemtica est listado de acuerdo alvalor numrico ascendente de la variable de inters, entonces la poblacin estordenada.

3. Los elementos de una muestra sistemtica extrada de una poblacin peridi-ca pueden ser homogneos ( > 0). Cuando N es grande y > 0,

> .

Por tanto, en este caso, el muestreo sistemtico proporciona menos informa-cin que el m.i.a. por unidad de costo. Como en las situaciones anteriores, no puede ser estimada directamente mediante una sola muestra sistemtica. Po-demos aproximar su valor usando . En general, este estimador subestima-r la varianza verdadera de . Para evitar este problema que ocurre con elmuestreo sistemtico de una poblacin peridica, el investigador podra cambiarvarias veces el punto de inicio aleatorio. Este procedimiento reducir la posibili-dad de seleccionar observaciones con la misma posicin relativa en una pobla-cin peridica. Estos cambios del punto de inicio tendrn el efecto de mezclar loselementos de la poblacin y al mismo tiempo el de seleccionar una muestra siste-mtica. As, la muestra obtenida es equivalente a una muestra sistemtica de unapoblacin aleatoria y, por tanto, la varianza de

sisty

puede ser entonces aproxima-da usando

Ejemplo (Krebs, 1989, pg. 228).

La figura 2 ilustra un ejemplo hipottico en la cual una variable ambiental (porejemplo, contenido de humedad del suelo) vara en una forma peridica, comouna sinusoidal sobre el rea de estudio. El efecto de usar muestreo sistemticopara estimar la media de esta variable puede ser de muy diversa ndole. Si no semuestreara en A, siempre se obtendra la misma medicin y se obtendra unaestimacin altamente sesgada de la media. Si se tiene suerte y se muestreara en B,se obtendra la misma media y varianza como si se hubiera usado muestreoaleatorio. Qu tan probable es que estos problemas como la variacin peridicavista en los puntos de muestreo A ocurran en datos de campo reales? Milne (1959)

45


intent responder esta pregunta observando muestras sistemticas tomadas sobrepoblaciones biolgicas que haban sido enumeradas completamente (de maneraque eran conocidas la media y la varianza verdaderas). l analiz datos de 50poblaciones y encontr que, en la prctica, no haba un error introducido al suponerque una muestra sistemtica cntrica era una muestra aleatoria simple, usandotodas las frmulas de la teora de muestreo irrestricto aleatorio.

La variacin peridica como la de la figura 2 no parece ocurrir en sistemasecolgicos. Ms aun, la mayora de los patrones ecolgicos son altamenteaglutinados e irregulares, de modo que la preocupacin de los estadsticos acercade influencias peridicas, parece ser una preocupacin de ms. La recomenda-cin prctica es as: se puede usar muestreo sistemtico pero cuidar posiblestendencias peridicas. Krebs termina la seccin correspondiente al muestreo sis-temtico en ecologa diciendo que, si tienes para elegir entre tomar una muestraaleatoria o una muestra sistemtica, escoge siempre un muestreo aleatorio, debi-do a que siempre puede haber preocupacin por la presencia de efectos peridi-cos que pueden influir en las estimaciones. Pero si el costo e inconveniencia de laaleatorizacin son demasiado grandes, puedes perder muy poco al muestrear demanera sistemtica.

Variacin peridica de una variable X en funcin de la distancia a lo largo de un transecto.

Figura 2

Distancia a lo largo del transecto

Val

or o

bser

vado

de

X

A

B

B

B B

A A

B

46


Observaciones

Las consideraciones acerca de los tipos de poblacin (aleatoria, ordenada yperidica) y la relacin de los estimadores de la varianza de la media muestralpara el muestreo sistemtico y el m.i.a., tambin son vlidas para cuando losestimadores de inters son un total, y una proporcin, .

Si la estratificacin de la poblacin es ventajosa, el muestreo sistemtico pue-de usarse dentro de cada estrato en lugar del m.i.a.

