(Semana 09 dinámica fisica i unac 2009 b)

DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA/ FÍSICA I

Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931 Página 1

DINÁMICA RECTILÍNEA

SEMANA 08 1. CONCEPTO: Llámese Dinámica a la parte de la Mecánica que estudia las leyes del

movimiento de los cuerpos materiales sometidos a la acción de fuerzas. El movimiento de cuerpos fue estudiado en la Cinemática desde el punto de vista puramente geométrico. En la Dinámica, a diferencia de la Cinemática, durante el estudio del movimiento de los cuerpos se tienen en cuenta las fuerzas efectivas, así como la inercia (masa) de los propios cuerpos materiales. La noción de fuerza como una magnitud que caracteriza la medida de la interacción mecánica de cuerpos materiales fue introducida en la Estática. Pero en la Estática consideramos que todas las fuerzas son constantes y no tocamos el problema de las posibles variaciones de estas fuerzas en función del tiempo. Sin embargo a demás de las fuerzas constantes, actúan generalmente fuerzas variables, cuyos módulos y direcciones varían durante el movimiento del cuerpo. La experiencia muestra que las fuerzas variables pueden depender de un modo determinado del tiempo, de la posición del cuerpo y de su velocidad. La fuerza en un resorte depende de la posición del cuerpo; la fuera de resistencia del agua o del aire depende de la velocidad del cuerpo en el medio.

2. FUERZA Y MOVIMIENTO . Según el pensamiento Aristotélico, se supo que los cuerpos se movían gracias a la existencia permanente de una fuerza en la dirección del movimiento. Así, un borrador que se impulsa sobre una mesa se detiene inmediatamente después que dejamos de empujarlo. De acuerdo con Galileo, los cuerpos impulsados como el del ejemplo anterior se detienen como consecuencia de recibir una fuerza de rozamiento por parte del piso, de manera que en un piso liso y horizontal el borrador nunca se detendría, y ello se debe a que posee INERCIA.

3. SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL: Se denomina de este modo al sistema de referencia que se encuentra fijo a la Tierra (reposo relativo) o se mueve con velocidad constante en linea recta respecto a otro sistema de referencia fijo a la Tierra. El principio de relatividad de Einstein, dice: “la expresión matemática de cualquier ley física debe tener la misma forma en todos los sistemas inerciales de referencia”.

4. SEGUNDA LEY DE NEWTON O LEY DE ACELERACIÓN . Sir Isaac Newton descubrió que un cuerpo sometido a una fuerza resultante F no nula presenta siempre una velocidad variable; esto es, el cuerpo experimenta una aceleración. Sus observaciones y experimentos le permitieron establecer la siguiente ley: “Toda fuerza resultante desequilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce una aceleración que será de la misma dirección y sentido que aquella, y su valor será directamente proporcional con la fuerza, pero inversamente proporcional con su masa”. “Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo, originará en él una aceleración en su

F

a

m

X

Y

SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL



misma dirección”. La rapidez con que varia la cantidad de movimiento [[[[ ]]]]� �

p m.v==== de un punto material es igual a

la fuerza ��

F que actúa sobre él.

La expresión matemática de la segunda ley de Newton, tiene la forma: �

�� d pF

d t==== reemplazando tenemos que: (((( ))))

�� dF m.v

d t==== considerando que la masa del punto

material es constante se obtiene la ecuación: (((( ))))�� dF m. v m.a

d t= == == == =

Las componentes de la aceleración en coordenadas cartesianas son:

xx

Fa

m==== ,

yy

Fa

m==== , z

z

Fa

m====

La ley de la aceleración se expresa de la siguiente manera:

�

� RESULTANTEFa

m====

”Si la fuerza resultante diferente de cero actúa sobre un cuerpo, entonces este acelera necesariamente. La aceleración que adquiere es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Además la fuerza resultante y la aceleración tienen la misma dirección”.

5. FUERZA DE GRAVEDAD (((( ))))W : En una magnitud física vectorial. Se define como la

fuerza resultante que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que lo rodean. Se representa por un vector vertical hacia abajo que indica en todo instante al centro de la Tierra. Analizando el movimiento de caída libre, la fuerza resultante es la “fuerza de gravedad” (W) sobre el cuerpo y la aceleración (a = g) es igual a la “aceleración de la gravedad”.

F m.a W m.g==== ⇒⇒⇒⇒ ==== La fuerza se mide en newton. Un newton es la fuerza resultante que actuando sobre un cuerpo de un kilogramo le produce aceleración de módulo de 1,0 m/s2. Equivalencia:

21 0 1 0, newton , kg.m.s−−−−====

6. INERCIA. Caracteriza

la propiedad de los cuerpos materiales de cambiar más rápido o más lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas

aplicadas. Si, por ejemplo, bajo la acción de fuerzas iguales la velocidad del primer cuerpo varía más lentamente que la del segundo, se dice que el primer cuerpo es más inerte que el segundo y viceversa. La Inercia es una propiedad intrínseca de la materia. Existen inercia mecánica,

F1= 40 N 3 kg 2 kg F2 = 100 N

a

B

a

Para el ejemplo 01.1

A

F1= 40 N 3 kg 2 kg

A

F2 = 100 N T

B

a a

T




inercia eléctrica, inercia magnética, inercia biológica, etc. EJEMPLO 01: Se muestra dos bloques A y B de masas 3 kg y 2 kg. Sabiendo que no existe rozamiento. Determinar el módulo de la aceleración de los bloques y de la tensión en la cuerda. Resolución Realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque y luego aplicamos la segunda ley de

Newton a cada cuerpo: RESULTANTEF M .a====� �

Cuerpo A: (((( )))) (((( ))))40 2T . a− =− =− =− = …. (1)

Cuerpo B: (((( )))) (((( ))))100 3T . a− =− =− =− = …. (2)

Adicionando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: (((( )))) (((( ))))100 40 5 . a− =− =− =− =

Resolviendo la ecuación: a = 12 m/s2

Reemplazando en (1) tenemos: (((( )))) (((( ))))40 2 12T .− =− =− =− =

Resolviendo la ecuación: T = 64 N Respuesta: el módulo de la aceleración de los bloques es 12 m/s2 y de la tensión es 64 N. EJEMPLO 02: Un bloque se encuentra sobre un plano inclinado perfectamente liso. Determine el módulo de la aceleración del bloque sobre el plano inclinado. (g: módulo de la aceleración de la gravedad) Resolución Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. No hay movimiento en el eje Y, mientras que el bloque acelera en el eje X. Entonces aplicamos la segunda ley de Newton en el eje X.

0��

yF ====∑∑∑∑

N m.g.Cosθ====

y ��

x xF m.a====∑∑∑∑xm.g.Sen m.aθ ====

xa g.Senθ==== Respuesta: el módulo de la aceleración sobre el plano es g.Senθ

7. MÉTODO DE ATWOOD PARA DETERMINAR LA ACELERACIÓN Teniendo en cuenta que las fuerzas internas en un cuerpo rígido no producen aceleración, entonces podemos determinar el módulo de la aceleración de un conjunto de cuerpos que tienen

a

x

y

N

m.g

mg.Cosθ

mg.Senθ

θ

θ


θ Para el ejemplo 02.1



común el módulo de la aceleración. Pasos a seguir: (1) Se hace el diagrama del cuerpo libre de u sistema de cuerpos. (2) Se grafican solamente fuerzas externas al sistema. No se grafican las fuerzas internas al sistema. (3) Todos cuerpos involucrados deben ten el mismo modulo de aceleración. (4) La fuerza resultante se obtiene de la diferencia, fuerzas a favor del movimiento menos las fuerzas en contra del movimiento. (5) En el denominador siempre se coloca la masa total del sistema, es decir se coloca siempre la suma de masas de los cuerpos en movimiento.

fuerzasen favor del mov. fuerzasencontradel mov.a

masas

−−−−==== ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

∑∑∑∑

George Atwood, ingeniero británico que debido a su experiencia docente, estableció ciertas reglas prácticas para determinar el módulo de la aceleración de un conjunto de cuerpos que se encuentran en movimiento. EJEMPLO 03: Se muestra dos bloques A y B de masas 3 kg y 2 kg. Sabiendo que no existe rozamiento. Determinar el módulo de la aceleración de los bloques. Resolución Aplicamos el método de George Atwood, para determinar el módulo de la aceleración:

1 2

A B

F Fa

m m

−−−−====++++

Reemplazando tenemos:

2100 40 6012

2 3 5

N N Na m.s

kg kg kg−−−−−−−−= = == = == = == = =

++++ Respuesta: el módulo de la aceleración de los bloques es 12 m/s2. 8. SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL ( S 2 ).

