aholab.ehu.eus 2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den...

http://aholab.ehu.es/users/imanol/ssi/ApunteakSSI.pdf

2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I

Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak.

Joseba Imanol Madariaga Longarai 2000-2006 Apunte hauek kopiatu, banatu eta aldatu ditzakezu ohar hau mantenduz. Hemen daude pdf formatoan: http://aholab.ehu.es/users/imanol/ssi/ApunteakSSI.pdf Editatzeko formatuan nahiez gero zuzenean eskatu: [email protected] Seinale eta sistemak................................................................................................................5

1.1 Sarrera ......................................................................................................................5 1.2 Seinaleen sailkapena. Oinarrizko seinaleak ..............................................................6

1.2.1 Seinale jarrai eta diskretuak. Sailkapenak.........................................................................................6 1.2.2 Oinarrizko eragiketak seinaleekin......................................................................................................7 1.2.3 Oinarrizko seinale jarraikiak...............................................................................................................8 1.2.4 Oinarrizko seinale diskretuak...........................................................................................................10

1.3 Sistemak..................................................................................................................13 1.3.1 Definizioa. Sistemen arteko lotura ...................................................................................................13 1.3.2 Sistema lineal eta aldaezinen propietateak (LTI).............................................................................13

1.4 Konboluzio ekuazioa ...............................................................................................15 1.4.1 Definizioa. Konboluzio jarraia eta diskretua.....................................................................................15 1.4.2 Konboluzioaren propietateak ...........................................................................................................16 1.4.3 Sistema lineal ez-aldakorren propietateak (inpultso erantzuna begiratuz)......................................17

1.5 Koefiziente konstantedun diferentzia finituko ekuazio linealengatik (k.k.d.f.e.l.) deskribatutako sistemak.....................................................................................................19

2. Denbora jarraiko seinale eta sistemen espektro analisia................................................24 2.1 Sarrera ....................................................................................................................24 2.2 Fourier-en transformatua. Propietateak...................................................................24

2.2.1 Konboluzioaren teorema..................................................................................................................25 2.2.2 Seinale batzuen transformatua........................................................................................................25 2.2.3 Fourier transformatua izateko baldintzak.........................................................................................27 2.2.4 Propietateak .....................................................................................................................................27 2.2.5 Lehiokatu..........................................................................................................................................32

2.3 Seinale periodikoak eta Fourier-en analisia.............................................................33 Seinale periodikoen adierazpena Fourier serieen bidez ..............................................................................33 2.3.1 Seinale periodikoen Fourier transformatua......................................................................................33 2.3.2 Seinale periodikoak sistema linealen zehar.....................................................................................34

2.4 Korrelazioa eta espektroa........................................................................................37 2.4.1 Energia eta potentzia .......................................................................................................................37 2.4.2 Potentzia dentsitate espektrala........................................................................................................38 2.4.3 Korrelazioa eta espektro dentsitate funtzioak..................................................................................41 2.4.4 Korrelazioaren propietateak.............................................................................................................42 2.4.5 Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar ......................................................................................43

3. Denbora diskretuko seinale eta sistemen espektro analisia ...........................................47 3.1 Sarrera ....................................................................................................................47 3.2 Sekuentzia diskretu periodikoak..............................................................................47

3.2.1 Fourier Serie diskretua.....................................................................................................................47 3.3 Sekuentzia diskretuen Fourier transformatua..........................................................48

3.3.1 Sekuentzia ez-periodikoen Fourier transformatua...........................................................................48 3.3.2 Sekuentzia periodikoen transformatua ............................................................................................50 3.3.3 Seinale diskretuen Fourier transformatuaren propietateak .............................................................52 3.3.4 Seinale diskretuen Korrelazioa eta espektroa .................................................................................55

4. Laginketa ........................................................................................................................62 4.1 Sarrera ....................................................................................................................62 4.2 A/D konbertsioa. Laginketa eta kuantifikazioa.........................................................62 4.3 Lagintze teorema.....................................................................................................62 4.4 D/A konbertsioa.......................................................................................................65

5. Fourier-en Transformatu Diskretua (DFT) ......................................................................67 5.1 Sarrera ....................................................................................................................67 5.2 DFT eta IDFTaren definizio eta interpretazioak .......................................................67 5.3 Eragiketak eta Propietateak ....................................................................................69 5.4 DFT bidezko iragazketa lineala ...............................................................................72

6. Laplace-ren transformatua eta LTI sistema jarraikien analisirako erabilpena. ................73 6.1 Sarrera ....................................................................................................................73 6.2 Laplace-ren transformatua ......................................................................................73 6.3 Propietateak eta oinarrizko transformatuak .............................................................74 6.4 S aldagaian arrazionalak diren transformatuak .......................................................74 6.5 Ebaluaketa geometrikoa..........................................................................................74 6.6 Laplace-ren transformatu aldebakarra.....................................................................74

7. Z transformatua eta LTI sistema diskretuen analisirako erabilpena................................67


Sarrera • Aurkezpena. Ni naiz... J.Imanol Madariaga Longarai

[email protected] 94-601 4145 Zubi eraikina, 2A11 bulegoa • Ordutegia. Astelehena 4-5pm, asteazkena 6-7:30, osteguna 6-7, ostirala 5-6:30 • Tutoretza. Astelehena 5-6:30pm, asteartea, asteazkena eta osteguna 4:30-6pm.

Baina egun osoan zehar ere. Baita e-posta eta telefonoz. • Indizea • Bibliografia • Zertaz doan

Seinale – Sistema Jarrai – Diskretu Denbora – Frekuentzia Formula - Grafikoa

• Teoría, ariketak • Azterketa, 3 edo 4 ariketa, teoria gutxitan.

• Helburuak. Zeintzuk dira ikasgaiaren eta karreraren helburuak?

Helburu-kapazitate-balore1 hauek bilatzen-lantzen dira? landu beharko lirateke? nola?:

♦ [Aprobatzea]. Ulertu, errepasatu eta ariketak egin. (Aurreko urteetako ariketak eskuratu, ariketa tipikoak ikertu, errentagarriena praktikatu –adibidez DFTaren

gainezarmen zirkularra-). ♦ Edukina ikastea. (Ikasleak seinaleen eta sistemen munduan sartzea. Irakatsiko dira seinale

eta sistema etengabeak zein diskretuak. Bestalde, nahiz eta sistemen teoria, analisia eta diseinua ingeniaritzaren adar askotan garrantzitsuak izan, irakasgai hau bideratuta dago komunikazioekin zerikusia duten aplikazioetara. Gainera, seinalearen prozesatze digitalaren sarrera egiten da). Oinarrizkoa da telekomunikazioetan. Ikuspuntu frekuentziala menperatzea.

♦ Ikasteko kapazitatea landu eta garatu (eta lan gogorra egitekoa) ♦ Problemak ebazteko ahalmena. Bai gai honetakoak, baina baita orokorrago

balio duen metodologia (eta kontzentratzeko eta sakontzen auzartzeko gaitasuna lortzea). Metodologia: Arazoa ondo aztertu (problemaren enuntziatua ondo/askotan irakurri), ikuspuntu ezberdinetatik begiratu, pausotan banatu “Divide y vencerás”,…

♦ Ulertzeko gaitasuna. Berbak, formulak eta irudiak ulertu. Kontzeptua zeureganatu (hainbat ikuspuntutatik begiratuz adibidez), sintesi (laburpen, eskema).

♦ ♣ Komunikatzeko gaitasuna. Azaldu testuz, hitzez, irudiz, ♦ ♣ Sormena, irudimena, innobazioa ♦ ♣ Taldean lan egiteko gaitasuna. Garunaren hemisferio biak garatzea

♦ () ♣ ♥ Gizarteratzea, lagunak egitea, erlazionatzea o () ♣ ♥ Baloreak, helburu kolektiboak,

komunitatearekiko zerbitzua,…Unibertsitatea gizartearen zerbitzura omen dago.

1 Valores y Enseñanza de la Ingeniería en la Escuela Superior de Ingenieros de Bilbao — Informe Sociológico — Elisa Usategi Basozabal, Ana Irene del Valle Loroño, Dpto.Sociología I - UPV/EHU, Leioa, 2002

Software askea, Copyleft? ”Txingudiko errauskailuaren eztabaidan zientzia gutxi dago” Juan Ignacio Perez 2004-09-28


Seinale eta sistemak

1.1 Sarrera

Seinalea aldagai aske bat edo gehiagoren funtzio den parametroa da, eta gertakizunen baten informazioa dauka.

Adibidez: V(t), V tentsioa t denboraren funtzio bezala. Aldagai askea

denbora da, guk gehienetan erabiliko duguna, x(t), y(t), u(t),... T(x), T tenperatura x espazioaren funtzio bezala.

L(x,y), Irudi baten L argitasuna (x,y) puntuaren funtzio.

Ikasgai honetan seinale ezagunekin lan egingo dugu. Errezago oraindik, adierazpen matematiko sinpleekin deskribatutako seinaleekin. Adb: x(t) = 2⋅cos3t

Ikasitako kontzeptu eta tresna gehienak praktikan agertzen diren seinale aldakor-ezezagunekin lan egiteko balioko dute. Adb: musika

Sistema seinaleak aldatzen dituen edozein prozesu da. Sarrerako seinalearen funtzio den seinalea ateratzen duen prozesua .

Kutxa batekin irudikatzen dugu, bere eragina formula matematikoekin adierazten dugu

ikasgai honetan. Fisikoki zirkuitu elektronikoa, konputagailua, tramankulu mekanikoa edo beste motakoa izan

daiteke. Adibidez: Anplifikadorea y(t)=A⋅x(t)

Diodo bidezko artezkailua. Sarrera korronte elektriko alternoa, irteera korronte elektriko jarraitua (azalpen hau formula baino errazagoa da).

Termostatodun berogailua. Sarrera sentsoreko tenperatura, irteera berogailuari sartutako potentzia.

Gelaren forma eta airearen dispertsioa. Sarrera berogailuaren azaleko tenperatura, irteera gelako puntu bateko tenperatura.

Ariketa: Esaidazue bakoitzak seinale bat edota sistema bat. Idatzi papertxo batean

bere adierazpena, bai azalduz, edo formulaz, edo irudiz.

Ariketa: x(t) = 2⋅cos3t seinalea anplifikadore

sistema honetan y(t)=A⋅x(t) sartuta irtetzen den seinalea adierazi. Seinale bera diodo bidezko artezkailuan sartuta, zein da irteerako seinalea?

t Aldagai askea

x(t) Seinalea

Sistema x(t) y(t)

Irteera Sarrera

Pentsatzeko: Norbaitek pentsa dezake “Baina zer berririk dago kontzeptu hauetan? seinaleak aspalditik ezagutzen ditugun funtzio matematikoen parekoak dira, f(x), hizkiak aldatu besterik ez dugu egin.“ Bai? Ez?

x(t)

t 0

n

x[n]

n

1.2 Seinaleen sailkapena. Oinarrizko seinaleak

1.2.1 Seinale jarrai eta diskretuak. Sailkapenak

Jarrai – diskretu sailkapena

Seinale jarraiak: aldagai askea jarraia da, seinalea balio segida batez emana dago. t aldagai askearen balio guztietarako existitzen da. x(t) (t ∋ ℜ)

2. eta 6. gaiak seinale jarraiak. Seinale diskretuak: seinalea aldagai askearen balio diskretuetan bakarrik dago emana.

x[n] (n ∋ N)

Adibidez:

Altuera(ikasle)

Barne_Produktu_Gordina(urte)

3., 5. eta 7. gaiak seinale

diskretuak. 1. gaia seinale jarraikiak eta

diskretuak paraleloan. 4. gaia seinale jarraikiak diskretu bilakatzea.

Periodiko – ez-periodiko sailkapena

∃ T -/- x(t) = x(t+T) ∀ t Hau da, x(t) = x(t+T) t guztietarako betetzen duen T existitzen bada x(t) periodikoa da. T-rekin betetzen bada, 2T, 3T,...kT-rekin ere bai. Betetzen duen balio txikiena To oinarrizko

periodoa da. Seinale diskretuekin era berean definitzen da ∃ N -/- x[n] = x[n+N] ∀ n

Hau da, x[n] = x[n+N] n guztietarako betetzen duen N existitzen bada x[n] periodikoa da. N-rekin betetzen bada, 2N, 3N,...kN-rekin ere bai. Betetzen duen balio

txikiena No oinarrizko periodoa da.

Simetria bikoitia – bakoitia

Seinale bikoitia: abzisen ardatzarekiko simetrikoa da x(t) = x(-t) x[n] = x[-n]

Seinale bakoitia: jatorriarekiko simetrikoa da

x(t) = -x(-t) x[n] = -x[-n]

Seinale bakoitiak 0 dira t = 0 edo n = 0 puntuetan. x(0) = -x(0)

Edozein seinale alde bikoiti eta alde bakoiti batean deskonposa daiteke: x(t) = xBi(t) + xBa(t)

xBi(t) = Bix(t) = ½[x(t) + x(-t)] xBa(t) = Bax(t) = ½[x(t) - x(-t)]

Liburuetan idazkera ingelesa agertzen da Ev = Bi ; Od = Ba

Egiaztatu xBi(t) bikoitia dela, xBi(t) = xBi(-t)

x(t)

t

t

x(t)

x(t)

t

n

x[n]

BPG 2006 milioi $

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

Eku

ador

Eku

ator

e G

inea

El S

alva

dor

Erit

rea

Err

esum

a B

atua

Err

uman

ia

Err

usia

Esl

ovak

ia

Esl

oven

ia

Esp

aini

a

Est

onia

Etio

pia

Fiji

Fili

pina

k

Fin

land

ia

Fra

ntzi

a

Gab

on

Gan

bia

Geo

rgia

Gha

na

Gin

ea


eta xBi(t) bakoitia dela, xBa(t) = -xBa(-t) Seinale diskretuekin deskonposaketa hau posible denaren egiaztapena parekoa da, beste propietate batzuekin gertatzen den bezala, baina ez guztiekin. Horregatik komeni da esplizituki idaztea edo gutxienez zein ezberdintasun egongo den begiratzea. x[n] = xBi[n] + xBa[n] ...

1.2.2 Oinarrizko eragiketak seinaleekin

Alderanzketa (inbertsioa)

x(t) abzisen ardatzarekiko isladatuz x(-t) daukagu Adibidez magnetofoia atzerantz entzutea.

Denbora desplazamendua

Atzerapena : x(t-t0) seinalea x(t) seinalearen bertsio desplazatua, zehazki t0 denbora atzeratua x(t) seinalean t=0 unean, denbora jatorrian, gertatutakoa, x(t-t0) seinalean t=t0 unean gertatu da. Izan ere x(t-t0) seinale desplazatuan gertakari guztiak jatorrizko x(t) seinalean baino t0 beranduago “gertatzen”-agertzen dira. Adibidez x(t-t0) izan daiteke x(t)-ren oihartzuna. Ariketatxoa: Idatzi tg(t-5) adierazpen garatuan (sin eta cos erabilita) Aurrerapena : Era berean x(t) seinalea ezkerrerantz mugitzen da aldagai askeari t1 denbora tartea gehituz gero. Adibidez antzerki batean x(t) aktoreak esaten duena bada, apuntadoreak aurretik esaten diona x(t+t1) da.

1. Edozein unerekiko alderanzketa

Eragiketa biak konbinatuz : atzeratu, alderatu x(t) x(t-t0) x(-(t-t0)) = x(t0-t)

Edo alderantziz berdin da: alderatu, atzeratu x(t) y(t) = x(-t) y(t-t0) = x(-(t-t0)) = x(t0-t)

Azaldu eta ulertzeko: begiratu seinalearen “forma”, itxura, irudia (goiko adibidean iruki asimetrikoa). Forma horrek darama seinalearen informazioa. Seinalea atzeratu, aurreratu edo alderanztea irudi hori mugitzea da. t aldagaiarekin jolasteak denbora ardatzean beste

era baten jarriko du forma, baina forma bera, informazio bera.

Denbora eskala aldaketa

x(2t) seinalean x(t) seinalea abiadura bikoitzean dago. Grafikoa estutu egiten da. x(at) seinalea x(t) seinalea baino a aldiz azkarrago.

t

x(-t)

0

t

x(t)

0

t

x(t-t0)

0 t0

t

x(t0-t)

0 t0

x(t-t0)

y(t) y(t-t0)

t

x(t)

0

t

x(t+t1)

0 -t1

t

x(t-t0)

0 t0

Denbora konprimaketa egin dugu. Adibidez magnetofoia abiadura azkarrean.

Eta alderantziz, magnetofoia abiadura geldoan: Denbora zabaldu, x(t/a) a > 0 denean dauka zentzua, bestela alderanzketa ere dago. Ariketatxoak: y(t) = x(2t) izanik, z(t) = x(t/2) eta y(t) = cos50t ¿zein da z(t) seinalearen frekuentzia? Aurreko eragiketak seinale diskretuen gainean ere egin daitezke. Seinalea x[n] Alderanzketa x[-n] Atzerapena x[n-n0] Aurrerapena x[n+n0] Denbora eskala konprimatu x[kn]

Denbora eskala zabaldu x[n/k] ?

1.2.3 Oinarrizko seinale jarraikiak

Oinarrizkoak dira sinpleak direlako, baina baita beste edozein seinale osatu daitekelako hauen konposaketa eginez.

Maila unitate funtzioa

Eskaloi funtzioa (Unit step), u(t)

≥<

=01

00)(

t

ttu

1. Diskontinuitatea dago t = 0 unean

Praktikan berdin da une horretan 0 edo 1 balio izatea, dena de u(0)=1 definitu dugu. Ariketatxoak: Irudikatu x(t) = 2⋅u(t) + u(t-1) + 0’5⋅u(t-2) - 2⋅u(t-5) seinalea

Pultsu laukizuzena

Pultsu angeluzuzena __(t) Π(t)

Ariketatxoak: Irudikatu A⋅Π(t/T) seinalea Adierazi Π(t) seinalea u(t) erako seinaleen konposaketa bezala... Π(t) = u(t+½) - u(t-½) .

Alderantziz, adierazi u(t) seinalea Π(t) motako seinaleen konposaketa bezala u(t) = Π(t-½) + Π(t-3/2) + Π(t-5/2) + ... = Σ∀nΠ(t-½+n) . Eskaloi edo pultsu seinaleekin edozein seinaleren hurbilketa mailatua egin daiteke.

Pultsu triangeluarra

_/\_(t) Λ(t)

Pultsu triangeluarrekin edozein seinaleren hurbilketa lineala egin daiteke

t

u(t)

0

1

t

x(t) =__(t)

½ -½

1

t

x(t) =_/\_(t)

1 -1

1


Inpultso seinalea

δ(t) Dirac delta Definizioa:

δ(t) = 0 ∀t ≠ 0

1)( =∫∞

∞dttδ

Ondorioz:

x(t)⋅δ(t) = x(0)⋅δ(t) ( ) ( ) ( )0xdtttx =∫∞

∞−δ

Orokorrago ( ) ( ) ( )00 txdttttx =−∫∞

∞−δ Lagintze propietatea, deltaren bidez edozein

seinaleren une bateko balioa neurtu daiteke Aldagai aldaketa eginez t τ ; t0 t

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= ττδτ dtxtx delta bikoitia denez:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= ττδτ dtxtx honek zera adierazten du,

x(t) seinalea osatu dezakegula indar egokia daukaten inpultso desplazatu piloa batuz.

