Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora...

14
88 Unitatearen aurkezpena Ekuazio-sistemak tresna baliagarria dira eguneroko bizitzarekin eta matematikaren beste arlo batzuen zenbait alderdirekin (geo- metriarekin edo funtzioen ikerketarekin, adibidez) lotutako pro- blema eta egoera sorta handi bat ebazteko. Tresna hau modu eraginkorrean erabiltzeko, komeni da ikasleek jakitea ekuazio-sistema bat zer den, baita haren soluzioaren esa- nahia ere. Horrez gain, sistemak trebetasunez ebazteko gai ere izan beharko dira. Unitatearen hasieran, bi ezezagun dituzten ekuazio linealak ikasiko ditugu. Ikasleek ikasiko dute ekuazio lineala hau dela: balio pare infinituetarako betetzen den berdintza, balio horiek plano bateko puntuak badira eta zenbakizko zuzen batean adierazita badaude. Bi ezezagun dituzten ekuazio linealak grafikoki irudikatzea eta bi eze- zagunen intersekzio-puntua bilatzea ezinbesteko elementuak izango dira, ekuazio-sistema eta haren soluzioaren esanahia zer diren uler- tzeko. Horrela, errazago ulertuko dugu zergatik sistema batzuek ez duten soluziorik, eta zergatik beste batzuek infinitu soluzio duten. Ebazteko metodoek honako helburu hau dute: ezezagunak eza- batzea, ezezagun bakarreko ekuazio bakar batera heltzeko. Une horretan, zenbait akats egin ohi dira, hala nola: sistema ekuazio bakar batera laburtuta gelditzen dela pentsatzea, eta ondorioz ezezagunak uztea edo ekuazio bera bakantzea eta ordeztea. Sistemak ebazteko metodo algoritmikoak ikasiko ditugu: or- dezkatzea, berdintzea eta laburtzea. Ikasleek horietako bakoitza ikasi eta ondo erabiltzen jakin behar dute; hori lortutakoan, gai izan beharko dira kasu bakoitzean erabakitzeko zein komeni den aplikatzea. Unitatearen amaieran, zenbait eredu aurkezten dira; horien hel- buru nagusia ekuazio-sistemak problemak ebazteko aplikatzea da. Gutxieneko ezaguerak Unitatea amaitu orduko, ikasleek ezaguera hauek jakin beharko di- tuzte, gutxienez: Bi ezezaguneko ekuazio lineal bateko zenbait soluzio lortzea, eta horiek grafikoki irudikatzea. Ekuazio-sistemaren kontzeptua, eta haren soluzioa. Bi ezezaguneko ekuazio-sistema linealak zuzen ebaztea, ikasi- tako edozein metodo erabiliz. Problemak planteatzea eta ebaztea, ekuazio-sistema linealak erabiliz. 7 Ekuazio-sistemak 88 Unitatearen eskema BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALAK Bi ezezaguneko ekuazio-sistema linealak ' ' ' ax by c ax by c + = + = * Soluzio bakarra. Zuzenek elkar ebakitzen dute. Soluzioa ebakitzen duten puntua da. Infinitu soluzio. Zuzenak batera datoz. Ez dauka soluziorik. Zuzenak paraleloak dira. Soluzioak Ebazteko metodoak Ordezkatzea Berdintzea Laburtzea ax + by = c itxurakoak dira Infinitu soluzio dituzte. Zuzen baten bidez adierazten dira. Haren puntuak ekuazioaren soluzioak dira.

Transcript of Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora...

Page 1: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

88

Unitatearen aurkezpena

•Ekuazio-sistemaktresnabaliagarriadiraegunerokobizitzarekinetamatematikarenbestearlobatzuenzenbaitalderdirekin(geo-metriarekinedofuntzioenikerketarekin,adibidez)lotutakopro-blemaetaegoerasortahandibatebazteko.

Tresnahaumodueraginkorreanerabiltzeko,komenidaikasleekjakiteaekuazio-sistemabatzerden,baitaharensoluzioarenesa-nahiaere.Horrezgain,sistemaktrebetasunezebaztekogaiereizanbeharkodira.

•Unitatearenhasieran,biezezagundituztenekuaziolinealakikasikoditugu.Ikasleekikasikoduteekuaziolinealahaudela:baliopareinfinituetarakobetetzendenberdintza,baliohoriekplanobatekopuntuakbadiraetazenbakizkozuzenbateanadierazitabadaude.

•Biezezagundituztenekuaziolinealakgrafikokiirudikatzeaetabieze-zagunenintersekzio-puntuabilatzeaezinbestekoelementuakizangodira,ekuazio-sistemaetaharensoluzioarenesanahiazerdirenuler-tzeko.Horrela,errazagoulertukoduguzergatiksistemabatzuekezdutensoluziorik,etazergatikbestebatzuekinfinitusoluzioduten.

•Ebaztekometodoekhonakohelburuhaudute:ezezagunakeza-batzea,ezezagunbakarrekoekuaziobakarbateraheltzeko.Unehorretan,zenbaitakatseginohidira,halanola:sistemaekuaziobakarbateralaburtutagelditzendelapentsatzea,etaondoriozezezagunakuzteaedoekuazioberabakantzeaetaordeztea.

•Sistemakebaztekometodoalgoritmikoak ikasikoditugu:or-dezkatzea,berdintzeaetalaburtzea.Ikasleekhorietakobakoitzaikasietaondoerabiltzenjakinbehardute;horilortutakoan,gaiizanbeharkodirakasubakoitzeanerabakitzekozeinkomenidenaplikatzea.

•Unitatearenamaieran,zenbaitereduaurkeztendira;horienhel-burunagusiaekuazio-sistemakproblemakebaztekoaplikatzeada.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Biezezagunekoekuaziolinealbatekozenbaitsoluziolortzea,etahoriekgrafikokiirudikatzea.

•Ekuazio-sistemarenkontzeptua,etaharensoluzioa.

•Biezezagunekoekuazio-sistemalinealakzuzenebaztea,ikasi-takoedozeinmetodoerabiliz.

•Problemakplanteatzeaetaebaztea,ekuazio-sistemalinealakerabiliz.

7 Ekuazio-sistemak

88

Unitatearen eskema

BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALAK

Biezezagunekoekuazio-sistemalinealak

' ' 'ax by ca x b y c

+ =+ =

*

Soluziobakarra.Zuzenekelkarebakitzendute.

Soluzioaebakitzendutenpuntuada.

Infinitusoluzio.Zuzenakbateradatoz.

Ezdaukasoluziorik.Zuzenak

paraleloakdira.

Soluzioak Ebaztekometodoak

Ordezkatzea Berdintzea Laburtzea

ax+by=c itxurakoakdira

Infinitusoluziodituzte.

Zuzenbatenbidezadieraztendira.Harenpuntuakekuazioaren

soluzioakdira.

Page 2: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

89

Osagarrigarrantzitsuak

•Sistemabaliokideak.

•Sistemalinealbatensoluzio-kopurua.

•Sistemajakinbatebaztekozermetodoaplikatubehardenera-bakitzea.

•Sistemabatebaztekometodoabialdizaplikatzea.

•Ekuaziolinealbatetabesteekuaziokoadratikobatdituensiste-mariordezkatze-metodoaaplikatzeko.

Lanakaurreratu

•Puntuakkoordenatu-ardatzeanirudikatzekosistema.

•Zuzenakgrafikokiirudikatzea,bipuntuezagutzenditugunean.

•Oinarrizkokontzeptuakberrikustea:ekuazioa,ezezaguna,so-luzioa,ekuaziolinealak,ekuaziobaliokideak.

•Oinarrizkoeragiketakpolinomioekin.

•Lehenmailakoekuazioakebaztea.

•Hitzezkoenuntziatuakbialdagaikoadierazpenaljebraikoetaraitzultzeko.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

127.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 127.or.2.ariketa.(*) 125.or.1.ariketa.(*)

128.eta129.or.PDhonetaniradokitakoariketak.(*)

128.,129.eta130.or.Ariketaebatzia.(*) 127.or.1.ariketa.(*)

130.or.3.ariketa.(*) 133.eta134.or.Ariketaebatzia.(*) 136.or.1.ariketa.(*)

132.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 135.or.Ariketaetaproblemaebatziak.(*) 139.or.«Hausnartuteoriariburuz»ariketak.

133.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*)

134.or.«Pentsatuetaegin»ataleko3.,4.eta5.ariketak.

137.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

138.or.34.(*)eta35.(*)ariketak.

122.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

123.or.«Ebatzi»ariketak.(*) Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

140.or.«Batzuentzakobide-sariabakarrik»ariketa.PDhonetaniradokitakoariketa.(*)

140.or.«Karratumagikoa»ariketa. 133.or.1.ariketa.(*)

134.or.5.ariketa.(*)

137.or.23.(*)eta26.(*)ariketak.

138.or.30.(*),33.(*),36.(*)eta44.(*)ariketak.

141.or.«Trebatuproblemakebatziz»ariketa.(*)

Jarraianaurkeztuduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekime-naetaproblemenebazpenalantzekoariketa-sortabatproposatudugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditu-gu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagozkionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,Proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

Page 3: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

90

Unitatea hasteko•Ekuazio-sistemeiburuzkoazterketaketaekuazioeiburuzkoazterketakantzekoeboluzioaizanzuten.Babiloniarrekluzeraetaaltueraterminoakerabiltzenzituztenezezagunakizendatzeko,problemakirudigeome-trikoekinzerikusirikezbazuenere.Horrekadieraztendu,aurrekounita-teanaipatugenuenez,geometriainformazioaadieraztekometodoaskierabiliaizandelahistorianzehar.

•Beharbada,txinatarmatematikababiloniaredoegiptoarmatematikakbezainantzinakoada.Mendeetanzehar,kultura-garapenhandikoga-raiaketaizuetazapalkuntzahandikoakegonzirenTxinan(K.a.212.ur-tean,ShiHuang-tienperadoreakQinestatukoakezzirenliburuguztiakerretzekoaginduaemanzuen).Horioztopohandiaizanzentxinatarrekbestezibilizaziobatzuenmailalorzezaten.OrrialdehauetanaipatzendugunMatematika-artearen bederatzi kapituluakizenekoliburuakalje-brarekinlotutakolorpenhandienetakobatzukbiltzenditu,berezikieze-zagunaskokoekuazioakebaztekometodoa.

•BestebehinereDiofantoaipatubeharrengaude.Izanere,harkasmatu-takobaliabidea,ezezagunbatbainogehiagokoproblemaaljebraikoaezezagunbakarrekoekuaziobihurtzeko,osoerabilgarriada.

Diofanatokmotahonetakoproblemakproposatzenzituen:Lortu bi zenbaki. Haien batura 20 izan behar da, eta haien karratuen batura 208.

Gauregun,problemahoriekuazio-sistemabateraitzulizebatzikoge-nuke.Hark,ordea,ekuaziobakarbatekinegitenzuen.Etaproposatzenzuenekuaziohuraerrazazen.Izanere,enuntziatuanpartehartzenzutenzenbakiaktrebeziahandizerabiltzenzituen.

Zenbakiei10–xeta10+xdeitzenzien;horrela,ekuaziohaulortzenzuen:(10–x)2+(10+x)2=208.Ekuaziohorierrazebaztekomodukoada.

IKT Honakoariketahauiradokitzendugu:

Osatuetasakonduirakurgaiariburuzkoinformazioa.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 x y

x y41 7

10

+ =

+ =

_

`

a

bb

bb→x=4,y=6

2 x y zx y z

x y z

3 2 202 3 19

2 3 16

+ + =+ + =

+ + =

Z

[

\

]]

]

3 x yx y

202082 2

+ =+ =

4→x=12,y=8

4 Ezezagunaribaliobatemandiezaioket,etabestebiakbakandudi-tzaket.

123122

7 Ekuazio-sistemak

Ebatzi

1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera, eskutan neurtuta.

2. Gari sortei buruzko txinatar problema hiru ezezaguneko hiru ekuazioko sistemaren bidez ebazten da. Osatu goiko enuntziatuan ageri dena.

3. Planteatu ekuazio-sistema bat aurreko orrialdean ageri den Diofantoren problema-rako eta kalkulatu soluzio bat.

4. Orrialde honetan ageri den Diofantoren problema, gari-sortei buruzkoa, era aljebraikoan itzul daiteke eskuineko ekuazio-siste-man, a, b eta c zenbaki osoak izanik.Zer egin dezakezu soluzioa aurkitzeko?

Babiloniar problema bat

Babiloniarrek haztamu hutsez ebazten zituzten problemak: hainbat kantitaterekin saia-tzen ziren harik eta problema ebazten zuen kantitatea aurkitu arte.Babiloniar taulatxoetako batean, honako problema hau ageri da:

41 zabalera + luzera = 7 esku

zabalera + luzera = 10 esku

Diofantoren beste problema bat

Diofantoren lanean ere problema korapilatsuagoak ageri dira eta, problema horiek ebazteko, beharrezkoa da zenbakizko erlazioen, ekuazioen… ezagutzak izatea eta haztamuz jotzen jakitea. Hona hemen adibide bat:Merkatari batek 8 drakmako eta 5 drakmako ardo-gurbilak erosi eta zenbaki karratua ordaindu zuen; karratu horren erroa bat dator gurbil kopuruarekin. 8 drakmako zenbat gurbil erosi zituen? Eta 5eko zenbat?

Ekuazio-sistemak antzinako MesopotamianEkuazio-sistemen ebazpena ekuazioen ebazpenarekin batera garatu zen.Babiloniarrek, beste gauza batzuen artean, hainbat ezezagunetako ekua-zio linealen sistemak planteatu eta ebatzi zituzten. Ezezagunei luzera, zabalera, azalera, bolumen… esaten zieten, problemak geometria-arloekin zerikusirik izan ez arren.