Como en ciertos casos el muestreo aleatorio sistemtico no es equivalente alm.i.a., un mtodo alternativo para estimar la varianza de una parmetro estimado,

, digamos, , es el muestreo sistemtico repetido. Como el nombre loindica, este mtodo de muestreo requiere de la seleccin de ms de una muestrasistemtica. Los detalles de este mtodo pueden encontrarse en Scheaffer et al.(1987), pgs. 182-186.

Ejercicio. (Scheaffer et al. 1987, pgs. 188-189).

6. Edaflogos quieren estimar la cantidad de calcio intercambiable (en ppm) enuna parcela de terreno. Para simplificar el esquema de muestreo, en el terre-no se sobrepone un malla rectangular. En cada punto de interseccin en lamalla se toman muestras de suelo (Figura 3). Determina la cantidad prome-dio de calcio intercambiable en la parcela de terreno. Establecer un lmite

para el error de estimacin. Los datos son: n = 45. = 90,320 calcio

intercambiable, = 148,03000

Figura 3

Muestreo sistemtico sobre una rejilla

47


Ejercicio (Scheaffer et al. 1987, pgs. 190-191)

7. Los funcionarios de un museo estn interesados en el nmero total de perso-nas que visitan el lugar durante el periodo de 180 das en que una coleccinde antigedades est en exhibicin. Puesto que llevar el control diario devisitantes es muy costoso, los funcionarios deciden obtener estos datos cadadcimo da. La informacin de esta muestra sistemtica de 1- en -10 se resu-me en la tabla adjunta. Use estos datos para estimar , el nmero total depersonas que visitan el museo durante el perodo especfico. Establezca unlmite para el error de estimacin.

Da Nmero de personas que visitaron el mueseo3 160

13 35023 225M M

173 290

4,868

1,321,450


8. Los funcionarios de cierta sociedad profesional desean determinar la propor-cin de miembros que apoyan varias enmiendas propuestas en las prcticasde arbitraje. Los funcionarios conducen una muestra sistemtica de 1- en -10, a partir de una lista en orden alfabtico de los N = 650 miembros registra-dos. Sea yi = 1, si la i-sima persona favorece los cambios propuestos y yi = 0si se opone a los cambios. Usar los siguientes datos de la muestra para esti-mar , la proporcin de miembros en favor de cambios propuestos. Estable-cer un lmite para el error de estimacin.

48

Nmero de visitantes a un museo

Cuadro 6

48


Muestreo por conglomerados. Procedimiento y estimaciones de medias,totales y proporciones

Diseo bsico: Muestreo por conglomerados (m.c.)

Una muestra por conglomerados es una muestra aleatoria en la cual la unidad demuestreo es una coleccin o conglomerado de unidades experimentales ltimas.Se recomienda su uso cuando no se encuentra disponible o es muy costoso obtenerun buen marco para la poblacin, mientras que se puede lograr fcilmente unmarco que liste conglomerados. Tambin es idneo cuando el costo por obtenerdatos se incrementa con la distancia que separa las unidades experimentalesltimas.

Generalmente, del muestreo aleatorio por conglomerados no puede esperarseque d la misma precisin que una muestra aleatoria simple con el mismo nme-ro total de elementos, puesto que los elementos cercanos tienden a ser ms simi-lares que los elementos en general. Por tanto, una muestra conglomerada esequivalente a una muestra de unidades experimentales con un tamao de mues-tra, en cierta forma, ms pequeo. Sin embargo, los ahorros en los costos puedenhacer que una muestra por conglomerados sea considerablemente ms grandeque lo que pueda ser una muestra irrestricta aleatoria. De aqu que una muestrapor conglomerados puede dar una mejor precisin que una muestra aleatoria sim-ple por el mismo costo de muestreo.

Ejemplos.

1. Las manzanas de la ciudad son usadas frecuentemente como conglomeradosde hogares o personas.

2. Un naranjo forma un conglomerado de naranjas para la investigacin de in-festacin por insectos.

3. Una parcela en el bosque contiene un conglomerado de rboles para la esti-macin de volmenes de madera o proporcin de rboles enfermos.