Delta definitzeko beste bide batzuk:

Pultsu laukizuzena estutuz ( )

Π=→ T

t

Tt

T

1lim

0δ

Pultsu triangeluarra erabiliz ( )

Λ=→ TT

tt

T

1lim

0δ

Maila unitate funtzioa erabiliz ( ) ( )dt

tdut =δ

Ariketaxoak. Inpultsoaren integrala maila unitatea dela egiaztatu deltaren lau definizioak erabiliz

( ) ∫∞=t

dtu ττδ )(

Esponentzial konplexua

x(t) = eβ t

β erreala x(t) erreala, β>0 x(t) gero eta handiagoa β<0 x(t) gero eta txikiagoa

β irudikaria x(t) konplexua eta periodikoa β = jω0 x(t) = e

jωo t = cosω0t + j⋅ sinω0t Euler-en formula, frogatzeko Taylor-en deskonposaketa, edo alde biak Ln eta deribatu. x(t+T) = e

jωo(t+T) = ejωot⋅ ejωoT = x(t) izango da ejωoT = 1 denean ω0T = 2kπ k ∈ N T = 2kπ/ω0 ∀ω0 ≠ 0 Oinarrizko periodoa T0 = 2π/ω0

ω0 negatiboa bada periodoa berdina da T 0 = 2π/|ω0|

t

δ(t)

0

1 (gainazala)

t

δ(t-t0)

t0

1

t

x(t)

x(t0)

t

t

x(t)δ(t-t0)

t0

x(t0)

1.2.4 Oinarrizko seinale diskretuak

Maila unitate seinalea

maila funtzioa, eskaloi unitate funtzioa

[ ]

≥<

≡01

00

n

nnu

Denbora jarraiko eskaloiarekin ez ezik, hemen ez dago diskontinuitate arazorik jatorrian. u[0] ≡1 definitzen da

Inpultso unitate seinalea

lagin unitatea, delta

[ ]

=≠

≡01

00

n

nnδ

Denbora jarraiko inpultsoarekin ez ezik, hemen definizioa zuzenean egiten da. δ[0] ≡1 (ez ∞, anplitudea jarraiko arearekin parekatzen da) Inpultso unitatea eskaloi unitatearen 1. diferentzia da. δ[n] = u[n] – u[n-1]

Konparatu denbora jarraiko deribatuarekin ( ) ( )dt

tdut =δ

Eskaloi unitatea inpultso unitatearen batukaria da [ ] [ ]∑=

−∞==

nm

m

mnu δ

Konparatu denbora jarraiko integralarekin ( ) ∫∞=t

dtu ττδ )(

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=−=

k

knkxnx δ Lagintze propietatea, deltaren bidez edozein seinaleren une bateko

balioa neurtu daiteke. Edo beste era batera esanda: edozein seinale inpultsotan deskonposa daiteke.

u[n]

n 0

. . . . . . 1

δ[n]

n 0

. . . . . . 1

x[n]

n

x[-1]⋅δ[n+1]

n

x[0]⋅δ[n]

n

x[1]⋅δ[n-1]

n

x[2]⋅δ[n-2]

n


Seinale diskretu esponentzialak

Esponentzial jarraiaren pareko espresioa harturik x[n] = eβn aldagai berri batez z = e

β beste era honetan adierazi daiteke x[n] = zn

β erreala z > 0 z > 1 β > 0 x[n] erreala gero eta handiago 1 > z > 0 β < 0 x[n] erreala gero eta txikiago β erreala izan ez arren x[n] erreala izatea posible da (seinale jarraiekin β erreala ez bada x(t)

konplexua da). β = r + jπ z = e

r⋅ejπ = -er x[n] = (-1)n⋅en x[n] erreala da, balio positibo eta

negatiboak alternatzen ditu. z < -1 r > 0 anplitudea handitzen

• 1 < z < 0 r < 0 anplitudea txikitzen ββββ irudikaria denean x[n] periodikoa ote da? β = jΩ0 x[n] = e

jΩon x[n] = x[n+N] = e

jΩo(n+N) = ejΩon⋅ejΩoN = x[n]⋅ejΩoN

x[n] periodikoa da ejΩoN = 1 denean Ω0N = 2kπ N = 2kπ/Ω0 edo N, k zenbaki osoak direlarik. Hau da 2π/Ω0 zenbaki arrazionala izan behar da. x[n] = e

jΩon ez da edozein Ω0 frekuentziarako* periodikoa, bakarrik 2π-rekin multiplo komuna daukaten frekuentzietarako. 2π/Ω0 = N/k N zenbaki osoa ematen duen k txikienarekin lortzen da oinarrizko periodoa N0 = 2kπ/Ω0 Beste era batera esanda N eta k bere artean lehenak badira orduan N oinarrizko periodoa da. Oinarrizko frekuentzia = 2π/N0 = Ω0/k Adibideak: Ω0 = π/2 cos(π⋅n/2) N0/k = 2π/Ω0 = 4 = N0 k = 1 Oinarrizko Frekuentzia = π/2 = Ω0

Ω0 = π/3 cos(π⋅n/3) N0/k = 2π/Ω0 = 6 = N0 k = 1 OF = π/3 = Ω0

Ω0 = 3π/2 cos(3π⋅n/2) N0/k = 2π/Ω0 = 4/3 N0 = 4 k = 3 OF = π/2 ≠ Ω0

Ω0 = π/6 cos(π⋅n/6) N0/k = 2π/Ω0 = 12 = N0 k = 1 Oinarrizko Frekuentzia = π/6 = Ω0

Ω0 = 3 cos(3⋅n) N0/k = 2π/Ω0 = 2π/3 ez da arrazionala, ez dago N0, k osorik seinale hau ez da periodikoa, seinaleak gora eta bera egiten du ia bost aldiz 10 laginetako tartean (2π/3 ≅ 2’09, 10/2’09 ≅ 5), baina seinalearen balioak ez dira sekula errepikatzen. Ondorioak

esponentzial diskretua periodikoa bada ⇐⇒ x[n] = ejm(2π/N)n m,N osoak

zeren Ω0 = m⋅2π/N Ω0/2π = m/N zenbaki arrazionala da. Oinarrizko periodoa N0 = 2kπ/Ω0 = 2kπ/(m⋅2π/N) = N/(m/k) m/k N-ren zatitzailea da eta m/k m-ren zatitzailea da m/k N eta m-ren zatitzaile komuna da

N0 txikiena ⇒ m/k handiena m/k = zatitzaile komunetako handiena, z.k.h.(N,m) N0 = N/zkh(N,m)

Esponentzial konplexua Ω-rekiko periodikoa da

Seinale esponentzial konplexu jarraien frekuentzia gora doa ω0-rekin batera.

?

* Ω0 normalean ez da x[n]seinaleren frekuentzia, bakarrik bere inguratzaile jarraiarena

Ω

X(Ω)=FejΩon

0 π Ω0 3π 2π+Ω0 -π -2π 2π -2π+Ω0

Diskretuekin ikusi dugu Ω0 = π/2 eta hirukoitzak, Ω0 = 3π/2, oinarrizko frekuentzia bera daukatela = π/2

matematikoki: ej2πk

= 1 ∀k ∋Z ejΩon = e

jΩon⋅ej2πn = e

j(Ωo+2π)n

x(Ω0) = x(Ω0+2π) x[n] = e

jΩon seinalea Ω0 parametroarekiko periodikoa da, 2π periodoarekin. harmonikoki erlazionaturiko esponentzial konplexuak xm[n] = e

jm(2π/N)n m,N osoen balio guztietarako periodikoa da gorago esan denez,

zeren Ωm = m⋅2π/N Ωm/2π = m/N zenbaki arrazionala da. Oinarrizko periodoa N0 = N/z.k.h.(N,m) Seinale jarrai periodikoen harmonikoak denak ezberdinak dira,

m. harmonikoaren frekuentzia m-rekin batera doa gora. x1[n] N0 = N x2[n] N0 = N/zkh(N,2) baina N-rekiko periodikoa da ere

x3[n] N0 = N/zkh(N,3) ... xm seinale guztiak dira periodikoak N periodoarekin Harmonikoki erlazionaturik daude xm+N[n] = e

j(m+N)(2π/N)n = e

j2πn⋅ejm(2π/N)n = 1⋅ejm(2π/N)n

= xm[n]

x0[n] = xN[n]

x1[n] = xN+1[n]

x2 = xN+2 ... baina seinale jarraiekin ez bezala “harmoniko guztiak ez dira ezberdinak”,

harmoniko kopuru finitua dago (N bakoitzeko). Jarraian oinarrizko seinalea eta harmonikoak ditugu (frekuentzia multiplo guztiak),

diskretuan harmonikoki erlazionaturiko multzoa (multzo finitua).

Ariketatxoak : Seinale honen φk = ejk(2π/7)n oinarrizko periodoa eta frekuentzia aurkitu k oso bakoitzerako.

Irudikatu φ1, φ2, φ3 eta hurrengoak ere nahi baduzu. Berdin seinale honekin φk = ejk(2π/8)n

ejωot ejΩon ω0 bakoitzak seinale ezberdina Seinale berdina 2π aldenduta dauden Ω0

frekuentzia ezberdinekin Peridikoa ω0 guztietarako Periodikoa Ω0 = 2πm/N denean, m eta N

osoak Oinarrizko frekuentzia ω0 Oinarrizko frekuentzia Ω0/m

(m eta N zenbakiek zatitzaile komunik ez badaukate) Oinarrizko periodoa ω0 ≠ 0 T0 = 2π/ω0 ω0 = 0 T0 definitu gabe

Oinarrizko periodoa Ω0 ≠ 0 N0 = m⋅2π/Ω0

Ω0 = 0 N0 definitu gabe Infinitu harmoniko Harmoniko multzo mugatua

Esponentzial jarraien harmonikoen periodoak behera egiten du frekuentziak gora egiten duen neurrian, x3(t) ω3 = 3⋅ω0 T3 = T0/3


Sistema diskretua

x[n] y[n]

S 1 x(t) y(t)

S 2 y 2 (t)

⊕⊕⊕⊕

1.3 Sistemak

1.3.1 Definizioa. Sistemen arteko lotura

Sistema seinaleak aldatzen dituen edozein prozesu da. Sarrerako seinalearen funtzio den seinalea ateratzen duen prozesua.

Sistema jarraia Sistema diskretua

Loturak

Serieko lotura, bata bestearen ostean. Sistema baten irteera hurrengoaren

sarrera da. Lotura paraleloa, bata bestearen parean. Sarrera bera daukate eta irteera biak batuz lortzen da irteera seinalea.

Sistema berrelikatua (Feedback)

1.3.2 Sistema lineal eta ez aldakorren propietateak (LTI)

Gainezarmena-Linealtasuna, Egonkortasuna, Ez aldakortasuna denborarekiko, Memoria, Kausaltasuna, Alderagarritasuna propietateak aztertuko ditugu.

LTI sistemak Linealtasuna eta denborarekiko Ez aldakortasuna betetzen duten sistemak dira.

Propietate hauek sistema jarrai zein diskretuetarako balio dute. Gainezarmen printzipioa betetzen duen sistema, sistema

lineala da. S[x(t)] = y(t) adieraziz S[a⋅x1(t) + b⋅x2(t)] = a⋅y1(t) + b⋅y2(t) a,b

konplexu guztiendako Batukortasuna eta homogeneotasuna edo eskala

aldagarritasuna betetzen dute. Atzekoz aurrera: irteera sarrerako osagai sinpleen gainezarmena bezala kalkula daiteke:

Sistema jarraia

x(t) y(t)

S 1 x(t) S 2 y(t) z(t)

S 1 x(t)

y 1 (t)

y(t)

S 2 y 2 (t)

⊕⊕⊕⊕

S a⋅x(t) a⋅y(t)

S x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)

S x(t) y(t)

1- Sarrera deskonposatu

x[n] = Σak⋅xk[n] = a1⋅x1[n] + a2⋅x2[n] + a3⋅x3[n] + ... 2- Osagaiak sisteman sartu

S[xk[n]] = yk[n] 3- Irteera birkonposatu y[n] = Σak⋅yk[n] = a1⋅y1[n] + a2y2[n] + a3y3[n] + ...

Ondorioz sarrera nuluak irteera nulua emango du.

Adibidez: Sarrera korrontea Sistema Kondentsadorea irteera tentsioa ( ) ( )∫ ∞−=

t

dttiC

tv1

Egonkortasuna

Sarrera mugatuei irteera mugatuak dagozkion sistema, egonkorra da. |x(t)| < B ∀t ⇒ |y(t)| < C ∀t |x[n]| < B ∀n ⇒ |y[n]| < C ∀n

Denborarekiko inbariantea, ez aldakorra

Sarrerako seinalearen denbora desplazamenduak irteerako seinalearen desplazamendu bera sortzen badu. S[x(t)] = y(t) ⇒ S[x(t-t0)] = y(t-t0)

Adibidez: y(t) = sin[x(t)] Ez aldakorra y(t) = dx(t)/dt Ez aldakorra y(t) = x(t)⋅cos(ω0t) Aldakorra

⇓

t

y(t)

t

x(t)

S x(t) y(t)

t

y(t-t 0 )

t 0

t

x(t-t 0 )

t 0

S x(t-t 0 ) y(t-t 0 )


Sistema Lineal Ez aldakorra

δ(t) h(t)

Memoria

Memoria gabeko sistemaren uneko irteera une bereko sarreraren funtzio baino ez da: y(t) = K(x(t))

Memoriadun sisteman beste une batzuetako sarrerak ere eragina dauka une honetako

irteeran.

Kausaltasuna

Une bateko irteera une horretako eta aurrekotako sarreren funtzio da, baina ez hurrengo sarreren funtzio.

Adibidez: y[n] = x[n] – x[n-1] kausala y[n] = x[n] – x[n+1] ez kausala

Ezagutzen ditugun sistema fisikoak kausalak dira, ondorioa ez da agertzen kausa baino lehenago. Aldagai askea denbora ez denean bakarrik egon daiteke sistema ez-kausala.

Baina seinalea denboraren funtzioa izanik grabatuta badaukagu sistema bai izan daiteke ez kausala (baina ez denbora errealean).

Denbora errealean sistema ez-kausala erabili nahi denean irteera sarrerarekiko berandutua irtetetzen da (matematikoki ez-kausal bezala landuta baina fisikoki denbora

atzerapenarekin), adibidez FIR iragazkiak.

Alderagarritasuna

Sarrerako seinale ezberdinei irteeran seinale ezberdinak dagokionean sistema alderagarria da. Orduan alderantzizko sistema existitzen da, non irteera hori emanez sarrera emango

duen, hau da, bata bestearen ostean jarrita sistema identitatea izango da.

1.4 Konboluzio ekuazioa

1.4.1 Definizioa. Konboluzio jarraia eta diskretua

Diskretua

Sistema lineal ez aldakorra badaukagu eta inpultso unitate funtzioa δ[n] sarturik lortzen den erantzuna h[n] bada, h[n] = Sδ[n] orduan x[n] edozein seinaleren erantzuna lor dezakegu,

honela: x[n] deskonposatu [ ] [ ] [ ]∑

∀

−⋅=k

knkxnx δ

Sisteman sartu, linealtasun propietatea eta ez aldagarritasun propietatea erabiliz

Konboluzioaren iraupena L = L1 + L2 - 1

Jarraia

Sistema lineal ez aldakorra badaukagu eta inpultso unitate funtzioa δ(t) sarturik lortzen

Sistema x(t) Alderantzizko

Sistema y(t) z(t) =x(t)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnxknhkxknSkxnxSkk

∗=−⋅=−⋅= ∑∑∀∀

δ

Sistema Lineal Ez aldakorra

δ[n] h[n]

LTI Sistema

δ[n-k] h[n-k]

LTI Sistema

x[-5]⋅δ[n+5] + ... +

x[0]⋅δ[n] + x[1]⋅δ[n-1] + x[2]⋅δ[n-2] + ...

x[-5]⋅h[n+5]+ ... +

x[0]⋅h[n]+ x[1]⋅h[n-1]+ x[2]⋅h[n-2]+ ...

δ(t) h1(t) h1(t) h2(t) h1(t)∗h2(t)

den erantzuna h(t) bada, h(t) = Sδ(t) orduan x(t) edozein seinaleren erantzuna lor dezakegu, honela:

x(t) deskonposatu ( ) ( ) ( ) ττδ dttxtx ⋅−⋅= ∫∞

∞−

Sisteman sartu, linealtasun propietatea eta ez aldagarritasun propietatea erabiliz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−∗=⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅= thtxdthxdtSxdtxStxS τττττδτττδτ

Konboluzioaren iraupena T = T1 + T2

δ(t)-ren erantzuna, h(t), ezaguturik LTI ezagutzen da.

Adibidea: h(t) = e-αt⋅u(t) non α>0 , inpultso erantzuna duen sistema lineal ez aldakorrean x(t)= u(t) seinalea sartuz irteeran agertzen den seinalea, y(t), kalkulatu eta irudikatu.

(pista: integrala kalkulatzeko kasu bi bereiztea komeni da, t>0 edo t<0)

Adibide parekoa diskretuan: h[n] = αn⋅u[n] non α<1 x[n] = u[n]

1.4.2 Konboluzioaren propietateak

Trukatze legea

x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) Aldagai aldaketa : t – τ = t’

h(t)∗x(t) = ∫∀τ h(τ)⋅x(t-τ)dτ = ∫∀t’h(t-t’) ⋅x(t’)

Elkartze legea

x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)] = [x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t)]

Frogatzeko δ(t) sartu

Banatze legea

x(t) ∗ [h1(t) + h2(t)] = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t)]

x(t) y(t)=x(t)∗h(t) h(t) LTI

x(t) y(t) =x(t)∗h(t) h(t)

h(t) y(t) =h(t)∗x(t) x(t)

x(t) x(t)∗h1(t) h1(t) h2(t) [x(t)∗h1(t)]∗h2(t)

x(t) x(t)∗[h1(t)∗h2(t)] h1(t)∗h2(t)

< >


x(t) x(t)∗[h1(t)+h2(t)] h1(t)+h2(t)

< >

h1(t)

x(t)

h2(t) x(t)∗h2(t)

⊕⊕⊕⊕

x(t)∗h1(t) x(t)∗h1(t)+x(t)∗h2(t)

δ(t) δ(t)∗x(t )= x(t)LTI

h(t)=x(t)

Lege hau ere δ(t) sartuta froga daiteke

Elementu neutroa

x[n] ∗ δ[n] = x[n] x(t) ∗ δ(t) = x(t)

Frogatzeko: x(t) inpultso erantzuna daukan sisteman δ(t) sartuz irteeran daukaguna

konboluzioaren bidez kalkula daiteke δ(t)∗x(t) Trukatze legea erabiliz δ(t)∗x(t) = x(t)∗δ(t) Baina sistemaren inpultso erantzunaren definizioaren arabera, inpultsoa sartzearekiko erantzuna x(t) izango da sistema honetan, beraz x(t)∗δ(t) = x(t) x(t) ∗ δ(t-t0) = ∫∀τx(τ)⋅δ(t-t0-τ) = ∫∀τx(t-t0)⋅δ(t-t0-τ) = x(t-t0)⋅∫∀τδ(t-t0-τ) = x(t-t0) x[n] ∗ δ[n-n0] = x[n-n0]

Elementu neutro atzeratuaren beste ikuspuntu-froga: Irudiko sistema denboran ez-aldakorra denez δ(t-t0) inpultso atzeratuarekiko erantzuna inpultso-erantzun

atzeratua izango da, x(t-t0) Hirugarren ikuspuntu-froga: Atzerapena eragiten duen sistema. δ(t) sarturik δ(t-t0) ateratzen duena. x(t) sartuta x(t-t0) aterako du. Baina y(t)=x(t)∗h(t) erabiliz kalkulatuz gauza bera izango denez x(t-t0)=y(t) = x(t)∗h(t)= x(t)∗δ(t-t0)

[Biñeta: Lathi 1998, 153.orrialdea]

1.4.3 Sistema lineal ez-aldakorren propietateak (inpultso erantzuna begiratuz)

Edozein sistema lineal ez aldakor guztiz definitua dago inpultsoarekiko ematen duen h(t), edo h[n], erantzunagatik, honen bidez edozein sarrerarekiko erantzuna ezagutzen bait dugu.

Beraz sistemaren propietateak h(t)-ren ezaugarriekin lotuta daude.

Memoria

Memoria gabeko sistemek ekuazio hau betetzen dutenez y(t) = K(x(t)) eta LTI bada K() funtzioa lineala izan behar denez, y(t) = K⋅⋅⋅⋅x(t)

inpultsoa sartzerakoan erantzuna hau izango da h(t) = K⋅⋅⋅⋅δδδδ(t) Beste bide batetik (eta diskretuan): memoria gabeko sistemaren une bakoitzeko irteera une horretako sarreraren funtzio baino ez da, eta hau beteko badu [ ] [ ] [ ]∑

∀

−⋅=k

knhkxny orduan

h[n] = 0 ∀n ≠ 0 izan behar da Hau da, memoria gabeko sistemak ez du erantzunik ematen sarreran zerbait sartu arte, eta

sarrera bukatu ondoren ere ez du irteerarik ematen. Sarreran zerbait dagoen bitartean bakarrik irtetzen da zerbait.

x(t) y(t)=x(t)∗h(t) h(t) LTI

δ(t-t0) δ(t-t0)∗x(t)=x(t-t0) x(t) LTI

Kausaltasuna

Sistema kausaletan ez da ezer irtetzen sarrera agertu arte, baina behin sarreran zerbait agertuta irteera “piztuta” jarraitu daiteke sarrera “itzali” arren. Beraz inpultso erantzuna zero

izango da denbora ardatz-erdi negatiboan: h(t) = 0 ∀∀∀∀t < 0 Matematikoki diskretuan: [ ] [ ] [ ]∑

∀

−⋅=k

knhkxny

sistema kausala izan dadin y[n] ez da x[k] k>n –ren funtzio izan behar. Horretarako h[n-k] = 0 izan behar da k>n denean ⇒ h[n] = 0 ∀∀∀∀n < 0 Adibidez: y[5] = ... + x[4]⋅h[1] + x[5]⋅h[0] + x[6]⋅h[-1] + ... x[6]⋅h[-1] terminoa eta hurrengoak ez dira egon behar, x[n] orokorrean, edozein izan daitekeelarik, x[6] ez da zero izango, beraz h[-1] eta hurrengoak (h[-1], h[-2], h[-3],...) izan behar dira nuluak. Seinale kausala deituko diogu sistema kausalaren inpultso erantzunaren itxura daukan seinaleari, hau da: xk(t) = 0 ∀t < 0 Beste era batera esanda, seinale kausala t = 0 edo beranduago hasten da. Seinale antikausalak alderantziz t = 0 unerako bukatuta daudenak dira

xak(t) = 0 ∀t ≥ 0 Sistema ez-kausalak fisikoki egin daitezke...atzerapenarekin [Biñeta: Lathi 1998, 86.orrialdea]

Alderagarritasuna

Sistema bat eta bere alderantzizkoa jausian, seriean jarriz, askeneko irteera sarreraren berdina izan behar da, beraz sistema baten, h(t), eta alderantzizko sistemaren, h-1(t), inpultso erantzunaren arteko konboluzioa elementu neutroa izan behar da. h(t) ∗ h-1(t) = δ(t)

Egonkortasuna

Sistema egonkorren inpultso erantzuna absolutuki integragarria (jarraia), edo absolutuki batugarria (diskretua), da.