Aurrerapausoak TxinanK.a. i. mendean, Txinan, Bederatzi kapituluko liburua agertu zen; liburu horretan, eguneroko bizimoduko lurrak neurtzeari, ingeniaritzari, banake-tei, zerga-sistemari eta abarri buruzko 246 problema ageri ziren. Zortzigarren kapituluan, lau ezezaguneko lau ekuaziora arteko sistemak dituzten problemak proposatzen ziren. Eta guztiz metodo aurreratuen bidez ebazten ziren problema horiek.

Baita greziarrek ere…Lau mende geroago, Alexandrian, Diofantok ekuazio-siste-mei zegozkien problema aljebraikoak planteatu zituen. Baina Diofantok, trebetasunez aukeratutako ezezagunaren bidez ebazten zituen, ekuazio bakar batean, artez, sartzeko moduan. Diofantok honako problema honen modukoak proposatzen zituen:«Batura 20 eta karratuen arteko batura 208 duten bi zenbaki lortzea».

Gizaki-buru eta hegodun zezenak Jorsabad hiriko jauregian (Irak).

Nimrud-en (Irak) aurkitutako erliebea.

Diofantoren «Aritme-tika» delakoaren seiga-rren liburuaren azala,

1621eko edizioan.

Txinatar nekazariak arroza bahetzen.

a b ca b c

8 5 2+ =+ =

4

Txinatar problema

Gure lurretan, hiru motatako garia hazten da; lehenengo motako hiru sortak, bigarren motako bik eta hirugarreneko batek 20 neurri egiten dituzte; lehenengoko bik, bigarreneko hiruk eta hirugarreneko batek 19 egiten dituzte; eta lehenengoko batek, bigarreneko bik eta hirugarreneko hiruk 16 neurri egiten dituzte. Zenbat neurri ale lortzen dira mota bakoitzeko sorta batetik?

3x + 2y + z = 202x + 3y + z = 19

x + … = …

OHARRAK

Page 4: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

91

Iradokizunak

•Orrialdehauetanbiezezagunekolehenmailakoekuazioalandukodugu,infinituzenbaki-pareezezagunekbetetzendutenbaldintzagisa.

•Unitatehonetanikasikoditugunkontzeptuaskokbiezezagunekoekua-ziolinealarenadierazpengrafikoaduteoinarri.Hortaz,ezinbestekoadaikasleekkartesiarplanoanpuntuakirudikatzekosistemaerabiltzenjaki-tea.

•Biezezagundituenedozeinekuaziolinealzuzenbatekinidentifikatzeko,baitahorrenedozeinpuntuekuazioarensoluzioetakobatekinidenti-fikatzekoere,hainbaturratsdituenprozesubati jarraitubeharzaio.Prozesuhoripatxadazegiteaproposatzendugu,motahonetakoarike-ta-sekuentziabatijarraituz,adibidez:

– Bilatu(buruz)2x + y = 10motakoekuazioarensoluzioak,zenbakine-gatiboekinedozatikiarrekinbadaere.

– Egiaztatuzenbakiparejakinbatekuazioarensoluzioaoteden.

– x=a,y=bsoluzioapuntubatenkoordenadaparea(a,b)delauler-tu,etaadierazikartesiarplanobatean.

– Egiaztatuhainbatkasutannola,soluzioakadieraztean,zenbakizkozu-zenbateanlerrokatzendiren.

– Sistemekinlehenkontaktubatizateko,adierazibizuzenardatzjakinbatzuetan,ebakidura-puntuaaurkitzekoasmoz.

•Ikasleekekuazio-sistemeiburuzkoideiahauizatendute:«biekuazioedogehiagoelkarrenondoanjarrita»,edo«atzetikekuaziobatduenekua-zioa».Horregatik,ekuazio-sistemazerdenzehaztekouneahelduda,so-luziokomunabilatzekohelburuarekin.

•Soluzioarenbilahasgaitezke,haztamuz,edosistemaosatzendutenzu-zenakmodugrafikoanirudikatuz.Horrela,honakohauegiaztatukodu-gu:biezezagunekoekuazioakizanditzakeeninfinitusoluzioetatik,baka-rraizangodelasistemarensoluzioa.

•Ideiahaunabarmendukodugu:soluzioaegiaztatzeakbiekuazioakegiaztatzeadakar.

•Problemaaljebraikoakplanteatuetaebatzinahiditugunean,jakinbada-kiguaskotanerrazagoadelaezezagunbatbainogehiagoerabiltzea,etahainbatekuaziorenbidezadierazteahorienarteandaudenerlazioak.Komenidaikasleeimotahonetakozenbaitadibideerakustea,sistemakebazteaezinbestekoadelaerakusteko.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:29.orrialdeko1.ariketakoa),b),c)etad)atalak.

Sakontzeko:29.orrialdeko1.ariketakoe)etaf)atalak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.eta2.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

124. orrialdea

1 a)etac)dirasoluzioak.

2 2x–y=6puntuhonetatikigarotzenda:(0,–6)eta(2,–2).

x+y=0puntuhonetatikigarotzenda:(0,0)eta(2,–2).

125. orrialdea

1 x=–1,y=4sistemahonensoluzioada:a).

x=7,y=8sistemahauensoluzioada:b)etad).

Batberaereezdac)sistemarensoluzio.

125124

Bi ekuaziok ekuazio-sistema eratzen dute horietatik nahi duguna soluzio komuna lortzea baldin bada.Bi ekuaziok sistema eratuz gero, honela jartzen ditugu:

' ' 'ax by ca x b y c

+ =+ =

*

Ekuazio-sistemaren soluzio esaten zaio bi ekuazioen soluzio komunari.

Aurreko orrialdeko ariketa ebatziko bi ekuazioak ekuazio-sistema gisa hartuz gero, honela adieraziko ditugu:

x yx y

2 3 35 3 18

– =+ =

* Sistemaren soluzioa x = 3, y = 1 da, bi ekuazioen soluzio denez gero.

Batzuetan, ekuazio-sistema esan beharrean, sistema baino ez dugu esango. Bi ekuazioak linealak izanez gero, sistema lineal esango diogu. Noizbehinka, bi ekuaziok baino gehiagok osatutako sistemak aurkituko ditugu.

Unitate honetan, bi ezezagun dituzten ekuazio linealak landuko ditugu. Adibi-dez, 2x – 3y = 3 bi ezezagun dituen, x eta y, ekuazio lineala da. x = 6, y = 3 balio parea ekuazio horren soluzio da, 2 · 6 – 3 · 3 berdin 3 delako. Soluzio dira baita x = 3, y = 1 edo x = 9, y = 5 ere.

Bi ezezagun dituen ekuazioaren soluzioa berdintza bat egia bihurtzen duten balio pare guztiak dira. Ekuazio linealak lehen mailako ekuazio polinomikoak dira: ax + by = c. Bi ezezagun dituen ekuazio linealak infinitu soluzio ditu.

Adierazpen grafikoa

Bi ezezagun dituen ekuazio linealaren soluzioak lortzeko, horietako bat bakan-tzen da eta besteari balioak ematen zaizkio:

2x – 5y = 7 → y = x5

2 7– → x 1 3,5 6 11 0y –1 0 1 3 –1,4

Soluzioak planoko puntutzat hartuz gero, orduan, ekuazioa zuzen baten bidez adierazten da eta soluzioak zuzen horretako puntuak dira. Horren ondorioz, x = 6, y = 1 erako soluzioa honela ere adierazten da: (6, 1).

ax + by = c ekuazioa zuzen baten bidez adierazten da. ax + by = c espresioa zuzenaren ekuazioa da. Horren puntuak (x = m, y = n) ekuazioaren soluzioak dira; hau da, am + bn = c.

2 Ekuazio linealen sistemak1 Bi ezezaguneko ekuazioak. Soluzioak

1. Egiaztatu honako balio pare hauek 4x – 3y = 12 ekuazioaren soluzio direla:a) x = 6, y = 4 b) x = 6, y = 12 c) x = 0, y = – 4

2. Adierazi honako ekuazio hauen zuzenak:2x – y = 6 x + y = 0

Zein da bi ekuazioen soluzio komuna?

Pentsatu eta egin1. Adierazi x = –1, y = 4 edo x = 7, y = 8 pareak honako sistema hauen soluzio diren:

a) x yx y

6 5 262 9

–– –+ =

=* b) x y

x y2 4 183 2 5

––+ =

=* c) x y

x y5 433 1

+ =+ =

* d) x yx y

151– –

+ ==

*

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

x = –3, y = 5 edo x = 2, y = 21

honako sistema hauen soluzio diren aztertzea:

a) x yx y

5 6 153 4 8

+ =+ =

*

b) x yx y

3 149 10 23

– –=+ =

*

c) x yx y

7 20 49 10 23

– =+ =

*

Gogoratu: x eta y bikotea sistema baten soluzio direla bi ekuazioen soluzio izanez gero.

a) ,

,

x yx y

x y

x y

5 6 153 4 8

3 515 30 159 20 11

2 21 10 3 13

6 2 8

–––

EZBAI

EZ DA SOLUZIO.

EZ DA SOLUZIO.

BAIEZ+ =

+ =

= =+ =

+ =

= =+ =

+ =

Z

[

\

]]]

]]]

*

)

)

3

3

b) ,

,( / ) /

x yx y

x y

x y

3 149 10 23

3 59 5 1427 50 23

2 21 6 1 2 11 2

18 5 23

– ––

– – –– BAI

–BAI

BADA SOLUZIO.

EZ DA SOLUZIO.

BAI

EZ=

+ =

= ==

+ =

= ==

+ =

Z

[

\

]]]

]]]

*

*

) 3

4

c) ,

,

x yx y

x y

x y

7 20 49 10 23

3 521 100 12127 50 23

2 21 14 10 4

18 5 23

– –– – ––

EZBAI

– BAIBAI

EZ DA SOLUZIO.

BADA SOLUZIO.

=+ =

= ==

+ =

= ==

+ =

Z

[

\

]]]

]]]

*

)

)

3

3

(–3, 5) parea b)-ren soluzio da eta ,2 21c m parea c)-ren soluzio da.

Nomenklatura

Ezezagunak x, y letren bidez adie-razten dira. Hala ere, beste letra ba-tzuk erabil daitezke. Esaterako, bat denborari baldin badagokio eta bes-tea, abiadurari, t eta v letren bidez, hurrenez hurren, adieraz ditzakegu.

Ekuazio linealen sistemaren soluzioa sistema eratzen duten zuzenek elkar ebakitzen duten puntua da.

(1, –1)(0; –1,4)

(3,5; 0)(6, 1)

(8,5; 2)

(11, 3)2x – 5y = 7

Ariketa ebatzia

Honako zuzen hauek adieraz-tea:

2x – 3y = 3

5x + 3y = 18

2x – 3y = 3 → y = x3

2 3–

x –3 0 3 6 9 …y –3 –1 1 3 5 …

5x + 3y = 18 → y = x3

18 5–

x 0 1 2 3 6 …y 6 13/3 8/3 1 – 4 …

Zuzenek elkar ebakitzen duten puntua, (3, 1), bi ekuazioen soluzioa da: x = 3, y = 1.

(9, 5)(0, 6)

(–3, –3) (6, –4)

(0, –1)

(3, 1)

(6, 3)

2x – 3y = 3

5x + 3y = 18

2x – 3y = 3

5x + 3y = 18

(3, 1) SOLUZIOA

Page 5: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

92

Iradokizunak

•Ekuazio-sistemakmetodoaljebraikoakerabilizebazteko,honakoaeginbehardugu:sistemasoluzioberekobestesistemaerrazagobatekin(hots,emandakosistemarenbaliokideadensistemabatekin)ordeztu.Testuanaurkeztudugunmetodografikoakosoargiadieraztenduideiahori.Ikasleekbadakitepuntubatetikinfinituzuzenigarotzendirela;ho-rietatikbiproposatutakosistemaridagozkio.Sortaberekobestezuzenparebataukeratuzgero,horieilotutakosistemalehenengoarenbalioki-deaizangoda;izanere,ebaketa-puntuberadute,hots,soluziobera.

•Oraindikezdaheldux=aetay=bzuzenetaranolairitsikogarenazaltzeko unea, baina hori lortzeko prozedurak adieraz daitezke.Ezezagunbatekolehenmailakoekuazioakekuaziobaliokideerrazagobihurtzekoegindakotransformazioakgogoratukoditugu.Zertxobaitge-hiagosakondudezakegu,sistemarenekuazioetakobathasierakoletrenkonbinaziolinealarekinordeztuz.Horrela,sistemaksoluzioberaduelaegiaztatukodugu.

Biekuaziokosistemakezezagunekizanbehardutenerlazioariburuzkoinformaziobikoitzaematendigu.

•Sistemabateraezinbataurkituzgero,ikasleeihonakohauproposatukodiegu:biekuazioakzentzuzaztertzea,kontraesanaagerikoadelaikusdezaten.Ezinezkoadax-renetae-renbalioakaurkitzeaetabiekua-zioakbetetzea.

Hurrengo pausoa zuzenak grafikoki irudikatzea eta paralelismoaegiaztatzeada,eta,horrenbestez,ebaketa-punturikezdagoelaikustea.

•Sistemaindeterminatueidagokienez,bideberarijarraitukodiogu:ekua-zioekinformazioberdintsuaematendutelaetalehenengoarenedozeinsoluziobigarrenarensoluzioerebadelaegiaztatzea.

Grafikokiirudikatzerakoan,zuzenberakbiekuazioakadieraztendituelaaurkitukodugu.

Lankidetzan ikasi Ekuazioakebaztekoteknikakindartzerabideratutakoorrialdehauetarako,honakometodologiakooperatibohauiradokitzendugu:

Ikasleaktaldetxikitanjarrikodira.Zenbaitadierazpenebatzikodituzte,ba-naka;gero,prozesuaketasoluzioakegiaztatukodituzte.Zalantzakargitze-kogaiezbadiraedoadosjartzerikezbadute,irakasleakpartehartukodu.

Indartu eta sakonduSakontzeko:

•Adieraziekuazio-sistemahauetaidatzisistemabaliokidebat:

x yx y

46 1––==

*

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:32.orrialdeko1.ariketa.

