02 Estática Física l UCT

UNIVERSIDAD CATLICA DE TRUJILLO

BENEDICTO XVI

Autor: Lic. Fs. Anbal Ascate Prez Trujillo - 2014

1

ESTTICA: Es la parte de la mecnica que estudia los cuerpos que se encuentran en equilibrio. Cuando un cuerpo influye o acta sobre otro, puede modificar su estado mecnico y lo ms importante es notar que la accin es mutua y a esta accin mutua se llama interaccin. Para conocer en qu medida la accin de un cuerpo modifica el estado mecnico de otro, debemos conocer con qu intensidad interactan, para eso hacemos uso de una magnitud vectorial llamada FUERZA, cuya unidad de medida en el S.I. es el Newton(N) Cuando suspendemos un cuerpo, golpeamos un clavo, estiramos o comprimimos un resorte, decimos que estamos interaccionando; la interaccin es pues jalar o empujar los dems cuerpos. Tambin existen las fuerzas de accin a distancia, como la fuerza de atraccin gravitatoria.

ESTTICA

Lic. Fs. Anbal Ascate Prez 2

FUERZA: Es la medida de interaccin que se manifiesta entre los cuerpos. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD DE LAS FUERZAS: Establece que el efecto mecnico de una fuerza no vara si la fuerza se traslada a cualquier punto de su lnea de accin, conservando su mdulo y su sentido. El efecto mecnico de las fuerzas y es el mismo an cuando se cambie su punto de aplicacin de A a O por ejemplo. La resultante de las fuerzas es:

ESTTICA


1F

2F

1 2F F F= +

1F

2F

O A

COMPOSICIN DE FUERZAS CONCURRENTES: La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes(vectores concurrentes) es una nica fuerza que pasa por el punto de concurrencia de las lneas de accin de las fuerzas que componen el sistema.

EJERCICIO DE APLICACIN N1 Determinar el mdulo y la direccin de la resultante de las tres fuerzas que actan sobre el paraleleppedo de la figura de la derecha, sabiendo que los mdulos de dichas fuerzas son: Rpta: ; La fuerza resultante se encuentra en el plano YZ, a 37 del eje Y y a 53 del eje Z

ESTTICA


Y

Z

2F

1F

3F

O

A

BC

F

1 14F N= 2 2F N= 3 5F N= (1;2;3)y A

5F N=

LEYES DE NEWTON Primera Ley de Newton(Ley de la Inercia): Un cuerpo de masa constante permanece en estado de reposo o de movimiento rectilineo uniforme, a menos que sobre ella acte una fuerza

ESTTICA


Segunda Ley de Newton: Esta ley explica qu ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qu ser constante) acta una fuerza neta: la fuerza modificar el estado de movimiento, cambiando la velocidad en mdulo o direccin. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la direccin de esta; las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relacin entre la causa y el efecto, la fuerza y la aceleracin estn relacionadas. Dicho sintticamente, la fuerza se define simplemente en funcin del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas sern iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto.

ESTTICA


Tercera Ley de Newton La tercera ley de Newton establece lo siguiente: Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto ejerce una fuerza de igual magnitud y direccin opuesta sobre el primero. Con frecuencia se enuncia como "A cada accin siempre se opone una reaccin igual". En cualquier interaccin hay un par de fuerzas de accin y reaccin, cuya magnitud es igual y sus direcciones son opuestas. Otra forma de verlo es la siguiente: Si dos objetos interactan, la fuerza F12, ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2, es igual en magnitud y opuesta en direccin a la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1:

ESTTICA


Fuerzas Internas: Son aquellas fuerzas de origen electromagntico que se manifiesta en el interior de los cuerpos flexibles y rgidos, cuando estos son sometidos a la accin de fuerzas externas que tratan de deformarlo por alargamiento o estiramiento y por aplastamiento o compresin 1. Tensin (T): Es aquella fuerza generada internamente en un cuerpo (cable, sogas, barras) cuando tratamos de estirarlas. Para graficar la tensin previamente se hace un corte imaginario. La tensin se caracteriza por apuntar al punto de corte. Si el peso de la cuerda es despreciable, la tensin tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpo.