Frogatzeko: Sarrera mugatuak irteera mugatua ematen du? |x[n]| < B ∀n ⇒ |y[n]| < C ∀n

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑∑∀∀∀∀

⋅=−⋅≤−⋅≤−⋅=kkkk

khBknhBknhkxknhkxny Beraz bai, h[n]-ren

moduluaren batukaria finitua izatea da irteera mugatua izango dela zihurtatzen duena. Σ∀k|h[k]| < ∞ ==> Sistema egonkorra. ∫∀t|h(t)|dt < ∞ [Biñeta: Lathi 1998, 396.orrialdea]

Erreferentziak: Lathi B.P., “Signal Processing & Linear Systems”, Ed. Berkeley-Cambridge Press, 1998. Sig: 621.372.54 LAT

Ariketxoa: Ingeniaritzaren arlo batzuetan sistemak zehazteko inpultso erantzuna barik maila unitatearekiko erantzuna erabiltzen da (fisikoki neurtzeko errazagoa izan ohi da). h(t) inpultso erantzuna ezaguturik nola kalkula daiteke hu(t) maila unitatearekiko erantzuna?

hu(t) = u(t)∗ h(t)


1.5 Koefiziente konstantedun diferentzia finituko ekuazio linealengatik (k.k.d.f.e.l.) deskribatutako sistemak

Denbora jarraiko sistema askoren portaera Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial linealek (k.k.e.d.l.) definitzen dute.

( ) ( )∑∑

==

=M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

Sistemaren ebazpena osagai biren batura da: y(t) = yh(t) + yp(t)

yh(t) = Ekuazio homogeneoaren ebazpena ( )

00

=∑=

N

kk

k

kdt

tyda

, erregimen iraunkorra.

yp(t) = Ekuazio osoaren ebazpen partikularra. Ebazpena guztiz finkatzeko N hasierako baldintza ere behar dira datu bezala (integrazio

konstanteak).

1. Denbora diskretuan pareko ekuazioa

[ ] [ ]∑∑==

−⋅=−⋅M

k

k

N

k

k knxbknya00

bk negatiborik ez dugu jarri, hau da, sistema kausalak bakarrik hartzen ditugu kontutan. Adibidea. a0 = 1, a1 = a, b0 = 1, beste koefiziente guztiak zero Hasierako baldintza ez nuluekin. y[n] = x[n] + a⋅y[n-1] y[-1] = 1 Ez da lineala, sarrera nuluak irteera ez nulua ematen du. Denborarekiko aldakorra da, n = -1 uneko emaitza finkatua dago. Kasu orokorrean k.k.d.f.e.l.-en ebazpena ez da lineala, eta aldakorra da. Hasierako baldintzak nuluak badira orduan bai da lineal ez-aldakorra.

Kasu bereziak:

FIR

N=0 ⇒ ak=0 ∀k≠0, hau da a0 bakarrik dago

[ ] [ ]∑=

−⋅=M

k

k knxba

ny00

1

Hasierako baldintzarik ez da behar.

x[n] = δ[n] [ ] [ ]∑=

≤≤→−⋅=M

k

kk

besteak

Mna

b

kna

bnh

00

0 0

0δ

Inpultsoarekiko h[n] erantzunaren luzera, iraupena, finitua da, M+1 Inpultsoarekiko Erantzun Finituko sistema da, FIR (Finite Impulse Response)

IIR

N>0 ⇒ ak koefizienteren bat gutxienez badago, a0 koefizienteaz gain.

[ ] [ ] [ ]∑∑==

−⋅−−⋅=N

k

k

M

k

k knyaknxba

ny000

1

Sistema errekurtsiboa da, une bateko irteera aurreko irteeren funtzio da,

x[n] = δ[n] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ]

>−⋅−

≤−⋅−→−⋅−−⋅=

∑

∑∑∑

=

=

== Mnknha

a

Mnknha

a

a

b

knha

akn

a

bnh

N

k

k

N

k

kn

N

k

kM

k

k

1 0

1 00

1 00 0

δ

Inpultsoarekiko h[n] erantzunaren luzera, iraupena, infinitua da. Inpultsoarekiko Erantzun Infinituko sistema da,IIR (Infinite Impulse Response)

x[n]∗h[n] konputazionalki ebaluatzeak infinitu eragiketa beharko lituzke. Horren ordez diferentzia finituko ekuazioa erabiltzen da zuzenean.

k.k.d.f.e.l.-en bidez definitutako sistemak bloke grafikoen bidez irudikatzea oso erosoa eta erabilgarria da.

[ ] [ ] [ ]

−⋅−−⋅= ∑∑==

N

k

k

M

k

k knyaknxba

ny100

1 ekuazioa adierazteko hiru eragiketen sinboloak

behar dira: batuketa, biderketa eta denbora atzerapena

Adibidez y[n] = x[n] + a⋅y[n-1] Ariketatxoa: Ekuazio honek deskribatzen duen sistemaren bloke diagrama irudikatu y[n] = b0⋅x[n] + b1⋅x[n-1]

⊕

x1[n]

x2[n]

x1[n]+ x2[n]

⊕

_ + x1[n]

x2[n]

x1[n]- x2[n]

x[n] a⋅x[n] a

D x[n] x[n-1]

⊕

x[n] y[n]

D

a

⊕

x[n] y[n]

D

b1

b0


Ekuazio orokorra

[ ] [ ]∑∑==

−⋅=−⋅M

k

k

N

k

k knxbknya00

blokeen

bidez: x-ren batukariak, irudiaren ezkerreko zutabea ematen du, errekurtsiboa ez dena. Horren irteera w[n] deitzen dut. Ekuazioaren beste zatia, y-ren batukaria, itxuraz berdina da:

[ ] [ ] [ ]∑∑==

−⋅==−⋅N

k

k

M

k

k knyanwknxb00

baina grafikoki y[n] eskuman, irteera bezala adierazteko irudia simetrikoa egin behar dut, beraz eskumako zutabea errekurtsiboa da. Seinaleen ibilbidea jarraituz era zuzenean egiazta dezakezu ekuazio orokorraren parekoa betetzen dela:

[ ] [ ] [ ]

−⋅−−⋅= ∑∑==

N

k

k

M

k

k knyaknxba

ny100

1

Irudikapen hau I. Era Zuzena , edo Zuzeneko I. Era deitzen dugu.

Zutabe (batukari) bakoitza sistema independente bezala ikusten badugu, trukatze propietatea erabiliz: eta [D] memoriak aurrezteko sinplifikatuz II. Era Zuzena daukagu:

⊕

D

⊕

D

bM

bM-1

⊕

D

⊕

⊕

D

D

D

1/a0

-a1

-a2

-aN-1

-aN

⊕

b1

b2

b0 z[n] y[n]

⊕

⊕

x[n] ⊕

D

⊕

D

bM

bM-1

⊕

D

⊕

⊕

1/a0

-a1

-a2

-aN-1

-aN

⊕

b1

b2

b0 y[n]

⊕

⊕

x[n] z[n]

⊕

D

⊕

D

⊕

⊕

D

D

1/a0

-a1

-a2

⊕

b1

b2

b0

⊕

[ ]∑=

−−N

kknyka

1

⊕

D

⊕

D

bM

bM-1

⊕

D

⊕

⊕

D

D

D

1/a0

-a1

-a2

-aN-1

-aN

⊕

b1

b2

b0 x[n] w[n] y[n]

⊕

⊕


2. Denbora jarraiko seinale eta sistemen espektro a nalisia

2.1 Sarrera

Seinaleak deskonposatzea interesgarri a da, osagai batzuen konbinaketa lineal bezala jarriz. Adibidez seinaleak inpultso desplazatuen konbinazio lineal bezala adierazi ditzakegu (horri ezker sistema lineal ez-aldakorren inpultso erantzuna ezaguturik edozein seinaleren irteera lor dezakegu konboluzioaren bidez). Inpultso desplazatuen ordez beste oinarrizko seinale multzoak erabil daitezke seinaleak deskonposatzeko. Baliagarriak dira baldintza hauek betetzen dituzten oinarrizko seinaleak: - oinarrizko seinale multzoaren bidez seinale ezberdin asko osotu daitezke; - multzoko seinale bakoitzarekiko LTI sistemak daukan erantzuna erabilterreza da; - oinarrizko seinaleak ortogonalak dira beraien artean, errez kalkulatu ahal izateko. Oinarrizko seinale bezala esponentzial konplexuak (frekuentzia eta fase ezberdineko sinusoideak) harturik Fourier-en serie eta transformatuak lortzen dira.

2.2 Fourier-en transformatua. Propietateak

- Esponentzial konplexua sistema linealekin lan egiteko aproposa da autofuntzioa delako:

esponentziala sarturik, est, esponentziala ateratzen da. Frekuentzia berekoa, s, baina pisuz aldatua, H(s)⋅est

H(s) autobalioa, konstantea denborarekiko

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stsstts esHdehedehdtxhtxththtxty ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅−⋅=∗=∗= ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−τττττττ ττ

- Babilonioek, Euler, Bernoullik, Joseph Fourier-ek, 1800 urtearen inguruan, landu zuten seinaleen deskonposaketa harmonikoa. Lagrange ez zegoen ados (izkinengaitik, diskontinuitatea daukan seinalea ezin da osatu jarraiak diren sinuekin). Seinale periodikoen Fourier analisiaren bidez (Fourier-en serieak ezagunak dira, ikusi 2.3 atala) edozein seinale periodiko deskonposa daiteke. Fourier transformatuaren bidez periodikoak ez direnak ere bai.

s Laplace H(s) s=jω Fourier H(jω)

x(t)=est y(t)=e

st ⋅H(s) h(t)

LTI


Fourier serie deskonposaketa (ez-periodikoentzako frekuentzia ez harmoniko, ez multiploekin, integralaz orokortuz).

∫∞

∞−

−=↔ dtetxXtx tjF

ωω )()()(

∫∞

∞−=↔

−

ωωπ

ω ω deXtxX tjF

)(2

1)()(

1

2.2.1 Konboluzioaren teorema

y(t) = x(t) ∗ h(t) Y(ω) = X(ω) ⋅⋅⋅⋅ H(ω) Azalpena erdi-intuitiboa: Osagai bakoitza H(ωi) balioaz haztatzen da sistema igortzen duenean eta guztiak batuz y(t)

daukagu, X(ω)⋅H(ω)-ren alderantzizko transformatua. Frogatze matematikoa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅

⋅=⋅−⋅=∗=∗= ∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−τωω

πττττ τω ddeXhdtxhtxththtxty tj )()(

2

1

∫∞

∞−= ωω

πω deXtx tj)(

2

1)( ∫

∞

∞−

−=− ωωπ

τ τω deXtx tj )()(2

1)( ↑

h(τ) sartu ω-ren integralean (h(τ) ω integrazioa aldagaiarekiko konstantea da), integralak trukatu (τ eta ω aldagai independienteak direnez egin daiteke), eta X(ω) atera τ-ren integraletik (h(τ) ω integrazioa aldagaiarekiko konstantea da).

( ) ( ) =⋅

⋅=⋅⋅= ∫ ∫∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

− ωττωπ

ωττωπ

ωτωτω ddeheXddehX jtjtj )(2

1)(

2

1 )(

( ) ( ) ωωωωωπ

ω HXFdeHX tj ⋅=⋅⋅= −∞

∞−∫ )()(2

1 1

2.2.2 Seinale batzuen transformatua

δ(t) inpultsoa

Delta, Fourier transformatuaren definizio formula aplikatuz

δ(t) F 1 ( ) ( ) ( ) 10 ==⋅⋅=⋅⋅ ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅−∞

∞−

− dttdtetdtet jtj δδδ ωω

n Honek esan nahi du frekuentzia guztietako esponentzialak batuz δ(t) lortzen dela.

x(t) y(t)= x(t)∗h(t) h(t) LTI

X(ω) Y(ω) = X(ω)⋅⋅⋅⋅H(ω) H(ω)

F F-1

F

x(t) y(t)= x(t)∗h(t) h(t)

LTI

X(ω)

∫∞

∞−= ωω

πω deXtx tj)(

2

1)(

1/2π[X(ω1)⋅ejω1t +

X(ω2)⋅ejω2t +

…+

X(ωi)⋅ejωit + …]dω

Y(ω) = X(ω)⋅⋅⋅⋅H(ω)

( )∫∞

∞−= ωωω

πω deHXty tj)(

2

1)(

1/2π[X(ω1)⋅ejω1t⋅⋅⋅⋅H(ω1) +

X(ω2)⋅ejω2t⋅⋅⋅⋅H(ω2) +

…+

X(ωi)⋅ejωit⋅⋅⋅⋅H(ωi) + …] dω

H(ω) F F-1

F

X(ω)=2/

2sin

ω

ω=sinc(ω/2π)=sinc f 1

X(ω)

ω0

2π

0

ω F-1cosω0t

ω0

π

0

π

-ω0 ω

F-1sinω0t

ω0

j

π

0

-jπ

-ω0 ω

Ir

δ(t) = F-11 = ∫∫

∞

∞−

∞

∞−=⋅⋅ ωω ωω dede tjtj1

Hau grafikoki “ikusteko” hartu esponentzialak binaka ±ω, cosinuak sortzeko.

∫∫∞∞

∞−⋅⋅=

0cos2 ωωωω dtde tj Gehitu behar ditugun ∞ kosikunak guztiak balio dute 2 t = 0

unean, hortik inpultso infinitua dator. Beste une guztietan fase ezberdin askotan gehitzen dira cosinuak, ondorioz batezbeztekoa 0 da.

ejωot, esponentzial konplexua

ejωot

F 2πδ(ω — ω0)

Esponentziala, Fourier transformatuaren definizio formula aplikatuz zaila da, alderantzizko transformatuan zer jarri behar den begiratuz erreza.

F-12πδ(ω — ω0) = ( ) ( ) ( ) tjtjtjtj ededede 000

00022

1 ωωωω ωωωδωωωδωωωπδπ

=−=−=⋅− ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

cosω0t cosinua

Euler-en formularen bidez esponentzial bitan deskonposatuz:

cos(ω0⋅t) = (ejωot + e—jωot)/2 F

πδ(ω — ω0) + πδ(ω + ω0) Transformatuaren interpretazioa: tonu bakoitzak marra espektral bat (bikoitza ±ω) ematen du. Fasoreak: fasoreekin (esponentzial konpluexuekin) lan egitea matematikoki kosinu eta sinuekin baino erosoago da. Seinale errealetara gatozenean, kosinu erreala fasorearen alde errealetik atera dezakegu, baina dotoreago da esponente negatiboa daukan fasorearkin gehitzea, hau da, frekuentzia negatiboa daukana. Horregaitik espektruan beti frekuentzia positiboak eta negatiboak (ω aldagaiaren erdiardatz biak) erabiltzen ditugu. Esannahi “fisiko”, grafiko, edo imaginatzekoa hau izan daiteke, alderantzizko norantzan biratzen duen fasorea: fasore arruntak ezkerrera biratzen badu, frekuentzia negatibokoak eskumarantza. Biak batuz emaitza kosinu beti erreala da.

Pultsu laukizuzena

Laukizuzena sinc

( ) ( )ωω

ωωω

ωωωωω 2/sin

2)(2/2/2

1

21

21

21

=−

−=

−==⋅Π=

−

−

−

−

−∞

∞−

−∫∫ j

ee

j

edtedtetX

jjtjtjtj =sinc f

sinc f ≡ 2/

2/sinsin

ωω

ππ =f

f= sinc(ω/2π)

ω = 2πf ↑


F

2.2.3 Fourier transformatua izateko baldintzak

• Aldaketa kopuru mugatua, maximo eta minimo kopuru finitua denbora tarte mugatuan, kurbaren luzera finitua denbora tarte mugatuan. (beharrezkoa, seinale fisikoetan beti betetzen da) x(t) = sin(1/t) seinaleak ez du betetzen.

• Modulu integragarria (nahikoa baina ez beharrezkoa) x(t) = sinωot / t seinalea ez da modulu integragarria, baina transformatua badauka

X(ω) = π⋅∏(ω/2ωo)

• Diskontinuitateen maila finitua (asintotarik ez) eta diskontinuitate kopurua finitua tarte finituan (beharrezkoak eta nahikoak)

Mailan erdiko balioa lortzen da alderantziko transformatuan, eta maila baino %18 gehiago igotzen da.

2.2.4 Propietateak

x(t) F X(ω)

Linealtasuna

Seinaleen konbinaketa_linealaren Fourier_transformatua, seinaleen Fourier_transformatuen konbinaketa_lineala da. a⋅x1(t) + x2(t) F a⋅X1(ω) + X2(ω)

( ) ( )[ ] ( ) =+⋅=+⋅↔+⋅ ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

− dtetxetxadtetxtxatxtxa tjtjtjF

ωωω )()()( 212121

( ) ( ) ( )ωωωω2121 )( XXadtetxdtetxa tjtj +⋅=+= ∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−

Simetriak

x(t) F X(ω) x(–t) F X(–ω) x∗(t) F X

∗(–ω)

( ) ( )∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

− −====−↔− ωωωωω XXdtetxdtetxdtetxtx tjtjtjF

'')'(')'()()( '''

t’= –t gero ω’= –ω

( ) ( )ωωωωωω −==

=

=

=↔ ∫∫∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

− ***

'***

*** ')()()()()( XXdtetxdtetxdtetxdtetxtx tjtjtjtjF

ω’= –ω

x(t) Bikoitia x(t) = x(–t) Bakoitia x(t) = –x(–t) X(ω) Bikoitia

X(ω) = X(–ω) Bakoitia

X(ω) = –X(–ω) Erreala x(t) = x

∗(t)

Simetria hermitikoa X(ω) = X∗

(–ω) Modulua bikoitia, fasea bakoitia

Erreala eta bikoitia X(ω) = X(–ω) = X∗

(–ω) Konjokatzeak ez dauka eraginik

Irudikaria eta bakoitia X(ω) = X∗

(–ω) = –X(–ω) Konjokatzean signua aldatzen da

Irudikaria Simetria antihermitikoa Irudikaria eta bikoitia Erreala eta bakoitia

t

x(t) =__(t)

½ -½

1

x(t) = –x∗(t) X(ω) = –X∗

(–ω) Modulua bikoitia, fasea bakoitia

X(ω) = –X∗(–ω) = X(–ω)

Konjokatzean signua aldatzen da X(ω) = –X∗

(–ω) = –X(–ω) Konjokatzeak ez dauka eraginik

x(t) Bikoitia Bakoitia

X(ω) Bikoitia Bakoitia Erreala Hermitikoa Er. + bik. Ir. + bak.

Irudikaria Antihermitikoa Ir. + bik. Er. + bak.


Denbora atzerapena

x(t) F X(ω) x(t-t0) F X(ω)⋅e-jωto Froga:

( ) ( )∫∫∫∞

∞−

−−−∞

∞−

+−∞

∞−

− ⋅=⋅==−↔− ωωωωωω Xedtetxedtetxdtettxttxtjtjtjttjtj

F000 ')'(')'()()( ''

00

t-t0=t’ ; dt=dt’

Modulua mantentzen da, fasea ω-rekiko lineala da. Komunikazio sistema ideialak ez dauka distortsiorik, atzerapena nahitaezkoa da. Fase lineala daukala esaten da: Modulua ez da aldatzen |Fx(t-t0)| = |X(ω)⋅e-jωto|= |X(ω)| eta faseari -ωto terminoa gehitzen zaio, osagai bakoitzaren frekuentziaren funtzio da, baina funtzio sinplea, lineala. Galderatxoa: zein da atzerapena sortzen duen sistemaren inpultso erantzuna, h(t) ? eta H(ω) ? inpultso erantzunaren transformatua Frekuentzia erantzuna deitzen dugu.

Frekuentzi desplazamendua/translazioa

x(t) F X(ω) X(ω-ωo) F

-1 x(t)⋅ejωot

Erabilpena modulazioan, frekuentzia multiplexazioan, ... Ariketatxoa: sarrerako seinalea cosω0t seinalearekin biderkatuta ateratzen duen sistema Lineala da? Adierazi irteeraren espektroa sarreren espektroaren funtzio bezala eta irudikatu.

Eskala aldaketa

x(t) F X(ω) x(at) F X(ω/a)/|a| Frekuentzia eta denboraren artean alderantzizko erlazioa dago. Frogapena:

=↔ ∫∞

∞−

− dteatxatx tjF

ω)()(

at=t’ ; dt=dt’/a ; t=∞ → t’=a⋅ ∞=sign(a)⋅ ∞ kasu bi bereizten dira:

a>0⇒limiteak mantentzen dira: === ∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−')'(

1')'(

''

dtetxaa

dtetx a

tj

a

tj

ωω

X(ω-ω0)

ω0

ω

X(ω)

ω

ω

∠ X(ω) malda –t0

XB(ω-ωB)+XR(ω-ωR)+ XE(ω-ωE)

ω ωR ωE ωB

Bizkaia irratia Irola irratia

RNE

a<0⇒limiteen signua aldatzen da: =−== ∫∫∞

∞−

−∞−

∞

−')'(

1')'(

1 ''

dtetxa

dtetxa

taj

a

tj ωω

kasu bietarako balio du adierazpen honek: == ∫∞

∞−

−')'(

1 '

dtetxa

tajω

ω/a aldagai bezala begiratuz: ( ) ( )aXa

atxF ω1=

Adibide erreza: cosω0t cos(ω0t/T) = cosω1t ω1 = ω0/T Gauzak T aldiz astiroago gertatzen dira, hau da frekuentzia T aldiz txikiagoa da. Beste adibide ezaguna: Pultsu laukizuzena T aldiz zabaldua Π(t/T)

F F Bigarren seinaleak T aldiz gehiago irauten du, T aldiz energia gehiago dauka. Espektruan ere energia T aldiz handitu dadin (Parsevalek esango duen bezala), eta T aldiz estuagoa denez, anplitudea T aldiz handiago izan behar da (energia anplitudearen modulu karratuarekiko proportzionala da).

