1

Autor: Lic. Fs. Anbal Ascate Prez Trujillo - 2014

2

Qu es el movimiento?

Variacin aparente de la posicin de un cuerpo durante el transcurso del tiempo.

Qu es la aproximacin de partcula o punto material?

Aproximacin que considera a los cuerpos como masas puntuales (no considera su forma, tamao y dimensiones internas).

Simplificacin razonable cuando la estructura interna y la composicin de los cuerpos no cambia durante el movimiento y cuando se mueven en una regin mucho mayor que su tamao.

Carcter relativo de movimiento

Un objeto se mueve respecto a otro cuando su posicin respecto a ste cambia con el tiempo. Si la posicin no cambia se dice que est en reposo.

El movimiento es un concepto relativo Un cuerpo puede estar movindose respecto a un objeto y permanecer en reposo respecto otro.

INTRODUCCIN

3

Para describir el movimiento es necesario definir un sistema de referencia en relacin al cual se describe el movimiento. A este sistema de referencia se le asigna un eje de coordenadas.

(a) Vista de tren desde estacin.

(b) Vista de estacin desde tren

Sistemas de referencia en movimiento relativo

INTRODUCCIN

4

DINMICA Qu es la dinmica? Parte de la Fsica que se ocupa del estudio de la relacin entre el movimiento

de un cuerpo y las causas de dicho movimiento. Por qu se mueven los cuerpos de una forma determinada? Por experiencia sabemos que el movimiento de un cuerpo es el resultado

directo de sus interacciones con otros cuerpos que le rodean.

Concepto de fuerza. A menudo las interacciones se expresan cuantitativamente con la fuerza.

5

DINMICA

Qu es una partcula libre?

Aquella que no est sujeta a ninguna interaccin con el medio que le rodea Su movimiento no es perturbado por el medio.

Estrictamente no existen, pero pueden considerarse libres cuando

- Sus interacciones son dbiles al estar alejadas unas partculas de otras. - Los efectos de interaccin de unas partculas con otras se cancelan y su

interaccin neta es nula.

Primera ley de Newton o ley de la inercia.

Una partcula libre se mueve con velocidad constante (permanece en reposo o con MRU) respecto de ciertos sistemas de referencia especiales denominados inerciales (SRI).

Un SRI no est sujeto a interaccin con el medio.

ctev =

Trayectoria Partcula libre

SRI

6

DINMICA LINEAL Momento lineal

Se define como vmp

=

ctep =

( ) vmvmp ==

Una partcula libre se mueve con momento lineal constante respecto un SRI

Si la partcula no es libre y su velocidad cambia en un intervalo de tiempo t el cambio de momento lineal es

ctev =

Trayectoria recta SRI

ctep =

Partcula libre

ctev

Trayectoria curva SRI

ctep

Partcula no libre

7

DINMICA LINEAL Momento lineal de un sistema de partculas. Principio de conservacin del

momento lineal.

Sea un sistema de dos partculas aislado en el que las nicas interacciones posibles es el de las dos partculas del sistema entre s.

Se define el momento lineal de este sistema de partculas como:

221121 vmvmppP

+=+=

El principio de conservacin del momento lineal para un sistema establece que si ste se encuentra aislado su momento lineal permanece constante (respecto un SRI).

El momento lineal de un sistema compuesto de dos partculas sujetas solo a su interaccin mutua permanece constante.

cteppP =+= 21

Principio de conservacin del momento lineal

Sin embargo el momento lineal de cada una de las partculas debido a su interaccin con la otra si puede cambiar.

Aislado

m1

m2

Aislado

8

DINMICA LINEAL 1 1

2 2 Regin de interaccin

1p

2p

221121 vmvmppP

+=+=El momento lineal del sistema en los tiempos t y t viene dado por

1p

2p

1p

1p

1p

2p

2p

2p

'22

'11

'2

'1 vmvmppP

+=+=

Al estar aislado se cumple

PP

= 21'2

'1 pppp

+=+ ( )2211 pppp

=

Y como la variacin del momento lineal de las partculas vienen dados por

1'11 ppp

=

2'22 ppp

= 21pp =

Una interaccin produce un intercambio de momento lineal.