Sakontzeko:32.orrialdeko2.,3.eta4.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

126. orrialdea

1 Irudikapena. 2 Bai,baliokideakdira.

127. orrialdea

1 a)Baterazezina;b)Soluziobat;c)Indeterminatua;d)Soluziobat.

2 a)10

– yx y

x4

2 13– =

=* ;b) 7

x yx y

2 84 2

+ =+ =

* ;c) 2 16yx yx

2 84 +

+ ==

* ;d)3

15x y

yx5 11

33 9+ =+ =

*

127126

Orokorrean, bi ezezaguneko bi ekuazio linealen sistemak soluzio bakarra du: bi zuzenek elkar ebakitzen duten puntua. Hala ere, beti ez da gauza bera gertatzen. Ondoren, gerta daitezkeen beste kasuak ikusiko ditugu.

Soluziorik gabeko sistemak

Sistema batzuen ekuazioek elkarren kontrako gauzak esaten dituzte. Adibidez:

a) x yx y

2 3 152 3 9

+ =+ =

* b) x yx y

2 3 154 6 18

+ =+ =

*

Bi kasuotan, ezinezkoa da bi berdintzak egiazkoak izatea x-ren eta y-ren balio beretarako:

a)-n, 2x + 3y berdin 15 izanez gero, ezin daiteke, era berean, berdin 9 izan.b)- n, 4x + 6y, 2x + 3y bi halako denez, berdin 30 izan beharko luke eta ez

berdin 18.Sistema horiek bateraezinak direla esaten da.

Soluziorik ez duten sistemei bateraezin esaten zaie. Era grafikoan, bi zuzen paralelo dira: ez dute puntu komunik.

Infinitu soluzio dituzten sistemak

Sistema batzuen ekuazioak gauza bera diote. Hau da, ekuazio bera dira, birritan. Esaterako:

a) x yx y

2 3 152 3 15

+ =+ =

* b) x yx y

2 3 154 6 30

+ =+ =

*

Sistemaren soluzioak bi ekuazioetako edozeinenak dira. Dakigunez, bi ezezagun dituen ekuazioak infinitu soluzio ditu.Sistema horiei indeterminatu esaten zaie.

Infinitu soluzio dituzten sistemei indeterminatu esaten zaie. Grafikoki, batera datozen zuzenak dira: puntu guztiak komunak dituzte.

Honako ekuazio-sistema hauek: a) x yx y

5 4 3215 4–

+ ==

* b) x yx y

4 83 153

4– –=+ =

*

soluzio bera dute: x = 4, y = 3. Egiaztatu.Horregatik esaten da baliokideak direla.

Bi ekuazio-sistema baliokideak dira soluzio bera izanez gero.

Horien interpretazio grafikoa ikusiko dugu:

5x + 4y = 32

x – y = 1

(4, 3)

x – 4y = –8

3x + y = 15

(4, 3)

Sistema bat ebazteko, jatorrizkoaren baliokideak lortuko ditugu, gero eta sinpleagoak. Horrela jokatuz gero, honako honen formakoa lortzen da:

x ay b

==

) Hau da sistemaren soluzioa.

Hurrengo ataletan, sistemak metodo azkarren eta eraginkorren bidez ebazten ikasiko dugu.

Ezkerreko sistema ebazteko ematen diren pausoak era grafikoan interpre-tatzea:

x yx y

51–

+ ==

4 → x yx y

52 6

+ ==+

4 → xy

32

==

4

x – y = 1

x + y = 5

(3, 2)

2x = 6x + y = 5

(3, 2)

x = 3

y = 2(3, 2)

Ariketa ebatzia

4 Sistema lineal baten soluzio kopurua3 Sistema baliokideak

Hartu kontuan

Bi sistema baliokideak adierazten dituzten zuzenak desberdinak dira, baina puntu berean, (4, 3), ebakitzen dute elkar bi kasuetan, puntu hori bi sistemen soluzioa denez gero.

Notazioa

Hartu kontuan sistema horietan giltza eskuinean jarri dela. Horrela ere jar daitezke.

Sistema bateraezina

Sistema indeterminatua

1. Adierazi lehenengoa ebazteko lortzen diren honako hiru sistema baliokide hauek:

x yx y

93–

+ ==

* → x yx y

92 122 + =

=+* → x

y63

==

*

2. Irudikatu sistema bakoitzari dagozkion zuzen pareak eta adierazi baliokideak diren ala ez:

a) x yx y

2 22 2 82 – –=

+ =* b) y x

y x02

––

==

*

Pentsatu eta egin

1. Erreparatu ekuazioei eta adierazi honako sis-tema hauetako zeinek duen soluzioa, zein den bate-raezina eta zein indeterminatua. Egiazta ezazu zuze-nak irudikatuz:

a) x yx y

2 72 0

+ =+ =

* b) x yx y

2 72 5 10–

+ =+ =

*

c) x yx y

2 74 2 14

+ =+ =

* d) x yx y

2 72 1–

+ ==

*

2. Osatu honako sistema hauek lehenengoak x = 6, y = –1 soluzioa izan dezan, Bigarrena bateraezi-na izan dadin eta hirugarrena eta laugarrena indeter-minatuak izan daitezen:

a) x yx

42 13

– ……

==

) b) x yx y

2 84 2 …

+ =+ =

*

c) x yx

2 84 … …

+ ==

) d) ……

x yy

5 1133 9

+ =+ =

*

Pentsatu eta egin

2x + 3y = 15

2x + 3y = 9

2x + 3y = 15

4x + 6y = 30

Page 6: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

93

Iradokizunak

•128.orrialdeansistemakebaztekometodoalgoritmikoaklantzeariekin-godiogu,ordezkapen-metodoaaurkeztuz.Sistemahoriekikasleenikas-keta-prozesuamotibatzekoerabilikoditugu;izanere,mailahonetan,ikasleekintereshandiagoaizanohiduteprozeduretankontzeptuetanedogaiteorikoetanbaino.Gauzaknolaeginbehardirenarduratzendie,ezhorrenbestezergatikegitendirenmodubateraedobestera.

•Argidago ikasleeksistemabatazkarebazten lagundukodizkietenarauakikasibehardituztela.Halaere,esperientziakerakustendiguedu-kiakmoduautomatikoanetaesanahiarierreparatugabeikastendire-neanikasleekakatsugariegin,etagerokoikasketa-prozesuanhainbatzailtasunetaoztopoizatendituztela.

•Hauekdiraikasleekeginohidituztenohikoakatsak:batetik,ekuaziobe-reanbakandutakoezezagunetakobatenbalioasoilikematea(infinituso-luziodituenekuaziobaterahelduz);bestetik,eragiketaaljebraikoaktxar-toaplikatzearenondoriodirenakatsak.Horiekzuzentzeko,egindakoakatsaegiaztatuetabilatubehardugu;horilortzeko,ikaskideenarteaniritziakpartekatzeaosoerabilgarriaizandaiteke.

Horidelaeta,azkenpausoaegitekoeskatubehardiegubeti.Prozesuaamaitukodasoluzioakhasierakobiekuazioakbetetzendituelaegiazta-tzendutenean.

•Ezdagoaldehandirikordezkapen-metodotikberdintze-metodora.Bateanzeinbestean,ezinbestekoadabakandukodenezezaguna(edoezezagunak) ondo aukeratzea.Halaber,metodobata edobesteaaplikatzenikastean,komenidaemandakourratsakdeskribatzea,128.eta129.orrialdeetakoariketaebatzietanegindugunbezala.

Lankidetzan ikasi

Ekuazioakebaztekoprozedurakfinkatzerabideratutakoorrialdehaueta-rako,metodologiakooperatibohauiradokitzendugu:

Ikasleaktaldetxikitanjarrikodira.Zenbaitadierazpenebatzikodituzte,ba-naka;gero,prozesuaketasoluzioakegiaztatukodituzte.Zalantzakargitze-kogaiezbadiraedoadosjartzerikezbadute,irakasleakpartehartukodu.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:26.orrialdeko1.ariketakoa)-tikd)-rakoatalak.

27.orrialdeko1.ariketakoa)-tike)-rakoatalak.

Sakontzeko:26.orrialdeko1.ariketakof),g),i)etaj)atalak.

27.orrialdeko1.ariketakof)-tikj)-rakoatalak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko3.eta4.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)x=21 ,y=

23 b)x=

53 ,y=–

56

c)x=–31 ,y=

95 d)x=3,y=–2

c)ataladakorapilatsuena.

2 a)x=3,y=21– b)x=–7,y=21

c)x=0,y=51 d)x=–2,y=

31

129128

Berdintze-metodoa

Metodo hori ezezagun bera bi ekuazioetan bakantzea eta ateratzen diren espre-sioak «berdintzea» da.

Ondoren, ebazteko metodo hori aplikatzeko ematea komeni diren pausoak des-kribatuko ditugu:

1 Bakandu ezezagun bera bi ekuazioetan.

2 Berdindu espresioak ezezagun bakarreko ekuazioa lortzeko.

3 Ebatzi ekuazio hori.

4 Ordeztu lortu den balioa beste ezezaguna bakanduta ageri izan den bi espresioetan.

5 Horrela jokatuz gero, sistemaren soluzioa lortzen da.

Ordezkatze-metodoa

Ekuazio-sistemak ebazteko metodo horretan, ekuazioetako batean ezezaguna bakantzen da eta, bestean, «ordeztu» egiten da.

Praktikan, metodo hori aplikatzen denean, pauso bakoitzean transformatzen den ekuazioa baino ez da idazten, sistema osoa bakoitzean idatzi beharrean. Metodo hori aplikatzeko ematea komeni diren pausoak deskribatuko ditugu:

1 Bakandu ezezagun bat ekuazioetako batean.

2 Ordeztu ezezagun horren espresioa beste ekuazioan, ezezagun bakarreko ekuazioa lortuz.

3 Ebatzi ekuazio hori.

4 Ordeztu lortu den balioa ezezaguna bakanduta ageri izan den ekuazioan.

5 Horrela jokatuz gero, sistemaren soluzioa lortzen da.

5 Sistemak ebazteko metodoak

1. Ebatzi honako sistema hauek ordezkatze-metodoaren bidez. Sistema horietako zein da korapilatsuena metodo horren bidez ebazteko?

a) x yx y

3 55 7 13

+ =+ =

* b) x yx y

6 3 03 3–

+ ==

* c) x yx y

3 9 42 3 1

+ =+ =

* d) x yx y

4 115 7 1

– =+ =

*

Pentsatu eta egin

2. Berdintze-metodoaren bidez, ebatzi honako sistema hauek:

a) x yx y

3 8 52 2 7–

+ ==

* b) x yx y

5 3 287 2 7–

+ =+ =

* c) x yx y

3 5 17 10 2

– –=+ =

* d) x yx y

2 9 13 15 1

––

+ =+ =

*

Pentsatu eta egin

Adibidea

Sistema ordezkapenez ebaztea:

x yx y

3 2 183 5– –

+ ==

*1 Bakandu x bigarren ekuazioan:

x = 3y – 52 Ordeztu 1. ekuazioan:

3(3y – 5) + 2y = 18⇓

3 9y – 15 + 2y = 18 → y = 3⇓

4 x = 3 · 3 – 5 = 45 Soluzioa: x = 4, y = 3

Adibidea

Berdintze-metodoaren bidez sistema ebaztea:

x yx y

3 2 183 5– –

+ ==

*1 Ekuazio bakoitzean x bakanduko

dugu:

x = y3

18 2– , x = –5 + 3y

2 Bi espresioak berdinduko ditugu:

y3

18 2– = –5 + 3y

⇓3 18 – 2y = 3(–5 + 3y) → y = 3

⇓4 x = –5 + 3 · 3 = 45 Soluzioa: x = 4, y = 3

Ariketa ebatzia

Honako sistema hau ordezkatze-metodoz ebaztea:

x yx y

5 23 2 3

–+ =+ =

*

1 Bakandu y 1. ekuazioan:

y = –2 – 5x

2 y-ren ordez, –2 – 5x adierazpena jarri bigarren ekuazioan:

3x + 2(–2 – 5x) = 3

3 Ebatzi ateratzen den ekuazioa:

3x – 4 – 10x = 3 → –7x = 7 → x = –1

4 Ordeztu x-ren balioa ekuazioan y bakanduta dagoela:

y = –2 – 5x → y = –2 – 5 · (–1) = –2 + 5 = 3

5 x = –1, y = 3 soluzioa lortu da.

Soluzioa zuzena dela egiaztatuko dugu, jatorrizko sisteman x eta y-ren ordez lortu diren balioak jarriz:

( )( ) ·

5 1 3 5 3 23 1 2 3 3 6 3

– – –– –

+ = + =+ = + =

*

Ariketa ebatzia

Berdintze-metodoaren bidez honako sistema hau ebaztea:

x yx y

5 12 63 2 2

+ =+ =

*

1 Bakandu x ekuazioetako bakoitzean: x = y

56 12–

, x = y

32 2–

2 Berdindu bi espresioak:

y5

6 12– =

y3

2 2–

3 Ebatzi atera den ekuazioa:

3(6 – 12y) = 5(2 – 2y) → 18 – 36y = 10 – 10y →

→ –36y + 10y = 10 – 18 → –26y = –8 →

→ y = 268

–– = 13

4

4 Ordeztu y-ren balioa lehenengo pausoko espresioetako edozeinetan:

x = ·

31342 2– c m

= 136

5 Lortu dugu soluzioa: x = 136 , y = 13

4 .

Aurreko orrialdean bezala egiazta dezakezu.

• Berrikusi sistemak ordezkatze-meto-doaren bidez ebazteko prozedura.

• Indartu sistemak ordezkatze-meto-doaren bidez ebazteko prozedura.

Webgunean

Praktikatu ordezkatze-metodoa aplikatuz.Webgunean

• Berrikusi sistemak berdintze-meto-doaren bidez ebazteko prozedura.

• Indartu sistemak berdintze-meto-doaren bidez ebazteko prozedura.

