Calculo y geometría analítica I

UNIDAD 1Clase 1

“El Plano Cartesiano y La Ecuación de la Recta”

Prof. Ing. José Rodríguez

Aprendizajes esperados:• Calcular distancia y el punto medio entre dos

puntos del plano.

• Identificar la pendiente y coeficiente de posición en una ecuación de recta dada.

• Representar gráficamente ecuaciones de recta.

• Determinar la ecuación principal de la recta, dados dos puntos o dado un punto y la pendiente.

• Determinar si dos rectas son paralelas.

• Determinar si dos rectas son coincidentes.

• Determinar si dos rectas son perpendiculares.

• Determinar la pendiente entre dos puntos.

Contenidos:

5. Ecuación de la recta5.1 Ecuación General de la recta

5.2 Ecuación Principal de la recta

4. La recta

5.5 Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente5.6 Ecuación de la recta dados dos puntos de ella

1. Distancia entre dos puntos

3. Pendiente entre dos puntos

2. Coordenadas del punto medio

5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta5.4 Gráfica de la línea recta

6. Rectas paralelas, rectas coincidentes y rectas perpendiculares

"La vida humana representa, la mayor parte de las veces, una ecuación entre el pasado y el futuro.“

Ingenieros, José

SISTEMA DE COORDENADAS SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.CARTESIANAS.

O

III

III IV

X

Y

P(x, y)

abscisa

ordenada

X

Y

FÓRMULA DE LA DISTANCIA FÓRMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSENTRE DOS PUNTOS

PUNTO MEDIO DE UN PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTASEGMENTO DE RECTA

X

Y

Ejemplos:Ejemplos:a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2

d2 = (9 + 3)2 + (-5)2

d2 = 144 + 25

d2 = 169

d = 13

x1 y1 x2 y2

b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

-3 + 9 , 4 + -1

2 2Pm =

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

x1 y1 x2 y2

x1 + x2 y1 + y2

2 2Pm = ,

/

A

B

Veamos la distancia directamente en el plano:Veamos la distancia directamente en el plano:

4

8

2 24 8+ 16 64= +80

Ejercicios:Ejercicios:

B(6,-1)y A(-2,3)

B(1,2)y A(-3,6)

B(2,0)y A(-2,3)

B(1,5)y ,3)21

A(-

1.

2.

3.

4.

5.

Calcule las distancias y puntos medios de:

,0)2B(2y )7,-2A(

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

x1 + x2 y1 + y2

2 2Pm = ,

Significado de la recta:

La recta es una de las curvas de mayor estudio

realizado en las matemáticas por la enorme cantidad

de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a

una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus

aplicaciones se tienen: problemas de costos-

ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la

valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.

20 40 60 80

P. E.

¿Qué significan estas señales de tránsito?

Pendiente de una recta l

L1

L2

0 x

y • ¿Cuál de las rectas ¿Cuál de las rectas está más inclinada?está más inclinada?

• ¿Cómo medimos ¿Cómo medimos esa inclinación?esa inclinación?

La La pendientependiente mm de la recta de la recta ll eses::

Cálculo de la pendiente de una rectaSea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

X

Y

Ejemplo:Ejemplo:1. La pendiente entre los puntos

x1 y1 x2 y2

(-4, -2) y (1, 7) es:

7 – (-2)

1 – (-4)m =

9 5

m =2. La pendiente entre los puntos

(8, 5) y (8, 10) es:x1 y1 x2 y2

Como el denominador es cero, la pendiente NO existe.

Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.

⇒ 10 – 5

8 – 8m =

5 0

m =

Ejemplos

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

Conclusiones

1. Si m>>0 la recta ll es creciente

2. Si m<<0 la recta ll es decreciente

3. Toda recta horizontal tiene m = = 0

4. Las rectas verticales no tienen

pendiente definida.

x

y

x

y

x

y

x

y

PensemosPensemos un poco:un poco:

Un doctor compro un automóvil nuevo en 1991

por $32 000. En 1994, él lo vendió a un amigo

en $26 000.Dibuje una recta que muestre la

relación entre el precio de venta del automóvil

y el año en que se vendió. Determine e

interprete la pendiente.

Pizarra

Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.

Ejemplos:Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 0

2. y = 4x + 7

3. 6x + 4y = 7

La rectaLa recta

Ecuación de la recta (Punto – Pendiente)

La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x(x11, y, y11) ) es:

(x(x11, y, y11))y - yy11 = m(x - xx11)

X

Y

Ecuación general o implícita de la recta

Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.

Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 02. 2x - 4y + 7 = 03. -x + 12y - 9 = 0

Obs. m= b= ab

− cb

−

La gráfica de una recta de pendiente mm y ordenada en el origen bb, es:

bby = mmx + bb

X

Y

Ecuación explicita de la recta Ecuación explicita de la recta

Es de la forma:

El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,b).

y = mx + b

m : pendiente

b : coeficiente de posición

1) y= 2x -3 m=2 b=-3

Ejemplo:

2) y= 3x – 4 2

y=3 x – 2 2

m= 32 b=2

Ecuación explicita de la recta Ecuación explicita de la recta

Ejemplo:Ejemplo:1. La ecuación de la recta de pendiente m = -6,

que pasa por el punto (3,-2) es:

y – (-2) = -6 (x – 3) y + 2 = -6x + 18

y = -6x + 16

2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos

( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:

y – (-3) = (x – 2) 6 – (-3)

5 – 2

y + 3 = (x – 2) 9

3

y + 3 = 3 (x – 2)

y + 3 = 3x – 6

y = 3x – 6 - 3

y = 3x – 9

x1 y1 x2 y2

y – y1 = (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

6x + y – 16 = 0

3x – y – 9 = 0

Ejercicios:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por .. (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).

3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación

x- 9 = 5y+3.

4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

y - yy11 = m(x - xx11) y = mmx + bb