ESTTICA


2. Compresin: Es aquella fuerza interna que se opone a la deformacin por aplastamiento de los cuerpos rgidos. Para graficar la compresin se realiza previamente un corte imaginario. Se caracteriza por alejarse del punto de corte. Si el peso del cuerpo rgido es despreciable, la compresin es colineal con el cuerpo y tiene el mismo valor en todos los puntos. La compresin C se opone a la fuerza deformadora F. 3. Fuerza elstica: Es aquella fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos elsticos o deformables, tales como los resortes. La fuerza elstica se opone a la deformacin longitudinal, por compresin o alargamiento, haciendo que el resorte recupere su dimensin original.

ESTTICA


LEY DE HOOKE: La fuerza generada en el resorte es directamente proporcional a la deformacin longitudinal es la constante de elasticidad del resorte, se mide en N/m es la deformacin longitudinal, se mide en (m) Fuerza elstica como tensin Fuerza elstica como compresin

ESTTICA


F kx=k

x

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL): Consiste en aislar un cuerpo , y graficar sobre l , primero su peso, y luego todas las fuerzas externas que actan sobre l(tensiones, compresiones, reacciones, etc) ; se debe tomar en cuenta lo siguiente: Representar el peso siempre en forma vertical y hacia abajo, donde su punto de aplicacin ser el centro geomtrico del cuerpo(si su masa es homognea) 2. Las fuerzas internas para ser graficadas se deben separar los cuerpos en contacto o tambin realizar un corte imaginario sobre el cuerpo en estudio, esto debe obligatoriamente realizarse caso tensin compresin. 3.A lo largo de una misma cuerda existe una misma tensin 4. En todo contacto entre superficies slidas representar la fuerza mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando siempre al cuerpo(N o R) 5. Las fuerzas externas sern graficadas necesariamente al analizar un sistema(no se grafican fuerzas internas) y pueden prolongarse sus lneas de accin respectivas. 6. Si hubiera rozamiento se representa a la fuerza de roce mediante un vector tangente a las superficies en contacto y oponindose al movimiento o posible movimiento

ESTTICA


ESTTICA


PRIMERA CONDICIN DE EQUILIBRIO (EQUILIBRIO TRASLACIONAL)

Cuando un cuerpo se encuentra en reposo o movindose con velocidad constante, es decir sin aceleracin, decimos que est en un estado mecnico llamado equilibrio de traslacin.

ESTTICA


ESTTICA


EJERCICIO DE APLICACIN N 2 1. En el sistema mostrado hallar la tensin en la cuerda y la reaccin normal del plano inclinado liso, si el bloque pesa 10 N Existe equilibrio. Rpta : , 2. Si el sistema libre de friccin se encuentra en equilibrio, determinar la deformacin del resorte, si las esferas pesan y . Sol: Rpta: x=10 cm

ESTTICA


5 3R N=5T N=

20 3 N 60N

FRICCIN La figura (1) muestra un bloque de peso W sobre una superficie plana y horizontal y rugosa, al cual se le aplica una fuerza externa F variable desde cero hasta un valor mximo cuando el bloque se encuentra en movimiento inminente(pronto a moverse). Cuando realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque, la fuerza de reaccin R ya no es perpendicular a la superficie en Contacto como ocurra en las superficies lisas o ideales sino que esta fuerza es oblcua respecto al plano en Contacto. Al ngulo de desviacin que experimenta la reaccin R respecto a la normal o perpendicular al plano, se le Llama ngulo de rozamiento. A medida que la fuerza externa aumenta su valor, el ngulo tambin incrementa su valor , siendo mximo cuando el bloque est a punto de moverse.

