01_ekuazio Sistemak Gaussen Metodoa_soluzioak

1. unitatea. Ekuazio sistemak. Gauss-en metodoa1

29. orrialdea

HAUSNARTU ETA EBATZI

Ekuazioak eta ezezagunak. Ekuazio-sistemak

1. Honako bi ekuazio hauek datu desberdinak direla esan genezake? Ez daegia bigarrenak lehenengoak dioena esaten duela?

n Adierazi grafiko batean, eta ikusizuzen bera dela.

Zuzen berbera da.

n Idatzi bi ezezaguneko bi ekuaziodituen beste sistema bat, eta bigarrenekuazioa izan dadila, funtsean, lehe-nengoaren berdina. Interpretatu gra-fiko batean.

Grafikoki zuzen bera dira.

x + y = 1

3x + 3y = 3

2x + y = 5

4x + 2y = 10

EKUAZIO SISTEMAK. GAUSS-EN METODOA1

2. Aztertu honako ekuazio hauek:

n Adierazi grafiko batean eta kontuanhartu lehenengo bi zuzenek puntubat zehazten dutela (bi datu horiekinbi galderei erantzuten diegu: x = 2,y = 1). Egiaztatu hirugarren ekuazioaere puntu horretatik igarotzen dela.

n Eman lehenengo bi ekuazio horienondorio izango den beste ekuazio bat.

Adibidez:

2 (1.) + 3 (2.)

Adierazi eta kontuan hartu hori erex = 2, y = 1 puntutik igarotzen dela.

2 1.a + 3 2.a 8 7x y = 13

3. Hartu orain beste bi ekuazio hauek:

Ikusten duzunez, bigarren ekuazioakdioena lehenengoak dioenaren kontra-

koa da.

n Adierazi eta kontuan hartu bi zuzenparalelo direla; hau da, ez dute solu-zio bat bera ere berdina, komuna;izan ere, zuzenek ez dute punturenbatean ere elkar ebakitzen.

2x + y = 5

2x + y = 7

2x + y = 5

x y = 1

x + 2y = 4


n Aldatu 1 ariketan asmatu duzun sistemako bigarren ekuazioko gai askea, etaadierazi berriro bi zuzenak.

Ikusten duzunez, bi ekuazioek diotena kontrakoa da orain, eta zuzen parale-loen bitartez adierazten dira.

Zuzen paraleloak.

31. orrialdea

1. Ebazpena egin barik, azaldu zergatik diren baliokideak honako sistema parehauek:

a) b)

c) d)

a) Bigarren ekuazioa ordeztu dugu hasieran genituen bi ekuazioen baturarekin.

b) Bigarren ekuazioari lehena kendu diogu eta kendura lehen ekuazioaren ordezipini dugu.

c) Lehen sisteman, hirugarren ekuazioa lehen biak batzen lortzen da. Gainerakoa b) atalean bezala.

d) Bigarren ekuazioari lehena kendu diogu, eta kendura bigarren ekuazioaren ordezidatzi dugu.

x + y z = 11

y z = 4

z = 2

x + y z = 7

x + y z = 11

x + 2y z = 7

x + y z = 5

x + y z = 7

2x + 2y z = 12

z = 2

x + y z = 7

x + y = 5

3x y = 12

x + y z = 5

x + y z = 7

x + y = 5

2x y = 7

x + y = 1

3x + 3y = 0


1

33. orrialdea

1. Ebatzi eta interpretatu geometrikoki honako sistema hauek:

a) b) c) d)

a)

1 2x = 3 x 8 x = 2, y = 3 (2) = 5

Ikus dezagun ea 2. ekuazioa betetzen duen: 3 (2) + 2 5 = 6 + 10 = 4

Soluzioa: x = 2, y = 5. (2, 5) puntuan elkar ebakitzen duten hiru zuzen dira.

b)

Soluzioa: x = 5 2l, y = 1 + l, z = l. Elkar zuzen batean ebakitzen duten hiruplano dira.

c)

d)

Soluzioa: x = 3, y = 2, z = 1. (3, 2, 1) puntuan elkar ebakitzen duten hiru planodira.

2. a) Ebatzi sistema hau:

b)Gehitu sistema bateragarri izaten jarraitzeko modua emango duen hiru-garren ekuazio bat.

c) Gehitu sistema bateraezin egingo duen hirugarren ekuazio bat.

d) Interpretatu geometrikoki kasu bakoitzean egin duzuna.

a)

Soluzioa: x = , y = 1

3

11

3

13 2y = 4 + y 8 1 = 3y 8 y =

31 11

x = 4 + y = 4 = 3 3

x = 3 2y

x = 4 + y

x + 2y = 3

x y = 4

x + 2y = 3

x y = 4

z = 1

y = 1 + z = 2

x = 6 y z = 6 2 1 = 3

x + y + z = 6

y z = 1

z = 1

x + y + z = 6

x + y + z = 0

x z = 0

x = 6 z y = 6 z 1 z = 5 2z

y = 1 + z

x + y = 6 z

y = 1 + z

3. ekuazioa lehen bien batura da;

ez dugu kontuan hartuko.

x + y + z = 6

y z = 1

x + 2y = 7

8 y = 1 2x

8 y = 3 x

2x + y = 1

3x + 2y = 4

x + y = 3

x + y + z = 6

y z = 1

z = 1

x + y + z = 6

x + y + z = 0

x y z = 0

x + y + z = 6

y z = 1

x + 2y + z = 7

2x + y = 1

3x + 2y = 4

x + y = 3

Lehen eta bigarren ekuazioen artean kontraesana dago.Sistema bateraezina da.Lehen bi planoak paraleloak dira eta hirugarrenak ebakitzen ditu.


b) Adibidez: 2x + y = 7 (aurreko bien batura).

c) Adibidez: 2x + y = 9

d) a) atalean 8 Bi zuzen dira. ( , ) da ebakitze puntua.b) atalean 8 Zuzen berria ere ( , ) puntutik igarotzen da.c) atalean 8 Zuzen berria ez da ( , ) puntutik igarotzen. Hiru zuzenek ez

dute amankomuneko punturik. Binaka elkar ebakitzen dute.

34. orrialdea

1. Baieztatu sistema hauek mailakatuak direla, eta ebatzi:

a) b)

c) d)

a)Soluzioa: x = , y =

b)

Soluzioa: x = 3, y = 29, z = 11

c)

Soluzioak: x = 3 + l, y = 29 19l, z = 11 + 6l, t = l

d)

Soluzioa: x = 1, y = , z = 23

169

x = 12x 2

z = = 3 3

7 x + z 16y = =

3 9

4x = 4

2x + 3z = 0

x + 3y z = 7

2x + 3z = 0

x +3y z = 7

4x = 4

x = 3 + t

z = 5x 4 + t = 11 + 6t

y = 7 x 3z = 29 19t

2x = 6 + 2t

5x z = 4 t

x + y + 3z = 7

2x 2t = 6

x + y + 3z = 7

5x z + t = 4

x = 3

z = 5x 4 = 11

y = 7 x 3z = 7 3 33 = 29

2x = 6

5x z = 4

x + y + 3z = 7

2x = 6

x + y + 3z = 7

5x z = 4

43

73

7x =

3x 5 4

y = = 2 3

3x = 7x 2y = 5

2x + 3y + 3z = 0

x + 3y z = 7

4x + 3y + 3z = 4

2x + + 3z 2t = 6

x + y + 3z 2t = 7

5x + y 3z + t = 4

2x + y + 3z = 6

x + y + 3z = 7

5x + y z = 4

3x 2y = 7

x 2y = 5

13

113

13

113

13

113


1

2. Mailakatuak dira sistema hauek? Ebatz itzazu:

a) b) c) d)

a)

Soluzioa: x = 0, y = , z = 0

b)

Soluzioak: x = 2 + l, y = 5 3l, z = 2l

c)

Soluzioak: x = 2 + l, y = l, z = 1 2l

d)

Soluzioa: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

35. orrialdea

3. Bihurtu sistema mailakatu, eta ebatzi:

a) b)

c) d)

x y + 3z = 0

3x 2y 5z + 7w = 32

x + 2y z + 3w = 18

x 3y + z + 2w = 26

x + y + z = 6

x y z = 4

3x + y + z = 8

x y + 3z = 4

x + y + z = 2

x + 2y z = 6

2x 3y = 21

3x + y = 4

z = 1

t = 3 z = 2

y = 4 3z + 2t = 5

x = 5 + z 2t = 2

2z = 2

z + t = 3

y + 3z 2t = 4

x z + 2t = 5

z + t = 3

y + 3z 2t = 4

2z = 2

x z + 2t = 5

x = 2 + y

z = 3 y 2 y = 1 2y

x = 2 + y

x + z = 3 y

x + y + z = 3

x y = 2

zx = 2 +

23z

y = 7 z x = 5 2

2x = 4 + z

x + y = 7 z

x + y + z = 7

2x z = 4

12

1y =

2

z = 1 2y = 0

x = 1 2y z = 0

2y = 1

2y + z = 1

x + 2y + z = 1

2y + z = 1

2y = 1

x + 2y + 2z = 1

z + t = 3

y + 3z 2t = 4

2z + 2t = 2

x + y z + 2t = 5

x + y + z = 3

x y z = 2

x + y + z = 7

2x + y z = 4

2y + z = 1

2y + 2z = 1

x + 2y + 2z = 1


a)

Soluzioa: x = 3, y = 5

b)

Soluzioa: x = 1, y = 2, z = 1

c)

(3.a eta 2.a berdinak direnez 3.a ahal dugu kendu)

Soluzioak: x = 1, y = 5 l, z = l

d)

Soluzioa: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0

w = 057 + 9w

z = = 319

y = 32 + 14z 7w = 10x = y 3z = 1

x y + 3z = 0

y 14z + 7w = 32

19z 9w = 57

34w = 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) : 2

15 (3.a) + 19 (4.a)

x y + 3z = 0

y 14z + 7w = 32

38z 18w = 114

30z + 16w = 90

(1.a)

(2.a)

(3.a) 3 (2.a)

(4.a) + 2 (2.a)

x y + 3z = 0

y 14z + 7w = 32

3y 4z + 3w = 18

2y 2z + 2w = 26

(1.a)

(2.a) 3 (1.a)

(3.a) (1.a)