Bitasun teorema

x(t) F X(ω) X(t) F 2π⋅x(-ω)

Frogapena: ( ) ∫∞

∞−

− == dteXXFtx tjωωπ

ω )(2

1)( 1

aldagaien izenak aldatuta t→ v ; ω→ z ( ) ∫∞

∞−

− == dvezXzXFvx jzv)(2

1)( 1

π

2π-rekin indartu eta alderatuz ( v “denborarekiko”) ( ) zXFdvezXvx jzv ==−⋅ ∫∞

∞−

−)()(2π , hau

da, Fourier transformatuaren formula daukagu, X(z) seinalea z eremutik v eremura transformatzen duena. X(z) seinale eta x(v) transformatua t eta ω aldagai arruntetan adieraziz: ( ) tXFx =−⋅ )(2 ωπ

t

x(t) =__(t)

½ -½

1 X(ω)=2/

2sin

ω

ω=sinc(ω/2π)=sinc f

ω=2π f = 1

0

1

ω

t

x(t) =__(t/T)

T/2 -T/2

1

X(ω)=

2/

2sin

T

T

T

ω

ω

=Tsinc(ωT/2π)=Tsinc fT

ω=2π/T f = 1/T

0

T

ω


F

F

Diferentziapena denboran

x(t) F X(ω) dx(t)/dt F jω⋅X(ω)

Frogapena:

( ) ( ) ωωωωωπ

ωωπ

ωωπ

ω ωω

ω XjFdeXjddt

deXdeX

dt

d

dt

XdF

dt

tdx tjtj

tj 11

)(2

1)(

2

1)(

2

1)( −∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

===

== ∫∫∫

Denbora eremuan ekuazio diferentzialak direnak frekuentzia eremuan ekuazio algebraiko bilakatzen dira. Adibidez behe pasako RC iragazkia.

Diferentziapena frekuentzian

x(t) F X(ω) t⋅x(t) F j⋅dX(ω)/dω Ariketatxoa: Kalkulatu Ft⋅e-αt⋅u(t)

Integrazioa

x(t) F X(ω) ∫-∞

tx(τ)⋅dτ F X(ω)/jω + π X(0)⋅δ(ω)

Konboluzioa frekuentzian. Modulazioa

x(t) F X(ω) y(t) F Y(ω) 2π⋅x(t)⋅y(t) F X(ω)∗Y(ω)

Sistema kausalaren frekuentzia erantzuna

H = R + jI = ∫(R+jI)/j R edo I ezagutzea nahikoa da, bata bestearengandik kalkula daiteke. Alde erreal edo irudikaria ezagutzea nahikoa da. Bestalde

Xb( )ω

.2sin .ω τ2

ω

20 0 201

0

1

2

Xb( )ω

ω

t

x(t) =__(t/T)

T/2 -T/2

1

t

x(ω) =__(ω/W)

W/2 -W/2

2π

20 0 20 1

0

1

2

X ( ) t

ω

X ( ) t . 2 sin . t W

2 t

h = hbik + hbak ==> t<0 hbik = -hbak t>0 hbik = hbak Alde bikoiti edo bakoitia ezagutzea nahikoa da. Gainera erreala bada Hbik(ω) erreala eta bikoitia da Hbik(ω) = R(ω) = ∫I/j = ∫Hbak/j

Hbak(ω) erreala eta bakoitia da Hbak(ω) = jI(ω) = j∫R = j∫Hbik Nahiko da lau-etatik bat ezagutzea: hbik, hbak, R edo I

2.2.5 Lehiokatu

Seinalea tarteka aztertzeko epe laburreko Fourier transformatua egin ohi da, tarte bateko seinalea bakarrik kontuan harturik. Erabiltzen da seinalea denbora errealean prozesatzeko edota bere espektrua denbora tarte bakoitzean aztertzea baliagarria denean. x(t) F X(ω) w(t) F W(ω) xw(t) = x(t)⋅w(t) F Xw(t) = X(ω)∗W(ω) Leiho laukia bada lobulu sekundarioak nahasketa sortzen dute. Lobulu sekundarioak – frekuentzia altuak – leiho laukiaren bat-bateko mailari lotuak daude. Nahasketa murrizteko pixkanaka ixten diren leihoak erabiltzen dira (hamming, hanning, ...) Leiho luzearekin frekuentzia zehaztasun handia daukagu, leiho laburrarekin frekuentzia zehaztasun gutxi.


ω

X(ω)/2π

ω0

a1

a2

3ω0

a0

2ω0

a3

a4

4ω0 0

• • • • • •

a-1

X(ω) -ω0

2.3 Seinale periodikoak eta Fourier-en analisia

Seinale periodikoen adierazpena Fourier serieen bidez

( ) ∑∞

−∞==

k

tjk

keatx 0ω ∀t

( )∫−=

0

0

0

1

T

tjk

k dtetxT

aω

∀k

Frogapena esponentzial armonikoen ortogonaltasunetik dator.

( ) k

nT

tjktjn

nTn

tjktjn

nT

tjk

n

tjn

n adteeaT

dteeaT

dteeaT

=

⋅=⋅=

= ∑ ∫∫ ∑∫ ∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−−∞

−∞= 0

00

0

00

0

00

000

111 ωωωωωω

Batukari barruan n aldagaia erabiltzen dut kanpoko k-rekin nahastu ez dadin.

( )( )

( )

≠∀=∀

=

=

−=≠

==

=⋅ −−

−

∫

∫∫ kn

knT

knj

edtekn

Tdtkn

dtee Ttknj

T

tknj

T

T

tjktjn

00

0

00

0

00

0

0

0

0

00

ω

ωω

ωω ↑

0200 == πω jmTjmee ↑

Seinale periodikoaren Fourier transformatua seinalearen serieko deskonposaketaren transformatua da: x(t) F X(ω)

( ) ∑∞

−∞==

k

tjk

keatx 0ωF ( ) ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=−==

k

k

k

tjk

k kaeFaX )(2 00 ωωπδω ω

Osagai esponentzial armoniko bakoitzaren transformatua inpultso atzeratua da. Seinalearen transformatua inpultso haztatuen batukaria, ω0 tartearekin beraien artean

Seinale periodikoak oinarrizko frekuentzian eta armonikoetan bakarrik dauka energia, beste frekuentzietan ez.

2.3.1 Seinale periodikoen Fourier transformatua

Seinale periodikoen Fourier transformatua kalkulatzeko beste bide bat oinarrizko seinale ez periodiko baten kopia mugituen batura bezala deskonposatzen hasten da. x(t) = Σnxo(t-nTo) = xo(t)∗Σnδ(t-nTo) Delten segidaren transformatua delta segida da ere. Σnδ(t-nTo) F ωoΣkδ(ω-kωo)

eta xo(t) F Xo(ω) beraz konboluzioaren teorema aplikatuz: x(t) F X(ω) = ΣkωoXo(ω)δ(ω-kωo) = ΣkωoXo(kωo)δ(ω-kωo) ωo = 2π/To Fourier seriaren bidez lortutako transformatuaren adierazpenarekin parekatuz

ak = Xo(kωo)/To

Xo(ω) seinale ez-periodikoaren transformatua irudikatzean ω aldagaiarekiko jarraia dela ikusten dugu. Oinarrizko seinalea periodikoki errepikatzearen eraginez transformatua delten segida bilakatu da, hau da, energia guztia ωo frekuentziaren harmonikoetan bildu da. Delta bakoitzaren indarra Xo(ω) transformatuak ponderatzen du, X(ω) Xo(ω) lagintzen lortzen dela esan dezakegu. X(ω) adierazteko kωo frekuentzietako balioak ematea nahikoa denez ω ardatz jarrai erabili beharrean k ardatz diskretua erabil dezakegu, bertan X(kωo) edo ak balioak adieraziz. Ondorioa :

Denbora eremuan periodikoa den seinalea frekuentzia eremuan diskretua da. Adibide-ariketatxoa: Laukizuzen periodikoaren transformatua kalkulatu

2.3.2 Seinale periodikoak sistema linealen zehar

Sistema lineal bati seinale periodikoa sartuz gero irteerako seinalea ere periodikoa izango da.

Frekuentzia eremuan:

Y(ω) = X(ω)⋅H(ω) x(t) periodikoa ⇒ X(ω) = ΣkωoXo(kωo)δ(ω-kωo)

Y(ω) = ΣkωoXo(kωo)H(kωo)δ(ω-kωo) seinale periodikoaren egitura dauka, δ segida haztatua. Y(ω) = 2πΣkbkδ(ω-kωo) bk haztapen koefizienteak irteerako y(t) seinalearen Fourier serieko deskonposaketaren koefizienteak dira. bk = Yo(kωo)/To = Xo(kωo)⋅H(kωo)/To = ak⋅H(kωo)

bk = ak⋅H(kωo) 2.1 puntuan esan bezala esponentzialak sistema linealen autofuntzioak dira, horregatik da erabilgarri Fourier deskonposaketa. Harmoniko bakoitza sartzerakoan, k-garrena ak indarrarekin, frekuentzia bereko harmonikoa aterako da, bere indarra frekuentzia horretako autobalioaz, H(kω0), aldatu delarik.

X0(ω)

ω t

x0(t)

x(t)

t ω H∗(ω)

ω

X(ω)/2π

ω0

a1

a2

3ω0

a0

2ω0

a3a4

4ω00

• • •

a-1

-ω0

• • •

ω

H(ω)

ω

Y(ω)/2π=X(ω)⋅H(ω) /2π

ω0

a1⋅H(ω0)

a2⋅H(2ω0)

3ω0

a0⋅H(0)

2ω0

a3⋅H(3ω0)a4⋅H(4ω0)

4ω00

• • •

a-1⋅H(-ω0)

-ω0

• • •

ω

X(ω)/2π

ω0

a1

a2

3ω0

a0

2ω0

a3a4

4ω00

• • •

a-1

-ω0

• • •ω

X(ω)/2π

ω0

a1

a2

3ω0

a0

2ω0

a3a4

4ω00

• • •

a-1

-ω0

• • •

ω

H(ω)

ω

H(ω)

ω

Y(ω)/2π=X(ω)⋅H(ω) /2π

ω0

a1⋅H(ω0)

a2⋅H(2ω0)

3ω0

a0⋅H(0)

2ω0

a3⋅H(3ω0)a4⋅H(4ω0)

4ω00

• • •

a-1⋅H(-ω0)

-ω0

• • •ω

Y(ω)/2π=X(ω)⋅H(ω) /2π

ω0

a1⋅H(ω0)

a2⋅H(2ω0)

3ω0

a0⋅H(0)

2ω0

a3⋅H(3ω0)a4⋅H(4ω0)

4ω00

• • •

a-1⋅H(-ω0)

-ω0

• • •


Denbora eremuan:

y(t) = x(t) ∗ h(t) = Σnxo(t-nT0) ∗ h(t) y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫τx(τ)h(t-τ)dτ = ∫τΣnxo(t-nT0)h(t-τ)dτ n eta τ independenteak direnez ∫ eta Σ truka daitezke, eta aldagai aldaketa eginez τ-nT0=τ' ; τ = τ'+nTo y(t) = Σn∫τ'xo(τ')h(t-nT0-τ')dτ' = Σnyo(t-nT0)

yo(t) = ∫τ'xo(τ')h(t-τ')dτ' = xo(t) ∗ h(t)

Sarrera periodikoaren oinarri seinalea, xo(t), sistema linealean sartuz irtetzen dena oinarri seinalea izango da. x(t) seinale periodikoa xo(t) oinarri seinalearen errepikapen atzeratuak batzen osatzen da. Sistema lineala (gainezarmen propietatea betetzen da) eta denboran ez-aldakorra denez irteeran ere errepikapen atzeratuak agertuko dira, yo(t-nTo), eta honen batura bezala osatutako irteera periodikoa izango da beraz.

Laburpen taula

denboran periodikoa p.t ⇒ frekuentzian diskretua d.ω frekuentzian periodikoa p.ω ⇒ denboran diskretua d.t t\ω ez-periodikoa Periodikoa ez-periodikoa ep.tj.ω (jarraia frekuentzian)

ep.ωj.t [irudiak jt jω]

ep.tj.ω p.ωd.t [irudiak dt jω]

Periodikoa p.td.ω ep.ωj.t [irudiak jt dω]

p.td.ω p.ωd.t [irudiak dt dω]

Seinalea denboran, t Espektrua, seinalea

frekuentzian, ω

Ez-

perio

diko

a

jarraia

perio

diko

a “diskretua"

X(ω)

ω

t

x(t)

x(t)

t

X(ω)

ω

t

y0(t)

t

x0(t) x(t)

t

t

y(t)

t

y0(t)

t

y0(t)

t

y0(t)

t

x0(t)

t

x0(t)x0(t) x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

t

y(t)

t

y(t)

Ariketatxoa: A anplitudea eta T periodoa daukan sinuaren periodo bakarra hartu eta 2T periodoarekin errepikatuz sortzen den seinale periodikoaren Fourier Transformatua kalkulatu. Baita FS koefizienteak. (2000-II-8 eguneko azterketako 1a) ariketa da) b) Irteera behe pasako iragazki ideialetik pasatzerakoan, etetze frekuentzia 5 ω0/4


2.4 Korrelazioa eta espektroa

2.4.1 Energia eta potentzia

Zirkuito elektrikoan p(t) = v(t)⋅i(t) = v2/R potentzia = voltaia ⋅ intentsitatea (R erresistentzia) Akustikan I = p⋅u = ½⋅p2/z intentsitatea (potentzia) = presioa ⋅ abiadura (z inpedantzia akustikoa) Mekanika Ek = ½⋅mv2 Energia zinetikoa = ½⋅masa⋅abiadura karratua E = aldiuneko potentziaren integrala E = ∫∀t p(t)dt Zirkuito elektrikoan E = ∫∀t v

2(t)/R dt

Pareko eran seinale [erreal] baten Energia Exx = ∫∀t x

2(t)dt

Oro har seinale konplexuekin Exx = modulu karratuaren integrala = seinalea bere konjokatuarekin biderkatu eta integratu. Exx = ∫∀t|x(t)|

2dt = ∫∀t x(t)⋅x*(t)dt

Ez da beti energia fisiko batekin lotuta egongo. Dagoenean ere eskala ez da gehienetan zuzen agertuko. Adibidez e-at⋅u(t) Era berean seinale bien arteko energia gurutzatua Exy = ∫∀tx(t)⋅y*(t)⋅dt Batezbezteko potentzia PT = ∫Tx.y

*/T

Energia gurutzatuaren Parseval-en formula ∫x.y=∫XY/2π Energia espektroa edo Energia gurutzatuaren espektro dentsitatea Sxy(ω) ≡ X(ω)⋅Y∗

(ω) Energia osoa Exy = 1/2π∫∀ωSxy(ω)dω Seinale baten energi espektro dentsitatea Sxx(ω) = |X2

(ω)| Energia Exx = 1/2π∫∀ωSxx(ω)dω

Sxx(ω)-ren propietateak

Erreala. Ez dauka fasearen informazioa ==> ezin dugu seinalea berreskuratu Zer irtengo ote da Sxx(ω)-ren alderantzizko transformatua eginez? Autokorrelazioa

Beti positiboa

x(t) erreala bada Sxx(ω) energi espektro dentsitateak simetria bikoitia dauka. X(ω) = X∗

(–ω) ==> |X 2(ω)| = |X 2(–ω)|

Batezbesteko potentzia finitua daukaten seinaleak

Energía, Exx = ∫∀t|x(t)|2dt , finitua daukaten seinaleak ez dira guztiak. Seinale askok Exx ∞

dute, adibidez maila unitate seinaleak eta seinale periodikoak. Hauetariko askok batezbesteko potentzia daukate finitua. Seinale periodikoen potentzia definitzeko periodo bateko energia kalkulatzen dugu

Exx|To = ∫To|x(t)|2⋅dt

Periodo bateko batezbesteko potentzia: dttxTT

EP

Tooo

Toxx

Toxx ⋅== ∫2

)(1

Seinale ez periodikoa periodo bakar oso luzea daukan seinale periodiko bezala ikus dezakegu, horrela periodo bateko batezbesteko potentziaren formularen limitea eginez, T0∞, eta T ikurra T0-ren ordez jarriz formula orokorra daukagu:

dttxT

PTT

xx ⋅= ∫∞→

2

)(1

lim

Seinale periodikoetarako aurreko formularekin bat datorrela egiaztatzeko: M periodotako batezbesteko potentzia...

dttxT

dttxMMT

dttxT

PTo

oTo

oMToMToTxx ⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫=

222

)(1

)(1

)(1

...periodo bakarrekoaren berdina da, ∀M∈N Beraz seinale osoarena, M∞ ⇒ T∞ limitearen bidez kalkulatu daiteke, eta periodo bateko bera da:

dttxT

dttxT

limPTo

oTT

xx ⋅=⋅= ∫∫∞→

22

)(1

)(1

x(t) energia finitukoa bada orduan Pxx = 0 Potentzi finitukoa bada Ex∞ Anplitudea mugatua eta iraupen finitua badauka orduan energia finitukoa da. Iraupen ez finitukoa bada auskalo. Periodikoa bada potentzia finitua; ez bada, auskalo. Ariketatxoak: - Kalkulatu maila unitatearen energia eta potentzia. - Kalkulatu x(t) = t energia eta potentzia - Kalkulatu laukizuzen eta hirukiaren arteko energia gurutzatua, EΠ∆

2.4.2 Potentzia dentsitate espektrala

Energia infinitua daukaten seinaleen Energi espektro dentsitatea ez da baliagarria beraz batezbesteko potentzia finituko seinaleen potentzia espektro dentsitatea erabiltzen da. Batezbesteko potentziaren formulan Parsevalen erlazioa erabiliz, eta potentziaren formulan limitea integralaren barruan sarturik:

( ) ωωπ ω

dGP xxxx ⋅= ∫∀2

1

non Potentziaren espektro dentsitatea honela definitu dugun:

non XT(ω) = FxT(t) eta ( ) ( )

−Π⋅=

T

tttxtxT

0

( ) ( )T

XG

T

Txx

2

limω

ω∞→

≡


XT(ω) erabili da potentzia espektro dentsitatearen definizioan, baina limitean XT(ω) = X(ω)

Potentzia gurutzatuaren espektro dentsitatea

Seinale biren arteko potentzia gurutzatua aztertzeko definitzen dira

dttytxT

limPTT

xy ⋅⋅≡ ∫∗

∞→)()(

1

( ) ( ) ( )T

YXlimG TT

Txy

ωωω∗

∞→

⋅=

( ) ωωπ

dGPT

xyxy ⋅= ∫∀2

1

Ariketatxoak: Seinale hauen Exx eta Sxx(ω) edo Pxx eta Gxx(ω) kalkulatu u(t)e

-t, u(t), t

Seinale periodikoen potentzia eta potentzia espektru dentsitatea

Seinale baten potentzia Pxx edo Px:

dttxT

PTo

o

xx ⋅= ∫2

)(1

x(t) periodikoa denez Fourier serieko deskonposaketa bezala

adierazita,

( ) ( ) dtnXaT

dtetxaT

dteatxT

dttxtxT

Pn

on

on

tjn

Ton

on

tjn

nTo

oTo

o

xx ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∑∑ ∫∑∫∫∀

∗

∀

∗

∀

∗∗

0

1)(

1)(

1)(

100 ωωω

2.3.1 atalean lortutako ak = Xo(kωo)/To erlazioa erabiliz

( ) 22

2

1∑∑ ==n

n

n

oo

o

xx anXT

P ω Seinale periodikoen potentziaren Parseval-en teorema

Seinale periodiko baten batezbesteko potentzia osagai armoniko bakoitzaren anplitudearen karratuen batura da (osagai armonikoen potentzia). Seinale periodiko biren arteko potentzia gurutzatua Pxy:

dttytxT

PoT

o

xy ⋅⋅= ∫∗ )()(

1

x(t) eta y(t) periodikoak direnez fourier serieko deskonposaketa bezala adierazita osagai armoniko bikote bakoitzaren arteko potentzia gurutzatuen batura da. Baina esponentzial armonikoak ortogonalak dira beraien artean, frekuentzia ezberdineko esponentzialen arteko potentzia komuna zero da. Frekuentzia bereko osagaietan bakarrik

gurutzatzen da potentzia. ...

ω

Y(ω)/2π

ω0

b1

b2

3ω0

b0

2ω0

b3

b4

4ω0 0

• • • • • •

b-1

X(ω) -ω0

ω

X(ω)/2π

ω0

a1

a2

3ω0

a0

2ω0

a3

a4

4ω0 0

• • • • • •

a-1

X(ω) -ω0

a4b4

∑ ∗⋅=n

nnxy baP


2.4.3 Korrelazioa eta espektro dentsitate funtzioak

Korrelazio gurutzatuak seinale biren arteko antza, antzekotasuna, neurtzen du. Autokorrelazioak seinale bat seinale bera desplazatuarekin konparatzen du. Seinaleak prozesatzeko tresna indartsua da. Energía finituko eta potentzia finituko seinaleak era ezberdinean aztertzen dira.

Energia finituko funtzioen korrelazio funtzioa

( ) dttytxRt

xy ⋅⋅+≡ ∫∀∗ )()( ττ

Korrelazioa τ desplazamenduaren funtzio da.

