Seinale eta Sistemak I · 2006. 9. 25. · Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren...

http://bips.bi.ehu.es/users/imanol/ssi/ApunteakSSI.pdf

2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I

Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak.

Joseba Imanol Madariaga Longarai 2000-2006 Apunte hauek kopiatu, banatu eta aldatu ditzakezu ohar hau mantenduz. Hemen daude pdf formatoan: http://bips.bi.ehu.es/users/imanol/ssi/ApunteakSSI.pdf Editatzeko formatuan nahiez gero zuzenean eskatu: [email protected] Seinale eta sistemak................................................................................................................5

1.1 Sarrera ......................................................................................................................5

1.2 Seinaleen sailkapena. Oinarrizko seinaleak ..............................................................61.2.1 Seinale jarrai eta diskretuak. Sailkapenak.........................................................................................61.2.2 Oinarrizko eragiketak seinaleekin......................................................................................................71.2.3 Oinarrizko seinale jarraikiak...............................................................................................................81.2.4 Oinarrizko seinale diskretuak...........................................................................................................10

1.3 Sistemak..................................................................................................................141.3.1 Definizioa. Sistemen arteko lotura ...................................................................................................141.3.2 Sistema lineal eta aldaezinen propietateak (LTI).............................................................................14

1.4 Konboluzio ekuazioa ...............................................................................................161.4.1 Definizioa. Konboluzio jarraia eta diskretua.....................................................................................161.4.2 Konboluzioaren propietateak ...........................................................................................................171.4.3 Sistema lineal ez-aldakorren propietateak (inpultso erantzuna begiratuz)......................................18

1.5 Koefiziente konstantedun diferentzia finituko ekuazio linealengatik (k.k.d.f.e.l.) deskribatutako sistemak.....................................................................................................20

2. Denbora jarraiko seinale eta sistemen espektro analisia................................................24

2.1 Sarrera ....................................................................................................................24

2.2 Fourier-en transformatua. Propietateak...................................................................242.2.1 Konboluzioaren teorema..................................................................................................................252.2.2 Seinale batzuen transformatua........................................................................................................252.2.3 Fourier transformatua izateko baldintzak.........................................................................................262.2.4 Propietateak.....................................................................................................................................272.2.5 Lehiokatu..........................................................................................................................................31

2.3 Seinale periodikoak eta Fourier-en analisia.............................................................32Seinale periodikoen adierazpena Fourier serieen bidez ..............................................................................322.3.1 Seinale periodikoen Fourier transformatua......................................................................................322.3.2 Seinale periodikoak sistema linealen zehar.....................................................................................33

2.4 Korrelazioa eta espektroa........................................................................................362.4.1 Energia eta potentzia .......................................................................................................................362.4.2 Potentzia dentsitate espektrala........................................................................................................372.4.3 Korrelazioa eta espektro dentsitate funtzioak..................................................................................402.4.4 Korrelazioaren propietateak.............................................................................................................412.4.5 Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar ......................................................................................42

3. Denbora diskretuko seinale eta sistemen espektro analisia ...........................................46

3.1 Sarrera ....................................................................................................................46

3.2 Sekuentzia diskretu periodikoak..............................................................................463.2.1 Fourier Serie diskretua.....................................................................................................................46

3.3 Sekuentzia diskretuen Fourier transformatua..........................................................47

3.3.1 Sekuentzia ez-periodikoen Fourier transformatua...........................................................................473.3.2 Sekuentzia periodikoen transformatua ............................................................................................493.3.3 Seinale diskretuen Fourier transformatuaren propietateak .............................................................513.3.4 Seinale diskretuen Korrelazioa eta espektroa .................................................................................54

4. Laginketa ........................................................................................................................61

4.1 Sarrera ....................................................................................................................61

4.2 A/D konbertsioa. Laginketa eta kuantifikazioa.........................................................61

4.3 Lagintze teorema.....................................................................................................61

4.4 D/A konbertsioa .......................................................................................................64