(4.a) (1.a)

x y + 3z = 0

3x 2y 5z + 7w = 32

x + 2y z + 3w = 18

x 3y + z + 2w = 26

x = 6 z y = 6 z 5 + z = 1

y = 5 z

x + y = 6 z

y = 5 z

x + y + z = 6

y + z = 5(1.a)

(2.a) : (2)

x + y + z = 6

2y 2z = 10

2y 2z = 10

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a) 3 (1.a)

x + y + z = 6

x y z = 4

3x + y + z = 8

z = 1

y = 3 + z = 2

x = 4 + y 3z = 1

x y + 3z = 4

y z = 3

z = 1

(1.a)

(2.a)

(3.a) 3 (2.a)

x y + 3z = 4

y z = 3

3y 4z = 10

(1.a)

(2.a) : 2

(3.a)

x y + 3z = 4

2y 2z = 6

3y 4z = 10

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a) (1.a)

x y + 3z = 4

x + y + z = 2

x + 2y z = 6

x = 321 2x

y = = 53

2x 3y = 21

11x = 33(1.a)

3 (2.a) + (1.a)

2x 3y = 21

3x + y = 4


1

38. orrialdea

1. Ebatzi ekuazio-sistema hauek, Gaussen metodoa erabiliz:

a) b) c)

a)

8 8

8 8

Soluzioa: x = 1, y = 2, z = 3

b)

8

Lehen eta bigarren ekuazioen artean kontraesana dago. Sistema bateraezina da.

c)

8 8

8 8

Soluzioak: x = 3 + 2l, y = l, z = 2 + l

2. Ebatzi, Gaussen metodoa erabiliz:

a) b) c)

a)

8 8)1 1 2 20 2 3 50 2 3 5((1.a)(2.a) + (1.a)(3.a) (1.a))1 1 2 21 3 1 31 1 5 7(

x y + 2z = 2

x + 3y + z = 3

x + y + 5z = 7

2x y + w = 9

x 2y + z = 11

5x y + z + w = 24

5x 2y z + 2w = 0

2x y + w = 0

x 2y + z = 0

5x y + z + w = 0

5x 2y z + 2w = 0

x y + 2z = 2

x + 3y + z = 3

x + y + 5z = 7

x = 3 + 2y

z = 2 + y

x 2y = 3

y + z = 2)1 2 0 30 1 1 20 0 0 0((1.a)(2.a)(3.a) + 5 (2.a))1 2 0 30 1 1 20 5 5 10((1.a)(2.a) + 2 (1.a)(3.a) 2 (1.a))

1 2 0 32 3 1 42 1 5 4(

x 2y = 3

2x + 3y + z = 4

2x + y 5z = 4

)7 2 0 97 2 0 35 1 1 5((1.a) 2 (3.a)(2.a) (3.a)(3.a))3 4 2 12 3 1 25 1 1 5(

3x 4y + 2z = 1

2x 3y + z = 2

5x y + z = 5

z = 32 4z

y = = 25

x = 2 y z = 1

x + y + z = 2

5y + 4z = 2

2z = 24)1 1 1 20 5 4 20 0 8 24((1.a)(2.a) (1)(3.a) 5 + (2.a) 3

)1 1 1 20 5 4 20 3 4 6((1.a)(2.a) 3 (1.a)(3.a) + 2 (1.a))1 1 1 23 2 1 42 1 2 2(

x + y + z = 2

3x 2y z = 4

2x + y + 2z = 2

x 2y = 3

2x + 3y + z = 4

2x + y 5z = 4

3x 4y + 2z = 1

2x 3y + z = 2

5x y + z = 5

x + y + z = 2

3x 2y z = 4

2x + y + 2z = 2


8x = 2 2z + =

Soluzioak: x = 7l, y = 3l, z = 2l

b)

8

8 8

8

Soluzioa: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

c)

8

8 8

8

x = z = x + 18 = y = = w = 9 2x + y =

Soluzioa: x = , y = , z = , w = 534

694

114

34

534

114

x + z 112

694

34

2x y + w = 9

x 2y + z = 11

4x = 3

x z = 18

)2 1 0 1 91 2 1 0 114 0 0 0 31 0 1 0 18((1.a)(2.a)(3.a) + (4.a)

(4.a))2 1 0 1 91 2 1 0 113 0 1 0 15

1 0 1 0 18(

(1.a)

(2.a)

(3.a) (1.a)

(4.a) 2 (1.a))2 1 0 1 91 2 1 0 115 1 1 1 24

5 2 1 2 0(

2x y + w = 9

x 2y + z = 11

5x y + z + w = 24

5x 2y z + 2w = 0

x = 0

z = 0

y = 0

w = 0

2x y + w = 0

x 2y + z = 0

4x = 0

x z = 0

)2 1 0 1 01 2 1 0 04 0 0 0 01 0 1 0 0((1.a)(2.a)(3.a) + (4.a)

(4.a))2 1 0 1 01 2 1 0 03 0 1 0 0

1 0 1 0 0(

(1.a)

(2.a)

(3.a) (1.a)

(4.a) 2 (1.a))2 1 0 1 01 2 1 0 05 1 1 1 0

5 2 1 2 0(

2x y + w = 0

x 2y + z = 0

5x y + z + w = 0

5x 2y z + 2w = 0

5

2

9

2

7z2

92

3z2

52

x = 2 2z + y5 3z 5 3z

y = = 2 2 2

x y = 2 2z

2y = 5 3z

x y + 2z = 2

2y + 3z = 5


1

39. orrialdea

1. Eztabaidatu ekuazio-sistema hauek, k parametroaren funtzioan:

a) b)

a)

8 8

8

Baldin k = 3 bada, orduan:

8 8

8 x = =

z = x 2 + y = 2 + y = = +

Sistema bateragarri indeterminatua.

Soluzioak: x = l, y = 2l, z = + l

Baldin k ? 3, bada, bateragarri determinatua da. Ebatziko dugu:

x = = 1

y = = = 2 +

z = x + y 2 = 1 + 2 + 2 = 1 +

Soluzioa: x = 1, y = 2 + , z = 1 + k

2k

2

k

2k

2

k

2k + 4

2k 4x

2

3 kk 3

x + y z = 2

4x + 2y = k

(k 3)x = (3 k)

54

34

y

254

5 + 2y4

3 2y4

y

234

3 2y4

x z = 2 y

4x = 3 2y

x + y z = 2

4x + 2y = 3)4 2 0 k1 1 1 20 0 0 0(

)4 2 0 k1 1 1 2k 3 0 0 3 k((1.a)(2.a)(3.a) (1.a))4 2 0 k1 1 1 2k + 1 2 0 3((1.a)(2.a)(3.a) + (2.a))

4 2 0 k1 1 1 2k 1 1 1(

4x + 2y = k

x + y z = 2

kx + y + z = 1

4x + 2y = k

x + y z = 2

kx + y + z = 0

4x + 2y = k

x + y z = 2

kx + y + z = 1


b)

8 8

8


Sistema bateraezina da.

Baldin k ? 3 bada, bateragarri deteminatua da. Ebatziko dugu:

x =

y = =

z = x + y 2 = + 2 =

Soluzioa: x = , y = , z =

2. Eztabaidatu ekuazio-sistema hauek, k parametroaren funtzioan:

a) b)

a)

8 8

8 )k + 3 0 0 8 + 2k1 1 1 02 0 1 k((1.a) + 2 (3.a)(2.a)(3.a))k 1 0 2 81 1 1 02 0 1 k((1.a) (2.a)(2.a)(3.a))

k 1 1 81 1 1 02 0 1 k(

kx + y z = 8

x + y + z = 0

2x + z = k

x + y + z = 1

y + kz = 1

x + 2y = k

kx + y z = 8

x + y + z = 0

2x + z = k

k2 5k + 82k 6

k2 + k 82k 6

2 kk 3

k2 5k + 82k 6

k2 + k 82(k 3)

2 kk 3

k2 + k 82k 6

k 4x2

2 kk 3

x + y z = 2

4x + 2y = k

(k 3)x = (2 k)

)4 2 0 31 1 1 20 0 0 1(

)4 2 0 k1 1 1 2k 3 0 0 2 k((1.a)(2.a)(3.a) (1.a))4 2 0 k1 1 1 2k + 1 2 0 2((1.a)(2.a)(3.a) + (2.a))

4 2 0 k1 1 1 2k 1 1 0(

4x + 2y = k

x + y z = 2

kx + y + z = 0


1


Sistema bateraezina.

Baldin k ? 3 bateragarri determinatua da. Ebatziko dugu:

x =

z = k 2x =

y = x z =

Soluzioa: x = , y = , z =

b)

8 8

8


Sistema bateraezina.

Baldin k ? 1 bada, bateragarri determinatua da. Ebatziko dugu:

z = =

y + k ( ) = 1 8 y = 1 = = x = 1 y z = 1 = =

Soluzioa: x = , y = , z = 2 k1 + k

1 k + k2

1 + k2 + 3k k2

1 + k

2 + 3k k2

1 + k1 + k 1 + k k2 2 + k

1 + k

2 k1 + k

1 k + k2

1 + k

1 k + k2

1 + k1 + k 2k + k2

1 + k2k k2

1 + k

2 k1 + k

2 k1 + k

k 21 k

x + y + z = 1

y + kz = 1

(1 k)z = k 2

)1 1 1 10 1 1 10 0 0 3(

)1 1 1 10 1 k 10 0 1 k k 2((1.a) (2.a)(3.a) (2.a))1 1 1 10 1 k 10 1 1 k 1((1.a) (2.a)(3.a) (1.a))

1 1 1 10 1 k 11 2 0 k(

x + y + z = 1

y + kz = 1

x + 2y = k

k2 k 16k + 3

k2 k + 8k + 3

8 + 2kk + 3

k2 k + 8k + 3

k2 k 16k + 3

8 + 2kk + 3

(k + 3)x = 8 + 2k

x + y + z = 0

2x + z = k

)0 0 0 21 1 1 02 0 1 3(


44. orrialdea

PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK

Sistema linealen ebazpena eta interpretazio geometrikoa

1 Ebatzi eta interpretatu geometrikoki honako sistema hauek:

a) b)

a) 8 8

Soluzioa: (2, 1)

Geometrikoki, hiru zuzen dira eta (2, 1) puntuan elkar ebakitzen dute.

b)

3. ekuazioa zati 2 egitenen badugu, x + 2y = 0 geratzen zaigu. 1. ekuazioax + 2y = 5 da. Bien artean kontraesana dago; beraz, sistema bateraezina da.