9

DINMICA LINEAL

Segunda y tercera ley de Newton.

Hemos visto que para dos partculas aisladas sujetas a su interaccin mutua

21 pp =

Dividiendo por ttt =

t

p

t

p

= 21

Haciendo que 0t

dt

pd

dt

pd 21

=

Se define entonces la fuerza como

dt

pdF

=La tasa de cambio de momento lineal de una partcula con respecto al tiempo es igual a la fuerza que acta sobre la partcula.

Segunda ley de Newton

Si la partcula es libre entonces

cteP =

0==dt

pdF

La relacin entre la fuerza y la aceleracin viene dada a trvs de

( )dt

vdm

dt

vmd

dt

pdF

=== amF

=

10

DINMICA LINEAL Para dos partculas aisladas sujetas a su interaccin usando el concepto de fuerza se tiene que

dt

pd

dt

pd 21

= 21 FF

=

1F

2F

2m

1p1m

1

2p

2

Cuando dos partculas interactan la fuerza sobre la primera ejercida por la segunda, es igual y opuesta a la fuerza sobre la segunda ejercida por la primera.

Tercera ley de Newton

El concepto de fuerza es til ya que

1m

medio

15F

nF1

12F

13F

2m

3m4m

5m

nm1 Se cumple el principio de superposicin

nFFFF 113121

+++=

2 Las formas funcionales de las fuerzas son conocida 14F

11

DINMICA LINEAL Fuerza de rozamiento (Fr).

Rozamiento seco. Producido entre dos cuerpos slidos (ejemplo bloque sobre una superficie slida).

a N

P

b N

f

P

aplF

N

sf

P

aplF

c d

kf

N

aplF

a

b

c

Fr

d sf

kf

Fapl

a) Bloque en equilibrio bajo accin de su peso y la normal b) Se aplica una fuerza que aumenta gradualmente pero el bloque

no se mueve Existe una fuerza igual y de sentido contrario llamada Fuerza de rozamiento esttica

aplf F=

c) La situacin anterior continua hasta llegar a un momento que si aumenta la fuerza aplicada el bloque se mueve El rozamiento se llama Fuerza de rozamiento esttica mxima

s s vf Nu=

d) Una vez el bloque se mueve al continuar aumentando la fuerza aplicada el rozamiento disminuye y toma un valor constante El rozamiento se llama Fuerza de rozamiento dinmica

k k vf Nu=

f

P

0=v0=v 0=v

0v

12

DINMICA LINEAL Caractersticas del rozamiento seco esta fuerza: 1.- Dependen de la naturaleza y condiciones de las superficies en contacto, pero no del rea de

contacto entre las superficies. 2.- Son tangentes a la superficie de contacto de ambos cuerpos. 3.- Aparecen sobre ambos cuerpos al aplicar una fuerza sobre uno de ellos, pudiendo haber o

no deslizamiento relativo entre ambos.

Rozamiento fluido. Producido entre capas contiguas de fluido que se mueven a distinta velocidad o el que sufre un

slido que se desplaza por un fluido. Se le llama tambin fuerza viscosa y depende de muchos factores (forma del slido, velocidad del objeto respecto fluido,...). Se expresa en ocasiones como

vbrF v

=

13

DINMICA LINEAL

Fuerza elstica (Fe ).

O

ror

r

ru

P

eF

k Constante elstica o del resorte

ru

Vector unitario en la direccin y sentido del resorte de O a P

rel urkF

= Ley de Hooke

0rrr = Deformacin del resorte

Si r > 0 entonces el resorte est estirado y la fuerza elstica apunta en sentido contrario al vector unitario.

Si r < 0 entonces el resorte est comprimido y la fuerza elstica apunta en el sentido contrario del vector unitario.

