1.4 Distribucin Binomial.

1.4.1 Experimento binomial.

Cada persona muestreada es algo similar al lanzamiento de una moneda,

pero la probabilidad de que salga una cara no es necesariamente igual a

1/2. Aun que estas situaciones tienen diferentes objetivos prcticos,

muestran las caractersticas comunes de experimento binomial.

Un Experimento Binomial tiene las siguientes caractersticas:

1. El experimento consiste en n ensayos idnticos.

2. Cada ensayo produce uno de dos resultados. Uno se llama xito

E y el otro fracaso F.

3. La probabilidad de xito en un solo ensayo es igual a p. La

probabilidad de fracaso es igual q q = 1 p

4. Los ensayos son independientes.

La variable aleatoria X que es igual al nmero de ensayos donde el

resultado es un xito, tiene una distribucin binomial con parmetros

p y n = 1, 2,

La funcin de probabilidad de X es:

nxqpx

nnpxf xnxx ,...,1,0,),;(

Consideremos un experimento cuyo espacio muestral S est integrado slo

por dos resultados, los cuales por conveniencia se denotan como xito (E) y

fracaso (F), sin implicar que estos nombres tengan la connotacin usual (es

primordial destacar que un xito no es necesariamente lo mejor.) En

el espacio muestral S = {E, F} se consideran los eventos mutuamente

excluyentes {E} y {F}. A continuacin se presentan situaciones que son

descritas por este modelo.

Ejemplo 1.3

Un sistema de alarma para detectar rpidamente aviones consta de cuatro

unidades de radar idnticas que trabajan independientemente. Suponga que

cada unidad tiene una probabilidad de 0.95 de detectar un avin que se

interna en el rea del sistema. Cuando un avin aparece, la variable

aleatoria de es X, el nmero de unidades de radar que no detectan el avin.

Puede decirse que se trata de un experimento binomial?

Solucin

Para decidir si se trata de un experimento binomial o no, tenemos que

verificar si cumple con las caractersticas. Observa que la variable aleatoria

de inters X, el nmero de unidades de radar que no detectan al avin. Ya

que la variable aleatoria de inters en un experimento binomial siempre es

el nmero de xitos, el experimento solamente es binomial si se llama xito

al evento no detectar. Ahora verificar si cumple con las caractersticas de

un experimento binomial.

1. El experimento consiste en cuatro pruebas. Una prueba

corresponde a la de terminacin de si uno de los equipos de radar

detctale avin.

2. Cada prueba tiene dos resultados posibles. Por razones explicadas

anteriormente, E indica que no se detect el avin y F que si se

detecto el avin.

3. Ya que todos los equipos de radar detectan un avin con la misma

probabilidad, la probabilidad de un xito es igual para cada prueba

y PEPp )( (no detectar) = 0.05.

4. Las pruebas son independientes, ya que las unidades operan

independientemente.

5. La variable aleatoria de inters es X, el nmero de xitos en cuatro

pruebas.

As el experimento es un experimento binomial, con 4n , 05.0p y

95.005.01 q

A continuacin se presenta un ejemplo para ilustrar el uso de las

probabilidades aplicando la funcin de probabilidad de X.

Ejemplo 1.4

De acuerdo con datos de la Asociacin Mexicana de Automviles la

probabilidad de recuperar un auto robado en Mxico es de 0.6. Si en una

semana una compaa de seguros tiene reportados ocho autos robados

cierta semana, Cules son las probabilidades de que se recuperen

0, 1, 2, 7 y 8 de los autos robados?

Si suponemos que la recuperacin de los diferentes automviles son

eventos independientes (no hay bandas de delincuentes que tengan dos o

ms de los ocho autos robados) podemos aplicar la funcin de probabilidad

de X. Aqu la probabilidad de xito es p = 0.60, la probabilidad de fracaso

es de q = 0.40 y el total de ensayos es

n = 8. Determinar la probabilidad de recuperar:

a) Tres de los ocho autos robados.

a) Entre 2 y 5 autos robados.

b) Entre 3 y 6 e inclusive autos robados.

c) Menos de tres autos robados.

d) Ms de 5 autos robados.

Solucin:

8,...,1,0,),;(

xqp

x

nnpxf xnxx

00786432.0)4.0()6.0(1

8)1(

00065536.0)4.0()6.0(0

8)0(

181

080

x

x

f

f

12386304.0)4.0()6.0(3

8)3(

04128768.0)4.0()6.0(2

8)2(

383

282

x

x

f

f

27869184.0)4.0()6.0(5

8)5(

2322432.0)4.0()6.0(4

8)4(

585

484

x

x

f

f

x )(xf x )(xFX

0 0.00065536 0.00065536

1 0.00786432 0.00851968

2 0.04128768 0.04980736

3 0.12386304 0.1736704

4 0.2322432 0.4059136

5 0.27869184 0.68460544

6 0.20901888 0.89362432

7 0.08957952 0.98320384

8 0.01679616 1

Tabla 2.6

01679616.0)4.0()6.0(8

8)8(

08957952.0)4.0()6.0(7

8)7(

20901888.0)4.0()6.0(6

8)6(

888

787

686

x

x

x

f

f

f

a) Tres de los ocho autos robados. Slo considera el valor de la

probabilidad tres.

0.12386304)3()3( pXP

b) Entre 2 y 5 autos robados. Slo se refire al auto tres y cuatro, no

incluye al autos dos y cinco.