1. ekuazioak eta 3.ak bi zuzen paralelo adierazten dute; 2. ekuazioak biak eba-kitzen ditu.

2 Aurkitu, existitzen bada, honako sistema hauen soluzioa eta interpretatugeometrikoki:

a) b)

Gaussen metodoaz ebatziko ditugu:

a)

8 )0 4 11 1 10 4 10 4 1((1.a) 3 (2.a)(2.a)(3.a) 5 (2.a)

(4.a) 2 (2.a))3 1 21 1 15 1 4

2 2 1(

x + 2y = 1

2x y = 3

5x + y = 8

3x + y = 2

x y = 1

5x y = 4

2x + 2y = 1

x + 2y = 5

3x y = 1

2x + 4y = 0

x = 2y = 2

y = 1

x + 2y = 0

5y = 5

)1 2 00 5 50 0 0((1.a)(2.a)(3.a) + (1.a))1 2 00 5 51 2 0((1.a)(2.a) + 2 (1.a)(2/3) (3.a))

1 2 02 1 5

3/2 3 0(

x + 2y = 5

3x y = 1

2x + 4y = 0

x + 2y = 0

2x + y = 5

(3/2)x 3y = 0

TREBATZEKO


1

1. unitatea. Ekuazio sistemak. Gauss-en metodoa

Azken bi errenkadak ezabatu ditzakegu, lehenengoarekin bat datozelako.Orduan:

4y = 1 8 y =

x y = 1 8 x = 1 + y = 1 =

Soluzioa: ( , )Lau zuzenek elkar ebakitzen dute puntu batean ( , ) da ebakitze puntua.

b) ( ) 8 ( )2. ekuaziotik y = lortu dugu. Eta 3. ekuaziotik y = .

Beraz, sistema bateraezina da.

Binaka elkar ebakitzen duten hiru zuzen dira, baina hiru zuzen hauek ez dutepuntu komunik.

3 Ebatzi eta interpretatu geometrikoki honako sistema hauek:

a) b)

a)

Gauss-en metodoaz ebatziko dugu:

( ) 8 ( ) 88 ( )

Soluzioa: (1, 1, 0)

Geometrikoki (1,1,0) puntuan elkar ebakitzen duten hiru plano dira.

x = 2 y = 1

y = 1

z = 0

x + y = 2

2y = 2

z = 0

x + y z = 2

2y + 3z = 2

z = 0

x + y z = 2

2y + 3z = 2

2z = 0

1 1 1 20 2 3 20 0 2 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) (2.a)

1 1 1 20 2 3 20 2 1 2

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) (1.a)

1 1 1 22 0 1 21 1 0 0

x + y z = 2

2x + z = 2

x y = 0

2x + y + z = 3

x y + z = 1

3x + y + z = 4

x + y z = 2

2x + y + z = 2

x y + z = 0

13

15

1 2 10 5 50 9 13

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) 5 (1.a)

1 2 12 1 35 1 8

14

34

14

34

34

14

14

14


b)

3. ekuazioa, 1. eta 2. ekuazioen batura denez, ahal dugu kendu.

8

8

l = egingo dugu.

Soluzioa: x = l, y = 2l, z = + 3l

Geometrikoki, zuzen batean elkar ebakitzen duten hiru plano dira. Zuzen hori

, 0, puntutik igarotzen den eta (1, 2, 3) norabidea duen zuzena izanda.

4 Ebatzi eta interpretatu geometrikoki sistema hauek:

a) b)

a)

8

1. eta 2. ekuazioak bateraezinak dira. Ez du soluziorik.

Geometrikoki, hiru plano dira, bi paraleloak eta hirugarrenaren ebakitzaileak.

b)

1. eta 2. ekuazioak bateraezinak dira. Ez du soluziorik.

Geometrikoki, paraleloak diren bi plano beste plano batekin ebakitzen direnhiru plano dira.

2x + y z = 1

2x + y z = 3

y z = 0

y z = 5

y + z = 3

x = 0

x + y z = 5

x y + z = 3

2x = 0

2x + y z = 1

2x + y z = 3

y z = 0

x + y z = 5

x y + z = 3

2x y + z = 0

)1232(

)1232(

y

2

3 yx =

23 y 1 3y

z = 1 + y x = 1 + y = + 2 2 2

2x = 3 y

x + z = 1 + y

2x + y = 3

x y + z = 1

2x + y = 3

x y + z = 1

3x + z = 4

1

15


5 Arrazoitu sistema hauek soluziorik duten eta interpretatu geometrikoki:

a) b)

a)2. ekuazioa 2-az zatitzen badugu, orduan:

x + 2y z = , honek adierazten duena eta 1.ak adierazten duena kontra-koak dira.

Sistema bateraezina da. Bi plano paralelo dira.

b)1. ekuazioa -ekin biderkatzen badugu, orduan:

x 2y 4z = 2, 2. ekuazioarekin kontraesanean dagoena.

Sistema bateraezina da. Bi plano paralelo dira.

Sistema mailakatuak

6 Ebatzi honako sistema hauek, aldez aurretik mailakatuak diren bereiziz:

a) b)

c) d)

a)

Soluzioa: (2, 3)

b)

z = y = z 1 = x = =

Soluzioa: ( , , )c)

x = 0 z = x 2 = 2 y = 9 + z x = 7

Soluzioa: (0, 7, 2)

2x = 0

x + y z = 9

x z = 2

29

79

23

23

3 + y z3

79

29

y + z = 1

9z = 2

3x y + z = 3

y = 37 + y

x = = 22

2x y = 7

23y = 69

2x 3y + z = 0

3x y = 0

2y = 1

2x + y z = 0

x + y z = 9

x y z = 2

y + z = 1

9z = 2

3x y + z = 3

2x y = 7

23y = 69

23

23

x + 3y + 6z = 3

(2/3)x 2y 4z = 2

12

x + 2y z = 3

2x + 4y 2z = 1

x +3y + 6z = 3

(2/3)x 2y 4z = 2

x + 2y z = 3

2x + 4y 2z = 1

16

d)

y = x = = z = 2x + 3y =

Soluzioa: ( , , )

7 Ebatzi sistema hauek:

a) b)

c) d)

a)

Soluzioak: (7 l, 5, l)

b)

Soluzioak: (1, 2 l, l)

c)

z = 1 2t y = 3 + t z = 2 + 3t x = 4 t + z y = 3 6t

Soluzioak: (3 6l, 2 + 3l, 1 2l, l)

d)

Soluzioak: (5 + 3l, 4 l, l, 3 + 2l)

8 Bihurtu mailakatu eta ebatzi honako sistema hauek:

a) b)

x + 2y = 1

x + y = 0

2x + y = 3

3x 2y = 5

x + y = 0

x y = 2

y = 4 z

t = 1 y + z = 1 (4 z) + z = 3 + 2z

x = 2 y + t = 2 (4 z) 3 + 2z = 5 + 3z

x + y t = 2

y + z = 4

y + t z = 1

x + y z = 4 t

y + z = 3 + t

z = 1 2t

x + y z + t = 4

y + z t = 3

z + 2t = 1

y = 2 z

4 z y 4 z 2 + zx = = = 1

2 2

2x + y = 4 z

y = 2 z

2x + y + z = 4

y + z = 2

y = 5

x = 2 z + y = 7 z

x y + z = 2

y = 5

x + y t + z = 2

y t + z = 4

y + t z = 1

x + y z + t = 4

y + z t = 3

z + 2t = 1

2x + y + z = 4

y + z = 2

x y + z = 2

y + z = 5

76

12

16

76

16

y

312

2x 3y + z = 0

3x y = 0

2y = 1


1

a)

8 8

8 8 8

8 8 y = 1 x = y = 1

Soluzioa: (1, 1)

b)

8

2. eta 3. lerroak bateraezinak dira. Ez du soluziorik.

9 Bihurtu mailakatu eta ebatzi honako sistema hauek:

a) b)

a) ( ) 8 ( ) 8

8 x = 1 y = 2x 7 = 5

Soluzioa: (1, 5)

b)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( ) 88 z = y = z 1 = x = 2 + 2y + z =

Soluzioa: ( , , )297923

23

79

29

x 2y z = 2

y + z = 1

9z = 2

1 2 1 20 1 1 10 0 9 2

(1.a)

(2.a)

(3.a) + 5 (2.a)

1 2 1 20 1 1 10 5 4 3

(1.a)

(2.a)

(3.a) 3 (1.a)

1 2 1 20 1 1 13 1 1 3

(2.a)

(1.a)

(3.a)

0 1 1 11 2 1 23 1 1 3

y + z = 1

x 2y z = 2

3x y + z = 3

2x y = 7

11x = 11

2 1 711 0 11

(1.a)

(2.a) + 3 (1.a)

2 1 75 3 10

2x y = 7

5x + 3y = 10

y + z = 1

x 2y z = 2

3x y + z = 3

2x y = 7

5x + 3y = 10

)1 2 10 1 10 3 1((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 2 (1.a))1 2 11 1 02 1 3(

x + 2y = 1

x + y = 0

2x + y = 3

x + y = 0

y = 1)1 1 00 1 10 0 0((1.a)(2.a)(3.a) (2.a))1 1 00 1 10 1 1((1.a)(2.a) : 5(3.a) : 2)

1 1 00 5 50 2 2((1.a)(2.a) 3 (1.a)(3.a) (1.a)

)1 1 03 2 51 1 2((2.a)(1.a)(3.a))3 2 51 1 01 1 2(

3x 2y = 5

x + y = 0

x y = 2


Gaussen metodoa

s10 Ebatzi, Gaussen metodoa erabiliz:

a) b)

c) d)

a)

8 8

8 8

z = 0 y = 2 z = 2 x = 1 y = 3

Soluzioa: (3, 2, 0)

b)

8 8

8 8 y = x = y z =

Soluzioak: , , l

c)

8 8

8 8

Soluzioak: (1 3l, 2 + 4l, l)

y = 4z + 2

x = 1 y + z = 1 (4z + 2) + z = 1 3z

z = l

x + y z = 1

y + 4z = 2)1 1 1 10 1 4 20 0 0 0((1.a)(2.a)(3.a) 2 (2.a))1 1 1 10 1 4 20 2 8 4((1.a)(2.a) 3 (1.a)(3.a) 5 (1.a))

1 1 1 13 2 1 15 3 3 1(

x + y z = 1

3x + 2y + z = 1

5x + 3y + 3z = 1

)l2l2(

z

2

z

2

x + y + z = 0

2y + z = 0)1 1 1 00 2 1 00 0 0 0((1.a)(2.a)(3.a) (2.a))1 1 1 00 2 1 00 2 1 0((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 2 (1.a))

1 1 1 01 3 2 02 4 3 0(

x + y + z = 0

x + 3y + 2z = 0

2x + 4y + 3z = 0

x + y = 1

y + z = 2

2z = 0)1 1 0 10 1 1 20 0 2 0((1.a)(2.a)(3.a) + (2.a)

)1 1 0 10 1 1 20 1 1 2((1.a)(2.a)(3.a) (1.a))1 1 0 10 1 1 21 0 1 3(

x + y = 1

y + z = 2

x + z = 3

3x + 4y z = 3

6x 6y + 2z = 16

x y + 2z = 6

x + y z = 1

3x + 2y + z = 1

5x + 3y + 3z = 1

x + y + z = 0

x + 3y + 2z = 0

2x + 4y + 3z = 0

x + y = 1

y + z = 2

x + z = 3


1

d)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( ) 88

Soluzioa: (1, 1, 2)


a) b)

a)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( ) 88

Soluzioa: (2, 4, 6)

b)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( ) 88 z = y = = 2 x = y z =

Soluzioa: ( , 2, )1232

32

3 + 2z2

12

x + y + z = 0

2y 2z = 3

2z = 1

1 1 1 00 2 2 30 0 2 1

(1.)