Por tanto la fuerza elstica se opone a que la partcula sea desplazada y por ello se denomina fuerza recuperadora.

14

DINMICA LINEAL

FUERZAS FICTICIAS EN EL MOVIMIENTO LINEAL

15

DINMICA LINEAL

EJERCICIOS DE APLICACIN N 1

1.El pistn de un motor de explosin cuya masa es 10 kg, est sometido a la accin de fuerzas variables, de tal modo que su cantidad de movimiento lineal est dado por la siguiente ecuacin: , , donde queda expresado en , cuando t se mide en segundos. Determinar: a) La aceleracin del pistn cuando t = 1,5 s .Rpta: a=0,1 b) El valor de la fuerza en el instante en que se anula la cantidad de movimiento lineal. Rpta: F=-3N

22 5 2p t t= + 0 2t< < p1kgms

2/m s

2. La trayectoria que origina una fuerza que origina al actuar sobre un cuerpo de 2 kg de masa, est determinada por las ecuaciones : , , , donde x , y, z se miden en metros y t en segundos. Calcular el mdulo de la fuerza cuando t = 1/3 s . Rpta:

26 5x t t= 24 3y t= + 43 3 1z t t= +8 14F N=

3. Dos bloques de 100 kg estn unidos mediante cuerdas de 1,00 kg. La friccin entre los bloques y el suelo puede considerarse nula. Se tira del conjunto con una fuerza de 202 N, tal como indica la figura. a)Cul es la aceleracin del conjunto? b) Calcular las fuerzas ejercidas por las cuerdas en los puntos B, C y D

Rpta: a) a= 1,00 b)

2/m s201BT N= 101CT N= 100DT N=

16

DINMICA LINEAL

4. Un bloque de masa 1,5 kg baja por un plano inclinado con un ngulo . El coeficiente de rozamiento cintico entre el bloque y el plano es .Determinar la aceleracin con la que cae el bloque. Rpta:

30 =0,40k =

21,5 /a m s=

5. Se ejerce una tensin T sobre una cuerda de masa despreciable unida al bloque B de la figura. Determinar el valor de las aceleraciones de los bloques A y B para: a) T = 10 N Rpta: b) T = 40 N Rpta:

21,4 /A Ba a m s= =22,9 /Aa m s=

26,8 /Ba m s=

6. Sobre un cuerpo de masa m = 2kg actan tres fuerzas : , , Hallar el mdulo de la aceleracin del cuerpo. Rpta :

1 2 5F i j N=

2 1 3F i j N= +

37F i N=

217 /a m s=7.

Answer

17

DINMICA LINEAL

8. Cuando dos objetos de masas distintas cuelgan verticalmente sobre una polea sin friccin de masa despreciable, como en la figura se llama Mquina de Atwood. Determinar la aceleracin de los objetos y la tensin en la cuerda .

:Rpta 2 1

1 2

a)am m

gm m

= +

1 2

1 2

2)

m mb T g

m m

= +

9.Una bola de masa y un bloque de masa se unen mediante una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin friccin de masa despreciable, como en la figura. El bloque se encuentra sobre un plano inclinado sin friccin de ngulo . Encuentre la magnitud de la aceleracin de los objetos y la tensin en la cuerda.

1m 2m

:Rpta2 1

1 2

a)am sen m

gm m

= +

( )1 21 2

1)

m m g senb T

m m

+=

+

10. Un bloque de masa sobre una superficie horizontal rugosa se conecta a una bola de masa mediante una cuerda ligera sobre una polea ligera sin friccin, como se muestra en la figura. Al bloque se aplica una fuerza de magnitud F en un ngulo con la horizontal como se muestra, y el bloque se desliza hacia la derecha. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y la superficie es . Determine la magnitud de la aceleracin de los dos objetos.

1m

2m

k:Rpta

18

DINMICA LINEAL

11. En el siguiente sistema compuesto por los bloques mostrados, y despreciando toda friccin, hallar la aceleracin del bloque .