τ = 0 Rxy(0) ≡ ∫∀tx(t)⋅y*(t)⋅dt = Exy Korrelazioa jatorrian energia gurutzatua da. Rxy(0) = 0 bada x(t) eta y(t) ortogonalak direla esango dugu. Korrelazioaren Fourier transformatua, (integralekin eragiketak eginez) ...

FRxy(τ) = X(ω)⋅Y∗(ω) = Sxy(ω) Korrelazio teorema Korrelazioaren Fourier trasformatua energia espektro dentsitatea da. Beste era baten frogatzeko:

Rxy(τ) ≡ ∫∀tx(t+τ)⋅y*(t)⋅dt = ∫∀tx(t)⋅y*(t-τ)⋅dt = x(τ)∗y∗(-τ)

FRxy(τ) = Fx(τ)∗y∗(-τ) = X(ω)⋅Y∗

(ω) konboluzio teorema erabiliz y(t) = x(t) bada korrelazio gurutzatua autokorrelazioa bilakatzen da: Rxx(τ) ≡ ∫∀tx(t+τ)⋅x*(t)⋅dt Rxx(0) = Exx FRxx(τ) = |X(ω)|2 = Sxx(ω)

Interpretazioa

Korrelazio gurutzatuak seinale bien arteko antza neurtzen duenez, seinale bien arteko distantzia neurtzeko beste era batzuekin lotuta egongo da, adibidez Batezbesteko errore koadratikoaz d(x(t),y(t)) = ∫∀t[x(t)-y(t)]

2dt

...

d(τ) = Exx + Eyy – 2Rxy(τ)

d(τ) ≥ 0 denez Rxy(τ) ∠ (Exx + Eyy)/2 Seinale biren arteko korrelazio gurutzatua seinale bien energiaren batezbeztekoa baino handiagoa ezin da izan. Schwarz-en ezberdintasunaren formula erabiliz

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅≤⋅⋅b

a

b

a

b

adttvdttudttvtu

222

u(t) = x(t+τ) v(t) = y(t) eginez/ordezkatuz |Rxy(τ)|2 ∠ Exx⋅Eyy

Seinale biren arteko korrelazio gurutzatuaren modulu karratua seinale bien energiaren biderketa baino handiagoa ezin da izan. Berdina da u(t) eta v(t) proportzionalak direnean u(t) = α⋅v(t) Kasu horretan distantzia minimoa/maximoa egongo da Rxy(τ) balioaren signuaren arabera. Mugak: Batezbesteko aritmetikoa eta batezbesteko geometrikoa (hau txikiagoa, edo berdina) y(t) = x(t) bada autokorrelazioa: |Rxx(τ)|2 ∠ Exx2 = Rxx2(0) definizioan ordezkatuz egiaztatzen da

|Rxx(τ)| ∠ Rxx(0) = Exx (batezbesteko aritmetikoaren formularekin gauza bera) Hau da, autokorrelazioa jatorrian maximoa da. Noski, seinale mugitua ez da seinale originala baino "berdinagoa" sekula izango (berdina izan daiteke, seinale periodikoak kasu). ...

2.4.4 Korrelazioaren propietateak

• Simetria hermitikoa Korrelazio gurutzatua Ryx(τ) = Rxy∗(-τ) Ez da trukakorra Autokorrelazioa Rxx(τ) = Rxx∗(-τ)

x(t) erreala autokorrelazioa bikoitia Rxx(τ) = Rxx(-τ) eta energi espektro dentsitatea erreala eta bikoitia, hau da, energia erdia

frekuentzi osagai positiboak ematen dute eta beste erdia frekuentzia negatiboko osagaiak.

• Autokorrelazioa jatorrian energia da: Rxx(0) = Exx Rxy(0) = Exy • Autokorrelazioaren maximoa jatorrian dago: |Rxx(τ)| ∠ Rxx(0) = Exx ∀τ Korrelazio gurutzatuaren maximoa: |Rxy(τ)| ∠ √(Exx⋅Eyy) ∀τ Ariketak: x(t)=e-t

2

y(t)=Π(t-3), kalkulatu Rxy(τ)

Datua: ∫e-x2⋅dx = ∫Exp[-(x^2)]dx= Ebazpena hemen: KorrelazioGurutzatua.mcd ::Idem beste seinale honekin x(t)=1/(t2+1)

Datua: ∫1 /(t2+1)⋅dt = atan t

Seinale honek Agnesi-ren sorgina kurba jarraitzen du: x(t)=a3/(t2+a2) The Living Witch of Agnesi

http://crux.astr.ua.edu/4000WS/witch-of-agnesi.html

::Kalkulatu x(t) eta ejωt-ren arteko energia gurutzatua.

Potentzia finituko funtzioen korrelazio funtzioa

( ) dttytxT

limRTT

xy ⋅⋅+≡ ∫∗

∞→)()(

1 ττ

Rxy(τ) F Gxy(ω) Korrelazio gurutzatuaren transformatua potentzia gurutzatuaren espektro dentzitatea da. Frogatzeko:

( ) =⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+= ∫ ∫∫ ∫∗

∀

−

∞→

−

∀

∗

∞→dttydetx

Tdedttytx

TRF

T

j

T

j

TTxy )()(

1lim)()(

1lim τττττ

τωτωτ

τ

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )ωωωωω ωωxyT

TT

tj

TT

tj

TGYX

TdtetyX

TdttyeX

T=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∗

∞→

∗−

∞→

∗

∞→ ∫∫1

lim)(1

lim)(1

lim

Maria Gaëtana Agnesi


ω

Y(ω)/2π

ω0

b1

b2

3ω0

b0

2ω0

b3

b4

4ω0 0

• • • • • •

b-1

X(ω) -ω0

ω

X(ω)/2π

ω0

a1

a2

3ω0

a0

2ω0

a3

a4

4ω0 0

• • • • • •

a-1

X(ω) -ω0

a4b4

non potentzia dentsitatea definitu genuen atalean bezala seinale laguntzailea definitu dugun,

T iraupeneko integralak hartzen duen seinale zatia, ( ) ( )

−Π⋅=

T

tttytyT

0 eta YT(ω) = FyT(t)

Seinale periodikoen korrelazio funtzioa

x(t) eta y(t) T0 periodo bereko seinale bi izanik

( ) dttytxT

limRTT

xy ⋅⋅+= ∫∗

∞→)()(

1 ττ T = MT0 harturik, limitean M∞

( ) dttytxMMT

dttytxMT

RTMMTM

xy ⋅⋅+=⋅⋅+= ∫∫∗

∞→

∗

∞→ 00

)()(1

lim)()(1

lim00

τττ

( ) dttytxT

RoT

o

xy ⋅⋅+= ∫∗ )()(

1 ττ periodikoa da T0 periodoarekin, frogatzeko

( ) tjk

k

k eatx 0ω∑ ⋅= ( ) tjn

n

n ebty 0ω−∗∗ ∑ ⋅= ω0 = 2π/T0

( ) dteebeaT

dtebeaT

Roo T

tjntjk

n

n

jk

k

k

oT

tjn

n

n

tjk

k

k

o

xy ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ∫∑∑∫ ∑∑ −∗−∗+ 0000011 )( ωωτωωτωτ ...

Hau kontuan izanik ( )

=≠

=⋅∫−

nkT

nkdte

oT

tnkj

0

00ω

( ) τωτ 0jn

n

nnxy ebaR ∑ ⋅⋅= ∗

( ) ( )02 ωωδπω nbaGn

nnxy −⋅⋅= ∑ ∗

x(t) = y(t) denean autokorrelazioa da:

( ) τωτ 02 jn

n

nxx eaR ∑ ⋅=

( ) ( )0

22 ωωδπω naG

n

nx −⋅= ∑

Rxx(0) = Pxx • Autokorrelazioa jatorrian potentzia da: Rxx(0) = Pxx Rxy(0) = Pxy • Autokorrelazioaren maximoa jatorrian dago: |Rxx(τ)| ∠ Rxx(0) = Pxx ∀τ Korrelazio gurutzatuaren maximoa: |Rxy(τ)| ∠ √(Pxx⋅Pyy) ∀τ Fourier transformatuaren interpretazioa Korrelazio edo Energia gurutzatuaren bidez Seinalea deskonposatzerakoan (transformatua egiterakoan) frekuentzia osagai (esponentzial) bakoitzean daukan indarra jakiteko esponentzial bakoitzarekin daukan "antza" neurtu nahi dugu. x(t) eta ejωt-ren arteko energia gurutzatuak balio dezake horretarako, izan ere, honen formula edo adierazpena idatziz Fourier transformatuaren formula dela ikusten dugu: Exe=∫∀tx(t)⋅(ejωt)*dt=∫∀tx(t)⋅e-jωtdt

2.4.5 Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar

h(τ) h∗(-τ) Ryx(τ) Rxx(τ) Ryy(τ)

Syx(ω) Sxx(ω) Syy(ω) H(ω) H*(ω)

h(τ) h∗(-τ) Ryx(τ) Rxx(τ) Ryy(τ)

Gyx(ω) Gxx(ω) Gyy(ω) H(ω) H*(ω)

x(t) y(t) h(t)

Rx(τ) Ry(τ)

h(t) inpultso erantzuna daukan sistema lineal ez aldakorraren irteeraren korrelazioa aztertuko dugu sarrerako seinalearen autokorrelazioa Rxx(τ) ezaguturik. Irteerako seinalearen korrelazioak sarrerakoaren autokorrelazioaren funtzio bezala idatzi nahi ditugu. Energia finituko seinaleak alde batetik eta potentzia finitukoak bestetik aztertuko ditugu. x(t) eta y(t) energia finitukoak Sistema egonkorra bada x(t) eta y(t) mota berekoak izango dira, hau da, x(t) energia finitukoa bada y(t) ere energia finitukoa izango da. • Sarrera eta irteeraren arteko korrelazio gurutzatua Rxy(τ) = ∫∀x(t+τ)⋅y*(t)⋅dt = x(τ) * y*(-τ)

Bestalde y(τ) = x(τ) * h(τ) beraz y∗(-τ) = x∗

(-τ) * h∗(-τ)

Rxy(τ) = x(τ) * y*(-τ) = x(τ) * x∗(-τ)*h∗

(-τ) = Rxx(τ) * h∗(-τ)

• Irteera eta sarreraren arteko korrelazio gurutzatua Ryx(τ) = y(τ) * x*(-τ) = x(τ)*h(τ) * x∗

(-τ) = Rxx(τ) * h(τ)

• Irteeraren autokorrelazioa Ryy(τ) = y(τ) * y*(-τ) = x(τ)*h(τ) * x∗

(-τ)*h∗(-τ) = Rxx(τ) * Rhh(τ)

edo baita Ryy(τ) = Ryx(τ) * h∗

(-τ) Aurreko korrelazioen formulen Fourier transformatua eginik: Sxy(ω) = Sx(ω)⋅H∗

(ω) Syx(ω) = Sx(ω)⋅H(ω) Syy(ω) = Sx(ω)⋅|H(ω)|2 = Syx(ω)⋅H∗

(ω) x(t) eta y(t) potentzia finitukoak • Sarrera eta irteeraren arteko korrelazio gurutzatua Ryx(τ) = limT

∞ 1/T∫∀x

∗(t)⋅y(t+τ)⋅dt = ... [ezin dugu esan Ryx(τ) = y(τ) * x*(-τ) denik, baina

eragiketak eginez: ...

Ryx(τ) = Rxx(τ) * h(τ) Rxy(τ) = Ryx∗(-τ) = Rx∗(-τ) * h∗(-τ) = Rx(τ) * h∗

(-τ) • Irteeraren autokorrelazioa Ryy(τ) = limT

∞ 1/T∫∀y(t+τ)⋅y∗

(t)⋅dt = ... ...

Ryy(τ) = Ryx(τ) * h∗(-τ) = Rxx(τ) * h(τ) * h∗(-τ) baina = edo ≠ Rxx(τ) * Rhh(τ)

Gxy(ω) = Gx(ω)⋅H∗

(ω) Gyx(ω) = Gx(ω)⋅H(ω) Gyy(ω) = Gx(ω)⋅|H(ω)|2


2.4 ataleko formulak laburbiltzeko taula (edo kuboa) beteko dut. Ardatz baten Energia finituko seinaleak, Potentzia finitukoak (azpimota bezala seinale periodikoak). Beste ardatz bat Energia /edo Potentzia, Energia /edo Potentzia espektro dentsitatea, Korrelazioa Hirugarren ardatza (edo beste plano batean pareko taula) seinalea berarekin (auto), gurutzatua Energia finituko Potentzia finituko ez-periodiko Periodiko Energia Exy ≡ ∫∀tx(t)⋅y*(t)⋅dt

Exy = 1/2π∫∀ωSxy(ω)dω ∞

dttytxT

limPTT

xy ⋅⋅≡ ∫∗

∞→)()(

1

( ) ωωπ ω

dGP xyxy ⋅= ∫∀2

1

Potentzia 0

dttytx

TP

oTo

xy ⋅⋅= ∫∗ )()(

1

∑ ∗⋅=n

nnxy baP

Energi espektru dentsitatea

Sxy(ω) ≡ X(ω)⋅Y∗(ω) ∞

( ) ( ) ( )T

YXlimG TT

Txy

ωωω∗

∞→

⋅=

Potentzia espektru dentsitatea

0

( ) ( )02 ωωδπω nbaGn

nnxy −⋅⋅= ∑ ∗

( ) dttytxT

limRTT

xy ⋅⋅+≡ ∫∗

∞→)()(

1 ττ

( ) dttytxRxy ⋅⋅+≡ ∫∀∗

τττ )()( Korrelazioa

( ) dttytxT

RoT

o

xy ⋅⋅+= ∫∗ )()(

1 ττ

( ) τωτ 0jn

n

nnxy ebaR ∑ ⋅⋅= ∗


3. Denbora diskretuko seinale eta sistemen espektro analisia

3.1 Sarrera

Seinale diskretuen Fourier serie deskonposaketa aztertuko dugu, ondoren Fourier transformatua ikusteko.

3.2 Sekuentzia diskretu periodikoak

Aurreko "Periodiko – ez-periodiko sailkapena" atalean esan den bezala sekuentzia diskretua periodikoa da hau betetzen badu ∃ N -/- x[n]=x[n+N] ∀ n Lehen gaian 1.2.4 atalean ondorio hau atera genuen esponentzial diskretua periodikoa bada ⇐⇒ x[n] = ejm(2π/N)n

m,N osoak

3.2.1 Fourier Serie diskretua

harmonikoki erlazionaturiko esponentzial konplexuak atalean esan den bezala seinale diskretu periodiko batek harmoniko kopuru finitua dauka. Beraz seinale diskretu periodikoa Fourier serieko osagaien batura bezala idazten badugu (oinarrizko frekuentzia gehi armoniko guztien konbinaketa lineala) :

[ ] [ ] ∑∑=

∞

−∞==⇒=

Nk

nN

jk

k

k

nN

jk

k eanxeanx

ππ 22

∀n N armoniko ezberdin baino ez daudelako.

k = <N> ikurrak N koefiziente hartzen ditugula esan nahi du k = 0, 1, ..., N-1

k = 3, 4, ..., N+2 edo beste edozein N luzerako sekuentzia. Deskonposaketa hori Fourier Serie Diskretua da, DFS. ak koefizienteak kalkulatzeko x[n] seinalearen periodo bateko balio bakoitzetik ekuazio bat lortzen da

[ ] ∑∑==

==Nk

k

Nk

Njk

k aeax0

2

0

π

[ ] ∑=

=Nk

Njk

keax

π2

1

[ ] ∑=

=Nk

Njk

keax2

2

2

π

...

[ ] ( )∑=

−=−

Nk

NN

jk

keaNx1

2

1

π

Guztira N ekuazio, N balio ezezagunekin ak ebatzi daiteke. Baina beste bidea, errazagoa, emaitza hau dela egiaztatzea da:

[ ] ( )∑=

−=Nn

nNjk

k enxN

a /21 π k=0,1,...,N-1

Odezkatuz x[n]-ren serie konposaketa [ ] ∑=

=Nk

nN

jk

keanx

π2

[ ] ( )∑=

−=Nn

nNjk

k enxN

a /2? 1 π k-ren ordez l erabiliko dugu indize biak nahastu ez daitezen

( ) ( )∑ ∑ ∑∑= = =

−−

=

=

Nn Nk Nn

nN

lkj

k

nNjl

Nk

nN

jk

k eaN

eeaN

ππ

π 2

/2

211

=...

Barruko batukarian N fasore daude, beraien artean (k-l)2π/N angelua desfasatuak. Hau da, zirkunferentzian simetrikoki banatuak daude, beraz batura zero da. (k-l) = 0 deneko kasu berezia izan ezik, orduan fasore guztiak 1 balio dute eta baturak N.

... ll aNaN

== 1 q.e.d

Ariketatxo laburrak: • sin(2π/5·n) sekuentzia irudikatu, bere

Fourier Serie Diskretuaren ak koefizienteak kalkulatu eta grafikoki adierazi.

• sin(3·2π/5·n) sekuentziaren DFS kalkulatu. Irudikatu biak, seinalea eta DFSa.

• Batukari delta: N unero errepikatzen diren inpultsoz osaturiko seinalea esponentzial konplexuen batura bezala adierazi. Irudikatu DFSa.

3.3 Sekuentzia diskretuen Fourier transformatua

3.3.1 Sekuentzia ez-periodikoen Fourier transformatua

Ikuspuntu bitatik: Fourier seriearen limitea periodoa handitzerakoan edo esponentzial konplexua autofuntzioa dela ikusirik.

Lehen ikuspuntua: Fourier serie deskonposaketa (ez-periodikoentzako frekuentzia ez harmoniko, ez multiploekin, integralaz orokortuz). N ∞ Σk ∫dΩ

k2π/N Ω k dΩ Denbora jarraian egindakoan bezala esponentzial konplexuen erantzuna aztertzen badugu

x[n] = zn h[n] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑

∀

−

∀

−∞

−∞=

⋅==⋅−=∗=k

kn

k

kn

k

khzzkhzkhknxnhnxny

y[n] = zn H(z)

zn esponentzial konplexua autofuntzioa dela ikusten dugu. Funtzio bera irtetzen da

sistematik, indarra bakarrik aldatu du. H(z) autobalioa, konstantea denborarekiko. z balio bakoitzeko esponentziala nola haztatzen (ponderatzen) den ematen digun formula, Z

transformatua da: ( ) [ ]∑∀

−=k

k khzzH

z Z transformatua H(z) z = e

jΩ Fourier transformatua H(ejΩ), errezago adierazteko H(Ω)

Adibidez N = 3 ( ) nlkj

e 3

2π−

k-l=1

k-l=2

k-l=0


Periodikoa da: H(ej(Ω+2π)) = H(e

jΩ⋅ej2π) = H(e

jΩ)

( ) ( ) [ ] [ ] [ ]∑∑∑∀

Ω−

∀

−Ω

=∀

−=

====ΩΩ

Ω

k

kj

k

kj

ezk

k

ezekhkhekhzzH

j

jH

[ ] ( ) [ ]∑∀

Ω−=Ω↔n

njF

enxXnx

( ) [ ] ( )∫ ΩΩ=↔Ω Ω−

ππ 22

11

deXnxX njF

ejΩi osagai bakoitza H(Ωi) balioaz ponderatzen da sistema iragatzen duenean eta guztiak

batuz y[n] daukagu , X(Ω)H(Ω)-ren alderantzizko transformatua. Sistemaren transferentzia funtzioa H(Ω)=Y(Ω)/X(Ω) Sistema egonkorra <--> H(Ω) serieak konbergitzen du Ariketaxoa : x[n] sarturik x[n-m] ematen duen sistemaren Z transformatua kalkulatu Erantzuna: Bide pare bat. errezena zn osagaia sarturik, erantzuna zn-m da = znz-m x[n] = z

n y[n] = z

n-m = zn⋅z-m = zn⋅H(z) autofunzioa⋅autobalioa H(z) = z-m

Beste bidea, aurretik h[n] kalkulatu eta gero transformatu. Inpultso erantzuna kalkulatzeko bide bi. Bata galdera honi erantzunez: Zein da x[n] seinalearekin konboluzionatzean x atzeratua ematen duen seinalea? Delta atzeratua, konboluzioaren elementu neutroa. Bestea errazago, sisteman Inpultsoa δ[n] sartuz irtetzen dena Inpultso erantzuna da h[n] x[n] x[n-m] δ[n] δ[n-m] Transformatzeko ( ) [ ] [ ] m

k

k

k

k zmkzkhzzH −

∀

−

∀

− =−== ∑∑ δ

Sintesi ekuazioa, alderantzizko transformatuaren formula, zuzena dela frogatzen: Sintesi-analisi, transformatu-antitransformatu, ekuazio bikotea hau bada

[ ] ( ) [ ]∑∀

Ω−=Ω↔n

njF

enxXnx

( ) [ ] ( )∫ ΩΩ=↔Ω Ω−

ππ 22

11

deXnxX njF

orduan bata bestean ordezkatuz identitatea lortuko dugu. Pausuak:

F ordezkatu F-1 ekuazioan, bietako n aldagaia nahastu ez dadin F ekuazioan nm Batukaria eta x integraletik atara

[ ] ( ) [ ] [ ] =Ω=Ω=ΩΩ= ∫∑∫ ∑∫−Ω−

∀

Ω

∀

Ω−Ω

πππ πππ 2

)(

22 2

1

2

1

2

1demxdeemxdeXnx mnj

m

nj

m

mjnj

Integralak esponentzial ezberdinen arteko energia gurutzatua, norma, produktu eskalarra kalkulatzen du. Emaitza 0 da m=n denean izan ezik (aurreko gaietan hainbat aldiz ikusi dugun antzera). m=n denean e0 = 1 integratzen da 2π tartean 2π Beraz, batukariko ia termino guztiak 0 dira, bakarra gelditzen da m=n-garrena:

[ ] [ ]nxnx =⋅= ππ

22

1 q.e.d. Frogatuta//

Ariketaxoa: Behe-pasako iragazki ideialaren inpultso erantzuna kalkulatu, etetze frekuentzia Ωe izanik.

x[n] y[n]=x[n]∗ h[n] h[n] LTI

X(Ω) Y(Ω) = X(Ω)⋅⋅⋅⋅H(Ω) H(Ω)

F F-1

F

Ω

H(Ω)

0

1

π Ωe -Ωe

Behe pasa bezala irudikatu ohi dugu, baina ez ahaztu Ω ardatzean periodikoa dela: Alderantzizko Fourier transformatua:

[ ] ( ) ( )πππππππ π

nsinc

n

nsinnsin

nee

jndedeHnh ee

e

ee

e

njnjnjnj eee

e

ΩΩ=

ΩΩΩ

=Ω=−=Ω=ΩΩ= Ω−ΩΩ

Ω−

ΩΩ∫∫

11

2

1

2

1

2

1

2

h[n] une negatiboetan ere agertzen da sistema ez da kausala Praktikan ezin da egin. Baia trikimailu batekin antzekoa lortzen da, inpultso erantzuna denboran mugatu, urrutiko balioak txikiak direlako, n∞ sinc0 eta denboran atzeratu kausala izan arte. Erantzuna "erretardoarekin" agertuko da. Adibidea: (-1)n balioagatik biderkatzea frekuentzian desplazatzea da. Pasu-behea goi-pasua bilakatzen da. (-1)

n seinalea frekuentzia maximokoa da. Ariketatxoa: Laukizuzenaren transformatua kalkulatu, bikoitia, N1-erainokoa. Erantzuna: Sinc periodikoa Sin/sin

3.3.2 Sekuentzia periodikoen transformatua

Sekuentzia periodikoen espektroa Fourier seriearen bidez aztertu genuen, baina interesgarria da transformatuaren bidez aztertzea, horrela transformatuarekin seinale guztiak azter ditzakegu.