(2.)

2 (3.) + (2.a)

1 1 1 00 2 2 30 1 2 1

(1.a)

(2.a) 5 (1.a)

(3.a) 3 (1.a)

1 1 1 05 3 3 33 2 1 1

(3.a)

(2.a)

(1.a)

3 2 1 15 3 3 31 1 1 0

3x + 2y + z = 1

5x + 3y + 3z = 3

x + y + z = 0

x = 2

y = 2 x = 4

z = 4 x = 6

3x = 6

x + y = 2

x + z = 4

3 0 0 61 1 0 21 0 1 4

(1.a) 5 (2.a)

(2.a)

(3.a)

2 5 0 161 1 0 21 0 1 4

(1.a)

(2.a) : 3

(3.a)

2 5 0 163 3 0 61 0 1 4

(1.a)

(2.a) + 2 (3.a)

(3.a)

2 5 0 161 3 2 21 0 1 4

2x + 5y = 16

x + 3y 2z = 2

x + z = 4

3x + 2y + z = 1

5x + 3y + 3z = 3

x + y + z = 0

2x + 5y = 16

x + 3y 2z = 2

x + z = 4

y = 3 + z = 3 2 = 1

x = 6 + y 2z = 6 + 1 + 4 = 1

x y + 2z = 6

z = 2

y z = 3

1 1 2 60 0 1 20 1 1 3

(1.a)

(2.a) : (5)

(3.a) : 7

1 1 2 60 0 5 100 7 7 21

(1.a)

(2.a) 3 (1.a)

(3.a) 3 (1.a)

1 1 2 63 3 1 83 4 1 3

(3.a)

(2.a) : 2

(1.a)

3 4 1 36 6 2 161 1 2 6

3x + 4y z = 3

6x 6y + 2z = 16

x y + 2z = 6


s12 Ebatzi, ahal badira, honako sistema hauek:

a) b)

c) d)

a)

( ) 8 ( ) 8

8 ( ) 8y = 1 z = = 8 x = 9 2y z = 1

Soluzioa: (1, 1, 8)

b) ( ) 8 ( ) 8

8

z = 5l egiten badugu, orduan, soluzioak: ( 3l, l, 5l)

c)

( ) 8 ( ) 8

8 ( ) 8 ( )Bigarren ekuazioa ezinezkoa da: 0x + 0y + 0z = 5

Sistema bateraezina da.

1 1 1 20 0 0 50 3 0 3

(1.a)

(2.a) + 2 (3.a)

(3.a)

1 1 1 20 6 0 10 3 0 3

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) + (1.a)

1 1 1 22 4 2 31 2 1 1

(3.a)

(2.a)

(1.a)

1 2 1 12 4 2 31 1 1 2

x + 2y z = 1

2x 4y + 2z = 3

x + y + z = 2

75

15

7 zy =

5 514 2z 1 3z

x = 3 z 2y = 3 z + = 5 5 5 5

x + 2y = 3 z5y = 7 z

1 2 1 30 5 1 7

(1.a)

(2.a) + 2 (1.a)

1 2 1 32 1 1 1

x + 2y + z = 3

2x y + z = 1

19 3y2

x + 2y + z = 9

3y + 2z = 19

7y = 7

1 2 1 90 3 2 190 7 0 7

(1.a)

(2.a)

(2.a) + 2 (3.a)

1 2 1 90 3 2 190 5 1 13

(1.a)

(2.a) + (1.a)

(3.a) 2 (1.a)

1 2 1 91 1 1 102 1 1 5

x + 2y + z = 9

x y z = 10

2x y + z = 5

2x 3y + z = 0

3x y = 0

4x + y z = 0

x + 2y z = 1

2x 4y + 2z = 3

x + y + z = 2

x + 2y + z = 3

2x y + z = 1

x + 2y + z = 9

x y z = 10

2x y + z = 5


1

d)

( ) 8 ( ) 8

8 ( ) 8

Soluzioak: (l, 3l, 7l)

45. orrialdea

s13 Aztertu eta ebatzi, Gaussen metodoa erabiliz:

a) b)

c) d)

a)

( ) 8 ( ) 8

8 ( ) 8 Sistema bateragarri determinatua.Ebatziko dugu:

y = x = y + 3z + 2 =

Soluzioa: ( , , 0)1232

32

12

x + y + 3z = 2

6y + 11z = 3

z = 0

1 1 3 20 6 11 30 0 12 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) (1.a)

1 1 3 20 6 11 30 6 1 3

(1.a)

(2.a) + 4 (1.a)

(3.) + 2 (1.a)

1 1 3 24 2 1 52 4 7 1

x + y + 3z = 2

4x + 2y z = 5

2x + 4y 7z = 1

x y + 3z 14t = 0

2x 2y + 3z + t = 0

3x 3y + 5z + 6t = 0

5x + 2y + 3z = 4

2x + 2y + z = 3

x 2y + 2z = 3

y + z = 1

x y = 1

x + 2y + 3z = 2

x + y + 3z = 2

4x + 2y z = 5

2x + 4y 7z = 1

y = 3x

z = 2x + 3y = 2x + 9x = 7x

x = l

2x 3y + z = 0

3x y = 0

2 3 1 03 1 0 00 0 0 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) 2 (2.a)

2 3 1 03 1 0 06 2 0 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) + (1.a)

2 3 1 03 1 0 04 1 1 0

2x 3y + z = 0

3x y = 0

4x + y z = 0


b)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( )Sistema bateragarri indeterminatua. Ebatziko dugu:

Soluzioak: (1 + l, l, 1 l)

c)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( )Sistema bateragarri determinatua. Ebatziko dugu:

Soluzioa: (1, 1, 1)

d)

( ) 88 ( )8 ( )Sistema bateragarri indeterminatua. Ebatziko dugu:

Soluzioak: (l, l, 0, 0)

t = 0

z = 0

x = y

y = l

x y + 3z 14t = 0

3z + 29t = 0

28t = 0

1 1 3 14 00 0 3 29 00 0 0 28 0

(1.a)

(2.a)

4 (2.a) + 3 (3.a)

1 1 3 14 00 0 3 29 00 0 4 48 0

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) 3 (1.a)

1 1 3 14 02 2 3 1 03 3 5 6 0

x y + 3z 14t = 0

2x 2y + 3z + t = 0

3x 3y + 5z + 6t = 0

z = 1

y = 1

x = 3 + 2y 2z = 1

x 2y + 2z = 3

2y z = 3

z = 1

1 2 2 30 2 1 30 0 1 1

(1.a)

(2.a) : 3

(3.a) 2 (2.a)

1 2 2 30 6 3 90 12 7 19

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) 5 (1.a)

1 2 2 32 2 1 35 2 3 4

(3.a)

(2.a)

(1.a)

5 2 3 42 2 1 31 2 2 3

5x + 2y + 3z = 4

2x + 2y + z = 3

x 2y + 2z = 3

x = 1 + y

z = 1 y

y = l

x y = 1

y + z = 1

1 1 0 10 1 1 10 0 0 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) 3 (2.a)

1 1 0 10 1 1 10 3 3 3

(1.a)

(2.a)

(3.a) (1.a)

1 1 0 10 1 1 11 2 3 2

(2.a)

(1.a)

(3.a)

0 1 1 11 1 0 11 2 3 2

y + z = 1

x y = 1

x + 2y + 3z = 2


1

14 Sailkatu honako sistema hauek bateragarriak ala bateraezinak diren arabera:

a) b)

a)

Bateragarri indeterminatua.

b)

( ) 8 ( ) 88 Bateragarri determinatua.

s15 Aztertu eta ebatzi, Gaussen metodoa erabiliz:

a) b)

a)

( ) 88 ( ) 8 ( ) 88

Sistema bateragarri determinatua da, eta soluzioa (1, 2, 3).

b)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 Sistema bateragarri indeterminatua.Ebatziko dugu:

Soluzioak: (l, 3l, 7l)

y = 3x

z = 2x + 3y = 2x + 9x = 7x

x = l

2x 3y + z = 0

3x y = 0

2 3 1 03 1 0 00 0 0 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) 2 (2.a)

2 3 1 03 1 0 06 2 0 0

(1.a)

(2.a) + (1.a)

(3.a) + (1.a)

2 3 1 01 2 1 04 1 1 0

2x 3y + z = 0

x + 2y z = 0

4x + y z = 0

z = 3

y = 7 3z = 2

x = 2 y z = 1

x + y + z = 2

y + 3z = 7

23z = 69

1 1 1 20 1 3 70 0 23 69

(1.a)

(2.a)

(3.a) + 6 (2.a)

1 1 1 20 1 3 70 6 5 27

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) (1.a)

1 1 1 22 3 5 111 5 6 29

x + y + z = 2

2x + 3y + 5z = 11

x 5y + 6z = 29

2x 3y + z = 0

x + 2y z = 0

4x + y z = 0

x + y + z = 2

2x + 3y + 5z = 11

x 5y + 6z = 29

1 1 1 30 3 1 40 2 0 2

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) (1.a)