Cmo seleccionar una muestra por conglomerados?

1. Especificar los conglomerados apropiadosLas unidades experimentales ltimas tienden a presentar caractersticas si-milares dentro de un conglomerado, as que la medicin de una unidad expe-rimental ltima en un conglomerado puede estar altamente correlacionadocon la de otra unidad experimental ltima. Por tanto, si se selecciona unconglomerado de gran tamao, la cantidad de informacin al tomar todas las

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medidas de cada unidad experimental ltima puede no incrementarsesustancialmente.El problema de elegir el tamao de conglomerado puede aun ser ms compli-cado cuando se dispone de un nmero infinito de posibles tamaos de con-glomerados, como en la seleccin de parcelas forestales para la estimacinde la proporcin de rboles enfermos. Si existe variabilidad en la densidadde rboles enfermos a lo largo y ancho del bosque, entonces muchos conglo-merados pequeos localizados de manera aleatoria o sistemtica, pueden serlo deseable. Sin embargo, localizar aleatoriamente una parcela consumemucho tiempo y, una vez localizada, el muestreo de muchos rboles es eco-nmicamente inconveniente. Entonces muchas parcelas pequeas son venta-josas para controlar la variabilidad, pero pocas parcelas grandes soneconmicamente recomendables. Se debe de encontrar un equilibrio entre elnmero y el tamao de las parcelas. Aunque no hay reglas generales paratomar esta decisin, las encuestas piloto pueden ayudar al investigador aencontrar la direccin.

2. Conformar un marco que liste todos los conglomerados.3. Seleccionar una muestra irrestricta aleatoria de este marco.4. Los elementos o unidades experimentales ltimas muestreadas sern todos

los elementos de los conglomerados seleccionados.

NOTACIN EN EL MUESTREO POR CONGLOMERADOS (m.c.).N = nmero de conglomerados (poblacin); n = nmero de conglomerados (m.i.a.).mi = nmero de elementos en el conglomerado i, i = 1,, N.

tamao promedio del conglomerado en la muestra.

nmero de unidades experimentales ltimas en la poblacin.

tamao promedio de los conglomerados en la poblacin.

total de todas las observaciones en el i-simo conglomerado.

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Ejercicio (Scheaffer et al. 1987, pgs. 226-227).

9. Un guardabosques desea estimar la altura promedio de los rboles de unaplantacin. La plantacin se divide en parcelas de un cuarto de acre. Se se-lecciona una muestra irrestricta aleatoria de 20 parcelas de un total de 386parcelas en la plantacin. Se miden todos los rboles en las parcelasmuestreadas, con los resultados que se muestran en el cuadro 9. Estime laaltura promedio de los rboles en la plantacin y establecer un lmite para elerror de estimacin. (Sugerencia: el total para el conglomerado I se puedeencontrar tomando mI veces el promedio del conglomerado).

El ejercicio 13 se puede resolver mediante la estimacin de un total poblacional(Caja 11). Ntese que el estimador es til nicamente si se conoce elnmero de elementos M en la poblacin.



Estimacin de la media poblacional m para el m.c.

Caja 10

Aqu puede ser estimada por si se desconoce M.

51



10. Un gran embarque de mariscos congelados es empaquetado en cajas, conte-niendo cada una veinticuatro paquetes de 5 libras. Hay cien cajas en el em-barque. Un inspector del gobierno determina el peso total (en libras) demariscos daados para cada una de cinco cajas muestreadas. Los datos soncomo sigue: 9, 6, 3, 10, 2. Estimar el peso total de mariscos daados en elembarque y establecer un lmite para el error de estimacin.



Estimacin de un total poblacional en el m.c. ( = Mm).