Esponentzial konplexuaren transformatua pultsu bakarra da, denbora jarraian transformatua delta da, eta hemen berdin gertatzen da. Osagai bakarrak dauka energia guztia, transformatuan ardatza (aldagaia) jarraia denez osagaiaren "zabalera espektrala" diferentziala da, beraz energia finitua izan dadin altuera infinitua behar dugu, Dirac delta.

Denbora diskretua denez, n, espektroa periodikoa da, beraz errepikatzen den delta daukagu: x[n] = e

jΩon F X(Ω) = 2πΣ∀lδ(Ω-Ω0

-2πl)

Frogatu:

[ ] ( ) ( ) ( ) =Ω−Ω−Ω=ΩΩ=Ω= ∫ ∑∫Ω

∀

Ω−

ππππδ

ππ 20

2

1 222

1

2

1deldeXXFnx nj

l

nj

Ω

H(Ω)

0

1

π Ωe -Ωe 3π 2π-Ωe 2π+Ωe 4π 4π-Ωe 4π+Ωe

Ω

X(Ω)=FejΩon

0

2π

π Ω0 3π 2π+Ω0 4π 4π+Ω0 -π -2π 2π -2π+Ω0

∫2π


Ω

X(Ω)

2π Ωk 3π/4 π/4 π/2 5π/4

a1

a2

a3≠a0

3Ωk≠ 2π

a1

2π+Ωk

a0 a0

3π/2 2Ωk

a2

Delta-k 2π distantziara daude Ω ardatzean beraz 2π tartean integratzeak delta bakarra hartzen du. Idazkera errezteko l=0-ko delta harturik, deltaren "laginketa" propietatea erabiliz, eta bere gainazala definizioz unitatea dela jakinik:

( ) ( ) ( ) njnjnjnj ededede 000

0002

22

2

12

2

1 ΩΩΩΩ =ΩΩ−Ω=ΩΩ−Ω=ΩΩ−Ω= ∫∫∫ δπππδ

ππδ

π

q.e.d. Frogatuta// Edozein (ia edozein) seinale diskretu periodiko Fourier serie bezala konposatu dezakegunez, eta osagai esponentzial bakoitzaren transformatua delta seguida periodikoa denez, seinale osoaren transformatua delta multzo errepikatua da (edo delta errepikatuen multzoa).

[ ] ∑=

Ω=Nk

nj

kkeanx F ( ) ( )∑ ∑

= ∀

−Ω−Ω=ΩNk l

kk laX ππδ 22

Seinalea periodikoa bada Ωk=2π/N ==> 2πl = NΩk hau da, espektruko errepikapen periodikoetako deltak frekuentzia armonikoen multiploetan agertzen dira. Ondorioz aurreko adierazpena sinplifikatu daiteke:

( ) ∑∞

−∞=

−Ω=Ωk

kN

kaXπδπ 2

2 N koefiziente ezberdin baino ez ditugula jakinik betiere,

ak+N ≡ ak delako.

Seinale sasiperiodikoak Delta multzo errepikatua bai baina azken batukari bakarrarekin adierazi ezin daitezken X(Ω) espektruak ere imagina ditzakegu, 2π periodoaren frakzio ez diren frekuentzietan osagaiak dituena. Horrelako seinaleak ez dira periodikoak Ωk ≠2π/N Denboran begiratuta enbolbentea periodikoa baina seinale diskretua ez. Enbolbenteak ez dauka periodo osorik.

Ω

X(Ω)

0 π 3π 2π+Ωk 4π -π -2π 2π

2πa1

Ωk

2πa0 2πa2 2πa-1

2πa-2

2πa-N+1

-2π+Ωk

2πa-N 2πa-N-1

2πa-N-2

2πaN+1

2πaN 2πaN+2 2πaN-1

2πaN-2

2πa2N+1

4π+Ωk

2πa2N

l=0 l=1

l=2 l= -1

a-N+1=a1=aN+1=a2N+1

ak=alN+k

Adibidea: x[n] = cosΩ0n F X(Ω) = Σ∀lπ[δ(Ω-Ω0-2πl)+δ(Ω+Ω0-2πl)] Irudikatu cosinuaren delta bikotea...periodikoki errepikaturik Adibidea proposatu: Laukizuzen periodikoaren transformatua kalkulatu, bikoitia,

N1-erainokoa, N periodokoa. Fourier koefizienteen formula seinale berezi hau ordezkatuz:

( )

N

k

N

Nn

nN

jk

k

sin

Nsin

Ne

Na

π

π

=Ω

−=

−

Ω

Ω+== ∑

2

212

11 12

1

1

Aurreko ariketan ebatzitako serie geometrikoaren emaitza bererabili dugu (sinc periodikoa). Ikuspuntu berria azalerazten da,

"seinale periodikoaren espektrua periodo baten espektru lagindua da"

3.3.2.1 Laburpen taula

denboran periodikoa p.t ⇒ frekuentzian "diskretua" d.ω frekuentzian periodikoa p.ω (Ω) ⇒ denboran diskretua d.t [n] denbora

t, n ez-periodikoa Periodikoa

jarr

aia,

t ez-periodikoa, ω

disk

retu

a, n

periodikoa, Ω

jarraia "diskretua" frekuentzia

ω, Ω Frekuentzian "diskretua" esateak ez dauka denboran diskretua esateak daukan esannahia. Ez du esan nahi Ω aldagaiaren balio osoak bakarrik erabiltzen direla, ( n∈N baina oraindik Ω∈R ). Kasu honetan "diskretua"-k esan nahi du X(Ω) espektruak Ω aldagaiaren balio jakin batzuetan bakarrik daukala indarra (delta batean kontzentratua), beste guztietan zero da.

3.3.3 Seinale diskretuen Fourier transformatuaren propietateak

x[n] F X(Ω)

3.3.3.1 Periodikoa da

H(z) z = ejΩ Fourier transformatua H(ejΩ), errezago

adierazteko H(Ω)

Periodikoa da: H(Ω+2π) H(e

j(Ω+2π)) = H(e

jΩ⋅ej2π) = H(e

jΩ) H(Ω)

Z planoa

Erreala

Irudikaria

z=ejΩ

Ω=0

Ω=2π Ω=π

X(ω)

ω

t

x(t) x(t)

t

X(Ω)

Ω

n

x[n]

X(ω)

ω

n

x[n]

n

X(Ω)

Ω


3.3.3.2 Linealtasuna

x1[n] F X1(Ω)

x2[n] F X2(Ω)

a⋅x1[n] + b⋅x2[n] F a⋅X2(Ω) + b⋅X2(Ω)

3.3.3.3 Simetriak

Guztiak kalkulatzen dira hau jakinik [ ] ( ) [ ]∑ Ω−=Ω↔n

njenxXnx

x[-n] X(-Ω)

x∗[n] X

∗(-Ω)

Seinale erreala x[n] = x*[n] X(Ω) = X

*(-Ω) simetria hermitikoa

Seinale bikoitia x[n] = x[-n] X(Ω) = X(-Ω) simetria bikoitia Seinale bakoitia x[n] = -x[-n] X(Ω) = -X(-Ω) simetria bakoitia Seinale erreala eta bikoitia X(Ω) = X

*(-Ω) = X(-Ω) erreala eta bikoitia

Seinale erreala eta bakoitia X(Ω) = X*(-Ω) = -X(-Ω) irudikaria eta bakoitia

Sekuentziaren

propietatea Bikoitia Bakoitia

Bikoitia Bakoitia

Erreala

Hermitikoa Bikoitia, erreala Bakoitia, irudikaria

Irudikaria

Bikoitia, irudikaria Bakoitia, erreala

3.3.3.4 Denbora atzerapena

x[n] F X(Ω)

x[n-n0] F X(Ω)⋅e-jΩno

Frogatzeko:

[ ] [ ] =−↔− ∑∀

Ω−

n

njF

ennxnnx 00 aldagai aldaketa n-n0=k [ ] ( ) 00 nj

n

njkj eXeenxΩ−

∀

Ω−Ω− Ω==∑

asken pausuan e-jΩno batukaritik atera dugu n-rekiko independientea delako, edo beste era batera esanda, batukariko termino guztien faktore komuna delako. Adibidea: Laukizuzen kausala, luzera L, n=0 unean hasten da, anplitudea A (aurretik

aztertutako laukizuzen bikoitia atzeratua)

3.3.3.5 Frekuentzi desplazamendua/translazioa

x[n] F X(Ω)

x[n]⋅ejΩon F X(Ω-Ω0)

Frogatzeko: ( ) ( ) =ΩΩ−Ω↔Ω−Ω ∫Ω

−

ππ 200

2

11

deXX njF

aldagai aldaketa

Ω=ΩΩ=Ω−Ω'

'

0

dd

( ) [ ] njnjnj enxdeeX 00'

2

''

2

1 ΩΩΩ ⋅=ΩΩ= ∫ ππ

Adibidez Modulazioa: y[n] = x[n]cosΩ0n

3.3.3.6 Konboluzioa

y[n] = x[n] ∗ h[n] F Y(Ω) = X(Ω)⋅⋅⋅⋅H(Ω)

Y(Ω) = [ ] [ ] [ ] [ ] =−=

− ∑∑∑ ∑

∀

Ω−

∀∀

Ω−

∀ n

nj

kn

nj

k

eknhkxeknhkx

Denborako desplazamendu propietatea erabiliz h[n-k]=h(Ω)e-jΩk

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )Ω⋅Ω=⋅Ω=Ω= Ω−

∀

Ω−

∀∑∑ YHekxHeHkx kj

k

kj

k

// Frogatuta

3.3.3.7 Biderketa, Konboluzioa frekuentzian

x[n]⋅y[n] F (1/2π)⋅X(Ω) ∗Y(Ω)

3.3.3.8 Diferentziapena

Denbora diskretuko seinalea denez, deribatuaren ordez 1. diferentzia erabiltzen da hazkundea neurtzeko. Deribazioaren kontzeputua gogoratuz:

Denbora jarraiko seinalean deribatua da ( )

dt

dx

t

txlimt

=∆

∆→∆ 0

Deribatuak esaten digu funtzioa zenbat aldatzen den aldagaiak pixka bat aurrera

egiten duenean( )x

xflimtxikienax ∆

∆→∆

Denbora diskretuko seinalean lehen diferentzia

da [ ] [ ] [ ]11

−−=∆nxnx

nx

x[n] - x[n-1] F X(Ω)(1-e

-jΩ)

Denbora atzerapenaren propietatea erabiliz aurreko emaitza zuzenean frogatzen da.

3.3.3.9 Frekuentzian deribatzea

n⋅x[n] F jdX(Ω)/dΩ Ω, frekuentzia aldagaia jarraia denez, frekuentzia guztiak direnez posible, orain deribatua erabiltzen dugu. Frogatzeko:

( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] nnxjFennxjejnnxed

dnxenx

d

d

d

dX

n

nj

n

nj

n

nj

n

nj −=−=−=Ω

=

Ω=

ΩΩ

∑∑∑∑∀

Ω−

∀

Ω−

∀

Ω−

∀

Ω−

3.3.3.10 Integrazioa, Metaketa

[ ] ( ) ( ) ( )∑∑∀

Ω−∀

−Ω+−

Ω↔k

j

Fn

k

kXe

Xkx πδπ 20

1

Lehen terminoa hori dela frogatzeko ikuspuntu bat: Lehen diferentziaren alderantzizko

eragiketa denez, biderkatzen zegoen (1-e-jΩ) faktorea orain zatitzen agertzen da.

D

x[n]

⊕⊕⊕⊕ -

x[n-1]

d[n]=x[n]-x[n-1]


Metaketa 1. diferentziaren alderantzizkoa dela ikusteko 1.diferentziaren bloke diagramari buelta ematen diogu, "ispiluan begiratuz": Orain ezkerrean daukagun d[n] sarrera da, eta eskumarantza doa seinalea (eta fletxak): x[n]=d[n]+x[n-1]

x[n-1]=d[n-1]+x[n-2]

x[n-2]=d[n-2]+x[n-3]

...

x[n]=d[n]+d[n-1]+d[n-2]+...= [ ] [ ] [ ]∑∑∑−∞=

−∞

=

∞

=

==−n

knkk

kdkdknd0

//Frogatuta, x[n] seinalearen lehen diferentziaren metaketa seinalea bera da.

Metaketaren transformatua goian idatzitakoa dela frogatzeko beste ikuspuntu bat bloke diagrama hori erabiliz lor dezakegu. X(Ω) = D(Ω) + X(Ω)e

-jΩ

D(Ω) = X(Ω) - X(Ω)e-jΩ = X(Ω)(1-e

-jΩ)

( ) ( )Ω−−

Ω=Ωje

DX

1

Arazotxoa Ω=0 balioan agertzen da ( ) ( ) ( ) ( ) ∞→=−

=−

= − 0

0

11

0

1

00

0

DD

e

DX

j

d[n] seinalearen osagai zuzena nulua ez bada orduan bere metaketa infinitora doa, delta eragiten du frekuentzia aldagaiaren jatorrian, hasierako espresioaren bigarren terminoa πD(0)δ[n] periodikoa izan behar denez Σ∀kπD(0)δ[n-2πk]

Termino biak bilduz, hasierako espresioa daukagu [ ] ( ) ( ) ( )∑∑∀∀

Ω− −Ω+−

Ω↔kk

j

F

kDe

Dkd πδπ 20

1

x[n] seinalearen ordez d[n] metatu dugularik. Eskala aldaketa Klasearako 2. ariketarekin

3.3.4 Seinale diskretuen Korrelazioa eta espektroa

3.3.4.1 Energia finituko seinaleak

1. Energia

x[n] seinalearen energia [ ]∑∀

=n

x nxE2

<∞ finitua izan behar da.

x[n] eta y[n] seinaleen arteko energia gurutzatua [ ] [ ]∑∀

∗=n

xy nynxE

D

x[n]

⊕⊕⊕⊕ - x[n-1]

d[n]=x[n]-x[n-1]

D

x[n]=d[n]+x[n-1]

⊕⊕⊕⊕ +

x[n-1]

d[n]=x[n]-x[n-1]

Sistema ber-elikatua da, eta ondorioz IIR, Inpultso Erantzun Infinitukoa. Bereziki δ[n]=u[n]

D

X(Ω)=D(Ω)+X(Ω)e-jΩ

⊕⊕⊕⊕ +

X(Ω)e-jΩ

D(Ω)

2. Korrelazioa

Seinale bi konparatzeko diferentziaren modulu karratuaren baturak balio duela badakigu. Seinale bat mugituz distantzia hori desplazamendu parametruaren funtzio bezala kalkulatuko dugu. d[m] = Σ∀n|x[n+m]-y[n]|

2 = Σn(x[n+m]-y[n])(x[n+m]-y[n])

* =

Σ|x[n+m]|2 + Σ|y[n]|2 + Σx[n+m]y*[n] + Σy[n]x*[n+m] = Lehen termino biak x[n] eta y[n]–ren energiak dira. Hirugarren terminoarekin korrelazioa definitzen dugu: Rxy[m] ≡ Σ∀nx[n+m]⋅y*[n] x[n] eta y[n]-ren arteko korrelazio gurutzatua Aldagia aldaketa baten bidez ikusten da Rxy[m] = Σ∀nx[n]⋅y*[n-m] dela aurreko laugarren terminoa = Ryx[-m] d[m] = Ex + Ey – Rxy[m] – Ryx[-m] Gainera x[n] eta y[n] errealak badira Ryx[-m] = Rxy[m] beraz guztiak bilduz: d[m] = Ex + Ey – 2⋅Rxy[m] zenbat eta korrelazio handiago are eta distantzia gutxiago. Adibidez: x[n] = 1, 1, 1 ; y[n] = 0, 0, 1, 2, 1 Emaitza Rxy[m] = 1, 3, 4, 3, 1, 0 maximoa m=-3 desplazamenduarekin agertzen da. Grafikoki argi ikusten da, x[n-3] y[n]-ren gainean dagoelako. Seinale bat berarekin korrelatzeari autokorrelazioa deitzen diogu Rx[m] ≡ Σ∀nx[n+m]⋅x*[n] Erraz frogatzen da konboluzioarekin daukan lotura: Rxy[m] = x[m]∗y*[-m] Rx[m] = x[m]∗x*[-m]

3.3.4.1.2.1 Korrelazioaren ezaugarriak

• Simetria: Rxy[m] = Ryx∗[-m] Konboluzio eran idatziz errez frogatzen da

Rx[m] = Rx∗[-m] Ez da trukakorra

Seinaleak errealak badira korrelazioa ere erreala da, orduan Rxy[m] = Ryx[-m] alderatua Autokorrelazioarekin: x erreala Rx[m] = Rx[-m] bikoitia • Energia: Rxy[0] = Exy = Σ∀nx[n]⋅y∗[n] Korrelazioa jatorrian energia gurutzatua da.

Rx[0] = Ex = Σ∀nx[n]⋅x∗[n] Autokorrelazioa jatorrian energia da. • |Rx[m]| ≤ Rx[0] = Ex Jatorrian autokorrelazioaren balio maximoa dago, hau da, seinale

batek berarekin dauka antza handiena (diferentzia txikiena) desplazatu gabe dagoenean.

3. Espektro dentsitatea

Sx(Ω) ≡ FRx[m] = Fx[m]∗x*[-m] = X(Ω)⋅X∗(Ω) = |X(Ω)|

2 Sx(Ω) = |X(Ω)|2

Ex = Rx[m]|m=0 = F-1Sx(Ω)|m=0 = (1/2π)∫2πSx(Ω)dΩ

Ex = Σ∀n|x[m]|2 = (1/2π)∫2π|X(Ω)|

2dΩ

Sxy(Ω) ≡ FRxy[m] = Fx[m]∗y*[-m] = X(Ω)⋅Y∗(Ω) Sxy(Ω) = X(Ω)⋅Y∗

(Ω) Exy = Σ∀nx[m]⋅y*[m] = (1/2π)∫2πX(Ω)⋅Y∗

(Ω)dΩ

h[m] h∗[-m] Ryx[m] Rx[m] Ry[m]

Syx(Ω) Sxx(Ω) Sy(Ω) H∗(Ω) H(Ω)


3.3.4.1.3.1 Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar

h[n] inpultso erantzuna daukan sistema lineal ez aldakorraren irteeraren korrelazioa aztertuko dugu sarrerako seinalearen autokorrelazioa Rx[m] ezaguturik. Irteerako seinalearen korrelazioak sarrerakoaren autokorrelazioaren funtzio bezala idatzi nahi ditugu. Sistema egonkorra bada x[n] eta y[n] mota berekoak izango dira, hau da, x[n] energia finitukoa bada y[n] ere energia finitukoa izango da. • Sarrera eta irteeraren arteko korrelazio gurutzatua

Rxy[m] = Σ∀nx[n+m]⋅y*[n] = x[m] * y

*[-m]

Bestalde

y[m] = x[m] * h[m] beraz y∗[-m] = x∗

[-m] * h∗[-m]

Rxy[m] = x[m] * y*[-m] = x[m] * x

∗[-m]*h

∗[-m] = Rx[m] * h

∗[-m]

• Irteera eta sareraren arteko korrelazio gurutzatua

Ryx[m] = y[m] * x*[-m] = x[m]*h[m] * x

∗[-m] = Rx[m] * h[m]

• Irteeraren autokorrelazioa

Ry[m] = y[m] * y*[-m] = x[m]*h[m] * x

∗[-m]*h

∗[-m] = Rx[m] * Rh[m]

edo baita

Ry[m] = Ryx[m] * h

∗[-m]

Aurreko korrelazioen formulen Fourier transformatua eginik: Sxy(Ω) = Sx(Ω)⋅H∗

(Ω) Syx(Ω) = Sx(Ω)⋅H(Ω)

Sy(Ω) = Sx(Ω)⋅|H(Ω)|2 = Syx(Ω)⋅H∗

(Ω)

3.3.4.2 Potentzia finituko seinaleak

Energia finitua ez baina batezbesteko potentzia finitua daukaten seinale asko dago: maila unitatea, senoidalak eta beste periodikoak,...