Webgunean

Page 7: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

94

Iradokizunak•Metodohauintereshandikoada;izanere,hurrengomailetan,orokortuegingoda.Alabaina,ikasleekzailtasunhandiakizatendituztemetodoaulertzekoetaaplikatzeko.

•Dakigunez,metodohonekbiideianagusidituoinarri:

– Ezezagunetakobatekbiekuazioetankoefizienteberaizatealortzea.Hori erraz justifikatukodugu,berdintzeenpropietateakerabiliz.Gainera,ikasleekaskotanaplikatudituzteekuazioetan,izendatzaileakezabatzean.

– Besteideiakzailtasunkontzeptualhandiagoadu:ekuazioetakobatbesteenkonbinaziolinealarekinordeztea(konbinaziohoriberdintzeenpropietateekinerejustifikadaiteke).

•Metodohaulantzenhasteko,komenidaorrialdeanebatzitakoetapro-posatutakoariketenmodukoakegitea.Batetik,biekuazioekkoefizienteberdinakedoaurkakoakdituztenakdaude;bestetik,koefizienteakber-dintzeko ekuazioetako bakarra biderkatzea eskatzen dutenak.Aurrerago,ariketakonplexuagoaklandukoditugu.

•Aurkeztutakometodoakezagutuetaaplikatuondoren,zenbaitjarraibi-deemangodizkieguikasleei,kasubakoitzeankomenidenmetodoaaukeradezaten.Ikasleekjoeraizatendutemetodoetakobatondoikas-teko,etaedozeinegoeratanaplikatzeko.Halaere,irakasleakgogoratubeharkodiemetodoazuzenaukeratzeagarrantzitsuadelaproblemabizkorebaztekoetaakatsgutxiagoegiteko.

•Adierazitakokasuetanordezkatze-metodoaaplikatuzgero,honakohausaihestukodugu:bakandutakoezezagunaordeztean izendatzaileakagertzea.Koefizientea -1denkasueierreparatukodiegubereziki,bakantzekoorduan,ikasleekezbaituteerrazigarotzenezezagunhorre-tatikbigarrenatalera.

•Interesgarriairuditzenzaiguikasleekegiaztatzealaburtze-metodoabialdizaplikatzeakabantailaduela.Horretarako,koefizientekonplexuadi-tuensistemarenbatebatzikodugu,laburtze-metodoaedobestebie-takoedozeinerabiliz.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:28.orrialdeko1.ariketakoa)-tike)-rakoatalak.

30.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:28.orrialdeko1.ariketakof)-tikj)-rakoatalak.

33.orrialdeko1.ariketakoa)-tikd)-rakoatalak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko5.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko2.eta3.atalak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

3 a)x=7,y=–2 b)x=21 ,y=

23

c)x=3,y=–2 d)x=53 ,y=–

56

4 x=6,y=–5

5 x=3,y=–2

131130

Laburtze-metodoa

Begiratu arretaz nola ebatziko dugun honako sistema hau:

x yx y

3 2 74 3 15–

+ ==

* bi gaiak 4rekin biderkatuko ditugu⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

bi gaiak –3rekin biderkatuko ditugu⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 12x + 8y = 28

–12x + 9y = – 45

Atalez atal, bi ekuazioak batuko ditugu 17y = –17

y ezezaguna bakanduta dugu y = –1

y -ren balioa hasierako ekuazioetako batean ordeztu eta ebatzi egingo dugu:

3x + 2 · (–1) = 7 → 3x = 7 + 2 → x = 3 → Soluzioa: x = 3, y = –1

Funtsean, metodo hori bi ekuazioak prestatzea da ezezagunetako batek bietan koefiziente bera, baina zeinu desberdinekoa, izan dezan. Ateratzen diren ekua-zioak, atalez atal, batuz, ezezagun bakarreko ekuazioa lortzen da (ezezagunen kopurua «laburtu, murriztu», egin da). Beraz:

1 Prestatu bi ekuazioak (komeni diren zenbakiekin biderkatuz).

2 Batu ekuazioak eta ezezagunetako bat ezabatu egingo da.

3 Ebatzi atera den ekuazioa.

4 Ordeztu lortu den balioa hasierako ekuazioetako batean, eta ebatzi.

5 Horrela jokatuz gero, sistemaren soluzioa lortzen da.

Sistema linealak ebazteko erregela praktikoak

Sistemako ekuazioetako batek edo biak itxura korapilatsua izanez gero, has zaitez ekuazioak «konponduz», harik eta ax + by = c espresiora iritsi arte.

Ikasi ditugun metodoen hobari batzuk gogoratuko ditugu:

•Ordezkatze-metodoa guztiz erabilgarria da ezezagunetako batek ekuazio batean edo bestean koefizientea 1 edo –1 izanez gero.

•Berdintze-metodoa ordezkatze-metodoaren antzekoa da eta kasu beretan erabiltzen dira biak.

•Laburtze-metodoa oso erosoa da erabiltzen ezezagun batek bi ekuazioetan koefiziente bera izanez gero edo koefiziente bat bestearen multiplo baldin bada.

3. Laburtze-metodoaren bidez, ebatzi honako sistema hauek:

a) x yx y

3 5 114 5 38–

+ ==

* b) x yx y

3 55 7 13

+ =+ =

* c) x yx y

4 115 7 1

– =+ =

* d) x yx y

6 3 03 3–

+ ==

*

Pentsatu eta egin 4. Ebatzi honako sistema hau aurretiaz sinplifikatuz:

( ) ( ) ( )x y x y x

x y5 3 2 1 3 5 8

71

5 2

– – – –

+ =

+ =

Z

[

\

]]

]

5. Ebatzi honako sistema hau laburtze-metodoa birritan aplikatuz:

x yx y

7 5 1135 12 129–

+ ==

*

Pentsatu eta egin

Hartu kontuan

Biderkatu dugu:• 1. ekuazioa 2.eko x-ren koefizien-

tearekin.• 2. ekuazioa 1. ekuazioko x-ren

koefizientearekin, zeinua aldatuta.Horrela, x-ren koefiziente bereko baina zeinu desberdineko bi ekuazio lortzen dira. Ekuazioak batuz, ezeza-gun hori desagertu egiten da.

Ariketa ebatzia

Honako sistema hauek laburtze-metodoaren bidez ebaztea:

a) x yx y

5 7 13 7 33

––+ =

=*

b) x yx y

2 5 107 10 20

+ =+ =

*

a) Bi ekuazioak batuz, y desagertuko da:

8x = 32 → x = 4

Ordeztu x-ren balioa 1. ekuazioan: 5 · 4 + 7y = –1 → y = –3

Soluzioa: x = 4, y = –3

b) Lehenengo ekuazioa –2-rekin biderkatuz, koefiziente berak lortzen dira y-n, baina zeinu desberdinekin:

x yx y

4 10 207 10 20

– – –=+ =

*

Batuz: 3x = 0 → x = 0

Ordeztuz: 2 · 0 + 5y = 10 → y = 2

Soluzioa: x = 0, y = 2

Ariketa ebatziak

1. Honako sistema hau ebaz-tea:

5– –=

( )

x x y x y

x y y5

13 15

2 9

5 8 13 3 7

– –

– – – –

+

+ + =

Z

[

\

]]

]

kendu izendatzaileak

1. ekuazioan kendu parentesiak

( ) ( )( )x x y x yx y y

3 1 5 2 9 15 55 8 13 3 7

– – – – ·– – – –

= ++ + =

* x x y x yx y y

3 3 5 5 2 9 755 5 40 13 3 7

– – –– – – –

+ = ++ + =

*

taldekatu gaiak eta sinplifikatu ebatzi edozein

metodoren bidez

x yx y

185 2 60

+ =+ =

* Soluzioa: xy

810

==

*

2. Laburtuz ebaztea:

x yx y

3 7 145 8 9– –

+ ==

*

Zatikiekin eragiketak egin beharrean, laburtze-metodoa birritan erabil dezakegu ezezagun bat eta beste bakantzeko. Hori guztiz erabilgarria da ezezagunen koe-fizienteak zenbaki oso handiak izanez gero.

x bakantzeko: y bakantzeko:

(1.) · 8

(2.) · 7 x y

x y24 56 11235 56 63– –

+ ==

* (1.) · 5

(2.) · (–3) x y

x y15 35 7015 24 27–

+ =+ =

*

Batuz: 59x = 49 Batuz: 59y = 97

Soluzioa, orain, berehalakoa da: x = 5949 , y = 59

97

Indartu sistemak laburtze-metodoaren bidez ebazteko prozedura.

Webgunean

Praktikatu laburtze-metodoa aplikatuz.

Webgunean

Indartu sistemak ebazteko metodorik egokienaren bidez ebazteko prozedura.

Webgunean

Praktikatu sistemak ebatziz.

Webgunean

OHARRAK

Page 8: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

95

Iradokizunak

•Orrialdehauetan,sistemaez-linealakebazteariekingodiogu.Motaho-rretakosistemakzailakizatendiramailahonetakoikasleentzat.Kasuerrazekinhasikogara,hots,bigarrenmailakoekuaziorenbatdutensiste-mekin.

Hurrengoikasturteanosatukoduguedukihau.

•Leheniketabehin,ekuaziolinealbatetabesteekuaziokoadratikobatdituztensistemakplanteatukoditugu;horiekerrazebaztekomodukoakdira,laburtze-metodoaerabiliz.Komenidasistemarensoluziobikoitzariarretabereziajartzea.Ezezagunetakobatentzatbibaliolortuzgero,ikasleekpentsadezaketelortutakobibalioaksistemarensoluziodirela.Sistemalinealenkasuanegingenuenbezala,bisoluzioakegiaztatzenbaditugu,soluzioarenkontzeptuaindartukodugu.

•Eraberean,ezezagungisax 2etay 2dituztenbigarrenmailakobiekua-ziokosistemakereaurkeztuditugu.

Motahorretakosistemakerrazebaztekomodukoakdira,laburtze-meto-doaerabiliz.Horrela,sistemarenerabilgarritasunaegiaztatukodugube-rrizere.

Kasuhauetan,ikasleeigogoratubehardieguezinbestekoadelaondoantolatzea, lau soluzioak lortzeko.Halaber, horiekegiaztatzeaereezinbestekoadelagogoratukodiegu.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:33.orrialdeko1.ariketakoa),b),c)etad)atalak.

Sakontzeko:33.orrialdeko1.ariketakoe),f),g)etah)atalak.

Lankidetzan ikasi

Honakoariketahauproposatzenda:

Ikasleakbinakajarrikodira,berdinenartekolankidetzasustatzeko,etaho-nakoakegingodituzte:

– Proposatutakoariketakebatzi:erabilitakoekuazio-sistemaketahaiensoluzioakegiaztatu,besteikaskidebatzuekin.

– Problemaberriakasmatu(proposatu),ikasleekebatzditzaten.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a),,

x yx y

2 44 2

1 1

2 2

= == =*

b)

,,,,

x yx yx yx y

5 45 45 45 4

––– –

1 1

2 2

3 3

4 4

= == == == =

Z

[

\

]]

]]

c)Ezdaukasoluziorik.

d)x=10,y=6

133132

Hizkuntza aljebraikora problema korapilatsu samarra itzultzeko, errazago izaten da ekuazio-sistemaz baliatzea ezezagun bateko ekuazio bakarrera jotzea baino. Zer pauso ematea komeni den ikusiko dugu:

1 Zer elementuk parte hartzen duten identifikatzea eta ezezagunak izenda-tzea.

2 Dauden erlazioak ekuazioen bidez adieraztea.

3 Ateratzen den ekuazio-sistema ebaztea.

4 Soluzioa interpretatzea enuntziatura doituz.

Sistemako ekuazioetako bat lineala baldin ez bada, ekuazio-sistema ez-lineala dela esaten da. Honako hauek sistema ez-linealen adibideak dira:

x yx y

5122 2

+ =+ =

* x yx x y

2 11 2– –

= ++ =

* 1–+ =

x y xyxy

1 1 1

6=*

Ikasturte honetan, (bigarren mailako) ekuazio koadratikoen bidez bakarrik eba-tziko ditugu sistema ez-linealak. Sistema horiei sistema koadratiko esaten zaie.Sistema linealak ebazteko ikasi dituzun metodoen bidez, ia aparteko ahaleginik gabe, sistema koadratikoak ebatzi ahal izango ditugu. Bi adibide ikusiko ditugu:

7 Problemak sistemen bidez ebaztea6 Ekuazio ez-linealen sistemak

1. Ebatzi honako sistema hauek soluzioa emanez edo soluziorik ez dutela adieraziz:

a) x yx y

6202 2

+ =+ =

* b) x yx y

419–

2 2

2 2+ =

=* c) x y

x y16

642 2+ =+ =

* d) x yx y

464

––2 2

==

*

Pentsatu eta egin1. A eta B herrien artean, 25 km daude.

Oinezkoa A-tik B-rantz atera da 4 km/h-ko abia-duran. Une berean, beste oinezko bat atera da B-tik A-rantz 6 km/h-ko abiaduran. Kalkulatu zenbat den-bora barru egingo duten bat eta zer distantzia egingo duen bakoitzak une horretara arte.

2. Bi herriren artean, 120 km daude. Une berean, oinezkoa atera da A-tik B-rantz 6 km/h-ko abiadu-ran eta txirrindularia, B-tik A-rantz 24, km/h-koan. Zenbat denbora barru egingo dute bat? Zer bide egin-go du oinezkoak?

Pentsatu eta egin

Hartu kontuan

Eskema onak datuen eta ezezagunen arteko erlazioak ezartzeko balio du.

