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Plano cartesiano

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos lneas rectas se intersectan . Si lasrectas son perpendiculares entre s, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o,denominado tambin, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el

matemtico y filsofo francs Ren Descartes (1596-1650)).

Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, acada punto del plano le corresponde un par ordenado de nmeros reales, una abscisa y unaordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondientedel punto se escriben, entre parntesis y separados por una coma, las coordenadas de ste,primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en elplano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5).

Existen dos casos:Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichascoordenadas, se trazan por el punto paralelas a los ejes y se determinan los valores dondeestas paralelas cortan a los ejes.Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una rectaperpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto, la interseccin entre estasrectas sita al punto en el plano.

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Nota: el origen, coordenado, del plano est representado porO(0, 0). Los puntos donde laabscisa es 0, quedan ubicados sobre el ejey; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, seencuentran en el eje x.

Ejercicios resueltos

1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:(-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)Solucin:

Para facilitar su referencia, nombramos los puntos:A(-2, 3), B(2, -3), C(2, 3), D(-2, -3), E(0, 5), F(5, 0),G(4, 4), H(-4, -4)

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EL PLANO CARTESIANO

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Plano Cartesiano (Geometra Analtica)

El Plano Cartesiano es una herramienta muy til en muchas actividades diarias. Sirve comoreferencia en un plano cualquiera; por ejemplo, el plano (o el suelo) de nuestra cuidad.

Se llama Plano Cartesiano porque lo invent el filsofo y matemtico Ren Descartes (1596-1650).

El Plano Cartesiano se construye dibujando dos rectas numricas, una horizontal y la otra vertical,que se atraviesan una a la otra en sus respectivos ceros; este cruce en el cero se le llama origen y a

cada una de las rectas se les llama ejes cartesianos o ejes coordenados.

En la recta horizontal los nmeros positivos estn a la derecha del origen y los negativos a laizquierda del origen. En la recta vertical los nmeros positivos estn arriba del origen y lo negativosabajo del origen. Adems, tambin se pueden trazar rectas paralelas a los ejes y formar as unacuadrcula.

La utilidad y versatilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto sinconfusiones con slo dos nmeros. Estos dos nmeros se llaman coordenadas opar ordenado y elorden es (x,y).

Para ver una explicacin animada y ejercicios de estos temas, descarga los siguientes archivos:

El plano cartesiano. Para descargar haz clic aqu.Para abrir este archivo necesitas Microsoft Power Point o Apple Computer Inc. Keynote.

P U B L IC A D O P O R N S T O R M A R T N E Z

E T IQ U E T A S : DEFINICI ONES , GEOMETRA ANALTICA , L G E B R A

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Coordenadas cartesianas

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Las coordenadas cartesianas son tambien conocidas como "Plano Cartesiano". Son unsistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio),perpendiculares entre s (plano y espacio), que se cortan en en un punto llamado origen decoordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominanrespectivamente abscisa y ordenada.

Contenido[ocultar]

1 Historia

2 Sistema de coordenadas lineal

3 Sistema de coordenadas plano 4 Sistema de coordenadas espacial

5 Cambio del sistema de coordenadas

5.1 Traslacin del origen

5.2 Rotacin alrededor del origen

6 Calculo matricial

7 Vase tambin

8 Enlaces externos

Historia [editar]

Se denominan plano cartesiano en honor a Ren Descartes (1596-1650), el clebrefilsofo y matemtico francs que quiso fundamentar su pensamiento filosfico en lanecesidad de tomar un punto de partida sobre el que edificar todo el conocimiento. Comocreador de la geometra analtica, tambin comienza tomando un punto de partida: elsistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometra plana con referencia ados rectas perpendiculares que se cortan en origen, ideando las denominadas coordenadascartesianas.

Sistema de coordenadas lineal [editar]

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Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un nmero real,positivo si est situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro decoordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).

Corresponde a la dimensin uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos uncentro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en

el sentido positivo de las x: .

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensin uno, y puede aplicarsetodas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones tambin se llamarecta real.

Un punto:

tambin puede representarse:

La distancia entre dos punto A y B es:

que en este caso es lo mismo que:

Sistema de coordenadas plano [editar]

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en elorigen, cada punto del plano puede nombrarse mediante dos nmeros: (x, y) lascoordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejescartesianos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonal

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Sistema de coordenadas cartesianas

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en elorigen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina tambin abscisa al eje x yordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos delas coordenadas alternan de positivo a negativo; as por ejemplo las coordenadas del puntoA sern ambas positivas, mientras que las del punto B sern ambas negativas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrn dadas por lasproyecciones del segmentoentre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i yj) como aquellos paralelos a

los ejes y de mdulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posicin del punto A sedefine respecto del origen con las componentes del vectorOA.

La posicin del punto A ser:

Ntese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posicin de un punto como lascomponentes de un vector en notacin matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendr dada por la expresin:

Aplicacin del teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo ABC.

http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_cartesianas.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

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Un vector cualquiera AB se definir restando, coordenada a coordenada, las del punto deorigen de las del punto de destino:

Evidentemente, el mdulo del vector AB ser la distancia dAB entre los puntos A y B antescalculada.

Sistema de coordenadas espacial [editar]

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre s (X, Y,Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediantetres nmeros: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distanciasortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ eYX, respectivamente.

coordenadas cartesianas espaciales

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ochooctantes en los que como en el caso anterior los signos de las coordenadas pueden serpositivos o negativos.

La generalizacin de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerandoque ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posicin del punto.

Las coordenadas del punto A sern:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=4http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_cartesianas_espaciales.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=4

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La distancia entre los puntos A y B ser:

El segmento AB ser:

Cambio del sistema de coordenadas [editar]

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformacioneselementales: Traslacin (del origen) y Rotacin (alrededor de un eje).

Traslacin del origen [editar]

Traslacin del origen en coordenadas cartesianas

Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

dado un segundo sistema de referencia S2

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0, puntos distintos, y los ejes x, x; ey, y paralelos dos a dos, y las coordenadas de O, respecto a S1:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=5http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=6http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Traslaci%C3%B3n_del_origen_en_coordenadas_cartesianas.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=5http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&section=6

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Se dice traslacin del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, segn los datosanteriores. Que llamaremos:

Dados los puntos O, O y A, tenemos la suma de vectores:

despejando

Lo que es lo mismo que:

Separando los vectores por coordenadas:

y amplindolo a tres dimensiones:

Rotacin alrededor del origen [editar]

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Rotacin alrededor del origen en coordenadas cartesianas

Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:

y una base ortonormal de este sistema:

Un punto A del plano, se representara en este sistema segn sus coordenadas:

Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ngulo , respecto al primero:

y con una basa ortonormal:

Al calculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia,girado respecto al primero, lo llamaremos rotacin alrededor del origen, siendo surepresentacin:

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rotaci%C3%B3n_alrededor_del_origen_en_coordenadas_cartesianas.png

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Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; empleamosuna denominacin u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de lascoordenadas respecto a uno u otro sistema si que son diferentes, y es lo que se pretendecalcular.

La representacin de B1 en B2 es:

Dado que el punto A en B1 es:

con la transformacin anterior tenemos:

deshaciendo los parntesis:

reordenando:

Como:

;

Tenemos que:

Como sabamos:

Por identificacin de trminos:

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Que son las coordenadas de A en B2, en funcin de las coordenadas de A en B1 y de .

Calculo matricial [editar]Siendo [T] la matriz de transformacin y cuyas filas son precisamente las componentesde los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyascolumnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema dereferencia rotado.

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