Es aquel sistema de referencia (S2) con movimiento acelerado o desacelerado respecto a otro (respecto de la Tierra S1). El sistema de referencia no inercial puede tener aceleración tangencial y/o aceleración centrípeta. Solamente para observadores no inerciales aparecen las fuerzas de inercia, como por ejemplo la “fuerza centrifuga”

F2 = 40 N F1 = 100 N

a a

A B

3 kg 2 kg

Para el ejemplo 03

X

Y

S1 θ

S2

a

SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL



que el opuesto de la fuerza centrípeta.

9. PRINCIPIO D’ ALEMBERT Y LA FUERZA DE INERCIA. Para el observador S2 (no inercial) la esfera suspendida en el techo del vagón se encuentra en reposo relativo. Por consiguiente la fuerza resultante es NULA. El método de D’ Alembert consiste en agregar una fuerza de INERCIA para producir el equilibrio relativo. Convencionalmente la fuerza de inercia tiene dirección contraria (opuesto) de la aceleración del sistema.

INERCIAF m.a= −= −= −= −� �

Para el observador S2 (no inercial) se cumplen todas las leyes, principios y propiedades de la Estática, es decir del equilibrio de los cuerpos.

10. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Y GRAVEDAD EFECTIVA. En el interior del sistema acelerado se genera una gravedad local cuya intensidad se denomina gravedad efectiva. La intensidad del campo local se obtiene adicionando la gravedad que genera la Tierra g

�más la

aceleración del sistema pero con dirección opuesta (((( ))))a−−−− � . Expresión vectorial para la gravedad efectiva:

(((( ))))efectivag g a= + −= + −= + −= + −� � �

Aplicado el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de aceleraciones: Módulo de la gravedad efectiva:

2 2efectivag g a= += += += +

El principio de equivalencia es una continuidad del principio de D’Alembert (fuerza de inercia). La fuerza de inercia fue propuesto por los físicos franceses D’Alembert y Lagrange (1850) y el Principio de Equivalencia fue desarrollado por Albert Einstein (1915) como una proposición que constituye la base del Principio General de la Relatividad.

11. EL PESO ES RELATIVO: Un hombre de masa m se encuentra parado sobre una balanza en el interior de un ascensor en movimiento. (1) Si el ascensor sube o baja con velocidad constante, la lectura en la balanza es: P = m.g. (2) Si el ascensor sube con aceleración constante a (acelerado), la lectura en la balanza es: P = m(g + a)

T

FINERCIA = m.a

M.g

θ

θ

T

M.g

FINERCIA

FUERZA DE INERCIA

X

Y

θ

S2 a

g gefec

θ

gefec a

GRAVEDAD EFECTIVA O LOCAL



(3) Si el ascensor baja con aceleración constante a (acelerado), la lectura en la balanza es: P = m(g - a) (4) Si el ascensor baja con aceleración constante a = g (acelerado), la lectura en la balanza es: P = 0. La lectura en la balanza en nula.

12. Fuerza de Rozamiento: Cuando un cuerpo se pone en contacto con otro y se desliza o intenta resbalar respecto a él, se generan fuerzas de oposición a estos movimientos, a los que llamamos fuerzas de fricción o de rozamiento. La naturaleza de estas fuerzas es electromagnética y se generan por el hecho de que las superficies en contacto tienen irregularidades (deformaciones), las mismas que al ponerse en contacto y pretender deslizar producen fuerzas predominantemente repulsivas. La fuerza de rozamiento es una componente de la resultante de estas fuerzas, su línea de acción es paralela a las superficies, y su sentido es opuesto al del movimiento relativo de los cuerpos. Debido a su compleja naturaleza, el cálculo de la fuerza de rozamiento es hasta cierto punto empírico. Sin embargo, cuando los cuerpos son sólidos, las superficies en contacto son planas y secas, se puede comprobar que estas fuerzas dependen básicamente de la fuerza de reacción Normal (N), y son aproximadamente independientes del área de contacto y de velocidad relativa del deslizamiento.

13. Fuerza de Rozamiento Estático (fS): Este tipo de fuerza aparece cuando los cuerpos en contacto no deslizan. Su valor máximo se presenta cuando el deslizamiento es inminente, y el mínimo cuando la intención de movimiento es nula:

(((( )))) (((( ))))0 s ss max s maxf f f .Nµ≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ⇒⇒⇒⇒ ====

14. Fuerza de Rozamiento Cinético (fk): Estas fuerzas se presentan cuando las superficies en

contacto se deslizan una respecto a la otra. Su valor es prácticamente constante, y vienen dados

así: k kf .Nµ====

µs : Coeficiente de rozamiento estático µk : Coeficiente de rozamiento cinético

15. Coeficiente de Fricción ( µµµµ ): el valor de “µ” representa de un modo indirecto el grado de aspereza o deformación común que presentan las superficies secas de dos cuerpos en contacto. Así mismo, “µ” depende de los materiales que forman las superficies.

k sµ µ<<<<

: cantidad a dimen sionalµ EJEMPLO 04: Se muestra un bloque de 5 kg sobre una superficie áspera donde el coeficiente de rozamiento cinético es 0,4. Si la fuerza

N

fk

Fexterna

W

FRICCIÓN

80 N 5 kg

a




horizontal constante que actúa sobre el bloque tiene módulo 80 N, determinar el módulo de la aceleración. (g = 10 m/s2) Resolución Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. No hay movimiento en el eje Y, 0yF ====∑∑∑∑ , mientras que el bloque acelera en el eje

X, x xF m.a====∑∑∑∑

Cálculo de la reacción Normal, en el eje vertical:

0yF N m.g==== ⇒⇒⇒⇒ ====∑∑∑∑ Cálculo de la fuerza de rozamiento: k kf .Nµ====

k kf .m.gµ⇒⇒⇒⇒ ====

(((( )))) (((( )))) (((( ))))0 4 5 10 20kf , . . N= == == == =

Entonces aplicamos la segunda ley de Newton en el eje horizontal:

x xF m.a====∑∑∑∑ k xF f m.a⇒⇒⇒⇒ − =− =− =− =

(((( )))) 280 20 5 12x x.a a m.s−−−−− =− =− =− = ⇒⇒⇒⇒ ====

Respuesta: el módulo de la aceleración es 12,0 m/s2.

16. MASA. Es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo. La masa es al mismo tiempo, una medida de las propiedades gravitacionales del cuerpo, porque según la ley de gravitación universal, dos cuerpos se atraen recíprocamente con fuerzas que son directamente proporcionales al producto de sus masas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre ellos. En Mecánica se considera que la masa[[[[ ]]]]m es una magnitud escalar

positiva y constante para cada cuerpo dado. La variación de la masa de un cuerpo se estudia en Física Moderna.

17. PUNTO MATERIAL. El movimiento de un cuerpo no solo depende de la masa y de las fuerzas aplicadas, sino también de las dimensiones del cuerpo y de la distribución de la masa en el cuerpo. Para evitar la distribución de la masa en un cuerpo, se introduce el concepto de punto material. Se llama punto material (un cuerpo que tiene masa), cuyas dimensiones pueden ser despreciadas durante el estudio de su movimiento. Por ejemplo se puede considerar como punto material a un planeta, durante el estudio de su movimiento alrededor del Sol. En el estudio del choque entre dos esferas, podremos reemplazar por su equivalente, el choque entre dos puntos materiales.

18. LEYES DE LA DINÁMICA. La Dinámica se basa en las leyes que generalizan los numerosos experimentos y observaciones sobre el movimiento de cuerpos y que son justificados por la amplia practica social e histórica de la humanidad. Por primera vez estas leyes fueron sistematizadas por el científico inglés Isaac Newton en su obra clásica “Principios matemáticos de la filosofía natural” editada en el año 1687.

19. La primera ley (ley de inercia) descubierta por el científico italiano Galileo Galilei (1638) dice: “ un punto material libre de toda influencia exterior, conserva su estado de reposo o de

80 N 5 kg

50 N

N

fk

a




movimiento rectilíneo y uniforme hasta que las fuerzas aplicadas a él lo obliguen a cambiar de estado” . El movimiento que realiza el punto material en ausencia de fuerzas se llama movimiento por inercia. La ley de la inercia refleja una de las propiedades esenciales de la materia: la de encontrarse siempre en movimiento; y establece para los cuerpos materiales la equivalencia entre los estados de reposo y de movimiento por inercia. De esta ley se deduce que si 0

��

RF ==== , el punto material está en reposo o se mueve con velocidad constante en modulo y dirección. En este

caso, la aceleración del punto material es nula 0��

a ==== . Si el movimiento del punto material no

es uniforme y rectilíneo, entonces sobre este actúa una fuerza resultante diferente de cero. El sistema de referencia, respecto de la cual la ley de inercia es válida, se llama sistema de referencia de inercia (sistema de referencia inmóvil, fija a la Tierra).