1 1 1 32 1 1 21 1 1 1

x + y + z = 3

2x y + z = 2

x y + z = 1

x + y = 3

x + y = 3

z = 0

x + y + z = 3

x + y z = 3

z = 0

x + y + z = 3

2x y + z = 2

x y + z = 1

x + y + z = 3

x + y z = 3

z = 0


Ekuazio-sistemen eztabaida

16 Eztabaidatu honako sistema hauek, m parametroaren balioen arabera:

a) b)

c) d)

a)

8

m = 4 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

m ? 4 bada 8 Sistema bateraezina.

b)

8

Sistema bateragarri determinatua m edozein izanda.

c)

m = 0 bada 8 Sistema bateraezina.

m ? 0 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

d)

m = 5 bada 8 Sistema bateragarri indeterminatua.

m ? 5 bada 8 Sistema bateragarri determinatua. Soluzioa (0, 0, 0).

s17 Eztabaidatu sistema hauek, ahal direnean:

a) b)

2x + y z = 1

x 2y + z = 3

5x 5y + 2z = m

2x y = 4

x + y/2 = 2

x + ky = 2

)1 1 0 03 0 1 00 0 m 5 0(

x y + z = 0

3x y + z = 0

(m 5)z = 0

)1 1 1 10 2 8 30 0 m 1(

x + y z = 1

2y + 8z = 3

mz = 1

)1 2 1 30 1 2 00 0 1 m((1.a)(2.a)(3.a) 3 (1.a))1 2 1 30 1 2 00 3 7 m(

x 2y + z = 3

y + 2z = 0

3y + 7z = m

)1 2 30 1 10 0 m 4((1.a)(2.a)(3.a) 2 (2.a))1 2 30 1 10 2 m 2(

x + 2y = 3

x + 2y = 1

x + 2y = m 2

x y + z = 0

3x y + z = 0

(m 5)z = 0

x + y z = 1

2y + 8z = 3

mz = 1

x 2y + z = 3

y + 2z = 0

3y + 7z = m

x + 2y = 3

x + 2y = 1

x + 2y = m 2


1

a)

8

k = bada 8 Sistema bateragarri indeterminatua. Ebatziko dugu:

2x y = 4 8

Soluzioak: (l, 2l 4)

k ? bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

Soluzioa: (2, 0)

b)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 88 ( ) m = 10 bada 8 Sistema bateragarri indeterminatua. Ebatziko dugu:

z = 5l egingo dugu.

Soluzioak: (1 + l, 1 + 3l, 5l)

m ? 10 bada 8 Bateraezina.

s18 Ebatzi honako sistema hauetako bakoitza, bateragarri egingo duen m-renbalioetarako:

a) b)

x y 2z = 2

2x + y + 3z = 1

3x + z = 3

x + 2y + 5z = m

x + 2y = 3

2x y = 1

4x + 3y = m

5 + 3z 3zy = = 1 +

5 56z z

x = 3 + 2y z = 3 2 + z = 1 + 5 5

x 2y + z = 3

5y 3z = 5

1 2 1 30 5 3 50 0 0 m 10

(1.a)

(2.a)

(3.a) (2.a)

1 2 1 30 5 3 50 5 3 m 15

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) 5 (1.a)

1 2 1 32 1 1 15 5 2 m

(2.a)

(1.a)

(3.a)

2 1 1 11 2 1 35 5 2 m

2x + y z = 1

x 2y + z = 3

5x 5y + 2z = m

y = 0

x = 2

2x y = 4

(2k + 1)y = 0

12

y = 2x 4

x = l

12

)2 1 40 0 00 2k + 1 0((1.a)2 (2.a) + (1.a)2 (3.a) (1.a))2 1 41 1/2 21 k 2(

2x y = 4

x + y/2 = 2

x + ky = 2


a)

( ) 8 ( ) 8

8 ( ) m = 7 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

x = 3 2y = 1

Solucin: (1, 1)


b)

( ) 88 ( ) 8 ( ) m = 1 bada 8 Sistema bateragarri indeterminatua.

z = 3l egingo dugu:

Soluzioak: (1 l, 1 7l, 3l)



a) b)

x + y + z + t = 1

x y + z t = 0

x + y z t = 1

x + y + z t = 2

x + 2z = 11

x + y = 3

y + z = 13

x + y + z = 10

EBAZTEKO

3 7z 7zy = = 1

3 37z z

x = 2 + y + 2z = 2 1 + 2z = 1 3 3

x y 2z = 2

3y + 7z = 3

1 1 2 20 3 7 30 0 0 00 0 0 m + 1

(1.a)

(2.a)

(3.a) (2.a)

(4.a) (2.a)

1 1 2 20 3 7 30 3 7 30 3 7 m 2

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) 3 (1.a)

(4.a) (1.a)

1 1 2 22 1 3 13 0 1 31 2 5 m

x y 2z = 2

2x + y + 3z = 1

3x + z = 3

x + 2y + 5z = m

x + 2y = 3

y = 1

1 2 30 1 10 0 m 7

(1.a)

(2.a) : (5)

(3.a) (2.a)

1 2 30 5 50 5 m 12

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) 4 (1.a)

1 2 32 1 14 3 m

x + 2y = 3

2x y = 1

4x + 3y = m


1

a)

8 8

8 8 8

8

Soluzioa: (3, 6, 7)

b)

8

8 8

t = z = 1 t = 1 + = y = = 1 x = 1 y z t = 1

Soluzioa: (1, 1, , )

s20 Eztabaidatu honako ekuazio sistema hauek:

a) b)

c) d)

a)

8

Sistema bateragarri determinatua da k-ren edozein baliotarako.

)1 1 1 k0 0 3 1 k0 3 k + 2 2k((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 2 (1.a))1 1 1 k1 1 2 12 1 k 0(

x y z = k

x y + 2z = 1

2x + y + kz = 0

3x + 2y + az = 1

5x + 3y + 3z = 2

x + y z = 1

x 2y + z = 1

mx + y z = 1

3x + 4y 2z = 3

x + y z = 0

x + 3y + z = 0

3x + ay + 4z = 0

x y z = k

x y + 2z = 1

2x + y + kz = 0

12

32

2t 12

32

12

12

x + y + z + t = 1

2y 2t = 1

z + t = 1

2t = 1)1 1 1 1 10 2 0 2 10 0 2 2 2

0 0 0 2 1((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) (1.a)

(4.a) (1.a)

)1 1 1 1 11 1 1 1 01 1 1 1 11 1 1 1 2(

x + y + z + t = 1

x y + z t = 0

x + y z t = 1

x + y + z t = 2

y = 8 + 2z = 8 + 14 = 6

x = 11 2z = 11 14 = 3

x + 2z = 11

y 2z = 8

z = 7

)1 0 2 110 1 2 80 0 0 00 0 1 7((1.a)(2.a)(3.a) 3 (4.a)

(4.a))1 0 2 110 1 2 80 0 3 21

0 0 1 7((1.a)(2.a)(3.a) (2.a)

(4.a) (2.a)

)1 0 2 110 1 2 80 1 1 130 1 1 1((1.a)(2.a) (1.a)(3.a)

(4.a) (1.a))1 0 2 111 1 0 30 1 1 13

1 1 1 10(

x + 2z = 11

x + y = 3

y + z = 13

x + y + z = 10


b)

8 8

8 8

a = 10 bada 8 Sistema bateragarri indeterminatua.

a ? 10 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

c)

( ) 8 ( ) 88 ( )Bateragarri determinatua da m-ren edozein baliotarako.

d)

8 8

8 8

2 2a = 0 8 a = 1

a = 1 bada 8 Sistema bateraezina.

a ? 1 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

s21 Eztabaidatu eta ebatzi parametroaren funtzioan:

a) b)

a)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( )1 0 3 20 1 4 4

0 m 1 0 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) + (2.a)

1 0 3 20 1 4 40 m 4 4

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) + (1.a)

1 0 3 22 1 2 01 m 1 2

(3.a)

(2.a)

(1.a)

1 m 1 22 1 2 01 0 3 2

x + my + z = 2

2x y + 2z = 0

x 3z = 2

x + y + z = 0

3x + 2y + az = 5

2x + y + z = 3

x + my + z = 2

2x y + 2z = 0

x 3z = 2

)1 1 1 10 2 8 30 0 2 2a 1((1.a)(2.a)2 (3.a) + (2.a))1 1 1 10 2 8 30 1 a + 3 2((1.a)(2.a) 5 (1.a)(3.a) 3 (1.a)

)1 1 1 15 3 3 23 2 a 1((3.a)(2.a)(1.a))3 2 a 15 3 3 21 1 1 1(

3x + 2y + az = 1

5x + 3y + 3z = 2

x + y z = 1

1 2 1 15 0 0 1

m + 1 1 0 2

(1.a)

(2.a) + 2 (1.a)

(3.a) + (1.a)

1 2 1 13 4 2 3m 1 1 1

(1.a)

(3.a)

(2.a)

1 2 1 1m 1 1 13 4 2 3

x 2y + z = 1

mx + y z = 1

3x + 4y 2z = 3

)1 1 1 00 1 1 00 a 10 0 0((1.a)(2.a)(3.a) 7 (2.a))1 1 1 00 1 1 00 a 3 7 0((1.a)(2.a) : 2(3.a)

)1 1 1 00 2 2 00 a 3 7 0((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 3 (1.a))1 1 1 01 3 1 03 a 4 0(

x + y z = 0

x + 3y + z = 0

3x + ay + 4z = 0


1

m = 1 bada 8 Sistema bateragarri indeterminatua.