:Rpta

2m

SOLUCIN

( )( )

7 6 3 4 1

1 2 3 4 5 6 7

m m m m m sena g

m m m m m m m

+ + =

+ + + + + +

19

DINMICA LINEAL

12.

18,66F i N=

Answer :

13.

: F 400 3Rpta N=

14.Dos bloques de masas y estn unidas por una cuerda , segn la figura. Ambos viajan en un ascensor que acelera hacia abajo con . Calcular la aceleracin de cada bloque respecto a un observador ubicado en Tierra.

1 4m kg= 2 8m kg=

24 /a m s=

( )21 2 /a m s= ( )22 6 /a m s=

:Rpta

15.Un bloque de masa m se encuentra resbalando sobre un plano inclinado que viaja en un ascensor que acelera hacia arriba con .Calcular la aceleracin a con que el bloque se desliza respecto al plano inclinado.

( )30 =24 /a m s=

2' 7 /a m s=

:Rpta

20

DINMICA CIRCULAR

Consiste en el estudio y anlisis de la Segunda Ley de Newton cuando el cuerpo o sistema describe un movimiento circunferencial

Aceleracin Centrpeta : Es una magnitud fsica vectorial que mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad en direccin (y sentido). La aceleracin centrpeta se representa por un vector que apunta al centro de curvatura en todo instante.

2

c

va

R=

Fuerza Centrpeta : Es la fuerza resultante de todas las fuerzas en direccin radial que actan sobre un cuerpo en movimiento circular. La fuerza centrpeta es la responsable del cambio de velocidad en direccin y sentido; adems est siempre dirigida al centro de curvatura de la trayectoria

C fuerzas hacia el centro fuerzas hacia afueraF =

2

2

C c

vF ma m

Rm R

= =

=

Aceleracin Tangencial: Es una magnitud fsica vectorial que mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad en mdulo. Es la componente de la aceleracin neta paralela a la velocidad instantnea, por consiguiente se representa por un vector tangente a la trayectoria

21

DINMICA CIRCULAR

Fuerza Tangencial: Es la fuerza resultante de todas las fuerzas en direccin tangencial respecto a la trayectoria que actan sobre un cuerpo en movimiento circular, en general se cumple para cualquier movimiento curvilneo. La fuerza tangencial es responsable del cambio en la magnitud de la velocidad

ANALIZAR EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE UN MVIL EN MOVIMIENTO CIRCULAR EN CADA UNO DE LOS PUNTOS

22

DINMICA CIRCULAR

EJERCICIOS DE APLICACIN N 2 1. Un cuerpo de masa m, sujeto al extremo de una cuerda de longitud L, que describe una trayectoria circular en el plano horizontal, genera una superficie cnica, por lo que se llama pndulo cnico. Determinar la rapidez y el perodo de revolucin de la masa.

:Rpta

tanv Lg sen =cos

2L

Tg

=

2. Un piloto de masa m en un avin jet ejecuta un rizo, como se muestra en la figura. En esta maniobra, el avin se mueve en un crculo vertical de 2,70 km de radio con una rapidez constante de 225 m/s. A)Determinar la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto(peso aparente del piloto) en la parte inferior del rizo. Exprese su respuesta en trminos del peso del piloto mg.Rpta: P= 2,91 mg B)Resolver para la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto en la parte superior del rizo. Rpta: P = 0,913mg 3.

13,4 /mxv m s=Answer :

23

DINMICA CIRCULAR

4. Una partcula de masa m se encuentra en el polo de una semiesfera de radio R, la cual est apoyada sobre una superficie horizontal. Desplazada ligeramente de su posicin de equilibrio, la partcula desliza sobre la superficie, la cual se supone lisa. Determinar: a)La velocidad de la partcula en funcin del ngulo , que forma su radio posicin con el radio inicial. Rpta: b)El valor de la normal N en funcin de . Rpta: c)El valor de , en el instante en que la partcula se despega de la superficie. Rpta:

( )2 1 cosv gR = ( )3cos 2N mg =

48,19 =5.Un automvil recorre una curva peraltada como se muestra en la figura. El radio de curvatura del camino es R, el ngulo de peralte es y el coeficiente de friccin esttica es .Determinar: a) El intervalo de rapidez que puede tener el automvil sin

deslizarse arriba o abajo del peralte. b) El valor mnimo para , tal que la rapidez mnima sea cero.

s

s

( )tan1 tan

smn

s

Rgv

=

+

( )tan1 tan

smx

s

Rgv

+=

:Rpta

a)

mn mxv v v tansu =)b

24

DINMICA CIRCULAR

6.Una sola cuenta puede deslizarse con friccin despreciable sobre un alambre rgido que se dobl en una espira circular de 15,0 cm de radio como se muestra en la figura. El crculo siempre est en un plano vertical con a) un periodo de 0,450 s . La posicin de la cuenta se describe mediante el ngulo que la lnea radial, desde el centro de la espira a la cuenta, forma con la vertical.A qu ngulo arriba del fondo del crculo puede permanecer la cuenta sin movimiento en relacin con el crculo que gira? b) Qu pasara si? Repita el problema y considere que el perodo de rotacin del crculo es 0,850 s

:Rpta

a) 1 0 =

2 70,4 =

)b

0

La cuenta slo

se ubicara en

=

7. La figura muestra una esfera de masa m en movimiento circular con radio de curvatura R. La esfera y el bloque de masa M se encuentran unidos mediante una cuerda que pasa por un agujero del plano horizontal. Determinar la velocidad angular constante de la esfera. Rpta:

Mg

mR =

8. Un objeto de 4,00 kg se une a una barra vertical mediante dos cuerdas, como se muestra en la figura. El objeto gira en un crculo horizontal con rapidez constante de 6,00 m/s . Encuentre la tensin en: a) La cuerda superior . Rpta: T

= 108 N b) La cuerda inferior . Rpta: T = 56,2 N

25

TRABAJO MECNICO

El Trabajo es la transmisin del movimiento ordenado de un participante a otro con superacin de resistencia. El trabajo existe en muchas formas, mientras que el calor, solamente en una. En el trabajo de cualquier forma siempre participan dos: el sistema y la fuente de trabajo. Por ejemplo, la mano del hombre(la fuente del trabajo) puede comprimir un resorte(el sistema), elevar un bloque de masa m(sistema). El agua en un matraz (fuente de trabajo), que se dilata al evaporarse, vence la inercia del tapn (sistema): el tapn, que inicialmente se encuentra en estado de reposo , adquiere velocidad. La mano del hombre ejerce una fuerza F sobre el mbolo, lo desplaza en el cilindro y comprime el gas, venciendo su resistencia. Los participantes pueden cambiar de papel. El gas se expansiona y vence la presin que ejerce la mano del hombre que impide la expansin. No importa que participantes son. Es necesario que ellos sean dos. El trabajo est relacionado con la superacin de resistencia; la resistencia se vence durante el movimiento. Durante el movimiento sin superacin de resistencia no hay trabajo. No importa que movimiento es, lo esencial es el propio movimiento.

26

ENERGA

Qu hace posible que un cuerpo tenga esa capacidad de desarrollar trabajo? En forma concreta podemos responder que aquello que les permita desarrollar trabajo es aquello que denominamos energa. Por lo tanto, decimos que la energa es lo que hace posible que los cuerpos tengan esa capacidad de desarrollar trabajo. Aunque tambin se puede enfocar el concepto de energa de otra manera: Sabemos que en la naturaleza se presentan diversas y muy complejas formas de movimiento como el movimiento mecnico, el movimiento molecular, el movimiento de los electrones en el interior del tomo, etc. , pero es importante destacar y tener presente que el movimiento es debido a las diversas interacciones que se dan entre los cuerpos, partculas, en toda la naturaleza; entonces podemos concluir que las diversas formas de movimiento se deben a las diversas formas de interaccin que se dan en la naturaleza. Para medir las diversas formas de movimiento e interaccin hacemos uso de una magnitud escalar a la cual denominamos energa. En base a lo expuesto se entiende la energa como la medida de las diversas formas de movimiento e interaccin que se presentan en la naturaleza. Se denomina ENERGA a aquella magnitud escalar que surge como una medida de las distintas formas de movimiento de la materia. As pues, a cada forma de movimiento le corresponde un tipo de energa: la energa mecnica, como medida del movimiento mecnico; la energa trmica, como medida del movimiento molecular; la energa electromagntica, como medida del movimiento de las cargas elctricas, etc.