20. La segunda ley (ley fundamental de la Dinámica) establece como varia la velocidad del punto material bajo la acción de una fuerza resultante diferente de cero. Ella textualmente dice: “el producto de la masa del punto material por la aceleración que éste recibe bajo la acción de la fuerza resultante, es igual en módulo de esta fuerza resultante; la dirección de la aceleración coincide con la de la fuerza resultante” .

Matemáticamente esta ley se expresa por la igualdad vectorial: (((( ))))��

RF m .a====

La segunda ley de la dinámica, como la primera, se refiere solamente a un sistema de referencia de inercia. De esta ley se ve inmediatamente que la medida (cuantitativa) de la inercia de un punto material es su masa., porque bajo la acción de una misma fuerza dos puntos materiales diferentes reciben la misma aceleración solamente cuando sus masas son iguales; si las masas son diferentes, el punto de mayor masa recibe menos aceleración y viceversa.

21. La tercera ley (ley de la igualdad de la acción y reacción) establece el carácter de la interacción mecánica entre los cuerpos materiales. Esta ley, para los puntos materiales, formula los siguiente: “dos puntos materiales actúan uno sobre el otro con fuerza iguales en modulo y dirigidas a los largo de la recta que une estos puntos, en direcciones opuestas (sentidos

opuestos)”. 1 2

��

F F = −= −= −= −

Recordemos que las fuerzas de interacción entre puntos (o cuerpos) materiales están aplicadas a cuerpos diferentes. Si dos esferas que tienen la misma rapidez chocan frontalmente, después del choque el cuerpo de menor masa tendrá mayor rapidez y el de mayor masa tendrá menor rapidez, esta experiencia demuestra que las fuerzas de acción son fuerzas de igual valor pero actúan en cuerpos diferentes y en direcciones opuestas.

22. MASA VARIABLE CON EL TIEMPO. La masa de un cuerpo puede variar como resultado de que se separan o adhieran las partículas de ciertas sustancias. Un ejemplo de masa variable es un cohete espacial, el combustible disminuye con al transcurrir el tiempo. La expresión matemática de la segunda ley de La Dinámica , tiene la forma:

��

R

d pF

d t==== reemplazando tenemos que: (((( ))))

��

R

dF m.v

d t==== considerando que la masa del punto

material es variable con respecto del tiempo se obtiene la ecuación:

(((( ))))��

Rd d m

F m. v .vd t d t

= += += += +



(((( )))) (((( ))))1

��

R

d d mF m. v v v .

d t d t= + −= + −= + −= + −

��

RF : es la fuerza resultante de las fuerzas externas aplicadas al punto material (o cuerpo).

1

�v : es la velocidad de las partículas que se separan, entonces, 0≺

dm

dt

1

�v : es la velocidad de las partículas que se adhieren, entonces, 0≻

dm

dt

Analizando el segundo miembro de la ecuación, identificamos a la fuerza relativa que se define como:

(((( ))))1

��

rel

dm dmF v v u.

d t d t= − == − == − == − = donde, 1

� � �u v v= −= −= −= − es la velocidad relativa de las partículas que se

separan o se adhieren, o sea sus velocidades con respecto al sistema de referencia que se traslada junto al cuerpo.

23. RESULTANTE DE LA FUERZA EXTERNA NULA. Imaginemos un cohete lejos de la Tierra donde la fuerza resultante de todas las fuerzas externas es nula, entonces la ecuación tiene la siguiente forma:

(((( )))) (((( ))))10� � � �d d m

m. v v v .d t d t

= + −= + −= + −= + − despejando tenemos la siguiente ecuación: (((( ))))� �d dmm. v u.

d t dt= −= −= −= −

Si la velocidad relativa de salida de los gases es �u entonces el cohete se moverá en dirección

opuesta. Si la velocidad relativa

�u es constante, la relación entre la velocidad del cohete y su masa se

expresa por la fórmula: 0� � mv u.ln

m = −= −= −= −

donde 0m es la masa inicial del cohete ymla masa en el instante considerado.

La velocidad máxima que puede alcanzar un cohete en ausencia de las fuerzas externas es:

0

0

� �

P

mv u.Ln

m m

= −= −= −= − −−−−

donde Pm es la masa inicial del combustible.



PROBLEMAS PROPUESTOS DE DINÁMICA RECTILÍNEA

1. Un bloque de masa MA = 4 kg se encuentra encima de otro de masa MB = 5 kg. Se sabe que, manteniendo fijo MB, se necesita por lo menos una fuerza de módulo 12 N para mover a MA. considerando que entre MB y la mesa no hay fricción, determine el máximo módulo de la fuerza horizontal de F en N sobre MB para que ambos bloques se muevan juntos.

2. Cuando una misma fuerza se aplica a tres cuerpos diferentes adquieren aceleraciones de

módulos 2, 3 y 6 m/s2 respectivamente. Si los tres cuerpos de colocan juntos y se aplica la fuerza anterior, el modulo de la aceleración será:

3. Se aplican fuerzas iguales (módulo y dirección) y constantes sobre dos cuerpos de masas M y m, las que parten del reposo en el mismo instante. Cuando ha transcurrido en tiempo “t” la rapidez del bloque M es V; mientras cuando ha transcurrido el tiempo “2t” la rapidez del bloque “m” es 3V. Determine la relación entre las masas M/m.

4. Dos bloques de masas 2M y 3M que están unidos por una cuerda yacen sobre una mesa horizontal. La cuerda puede soportar sin romperse una tensión de 12 N. Sin considerar la fricción entre los cuerpos y la mesa, el modulo de la fuerza F máxima (en N) que puede aplicarse al bloque 3M para que la cuerda no se rompa es:

5. Una persona se encuentra en un ascensor parado sobre una balanza. Al comenzar a subir el

ascensor es acelerado y la balanza indica un peso P1. Después, sube a velocidad constante y la balanza indica un peso P2. Finalmente, es desacelerado y la balanza indica un peso P3. La

F 2M 3M

Para el problema 04

a A

B F

Para el problema 01

P1

V

Para el problema 05

1

2

24 m

g

Para el problema 07

3

4

Para el problema 08

g



relación entre las medidas de la balanza está dada por: A) P1 > P2 = P3 B) P1 = P2 > P3 C) P1 = P2 = P3 D) P1 > P2 > P3 E) P1< P2 < P3

6. Un bloque de masa 4 kg descansa sobre el piso de un ascensor que desciende con aceleración de módulo 3 m/s2, entonces el bloque presiona sobre el piso con una fuerza de módulo (en N): g = 10 m/s2

7. En la figura los bloques tiene las siguientes masas: m1 = 4 kg y m2 = 1 kg. Si el sistema empieza a moverse del reposo, ¿Cuál es el módulo de las velocidades (en m/s) cuando están al mismo nivel? g = 10 m/s2

8. Un bloque de dimensiones 0,4x 0,4m2 de base y 0,8 m de altura se coloca son plano inclinado rugoso, coeficientes de rozamiento estático y cinético 0,8 y 0,7 respectivamente, en estas condiciones el bloque tiende a: g = 10 m/s2 A) No se desliza pero se volcará. B) Ni se desliza ni se volcará. C) Deslizar con aceleración igual 5 m/s2 D) Deslizar con aceleración igual 4 m/s2 E) Deslizar con aceleración igual 3 m/s2

9. Una barra homogénea reposa sobre una superficie horizontal perfectamente lisa (sin fricción). Su centro de gravedad esta en G, como indica la figura. Si el cuerpo se inclina ligeramente cae al piso, ¿Dónde quedará su centro de gravedad G? A) En P B) Dependiendo de hacia qué lado se haya producido el impulso, en Q y S. C) En T D) En R E) Muy lejos de dichos puntos, pues no hay fricción.

10. Un bloque se desliza sin fricción desde el reposo hacia abajo sobre un plano inclinado que

hace un ángulo de 45° con la horizontal. Cuando se desliza sobre otro plano que tiene la misma inclinación que la anterior con coeficiente de fricción cinética µ, también partiendo del reposo, el tiempo empleado en recorrer la misma longitud es el doble. Determine el valor de µ.