Ariketa ebatziak

1. Metodorik egokienaren bidez ebaztea:

y xx y

15

–2 2

=+ =

*

Ordezkatze-metodoa erabiliko dugu.Bakandu y 1. ekuazioan: y = x + 1Ordeztu 2. ekuazioan: x 2 + (x + 1)2 = 5Garatu parentesiak: x 2 + x 2 + 2x + 1 – 5 = 0Taldekatu eta sinplifikatu: 2x 2 + 2x – 4 = 0 → x 2 + x – 2 = 0

Ebatzi: x = 2

1 1 82

1 3– ± – ±+ = xx

12–

==

x = 1 izanez gero, orduan: y = 1 + 1 = 2x = –2 izanez gero, orduan: y = –2 + 1 = –1

Soluzioa: ,

,x yx y

1 22 1– –

1 1

2 2

= == =*

2. Honako sistema hau ebaz-tea:

x yx y

5840–

2 2

2 2+ =

=*

Laburtze-metodoa erabiliko dugu.Batu bi ezezagunak: 2x 2 = 98 → x 2 = 49 → x = 7, x = –7

x = 7 izanez gero, orduan: y 2 = 58 – 72 = 9 → y = 3, y = –3x = –7 izanez gero, orduan: y 2 = 58 – (–7)2 = 9 → y = 3, y = –3

Soluzioa:

,,

,,

x yx yx yx y

7 37 3

7 37 3

––– –

1 1

2 2

3 3

4 4

= == == == =

Z

[

\

]]

]]

Problema ebatziak

1. A geltokitik B geltokira, 255 km daude. Trena A-tik B-ra atera da 60 km/h-ko abiadura konstantean. Une berean, beste tren bat atera da B-tik A-rantz 110 km/h-ko abiaduran. Biak gurut-zatu arte zenbat denbora igaroko den eta trenetako bakoitzak une horretara arte zer bide egin duen kalkulatzea.

1 Identifikatu parte hartzen duten elementuak eta izendatu ezezagunak eskema baten laguntzaz:

60 km/h GURUTZATZEAAx

110 km/h

255 – xB

distantzia denbora abiadura

1. trena x t 602. trena 255 – x t 110

2 Adierazi dauden erlazioak ekuazioen bidez:

Espazioa = abiadura · denbora denez: ::x t

x t60

255 1101. trena2. trena –

==

)

3 Ebatzi atera den ekuazio-sistema:

x tx t

60255 110–

==

)

Batuz: 255 = 170t → t = 170255 = 1,5

Ordeztuz: x = 60t = 60 · 1,5 = 90

4 Soluzioa: Trenak atera eta 1 h 30 min barru gurutzatuko dira. 1. trenak 90 km egingo ditu eta 2. trenak, 255 – 90 = 165 km.

kontuz! Problema hori aritme-tikaren bidez ebatz daiteke. Hau da, aljebra erabili gabe:Trenen abiadura:

110 + 60 = 170 km/hOndorioz, gurutzatuko dira:

170255 = 1,5 orduan

Eta abar.

Indartu enuntziatuak itzultzeko prozedura.

Webgunean

Ebatzi honako problema hauek: «Latak» eta «Nahasteak».Webgunean

OHARRAK

Page 9: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

96

133132

Hizkuntza aljebraikora problema korapilatsu samarra itzultzeko, errazago izaten da ekuazio-sistemaz baliatzea ezezagun bateko ekuazio bakarrera jotzea baino. Zer pauso ematea komeni den ikusiko dugu:

1 Zer elementuk parte hartzen duten identifikatzea eta ezezagunak izenda-tzea.

2 Dauden erlazioak ekuazioen bidez adieraztea.

3 Ateratzen den ekuazio-sistema ebaztea.

4 Soluzioa interpretatzea enuntziatura doituz.

Sistemako ekuazioetako bat lineala baldin ez bada, ekuazio-sistema ez-lineala dela esaten da. Honako hauek sistema ez-linealen adibideak dira:

x yx y

5122 2

+ =+ =

* x yx x y

2 11 2– –

= ++ =

* 1–+ =

x y xyxy

1 1 1

6=*

Ikasturte honetan, (bigarren mailako) ekuazio koadratikoen bidez bakarrik eba-tziko ditugu sistema ez-linealak. Sistema horiei sistema koadratiko esaten zaie.Sistema linealak ebazteko ikasi dituzun metodoen bidez, ia aparteko ahaleginik gabe, sistema koadratikoak ebatzi ahal izango ditugu. Bi adibide ikusiko ditugu:

7 Problemak sistemen bidez ebaztea6 Ekuazio ez-linealen sistemak

1. Ebatzi honako sistema hauek soluzioa emanez edo soluziorik ez dutela adieraziz:

a) x yx y

6202 2

+ =+ =

* b) x yx y

419–

2 2

2 2+ =

=* c) x y

x y16

642 2+ =+ =

* d) x yx y

464

––2 2

==

*

Pentsatu eta egin1. A eta B herrien artean, 25 km daude.

Oinezkoa A-tik B-rantz atera da 4 km/h-ko abia-duran. Une berean, beste oinezko bat atera da B-tik A-rantz 6 km/h-ko abiaduran. Kalkulatu zenbat den-bora barru egingo duten bat eta zer distantzia egingo duen bakoitzak une horretara arte.

2. Bi herriren artean, 120 km daude. Une berean, oinezkoa atera da A-tik B-rantz 6 km/h-ko abiadu-ran eta txirrindularia, B-tik A-rantz 24, km/h-koan. Zenbat denbora barru egingo dute bat? Zer bide egin-go du oinezkoak?

Pentsatu eta egin

Hartu kontuan

Eskema onak datuen eta ezezagunen arteko erlazioak ezartzeko balio du.

Ariketa ebatziak

1. Metodorik egokienaren bidez ebaztea:

y xx y

15

–2 2

=+ =

*

Ordezkatze-metodoa erabiliko dugu.Bakandu y 1. ekuazioan: y = x + 1Ordeztu 2. ekuazioan: x 2 + (x + 1)2 = 5Garatu parentesiak: x 2 + x 2 + 2x + 1 – 5 = 0Taldekatu eta sinplifikatu: 2x 2 + 2x – 4 = 0 → x 2 + x – 2 = 0

Ebatzi: x = 2

1 1 82

1 3– ± – ±+ = xx

12–

==

x = 1 izanez gero, orduan: y = 1 + 1 = 2x = –2 izanez gero, orduan: y = –2 + 1 = –1

Soluzioa: ,

,x yx y

1 22 1– –

1 1

2 2

= == =*

2. Honako sistema hau ebaz-tea:

x yx y

5840–

2 2

2 2+ =

=*

Laburtze-metodoa erabiliko dugu.Batu bi ezezagunak: 2x 2 = 98 → x 2 = 49 → x = 7, x = –7

x = 7 izanez gero, orduan: y 2 = 58 – 72 = 9 → y = 3, y = –3x = –7 izanez gero, orduan: y 2 = 58 – (–7)2 = 9 → y = 3, y = –3

Soluzioa:

,,

,,

x yx yx yx y

7 37 3

7 37 3

––– –

1 1

2 2

3 3

4 4

= == == == =

Z

[

\

]]

]]

Problema ebatziak

1. A geltokitik B geltokira, 255 km daude. Trena A-tik B-ra atera da 60 km/h-ko abiadura konstantean. Une berean, beste tren bat atera da B-tik A-rantz 110 km/h-ko abiaduran. Biak gurut-zatu arte zenbat denbora igaroko den eta trenetako bakoitzak une horretara arte zer bide egin duen kalkulatzea.

1 Identifikatu parte hartzen duten elementuak eta izendatu ezezagunak eskema baten laguntzaz:

60 km/h GURUTZATZEAAx

110 km/h

255 – xB

distantzia denbora abiadura

1. trena x t 602. trena 255 – x t 110

2 Adierazi dauden erlazioak ekuazioen bidez:

Espazioa = abiadura · denbora denez: ::x t

x t60

255 1101. trena2. trena –

==

)

3 Ebatzi atera den ekuazio-sistema:

x tx t

60255 110–

==

)

Batuz: 255 = 170t → t = 170255 = 1,5

Ordeztuz: x = 60t = 60 · 1,5 = 90

4 Soluzioa: Trenak atera eta 1 h 30 min barru gurutzatuko dira. 1. trenak 90 km egingo ditu eta 2. trenak, 255 – 90 = 165 km.

kontuz! Problema hori aritme-tikaren bidez ebatz daiteke. Hau da, aljebra erabili gabe:Trenen abiadura:

110 + 60 = 170 km/hOndorioz, gurutzatuko dira:

170255 = 1,5 orduan

Eta abar.

Indartu enuntziatuak itzultzeko prozedura.

Webgunean

Ebatzi honako problema hauek: «Latak» eta «Nahasteak».Webgunean

Iradokizunak

•Ekuazio-sistemekhainbatproblemariaurreegitekoaukeraematendigu-te,etaekuaziobakarbaterabiltzeabainometodoeraginkorragoadira.Bestebehinere,ideiaberaazpimarratukodugu:mailahonetan,zereginnagusiaproblemakmetodoaljebraikoakerabilizebazteaizangoda.

•Honakohauekizatendiraakatsakegitekoarrazoinagusiak:

– Eragiketaaljebraikoakegitekotrebetasuneza.

– Enuntziatuakulertzekozailtasunakizatea.

– Kantitateezberdinezezagunenarteanerlaziobatadieraztean,ohikoaizatendakoefizientenagusiakantitaterikhandienarilotutajartzea,berdintzekoasmoz.

– Letrakobjektugisaerabiltzea,etaezhorienzenbakigisa.

•Problemaaritmetikoakondoikasizgero,problemaaljebraikoakerraza-goplanteatuetaebatzikoditugu.Irakasleakzenbakizkoproblemetakobatzuetanaplikatutakometodoakgogoratukoditu,berezikiproportzio-naltasunariburuzkoetan;horrela,ikasleekkantitateezezagunekinaplika-tukodituzte,ekuaziobatedoekuazio-sistemabatplanteatuz.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:40.orrialdeko1etik5erakoariketak.

41.eta42.orrialdeetako9tik14rakoariketak.

Sakontzeko:43.orrialdeko15etik21erakoariketak.

45.orrialdeko1etik6rakoariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Aplikatu»ataleko1.,2.eta3.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko1.,2.eta3.ariketak.

Lankidetzan ikasi Honakoariketahauproposatzenda:

Ikasleakbinakajarrikodira,berdinenartekolankidetzasustatzeko,etaho-nakoakegingodituzte:

– Proposatutakoariketakebatzi:erabilitakoekuazio-sistemaketahaiensoluzioakegiaztatu,besteikaskidebatzuekin.

– Problemaberriakasmatu(proposatu),ikasleekebatzditzaten.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 2h30minbarruegingodutebat,Ahiritik10km-ra.

2 4hbarruegingodutebat.

Oinezkoak24kmegingoditu.

OHARRAK

Page 10: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

97

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

3 36loliba-olioeta14lekilore-olio.

4 Kamisetak60€baliozuen,etajertseak,50€.

5 13cm-koneurriadute.

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

2 8lagungaraetaopariak30€baliodu.

Ariketa eta problema ebatziak

134 135

1. Zenbat da automobila alokatzea?

Automobila alokatzearen kos-tua egun kopuruaren eta egi-ten diren kilometroen arabera da. 4 egun eta 580 km-rako alokatzea 151 kostatu zi-tzaidan. Beste batean, 145,50  ordaindu nuen 3 egun eta 650 km-rako alokatzea. Zenbat ordaindu beharko dut 6 egun eta 350 km-rako alokatzea?

Automobila alokatzen den eguneko prezioari x esango diogu eta y, kilome-troko prezioari.•4 egun eta 580 km-ko kostua: 151 € → 4x + 580y = 151•3 egun eta 650 km-ko kostua: 145,50 € → 3x + 650y = 145,50Problema laburtze-metodoz ebatziko dugu:

,x yx y

4 580 1513 650 145 50

+ =+ =

4 × (–3)⎯⎯→× 4 x y

x y12 1 740 45312 2 600 582

– – –=+ =

4

860y = 129 → y = 0,15

y-ren balioa ekuazioetako edozeinetan ordeztu eta x = 16 lortuko dugu.Prezioa da: 16 €/egun eta 0,15 €/km. 6 egun eta 350 km-rako alokatzea 148,50 € kostatuko zait.

2. Zenbat lagun dira?

Lagun talde batek oparia egin nahi diote Tomasi eta bakoi-tzak 12 jarri beharko ditu. Beste hiru lagun batu zaizkie eta, bakoitzak 2 euro gutxiago ipiniz gero, 14 garestiago den oparia eros dezakete. Zenbat lagun dira guztira? Zenbat kos-tatuko zaie oparia?

Hasieran, x lagun dira eta aukeratu duten opariak y euro balio ditu.•Bakoitzak 12 € jarriz gero, orduan: 12x = y•Gero, x + 3 lagun dira, bakoitzak 10 € jarri eta y + 14 euroko oparia erosiko

dute. Ondorioz: 10(x + 3) = y + 14Sistema berdintze-metodoz ebatziko dugu:

( )x yx y

1210 3 14

=+ = +

* → y xy x

1210 16

== +

* → 12x = 10x + 16 → x = 8

x-ren balioa 1. ekuazioan ordeztuz: y = 12 · 8 = 96Guztira, 11 lagun dira eta opariaren prezioa 110 € da.

Zeuk egin. Talde bateko lagunok oparia erosi nahi dugu. Bakoitzak 4 € jarriz gero, 2 € daude sobera. Eta 3 € ipiniz gero, 6 € falta dira. Zenbat lagun gara taldean eta zenbat balio du opariak?

3. Adinak

Orain dela hiru urte, Mike-len adina Anerena bi halako zen. Zazpi urte barru, Mike-len adina Anek orduan izango dituen urteen 4/3-en parekoa izango da. Zer adin du orain bakoitzak?

gaur duela 3 urte 7 urte barru

mikelen adina x x – 3 x + 7aneren adina y y – 3 y + 7

Problemaren baldintzak hizkuntza aljebraikora itzuli eta sistema ebatziko dugu:

( )x y3 2 3

34

– –=

( )x y7 7+ = +* →

( )8 8 8x yx y y y y y

2 33 4 7 3 2 3 4 7 2 16 8

–– – –

== = = =

*

1. ekuazioan, y-ren balioa ordeztuko dugu: x = 2 · 8 – 3 → x = 13Mikelek 13 urte ditu eta Anek, 8.