1. Potentzia

x[n] seinalearen batezbesteko potentzia [ ]∑−=∞→ +

=N

NnN

x nxN

limP2

12

1

x[n] eta y[n] seinaleen arteko potentzia gurutzatua [ ] [ ]∑−=

∗

∞→ +=

N

NnN

xy nynxN

limP12

1

edo sinpleago [ ] [ ]∑>=<

∗

∞→=

NnN

xy nynxN

P1

lim

Seinale periodikoaren batezbesteko potentzia periodo bakarrarekin kalkula daiteke, eta

errezagoa da. x[n] seinalearen periodoa N0 izanik [ ]∑=

=0

2

0

1

Nn

x nxN

P

x[n] y[n] h[n]

Rx[m] Ry[m]

2. Korrelazioa

Potentzia finituko x[n] seinalearen korrelazioa definitzeko energia finituko xN[n] seinale laguntzailea erabiliko dugu. xN[n] seinalea n≥-N eta n≤N tartean x[n] izango da eta hortik kanpora zero, iraupen finitukoa

da. Laukizuzenarekin biderkatzen lor daiteke: xN[n] = x[n]⋅wN[n] non [ ] ≤

=besteak

NnnwN

0

1

xN[n] energia finitukoa denez energiarekin lotutako autokorrelazioaren formula erabiltzen

dugu [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑−=

∗∞

−∞=

∗ +=+=N

Nnn

NN

E

x nxmnxmxmnxmRN

Potentzia = Energia / denbora Potentziarekin lotutako autokorrelazioa lortzeko aurreko autokorrelazioa seinalearen iraupenagaitik zatitu behar da:

[ ] [ ] [ ]∑−=

∗++

=N

Nn

P

x nxmnxN

mRN 12

1 Lehioa zabalduz xN[n] x[n] R

PxN[m]Rx[m]

[ ] [ ] [ ] [ ]∑−=

∗

∞→∞→+

+=

+=

N

NnN

P

xN

x nxmnxN

mRN

mRN 12

1lim

12

1lim

Korrelazio gurutzatuarekin pareko eran: [ ] [ ] [ ]∑−=

∗

∞→+

+=

N

NnN

xy nymnxN

mR12

1lim

[ ] [ ] [ ]∑−=

∗

∞→+=

NnN

xy nymnxN

mR1

lim

Kontuz ibili behar da izena, Korrelazioa, eta Ikurra, Rxy, berdinak direlako energia finituko eta potentzia finituko seinaleekin, mota biekin, baina formula ezberdina da. Seinale periodikoekin egokiago da periodo bakarra neurtzea:

Autokorrelazioa [ ] [ ] [ ]∑=

∗+=00

1

Nn

x nxmnxN

mR

Korrelazio gurutzatua [ ] [ ] [ ]∑=

∗+=00

1

Nn

xy nymnxN

mR

3. Korrelazioaren ezaugarriak

Oharra: Propietate hauek energia finituko seinaleekin agertzen diren berdinak edo parekoak dira, baina ez ahaztu korrelazioaren formula ezberdina dela

12

1

+∞→ NlimN

terminoan.

Oraingoan konboluzioarekin geneukan lotura erreza ez da betetzen Rxy[m] ≠ x[m]∗y*[-m] • Simetria: Rxy[m] = Ryx

∗[-m]

Rx[m] = Rx∗[-m] Ez da trukakorra

Seinaleak errealak badira korrelazioa ere erreala da, orduan Rxy[m] = Ryx[-m] alderatua Autokorrelazioarekin: x erreala Rx[m] = Rx[-m] bikoitia • Potentzia: Rxy[0] = Pxy Korrelazioa jatorrian potentzia gurutzatua da.

Rx[0] = Px Autokorrelazioa jatorrian batezbesteko potentzia da. |Rx[m]| ≤ Rx[0] = Px Jatorrian autokorrelazioaren balio maximoa dago, hau da, seinale batek

berarekin dauka antza handiena desplazatu gabe dagoenean.


h[m] h∗[-m] Ryx[m] Rx[m] Ry[m]

Gyx(Ω) Gx(Ω) Gy(Ω) H

∗(Ω) H(Ω)

4. Potentzia espektro dentsitatea

Autokorrelazioa definitzeko erabilitako xN[n] seinale laguntzailearen energi dentsitate espektroa / Iraupena Potentzi dentsitate espektroa. Leihoa zabaltzen limitean x[n] seinalearen potentzia espektroa lortzen dugu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

12

1

12

1

12

1 Ω+

=Ω⋅Ω+

=Ω+

=Ω∞→

∗

∞→∞→ NN

NNN

NN

x XN

limXXN

limSN

limG

Beste bide batetik

( ) [ ] [ ] [ ] mRFmRN

limFmRFN

limG xxN

xN

x NN=

+=

+=Ω

∞→∞→ 12

1

12

1

Beraz [ ] ( )∫ ΩΩ==ππ 22

10 dGRP xxx , hau da Gx(Ω) espektroak potentzia frekuentzietan nola

banatzen den adierazten du. Bere batura integralak (zati 2π) potentzia osoa ematen du. Seinale biren arteko potentzia, korrelazio eta potentzia espektro dentsitate gurutzatuekin pareko formulak ditugu:

[ ] ( )∫ ΩΩ==ππ 22

10 dGRP xyxyxy

( ) [ ] ( ) ( )Ω⋅Ω+

==Ω ∗

∞→ NNN

xyxy YXN

limmRFG12

1

5. Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar

Sistema egonkorra bada x[n] eta y[n] mota berekoak izango dira, hau da, x[n] potentzia finitukoa bada y[n] ere potentzia finitukoa izango da. Energia finituko Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar atalean agertzen diren espresioak betetzen dira, nahiz eta frogatzeko ezin dugun konboluzioaren bide erraza erabili zeren Rxy[m] ≠ x[m]∗y*[-m]

Ry[m] = Ryx[m] * h

∗[-m] = Rx[m] * h[m] * h∗[-m] baina ≠ Rx[m] * Rh[m]

Rxy[m] = Rx[m] * h

∗[-m]

Ryx[m] = Rx[m] * h[m] Gy(Ω) = Gx(Ω)⋅|H(Ω)|

2 = Gxy(Ω)⋅H(Ω) = Gyx(Ω)⋅H∗

(Ω)

Gxy(Ω) = Gx(Ω)⋅H∗(Ω)

Gyx(Ω) = Gx(Ω)⋅H(Ω)

--

3.3.4.3 Sekuentzia periodikoen korrelazioa Fourier koefizienteak ezaguturik

Seinale periodikoa Fourier seriean deskonposa daitekeenez, potentzia, korrelazioa eta potentzia espektro dentsitatea Fourier serieko koefizienteekin kalkulatu ahal izatea espero dezakegu.

1. Potentzia

N periodoko x[n] seinale periodikoaren potentzia kalkulatzeko aurreko 3.3.4.2 Potentzia

finituko seinaleak atalean ikusi dugun formula hau da: [ ]∑=

=Nn

x nxN

P21

Formula berria aurkitzeko Fourier serieko deskonposaketarekin ordezkatuko dugu:

[ ] ∑=

=Nk

nN

jk

keanx

π2

[ ] [ ] [ ] [ ] ∑∑∑∑∑∑=

∗

=

−

=

∗

=

−∗

==

∗ ⋅=

=

⋅==

Nn

kk

Nn

nN

jk

Nk

k

Nk

nN

jk

k

NnNn

x aaenxN

aeanxN

nxnxN

P

ππ 22111

∑=

=Nn

kx aP2

Parseval-en erlazioa agertu da berriz ere. Hau da, sekuentzia periodikoaren

potentzia denborako laginen edo frekuentzia osagaien pontentzia neurtuz ezagutu dezakegu. Periodo bereko sekuentzia periodiko biren arteko potentzia gurutzatuan antzerako formula betetzen da:

[ ] [ ] ∑∑=

∗

=

∗ ⋅==Nn

kk

Nn

xy banynxN

P1

2. Korrelazioa

[ ] [ ] [ ] =

+=

⋅+= ∑∑∑∑

=

−

=

∗

=

−∗

= Nn

nN

jk

Nk

k

Nk

nN

jk

k

Nn

xy emnxN

bebmnxN

mR

ππ 2211

n' = n+m aldagai aldaketarekin, n = n'-m e-n=e-(n'-m)=e-n'em

[ ] =

= ∑∑

=

−

=

∗

Nn

nN

jkmN

jk

Nk

k enxN

eb'

'22

'1

ππ

Parentesi artekoa ak denez [ ] mN

jk

Nk

kkxy ebamR

π2

∑=

∗==

Espresio hori Fourier serie konposaketa erakoa da Sekuentzia periodikoen Korrelazioa periodikoa da

Autokorrelazioa korrelazioaren kasu berezia da y[n] sekuentzia x[n] bera denean:

[ ] [ ] [ ] ∑∑==

∗ =+=Nk

mN

jk

k

Nn

x eanxmnxN

mR

π221

3. Potentzia espektro dentsitatea

( ) [ ] ∑∑ ∑∀

∗

= ∀

∗

−Ω=

−Ω==Ωk

kk

Nk l

kkxyxyN

kba

N

lbamRFG

πδππδπ 22

22

Gxy(Ω) korrelazio gurutzatuaren espektro dentsitatea da. Ω frekuentzia ezberdin guztietakoa batuz (2π tarteko integrala) potentzia osoa daukagu.

( ) [ ]02

1

2xyxy

Nn

kkxy RdGbaP =ΩΩ=⋅= ∫∑=

∗

ππ

Seinale bakarraren PED

( ) ∑∀

−Ω=Ωk

kxN

kaG

πδπ 22

2

( ) [ ]02

1

2xx

Nn

kx RdGaP =ΩΩ== ∫∑=

ππ

Espektroaren grafikoa begiratuz eta Dentsitate espektruoan ( ) ( )Ω⋅Ω ∗XX faktorea dagoela

jakinik errez gogoratzen dugu osagai esponentzial ezberdinak korrelatugabeak direla.


Ondorioz [ ] ∑=

=Nk

nN

jk

keanx

π2

seinalearen autokorrelazioa kalkulatzeko osagai bakoitzaren

autokorrelazioa kalkulatu m

Njk

k

mN

jk

k eaea

ππ 22

2

→

eta guztiak batzea nahikoa da: [ ] ∑=

=Nk

mN

jk

kx eamR

π22

aurrerago aurkitu dugun formula bera

Seinale sasiperiodikoekin ere erabil daiteke formula bera

X

0

|a1|2 0

0

0

∫2πejnΩΩΩΩ1n⋅ejn2ΩΩΩΩ1n

= 0

2Ω1 Ω

X∗(Ω)

2π Ω1 π/2 π

a1∗

a2∗

3π/2

Ω

X(Ω)

2π

Ω1 3π/2 5π/2

a1

a2

a3≠a0 a1

2π+Ωk

a0 a0

3π

a2

0


x(t) h[n]

y(t) A/D D/A

x[n] y[n]

4. Laginketa

4.1 Sarrera

Lagintzea seinale jarraia diskretu bihurtzea da. Hau da, aldagai jarraiko seinalearen balioak une diskretuetan harturik aldagai diskretuko seinalea osatzea. Fisikoki analogikoak diren seinaleak tresneri digitalarekin erabili ahal izateko laginketa beharrezkoa da. Bereziki seinale analogikoa digitala bihurtzea (hemen kuantifikazioa barne dago). Helburu ezberdinetarako lagintzen dugu: Prozesatzeko, gordetzeko, garraiatzeko,... Seinale mota anitzekin egin ohi da: soinua, ahotsa, tenperatura, tentsioa, irudi mugikorrak zine-telebista, irudi mosaikoak,... Erabilpen gehienetan sistemaren irteera berriz analogikoa izan dadin alderantziko eragiketa egin behar da, D/A bihurketa.

4.2 A/D konbertsioa. Laginketa eta kuantifikazioa

Laginketa: xd[n] = xa(nTs) (Laginketa uniformea) Lagintze periodoa Ts Lagintze maiztasuna fs = 1/Ts Erabilpen batzutan seinale diskretu analogikoa erabiltzen da (zinean), baina gehienetan digitala nahi dugu. ==> Kuantifikazioa: Anplitude balio diskretuak hartzen ditugu xdq[n] = Qxd[n] Kuantifikazio funtzioa (uniformea edo ez uniformea)

4.3 Lagintze teorema

Esponentzial jarrai eta diskretuak honela definitu genituen x(t) = e

jωt x[n] = e

jΩn = z

n z = e

jΩ

Seinale jarraia lagintzean

x(nTs) = ejωnTs = ejΩn = x[n] Ω = ωTs izanik

Seinale laginduaren espektrua jatorrizko seinale jarraiaren espektruaren funtzio bezala kalkulatu nahi dugu. Bide bitatik: 1- Fourier antitransformatuaren formula biak parekatuz

Debora jarraian ∫∞

∞−= ωω

πω deXtx tj

aa )(2

1)(

Seinale diskretuaren balioak seinale analogikoak t=nTs uneetan dituenak dira.

[ ] ( ) ∑∫∫∞

−∞=

+

−

∞

∞−

− ====k

Tk

Tk

nTj

a

nTj

asad

s

s

ss deXdeXnTxnx/)12(

/)12(...)(

2

1)(

2

1 π

π

ωω ωωπ

ωωπ

Integrala 2π/Ts zabalerako zatien batura bezala idatzi dugu. Gero, aldagai aldaketa eginez, tartea seinalean zehar mugitu beharrean seinalea mugitzen dugu tartea finko mantenduz.

∑∫ ∑∫∞

−∞=

+

−

∞

−∞=−

−

=−==k

Tk

Tkk

T

T

nTT

kj

s

a

nTj

a

s

s

s

s

sss de

T

kXdeX

/)12(

/)12(

/

/

2

)2

(2

1)(

2

1...

π

π

π

π

πωω ωπω

πωω

π

xa(t)

t Ts 0

xd[n]

n


t

p(t)

0

1

Ts 3Ts 4Ts -Ts 2Ts

• • • • • •

ω

P(ω)

0

2π/Ts

ωs/2 3ωs/2 2ωs -ωs/2 -ωs

• • • • • •

F

xa(t)

t 0

F

ω

Xa(ω)

ωmx

A

Gainera esponentzialaren argumentuan k beti osoa denez 2πkn terminoak ez du ezer egiten. Azkenik batukaria integralean sar dezakegu, aldagai independenteak dituztelako.

∫ ∑−

∞

−∞=

−= s

s

sT

Tk

nTj

s

a deT

kX

/

/)

2(

2

1 π

π

ω ωπωπ

(1)

Denbora diskretuan [ ] ( ) =ΩΩ= ∫Ω

ππ 22

1deXnx nj

dd

Frekuentzia (pultsazio) diskretua frekuentzia jarraiarekin ordezkatuz Ω = ωTs , dΩ=dωTs , Ω=<2π> → ω=<2π/Ts>

[ ] ( ) ( ) ==ΩΩ== ∫∫ −−

Ω s

s

sT

Ts

nTj

sd

nj

dd dTeTXdeXnx/

/2

1

2

1 π

π

ωπ

πωω

ππ (2)

(1) = (2) direnez integralen barrukoa berdina da:

( ) ∑∞

−∞=

−=

k s

a

s

sdT

kX

TTX

πωω 21

2- Seinale diskretua delta segida batekin biderkatuz, xd(t) = xa(t)⋅p(t) espektroak konboluzionatu Seinalea lagintzea p(t) delta segidarekin biderkatzea da. Anplitude konstanteko delta segidaren espektroa delta segida da ere, delten arteko frekuentzia zabalera lagintze periodoaren alderantzizkoa delarik ωs = 2π/Ts

( ) ( )∑∞

−∞=−=

n

snTttp δ F ( ) ( )∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−=

−=

n

s

sn ss

nTT

n

TP ωωδππωδπω 222

Denboran biderkatzea frekuentzian konboluzionatzea da.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−∗=−∗=∗= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞= n

sa

sn

sa

s

ad nXT

nXT

PXX ωωδωωωδωωωπ

ω 11

2

1

Seinalearen transformatua delta mugituarekin konboluzionatzea transformatua mugitzea da.

Espektrua ωsn mugitua errepikatzen da. ( ) ( )∑∞

−∞=−==

n

sa

s

d nXT

X ωωω 1

Bide bietatik aurkitu dugu lagintzean espektroaren errepikapena gertatzen dela. Jatorrizko seinalearen espektroa lagintze maiztasunaren inguruan

errepikatzen da (frekuentzia positiboak eta negatiboak, biak). Lagintze periodoa txikiagotzen anplitudea handiagotzen da, jatorrizko seinalearen energia gehiago (gehiagotan) hartzen delako.

Espektrua Ω = 2π , hau da, ω = ωs frekuentziaren inguruan errepikatzen da. Ondorioz seinalea behe pasukoa bada informazioa mantentzen da, baina bestela gainezarmena, aliasing-a, solapamendua, dago. Lagintze teorema, Nyquist-en teorema edo Nyquist-en irizpidea: Behe pasako seinalea, ωmx baino frekuentzia osagai azkarragorik ez daukana, ωs abiadurarekin hartutako laginek zehazten dute hau betetzen bada

ωs > 2ωmx

Shanon, C.E. “Communication in the Presence of Noise” Proceedings of the IRE, enero de 1949, pp 10-21. “A Mathematical Theory of Communication” Bell System Technical Journal, Vol. 27, pp. 379–423, 623–656, July, October, 1948.

Nyquist, H., ; “Certain Topics in Telegraph Transmission Theory,” A.I.E.E. Trans., v. 47, April 1928, p. 617. “Certain Factors Affecting Telegraph Speed,” Bell System Technical Journal, April 1924, p. 324

Hartley, R. V. L., “Transmission of Information,” Bell System Technical Journal, July 1928, p. 535. Froga intuitiboa: cosinu bat adierazteko lagin bi behar dira gutxienez Adibidea: Laborategian A/D-D/A sistematik iragaten dugun tonuaren frekuentzia gorantza daramagunean, lagintze maiztasunaren erdia gainditzen duenean irteerako tonua berantza doa. Espektruan irudikatuz ikusten da: fs inguruko errepikapenaren ezkerreko delta tonuaren delta “nagusiaren” (jatorritik eskuinera lehena) ezkerretara pasatzen da. Adibidea: Gurdiaren gurpilak telebistan atzeraka doazela dirudi Laginketa uniformea erabili ohi dugu. Baina froga daiteke ez-uniformearekin ere informazio teoria betetzen dela: denbora unitate bakoitzean lagin kopuru minimoak informazio guztia gordetzen du behe pasuko seinaleetan. Gainezarmena egon ez dadin behe pasako iragazkia jartzen da lagindu aurretik.

Ω 0 π 3π 4π -π -2π 2ππππ

f 0 3fs/2 2fs -fs fs fs/2 -fs/2

ω

Xd(ω)

0

A/Ts

ωs/2 3ωs/2 2ωs -ωs/2 -ωs ωωωωs

• • • • • •

ωmx

xb[n] x(t) A/D

fe = fs/2 fs

~ ~

/ LPF

xb(t)


xd[n] xa(t)

n t Ts 0

4.4 D/A konbertsioa

A/D laginketa egiterakoan Nyquisten irizpidea bete bada informaziorik ez da galdu.

Jatorrizko seinale analogikoa berreskuratzeko (edo sortzeko, berreraikitzeko) errepikapen periodikoak kendu behar dira, behe pasako iragazki batekin. Iragazki ideala, laukizuzena H(ω) --F-1--> h(t)⋅sinc(ωs/2)

Funtzio interpolatzaile ideiala sinc da. Ez kausala.

Balio diskretuak zuzenen bidez interpolatu izan bagenitu, funtzio interpolatzailea hirukia izango zen. Transformatua sinc2 Espektroan filtro ez ideiala. Elektronikoki erreza S&H, lagindu eta eutsi pultsu laukizuzena da D/A konbertsio sistemaren inpultso erantzuna frekuentzian sinc. Behe pasuko iragazkia mantendu behar da. Preekualizazio iragazki digitala sar daiteke baita, edo behe pasuko

iragazkia ekualizatzailea izan daiteke ere. Mosaiko irudiekin behe pasuko iragazkia begiek ematen dute, irudiak erresoluzio nahiko badauka (bestela urruti jarriz) Zinean ere begi-burmuinak ezin ditu segundoko 25 irudi baino gehiago bereiztu irudi finko ezberdinen segida irudi mugikorra bezala somatzen dugu. Telebistan eta osziloskopioan pantailako fosforoaren remanentziak eutsi behar du irudiaren argitasuna elektroi jario bat eta hurrengoaren artean.