Soluzioak: (2 3l, 4 4l, l)

m ? 1 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

Soluzioa: (1, 0, 1)

b)

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( ) a = 2 bada 8 Sistema bateraezina.

a ? 2 bada 8 Sistema bateragarri determinatua. Ebatziko dugu:

z =

y = 3 z = 3 =

x = y z = =

Soluzioa: ( , , )

s22 Eztabaidatu honako sistema hauek a-ren balioen arabera, eta interpretatugeometrikoki:

a) b)

x y = 1

2x + 3y 5z = 16

x + ay z = 0

ax y = 1

x ay = 2a 1

2a 2

4 3aa 2

3a 6a 2

3a 6a 2

2a 2

4 + 3aa 2

4 3aa 2

2a 2

2a 2

x + y + z = 0

y + z = 3

(a 2)z = 2

1 1 1 00 1 1 30 0 a 2 2

(1.a)

(2.a)

(3.a) (2.a)

1 1 1 00 1 1 30 1 a 3 5

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) 3 (1.a)

1 1 1 02 1 1 33 2 a 5

(1.a)

(3.a)

(2.a)

1 1 1 03 2 a 52 1 1 3

x + y + z = 0

3x + 2y + az = 5

2x + y + z = 3

y = 0

z = 1

x = 2 3z = 1

x + 3z = 2

y + 4z = 4

(m 1)y = 0

x = 2 3z

y = 4 4z

z = l

x + 3z = 2

y + 4z = 4


a) ( ) 8 ( )a ? 0

a ? 1 bada, orduan:

( ) Sistema bateragarri indeterminatua. Bat datozen bi zuzen dira. a = 1 bada, orduan:

( ) Sistema bateraezina. Bi zuzen paralelo dira. a ? 1 eta a ? 1 bada 8 Sistema bateragarri determinatua. Bi zuzen

ebakitzaile dira.

b)

( ) 8 ( ) 88 ( )

a ? 0 bada 8 Sistema bateragarri determinatua. Puntu batean elkar ebaki-tzen duten hiru plano dira.

a = 0 bada 8 Sistema bateraezina. Planoek binaka ebakitzen dute elkar,baina ez dago hiru planoen amankomuneko punturik.

23 A, B eta C hiru lagun dira. Ak hau esan dio B-ri: nire diruaren herena ema-ten badizut, hirurok kopuru bera izango dugu.

Kalkulatu zenbat diru duen bakoitzak, hirurek, guztira, 60 badituzte.

A-k duen diru kopuruari x, B-k duen diru kopuruari y eta C-k duen diru kopuruari z deituko diegu.

Datu horiekin ondorengo sistema hau planteatuko dugu:

Soluzioa: x = 30, y = 10, z = 20

Beraz, A-k 30 , B-k 10 eta C-k 20 dauzkate.

x + 3y = 0

2x 3z = 0

x + y + z = 60

xy = 0

32 x z = 03x + y + z = 60

x 2xy + =

3 32x = z3

x + y + z = 60

1 1 0 10 5 5 180 5a 0 13

(1.a)

(2.a)

5 (3.a) (2.a)

1 1 0 10 5 5 180 a + 1 1 1

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) (1.a)

1 1 0 12 3 5 161 a 1 0

x y = 1

2x + 3y 5z = 16

x + ay z = 0

1 1 10 0 2

1 1 10 0 0

a 1 10 1 a2 2a2 a 1

(1.a)

(2.a) a (1.a)a 1 11 a 2a 1

ax y = 1

x ay = 2a 1


1

s24 UBiltegi bateko jabeak hiru kafe mota ditu: A motakoak, 9,80 /kg balio du; B-k, 8,75 /kg, eta C motakoak, 9,50 /kg. 10,5 kg-ko nahaste bat egin nahi duhiru motekin, 9,40 /kg balioko duena. Mota bakoitzeko zenbat kilo nahasibehar ditu, C motatik A-tik eta B-tik jarriko duenaren bikoitza jarri behar badu?

A-ren kantitateari x, B-ren kantitateari y eta C-ren kantitateari z deituko diegu.

Ondorengo sistema hau planteatuko dugu:

Soluzioa: x = 1,5; y = 2; z = 7

A motako 1,5 kg, B motako 2 kg eta C motako 7 kg nahastu behar ditu.

s25 Aurkitu hiru zifrako zenbaki bat, kontuan hartuta horien batura 9 dela;emandako zenbaki horri zifrak alderantziz jarrita lortzen dena kenduz gero,kendura 198 dela, eta hamarrekoetako zifra beste bien batez besteko arit-metikoa dela.

* Unitateetako zifra x bada; hamarrekoetakoa, y, eta ehunekoetakoa, z, zen-baki hori x + 10y + 100z izango da.

Unitateetako zifrari x deituko diogu, hamarrekoetakoari y eta ehunekoetakozifrari z.

z y x 8 Zenbakia = x + 10y + 100zBeraz:

( ) 8 ( ) 8

( ) 8 ( ) 8 ( )

Soluzioa: Zenbakia 432 da.

z = 4

y = 11 2z = 11 8 = 3

x = z 2 = 2

x + z = 2

y + 2z = 11

3z = 12

1 0 1 20 1 2 110 0 3 12

(1.a)

(2.a)

(3.a) + (2.a)

1 0 1 20 1 2 110 1 1 1

(1.a)

(2.a)

(3.a) : 2

1 0 1 20 1 2 110 2 2 2

(1.a)

(2.a) + (1.a)

(3.a) + (1.a)

1 0 1 21 1 1 91 2 1 0

(2.a)

(1.a)

(3.a)

1 1 1 91 0 1 21 2 1 0

x + y + z = 9

x + z = 2

x 2y + z = 0

x + y + z = 9

99x + 99z = 198

2y = x + z

x + y + z = 9

x + 10y + 100z (z + 10y + 100x) = 198

x + zy =

2

x + y + z = 10,5

z = 2(x + y )

9,8x + 8,75y + 9,5z = 10,5 9,4 = 98,7


46. orrialdea

s26 Bi lagunek dirua inbertitu dute, 20 000 bakoitzak. Lehenengoak A kantitate bat% 4ko interesean ezarri du; B kantitatea, % 5ean, eta gainerakoa, % 6an. Bestelagunak A kantitate bera % 5ean ezarri du; B, % 6an, eta gainerakoa, % 4an.

Zehaztu A, B eta C kantitateak, jakinda lehenengoak 1 050 -ko interesaklortu dituela, eta bigarrenak, 950 -koak.

( ) 8 ( ) 8

( ) 8Soluzioa: A = 5 000 ; B = 5 000 ; C = 10 000

s27 Denda batek bideojoko baten 600 ale saldu ditu, guztira 6 384 -an. Bideo-joko original bakoitzak 12 balio ditu, baina akastun kopiak ere saldu ditu% 30 eta % 40 merkeago.

Saldu dituen bideojoko akastunen kopurua originalen kopuruaren erdiaizan dela jakinda, kalkulatu zenbat kopiari ezarri dien % 30eko beherapena.

Hasierako prezioan, 12 -tan, saldutako kopia ko puruari x deituko diogu; % 30ekodeskontuarekin saldutako kopia kopuruari y, 0,7 12 = 8,4 -tan salduta; eta % 40ko deskontuarekin saldutako kopia kopuruari z, 0,6 12 = 7,2 -tan salduta.

Honela:

( ) 8 ( ) 8

( ) 8 ( )1 1 1 6000 1 1 2000 0 1,2 96

(1.a)

(3.a)

(3.a) 3,6 (3.a)

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 1 1 200

(1.a)

(2.a)

(3.a) : 3

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 3 3 600

(1.a)

(2.a) + 12 (1.a)

(3.a) + (1.a)

1 1 1 60012 8,4 7,2 6 3841 2 2 0

x + y + z = 600

12x + 8,4y + 7,2z = 6384

x 2y 2z = 0

x + y + z = 600

12x + 8,4y + 7,2z = 6384

xy + z =

2

C = 10 000

B = 5 000

A = 5 000

A + B + C = 20 000

B + 2C = 25 000

3C = 30 000

1 1 1 200000 1 2 250000 0 3 30000

(1.a)

(2.a)

(3.a) + (2.a)

1 1 1 200000 1 2 250000 1 1 5000

(1.a)

(2.a) 4 (1.a)

(3.a) 5 (1.a)

1 1 1 200004 5 6 1050005 6 4 95000

A + B + C = 20 000

4A + 5B + 6C = 105 000

5A + 6B + 4C = 95 000

A + B + C = 20 000

0,04A + 0,05B + 0,06C = 1 050

0,05A + 0,06B + 0,04C = 950


1

Soluzioa: % 30eko deskontua 120 kopiari egin zioten.

28 A, B eta C kaxa ditugu, 1 euroko txanponez beteta. Badakigu guztira 36 eurodaudela. A-n dauden txanponak beste bi kaxetan dauden txanponen artekobatura baino 2 gehiago dira. B kaxatik A kaxara txanpon bat pasatuz gero,A kaxan B-n dauden txanponen bikoitza egongo da. Esan zenbat txanpon zegoen kaxa bakoitzean.

x deituko diogu A kutxan dagoen txanpon kopuruari, y B kutxan dagoen txanpon kopuruari eta z C kutxan dagoen txanpon kopuruari. Orduan:

Lehen ekuazio biak batzen baditugu: 2x = 38 8 x = 19

3. ekuaziotik 8 y = = 11

z = 36 y x = 6

Soluzioa: 19 txanpon zeuden A kutxan , 11 B-n eta 6 C-n.

29 Automobil batek aldapak 54 km/h-ra igotzen ditu, 90 km/h-ra jaitsi eta leunean80 km/h-ra doa. A-tik B-ra joateko 2 ordu eta 30 minutu behar izan ditu, eta B-tik A-ra itzultzeko, 2 ordu eta 45 minutu. Zenbateko luzera du A eta B artekobide lauak, A eta B artean 192 km daudela jakinda?

A eta B-ren arteko bide lauaren luzera x da, aldats goraren luzera, A-tik B-ra doa-nean, y; eta aldats beheraren luzera, A-tik B-ra doanean, z.

( ) 8 ( ) 8

( )Soluzioa: A eta B-ren arteko bide lauaren luzera 94,8 km da.

y = 31,725 km

z = 65,475 km

x = 94,800 km

x + y + z = 192

13y 3z = 216

160y = 5 076

1 1 1 1920 13 3 2160 160 0 5076

(1.a)

(2.a)

(3.a) 3 + (2.a) 13

1 1 1 1920 13 3 2160 3 13 756

(1.a)

(2.a) 27 (1.a)

(3.a) 27 (1.a)

1 1 1 19227 40 24 540027 24 40 5940

x + y + z = 192

27x + 40y + 24z = 5 400

27x + 24y + 40z = 5 940

x + y + z = 192 km

x y z + + = 2,5 ordu80 54 90

x y z + + = 2,75 ordu80 90 54

x + 32

x + y + z = 36

x y z = 2

x 2y = 3

x + y + z = 36

x y z = 2

x + 1 = 2y 2

x + y + z = 36

x = y + z + 2

x + 1 = 2(y 1)

z = 80

y = 120

x = 400

x + y + z = 600

y + z = 200

1,2z = 96


s30 Hiru lagunek dadoetara hiru partida jokatzea erabaki dute. Galtzen duenak,beste biei, une horretan daukaten diru kantitatea adina eman beharko die.Jokalari bakoitzak partida bat galdu du, eta amaieran, bakoitza 24 -rekingelditu da. Zenbat zuen bakoitzak hasieran?