11. La mínima fuerza horizontal necesaria para mover un cuerpo es 10 kg que descansa sobre una superficie horizontal es de módulo 40 N. Cuando esta fuerza se aplica al cuerpo este se mueve con una aceleración de módulo 0,4 m/s2. Los coeficientes de fricción estático y cinético son entonces, respectivamente: g = 10 m/s2

Para el problema 12

F

4

3

G

R Q P S T

g

Para el problema 09



12. Mediante una fuerza constante horizontal se lleva hacia arriba, con movimiento uniforme, un bloque de 5 kg sobre el plano inclinado mostrado en la figura. Si el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y el plano es 0,5, determinar el módulo de dicha fuerza (en N). g = 10 m/s2

13. En la figura el automóvil está jalando a los vagones con aceleración de módulo 4 m/s2. Determine el módulo de la tensión (en N) en cada cuerda. (considere que las llantas no resbalan sobre el piso).

14. El cuerpo mostrado en la figura acelera en la dirección mostrada con módulo a = 10 m/s2.

Luego el módulo de la fuerza F, adicional a la fuerza de gravedad, que actúa sobre el cuerpo hace un ángulo θ con la horizontal es igual a: (g = 10 m/s2 )

15. Un resorte, cuya longitud natural es de 10 cm, se cuelga del techo de un ascensor y en su

extremo libre coloca un bloque de 1 kg. Cuando el ascensor sube con aceleración de módulo 2 m/s2, la longitud total del resorte es de 15 cm. ¿Cuál será, en cm, la longitud total del resorte cuando un el ascensor baja con una aceleración de modulo 4 m/s2? g = 10 m/s2

16. Dos bloques A y B de masas 15 kg y 10 kg respectivamente, se desplazan a lo largo del plano inclinado como se muestra en la figura. La fuerza de rozamiento sobre el bloque A es constante de modulo 20 N y la fricción sobre el bloque B es nulo. Determine el modulo de la tensión de la cuerda que une a los bloques (en N). g = 10 m/s2

F

g

a

θ

53°

Para el problema 14

Horizontal

100 kg 150 kg AUTO

a

Para el problema 13

A

B

30°

Para el problema 16

g

1 kg

Para el problema 15



17. Se muestra dos bloques A = 2 kg y B = 3 kg en movimiento sobre la superficie plana horizontal lisa. Si el módulo de la fuerza es F = 120 N, determine el módulo de la tensión en la cuerda C.

18. Se muestra los bloques A = 2 kg y B = 3 kg en movimiento, sin rozamiento. Determine el modulo de la tensión en l acuerda que une los bloques. (g = 10 m/s2)

19. Se muestra un sistema de bloques en movimiento, libre de rozamiento. Determine el módulo de la aceleración del bloque de mayor masa (en m/s2). (g = 9,8 m/s2)

20. Se muestra dos bloques A = 1 kg y B = 4 kg en movimiento, sin rozamiento. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2)

21. Se muestra tres bloques en movimiento, sin rozamiento. Si A = 2 kg, B = 3 kg y C = 5 kg, determine el módulo de la tensión en la cuerda que une los bloquea B y C. (g = 10 m/s2)

22. Se muestra la esfera de masa “m” sobre un plano inclinado, en movimiento. Determine el valor de la mínima aceleración del carro, tal que, la esfera no caiga sobre el plano (en m/s2). (g = 10 m/s2)

A BC F

movimiento

B

A

m m

4m

g

B

A

B

A C



23. La figura muestra los bloques A = 1 kg y B = 2 kg en movimiento, sin rozamiento. Si el módulo de la fuerza es F = 18 N, determine el módulo de la aceleración del bloque B (en m/s2). Desprecie la masa de la polea móvil.

24. Se muestra dos bloques en movimiento, sin rozamiento. Si M = 1 kg, determine la tensión

en la cuerda que une a los bloques. (g = 10 m/s2)

25. La figura muestra una esfera de masa " m" y un carrito que se mueve con aceleración de módulo 4

�a .g==== y el dinamómetro D indica una lectura de valor 4.m.g. Si despreciamos la

masa del dinamómetro, determine la medida del ángulo θ�.

26. Sobre un cuerpo de masa 3M actúa una fuerza de modulo F1 produciendo una aceleración de 2 m/s2. Si la fuerza F2 actuando sobre la masa 2M produce una aceleración 4 m/s2. ¿Qué aceleración (en m/s2) producirá F1 y F2 actuando perpendicularmente sobre la masa 5M?

27. Determine el módulo de F (en newtons) sabiendo que la barra homogénea se encuentra de equilibrio, donde A = 4 kg y B = 1 kg. Desprecie el peso de la polea. (g = 10 m/s2)

28. Se muestra dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 20 kg. Determine el modulo de la aceleración de cada bloque (en m/s2).

a

37°

m

AB

F

30°2M

M

a

θ

D

m

5MF

1

F2

F

L L

A B



29. Usando una polea ingrávida, sobre una pista lisa, se jala un sistema de bloques de masas m1 = m y m2 = 3m. Determine el máximo valor de F tal que el bloque (1) no resbale sobre (2). Sabiendo que µ es el coeficiente de rozamiento entre los bloques.

30. Se muestra un carro de masa M. El bloque de masa M se encuentra en reposo respecto del carro. Determine la elongación que experimenta el resorte (en m), sabiendo que F = 40 N. La constante elástica del resorte es K = 100 N/m. No hay rozamiento.

31. Determine el módulo de la aceleración del bloque Q (en m/s2) tal que el hombre de encuentre cómodamente parado en posición horizontal. (g = 10 m/s2)

32. Se muestra un hombre de 88 kg en el interior de un ascensor de 32 kg. Determine el módulo de la reacción entre los zapatos del hombre y el piso del ascensor (en newtons). (g = 10 m/s2)

33. Se muestra dos bloques en movimiento. Si no hay rozamiento, determine el módulo de la aceleración. Sabiendo que la constante elástica en el resorte K = 100 N/m y m = 11 kg. (g = 10 m/s2).

53° 30°

(1)(2)

1 Fµ

2

Fk

M

Q

F

30°

100kg

4 m

m6m



34. Se muestra dos bloques tienen masas de módulos m1 = 1 kg y m2 = 1 kg. Si no hay rozamiento, determine el módulo de la tensión en la cuerda (en N). Desprecie la masa de la polea. (g = 10 m/s2)

35. Se muestra un carro de masa “3m” que se mueve horizontalmente sobre una superficie

que no ofrece fricción. Si m1 = 5m y m2 = 2m, determine el módulo de la fuerza de reacción entre el bloque de masa m1 y la pared interior del carro (en N). El módulo de la fuerza es F = 100 N.

36. Determine el módulo de la aceleración que experimenta el bloque en cada caso:

37. Del gráfico, determine el módulo de F; si el módulo de la fuerza de rozamiento es de 10 N.

38. Determine el módulo de la tensión que soporta la cuerda, si el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque de 8 kg es de 20 N. (No existe rozamiento para el bloque de 2 kg)

39. Determine el módulo de la fuerza de contacto entre los bloques mostrados. (Superficies lisas).

F

1 2

16N

4N

5kg

Liso

15N 7N

2kg

Liso

50N 5kg

Liso

30N 37°

Aspero

F6m/s23kg

8kg 2kg 80N

7 kg 3 kg

60 N

2

1



40. Determine el módulo de la tensión que soporta la cuerda.

41. Si el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque es de 10 N; determine el módulo de la tensión en la cuerda.

42. Una esfera de 5 kg se encuentra suspendida del techo de un ascensor que acelera hacia arriba con 8 m/s2. Determine el módulo de la tensión en la cuerda.

43. Un hombre de 78 kg se encuentra en el interior de un ascensor, parado sobre una báscula. Si el ascensor baja con aceleración de 5 m/s2, determine la lectura de la balanza.

44. Del gráfico determine el módulo de la aceleración de la plataforma si la esfera no se mueve respecto a la plataforma.

45. La gráfica muestra como varia el módulo de una fuerza horizontal aplicada a un bloque de 5 kg en función del tiempo; determine el módulo de F en el instante en que su aceleración es

7kg

3kg

2kg

8kg

8m/s2

5kg

5m/s278kg

m

θ



de +2 i (m/s); si el módulo de la fuerza de rozamiento es de 20 N.

46. Una fuerza horizontal a un bloque que se encuentra en reposo le produce una aceleración de y cuando se aplica la misa fuerza a otro bloque que se encuentra también en reposo le produce una aceleración de +3 i (m/s). ¿Cuál será el módulo de la aceleración que producirá la misma fuerza a un bloque cuya masa es igual a la suma de las masas de los dos bloques anteriores?

