1

Teoría de colas

Teoría de colas Alternativa a estudios de simulación Aplicación a problemas con estructura

especial Sistemas con esperas

Relaciones exactas para valores de interés Si la variabilidad tiene formas determinadas En otros casos, aproximaciones

Eficiencia computacional Aún cuando se tengan relaciones aproximadas

2

Teoría de colas

Conceptos básicos: Cola, sistema al que

Llegan clientes (aleatoriamente), que son servidos (con duración aleatoria)

Capacidad limitada Si está totalmente ocupada, clientes

esperan Distintos órdenes de atención a clientes

Se puede escoger el orden para los que estén esperando

3

Teoría de colas

Ejemplos: Empresas de servicios:

Colas en un banco Hipermercados Hospitales Administración

Transporte Aterrizaje de aviones Trenes Congestión de carreteras

Telecomunicaciones

4

Teoría de colas

Tratamiento: Cola simple Información necesaria:

Tiempo entre llegadas, Ti

Tiempo de servicio, Si , y número de servidores n

Disciplina de servicion

5

Teoría de colas

Cantidades de interés Relacionadas con clientes

Número de clientes en el sistema, N Número de clientes esperando, N

Relacionadas con tiempos Tiempo de paso por el sistema, S Tiempo de espera, W

Medidas de capacidad del sistema Tiempo desocupado de servidores, I

6

Teoría de colas

Resultados para estado estacionario Comportamiento estable de la cola

Si se observa pasado un tiempo muy largo Si se inicia la cola con la distribución

adecuada, esta no cambia Resultados para régimen transitorio

Más complejos Ecuaciones diferenciales (Khinchine-Pollacek)

Menos útiles

7

Teoría de colas

Relaciones básicas Relación entre tiempos medios y

número medio de clientes Ley de Little:

E [N ] = E [W ] donde es la tasa de llegadas externas

Aplicaciones

8

Teoría de colas

Ley de Little Justificación:

Se observa una cola durante un tiempo largo, t En ese tiempo, se tienen nT llegadas al sistema,

nT t Tiempo de paso acumulado de todas las llegadas,

v = i Pi

Promedio v/nT E [S ] Promedio v/t E [N ]

9

Teoría de colas

Resultados más detallados Bajo hipótesis sobre cola Caso más simple (cola M/M/1):

Tiempos entre llegadas con distribución exponencial, E [T ] = 1/

Tiempos de servicio con distribución exponencial, E [S ] = 1/

1 servidor Disciplina: FCFS (se atiende primero a

quien primero llega)

10

Teoría de colas

Resultados: Probabilidad de tener n clientes en la

cola:(1 - ) n , = /

Número medio de clientes en la cola:E [N ] = /(1 - )

Tiempo medio de espera:E [W ] = (1/) 2/(1 - )

11

Teoría de colas

Justificación para N: Balance de probabilidad

Tasas de salida de un estado iguales a tasas de entrada

P(N = k)( + ) = P(N = k+1) + P(N = k-1) P(N = 0) = P(N = 1) Despejando recursivamenteP(N = 1) = P(N = 0), P(N = 2) = 2P(N =

0), ... Condición adicional, k P(N = k) = 1 Única solución del sistema (infinito)

12

Teoría de colas

Justificación para W: W = 0 si al llegar el cliente la cola

está vacía (N = 0) Probabilidad 1 -

W = i Si si N > 0 (vars. independientes)

Empleando funciones características Condicionada a que se produzca espera:

Exponencial con parámetro (1 - )

13

Teoría de colas

Cola M/M Más de un servidor, M/M/n

La misma justificación sigue siendo válida Probabilidades para el número en cola, N: si k < n entonces C (n)k/k! si k n entonces C knn /n!