Ondoko taulan egoera islatuko dugu:

( ) 8

( ) 8 ( ) 8 ( )

Soluzioa: Lehen jokoa galdu zuen jokalariak 39 euro zituen, bigarrena galdu zuenak 21 eta hirugarrena galdu zuenak 12 zituen.

s31 Pertsona batek 6 000 -ko etekina lortu du, guztira 60 000 inbertitzeagatikhiru enpresatan: A, B eta C. A eta B enpresetan inbertituriko diruen batura C-n inbertitutakoa baino m bider handiagoa izan da, eta etekinak % 5ekoakizan ziren A-n, % 10ekoak B-n eta % 20koak C-n.

a) Planteatu ekuazio-sistema bat enpresa bakoitzean zenbat diru inbertituduen jakiteko.

b)Frogatu m > 0 bada, sistema bateragarri determinatua dela.

c) Aurkitu soluzioa m = 5 denerako.

a) Izan bitez x, y eta z, A, B eta C entrepresetan inbertitutako kantitateak,hurrenez hurren. Ondorengo sistema hau planteatuko dugu:

b) 8 )1 1 1 600000 0 m 1 60 0000 0,05 0,15 3 000((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 0,05 (1.a))1 1 1 600001 1 m 0

0,05 0,1 0,2 6 000(

x + y + z = 60 000

x + y mz = 0

0,05x + 0,1y + 0,2z = 6000

x + y + z = 60 000

x + y = mz

0,05x + 0,1y + 0,2z = 6000

z = 12

y = 9 + z = 21

x = 6 + y + z = 39

x y z = 6

y z = 9

2z = 24

1 1 1 60 1 1 90 0 2 24

(1.a)

(2.a)

(3.a) + (2.a)

1 1 1 60 1 1 90 1 3 15

(1.a)

(2.a) : 2

(3.a) : 2

1 1 1 60 2 2 180 2 6 30

(1.a)

(2.a) + (1.a)

(3.a) + (1.a)

1 1 1 61 3 1 121 1 7 24

x y z = 6

x + 3y z = 12

x y + 7z = 24

4x 4y 4z = 24

2x + 6y 2z = 24

x y + 7z = 24

HASIERA

1. GALTZAILEA x

2. GALTZAILEA y

3. GALTZAILEA z

1. JOKOA

x y z

2y

2z

2. JOKOA

2x 2y 2z

x + 3y z

4z

3. JOKOA

4x 4y 4z

2x + 6y 2z

x y + 7z


1

m = 1 bada: Sistema bateraezina da.

m ? 1 bada: Sistema bateragarri determinatua da.

Beraz, m > 0 bada, sistema bateragarri determinatua da.

c) m = 5, soluzioa: x = 20 000 , y = 30 000 , z = 10 000 .

s32 Seme, aita eta aitaita baten adinek honako baldintza hauek betetzen dituzte:aita eta semearen adinen eta aitaitaren adinaren bikoitzaren arteko batura182 urte dira.

Semearen adinaren bikoitza gehi aitaitarena 100 urte dira, eta aitarena abider da semearena.

a) Kalkulatu adinak, a = 2 pentsatuz.

b)a = 3 izan liteke?

c) a = 3 bada eta lehenengo baldintzan batura 200 bada, zer gertatzen daproblemarekin?

Izan bitez x, y eta z semearen, aitaren eta aititearen adinak, hurrenez hurren.

Ondoko sistema hau planteatuko dugu:

a) a = 2 bada: soluzioa: x = 18, y = 36, y = 64

Semeak 18 urte ditu, aitak 36 urte eta aititeak 64 urte.

b) a = 3 bada: sistema bateraezina da. Beraz, a ezin da 3 izan.

c) 8

Sistema bateragarri indeterminatua da, infinitu soluzio daude.

s33 Bihurtu daiteke sistema hau bateragarri indeterminatua zeinu bat aldatuz?

Bai. 2. ekuazioa ondoko honekin aldatzen badugu: x + y + z = 1, edo, 3.a bestehonekin: x + y + z = 1, geldituko den sistema bateragarri indeterminatua izangoda.

x + y + z = 1

x y + z = 1

x + y z = 1

GALDERA TEORIKOAK

4x + 2z = 200

2x + z = 100

x + y + 2z = 200

2x + z = 100

y = 3x

x + y + 2z = 182

2x + z = 100

y = ax


s34 Definitu noiz diren baliokideak ekuazio linealen bi sistema. Justifikatuhonako sistema hauek baliokideak diren ala ez:

Ekuazio linealen bi sistema baliokideak dira 1. sistemaren soluzio guztiak 2. siste-maren soluzioak direnean, eta alderantziz.

Aurreko bi sistemak ez dira baliokideak. Izan ere, 1.a bateragarri indeterminatua da(infinitu soluzio ditu) eta 2.a determinatua da (soluzio bakar bat du).

35 Bi ezezaguneko bi ekuazio lineal dituen sistema bateragarri indeterminatubat badaukagu, lor genezake sistema bateraezin bat hirugarren ekuazio batgehituz?

Bai. Adibidez:

Bateraezina

36 Bi ezezaguneko bi ekuazio dituen sistema bateraezin bati beste ekuazio batgehitzen badiogu, bateragarri indeterminatua bihur genezake? Eta determi-natua? Justifikatu erantzunak.

Ez. Sistema bateraezina bada, hasierako bi ekuazioak kontraesankorrak dira. Hauez da aldatuko hirugarren ekuazio bat gaineratzeagatik; sistemak bateraezinaizaten jarraituko du.

s37 S eta S' bi sistema baliokide dira, soluzio bakarrekoak, eta gai askeak ber-dinak dituztenak. Ezezagunen koefizienteak berdinak dituztela baiezta gene-zake?

Ez. Esate baterako, ondoko bi sistemak:

S: S':

baliokideak dira, (2, 1) dute soluzioa bakarra, eta gai askeak berdinak dituzte, bainaez ezezagunen koefizienteak.

38 Aurkitu, arrazoituz, honako sistema hau bateragarri egingo duen a-ren balio bat:

Izan daiteke bateragarri indeterminatua a = 2 baliorako?

x + y + 2z = 0

(a 1)x = 1

x + 3z = 2

(a 2)z = 0

2x y = 3

2x 3y = 1

x + y = 3

x y = 1

Bateragarri indeterminatua

x + 2y = 3

2x + 4y = 6

x + 2y = 1

x = 2

y = 1

z = 1

x + y + z = 2

x + y z = 4


1

a = 1 bada, 2. ekuazioan 0x = 1 geratzen da. Sistema bateraezina da.

a = 2 bada, 4. ekuazioan 0z = 0 geratzen denez, desagertu egiten da. Sistemabateragarri determinatua da. Beraz, ezin da bateragarri indeterminatua izan.

47. orrialdea

s39 Eztabaidatu honako sistema hauek a parametroaren funtzioan, eta ebatzibateragarri indeterminatuak direnak:

a) b)

a)

( ) 8

( ) a = 1 bada, orduan:

( ) 8 Sistema bateraezina. a = 2 bada, orduan:

( ) 8 ( ) 88 Sistema bateragarri indeterminatua.

Kasu horretan ebatziko dugu:

Soluzioak: (1 l, 0, l)

a ? 1 eta a ? 2 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

x + z = 1 8 x = 1 z

y = 0

z = l

x + y + z = 1

y = 0

1 1 1 10 0 0 00 1 0 0

(1.a)

(2.a) + (3.a)

(3.a)

1 1 1 10 1 0 00 1 0 0

1 1 1 00 1 1 10 0 0 1

1 1 1 a 10 1 a 2 a + 20 a 1 0 2 a

(1.a)

(2.a) 2 (1.a)

(3.a) (1.a)

1 1 1 a 12 1 a a1 a 1 1

x + y + z = a 1

2x + y + az = a

x + ay + z = 1

ax + y z = 0

2x + ay = 2

x + z = 1

x + y + z = a 1

2x + y + az = a

x + ay + z = 1

SAKONTZEKO

x + y + 2z = 0

(a 1)x = 1

x + 3z = 2

(a 2)z = 0


b)

( ) 8 ( ) 8

( ) 8 ( )a ? 0

a2 + a + 2 = 0 8 a = =

a = 1 bada, orduan:

( ) 8 Sistema bateraezina. a = 2 bada, orduan:

( ) 8 ( )Sistema bateragarri indeterminatua.

Soluzioak: (l, 1 l, 1 + l)

a ? 1 eta a ? 2 bada 8 Sistema bateragarri determinatua.

s40 Aurkitu, arrazoituz, honako sistema hauek bateragarri egingo dituzten aparametroaren bi balio:

( ) 8 ( ) 8

( ) a = 1 edo a = 6 bada, sistema bate-raezina da.1 1 2 0

a 1 0 0 11 0 3 20 0 a 6 1

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) 2 (3.a)

1 1 2 0a 1 0 0 1

1 0 3 22 0 a 3

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a)

(4.a)

1 1 2 0a 1 2 11 0 3 22 0 a 3

x + y + 2z = 0

ax + y + 2z = 1

x + 3z = 2

2x + az = 3

x + y + 2z = 0

ax + y + 2z = 1

x + 3z = 2

2x + az = 3

z = 1 + x

y = 1 x

x = l

x + z = 1

x + y = 1

1 0 1 11 1 0 10 0 0 0

(1.a)

(2.a) : 2

(3.a)

1 0 1 12 2 0 20 0 0 0

1 0 1 12 1 0 20 0 0 3

a = 1a = 2

1 32

1 1 + 82

1 0 1 12 a 0 2

a2 + a + 2 0 0 2 a

(1.a)

(2.a)

a (3.a) + (2.a)

1 0 1 12 a 0 2

a 1 1 0 1

(1.a)

(2.a)

(3.a) + (1.a)

1 0 1 12 a 0 2a 1 1 0

(3.a)

(2.a)

(1.a)

a 1 1 02 a 0 21 0 1 1

ax + y z = 0

2x + ay = 2

x + z = 1


1


41 Ebatzi honako sistema hau:

* Bost berdintza horiek batzen badituzu, kalkulua kasko sinplifikatzen lagundukodizun beste bat lortuko duzu.