Caja 11

Nmero de rboles y altura promedio de una plantacin

Cuadro 9

No. de rboles Altura promedio (pies) No. de rboles Altura promedio (pies)42 6.2 60 6.351 5.8 52 6.749 6.7 61 5.955 4.9 49 6.147 5.2 57 6.058 6.9 63 4.943 4.3 45 5.359 5.2 46 6.748 5.7 62 6.141 6.1 58 7.0

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Cuando M se desconoce, se tendr que usar otro estimador de :

es un buen estimador de si n fuera grande (n 20). El sesgodesparece si m1 = m2 == mN . En el caso de , el estimador puede ser menospreciso que pues no usa la informacin de los tamaos de conglomeradosm1, m2, , mn . Pero si m1 = m2 == mN, los dos estimadores son equivalentes.


11. Los comercios solicitan frecuentemente a los contadores la realizacin deinventarios. Ya que un inventario completo es costoso, a travs del muestreose pueden realizar inventarios cada cuatro meses. Supngase que una empre-sa abastecedora de artculos de plomera desea un inventario para muchosartculos pequeos en existencia. La obtencin de una muestra aleatoria deartculos es muy difcil. Sin embargo, los artculos se encuentran dispuestosen anaqueles, y las seleccin de una muestra aleatoria de anaqueles es relati-vamente facil, considerando a cada anaquel como un conglomerado de art-culos. Una muestra de 10 anaqueles de un total de 48 dio los resultados quese muestran en la tabla siguiente. Estimar la cantidad de dlares de los art-culos en los anaqueles y establecer un lmite para el error de estimacin.



Estimador de en el m.c. cuando M se desconoce

Caja 12

es el promedio de los totales de conglomeradospara los n conglomerados muestrados

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La frmula de es un buen estimador de p nicamente cuando n esgrande (n 20). Si m1 = m2 == mN, entonces p es un estimador insesgado de p,y la expresada en el cuadro de arriba es un estimador insesgado de lavarianza real de p, para cualquier tamao de muestra.

12. Una empresa est considerando la revisin de su poltica de jubilacin yquiere estimar la proporcin de empleados que apoyan la nueva poltica. La in-dustria consiste de 87 plantas separadas localizadas en todo el pas. Ya que losresultados deben ser obtenidos rpidamente y con poco dinero, la industria deci-

Nmero de artculos y su cantidad en dlares

Cuadro 10

Conglomerado Nmero de artculos, mI Cantidad real de dlares, yi1 42 832 27 623 38 454 63 1125 72 966 12 587 24 758 14 589 32 67

10 41 80



Estimacin de una proporcin poblacional p para el mc.

Caja 13

Sea ai = nmero total de elementos en el conglomerado i que poseen la caractersticade inters. Entonces:

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de usar muestreo por conglomerados, con cada planta como un conglomerado. Seselecciona una muestra irrestricta aleatoria de 15 plantas y se obtienen las opinio-nes de los empleados en estas plantas a travs de un cuestionario. Los resultadosse presentan en el cuadro 11. Estimar la proporcin de empleados de la industriaque apoyan la nueva poltica de jubilacin y establecer un lmite para el error deestimacin.

Ejercicio (Scheaffer et al. 1987)

Comentarios finales acerca del muestreo de conglomerados

1. El muestreo de conglomerados puede ser combinado con el muestreoestratificado, con objeto de que la poblacin quede dividida en L estratos y sepueda seleccionar una muestra por conglomerados en cada estrato. VerScheaffer et al. (1987) pginas 215-216.

2. El muestreo sistemtico puede interpretarse como un muestreo por conglo-merados en donde el tamao de cada conglomerado es mi = 1, para cada i = 1,2, , n.

Consideraciones generales acerca de otros diseos de muestreo de poblacionesfinitas. Muestreos de encuentro y muestreo secuencial

Dentro de la teora de poblaciones finitas, hemos omitido presentar algunosmtodos de estimacin de parmetros basados en diferentes diseos de muestreo.Esto no implica que no sean importantes, pero por el espacio dedicado en esta

Muestra de empleados de diferentes plantas de una empresa a favor de una nueva poltica.