47. Si la aceleración del bloque de 6 kg es +3 i (m/s2); determine el módulo de F; si la fuerza que ejerce el viento sobre el bloque es de -9 i (N)

48. Si el bloque de 8 kg al ir de A hasta B tarda 5 segundos y el módulo de su velocidad se incrementa en 20 m/s; determine el módulo de si F es constante.

49. Un bloque de 5 kg se encuentra en reposo; si de pronto se le ejerce una fuerza horizontal; cuyo módulo varía con el tiempo según la gráfica; determine en que instante posee +3 i (m/s2).

50. Un bloque sometido a una fuerza resultante horizontal; experimenta una aceleración de +3 i (m/s2). ¿Cuál es la masa de dicho bloque, si se sabe que al aumentar el módulo de la fuerza resultante en un 40% y disminuir la masa en 2 kg; la aceleración es +7 i (m/s2)?

51. Una persona de 60 kg se encuentra de pie sobre una balanza que está en el interior de un

ascensor; determine la lectura de la balanza; cuando el ascensor asciende con 7 j (m/s2).

F(N)

t(s)

60

10

53°

F

Liso

A B

F F

µk= 0,4

V= 0

100

50 + (S)

F(N)



52. Si la esfera no se mueve respecto de la plataforma; determine θ, si todas las superficies son lisas. El sistema acelerara con 7,5 i (m/s2).

53. Si el bloque de 4 kg desliza hacia la derecha con +6 i (m/s2), determine el módulo de la

tensión que soporta la cuerda (1).

54. Determine el módulo de F; si el bloque de 2 kg no se mueve respecto a la cuña de 18 kg.

No hay rozamiento.

55. Si el bloque de 2,5 kg resbala sobre la superficie mostrada, determine el módulo de su aceleración.

Taller Número 5 Pregunta 1 Usando las leyes de movimiento de Newton , analice y JUSTIFIQUE la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Una deportista está practicando el lanzamiento de bala (esfera maciza de acero). Se afirma

que cuando la deportista realiza el lanzamiento, la fuerza que ella aplica a la bala es mayor que la fuerza que la bala hace sobre ella.

7,5m 2

θ

Polea Móvil

Liso

4kg

4kg

(1)

Liso

F

37°

25N

37° 0,3 0,25

µ



b) Una pequeña masita se deja caer por un plano inclinado. Cuando llega a la parte inferior entra a una superficie horizontal. En los dos tramos desprecie la fricción. Se afirma: cuando se mueve por el plano inclinado lo hace con rapidez constante y cuando se mueve por la superficie horizontal decrece su rapidez.

c) Dos competidores se encuentran jalando una cuerda cada uno de un extremo y en sentidos opuestos. Se afirma que la reacción a la fuerza con la que uno de los competidores jala la cuerda actúa sobre el otro competidor.

d) Un levantador de pesas, levanta una pesa de masa m con una aceleración A hacia arriba, aplicándole una fuerza F. Se afirma que la fuerza F aplicada por el deportista es igual a mA.

Pregunta 2 Un cuerpo de masa m = 1 kg se empuja mediante una fuerza horizontal constante F = 15 N, desde el punto más bajo del plano inclinado rugoso, que forma un ángulo de 37º con la horizontal y cuyo coeficiente de fricción cinético es 0,2. El cuerpo parte del reposo, y la fuerza F solo actúa durante 3 s, durante el cual el cuerpo sube una distancia X. Luego continúa moviéndose una distancia X1 hasta detenerse. Se pide: a) Hallar la distancia total que recorrerá el bloque

hasta alcanzar el punto más alto. b) Si luego de alcanzar el punto más alto el bloque

vuelve a bajar, hallar el tiempo que le toma llegar nuevamente a la posición inicial.

Pregunta 3 Un conductor va manejado una camioneta por una vía rápida a una rapidez de 80 km/h. En la parte trasera la camioneta transporta una carga de 150 kg. El coeficiente de rozamiento estático entre la camioneta y la carga es 1,2 y el coeficiente de rozamiento cinético es 0,6. Repentinamente, el conductor observa que un incauto peatón intenta cruzar rápidamente la vía. El conductor aplica los frenos cuando se encuentra 30 m detrás del peatón y la camioneta frena con aceleración constante y se detiene justo antes de atropellar al peatón. Se pide determinar: a) La aceleración de la camioneta. b) La aceleración de la caja y la fuerza de fricción sobre esta. Pregunta 4 El sistema de la figura está formado por dos masas colocadas sobre distintas superficies rugosas con µc = 0,2 y µc = 0,1. Sobre el bloque de 30 kg actúa permanentemente una fuerza vertical de 50 N. Las masas se mueven de modo que el bloque de 100 kg baja por el plano. La cuerda y la polea son ideales. a) Hallar la aceleración de cada una de las

masas. b) Hallar la tensión de la cuerda y el valor de la

fuerza de fricción sobre cada masa. Pregunta 5 Desde la base de un plano inclinado rugoso, que forma un ángulo de 35° con la horizontal, se lanza, en forma ascendente y sobre la superficie del plano, un bloque de 1,5 kg de masa. Se sabe que la velocidad inicial es de 9 m/s y que los coeficientes de fricción entre el bloque y la superficie del plano son: µe = 0,6 y µc = 0,4. a) Hallar la aceleración del bloque y la distancia que viaja hasta detenerse. b) Una vez que el bloque se ha detenido, ¿se mantiene el bloque en reposo o vuelve a bajar?



c) Si vuelve a bajar, determinar la rapidez que tiene el bloque al retornar a la posición de partida.

Pregunta 6 En la figura, el bloque A se encuentra sobre el bloque B y este último sobre el suelo. Una fuerza F = 40 N se aplica al bloque A formando un ángulo de 15º con la horizontal. Las masas de A y B son 20 kg y 30 kg, respectivamente, hallar la aceleración de cada bloque: a) Si todas las superficies son lisas. b) Si los coeficientes de fricción estático y cinético entre A y B

son: 0,05 y 0,01, y entre B y el piso no hay fricción. Pregunta 7 Un bloque de M = 4 kg y otro de m = 1 kg están conectados por una cuerda que pasa por una polea ideal, y se encuentran sobre un plano inclinado 40° con la horizontal. El sistema se encuentra inicialmente en reposo. Si el plano es liso y entre los dos bloques hay fricción, hallar a) El rango de valores que puede tomar el

coeficiente de fricción estático.

Si el sistema inicia su movimiento y ahora considera que hay fricción en todas las superficies, con coeficientes de fricción cinética, 0,2 entre el bloque de masa M y el plano inclinado y 0,1 entre los dos bloques, hallar: b) La aceleración para ambos bloques y la tensión de la cuerda que une a los bloques. c) La rapidez del bloque M después de 1 s de iniciado su movimiento.

F 15º

A

B



DINÁMICA II

DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL

1. CONCEPTO: Una de las principales curiosidades del hombre ha sido, es y será el saber con certeza porqué se mueven los cuerpos. Descubrirlo tomo muchos años. Sin embargo, lo que más impacto nos causa es el hecho de que el conocimiento de las leyes que lo explican pueden aplicarse tanto a cuerpos que están a nuestro alrededor como a los cuerpos celestes. El genio de Isaac Newton puso a nuestro alcance toda la comprensión de los movimientos a partir de sus causas, naciendo así la DINÁMICA. El trabajo de sus antecesores: Galileo, Kepler, Copérnico, Descartes, etc.; le permitió tener una buena base para sus estudios, que culminaron en “Las Tres Leyes de Newton”.

2. INTERACCIÓN: Es una propiedad cualitativa de la materia. Ejemplos: La Tierra y el Sol se

atraen mutuamente. El electrón gira en torno al núcleo del átomo por la atracción mutua entre el electrón y el protón. El imán y una barra de acero se atraen entre sí. Los protones en el núcleo experimentan repulsión mutua.

3. FUERZA : Es la medida cuantitativa de la interacción. Entre la Tierra y El Sol existe fuerza

de atracción gravitacional. Entre el electrón y el protón existe fuerza de atracción eléctrica. Los protones en el núcleo experimentan una fuerza de repulsión eléctrica. Entre el imán y la barra de acero existe una fuerza de atracción magnética.

4. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (a c):

La aceleración centrípeta mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad tangencial en dirección. Se representa por vector que indica al centro de curvatura. Su valor es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial e inversamente proporcional a l radio de curvatura. Se mide en m/s2.

(((( ))))222

c

.RVa .R

R R

ωω= = == = == = == = =

En función de la velocidad tangencial: 2

c

Va

R====

En función de la velocidad angular: 2

ca .Rω====

5. FUERZA CENTRÍPETA : Es la fuerza resultante de todas las fuerzas que tienen dirección radial, sobre un cuerpo o partícula en un punto y en un instante de su movimiento mecánico.

c

F.haciael centro F.saliendodel centroF

masa

−−−−==== ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

ac

D

A

B

ACELERACIÓN CENTRÍPETA

O

V

V

V

V

C

ac

ac

ac



De la segunda ley de Newton, la fuerza centrípeta es igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta.