ESTTICA


Respecto a la figura(2) la fuerza de reaccin R que ofrece la superficie sobre el bloque, se puede descomponer en funcin de dos fuerzas mutuamente perpendiculares, una fuerza perpendicular a la superficie de contacto llamada Reaccin Normal denotado con al letra N y la otra componente tangencial a la superficie en contacto llamada Fuerza de Rozamiento. Por consiguiente la fuerza de rozamiento es una componente de la reaccin R tangente a la superficie en contacto. La fuerza de rozamiento por deslizamiento se debe a la interaccin entre las molculas de los dos cuerpos en contacto. Coeficiente de rozamiento : Es aquella magnitud adimensional que se define como la tangente trigonomtrica del ngulo mximo de rozamiento. De la figura 2 se tiene : . (1)

ESTTICA


( )

rftgN

= =

LEYES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO

ESTTICA


ESTTICA


EJERCICIO DE APLICACIN N 3 1.Cul es la fuerza mnima F necesaria para mover la masa m ,siendo el coeficiente de rozamiento esttico entre el piso y el bloque en cada uno de los casos siguientes? Rpta: a) b) c) 2.Cul es el valor mnimo de F para sostener el bloque de masa m sobre una pared vertical , como se muestra en la figura , es el coeficiente de friccin esttico entre la pared y el bloque ? Rpta:

ESTTICA


F mg=cos

mgF

sen

=+

cos

mgF

sen

=

mg

F

=

TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA INTRODUCCIN Siempre que abres una puerta o un grifo, o que ajustes una tuerca con una llave, ejercers una fuerza de giro que produce un torque. El torque no es lo mismo que la fuerza, si quieres que un objeto se desplace le aplicas una fuerza, la fuerza tiende a acelerar a los objetos. Si quieres que un objeto gire o d vueltas le aplicas un torque.

ESTTICA


El torque o momento de una fuerza es una magnitud vectorial , donde su mdulo indica la medida del efecto de giro que produce una fuerza a un cuerpo alrededor de un punto arbitrario denominado centro de momentos o centro de giro. La direccin del vector momento es perpendicular al plano formado por el centro de giro y la lnea de accin de la fuerza y su sentido se determina por la regla de la mano derecha. Vectorialmente el torque se expresa por: En la figura O es el origen del torque y por all pasa el eje de rotacin; es el vector de posicin del punto de aplicacin de .El mdulo del momento de la fuerza es:

ESTTICA


r

F

o oM r F rFsen u = = =

o rFsen rsen F dF = = =

donde es la distancia perpendicular entre el eje de rotacin(que pasa por O) y la lnea de accin de la fuerza y se llama brazo de palanca o brazo de momento, de esta manera: La magnitud del torque o momento de una fuerza con respecto a un punto arbitrario es igual al producto de la magnitud de la fuerza por su brazo de palanca. Muchas veces la direccin de rotacin, puede ser representada por un signo, considerando la rotacin en una direccin cualquiera como positiva y la contraria a sta como negativa. Entonces consideraremos que se puede escribir el mdulo del momento de la fuerza de manera general como: De donde un resultado indicar que la fuerza trata de hacer girar al cuerpo alrededor del centro de giro en sentido antihorario, mientras que si indicar que el cuerpo tiende a rotar en sentido horario. Esta introduccin de signos en la rotacin es puramente convencional.

ESTTICA


F

o dF =

o dF = +

o dF =

EJERCICIOS DE APLICACIN N 4

ESTTICA


MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO ARBITRARIO El vector que va del punto respecto al cual hay que determinar el momento(llammoslo punto B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza (llammosle punto A) se puede expresar en funcin de los vectores unitarios , , y de las coordenadas y de los puntos A y B, respectivamente. As pues, segn la figura: Luego el torque de la fuerza respecto a B viene dado por:

ESTTICA


r

F

i j k ( ), ,zA A Ax y ( ), ,zB B Bx y

( ) ( ) ( )/ z zA B A B A B A B A Br r r r x x i y y j k= = = + +

/B B A BM r F r F= = =

EJERCICIO DE APLICACIN N 5

ESTTICA


TORQUE DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE Consideremos en el espacio una fuerza , un punto O un eje arbitrario L que pasa por O. En la seccin anterior se defini el torque de respecto al punto O:

El torque de con respecto al eje L, que designaremos por o por

ESTTICA


F

o oM r F= =

PrL oy =

( ) ( ) ( ) Prx y z

L

x y z

oy r F r F x y z

F F F

= = = = =


ESTTICA


Given: A force is applied to the tool to open a gas valve. Find: The magnitude of the moment of this force about the z axis

EL TEOREMA DE VARIGNON

Sean , , , . fuerzas concurrentes que tienen como punto de aplicacin comn el punto A y sea su resultante Todas las fuerzas incluyendo su resultante, tienen el mismo vector de posicin . Sea el torque de la resultante. Luego Resultado que se conoce como el Teorema de Varignon cuyo enunciado es: Con respecto al mismo punto, el torque de la fuerza resultante es igual a la suma de los torques de las fuerzas componentes

ESTTICA


1F

2F

3F

1 2 3F F F F= + + +

r

r F =

( )1 2 31 3

1 2 3

r F F F

r F r F r F

= + + +

= + + +

= + + +

EJERCICIO DE APLICACIN N 7 1.Dadas las fuerzas N , N, N concurrentes y aplicadas en el punto (5;-4;6) a) Hallar el mdulo y la direccin de la resultante b) Hallar el torque con respecto al origen de cada una de las fuerzas dadas c) Verificar que el torque de la fuerza resultante es igual a la suma de los torques de las fuerzas componentes. d) Demostrar que el torque de la resultante es perpendicular a la resultante RPTA: a)F= 9 N , la direccin , , b)

ESTTICA


1 14 2F i j=

26F i=

3 4 8F i j k= +

63,61 = 96,38 = 152,73 =

( )( )( )

1

2

3

12;84;46

0; 36; 24

26;16; 11

=

=

=

MOMENT OF A COUPLE

ESTTICA


The reason we use Force Couples to analyze Moments is that the location of the axis the Moment is calculated about does not matter

The Moment of a Couple is constant over the entire body it is acting on

Equivalent couples two couples that produce the same magnitude and direction (example).

The point of action of a Couple does not matter The plane that the Couple is acting in does not matter All that matters is the orientation of the plane the Couple is

acting in Therefore, a Force Couple is said to be a Free Vector and

can be applied at any point on the body it is acting

ESTTICA



ESTTICA


FUERZAS COPLANARES Si las fuerzas coplanares , , , se encuentran en el plano XY, su resultante se halla tambin en el mismo plano. En tanto que los torques individuales o el torque resultante respecto al origen de coordenadas (O) apuntan en la direccin del eje Z positivo o negativo. En este caso es siempre posible reducir el sistema de fuerzas a una sola fuerza; su resultante ; ya que es perpendicular a , se puede ubicar a a una distancia r de O de modo que se cumple : Si , , se muestra que: Como , y son conocidos, la ecuacin es la correspondiente a una recta(ecuacin de la lnea de accin de la fuerza resultante), y por tanto, la resultante no tiene un nico punto de aplicacin, en su lugar se tiene una lnea de aplicacin

ESTTICA


1F

2F

3F

nF

F

r F =

r xi yj= +

x yF F i F j= +

y xxF yF =

xF yF

EJERCICIO DE APLICACIN N9 1. Dadas las fuerzas , y cuyos mdulos son respectivamente: , y , cuyos puntos de aplicacin y direcciones se indican en la figura. Se pide determinar a)La fuerza resultante b)El torque resultante c)El punto de aplicacin o la ecuacin de la lnea de accin de la fuerza resultante Rpta:a) b) c)

ESTTICA


8 2 N 20 N

21N

( )3;4F =

31k = 4 3 31x y =

COMPOSICIN DE FUERZAS PARALELAS

Consideremos un sistema de fuerzas paralelas al vector unitario , esto es: , , , su resultante es: Esta fuerza es tambin paralela a las fuerzas dadas.