0.356106240.23224320.12386304)4()3()52( ppXP

c) Entre 3 y 6 e inclusive autos robados. En este caso es del auto 3, 4, 5

y 6, se encuentran incluidos tantos el auto tres como el seis.

84381696.00.209018880.278691840.23224320.12386304

)6()5()4()3()63(

ppppXP

d) Menos de tres autos robados. Considera desde cero autos hasta dos

autos robados, no incluye al tercer auto.

0.049807360.041287680.007864320.00065536

)2()1()0()3(

pppXP

e) Ms de 5 autos robados. Se refiere a 6, 7 y 8 autos robados

0.315394560.016796160.089579520.20901888

)8()7()6()5(

pppXP

Calcular las probabilidades binomiales puede volverse tedioso incluso para

valores de n relativamente pequeos. Pero cuando n aumenta, se vuelve

casi imposible hacerlo sin la ayuda de una calculadora o computadora. En

la tabla 1 del apndice I, encontraras las tablas de probabilidades

binomiales acumuladas generadas por computadora para valores de n que

van de 1 a 25 y para valores seleccionados de p.

Las probabilidades binomiales acumuladas difieren de las probabilidades

binomiales individuales en que se calculan con la frmula binomial. Una

vez que encuentres la columna de probabilidades para los valores correctos

de n y p en la tabla 1, la fila marcada con k da la suma de todas las

probabilidades binomiales desde x = 0 a x = k.

En la tabla 2.3 se muestra parte de la tabla para n = 8 y p = 0.60. Si

observas el rengln marcado con

k = 3 encontraras.

0.1736)3()2()1()0()3( ppppXP

Si la probabilidad que necesita calcular no est en esta forma, necesitars

pensar en una manera de volver a escribir la probabilidad para poder usar

las tablas!

Porcin de la tabla del apndice I para n = 8

p k 0.01 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70

0 - - - - - - - - - - - - 0.0007 - -

1 - - - - - - - - - - - - 0.0085 - -

2 - - - - - - - - - - - - 0.0498 - -

3 - - - - - - - - - - - - 0.1737 - -

4 - - - - - - - - - - - - 0.4059 - -

5 - - - - - - - - - - - - 0.6846 - -

6 - - - - - - - - - - - - 0.8936 - -

7 - - - - - - - - - - - - 0.9832 - -

8 - - - - - - - - - - - - 1.0000 - -

Con la tabla binomial acumulada para n = 8 y p = 0.6 encuentra las

probabilidades antes mencionadas:

a) Tres de los ocho autos robados.

a) Entre 2 y 5 autos robados.

c) Entre 3 y 6 e inclusive autos robados.

d) Menos de tres autos robados.

e) Ms de 5 autos robados.

f) Al menos 5 autos robados.

Solucin.

a) Tres de los ocho autos robados, puesto que solo se quiere encontrar

)3()3( pxP . Se debe restar la cantidad no desea:

Cmo usar la tabla 1 para calcular probabilidades binomiales?

Encuentra los valores necesarios de n y p. Asla la columna

apropiada en la tabla 1.

La tabla 1 da )( kxP en el rengln marcado con k. Vuelve a escribir

la probabilidad que necesitas para que est en es forma.

Lista los valores de x en su evento. A partir de la lista escribe el

evento como la diferencia de dos posibilidades:

a) )()( bxPaxP o

b) )(1 axP

1239.00498.01737.0)2()3()3( xPxPxP

b) Entre 2 y 5 autos robados, en este caso solo se quiere saber el valor de

)4()3( pp , por lo que la probabilidad aculada k=4 se le resta la cantidad

acumulada de k= 2

3561.00498.04059.0)2()4()52( xPxPXP

b) Entre 3 y 6 e inclusive autos robados, en este caso se consideran los

valores de )6()5()4()3( pppp .para lo cual se realiza una resta, al

valor de k = 6 se le resta el valor k = 2.

8438.00498.08936.0)2()6()63( xPxPXP

c) Menos de tres autos robados. Puesto que los datos se van acumulando

en cada clase, para este caso solo se considera el valor acumulado de

k = 2, pues es menor que tres.

0498.0)3( XP

d) Ms de 5 autos robados. Se refiere a 6, 7 y 8 autos robados

3154.06846.01)5(1)5( xpXP

1.4.2 Parmetros: Media, Varianza y Desviacin estndar

para una variable aleatoria binomial.

2.4.3 Aplicaciones

Ejemplo 1.5

En la produccin de transmisiones de coches, la probabilidad de que una

sea defectuosa es de 4%. Encontrar:

a) El nmero de transmisiones defectuosas esperado en un lote de 1000

b) La Varianza y Desviacin estndar.

Solucin

a) Si consideramos que 1000n y 04.0100/4 p . El valor esperado

(medio) se obtiene mediante la expresin np

4004.01000 transmisiones.

b) Usando la misma informacin se encuentra la varianza y desviacin

estndar:

npq2 4.38)04.01(04.010002

npq 19.64.38

Parmetros: Media, Varianza y Desviacin estndar para una

variable aleatoria binomial.

La variable aleatoria x, el nmero de xitos que se observa en n

ensayos, tiene una distribucin de probabilidad con este entro y

dispersin:

Media: np

Varianza: npq2

Desviacin estndar: npq