27

TRABAJO MECNICO

Para una fuerza constante paralela al desplazamiento que es rectilneo, se define el trabajo como:

s

F

B

Movimiento

Trabajo=Fuerza distancia FsW =

Si la fuerza constante forma un ngulo con la direccin del desplazamiento, solo la componente en la direccin del desplazamiento se usa para calcular el trabajo

F

s

A

Movimiento

B

sFW t= = cosFsW sFW

=

Como = cosFFt Producto escalar

Si = 90 W = 0

Si 90> 0 W > 0

Si 180>90 W < 0

A

tF

s

28

TRABAJO MECNICO

Si la trayectoria de la partcula no es rectilnea y/o la fuerza que acta es variable, se divide la trayectoria en pequeos elementos rectilneos para los cuales la fuerza es constante. Llamando a uno de estos desplazamientos elementales como:

F

tF

90

Trayectoria

Recta tangente

rd

A

B

AB=rd

El trabajo elemental hecho por la fuerza durante ese desplazamiento es

rdFdW

=

Como dsrd =

= cosFdsdW

= cosFFtComo

dsFdW t=

El trabajo total hecho sobre la partcula es la suma de los trabajos elementales realizados en los pequeos desplazamientos a lo largo de la trayectoria

=+++= ii rdFrdFrdFrdFW

332211

Si los desplazamientos son muy pequeos la suma se puede reemplazar por una integral

1F

2F

3F

===B

A t

B

A

B

AdsFdsFrdFW

cosA

B O

r

1rd

3rd

2rd

29

TRABAJO MECNICO

GRFICA FUERZA VERSUS POSICIN

La figura muestra la grfica Fuerza versus Posicin. La fuerza F de magnitud variable aplicado a un cuerpo que se mueve en direccin del eje X. El trabajo realizado por la fuerza sobre un cuerpo en direccin del eje X es igual al REA bajo la curva, entre dos puntos de su posicin

2

1

x

x

REA W F dx= =

30

Teorema de las fuerzas vivas. Energa cintica.

Para un cuerpo que se mueve en una trayectoria curvilnea, la componente de la fuerza en la direccin del desplazamiento es

dt

dvmmaF tt ==

El trabajo realizado en un desplazamiento elemental es

mvdvdvdt

dsmds

dt

dvmdsFdW t ====

Entonces el trabajo total para desplazar al cuerpo desde A hasta B es

Definiendo la energa cintica como

[ ] 221221221 ABB

A

B

A

B

A tmvmvmvmvdvdsFW ====

v

Trayectoria A

B

Bv

221 mvEc = EcEcEcW AB ==

Resulta el trabajo total

Teorema del trabajo y la energa cintica o de las fuerzas vivas

El trabajo hecho por la fuerza que acta sobre una partcula es igual al cambio de su energa cintica.

Av

F

tF

ds

31

Potencia.

Para el trabajo realizado en un intervalo de tiempo muy pequeo se define la potencia o potencia instantnea como

La potencia media durante un cierto intervalo de tiempo se obtiene a travs de

dt

dWP =

Como rdFdW

=

dt

rdFP

=

Como dtrdv

=

vFP

=

t

WP

=

32

Trabajo de una fuerza conservativa. Energa potencial.

Trabajo de una fuerza constante.