Cuadro 11

Planta Nmero de Nmero de Planta Nmero de Nmero deempleados empleados que empleados empleados que

apoyan la nueva apoyan la nueva poltica poltica

1 51 42 9 73 542 62 53 10 61 453 49 40 11 58 514 73 45 12 52 295 101 63 13 65 466 48 31 14 49 377 65 38 15 55 428 49 30

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primera unidad al tpico del diseo estadstico de muestreo por encuesta, se decidilimitarse a las tcnicas bsicas.

Estimaciones de razn, regresin y diferencia combinadas con los diseos demuestreo bsicos

De los mtodos no vistos, tres de ellos hacen uso de una variable auxiliar, x, pararealizar la estimacin de parmetros respecto a una variable de respuesta y, sobrela misma unidad muestral. Estos mtodos son: estimacin de razn, de regresiny de diferencia. Lo importante de estas tcnicas es que diversos diseos de muestreopueden ser empleados en unin con la estimacin. En Scheaffer et al. (1987) y enCochran (1976), entre otros, se explica con detalle la conjugacin de estos mtodosde estimacin con el muestreo irrestricto aleatorio y con el muestreo aleatorioestratificado.

Muestreo por conglomerados en dos etapas y polietpico

Estos mtodos son modificaciones del muestreo por conglomerados o reas. Enel muestreo en dos etapas o bietpico no todos los elementos o unidades de losconglomerados forman parte de la muestra, sino que, una vez seleccionados stos,se efecta una nueva seleccin o submuestreo dentro de cada uno. Lageneralizacin del muestreo por conglomerados bietpico es el polietpico, endonde los conglomerados seleccionados en la primera etapa pueden estarconstituidos por nuevos conglomerados incluidos en ellos, de modo que puedaprocederse a un submuestreo de unidades de conglomerados dentro deconglomerados y as sucesivamente, en varias etapas (Azorn Poch, 1972).

Submuestras interpenetrantes

Este mtodo consiste en la divisin aleatoria de una muestra, generalmente tambinaleatoria, en un cierto nmero de grupos del mismo nmero de unidades. Se empleapara medir la concordancia entre los resultados de muestras sucesivas, en laobtencin rpida de resultados provisionales y en la comparacin de resultadosobtenidos por diferentes entrevistadores (Azorn Poch, 1972).

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Muestreos de encuentro

Las secciones anteriores se refirieron a lo que puede describirse como la teoraclsica de muestreo de poblaciones finitas. Estos problemas cubren mucho de losproblemas de muestreo que son probables que surjan en una investigacin, perohay situaciones en donde se requieren enfoques diferentes. En particular, algunasveces surgen casos en donde no es posible decidir de manera previa dnde ycundo se muestrearn los elementos de la poblacin. En lugar de un esquema demuestreo, debe vislumbrarse qu permite a los elementos ser encontrados conuna cierta probabilidad. El anlisis de los datos debe tomar en cuenta la naturalezade este esquema de muestreo. Como se ver frecuentemente en este curso, variosde los mtodos de muestreo de organismos pueden considerarse mtodos demuestreo de encuentro. Sin embargo, desde una perspectiva biolgica o ecolgica,es difcil evaluar la probabilidad de encuentro de un determinado organismo oelemento de inters. A continuacin damos una lista de diseos de muestreo queson tiles en en el estudio de procesos biolgicos o ecolgicos, mismos que serantratados en las secciones correspondientes al muestreo de organismos en estecurso. Aquel lector que lo desee puede acudir a los libros de Krebs (1988), Manly(1992) y Thompson (1992), en donde se abordan estos mtodos de forma breve ysin demasiado formalismo.

Muestreo de marcaje-recaptura Muestreo de remocin Muestreo en transectos (en cualquiera de sus versiones particulares: muestreo

de intercepto de lnea, de transecto en banda y de transecto en lnea) Muestreo con sesgo en el tamao Muestreo de posiciones de objetos en el espacio (patrones espaciales) en sus

versiones particulares: mtodos basados en distancias, mtodos basados encuadrantes

Muestreo adaptativo. Muestreo de conjunto ordenado.