Problema ebatziak

2. Ardo-saltzaile batek bi txanbileko ardoak nahasi ditu; lehenengo txanbile-koa, hobea, 3 €/l-koa da eta bigarrena, kalitate eskasagokoa, 2,20 €/l-koa. Horrela, tarteko kalita-teko 16 l ardo lortu du, eta 2,50 €/l-ko prezioan atera da. Zenbat ardo zegoen txanbil bakoitzean?

Izan bitez x kalitate hobeko ardoaren litroak eta y kalitate eskasagokoak.• Nahastea 16 l denez: x + y = 16• Nahastearen prezioa 2,50 €/l denez, orduan: 3x + 2,20y = 2,50 · 16

Ebatzi sistema: ,

x yx y

163 2 20 40

+ =+ =

* → , 8

x yx y

163 2 20 40

–=+ =

*

→ 3(16 – y) + 2,20y = 40 → 48 – 3y + 2,20y = 40 → 0,8y = 8 → y = 10Ordeztu y-ren balioa lehenengo ekuazioan: x = 16 – 10 = 6Lehenengo txanbilean, 6 l ardo zeuden eta bigarrenean, 10 l ardo.

3. Mirenek % 15 merkeago zegoen berokia erosi du. Gorkak 25 € gehiago balio duen beste beroki bat erosi du, baina % 20ko deskontua lortu du eta, ondorioz, Mire-nek baino 8 € gehiago baka-rrik ordaindu du. Zenbat balio zuen beroki bakoitzak hasieran?

Mirenek erosi duen berokiak merkatu baino lehen zuen prezioari x esango diogu eta y, Gorkaren berokiari, merkatu baino lehen.• Gorkaren berokia Mirenena baino 25 € garestiago denez: y = x + 25• Mirenek baino 8 € gehiago ordaindu duenez: 0,80y = 0,85x + 8

Ebatzi sistema: , , , ( ) ,8 8

y xy x x x

250 80 0 85 8 0 80 25 0 85 8

= += + + = +

*

→ 0,80x + 20 = 0,85x + 8 → 0,05x = 12 → x = 240Ordeztu x-ren balioa 1. ekuazioan: y = 240 + 25 = 265Mirenen berokiaren prezioa 240 € zen, eta Gorkarena, 265 €.

4. Laukizuzen baten diagona-lak 26 m ditu eta perime-troak, 68 m. Aldeek zer neu-rri duten kalkulatzea.

26 m

Laukizuzenaren oinarriari x esango diogu eta altuerari, y.• Diagonala 26 m-koa denez, Pitagorasen teoremaren bidez, x 2 + y 2 = 262.• Perimetroa 68 m-koa denez, orduan 2x + 2y = 68 → x + y = 34

Ebatzi sistema: x yx y

2634

2 2 2+ =+ =

* → 8x yx y

2634 –

2 2 2+ ==

*→ (34 – y)2 + y 2 = 262 → 2y 2 – 68y + 480 = 0 → y = 24, y = 10Ordeztu y-ren honako balio hauek 2. ekuazioan:

y = 24 baldin bada → x = 34 – 24 = 10y = 10 baldin bada → x = 34 – 10 = 24

Bi soluzio izan arren, izatez soluzio bera da. Laukizuzenaren aldeak 24 m eta 10 m-koak dira.

3. 3,50 €/l-ko oliba-olioa 2 €/l-ko ekilore-oliorekin naha-si dugu 3,08 €/l-ko 50 l-ko nahastea lortzeko. Kalkulatu zenbat oliba-olio eta zenbat ekilore-olio nahasi dugun.

4. 90,50 € ordaindu ditut kamiseta eta jertsea; horien prezioa, guztira, 110 € zen. Kamisetan % 20ko des-kontua egin didate eta jertsean, % 15ekoa. Zenbat ba-lio zuen bakoitzak hasieran?

5. Triangelu isoszele ba-tek 36 cm-ko perimetroa du. Alde desberdinari dagokion al-tuera 12 cm-koa da. Kalkulatu zer neurri duten alde berdinek.

Oinarriaren erdiari x esanez gero, kalkuluak asko sinpli-fikatzen dira.

Pentsatu eta egin

12 cm

x

Ebatzi higikarien problemak.Webgunean

OHARRAK

OHARRAK

Page 11: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

98

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)x=1,y=2 b)x=–1,y=–3

c)x=1,y=–2 d)x=–2,y=0

2 a)x=–3,y=1 b)x=–2,y=3

c)x=–53 ,y=

59 d)x=0,y=8

3 a)x=4,y=–2 b)x=2,y=–2

c)x=1,y=6 d)x=–118 ,y=

115

4 a)x=–1,y=–2 b)x=715 ,y=–

74

c)x=54 ,y=–

151 d)x=

32 ,y=

21

5 a)x=1123 ,y=–

212 b)x=–

2023 ,y=–

2099

6 a)x=4,y=2 b)x=5,y=–3

c)Bateraezina. d)Indeterminatua.

7 a)Soluziorikez. b)Infinitusoluzio.

c)Soluziobakarra. d)Soluziorikez.

8 a)x=0,y=0 b)x=1,y=3 c)x=6,y=–4

d)x=2,y=–2 e)x=–2,y=1 f) x=2,y=1

9 a)x=10,5;y=7,5 b)x=18,y=16 c)x=15,y=8

d)x=3,y=–2 e)x=0,y=5 f) x=1,y=–2

10 a)x=5,y=3 b)x=1,y=0

c)

,

,

x y

x y

6 1

38

37–

1 1

2 2

= =

= =

Z

[

\

]]

]] d)

,,

x yx y

4 55 4

1 1

2 2

= == =*

136 137

Ariketak eta problemak

Egin1. Ebatzi era grafikoan honako ekuazio-sistema

hauek:

a) x yx y

3 12 5

– =+ =

* b) x yx y

3 03 6

––

=+ =

*

c) x yx y

3 52 4

––+ =

=* d) x y

x y2 3 4

8 2– –

–=

+ =*

2. Ebatzi ordeztuz.

a) x yx y

3 02 5–

+ =+ =

* b) x yx y

8 3 255 17

– –– –

==

*

c) x yx y

7 64 3 3

– –=+ =

* d) x yy x

2 16 22 3 16–

+ ==

*

3. Ebatzi berdinduz.

a) xx y

46–

==

* b) x yx y

3 42 6

––+ =

=*

c) y xx y

67 2 5–

==

* d) x yx y

3 4 42 1

– ––

=+ =

*

4. Ebatzi laburtuz.

a) x yx y

4 3 22 4

––

=+ =

* b) x yx y

2 13 7–

+ ==

*

c) x yx y

3 13 6 2

– =+ =

* d) /

x yx y

3 2 37 6

+ =+ =

*

5. Ebatzi honako ekuazio-sistema hauek ezezagune-tako bakoitza bakantzeko laburtze-metodoa birritan erabiliz:

a) x yx y

13 8 157 14 9

––

==

* b) x yx y

9 13 5411 7 22

––

==

*

6. Ebatzi honako sistema hauek. Adierazi horie-takoren bat bateraezina edo indeterminatua den:

a) , ,

x yx y

2 5 23 25 2 5 8

– ––

==

* b) , , ,, , ,

x yx y

0 2 1 7 6 11 23 0 8 3 75

– =+ =

*

c) ( )( )x yx y

3 1 03 1 5

––

+ =+ + =

* d) x y yx y

43 5 7 6

–– –

+ ==

*

7. Erreparatu honako sistema hauek era-tzen dituzten ekuazioei eta adierazi horietako zeinek duen soluzio bakar bat, zeinek ez duen soluziorik eta zeinek dituen infinitu soluzio. Egiazta ezazu, horiek eratzen dituzten zuzenak irudikatuz:

a) x yx y

2 14 2 8

––

==

* b) x yx y

2 52 4 10

––

==

*

c) x yx y

5 2 14 7

––+ =

=* d) x y

x y2 5

2 4 3–– –

==

*

8. Ebatzi honako sistema hauek:

a) x yx y

2 05 3 9 3– –

+ ==

* b) ( )( ) ( )

x yx y x y

2 3 2 13 2 8

– ––

=+ + =

*

c) 4– =x y

x y3 2

2 42+ =

Z

[

\

]]

]] d)

x 1+ =y

x y4

2

23 5

– =

Z

[

\

]]

]]

e) 2+ =x y

x y3

26

3

68 3

92 2

– –

+

+ =

Z

[

\

]]

]] f )

1+ =x y

x y2

14

1

22 1

62 1 1

– –

+

+ =

Z

[

\

]]

]]

9. Ebatzi honako sistema hauek:

a) =x y

x y7 53 24– =* b) =x y

x y32

43

2 50+ =*

c) x y 41+ =

37

43

53

25x y 11– + =

Z

[

\

]]

]] d)

,x y0 3– =51

56

57, ,x y0 4 1 6–+ =

Z

[

\

]]

]]

e) 3+ =( )x y

x y815

163 1

27

121–

+ +

+ 3– =

Z

[

\

]]

]] f )

– =x y

x y4

3 113

1623

22 1

43

41–

+ +

+– =

Z

[

\

]]

]]

10. Ebatzi ordeztuz.

a) x yx y

216

––2 2

==

* b) x yx y

12 2–2 2

+ ==

*

c) ( )x yx y

53 2 11

–– 2 2

=+ =

* d) x yx y

9412 2

+ =+ =

*

Erabili ikasi duzuna11. Honako sistema hauek ebazteko, erabili ordezte-

metodoa:

a) x yxy x

8242

+ =+ =

* b) x yxy2 1

3–+ ==

*

c) x yxy

2 3 12 24

– ==

* d) x yxy3 2 0

24– ==

*

12. Erabili laburtze-metodoa honako ekuazio- sistema hauek ebazteko:

a) x yx y

2 225

–2 2

2 2=

+ =* b) x y

x y3 13

2 2– –

2 2

2 2+ =

=*

c) x yx y

3 2 22 3 3

– –2 2

2 2=

+ =* d) x y

x y17

25– –

2 2

2 2+ =

=*

13. Kooperatiba batek 2 000 l olio ontziratu ditu 1,5 l eta 2 l-ko botilatan. Guztira, 1 100 botila erabili ditu. Tamaina bakoitzeko zenbat botila behar izan ditu?

14. Esnez beteriko botilaren pisua 1 220 g da. Erdira dagoenean, 854 g-ko pisua du. Zer pisu du botilak hutsik?

15. Kalkulatu bi zenbaki arrunt; horien batura 154 izango da eta zatidura, 8/3.

16. Test erako azterketa batean, 50 galdera daude eta ezin daiteke erantzunik gabeko galderarik utzi. Erantzun zuzen bakoitzeko puntu bat lortzen da eta okerreko erantzun bakoitzeko 0,5 puntu kentzen da. 24,5 puntu izan ditut guztira. Zenbat erantzun zuzen eta zenbat oker izan ditut?

17. Alde nagusia alde zeiharren batura da eta perime-troa, 38 m. Zer neurri du trapezio isoszele horretako aldeetako bakoitzak?

xx

y

6 m

18. Ikastetxe jakin bateko ikasleak, DBHkoak eta Batxilergokoak batuta, 420 dira. DBHko ikasleen % 42 eta Batxilergokoen % 52 neskak dira; hau da, 196 neska dira guztira. Kalkulatu zenbat ikasle diren DBHn eta zenbat diren Batxilergoan.

19. Hasieran biek batera 70 € balio zuten kamise-ta eta prakak 55,72 € ordaindu ditut. Kamisetak % 18ko deskontua zuen eta frakek, % 22koa. Zenbat balio zuen hasieran gauza bakoitzak?

20. Zatiki bateko zenbakitzaileari unitate bat batu eta izendatzaile bera utziz gero, zatikia berdin 1/2 da. Eta hasierako zenbakitzailea gorde eta izendatzaileari 3 unitate batuz gero, zatikia berdin 1/3 da. Zer zati-kiri buruz ari gara?

21. Bi zenbakiren batura 34 da. Handiena zati 3 egin eta txikiena zati 4 eginez gero, 2 unitateko aldea dago bi zatiduren artean. Zer zenbaki dira horiek?

Ebatzi problemak 22. Bilatu batura 140 duten bi zenbaki arrunt; zenba-

ki nagusia zati zenbaki txikia eginez gero, zatidura 2 eta hondarra 14 lortu behar dugu.

23. Ama-semeen adinen batura 56 urte da. Duela 10 urte, amaren adina semearena 10 halako zen. Zenbat urte ditu bakoitzak gaur egun?

24. Karmeleren adina alabarena hiru halako da. Baina, 15 urte barru, alabak izango duena bi halako izango da. Zenbat urte ditu bakoitzak orain?

25. 120 pertsona bi autobusetan doaz. Bidaztirik gehien daramanetik bestera 2/5 pasatuz gero, bidazti kopuru bera eramango dute biek. Zenbat bidazti zeramatzan autobus bakoitzak?

26. Enpresa batek loreontzi kopuru bat pres-tatu behar du egun jakin baterako. Produkzioa pla-nifikatzen ari dela, honako honetaz konturatu da: egunean 250 loreontzi prestatuz gero, 150 faltako direla epea amaitzen den egunean. Baina egunean 260 loreontzi prestatuz gero, 80 izango direla sobera. Zenbat eguneko epea zuten eta zenbat loreontzi agin-du zizkieten?

OHARRAK

Page 12: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

99

Lankidetzan ikasi

Honakoariketahauproposatzenda:

Ikasleakbinakajarrikodira,berdinenartekolankidetzasustatzeko,etaho-nakoakegingodituzte:

– Proposatutakoariketakebatzi:erabilitakoekuazio-sistemaketahaiensoluzioakegiaztatu,besteikaskidebatzuekin.