Sea una partcula que se mueve bajo la accin de una fuerza constante en mdulo y direccin. El trabajo realizado por sta ser

AB rr

(1)

(2) ( )ABB

A

B

ArrFrdFrdFW

=== Como la fuerza es constante

inicial

A

final

B rFrFW =

Tambin se puede expresar

El trabajo es igual para las trayectorias (1) (2) al ir de A hasta B.

El trabajo es igual a la diferencia de una cierta cantidad evaluada al final y al principio de la trayectoria.

Ar

Br

AB rr

Ay By

AB yy Para una fuerza constante como el peso se tiene

F mg mgj= =

( ) mgyjyixjmgrF =+=

( )

final

B

inicial

AAB mgymgymgymgyW ==

A

B F

rd

m

Ar

BrO

Y

j

O Xi

gm

A

B m

33

Trabajo de una fuerza conservativa. Energa potencial.

Energa potencial.

El caso anterior corresponde a una clase de fuerzas llamadas conservativas para las cuales el trabajo es independiente de la trayectoria y puede expresarse como la diferencia de una cierta cantidad llamada energa potencial evaluada en los puntos inicial y final.

A

B (1) (2)

(3) AEp

BEp

final

B

inicial

A

B

AEpEprdFW ==

EpW =

Fuerza constante rFEp

=

Peso mgyEp =

La energa potencial est definida salvo una constante arbitraria que se fija estableciendo el cero o nivel de referencia de la energa potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo.

0== rdFW

34

Trabajo de una fuerza conservativa. Energa potencial.

Relacin entre fuerza y energa potencial.

Para que se cumpla es necesario que par un desplazamiento elemental est relacionado con el cambio de energa potencial a travs de

dEprdFdW ==

EpW =

Las componentes de las fuerzas a lo largo de los ejes coordenados vienen dadas a travs de

dEpdsFFds t ==cos dsdEp

Ft =

dz

dEpF

dy

dEpF

dx

dEpF zyx === ,,

Si Ep solo depende de la distancia r a un punto fijo y no de la direccin, la nica componente de la fuerza est definida en la direccin en que r aumenta o disminuye (se trata de una fuerza central), y se tiene que

dr

dEpF =

m

rO

F

35

Teorema de la energa mecnica. Conservacin de la energa mecnica.

Cuando la fuerza que acta sobre una partcula es conservativa se cumple que

0=+ EpEc ( ) 0=+ EpEc Definiendo la energa mecnica o energa Mecnica total de la partcula como

212ME Ec Ep mv Ep= + = +

Si la fuerza que acta es conservativa

( ) 0= E constanteEpEcE =+= ( ) ( )BA EpEcEpEc +=+

Los cambios de energa cintica y potencial son iguales y opuestos

Cuando sobre la partcula actan fuerzas conservativas y no conservativas se tiene

=+==

EcWncWcW

EpWc ( )EpEcEpEcWnc +=+= AB EEEWnc ==

Cuando la fuerza que acta es conservativa la energa Mecnica permanece constante

Conservacin de la Energa Mecnica

Cuando las fuerzas que actan son conservativas y no conservativas, el trabajo de las no conservativas es igual a la variacin de la energa total

Teorema de la energa mecnica

36

RESUMEN

Energa Cintica : 21

2kE mv=

Energa Potencial Gravitatoria: pgE mgh=

Energa Potencial Elstica: 21

2peE kx=

Energa Mecnica Total : M k pg peE E E E= + +

Teorema del Trabajo y la Energa Cintica: Neto kW E=

Teorema del Trabajo y la Energa Mecnica: FNC MW E=

Teorema de Conservacin de la Energa Mecnica: inicial finalM ME E=

PRINCIPIO UNIVERSAL DE CONSERVACIN DE LA ENERGA

La energa puede ser transformada de una forma en otra pero no puede ser creada ni destruda, la energa total es constante(se conserva)

37

TRABAJO Y ENERGA.