Bost berdintzak batzen baditugu, orduan:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, hau da:

4(x + y + z + t + w) = 76, edo, bestela:

x + y + z + t + w = 19

Beraz: (x + y + z + t) + w = 17 + w = 19 8 w = 2

(x + y + z + w) + t = 16 + t = 19 8 t = 3

(x + y + t + w) + z = 15 + z = 19 8 z = 4

(x + z + t + w) + y = 14 + y = 19 8 y = 5

(y + z + t + w) + x = 14 + x = 19 8 x = 5

42 Bost lorazaineko talde batek lur arlo bateko arbolak inausi behar izan ditu,astelehenetik ostiralera lan eginda. Egunero, lauk inausi eta bosgarrenaklagundu egin die. Lorazain guztiek arbola kopuru bera inausi dute egun bakoi-tzean.

Emaitzak hauek izan dira: astelehenean, 35 arbola inausita; asteartean, 36;asteazkenean, 38; ostegunean, 39, eta ostiralean ez dakigu 36 ala 38 izan diren.

Kalkulatu zenbat arbola inausi dituen lorazain bakoitzak egunean, jakindazenbaki osoak izan direla eta batek ere ez duela bost egunetan inausi.

Izan bitez:

w: astelehenean atsedena hartzen duen lorazainak egunero inausitako zuhaitzkopurua.

t: asteartean atsedena hartzen duen lorazainak egunero inausitako zuhaitz kopu-rua.

z: asteazkenean atsedena hartzen duen lorazainak egunero inausitako zuhaitzkopurua.

x + y + z + t + w = 17

x + y + z + w = 16

x + y + t + w = 15

x + z + t + w = 14

y + z + t + w = 14

x + y + z + t + w = 17

x + y + z + w = 16

x + y + t + w = 15

x + z + t + w = 14

y + z + t + w = 14

y: ostegunean atsedena hartzen duen lorazainak egunero inausitako zuhaitz kopurua.

x: ostiralean atsedena hartzen duen lorazainak egunero inausitako zuhaitz kopurua.

Bost berdintzak batzen baditugu, honako hau lortuko dugu:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 148 + k, hau da:

4(x + y + z + t + w) = 148 + k, edo, bestela:

x + y + z + t + w = 37 +

x, y, z, t, w zenbaki osoak badira, euren batura ere osoa izango da; ondorioz,k ezezagunak 4-ren multiploa izan behar du. Esan digutenez 36 edo 38 balio duela,k = 36 dela ondorioztatuko dugu. (38 ez baita 4ren multiploa).

k = 36 dela jakinik, sistema ebatziko dugu:

Bost berdintzak batzen baditugu, honako hau lortuko dugu:

x + y +z + t + w = 37 + = 37 + 9 = 46

Beraz: (x + y + z + t) + w = 35 + w = 46 8 w = 11

(x + y + z + w) + t = 36 + t = 46 8 t = 10

(x + y + t + w) + z = 38 + z = 46 8 z = 8

(x + z + t + w) + y = 39 + y = 46 8 y = 7

(y + z + t + w) + x = 36 + x = 46 8 x = 10

Horrela, astelehenean atsedena hartzen duen lorazainak 11 zuhaitz inausi ditu:asteartean atsedena hartzen duenak, 10; asteazkenean atsedena hartzen duenak, 8;ostegunean atsedena hartzen duenak, 7, eta ostiralean atsedena hartzen duenak, 10.

47. orrialdea

AUTOEBALUAZIOA

1. Ebatzi eta interpretatu geometrikoki honako sistema hauek:

a) b)

a)

11x = 33 8 x = 3 8 y = 1

1. lerroari batzenbadiogu 3 aldiz 2.a

2x + 6y = 0

9x 6y = 33(1.a)

3 (2.a)

2x + 6y = 0

3x 2y = 11

x + 3y = 0

2x y = 5

y z = 3

2x + 6y = 0

3x 2y = 11

x + 3y = 0

364

k

4

x + y + z + t = 35

x + y + z + w = 36

x + y + t + w = 38

x + z + t + w = 39

y + z + t + w = k


1

3. ekuazioan egiaztatuko ditugu balio horiek:

3 + 3(1) ? 0

Sistema bateraezina da. Binaka ebakitzen diren hiru zuzen dira.

b)y = l egingo dugu:

Sistema bateragarri indeterminatua da.

Soluzioa: + , l, 3 + l

Zuzen batean elkar ebakitzen duten bi plano dira.

2. Ebatzi, Gaussen metodoa erabiliz, honako sistema hau, eta interpretatu geometrikoki:

( ) 8 ( ) 88 ( ) 8 ( ) 88

Soluzioak: (l, l, 1 2 l). Amankomunean zuzen bat duten lau plano dira.

3. Konpainia batek hiru kamioi ditu (P, Q eta R), eta bakoitzean hiru motakokontainer (A, B eta C) kopuru jakin bat sartzen dira, honako taula honen arabera:

A B C

P 5 3 4

Q 2 5 5

R 4 3 6

z = 1 2y

x = 1 y z = y

y = l

x + y + z = 1

2y + z = 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 00 0 0 0

(1.a)

(2.a) : 2

(3.a) + (2.a)

(4.a) (2.a)

1 1 1 10 4 2 20 4 2 20 4 2 2

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a) (1.a)

(4.a) 3 (1.a)

1 1 1 11 5 3 31 3 1 13 7 5 5

(3.a)

(2.a)

(1.a)

(4.a)

1 3 1 11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

x 3y z = 1

x + 5y + 3z = 3

x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

x 3y z = 1

x + 5y + 3z = 3

x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

)l252(

5 l2x = 5 + l 8 x = +

2 2

z = l 3

2x y = 5

y z = 3


A motako 45 kontainer, B motako 44 eta C motako 58 eraman behar badira,zenbat joan-etorri egin beharko ditu kamioi bakoitzak, joan-etorri guztiakbete-beteta eginda?

Izan bitez x, y eta z, P, Q eta R kamioiek egiten duten bidaia kopurua, hurrenezhurren.

8 ( ) ( )

( ) 8 Sistema mailakatu hau ebatziko dugu:

z = 3

y = = = 4

x = = = 5

Beraz, P kamioiak 5 bidaia egin behar ditu, Q kamioiak 4 eta R kamioiak 3.

4. Ekuazio hauek izanda:

a) Gehitu ekuazio bat sistema bateraezina izan dadin.

b)Gehitu ekuazio bat sistema bateragarri determinatua izan dadin.

Justifikatu kasu bakoitzean jarraituriko prozedura.

a) Bateraezina izateko, gehitu beharko dugun ekuazioak honakoaren modukoa izanbeharko du:

a (3x 2y + z) + b (2x 3y + z) = k non k ? 5a 4b den.

Esaterako, a = 1, b = 0, k = 1, hartzen badugu, honela geratuko da:

3x 2y + z = 1

Ekuazio hau gehiturik, sistema bateraezina izango da.

b) Adibidez, y = 0 eginez, honela geldituko da:

Bateragarri determinatua.

x = 9

y = 0

z = 22

3x + z = 5

2x + z = 4

y = 0

3x 2y + z = 5

2x 3y + z = 4

y = 0

3x 2y + z = 5

2x 3y + z = 4

45 8 125

45 2y 4z5

85 919

85 3z19

5x + 2y + 4z = 45

19y + 3z = 85

215z = 645

5 2 4 450 19 3 850 0 215 645

(1.a)

(2.a)

19 (3.a) 17 (2.a)

5 2 4 450 19 3 850 17 14 110

(1.a)

5 (2.a) 3 (1.a)

5 (3.a) 4 (1.a)

5 2 4 453 5 3 444 5 6 58

5x + 2y + 4z = 45

3x + 5y + 3z = 44

4x + 5y + 6z = 58


1

5. Ekuazio linealen sistema hau izanda:

a) Aurkitu sistema bateraezin egingo duen a-ren balio bat.

b)Eztabaidatu sistema bateragarri determinatua egingo duen a-ren baliorenbat dagoen.

c) Ebatzi sistema a = 0 kasurako.

( ) 8 ( ) 88 ( )a) a = 2 bada, 2. ekuazioak ez du soluziorik: 0y = 1. Sistema bateraezina da.

b) Ez dago a-ren baliorik non sistema bateragarri determinatua den, 3. ekuazioakendu ahal delako (0x + 0y + 0z = 0) eta geratzen den sistemak 3 ezezagun eta 2ekuazio ditu.

c) a = 0 bada, geratzen zaigu:

Soluzioak: 2 3l, , l

6. Eztabaidatu sistema hau a-ren balioen arabera. Interpretatu geometrikoki:

( ) 8

( ) 8 ( )1 1 1 1a 1 0 0 50 a 1 0 2

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a) (1.a)

1 1 1 1a 1 1 41 a 1 1

(2.a)

(1.a)

(3.a)

a 1 1 41 1 1 11 a 1 1

ax + y + z = 4

x + y + z = 1

x ay + z = 1

ax + y + z 4 = 0

x + y + z + 1 = 0

x ay + z 1 = 0

ax + y + z 4 = 0

x + y + z + 1 = 0

x ay + z 1 = 0

)12(

y = 1/2

x 1 + 3z = 1 8 x = 2 3z

z = l

x + 2y + 3z = 1

2y = 1

1 2 3 10 a 2 0 10 0 0 0

(1.a)

(2.a)

(3.a) (2.a)

1 2 3 10 a 2 0 10 a 2 0 1

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a) 2 (1.a)

1 2 3 11 a 3 22 (2 + a) 6 3

x + 2y + 3z = 1

x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3

x + 2y + 3z = 1

x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3


a = 1 bada, orduan:

( ) 8 Sistema bateraezina.Lehen bi planoak paraleloak dira, eta hirugarrenak ebakitzen ditu.

a = 1 bada, orduan:

( ) 8 Sistema bateraezina.Azken bi planoak paraleloak dira, eta lehenak ebakitzen ditu.

a ? 1 eta a ? 1 bada 8 Sistema bateragarri determinatua. Elkar puntubatean ebakitzen duten hiru plano dira.

1 1 1 12 0 0 50 0 0 2

1 1 1 10 0 0 50 2 0 2


1

01_ekuazio Sistemak Gaussen Metodoa_soluzioak

Documents

Transcript of 01_ekuazio Sistemak Gaussen Metodoa_soluzioak