2

c c

VF m.a m.

R= == == == = …(1)

2c cF m.a m. .Rω= == == == = …(2)

22 . f

T

πω π= == == == = …(3)

EJEMPLO 01: Una esfera de 800 gramos gira en un plano horizontal con aceleración centrípeta de módulo 20 m/s2. Determine el módulo de la tensión en la cuerda que lo mantiene en movimiento. Resolución Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento circunferencial:

c cF m.a====

La tensión en la fuerza representa a la fuerza centrípeta:

cT m.a====

(((( )))) (((( ))))20 8 20 16T , kg . m.s N−−−−= == == == =

Respuesta: el módulo de la tensión en la fuerza es 16 newtons. EJEMPLO 02: Una piedra de 800 gramos gira en un plano vertical con velocidad tangencial de módulo 20 m/s. Si una cuerda de 0,5 m de largo lo mantiene en movimiento, determine el módulo de la tensión en la cuerda en la posición más baja de su trayectoria. (g = 10 m/s2) Resolución Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento circunferencial:

c cF m.a====

En la posición más baja, fuerza (T4 - m.g) representa a la fuerza centrípeta:

4 cT m.g m.a− =− =− =− =

2

4

VT m.g m.

R− =− =− =− =

T

Para el ejemplo 01

A

B

0

V

V

V

V

C

T

T

T

D

T1

Para el ejemplo 02

A

B

0

V

V

V

m.g

C

T2

T4

T3

D V



(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2

4

200 8 10 0 8

0 5T , . , .

,− =− =− =− =

4 648T N====

Respuesta: el módulo de la tensión en la fuerza es 648 newtons. EJEMPLO 03: Un automóvil de 1000 kg circula con velocidad tangencial de módulo 10 m/s por un puente que tiene la forma de un arco circular vertical de radio 50 m. Entonces el valor de la fuerza de reacción (en kN) del puente sobre el automóvil en el punto más alto de la trayectoria circunferencial es: Considere g = 10 m/s2. Resolución Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento circunferencial:

c cF m.a====

En la posición más baja, fuerza (W - N) representa a la fuerza centrípeta:

cW N m.a− =− =− =− =

2Vm.g N m.

R− =− =− =− =

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))210

1000 10 100050

. N .− =− =− =− =

8000N newtons====

Respuesta: el módulo de la fuerza de reacción normal es 8 kilonewtons.

Para el ejemplo 03

N

R

O

W

V



PROBLEMAS PROPUESTOS DE DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL 1. Con una velocidad de módulo 144 km/h un automóvil entra a una curva que tiene una

inclinación respecto de la horizontal. Si el radio de curvatura es de 160 m, encontrar la medida del ángulo que la pista hace con la horizontal, de manera que la fuerza de rozamiento sea nula sobre las llantas del automóvil. Considere g = 10 m/s2.

2. A un vaso con aceite se hace describir un movimiento circunferencial uniforme mediante un hilo de 2,5 de largo, el movimiento se realiza en un plano vertical. Determinar la rapidez angular (en s -1) con la que tiene que girar en vaso, para que no caiga el aceite. Considere g = 10 m/s2.

3. Un objeto de masa “m” gira en un plano horizontal a una distancia “h” por debajo del punto P, como se muestra en la figura. El período de revolución es igual a:

4. Una piedra atada a una cuerda rota uniformemente en un plano vertical. Encontrar la masa de la piedra (en kg), si la diferencia entre el módulo de la tensión máxima y la mínima en la cuerda es 100 N. Considere g = 10 m/s2.

5. Cierto hilo se romperá si el modulo de la tensión en el excede de 3,7 N y se usa para mantener

un objeto de 50 gramos que gira en una circunferencia de 40 cm de radio. Considerando un trayectoria circunferencial en un plano vertical, ¿con que rapidez angular máxima puede girar el objeto antes de que el hilo se rompa? Considere g = 10 m/s2.

6. En los juegos mecánicos de una feria, un cilindro sin fondo de 2,0 metros de radio gira con rapidez angular constante a razón de 5,0 rad/s. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie interna del cilindro es 0,5. Si el bloque de 60 kg no resbala, ¿Cuál es el valor y la dirección de la fuerza de rozamiento sobre el bloque? A) 3 kN, hacia arriba hacia el eje del cilindro B) 3 kN, vertical hacia arriba C) 1,5 kN, vertical hacia abajo D) 1,5 kN, horizontal hacia el eje del cilindro E) 0,6 kN, vertical hacia arriba

7. Un cuerpo de 5 kg describe una trayectoria circunferencial de radio 0,5 metro con velocidad tangencial de módulo 10 m/s. Entonces el módulo de la fuerza centrípeta (en N) que mantiene

Para el problema 4 y 5

A

B

C

R

O

m

Para el problema 03

h

P

ω

Para el problema 06



en movimiento al cuerpo es:

8. Un pequeño cuerpo de 200 gramos gira describiendo una circunferencia sobre una superficie horizontal lisa, sujeto a un eje clavado en la superficie por una cuerda de 20 cm de largo. Si el cuerpo da 2 vueltas completas por segundo, el módulo de la fuerza ejercida por la cuerda (en N) sobre el cuerpo será:

9. Un automóvil de 4000 kg circula con velocidad tangencial de módulo 20 m/s por un puente que tiene la forma de un arco circular vertical de radio 100 m. Entonces el valor de la fuerza de reacción (en kN) del puente sobre el automóvil en el punto más alto de la trayectoria circunferencial es: (g = 10 m/s2)

10. Un camión de 8 toneladas se

desplaza con velocidad tangencial de módulo 90 km/h sobre una pista cóncava de radio 250 m como se nuestra en la figura. El módulo de la fuerza que ejerce el camión (en kN) sobre la pista en el punto más bajo es: Considere g = 10 m/s2.

11. Calcular la rapidez constante (en m/s) con la que un automóvil debe pasar sobre un puente en forma de arco circunferencial, de 200 m de radio, para que el punto más alto del puente soporte una fuerza igual a la mitad del peso del auto.

12. Un cuerpo de masa 2 kg realiza un M.C.U.V. de radio 2m. Si su posición angular θ (en

radianes) en función del tiempo t (en segundos) es 2

22

ttθ = + , determine la fuerza (en N) que

actúa sobre el cuerpo en el instante t = 1 segundo.

13. Un niño de 25 kg sentado en un carrusel a 9 m del eje de giro, se está moviendo con velocidad tangencial de módulo 1,5 m/s. ¿Cuál es el módulo (en N) de la fuerza radial actuante sobre el niño?

14. Halle el módulo de la fuerza centrípeta (en mN) de un objeto de masa 2 kg situado en el ecuador. Considere el radio ecuatorial igual a 6 400 km. PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL AVANZADO

Para el problema 09

V

R

O

Para el problema 10

V

R

O



1. En la figura el automóvil está jalando a los vagones con aceleración de módulo 5 m/s2. Determine el módulo de la tensión en las cuerdas A y B. Desprecie la fuerza de rozamiento sobre las llantas de los vagones.

2. El cuerpo mostrado en la figura

acelera en la dirección mostrada con módulo a = 10 m/s2. Luego el módulo de la fuerza F, adicional a la fuerza de gravedad, que actúa sobre el cuerpo hace un ángulo θ con la horizontal es igual a: (g = 10 m/s2)

3. Un resorte, cuya longitud natural es de 10 cm, se cuelga del techo de un ascensor y en su extremo libre coloca un bloque de 1 kg. Cuando el ascensor sube con aceleración de módulo 2 m/s2, la longitud total del resorte es de 15 cm. ¿Cuál será, en cm, la longitud total del resorte cuando un el ascensor baja con una aceleración de modulo 4 m/s2? g = 10 m/s2

F

g

a

θ

53°

Para el problema 2

Horizontal A

150 kg AUTO

a

Para el problema 1

100 kg B

A

B

30°

Para el problema 4

g

1 kg

Para el problema 3

A

B

Para el problema 6

A

C B

Para el problema 5



4. Dos bloques A y B de masas 15 kg y 10 kg respectivamente, se desplazan a lo largo del plano inclinado como se

muestra en la figura. La fuerza de rozamiento sobre el bloque A es constante de modulo 20 N y la fricción sobre el bloque B es nulo. Determine el módulo de la tensión de la cuerda que une a los bloques (en N). g = 10 m/s2

5. Los bloques A, B y C de masas 3 kg, 1,0 kg y 1,5 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas y toda forma de rozamiento.