– Problemaberriakasmatu(proposatu),ikasleekebatzditzaten.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

11 a)x=3,y=5 b)

,

,

x y

x y

1 3

23 2

1 1

2 2

= =

= =

Z

[

\

]]

]]

c),

,

x y

x y29

38

4 3– –

1 1

2 2

= =

= =

Z

[

\

]]

]] d)

,,

x yx y

4 64 6– –

1 1

2 2

= == =*

12 a)

,,,,

x yx yx yx y

3 43 43 43 4

––– –

1 1

2 2

3 3

4 4

= == == == =

Z

[

\

]]

]]

b)

,,,,

x yx yx yx y

2

2

1 211 21

––– –

1 1

2 2

3 3

4 4

= == == == =

Z

[

\

]]

]]

c),,

x yx y

0 10 1–

1 1

2 2

= == =* d)Soluziorikez.

13 1,5l-ko400botilaeta2l-ko700botila.

14 Botilak,hutsik,488g-kopisuadu.

15 Zenbakiak112eta42dira.

16 33erantzunzuzeneta17erantzunokerizanditut.

17 x=8m,y=16m

18 224ikaslediraDBHneta196Batxilergoan.

19 Kamiseta:28€.Frakak:42€.

20 125 zatikiariburuzarigara.

21 Zenbakihandia18da,etatxikia,16.

22 Zenbakiak98eta42dira.

23 Ama:urte.Semea:16urte.

24 Karmelek45urtedituetaalabak,15.

25 Bidaztigehienzeramatzanautobusak100zituen,etagutxienzerama-tzanak,20.

26 23egunekoepeazuten5900lorontziegiteko.

136 137

Ariketak eta problemak

Egin1. Ebatzi era grafikoan honako ekuazio-sistema

hauek:

a) x yx y

3 12 5

– =+ =

* b) x yx y

3 03 6

––

=+ =

*

c) x yx y

3 52 4

––+ =

=* d) x y

x y2 3 4

8 2– –

–=

+ =*

2. Ebatzi ordeztuz.

a) x yx y

3 02 5–

+ =+ =

* b) x yx y

8 3 255 17

– –– –

==

*

c) x yx y

7 64 3 3

– –=+ =

* d) x yy x

2 16 22 3 16–

+ ==

*

3. Ebatzi berdinduz.

a) xx y

46–

==

* b) x yx y

3 42 6

––+ =

=*

c) y xx y

67 2 5–

==

* d) x yx y

3 4 42 1

– ––

=+ =

*

4. Ebatzi laburtuz.

a) x yx y

4 3 22 4

––

=+ =

* b) x yx y

2 13 7–

+ ==

*

c) x yx y

3 13 6 2

– =+ =

* d) /

x yx y

3 2 37 6

+ =+ =

*

5. Ebatzi honako ekuazio-sistema hauek ezezagune-tako bakoitza bakantzeko laburtze-metodoa birritan erabiliz:

a) x yx y

13 8 157 14 9

––

==

* b) x yx y

9 13 5411 7 22

––

==

*

6. Ebatzi honako sistema hauek. Adierazi horie-takoren bat bateraezina edo indeterminatua den:

a) , ,

x yx y

2 5 23 25 2 5 8

– ––

==

* b) , , ,, , ,

x yx y

0 2 1 7 6 11 23 0 8 3 75

– =+ =

*

c) ( )( )x yx y

3 1 03 1 5

––

+ =+ + =

* d) x y yx y

43 5 7 6

–– –

+ ==

*

7. Erreparatu honako sistema hauek era-tzen dituzten ekuazioei eta adierazi horietako zeinek duen soluzio bakar bat, zeinek ez duen soluziorik eta zeinek dituen infinitu soluzio. Egiazta ezazu, horiek eratzen dituzten zuzenak irudikatuz:

a) x yx y

2 14 2 8

––

==

* b) x yx y

2 52 4 10

––

==

*

c) x yx y

5 2 14 7

––+ =

=* d) x y

x y2 5

2 4 3–– –

==

*

8. Ebatzi honako sistema hauek:

a) x yx y

2 05 3 9 3– –

+ ==

* b) ( )( ) ( )

x yx y x y

2 3 2 13 2 8

– ––

=+ + =

*

c) 4– =x y

x y3 2

2 42+ =

Z

[

\

]]

]] d)

x 1+ =y

x y4

2

23 5

– =

Z

[

\

]]

]]

e) 2+ =x y

x y3

26

3

68 3

92 2

– –

+

+ =

Z

[

\

]]

]] f )

1+ =x y

x y2

14

1

22 1

62 1 1

– –

+

+ =

Z

[

\

]]

]]

9. Ebatzi honako sistema hauek:

a) =x y

x y7 53 24– =* b) =x y

x y32

43

2 50+ =*

c) x y 41+ =

37

43

53

25x y 11– + =

Z

[

\

]]

]] d)

,x y0 3– =51

56

57, ,x y0 4 1 6–+ =

Z

[

\

]]

]]

e) 3+ =( )x y

x y815

163 1

27

121–

+ +

+ 3– =

Z

[

\

]]

]] f )

– =x y

x y4

3 113

1623

22 1

43

41–

+ +

+– =

Z

[

\

]]

]]

10. Ebatzi ordeztuz.

a) x yx y

216

––2 2

==

* b) x yx y

12 2–2 2

+ ==

*

c) ( )x yx y

53 2 11

–– 2 2

=+ =

* d) x yx y

9412 2

+ =+ =

*

Erabili ikasi duzuna11. Honako sistema hauek ebazteko, erabili ordezte-

metodoa:

a) x yxy x

8242

+ =+ =

* b) x yxy2 1

3–+ ==

*

c) x yxy

2 3 12 24

– ==

* d) x yxy3 2 0

24– ==

*

12. Erabili laburtze-metodoa honako ekuazio- sistema hauek ebazteko:

a) x yx y

2 225

–2 2

2 2=

+ =* b) x y

x y3 13

2 2– –

2 2

2 2+ =

=*

c) x yx y

3 2 22 3 3

– –2 2

2 2=

+ =* d) x y

x y17

25– –

2 2

2 2+ =

=*

13. Kooperatiba batek 2 000 l olio ontziratu ditu 1,5 l eta 2 l-ko botilatan. Guztira, 1 100 botila erabili ditu. Tamaina bakoitzeko zenbat botila behar izan ditu?

14. Esnez beteriko botilaren pisua 1 220 g da. Erdira dagoenean, 854 g-ko pisua du. Zer pisu du botilak hutsik?

15. Kalkulatu bi zenbaki arrunt; horien batura 154 izango da eta zatidura, 8/3.

16. Test erako azterketa batean, 50 galdera daude eta ezin daiteke erantzunik gabeko galderarik utzi. Erantzun zuzen bakoitzeko puntu bat lortzen da eta okerreko erantzun bakoitzeko 0,5 puntu kentzen da. 24,5 puntu izan ditut guztira. Zenbat erantzun zuzen eta zenbat oker izan ditut?

17. Alde nagusia alde zeiharren batura da eta perime-troa, 38 m. Zer neurri du trapezio isoszele horretako aldeetako bakoitzak?

xx

y

6 m

18. Ikastetxe jakin bateko ikasleak, DBHkoak eta Batxilergokoak batuta, 420 dira. DBHko ikasleen % 42 eta Batxilergokoen % 52 neskak dira; hau da, 196 neska dira guztira. Kalkulatu zenbat ikasle diren DBHn eta zenbat diren Batxilergoan.

19. Hasieran biek batera 70 € balio zuten kamise-ta eta prakak 55,72 € ordaindu ditut. Kamisetak % 18ko deskontua zuen eta frakek, % 22koa. Zenbat balio zuen hasieran gauza bakoitzak?

20. Zatiki bateko zenbakitzaileari unitate bat batu eta izendatzaile bera utziz gero, zatikia berdin 1/2 da. Eta hasierako zenbakitzailea gorde eta izendatzaileari 3 unitate batuz gero, zatikia berdin 1/3 da. Zer zati-kiri buruz ari gara?

21. Bi zenbakiren batura 34 da. Handiena zati 3 egin eta txikiena zati 4 eginez gero, 2 unitateko aldea dago bi zatiduren artean. Zer zenbaki dira horiek?

Ebatzi problemak 22. Bilatu batura 140 duten bi zenbaki arrunt; zenba-

ki nagusia zati zenbaki txikia eginez gero, zatidura 2 eta hondarra 14 lortu behar dugu.

23. Ama-semeen adinen batura 56 urte da. Duela 10 urte, amaren adina semearena 10 halako zen. Zenbat urte ditu bakoitzak gaur egun?

24. Karmeleren adina alabarena hiru halako da. Baina, 15 urte barru, alabak izango duena bi halako izango da. Zenbat urte ditu bakoitzak orain?

25. 120 pertsona bi autobusetan doaz. Bidaztirik gehien daramanetik bestera 2/5 pasatuz gero, bidazti kopuru bera eramango dute biek. Zenbat bidazti zeramatzan autobus bakoitzak?

26. Enpresa batek loreontzi kopuru bat pres-tatu behar du egun jakin baterako. Produkzioa pla-nifikatzen ari dela, honako honetaz konturatu da: egunean 250 loreontzi prestatuz gero, 150 faltako direla epea amaitzen den egunean. Baina egunean 260 loreontzi prestatuz gero, 80 izango direla sobera. Zenbat eguneko epea zuten eta zenbat loreontzi agin-du zizkieten?

OHARRAK

Page 13: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

100

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

27 Prakak50€ordainduditutetazapatak,76€.

28 Nik14liburuditut,etazuk16.

29 22€eta18€ordainduzituen,hurrenezhurren.

30 1,25hbarruharrapatukodu,eta137,5kmegingoditu.

31 1h42minbeharkoditu,eta187kmegingoditu.

32 Trena:75,5km/h.Autobusa:80,5km/h.

33 Distantzia37,5kmdira.

34 90lzeuden,eta60lgehitudizkiogu.

35 Kateak9gzituen,etaeraztunak,3g.

36 97dazenbakia.

37 6eta4dirazenbakiak.

38 9cmeta12cmdiraaldeenluzerak.

39 Katetonagusiak24cm-koneurriadu,etakatetotxikiak,18cm-koa.

40 Diagonalnagusiak14cm-koneurriadu,etatxikiak,8cm-koa.

41 Oinarriak12cm-koneurriadu,etaaltuerak,10cm-koa.

42 Laukizuzenarenoinarriak130cm-koneurriadu,etaaltuerak,30cm-koa.

43 a187=749

44 a→8 b→8 c→4 d→16 e→12 f→2

45 Altuera12cm-koada.

46 Trena9aldizgeldituda.

66ume,33emakumeeta44gizoniritsidira.

30ume,42emakumeeta62gizonirtendira.

47 Adibidez:x y

x y3 2 4

3–+ ==

*

48 m=2

49 a)Bai,soluzioada. b)Ezdasoluzioa.

50 a)5

2xx y

y3 2

8–+ =

=* b)10ezdenbesteedozeinzenbaki.

c) 8x yx y

3 2 46 4–

+ ==

* d) 2 –14xx y

y2 74

––+ =

=*

51 a)Gezurra.Besteezezagunbatizanbeharkolukesistemalinealaiza-teko.

b)Egia,Bigarrenekuazioalehenarekikobider–2biderkatutadago.

c)Gezurra.Infinitusoluzioditu.Baliobatematendioguezezagune-takobati,etabestearenbalioabakantzendugu.

d)Gezurra.Soluzioaskoditu;ezezagunetakobatibaliobateman,etabestearenbalioabakandukodugu.

52 a)i )x=1,y=–1ii)x=5,y=3iii)Bateraezina

b)I )Bai,II )x=5,y=3

53 a=9etab=6.Soluzioak:(1,1),(0,5/2)eta(–1,4).

54 d≠2c

138 139

Ariketak eta problemak

27. Prakak eta zapatak 126 € ordaindu ditut. Pra-ken prezioa % 14 garestiago izango balitz, zapaten prezioaren % 75 izango litzateke. Zenbat ordaindu dut bakoitza?

28. Ditudan liburuetatik 4 ematen baldin badizki-zut, nik ditudan liburuak bi halako izango zenituzke. Zeureetatik 6 ematen badizkidazu, neuk izango ni-tuzke zuk bi halako. Zenbat liburu ditugu bakoitzak?

29. Merkatari batek mota bateko 35 joko eta beste mota bateko 25 joko erosi eta 1 220 € ordaindu du guztia. Lehenengo motakoak salduz, % 25 irabazi du eta bigarrenekoak salduz, % 5 galdu du; guztira, 170 € irabazi ditu. Kalkulatu zenbat ordaindu duen joko mota bakoitza.

30. Autobus bat 90 km/h-ko abiaduran atera da A-tik. 25 km egin ondoren, automobila atera da A-tik 110 km/h-ko abiaduran autobusaren atzetik. Zenbat denbora barru harrapatuko du eta zer distan-tzia egingo du une horretara arte?

31. Trena 85 km/h-ko abiaduran atera da geltokitik. Ordu erdi beranduago, beste bat atera da norabide berean 110 km/h-ko abiaduran. Kalkulatu zenbat denbora beharko duen harrapatzeko eta zer distantzia egingo duen harrapatu arte.

32. 234 km daude A eta B hirien artean. Autobusa A-tik B-rantz atera da eta, une berean, trena atera da B-tik A-rantz. 1 ordu eta 30 minutu barru gurutzatu dira. Zer abiadura darama bakoitzak jakinik autobu-sa trena baino 5 km/h bizkorrago doala?

33. Autobus batek A eta B herriren arteko zer-bitzua egiten du. Haurrak daramatzanean, % 60 km/h-ko batez besteko abiadura eramaten du, eta hutsik joanda baino ordu laurden bat gehiago behar izaten du. Hau-rrik gabe doanean, 100 km/h-ko abiaduran joaten da. Zer distantzia dago A-ren eta B-ren artean?

34. Ura 50 °C-ko tenperatura duen ande-lean 15 °C-an dagoen ura botaz gero, 36 °C-ko 150 l izango ditugu. Zenbat litro zeuden andelean eta zenbat gehituko ditugu?