EJERCICIOS DE APLICACIN N 3

1.Un obrero empuja con un ngulo de 37 por encima de la horizontal, manteniendo la fuerza constante y a velocidad constante sobre el cajn de 25 kg . La distancia recorrida es igual a 60 m y el coeficiente de friccin cintico entre el piso y la caja es 0,30. Calcular: a)La fuerza que debe aplicar el obrero. Rpta: F= 120,97 N b)El trabajo que efecta el obrero sobre la caja. Rpta : W= 5806,56 J c)El trabajo que efecta la friccin sobre la caja. Rpta : W=-5806,56 J d)El trabajo que realiza la fuerza normal. Rpta: W=0 J e) El trabajo que realiza la gravedad. Rpta: W= 0 J f)El trabajo total que se efecta sobre la caja Rpta: W= 0 J

( )210 /g m s=

2. Un hombre levanta una masa m con una fuerza tal que lo coloca a una altura h sobre el piso a velocidad constante. a)Cunto trabajo realiza la gravedad? b)Cul es el trabajo que ejerce el hombre?

gW mgh=

FW mgh=

3. La posicin de una partcula en el plano est dada por (t en segundos y r en metros), la fuerza ejercida sobre la misma es . Qu trabajo se realiza sobre la partcula en el intervalo de t = 1 s a t = 3s?. Rpta:

2 3 2r ti t j=

4 5F i j N=

104W J=

38

TRABAJO Y ENERGA.

4 . Se arrastra una caja de masa m sobre un piso horizontal, el coeficiente de friccin cintico entre la caja y el piso es , mediante una fuerza que forma un ngulo con la horizontal, la caja se desplaza una distancia s hacia la derecha. Calcular: a) El trabajo realizado por la fuerza. Rpta: b) El trabajo efectuado por la fuerza de friccin. Rpta: c) El trabajo neto efectuado sobre la caja por todas las fuerzas que

actan sobre ella. Rpta:

cosFW Fs =( )fW mg Fsen s =

( )cosnetoW F mg Fsen s = 5. Una partcula de masa m=2 kg se mueve a lo largo del eje X, est sometida a una fuerza que vara con la posicin x tal como se muestra en la figura. Si la velocidad inicial cuando pasa por el origen x=0 es de 3 m/s. Calcular su velocidad cuando pasa por la posicin x=8 m. Rpta: m/s 23fv =

6. Una esferita de masa m se deja en libertad en la posicin A. Hallar la distancia d, si el coeficiente de rozamiento cintico entre B y C es 0,5. La tubera es lisa. Rpta: d= 2 m

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TRABAJO Y ENERGA.

7. Un pndulo formado por una esferita de peso 8 N y una cuerda de longitud L de peso despreciable, se abandona cuando el hilo forma un ngulo de 60 con la vertical. El clavo colocado horizontalmente en A obliga al pndulo a desviarse, como muestra la figura, determinar la tensin en la cuerda cuando forma nuevamente 60 con la vertical Rpta:T=12 N

8. La figura muestra un resorte de constante de elasticidad k=81 N/m y est unido en A a un collarn de masa m = 0,75 kg el cual se mueve libremente a lo largo de una varilla horizontal. La longitud natural del resorte es 1,0 m . Si el collarn se deja en libertad desde el reposo en la posicin mostrada en la figura, determinar la velocidad que alcanza el collar en la posicin B. Rpta: v= 9 m/s

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TRABAJO Y ENERGA.

9.Un bloque parte de A sin velocidad inicial y se desliza por el camino mostrado en la figura (R=1 m). Hasta qu altura (B) sube el bloque, si slo hay rozamiento en la parte plana. El coeficiente de rozamiento cintico es 0,4 . Rpta: h=0,2 m

10.Un canal se compone de dos cuadrantes con centros y respectivamente de radios de curvatura iguales a R. Se abandona una esferita en la posicin A a una altura h = R/5 de la horizontal que pasa por el punto de inflexin de la trayectoria curvilnea. Despreciando todo tipo de rozamiento, determinar en qu posicin del segundo tramo, definido por el ngulo , la esferita abandona la superficie. Rpta:

1O 2O

37 =

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40