Muestreo secuencial

En el libro de Krebs (1989), en el captulo 7, y en el libro de Azorn Poch (1972),en los captulos 23 y 24, se trata con detalle otro mtodo de muestreo conocidocomo muestreo secuencial, cuya cualidad ms importante es que los tamaos delas muestras no se establecen a priori. En lugar de ello, se hacen observaciones o

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mediciones, una en cada tiempo, y despus de que se haga cada observacin sepregunta a los datos acumulados si puede alcanzarse o no una conclusin. As, eltamao de muestra es minimizado, y en algunos casos solamente la mitad delnmero de observaciones requeridas con el muestreo clsico es necesario con elmuestreo secuencial.

Muestreo de poblaciones finitas II (seleccin del tamao de muestra)

Enfoque general en el diseo de encuestas por muestreo

El nmero de observaciones necesarias para estimar un parmetro requerirque se establezca un lmite para el error de estimacin igual a B e igual tambin a

. Como habitualmente contiene en su expresin al tamao de lamuestra, sta se puede hallar resolviendo para n:

Por tanto, en las sub-secciones siguientes se encontrarn las frmulas de lostamaos de muestra requeridos para estimar el parmetro indicado con un lmitepara el error de estimacin de B; las frmulas variarn segn el parmetro-objeti-vo y segn el diseo de muestreo.

Seleccin del tamao de muestra para estimar medias, totales y proporcionespoblacionales en el m.i.a.


13. Un psiclogo desea estimar el tiempo de reaccin promedio para un estmuloentre 200 pacientes de un hospital especializado en trastornos nerviosos. Dequ tamao debe ser la muestra irrestricta aleatoria que debe tomar para esti-mar m con un lmite para el error de estimacin de 1 segundo? Use 1.0 se-gundos como una aproximacin de la desviacin estndar poblacional.


14. Usando los resultados de la encuesta descrita en el Ejercicio 2, determine eltamao de muestra requerido para estimar t, el nmero total de rboles enplantacin, con un lmite para el error de estimacin de magnitud B = 1500.

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15. Usando los datos del Ejercicio 3, determine el tamao de muestra que elDepartamento debe obtener para estimar la proporcin de cazadores con per-miso que buscan aves de caza. Establezca un lmite para el error de estima-cin de magnitud B = 0.02.

Seleccin del tamao de muestra para estimar medias, totales y proporcionespoblacionales en el m.a.e. Asignacin de la muestra

Para el caso de la seleccin de n en el m.a.e. para estimar m o t o p, se presenta unproblema al querer despejar ni (el tamao de la muestra para cada estrato) en laexpresin

Seleccin del tamao de muestra para estimar medidas totales y proporciones poblacionalesen el m.i.a.

Caja 14

: , donde

Nota: s2 puede aproximarse con s2, a partir de una muestra piloto, o un estudio

previo similar, o bien . Entonces, en cualquiera de estos casos n ser

un valor aproximado.

: , donde

: , donde

Nota: puede aproximarse con p (y, as, (1-) se estima con q = 1-p ; ver seccin1.1.2) a partir de una muestra piloto, o un estudio previo similar, o bien, en elpeor de los casos p=0.5 (n ser conservador en este caso). Entonces, en cualquie-ra de estas situaciones n ser un valor aproximado. En todas estas frmulas, serequiere conocer N, el tamao de la poblacin.

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para el caso en que , o

para el caso de .

Una solucin es asignar una proporcin del tamao de muestra, wI , en cadaestrato i. Esta fraccin entonces nos lleva a que ni = nwi , i= 1, 2,, L . Luego, yaes posible despejar n de las dos expresiones anteriores y, al mismo tiempo, cono-cer ni , los tamaos de muestra para cada estrato. Ntese que es necesario asignarpreviamente las fracciones wi para cada estrato.Ejercicio (Scheaffer et al. 1987,pgs. 87 y 88)

Tamao de muestra aproximado que se requiere para estimar m o t con un lmite para el errorde estimacin en el m.a.e.