ESTTICA


F

cr

u

u

1 1F Fu=

2 2F F u=

3 3F F u=

( )1 2 3 iF u F F F u F= + + = ( )1

El vector suma de torques respecto al origen de coordenadas es:

Para determinar el punto de aplicacin de la fuerza usamos la condicin: donde es el vector que va desde el origen de coordenadas al punto de aplicacin de y se llama centro de las fuerzas paralelas. Sustituyendo (1) y (2) en (3), tenemos: Esta igualdad se verificar si tiene la siguiente expresin: O escrita en componentes rectangulares:

ESTTICA


( )( )

1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

i i

r F r F r F

r Fu r F u r F u

r F r F r F u

r F u

= + + = + + = + +

= + +

=

cr F =

cr

F

( )2

( )3

( ) ( ) c i i ir F u r F u = cr i i

ci

r Fr

F=

i ic

i

x Fx

F=

i ic

i

y Fy

F=

i ic

i

z Fz

F=

EJERCICIO DE APLICACIN N 10 1. Dadas las fuerzas paralelas coplanares , , de la figura, hallar: a)La fuerza resultante b)El torque resultante c)La ubicacin del punto de aplicacin de Rpta: a) b) c)

ESTTICA


1F

2F

3F

( )F

( )

F

40F jN=

380 .k N m =

192c

x m=

154c

y m=

CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA En trminos generales, un cuerpo est constitudo por un gran nmero de partculas, cada una de las cuales es atrada por la fuerza de gravedad terrestre. Esta fuerza de gravedad es el peso del cuerpo(W = mg). La resultante de estas fuerzas paralelas es el peso del cuerpo y el centro de dichas fuerzas paralelas es el centro de gravedad o punto de aplicacin del peso del cuerpo. Las coordenadas del centro de gravedad(CG) del sistema de partculas que conforman el cuerpo se obtienen con las siguientes ecuaciones:

El centro de masa (CM) de un cuerpo es el punto donde se supone Concentrada toda su masa. El CG coincide con el CM si se considera constante. Para hallar el centro de masa, hacemos uso de las ecuaciones (1) en las cuales reemplazamos obteniendo:

ESTTICA


iW W=

i ic

z Wz

W= i ic

xWx

W= i ic

y Wy

W=

g

( )1

i iW m g=

Considerando que la masa es continua en lugar de las partculas discretas que constituyen un cuerpo, podemos suponer que los elementos constituyentes son pequeas porciones de materia o diferenciales de masa. En tal caso la masa total es: PPor tanto las coordenadas del CM se obtendrn con las siguientes frmulas:

ESTTICA


i ic

x mx

m= i ic

y my

m= i ic

z mz

m=

m dm=

c

zdmz

m=

c

xdmx

m= c

ydmy

m=

ESTTICA



ESTTICA


1Solucin

ESTTICA


CENTRO DE FUERZAS DISTRIBUDAS PARALELAS

ESTTICA


ESTTICA


SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO (EQUILIBRIO ROTACIONAL)

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio , se cumple que la suma de los momentos de las fuerzas que actan sobre l, con respecto a un mismo punto, es cero

ESTTICA


EQUILIBRIO MECNICO Se dice que un objeto est en equilibrio si y slo si no hay fuerza resultante, ni momento de torsin resultante. EQUILIBRIO TRASLACIONAL EQUILIBRIO ROTACIONAL

ESTTICA


0xF =

0yF =

0zF =

0 =

EJERCICIOS DE APLICACIN N 13

ESTTICA


2. Una placa rectangular uniforme est suspendida horizontalmente por medio de tres cables como se muestra en la figura. Cules son las tensiones de los cables, si el peso de la placa es de 400 libras? de

ESTTICA


ESTTICA


Nmero de diapositiva 1ESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICAESTTICA

02 Estática Física l UCT

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