Constante C se determina para que las probabilidades sumen 1

14

Teoría de colas

Aplicación: Cola de supermercado:

80 clientes/h. Servicio: 40 s./cliente

Número medio de clientes 80/60 = = 0,89 E [N ] = = 8 60/40 1 -

15

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado Tiempo medio de espera: 1 2 1 (8/9)2 E [W ] = = = 5,33 min 1- 80/60 1-8/9

Con dos cajeros en operación: Doble cola y clientes se reparten

(40cl./h.) 40/60 = = 0,44 E [N ] = 0,8 E [W ] =

0,53 60/40

16

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado Estrategia más eficiente: cola simple y los

clientes son atendidos por el primer cajero disponible

= 0,44 E [N ] = 1,11 E [W ] = 0,16

Se ahorran las esperas en un cajero cuando el otro está vacío

17

Teoría de colas

Redes de colas En muchos casos prácticos, colas no

aisladas, sino interconectadas (redes) Situación típica en producción,

cadenas de distribución, etc. En general, procesos que requieran

más de una etapa

18

Teoría de colas

Redes de colas Llegadas y servicios exponenciales Resultado básico

Cada cola actúa como si fuese independiente de las demás

Información necesaria: Llegadas a cada cola, Diferentes de las llegadas externas,

19

Teoría de colas

Cálculo de tasa de llegadas a cada cola Balance en la red

Dada la matriz de rutas R Probabilidad de ir a otra cola desde una dada

Llegadas a una cola: Suma de llegadas externas y llegadas desde

otras colas Llegadas a cada cola: solución de

= + R

20

Teoría de colas

Redes de colas Se forman la matriz R y el vector Se calcula la tasa de llegadas a cada

cola, = + R

Se calcula el dato deseado de cada cola, 1 i

i E [W ] = i

= i 1-i i

21

Teoría de colas

Redes de colas. Ejemplo:

Llegadas: 50 h-1, servicios: 60 h-1, 65 h-1

0 0 50 50 R = = = 1 0 0 50

1 5/6 1 1 50/65 2E [W1 ] = = h-1 , E [W2 ] = = h-1 60 1-5/6 12 65 1-50/65 39

n1 n2

22

Teoría de colas

¿Qué sucede si las distribuciones no son exponenciales? Servicios no exponenciales:

Necesitamos la varianza (variabilidad) 2 1+Cs

2 sE [N ] = + Cs = 1- 2 E [S ] 1 2 1+Cs

2

E [W ] = 1- 2

23

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado Supongamos que Cs = 0,5

E [N ] = 6,22 E [W ] = 4 Al reducir la variabilidad, se reduce

proporcionalmente el tiempo de espera y el número de clientes en la cola(Distribución exponencial, C = 1)

24

Teoría de colas

Tiempos entre llegadas no exponenciales

1 E [N ] = E [W ] = 1- 1-

pero ahora se tiene que calcular resolviendo la ecuación

= T * ( - ) No depende sólo de la varianza

25

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado 80 llegadas/h. Uniformemente

2a (1 - ) = 1 - exp(-2a (1 - )) donde a = 0,75 min (tiempo medio

entre llegadas), y = 1,5 min-1

Solución: = 0,84 E [W ] = 3,5

26

Teoría de colas

Distribuciones generales. Si tiempos de servicios y entre

llegadas siguen distribuciones generales

No existen fórmulas exactas Alternativas:

Simulación Fórmulas aproximadas para casos

especiales

27

Teoría de colas

Caso general. Fórmulas aproximadas 1 1 E [W ] (Cs

2 + Ct2 )

2(1-) 2

válida si 1

Simulación: ineficiente si 1 Proceso muy lento para alcanzar un

error determinado

28

Teoría de colas

Ejemplo. Supermercado Servicios uniformes entre 0 y 80 s. 80 llegadas/h. uniformemente Resultados aproximados:

C2 = 4/3 E [W ] 8,06 Simulación (6900 replicaciones):

E [W ] = 2,06 0,2

29

Teoría de colas

Redes de colas. Servicios o llegadas no

exponenciales: se aproximan a partir de la variabilidad de los datos (aproximaciones con segundos momentos)

Alternativa: simulación Códigos de ordenador especializados

30

Ejercicio 1

Una cola (una pista de aterrizaje) Distribuciones:

S Unif[2,5] T exp() Objetivo: E [W ] 5 Relación:

1 1+Cs2 Var(S ) 1

E [W ] = , Cs2 = , =

1- 2 E [S ]2 E [S ]

31

Ejercicio 1

Coeficiente de variación: a +b 1 b E [S ] = , E [S 2] = x 2 dx = (b 2+ab +a 2)/3 2 b -a a

Var(S ) 3/4 Var(S ) = E [S 2] - E [S ]2 = 3/4 , Cs

2 = = = 3/49

E [S ]2 (7/2)2

Tasa de llegadas:

= 10/87 = 0,115 min-1 = 6,9 h-1

32

Ejercicio 1

Dos pistas de aterrizaje: Colas separadas: tomar S igual a la

mitad (sólo cambia ), = 5/12 = 0,417 min-1 = 25 h-1

Cola común, = /(m ) (m )k P (N = k ) = p0 si k < m k ! m m k

= p0 si k m m !

33

Ejercicio 1

Cola común p0 (1 + 2 + 2 k ) = 1, p0 = (1- )/(1+ ) k=2 E [N ] = 2p0 (k - 2) k = 2p0 3/(1- )2 k=2

Ley de Little:E [N ] = E [W ]

= (5/(1+5))½, = 2 = 0,438 min-1 = 26,3 h-1

34

Ejercicio 2

Supongamos ritmo no aleatorio Condiciones:

n1 + n2 + n3 + n4 = N

r1 n1 = r2 n2 = r3 n3 = r4 n4

Asignación: 1/ri

ni = N j 1/rj

n1 = 2 , n2 = 5 , n3 = 10 , n4 = 7

35

Ejercicio 2

Ritmo máximo de procesamiento:mini ri ni = 75 dec./h

Caso aleatorio: Ritmos medios no varían Tiempo medio de paso por el sistema

S = i Si = i E [Ni ] /

36

Ejercicio 2

Tiempo medio de procesamiento Tasa de llegadas: 70 dec./h

Tasa común a todas las etapas Supongamos en cada etapa colas

independientes para cada servidor 1 i i = , E [Wi ] = ni i i 1-i

37

Ejercicio 2

Resultados:1 = 0,875 2 = 0,933 3 = 0,875 4 = 0,833

E [S1] = 0,2 E [S2] = 1 E [S3] = 1 E [S4] = 0,5

E [S ] = 2,7 h

Modificaciones: min i i

s.a i = / i (ni + i ) i i / i (1-i ) W i 0 , entera

38

Ejercicio 2

Solución: (2 = 1)1 = 0,875 2 = 0,778 3 = 0,875 4 = 0,833

E [S1] = 0,2 E [S2] = 0,3 E [S3] = 1 E [S4] = 0,5

Para un tiempo de proceso de 1 h.1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 1

1 = 0,875 2 = 0,933 3 = 0,875 4 = 0,833

E [S1] = 0,2 E [S2] = 1 E [S3] = 1 E [S4] = 0,5

39

Ejercicio 2

Colas comunes a todos los servidores:

1 = 0,875 2 = 0,778 3 = 0,875 4 = 0,833

E [S1] = 0,107 E [S2] = 0,234 E [S3] = 0,185 E [S4] = 0,123

El tiempo de paso se cumple sin añadir nuevos funcionarios

40

Ejercicio 2

Probabilidad de volver atrás Cambios en las tasas de llegada:

70 0 0 0 0.08 76.6 0 1 0 0 0.04 79.9 = + R , = , R = , = 0 0 1 0 0.03 82.4 0 0 0 1 0 82.4

Las tasas son mayores Se aplica el mismo procedimiento con

los nuevos valores

41

Ejercicio 2

Resultados: Colas individuales (3,7,13,8):

1 = 0,64 2 = 0,76 3 = 0,79 4 = 0,86

E [S1] = 0,07 E [S2] = 0,28 E [S3] = 0,60 E [S4] = 0,59 Cola única por etapa (2,6,11,7):

1 = 0,96 2 = 0,84 3 = 0,94 4 = 0,98

E [S1] = 0,30 E [S2] = 0,14 E [S3] = 0,26 E [S4] = 0,67