6. Los bloques A y B de masas 2 kg, 3 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas y toda forma de rozamiento.

A

C B Para el problema 7

A

B Para el problema 8

A


A

L

Para el problema 12



7. Los bloques A, B y C de masas 5 kg, 2 kg y 3 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas y toda forma de rozamiento.



10. Los bloques A, B y C de masas 5 kg, 2 kg y 3 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas, la masa de la barra y toda forma de rozamiento.

A

L

Para el problema 11 A

C B Para el problema 10

L 2 L

θ

Para el problema 13

M

m

B

A Para el problema 14 C



11. Se muestra un bloque pequeño de masa “m” y una barra de masa M y longitud L= 2,1 metros. Las masas de las poleas, así como la fricción son despreciables. El bloque A se establece en el nivel de extremo inferior de la barra y se suelta. ¿Al cabo de cuánto tiempo el bloque A se iguala con el extremo exterior de la barra? Considere:

m 8

M 5 ====

12. En el arreglo que se muestra en la figura, la barra tiene una

masa de 300 gramos y el bloque A 200 gramos. El bloque tiene un agujero que le permite resbalar a lo largo del cable metálico de masa despreciable con alguna fricción. En el instante inicial el bloque se coloca en el al nivel del extremo inferior de la barra. Cuando el conjunto se libera del reposo, ambos cuerpos empiezan con aceleración constante. Determine la fuerza de fricción entre el bloque A y el cable, si después de 0,5 segundo el bloque llega al extremo superior de la barra cuyo largo es 50 centímetros.

13. La cuña de masa M y ángulo θ está en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Sobre la cuña se coloca un bloque de masa “m” tal como se muestra en la figura. Despreciando toda forma de rozamiento, determine el valor de la aceleración de la cuña.

14. Los bloques A, B y C de masas 1 kg, 2 kg y 3 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas y toda forma de rozamiento.

15. Los bloques A y B de masas 2 kg, 3 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. El ascensor acelera hacia arriba con valor de 2 m/s2. Determine el valor de la tensión T en la cuerda unida al techo del ascensor. Desprecie las masas de las poleas y toda forma de rozamiento. (g = 10 m/s2)

16. Los bloques A, B y C de masas 3 kg, 5 kg y 2 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. La cuña B que tiene un ángulo θ de medida 37° está inicialmente en

a

B A

Para el problema 15

T

θ

Para el problema 16

B

A

C

A

Para el problema 18

C

B

d



reposo sobre una superficie horizontal lisa Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie la masa de la polea, la masa de la cuerda y toda forma de rozamiento.

17. Los bloques A, B y C de masas 5 kg, 3 kg y 2 kg respectivamente se mueven como se muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas, la masa de la barra y toda forma de rozamiento.

18. Si el sistema mostrado se deja en libertad a partir del reposo, hallar el tiempo que tarda el bloque A de masa 2 kg, en recorrer la distancia d = 5 metros sobre el bloque C de masa 6 kg. Los bloques A y B tienen igual masa. No hay rozamiento y las poleas tienen masa despreciable. (g = 10 m/s2)

19. En el sistema mostrado determinar el valor de la fuerza “F” con la finalidad de que el bloque A de masa 20 kg y la esfera B de masa 10 kg permanezcan en reposo respecto del carro C de masa 90 kg. Desprecie toda forma de rozamiento. (g = 10 m/s2)

L

Para el problema 20

x

Para el problema 21

2L - x

A B

W

Para el problema 22

2L - x

P

A B

x

A

Para el problema 19

C

B

a

F

A

Para el problema 17

C

B



20. Una cadena uniforme y perfectamente flexible está colgado en un clavo perfectamente liso. Si lo separamos ligeramente de su posición de equilibrio, ¿con qué rapidez abandona la cadena el clavo?, siendo “2L” la longitud de la cadena. Desprecie el diámetro del clavo. No hay rozamiento.

21. Sobre una polea de radio R se cuelga una

cadena flexible de largo (((( ))))2L Rπ++++ metros, que

pesa Q newtons por cada metro. Al principio x L====

, si lo separamos ligeramente de su posición de equilibrio, desciende hasta x 2L==== a la que llega

con una rapidez U. Determinar: a) la aceleración de la cadena prescindiendo de la masa de la polea, b) la rapidez U y c) las tensiones de la cadena en A y B para una posición cualquiera

L x 2L≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ . Desprecie toda forma de

rozamiento.

22. Sobre una polea de radio R se cuelga una

cadena flexible de largo (((( ))))2L Rπ++++ metros, que

pesa Q newtons por cada metro. En los extremos de

la cadena se cuelgan los pesos W y P expresados en newtons. El mayor de ellos es P, se encuentra al

principio en su posición más alta x L==== , y desciende

hasta su posición más baja x 2L==== a la que llega una

rapidez U. Determinar: a) la aceleración de los bloques prescindiendo de la masa de la polea, b) la rapidez U y c) las tensiones de la cadena en A y B para una posición cualquiera

L x 2L≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ . Desprecie

toda forma de rozamiento.

23. Una cadena pesada y perfectamente flexible de longitud ACB igual a “2L” se coloca sobre dos planos inclinados en cuyo vértice C va una pequeña polea de masa despreciable. La cadena está inicialmente en

reposo, si lo separamos ligeramente de su posición de equilibrio, la

ββββ

P

C

Para el problema 24

αααα

W

αααα

B

C

Para el problema 23

αααα

A

B

Para el problema 25

A θ

A Para el problema 26

B



cadena resbala. Determinar la rapidez de la cadena en el instante en que su extremo A llega a C. Desprecie toda forma de rozamiento.

24. Se muestra dos bloques de pesos W y P expresados en newtons, unidos por una cuerda flexible de masa despreciable. Sabiendo que existe rozamiento de coeficiente

cinético cµ , determine el

módulo de la aceleración de cada bloque (en m/s2). Considere que el bloque de la izquierda desciende.

25. Se muestra los bloques Ay B de masas 6,0 kg y 1,0 kg respectivamente. Determinar la aceleración de cada bloque. Desprecie toda forma de rozamiento.

26. Se muestra los bloques A y B de masas 2,0 kg cada uno. En el plano inclinado 37ºθ ==== existe rozamiento,

cuyo coeficiente de rozamiento cinético es 0,5. Si la polea móvil tiene masa de 1,0 kg, determinar la aceleración de cada bloque. Desprecie la masa de la polea fija y el rozamiento en el eje de la polea.

27. Determinar la aceleración a�

del sistema, de tal

manera que la esfera de masa [[[[ ]]]]2m permanezca en

reposo respecto del plano inclinado. La esfera pequeña

de masa [[[[ ]]]]m se desvía hacia la izquierda debido a la

inercia. Desprecie toda forma de rozamiento.

28. Se muestra los bloques A y B de masas 1,0 kg y 2,5 kg respectivamente. Existe rozamiento solamente entre los bloques A y B cuyo coeficiente de rozamiento cinético es 0,5. Determine el valor de la aceleración de A y B. Desprecie la masa de las poleas.

Para el problema 27

m

a

θ

2m

Para el problema 28 B A

A K

B

W

Para el problema 25

θ θ

Para el problema 29



29. Se muestra dos bloques A y B de

masa 1,0 kg y 2,0 kg en equilibrio, donde el resorte de constante elástica K 60 N / m==== se encuentra comprimido. El coeficiente de rozamiento entre el bloque B y el piso horizontal es 0,2 y 0,1 estático y cinético respectivamente. Sabemos que el bloque B está pronto a resbalar. ¿Qué aceleración adquiere el bloque B cuando levantamos al bloque A? ¿Qué aceleración tiene el bloque B cuando el resorte alcanza la posición de equilibrio?

30. Una cuerda elástica sostiene a un bloque de peso “W”, sujeto al techo de un ascensor en forma simétrica como se muestra. El ángulo de suspensión es 37ºθ ==== cuando el ascensor está en reposo. En cambio cuando el ascensor se mueve con aceleración constante ángulo es

53ºθ ==== . Encontrar el valor y el sentido de la aceleración del ascensor. Desprecie el peso de las cuerdas.

31. Una barra AB de masa “m” puede moverse sin fricción tanto hacia arriba como hacia abajo entre cuatro rodillos fijos. El extremo inferior de la barra toca la superficie lisa de una cuña de masa “M”. La cuña está sobre una superficie horizontal plana sin rozamiento. Determinar la aceleración de la barra AB y de la cuña.