Caja 15

donde wI es la fraccin de las observaciones asignadas al estrato i, es la varianzapoblacional para el estrato i, cuyo valor se puede aproximar como se indica en la Caja

14, y para estimar ; para estimar .

16. Una empresa publicitaria est interesada en determinar qu tanto debe en-fatizar la publicidad televisiva en un determinado municipio, y decide rea-lizar una encuesta por muestreo para estimar el nmero promedio de horaspor semana que se ve televisin en los hogares del municipio. ste com-prende dos pueblos, pueblo A y pueblo B, y un rea rural. El pueblo Acircunda una fbrica, y la mayora de los hogares son de trabajadores fabrilescon nios en edad escolar. El pueblo B es un suburbio exclusivo de unaciudad vecina y consta de habitantes ms viejos con pocos nios en casa.Existen 155 hogares en el pueblo A, 62 en el pueblo B y 93 en el rea rural.Una encuesta anterior sugiere que las varianzas del nmero de horas porsemana que las familias del municipio dedican a ver televisin por estratoson, aproximadamente, . Deseamos estimar la

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media poblacional mediante . Seleccione el tamao de muestra paraobtener un lmite en el error de estimacin igual a 2 hrs, si las fraccionesasignadas son . En otras palabras, se debe tomar unnmero igual de observaciones de cada estrato.


17. Con relacin al Ejercicio 19., supngase que las varianzas son aproximadaspor . Deseamos ahora estimar el total pobla-cional con un lmite de 400 horas para el error de estimacin. Seleccione eltamao de muestra apropiado, si se va a tomar el mismo nmero de observa-ciones en cada estrato.

Tamao de muestra aproximado que requiere para estimar p con un lmite para el error deestimacin en el m.a.e.

Caja 16

donde wI es la fraccin de las observaciones asignadas al estrato i, i es la proporcinpoblacional para el estrato i , cuyo valor se puede aproximar como se indic en la

seccin 2.2.1. y . Nota: Como es casi seguro que la proporcin poblacional

de cada estrato i, i, sea desconocida, en las frmula anterior se cambiaran los trminospi y (1-pi) por sus correspondientes estimaciones i y qi=1-i, respectivamente. Esteorigina que la estimacin del tamao de muestra sea aproximada.

Asignacin de la muestra

Despus de elegir el tamao de muestra n, existen muchas maneras para dividirentre los tamaos de muestra de los estratos individuales n1, n2,, nL. Cada divisinpuede originar una varianza diferente para la media muestral. Por lo que el objetivoser usar una asignacin de modo que se tengan estimadores con varianzaspequeas al menor costo posible.

En trminos del objetivo, el mejor esquema de asignacin est influido portres factores.

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1. El nmero total de elementos en cada estrato2. La variabilidad de las observaciones dentro de cada estrato3. El costo por obtener una observacin de cada estrato

Veamos cmo se hace la asignacin segn estos criterios

Para aplicar las frmulas anteriores se deben conocer, entonces, los costos ci, i= 1, 2,, L, y las desviaciones estndar aproximadas i , i = 1, 2,, L.

Primero se evala la expresin para n, despus se estiman los ni s que tendrna n como incgnita, y por ltimo se sustituye n en estas expresiones para nI .


18. Una corporacin desea obtener informacin acerca de la efectividad de unamquina comercial. Se va a entrevistar por telfono a un nmero de jefes dedivisin, para pedirles que califiquen la maquinaria con base en una escala

Asignacin aproximada que minimiza el costo para el valor fijo de V( ) o que minimizaV( ) para un costo fijo (Asignacin ptima para estimar m y t).

Caja 17

Aqu ci = costo por obtener una observacin individual en el I-simo estrato. Parapoder usar la frmula, se debe obtener previamente a la realizacin del muestreo,una aproxima

16560335 Tecnicas de Muestreo

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