1

2

Gráficas de ecuaciones en el plano

x

y

RECUERDE:El plano cartesiano proporciona una manera geométrica de representar ecuaciones en dos variables. Por ejemplo:

x

y

Representa la ecuación y-2x+4=0

Representa la ecuación y=x²-2x

3

Gráficas de ecuaciones en el plano

x

y

Las intersecciones de las gráficas de ecuaciones en el plano con los ejes coordenados x y y se llaman intersectos.

¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados?

Ejemplo

Eje x: P(2, 0)Eje y: P(0, -4)

4

Gráficas de ecuaciones en el plano

¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados?

Ejemplo

Eje x: (2, 0), (0, 0)

Eje y: (0, 0)

OJO!! En general las intersecciones con el eje x son de la forma (x, 0) y con el eje y son de la forma (0, y)

x

y

5

Gráficas de ecuaciones en el plano

Intersecciones de las gráficas con los ejes coordenados

Eje Procedimiento GráficaX Se hace y=0 y

se resuelve la ecuación para x

y Se hace x=0 y se resuelve la ecuación para y

x

y

x

y

6

Ejemplo1. Determinar las intersecciones x y y de la gráfica de y=2x-4.

Gráficas de ecuaciones en el plano

Intersecciones eje x.

Se hace y=0 y se despeja x:

0 = 2x-4 2 = x

La intersección es (2,0) .

Intersecciones eje y.

Se hace x = 0 y se despeja y: y = 2(0) - 4 y = - 4.

La intersección es (0,-4) .

7

Para determinar otros puntos de la gráfica de y = 2x-4, se dan otros valores a x, teniendo en cuenta que x puede tomar cualquier valor real.

Gráficas de ecuaciones en el plano

x y

2 0

0 -4

1 -2

3 2

Tabla de valores

Se unen los puntos para formar la gráfica.

8

Ejemplo2. Determinar las intersecciones x y y de la

gráfica de y=x².

Gráficas de ecuaciones en el plano

Intersecciones.

Se hace y=0 y se despeja x:

0=x

Por lo tanto la intersección es

(0,0) ,

OJO!! Este punto corresponde simultáneamente con las intersecciones en x y y.

9

OJO!! Los valores de x que

puede tomar la ecuación y=x² son los números reales. Construimos la siguiente tabla:

Gráficas de ecuaciones en el plano

x y

0 0

2 4

-2 4

-1 1

1 1

y = x^2

Se unen los puntos y se obtiene la gráfica de una parábola

10

Otras gráficas de ecuaciones básicas son:

Gráficas de ecuaciones en el plano

Valores absolutos:

y=| x – 3 | x puede tomar cualquier valor real

x y

0 3

3 0

4 1

5 2

2 1

1 2

x

y

Int eje x

Int eje y

11

Gráficas de ecuaciones en el plano

x y

0

-2 0

2 2

4

Int eje y

Int eje x

2 xy

x

y

2

6

Gráficas con radicales

OJO!! Tenga en cuenta que:

2,02 xluegox

12

Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea, de tal manera que esas dos partes coincidan.

simetríasimetría

13

DEFINICIÓN: Dada una recta l se llama simetría axial del eje l al movimiento que transforma un punto P en otro punto P' verificando:        a. El segmento PP' es perpendicular a l.        b. Los puntos P y P' equidistan del eje l.            Dicho de otra forma el eje l es la mediatriz del segmento PP'            Al punto P' se llama simétrico de P.

Simetría AxialSimetría Axial

14

Simetrías en el plano cartesiano

1. Simetría axial respecto al eje y.

P( x , y ) → P’(- x , y )P(2,3) → P’(-2,3)

PP'

15

Simetrías en el plano cartesiano

2. Simetría axial respecto al eje x.

P( x , y ) → P’( x,- y )P(3,2) → P’(3,-2) P

P'

16

Simetrías en el plano cartesiano

4. Simetría axial respecto a la recta y =x.

P(x,y ) → P’(y,x )P(3,2) → P’(2,3)

P

P'

17

Simetrías en el plano cartesiano

Simetría central

Dos puntos A y A’ se llaman simétricos en relación a otro punto C perteneciente al segmento AA’, cuando este lo divide en dos partes iguales.

A

A′

C

18

Simetrías en el plano cartesiano

3. Simetría central respecto al origen o punto (0,0).

P(x,y ) → P’(-x,-y )P(3,2) → P’(-3,-2)

P

P'

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Simetrías en el plano

Con respecto al eje x.

Si (x, y) está en la gráfica, (x, -y) también está.

x-y^2=0

(1, 1)

(1, -1)

(4, 2)

(4, -2)

20

Simetrías en el plano

Con respecto al eje y.

Si (x, y) está en la gráfica, (-x, y) también está.

x

yy = 3/(1+x^2)

( -1, 3/2) ( 1, 3/2)

21

Simetrías en el plano

Con respecto al origen.Si (x, y) está en la gráfica, (-x, -y) también está.

x

y

( 1.1, 1.1 )

( -1.1, -1.1 )

22

Simetrías en el plano

Ejemplo

x

yy = x/(1+x^2)

Establecer si la siguiente gráfica tiene algún tipo de simetría.

Solución

La gráfica es simétrica con respecto al origen ya que para cada (x,y) en la gráfica, (-x,-y) también está en la gráfica..

(1,0.5)

(-1,-0.5)

(0.3,0.2)

(-0.3,-0.2)