32. Se muestra un bloque de masa M sobre un superficie horizontal rugosa, cuyo coeficiente de rozamiento cinético es µ . Determinar la medida del ángulo θ tal que la aceleración del bloque de masa M sea máxima.

33. Se muestra dos boques A y B de masas “m” y “M” respectivamente, de superficies rugosas cuyo coeficiente de rozamiento estático es µ . Determine el de valor de la fuerza “F” mínima y máxima, tal que el bloque A no resbale sobre el bloque B.

M

θ

Para el problema 31

g

B

A

F

θ

Para el problema 27

M

θ

Para el problema 33

B

A

F

θ

Para el problema 34 B

A



34. Se muestra dos boques A y B de masas “m” y “M” respectivamente. Si no existe rozamiento, determine la aceleración de A y de B. Desprecie la masa de la polea fija.

35. La barra AB de masa “M” está articulada en el extremo A. Determine el valor de la aceleración horizontal a

�, tal que,

la barra permanezca en equilibrio respecto de la plataforma formando un ángulo θ respecto de la horizontal.

36. Se muestra una estructura de masa despreciable en forma de “T” en cuyos extremos se encuentra soldada esferas de masa “m” y “6m”. Determinar la velocidad angular ω

� con que gira

el eje vertical. La distancia “a” se mide en metros.

37. Se muestra una estructura de masa despreciable en forma de “T” en cuyos extremos se encuentra soldada esferas de masa “m” y “6m”. Determinar la aceleración a

� con que se

desplaza el vagón. La distancia “d” se mide en metros.

38. La barra AB es mantenida en posición vertical por medio de la cuerda CD cuando el sistema gira alrededor del eje y y′′′′−−−− . La barra AB de peso 300 N puede girar libremente alrededor de la articulación en A. Si la máxima tensión que puede resistir la cuerda CD es 1,0 kN, calcular la máxima velocidad angular con que puede girar el sistema sin que la cuerda se rompa.

F θ

Para el problema 35

g

A

PLATAFORMA

B

B

ω

6m

a

m

a

a

a A

Para el problema 36 A

Para el problema 37

6m

d

m

d

d

a


ω 0,4 m

C

D

A

y’

y

0,2 m

0,3 m 0,3 m



39. El manguito A puede deslizarse libremente alrededor del anillo de radio R. Cuando el sistema gira alrededor del eje vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular constante ω

� se

encuentra en la posición mostrada. Determine la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

40. Un bloque pequeño de 200 gramos está sujeto a un eje vertical por intermedio de un resorte de longitud natural “L” igual a 80 cm y constante elástica “K” igual a 36 N/m. Si el bloque puede deslizarse radialmente por una ranura sobre la superficie horizontal, determinar la elongación producida en el resorte cuando el sistema gira alrededor del eje con velocidad angular constante de 6 rad/s.

41. Una cadena flexible de masa “M” y longitud “L” cuyos extremos están unidos, fue colocada en un disco de madera sobre un plano horizontal, el cual gira respecto de un eje vertical con velocidad angular constante ω . Determinar el valor de la tensión en la cadena.

Para el problema 39

ω

y’

y

A

O

θ

R

L

K X=0

Para el problema 40

ω

Para el problema 41

ω R

Para el problema 42

ω

y’

y

A

O

θ

R

Para el problema 43

R

R



42. Una bolita de masa “m” descansa inicialmente en la parte baja de un casquete esférico cuyo interior es liso y tiene radio R de 2,0 metros. Cuando el sistema gira alrededor del eje vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular constante ω

� de

módulo (rad /s)π se encuentra en la posición mostrada. Determine la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

43. ¿Cómo están relacionados entre sí las fuerzas con las cuales un tanque hace presión en el centro de un puente cóncavo y de un puente convexo? El radio de curvatura del puente en ambos casos es de 45 m y la velocidad tiene módulo de 54 km/h.

44. Sobre un plano inclinado

descansa un bloque de masa “m”, cuyo coeficiente de rozamiento de rozamiento estático es µ . Cuando el sistema gira alrededor del eje vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular constante ω

�

, el bloque tiende a deslizarse. Determine la máxima rapidez angular constante tal que el bloque permanezca en reposo respecto del plano inclinado, como se muestra.

45. Se muestra dos esferas de masa iguales (m = 12 kg) sujetadas por cables de largo L y 2L. Determine la tensión en la cuerda de largo “2L”, cuando el sistema gira alrededor del eje

Para el problema 44

ω

y’

y

O

θ

R

Para el problema 45

ω

y’

y

2L θ

L

L m

m

θ

Para el problema 46 R R R O

A

B

C

g

m

Para el problema 48

θ θ



vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular constante ω�

de módulo 5 rad/s. Considere L= 0,5 metro.

46. Se muestra tres esferitas A, B y C de 5 kg cada una, que se encuentran unidas por tres cuerdas de largo R igual 1 m. Si se hace girar en un plano vertical, ¿Qué tensión soportará la cuerda que une las esferas B y C, cuando la tensión en cuerda que une el centro de rotación “O” con la esfera A sea igual a cero?

47. Se muestra un sistema que gira alrededor del eje vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular constante ω

�. El

bloque de masa “m” se encuentra apoyada en un plano vertical áspero cuyo coeficiente de rozamiento estático es µ, ¿con que rapidez angular mínima debe girar el sistema tal que el bloque no resbale?

48. Se muestra un ascensor que sube con aceleración constante de valor a 3.g==== , dentro del cual se encuentra una esfera atada a una cuerda de largo 2,0 metros que gira con velocidad angular constante. ¿Qué ángulo θ formará el péndulo cónico con la vertical?

49. Se hace girar una esfera de 3 kg en un plano vertical unida a una cuerda de largo R igual a 2,0 metros, la cual se rompe en la posición que se muestra, cuando la cuerda forma un ángulo θ de 53° con la vertical. Si luego la esfera describe una trayectoria parabólica obteniendo un alcance horizontal de 24 m, determine la tensión en la cuerda en el instante que se rompe.

50. Una barra uniforme y homogénea de longitud “L” y masa “M”, gira alrededor de un eje vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular constante ω

�. ¿Qué tensión horizontal experimenta

la barra a una distancia “d” del eje de giro?

R

y m

Para el problema 47 ω

y’

Para el problema 49

24 m

O

θ

R

L

y

d


y’

R

y

Para el problema 51

ω

y’

m

M



51. Un bloque de masa “M” descansa sobre una preforma horizontal. Una cuerda une a éste bloque con otro de masa “m” que se encuentra en el eje de rotación. Cuando el sistema gira alrededor del eje vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular constante ω�

de módulo / 3 (rad /s)π se

encuentra en la posición mostrada. Si M 2.m==== y el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque M y el plano es 13µ −−−−==== , determine los valores máximo y mínimo del radio R para que el bloque de masa M permanezca en reposo respecto de la plataforma.

52. Un bloque de masa M se encuentra sobre una superficie horizontal, donde puede moverse radialmente libre de rozamiento. Cuando el sistema gira alrededor del eje vertical y y′′′′−−−− con velocidad angular

constante [[[[ ]]]]2ω�

el radio de la circunferencia

es [[[[ ]]]]R 3L==== . Se repite el experimento pero

con velocidad angular [[[[ ]]]]ω�

tal que el radio

de curvatura es [[[[ ]]]]R 2L==== . ¿Cuál es la

longitud natural del resorte de constante elástica “K”?

53. Se muestra una manguera de goma, doblado en forma de un tubo circunferencial, circula el agua con velocidad de módulo “V”. Si el diámetro “d” se tubo es menor, mucho menor que “R”, ¿Cuál es el valor de la tensión en el tubo de goma? Considere “R” como el radio interior del anillo de goma y [[[[ ]]]]δ la densidad del agua.

54. Un avión describe una circunferencia en un plano horizontal durante el vuelo. Si demora un intervalo de tiempo “T” en cada vuelta, determinar el ángulo de inclinación, si este se desplaza con velocidad tangencial de módulo “V”.

55. Un automóvil de 1,2 toneladas describe un trayectoria circunferencial de radio 60 m en una plano horizontal con velocidad tangencial constante de módulo 15 m/s. Determinar el valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre el automóvil. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre las llantas y la pista es 0,54; ¿Cuál es la máxima velocidad que puede desarrollar el automóvil sin salir de la circunferencia debido al resbalamiento? FUENTES DE INFORMACIÓN: http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com [email protected] [email protected] [email protected]

R

K

M


y

y’

Para el problema 53

V

O R

Para el problema 54

θ

R

(Semana 09 dinámica fisica i unac 2009 b)

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