ω

X(ω)

0

1

ωs/2 3ωs/2 2ωs -ωs/2 -ωs ωωωωs

• • • • • •

ωmx

H(ω)

y(t) D/A

fs fe = fs/2 ~ ~

/ LPF

x[n] xi(t)

xd[n]x(t)

nt

xd[n]x(t)

nt

x(t) h[n]

y(t) D/A

fe = fs/2 fs fs

fe = fs/2

~ ~

/ ~

~ / LPF LPF

Q A/D

Argazkia: Shanon jauna


5. Fourier-en Transformatu Diskretua (DFT)

5.1 Sarrera

Tresna digitalekin seinale diskretuak behar ditugu, x[n]. Jatorriz denboran diskretuak ez direnak, x(t), lagindu egin ditzakegu, x[n] = x(nTs). Baina espektroa, X(Ω), jarraia izanik ezingo genuke digitalki erabili. Gainera fisikoki seinalearen tarte finitua bakarrik landu dezakegunez (seinale guztia ez daukagulako edota konputazionalki prozesatzeko denbora finitua daukagulako) ezinezkoa da X(Ω) = ∫∀t ebaluatzea. Horregatik DFT, Fourier Transformatu Diskretua, asmatzen da, eta IDFT, Inverse DFT, Alderantzizko DFTa. Denbora eta espektro diskretuak izatearen egoera antzekoena 3.2.1 Fourier Serie diskretua puntuan ikusitakoa da: seinale diskretu periodikoa espektro diskretu periodikoa denbora

t, n ez-periodikoa Periodikoa mugatua

jarr

aia,

t ezp.tj.ω (jarraia frekuentzian) ezp.ωj.t

p.td.ω ep.ωj.t

ez- periodikoa, ω

ep.tj.ω p.ωd.t

p.tF”d”.ω p.ωd.t FSeriead.ω

periodikoa, Ω

disk

retu

a, n

m.td.ωωωω m.ωωωωd.t

Mugatua, k

jarraia "diskretua" diskretua frekuentzia

ω, Ω, k

5.2 DFT eta IDFTaren definizio eta interpretazioak

L luzerako x[n] sekuentziaren N puntutako Fourier Transformatu Diskretua, DFTN, definituko dugu

[ ] [ ] [ ]∑−

=

−≡=

1

0

2N

n

N

knj

N enxnxDFTkX

π

k = 0, 1, 2, ...N-1

N puntutako Alderantziko Fourier Transformatu Diskretoa, IDFTN:

x[n]

L-1 0 N-1

X[k]

0 N-1

DFTN

X(ω)

ω

t

x(t) x(t)

t

X(ω)

ω

X(Ω)

Ω

n

x[n] n

x[n]

n

n

x[n]

0 X[k]

k N-1 0

ak

k 0

a0 a1

aN-1

X(Ω)

Ω

[ ] [ ] [ ]∑−

=

≡=1

0

21 N

k

N

knj

N ekXN

kXIDFTnx

π

n = 0, 1, 2, ...N-1

Aurreko definizioekin x[n] = IDFT

NDFT

Nx[n] betetzen dela froga daiteke:

[ ] [ ] [ ]( )

∑ ∑∑ ∑∑−

=

−

=

−−

=

−

=

−−

==

=

=

1

0

1

0

21

0

21

0

21

0

2111 N

m

N

k

N

mnkjN

k

N

knjN

m

N

kmjN

k

N

knj

emxN

eemxN

ekXN

ππππ

2πk/N angeluaren multiploa daukaten N fasoreak batzean k=0,1,.., N-1 beraien artean anulatzen dira (frekuentzia ezberdineko esponentzialak inkorrelatuak direneko betiko emaitza). n=m denean bakarrik ez da zero, baizik N aldiz 1.

[ ] [ ]nxNnxN

=⋅= 1

x[n]-ren luzera N baino txikiagoa izan behar da, bestela N. (enegarren) puntua eta ondorengoak galdu egingo ditugu X[k] DFTaren formulan ez bait dira erabiltzen. Moztutako sekuentzia berri horren DFT kalkulatzen ari gara. Interpretazioak ♦ Sekuentzia periodiko baten Fourier seriezko garapen aren koefizientearekin lotura: N periodoa duen xp[n] sekuentzia periodikoa Fourier serie koefizienteen formula

[ ] ( )∑=

−=Nn

nNjk

pk enxN

a /21 π k = 0,1, ..., N-1 eta konposaketa formula [ ] ∑=

=Nk

nN

jk

kp eanx

π2

∀n

DFT eta IDFT formulekin konparatuz hau esan dezakegu n = 0, 1, 2, ...N-1 tartean ak = 1/N⋅X[k] =1/N⋅DFTNx[n] k = 0, 1, ... N-1 xp[n] = Σl x[n-l⋅n] “xp[n] = x[n] seinalearen luzpen/errepikapen periodikoa da”

DFTa seinalearen pareko seinale periodikoaren Fourier seriea “da”.

[ ] [ ]∑−

=

=1

0

21 N

k

N

knj

p ekXN

nx

π

∀n

♦ sekuentzia baten espektroa lagintzearekin lotura:

L ≤ N luzerako sekuentzia

DFTa seinalearen espektrua lagintzen lortzen da. X[k] = DFT

Nx[n] = X(Ω)|Ω=2πk/N k = 0, 1, ..., N-1

Ω ardatzeko 2π zabalerako periodo batean N lagin hartzen ditu DFTak. Espektroa lagintzeak denboran errepikapena dakar X(Ω) X[k] ⇒ x[n] xp[n]

⋅Σδ ⇒ ∗Σδ Zenbat eta lagin gehiago frekuentziako 0-2π tartean are eta zehaztasun gehiago, baina... N = L lagin hartzea nahikoa da informazio guztia gordetzeko.


Adibidea Laukizuzena, L=10, N=50, 100 edo 10

L ≥ N luzerako sekuentzia

L ≥ N luzerako sekuentzia denean - Espektroa lagintzean denbora eremuan aliasing-a dago.

X[k] = DFTNx[n] ¿=? X(Ω)|Ω=2πk/N = ( ) [ ]

Nkn

njenxX/2π=Ω∀

Ω−∑=Ω =

= [ ] [ ] [ ] ......12 21

0

21 2

++++ ∑∑∑−

=

−−

=

−−

−=

− N

Nn

N

knjN

n

N

knj

Nn

N

knj

enxenxenx

πππ

= [ ]∑ ∑∀

−+

=

−

l

NlN

lNn

N

knj

enx1 2π

= [ ]( )

∑ ∑∀

−

=

−−

−

l

N

n

N

lNnkj

elNnx1

0

2π

= [ ]∑ ∑−

=

−

∀

−1

0

2N

n

N

knj

l

elNnx

π

= [ ]∑−

=

−1

0

2N

n

N

knj

p enx

π

non [ ] [ ]∑∀

−=l

p lNnxnx

…= DFTNxpN[n] non xpN[n] seinalea x[n]-ren N periodoko errepikapen periodikoa da,

k = 0, 1, ..., N-1 - Beste bidea lehiokatzea da. Adibidea x[n]= 1, 2, 3, 4, 5, 6 seinalearen Fourier Transformatuan 4 lagin hartzen didtugu Ωk=2πk/4 non k=0, 1, 2, 3 . Zein da bere DFT4 lau puntu horiek diren sekuentzia? Adibidea x[n]= a

nu[n]

5.3 Eragiketak eta Propietateak

Atzerapen zirkularra

[ ] [ ][ ]

<−∀+−≥−∀−

=−0

0mod,

knnNknx

knnknxNknx

Denbora inbertsio zirkularra x[-n, mod N] = x[N-n] 0 < n ≤ N-1 x[-0, mod N] = x[0]

5.3.1 Linealtasuna

Sekuentzia biren konbinaketa linealaren DFTa, seinale bakoitzaren DFTaren konbinaketa bera da.

x1[n] DFTN X1[k]

x2[n] DFTN X2[k]

a⋅x1[n] + b⋅x2[n] DFTN a⋅X1[k] + b⋅X2[k] ∀ a, b

5.3.2 Denbora alderanzketa

x[n] DFT

N X[k] k = 0, 1, ..., N-1

x[-n, mod N] DFTN X[-k, mod N]

5.3.3 Denbora atzerapen zirkularra

x[n-l, mod N] DFT

N X[k]⋅e-j2πkl/N

Frogatzeko DFTaren formulan x[n-l, mod N] ordezkatu, gero batukaria bitan banatu: n=0,..,l-1 x[n-l+N] Aldagai aldaketa m=n-l+N n=l-1, …, N-1 x[n-l] Aldagai aldaketa m=n-l Eta batukari biak berriz batean bildu daitezke.

5.3.4 Frekuentzia atzerapen zirkularra

x[n]⋅ej2πln/N

DFTN X[k-l, mod N]

5.3.5 Konjokatuak

x

∗[n] DFT

N X

∗[N-k] = X

∗[-k, mod N]

x∗[-n, mod N] DFT

N X

∗[k]

5.3.6 Konboluzio zirkularra

Konboluzio propietatea (konboluzioa denboran biderketa frekuentzian) beteko duen konboluzio zirkularra definitu behar da:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =

⋅

=⋅=⋅ ∑ ∑∑∑

−

=

−

=

−−

=

−−

=

1

0

21

0

21

0

21

0

211 N

k

N

knjN

l

N

kljN

m

N

kmjN

k

N

knj

N eelyemxN

ekYkXN

kYkXIDFT

ππππ

[ ] [ ]( )

∑ ∑∑−

=

−

=

−−−

=

==1

0

1

0

21

0

...1 N

m

N

k

N

mlnkjN

l

elymxN

π

n = 0, 1, ..., N-1

Hirugarren batukaria zero da gehienetan, edo N hau betetzen denean: (n - l - m) = p⋅N ∀p osoa, hau da, Nren multiploa denean. Beraz, m kanpoko batukariak finkatu duenez, l = n – m - pN

[ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑∑ ∑−

=

∞

−∞=

⇓∀−

=

−

=−−

−−=−−⋅=1

0

1

0

1

0

1...

N

m p

pN

m

N

pNmn

pNmnymxpNmnyNmxN

n = 0, 1, ..., N-1

Espresio hori x[n] eta y[n] seinalearen errepikapen periodikoaren arteko konboluzioa da x[n]∗yp[n] n = 0, 1, ..., N-1 Horrela definitzen dugu konboluzio zirkularra. Errepikapen periodiko desplazatuaren [0,N) puntuak hartzea atzerapen zirkularra egitea denez yp[n] erabili gabe definitu dezakegu konboluzio zirkularra

x[n] y[n] = [ ] [ ]∑−

=−⋅

1

0

mod,N

m

Nmnymx n = 0, 1, ..., N-1

Adibidea: x1[n] x2[n] non x1[n] = 2, 1, 2, 1 eta x2[n] = 1, 2, 3, 4

N

N


5.3.7 Korrelazio zirkularra

x[n] eta y[n] seinaleen arteko korrelazio gurutzatu zirkularraren definizioa:

[ ] [ ] [ ]∑−

=

∗⋅+≡1

0

mod,N

n

N

xy nyNmnxmR

Hau betetzen da: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]NmymxNmnynxmRN

n

N

xy mod,mod,1

0

−Θ=−⋅= ∗−

=

∗∑

[ ] [ ] [ ]kYkXmR

NDFTN

xy

∗⋅→

[ ] [ ] 2kXmR

NDFTN

x →

5.3.8 Biderketa denboran

x[n]⋅y[n] DFTN X[k] Y[k]/N

5.3.9 Parseval-en teorema

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∑−

=

∗−

=

∗ ⋅=⋅1

0

1

0

1 N

k

N

n

kYkXN

nynx

Frogatzeko Aurrerago ikusi dugun korrelazio gurutzatuaren DFTaren adierazpena harturik, X[k]⋅Y*[k], alderantzizko DFTa eginez:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑−

=

∗∗ ⋅⋅≡⋅=1

0

21 N

k

N

knj

NN

xy ekYkXN

kYkXIDFTnR

π

Energia gurutzatua, korrelazio gurutzatua jatorrian denez

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑−

=

∗−

=

⋅∗

−

=

∗ ⋅=⋅⋅==⋅1

0

1

0

021

0

110

N

k

N

k

N

kj

N

xy

N

n

kYkXN

ekYkXN

Rnynx

π

Seinale bakarrarekin [ ] [ ]∑∑−

=

−

==

1

0

21

0

2 1 N

k

N

n

kXN

nx

5.3.10 Simetria

Ikusi dugu: x[n] DFT

N X[k]

x[-n, mod N] DFTN X[-k, mod N]

x∗[n] DFT

N X

∗[-k, mod N]

Simetria bikoiti edo bakoitia n=0 unearen ezkerra eta eskuma konparatuz aztertzen da...baina x[n] balioak N luzera zirkunferentzia baten jarri ondoren. Bikoitia x[n] = x[-n, mod N] = x[-n, mod N] 0 ≤ n ≤ N-1 Bakoitia x[n] = -x[-n, mod N] = -x[-n, mod N] 0 ≤ n ≤ N-1

x[n] Bikoitia x[n] = x[–n,mod N] Bakoitia x[n] = –x[–n,mod N]

N

x[0]

x[1]

x[2]

x[3] x[4]

x[5]

x[6]

x[7]

x[8] x[10] x[9]

x[11]

N=12

X[k] Bikoitia X[k] = X[–k,mod N] = X[N-k]

Bakoitia X[k] = –X[–k,mod N] = -X[N-k]

Erreala x[n] = x∗

[n] Simetria hermitikoa X[k] = X

∗[N–k]

Modulua bikoitia, fasea bakoitia

Erreala eta bikoitia X[k] = X[N–k] = X

∗[N–k]

Konjokatzeak ez dauka eraginik

Irudikaria eta bakoitia X[k] = X

∗[N–k] = –X[N–k]

Konjokatzean signua aldatzen da Irudikaria

X[n] = –x∗[n]

Simetria antihermitikoa X[k] = –X

∗[N–k]

Modulua bikoitia, fasea bakoitia

Irudikaria eta bikoitia X[k] = –X

∗[N–k] = X[N–k]

Konjokatzean signua aldatzen da

Erreala eta bakoitia X[k] = –X

∗[N–k] = –X[N–k]

Konjokatzeak ez dauka eraginik

x[n] erreala eta bikoitia ⇒ [ ] [ ]∑−

==

1

0

2cos

N

n N

knnxkX

π k = 0, 1, 2, ...N-1

x[n] erreala eta bakoitia ⇒ [ ] [ ]∑−

=−=

1

0

2N

n N

knsinnxjkX

π k = 0, 1, 2, ...N-1

Frogatzeko: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kXkXkXkXkNXee

nxkXN

n

N

knj

N

knj

=+=+−=

+=∑

−

=

−

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

22 ππ

5.4 DFT bidezko iragazketa lineala

DFTa seinale eta sistemekin, eta beraien espektroekin digitalki lan egiteko egokia da. Guztiak (seinalea, sistema eta hauen espektroak) luzera finituko sekuentzia diskretuak izanik. Sistemaren erantzuna sarrera eta sistemaren inpultso erantzunaren espektroak biderkatuz kalkulatzen badugu, denboran egin duguna konboluzio zirkularra da, baina kasu orokorrean ez da hori sistemaren erantzuna izango. Digitalki gordetako sekuentziek hau adierazten badute:

x[n] luzera L, x[n] = 0 n < 0 eta n ≥ L h[n] luzera M, h[n] = 0 n < 0 eta n ≥ M

orduan irteera konboluzio arrunta da, ez zirkularra,

[ ] [ ] [ ]knxkhnyk

−⋅=∑∀

bere luzera L + M – 1

orduan y[n] galtze barik adierazteko N ≥ L+M-1 balio behar dira, denboran eta baita frekuentzian. Y[k] = X[k]⋅H[k] propietatea erabili ahal izateko X[k] eta H[k] N ≥ L+M-1 neurriko DFTak izan behar dira. x[n] eta h[n] laburragoak direnez zeroekin beteko ditugu Narte. Adibidea: h[n]=1,2,3, x[n]=1,2,2,1 kalkulatu y[n] N=8 erabilita (3 bidetatik)

(N≥6 izan behar da ondo irten dadin). Gero errepikatu N=4 erabilita. Aurreko emaitzak bererabili daitzeke. XN=8[2] = XN=4[1] k bakoitza frekuentzia konkretu bati dagokio. DTMF adibidea. Dual Tone MultiFrecuency telefonoen tonuak detektatzeko era bat seinale analogikoa lagindu eta gero DFTN-a egitea da, N balioa aukeratzean DTMF tonoetatik hurbil k-ren balioak egotea saiatuz.


6. Laplace-ren transformatua eta LTI sistema jarrai kien analisirako erabilpena.

6.1 Sarrera

2.gaian esan genuen: - Esponentzial konplexua sistema linealekin lan egiteko aproposa da autofuntzioa delako:

esponentziala sarturik, est, esponentziala ateratzen da. Frekuentzia berekoa, s, baina pisuz aldatua, H(s)⋅est H(s) autobalioa, konstantea denborarekiko

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stsstts esHdehedehdtxhtxththtxty ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅−⋅=∗=∗= ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−τττττττ ττ

s = jω Fourier H(jω) s = σ+jω Laplace H(s)

6.2 Laplace-ren transformatua

Definizioa, konbergenzia eta alderantzizko transformatua

Hemen Laplace transformatu aldebikaria erabiltzen dugu.

Laplace transformatu aldebakarra [0,∞) tartean integratuz kalkulatzen da = Lx(t)⋅u(t) Konbergentzia eremua, KE (Region Of Convergence) – Transformatua definitua dagoen s balioen multzoa. Ardatz irudikaria KE barnean badago Fourier transformatua existitzen da, bestela ez. KE ⊂ jω <==> ∃F x(t) seinalearen Laplace transformatua x(t)⋅e-σt seinalearen Fourier transformatua da (seinalea bider esponentzial erreala).

Alderantzizko Laplace transformatua ∫∞+

∞−=

σ

σπdsesX

jtx st)(

2

1)(

Adibideak: x(t) = e

-at⋅ u(t) Fourier eta Laplace transformatuak konparatu u(t)-ren Fourier transformatua “justu-justu” existitzen da. Gero eta txikiago egiten den esponentzialagatik biderkatuz (a positiboa) transformatuak konbergitzen du, baina gero eta handiagoa bada (a < 0) orduan ez. Kasu honetan ere Laplace transformatuak konbergitzen du, σ-ren balio batzutarako, Fe

-at⋅u(t)⋅e-σt konbergente egiten duten σ-ren balioetarako KE σ > -a x(t) = -e

-at.u(-t) --L--> 1/(s+a) Ers < -a

x(t) = e-t.u(t) + e

-2t.u(t)

Termino biak izan behar dira transformagarriak KE = KE1 ∩

∫∞

∞−

−= dtetxsX st)()(

x(t)=est y(t)=e

st⋅H(s) h(t) LTI

Pierre Simón Laplace (1749 -

ωωjs

sXX=

= )()(

( ) [ ] ( ) ttjttj etxFdteetxdtetxsX σωσωσ −∞

∞−

−−∞

∞−

+− === ∫∫ )()()(

s

σ

jω

t

u(t)

0

e2t⋅u(t)

e-2t⋅u(t)

s

σ

jω

KE

Seinale kausala Konbergentzia Eremua eskuman

s

σ

jω

KE2

6.3 Propietateak eta oinarrizko transformatuak

1: KEa jω-ri paralelo diren lerroak mugatzen dute 2: Transformatu arrazionaletan KEak ez dauka polorik barnean 3: x(t) iraupen finitukoa bada eta gutxienez s-ren balio batean transformatuak konbergitzen badu, orduan KEa s plano guztia da. 4: x[t] kausala eta iraupen infinitukoa bada, x(t) = 0 t < T1 eta Ers = σo KE barruan badago orduan Ers > σo balioak ere KE barruan daude 5: [4 alderantziz] 6: [4 + 5] x(t) iraupen infinitukoa bada ezker eta eskumatik (aldebikaria) eta Res = σo KE barruan badago orduan KE Ers = σo barnean daukan banda bat da Linealtasuna. Denbora atzerapena s eremuan desplazamendua Denbora eskala aldaketa Deribazioa denboran Deribazioa s eremuan Integrazioa denbora eremuan Konboluzioa denboran

6.4 S aldagaian arrazionalak diren transformatuak

Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial linealen bidez definitutako seinaleen Laplace transformatuak arrazionalak dira. Z[s] eta I[s] polinomioak. Zeroak, zenbakitzailearen erroak, eta poloak [erakarguneak], izendatzailearen erroak. Grafikoki irudikatuz zehaztu dezakegu (anplitude faktorea izan ezik). Alderantzizko transformatua egiteko terminoetan deskonposatzen da eta taulan begiratu.

6.5 Ebaluaketa geometrikoa

s-ren puntu bakoitzetik zeroetara doazen bektoreak biderkatu, zati poloetara doazen bektoreen biderketa. Zeroetatik hurbil dauden s-etan X(s)-ren modulua txikia da. Poloetatik hurbil handia.

6.6 Laplace-ren transformatu aldebakarra

Laplace transformatu aldebakarra aldebikaritik ezberdintzen da integralaren beheko mugan. Aldebakarrean integrazio tartea [0,∞] da aldebikarian [-∞,∞] den bitartean. Seinale kausaletan transformatu biak berdinak dira. Transformatu aldebakarra erabilgarria da hasierako baldintza ez nuluak dituen sistema baten erantzuna kalkulatzeko.

)(

)()(

sI

sZsX =

|X(s)|

jω


7. Z transformatua eta LTI sistema diskretuen anali sirako erabilpena.

Laplace 1h, Z hasi, 9. orrirarte 25 orrirarte

aholab.ehu.eus 2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den...

Documents

Transcript of aholab.ehu.eus 2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den...