35. % 80ko purutasuna zuen urrezko katea eta % 64ko purutasuneko eraztuna urtu dira. Horre-la, % 76ko purutasuneko 12 gramo urre lortu dira. Zenbat gramo zituen kateak? Eta eraztunak?

36. Bi zifrako zenbaki bati zenbaki horren zifren ordena alderantzikatuz ateratzen dena kenduz gero, hasierako zenbakiko hamarrekoetako zifra bi halako lortuko dugu. Kalkulatu, jakinik zenbakiaren zifren batura 18 dela.

37. Bi zenbakiren arteko kendura 2 da eta zenbakion karratuen artekoa, 20. Zer zenbaki dira horiek?

38. Laukizuzen baten diagonala 15 cm luze da eta peri-metroa, 42 cm. Kalkulatu zenbat diren aldeen luzerak.

39. Triangelu zuzen batean, katetoen arteko kendura 6 cm da. Hipotenusa 30 cm-koa izanez gero, zer neu-rri dute katetoek?

40. Erronbo baten diagonalen neurrien batura 22 cm da eta azalera, 56 cm2. Zer neurri du diagonal bakoitzak?

41. Laukizuzen batek 44 m-ko perimetroa du. Oina-rria 3 m handiagotu eta altuera 2 m txikiagotuz gero, azalera lehengoa izango da. Zer dimentsio ditu lauki-zuzen horrek?

42. Laukizuzen baten oinarria 80 cm txikiagotu eta altuera 20 cm handiagotuz gero, karratu bihurtuko da. Eta oinarria 60 cm txikiagotu eta altuera 20 cm handiagotuz gero, azalera 400 cm2 txikiago izan-go da. Kalkulatu zer dimentsio dituen laukizuzen horrek.

Problema korapilatsuagoak43. Progresio aritmetiko bateko lehen lau zenbakiak

a, 9, 3a – b eta 3a + b dira. Zenbat da progresio horretan 187. tokian dagoen gaia?

44. Sei pertsona a, b, c, d, e eta f, mahai bi-ribilaren aurrean daude eserita. Horietako bakoitzak zenbaki bat idatzi eta alboetan dituen bi pertsonei erakutsiko die. Gero, erakutsi dizkioten bi zenbakien batez bestekoa esango du bakoitzak. Emaitzak 5, 6, 7, 8, 9 eta 10 izan direla jota, zer zenbaki idatzi zituzten?

a d

b c

f e

5 8

6 7

10 9

45. AB = 15 cm, CA = 14 cm eta BC = 13 cm-ko aldeak dituen ABC triangeluan, zenbat da B-tik ateratzen den altuera ?

14

1315

xA C

B

14 – x

46. Trena 134 bidazti, gizonezkoak emakumezkoak eta haurrak zenbatuta, daramatzala atera da hiri batetik. Hainbat geldialdi egin ditu eta, bakoitzean, bi gizonezko eta emakumezko bat jaitsi eta lau haur igo dira. 143 bidazti zeramatzan helmugara iritsi denean. Horien artean, gizonezkoak haurren 2/3 zi-ren eta emakumezkoak, gizonezkoen 3/4. Zenbat aldiz gelditu da trena? Zenbat gizonezko, emakumezko eta haur izan dira trena iritsi denean? Eta atera denean?

Hausnartu teoriari buruz 47. Idatzi bi ezezaguneko bi ekuazioko sistema, kon-

tuan hartuz soluzioa honako hau dela: x = 2, y = –1.

48. Zenbat balio behar du m-k a) eta b) sistemak ba-liokide izan daitezen?

a) x yx y

2 3 18

– =+ =

* b) x y my 3

– ==

)

49. Egiaztatu x = 3, y = 1 honako ekuazio-sistema hauetakoren baten soluzio dela:

a) x yx yx y

42 1

2 6 0––

+ ===

Z

[

\

]]

] b)

x yx yx y

22 3 3

5

––

==

+ =

Z

[

\

]]

]

50. Osatu honako sistema hauek lehenengoak x = 3, y = –2 soluzioa izan dezan; bigarrena bateraezina izan dadin eta hirugarrena eta laugarrena indeterminatuak izan daitezen:

a) x yy

3 28…

…–+ =

=* b) x y

x y5

2 2 …+ =+ =

*

c) x yx y

3 2 46 4

–– …

==

* d) x yy

2 74

–…– …

+ ==

*

51. Egia ala gezurra? Justifikatu erantzunak.

a) xx31– = 1 ekuazioa ekuazio lineala da.

b) x yx y

3 56 2 10

–– –

=+ =

* sistema indeterminatua da.

c) S1: x yx y

32 6–

+ ==

* eta S2: x yx y

32 9–

+ ==

* sistemak

baliokideak dira.

d) 5x + 3y = 18 ekuazioak ez du soluziorik.

52. Erreparatu r1, r2, r3 eta r4 zuzenen irudikape-nei eta erantzun ebatzi gabe.

r1: x + y = 0

r3: 7y – x = 16

r2: x – y = 2

1

r4: x + y = 8

1

a) Zein da honako ekuazio-sistema hauen soluzioa? Bateraezina edo indeterminatua al da baten bat?

i) x yx y

02–

+ ==

* ii) x yy x

27 16

––

==

* iii) x yx y

08

+ =+ =

*

b) Ba al du soluziorik sistema hauetakoren batek?

I ) x yx yy x

02

7 16––

+ ===

Z

[

\

]]

]] II )

x yx yy x

82

7 16––

+ ===

Z

[

\

]]

]

53. Zer balio izan behar dituzte a-k eta b-k honako sistema honek infinitu soluzio izan ditzan?

x yax by3 2 5

15+ =+ =

*

Idatzi sistemaren hiru soluzio.

54. Zer baldintza bete behar dute c-k eta d-k ho-nako sistema honek soluziorik izan ez dezan?

x y cx y d

3 26 4

+ =+ =

*

Page 14: Ekuazio-sistemak - DBHko Matematika...7 Ekuazio-sistemak Ebatzi 1. Itzuli hizkuntza aljebraikora babiloniar taulatxoko problema eta kalkulatu, hazta-muz, zenbat diren luzera eta zabalera,

101

Erabili hizkuntza aljebraikoa

Batzuentzako bide-saria bakarrik

Leheniketabehin,ikasleektestuarenirakurketaulerkorraeginbeharkodute.Horrezgain,problemaebazteko,hizkuntzaaljebraikoaondoerabilibeharkodute.

Soluzioak:

– Hasieran,baserritarrak14dobloizeramatzan.Jaunareneskuan8dobloisartzenziren.

–Merkatariaberatsak,gutxienez,17txanponzeramatzan.

Ikertu

Karratu magikoa

Ikaslegehienentzat,ariketazailada3×3karratumagikoasoilikhiruzenbakiezagunerabilizebaztea.Horidelaeta,zailtasunakdituztenikas-leekzenbaitlaguntzatopatukodituzteatalhonetan.Lehenengoabalioezezagunakletrekinzuzenkodifikatzeada.Gero,laukitxohutsaka-renetab-renaraberaadieraztea;horrela,lerroen,zutabeenetadiagonalenartekobaturaberdinaizangoda.

Diagonalnagusiarenbaturadiagonaltxikiraberdintzenbadugu,a-renetab-renartekoerlazioatopatukodugu.Horrekbalizkosoluzioakeraku-tsikodizkigu.

Soluzioa:

3 3 6

7 4 1

2 5 5

Trebatu problemak ebatziz

Soluzioak:

• 7lagunziren.Bakoitzak2teetatartazatibathartuditu.

• Kapakurrezko11txanponbaliozituen.

• Bipisaldi.

Diziplinartekotasuna

Honakoariketahauiradokitzendugu:

Idatzimatematikaezdenzientziarenegoeraedoalderdirenbat,nonekua-zio-sistemakerabilgarriakizandaitezkeen.Gero,eztabaidatuhorriburuzikaskideekin.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)Indeterminatuada. b)Soluzioadu(x=3,y=1).

c) (x=–3,y=–3)soluzioadu. d)Bateraezinada.

2 a)x=0,y=–5 b)x=–1,y=1

c)x=–2,y=4 d),,

x yx y

2 21 1–

1 1

2 2

= == =*

3 x=–2,y=13

4 Oinarrinagusiak10cm-koneurriadu,etaoinarritxikiak,6cm-koa.

5 Lehenengoak34lzituen,etabigarrenak,44l.

6 20minutubarruharrapatukoduama.

7 Jakak70eurobaliozuen,etaoinetakoek30euro

8 Diagonalnagusiak48cm-koneurriadu,etatxikiak,20cm-koa.

140 141

Taller de matemáticas

Erabili hizkuntza aljebraikoaBatzuentzako bide-saria bakarrik Duela urte asko eta asko, ezpaten denboran, aginte handiko jaun baten gazte-luak toki hartako ibaiaren gaineko zubi bakarra menderatzen zuen.Behin, eskuinean ageri den kartela jarri zuen zubiaren sarreran.Handinahi samarra zen baserritar batek, zituen aurrezkiak batu eta zubitik hainbat bider pasatu behar zuela erabaki zuen. Baina, hirugarrenean, poltsa hutsik zuela konturatu zen.Hala ere, merkatari aberats batek gauza bera egin nahi izan zuen, baina kapitainak, haren poltsa ikusirik, tratua baserritarrentzat bakarrik zela esan zion. Merkatari aberatsek hiru dobloi ordaindu eta aurrera egin behar zutela, besterik gabe.Baserritarrak 10 dobloi baino gehiago baina 20 baino gutxiago batu zituela dakigula, erantzun:— Zenbat txanpon jasotzen zituen bakoitzean gazteluko jaunak?— Zenbat txanpon zeramatzan, gutxienez, merkatari aberatsak?

Beharbada, errazago egingo zaizu hizkuntza aljebraikoa erabiliz gero.

Matematika-lantegia

IkertuKarratu magikoaBadakizu karratu magikoan lerroen, zutabeen eta diagonalen batura berbera dela. Orain, saiatu hutsik dauden laukitxoak betetzen, eskuineko karratua magikoa izan dadin.

Laguntza:

3

a 1

5 b

3 b – 2 a + 2

b + 2 a 1

a – 2 5 b

→ 3 + a + b = (a – 2) + a + (a + 2)

Problema sakonago aztertuz gero, a eta b-ren artean zer erlazio egon behar duen aurkituko duzu. Eta horrek soluzio asko aurkitzen lagunduko dizu.

Trebatu problemak ebatziz •Saloi batean, tea eta tarta ateratzen dute. Te bakoitzak

1,10 € balio du eta tarta-errazio bakoitzak, 2,10 €. Hainbat lagunek gauza bera hartu dute. Kontua 30,10 eurokoa izan da. Zenbat lagun ziren? Zer hartu du bakoitzak?

•Aberats batek zerbitzaria hartu eta urtean kapa bat eta urrezko 25 txanpon emango dizkiola agindu dio. Bos-garren hilabetea bete ondoren, zerbitzariak lana utzi eta kapa eta urrezko lau txanponeko saria hartu du. Zenbat txanpon balio zituen kapak?

1. Adierazi honako sistema hauetako zeinek duen soluzio bat, zein den bateraezina eta zein den inde-terminatua:

a) x yx y

6 3 92 3

––

==

* b) x yx y

22 7

– =+ =

*

c) xy

3 02 6 0

+ =+ =

* d) x yx y

2 54 2 9

+ =+ =

*

2. Ebatzi honako sistema hauek:

a) x yx y3 2 10

3 15–

–=

=* b)

y 1+ =x

x3

1

43–

+

y2 1+ =

Z

[

\

]]

]]

c) , ,,

x yx y

1 5 0 25 22 0 5 6

–– –+ =

=* d) x y

x y0

3 4––

2 2 ==

*

3. Erabili laburtze-metodoa honako sistema hau ebaz-teko:

x yx y

7 2 1211 3 61– –

+ ==

*

4. Trapezio isoszele baten oinarrien luzeren arteko diferentzia 4 cm da; altuera, 9 cm eta azalera, 72 cm2. Kalkulatu zenbat den oinarrien neurria.

5. Nekazari batek ureztatzeko dituen bi andeletako bigarrenean lehenengoan baino 10 litro gehiago dau-dela konturatu da. Bigarrenetik 18 litro pasatu ditu lehenengora eta, horrela, lehenengoan bigarrenean bi halako dago. Kalkulatu zenbat ur zegoen andel bakoitzean.

6. Ane paseatzera atera da eta 4 km/h-ko abiaduran doa. Ordu laurden bat beranduago, semea atera da korrika bide beretik eta 7 km/h-ko abiaduran doa. Zenbat denbora barru harrapatuko du ama?

7. Jaka eta oinetakoak 83 € ordaindu ditut. Jakan, % 20ko deskontua egin didate eta oinetakoetan, % 10 eta, horrela 17 € aurreztu ditut. Zer prezio zuten, merkatu baino lehen, erosi ditudan gauzek?

8. Erronbo baten diagonalen neurrien batura 68 cm da eta aldea, 26 cm-koa da. Kalkulatu zenbat diren erronbo horren diagonalen neurriak.

Autoebaluazioa

sartzean… bide-saria ateratzean aterata…

lehenengoan x a x – a 2x – 2a

bigarrenean 2x – 2a a 2x – 3a ?

hirugarrenean ? ? ? 0

Aurrera egiteko, zure poltsatik nire eskuan sartzen diren adina txanpon hartzen utzi behar didazu (kantitate finkoa).Beste muturrera iristen zare-nean, nire zerbitzarietako bat aurkituko duzu eta horrek, agur opari eran, poltsan izango dituzun adina txanpon emango dizkizu.

3

1

5

•Honako bederatzi billar-bola hauek tamaina berbera dute eta guztiek dute pisu bera, gehixeago pisatzen duen batek izan ezik.

Zenbat pisaldi egin beharko zenituzke pisurik handienekoa zein den segurtasun osoz jakiteko?

140

eta ikasiizan ekimena

Honako ariketa hauek ebaztea.Webgunean