5. Fourier-en Transformatu Diskretua (DFT) ......................................................................66

5.1 Sarrera ....................................................................................................................66

5.2 DFT eta IDFTaren definizio eta interpretazioak.......................................................66

5.3 Eragiketak eta Propietateak ....................................................................................68

5.4 DFT bidezko iragazketa lineala ...............................................................................71

6. Laplace-ren transformatua eta LTI sistema jarraikien analisirako erabilpena. ................72

6.1 Sarrera ....................................................................................................................72

6.2 Laplace-ren transformatua ......................................................................................72

6.3 Propietateak eta oinarrizko transformatuak .............................................................73

6.4 S aldagaian arrazionalak diren transformatuak .......................................................73

6.5 Ebaluaketa geometrikoa..........................................................................................73

6.6 Laplace-ren transformatu aldebakarra.....................................................................73

7. Z transformatua eta LTI sistema diskretuen analisirako erabilpena................................66


Sarrera • Aurkezpena. Ni naiz... J.Imanol Madariaga Longarai

[email protected] 94-601 4145 Zubi eraikina, 2A11 bulegoa • Ordutegia. Astelehena 4-5pm, asteazkena 6-7:30, osteguna 6-7, ostirala 5-6:30 • Tutoretza. Astelehena 5-6:30pm, asteartea, asteazkena eta osteguna 4:30-6pm.

Baina egun osoan zehar ere. Baita e-posta eta telefonoz. • Indizea • Bibliografia • Zertaz doan: Seinale – Sistema

Jarrai – Diskretu Denbora – Frekuentzia Formula – Grafikoa

• Teoría, ariketak • Azterketa, 3 edo 4 ariketa, teoria gutxitan.

• Helburuak. Zeintzuk dira ikasgaiaren eta karreraren helburuak?

Helburu-kapazitate-balore1 hauek bilatzen-lantzen dira? landu beharko lirateke? nola?:

♦ [Aprobatzea]. Ulertu, errepasatu eta ariketak egin. (Aurreko urteetako ariketak eskuratu, ariketa tipikoak ikertu, errentagarriena praktikatu –adibidez DFTaren gainezarmen zirkularra-).

♦ Edukina ikastea. (Ikasleak seinaleen eta sistemen munduan sartzea. Irakatsiko dira seinale eta sistema etengabeak zein diskretuak. Bestalde, nahiz eta sistemen teoria, analisia eta diseinua ingeniaritzaren adar askotan garrantzitsuak izan, irakasgai hau bideratuta dago komunikazioekin zerikusia duten aplikazioetara. Gainera, seinalearen prozesatze digitalaren sarrera egiten da). Oinarrizkoa da telekomunikazioetan. Ikuspuntu frekuentziala menperatzea.

♦ Ikasteko kapazitatea landu eta garatu (eta lan gogorra egitekoa) ♦ Problemak ebazteko ahalmena. Bai gai honetakoak, baina baita orokorrago

balio duen metodologia (eta kontzentratzeko eta sakontzen auzartzeko gaitasuna lortzea). Metodologia: Arazoa ondo aztertu (problemaren enuntziatua ondo/askotan irakurri), ikuspuntu ezberdinetatik begiratu, pausotan banatu “Divide y vencerás”,…

♦ Ulertzeko gaitasuna. Berbak, formulak eta irudiak ulertu. Kontzeptua zeureganatu (hainbat ikuspuntutatik begiratuz adibidez), sintesi (laburpen, eskema).

♦ ♣ Komunikatzeko gaitasuna. Azaldu testuz, hitzez, irudiz, ♦ ♣ Sormena, irudimena, innobazioa ♦ ♣ Taldean lan egiteko gaitasuna. Garunaren hemisferio biak garatzea

♦ () ♣ ♥ Gizarteratzea, lagunak egitea, erlazionatzea o () ♣ ♥ Baloreak, helburu kolektiboak,

komunitatearekiko zerbitzua,…Unibertsitatea gizartearen zerbitzura omen dago.

1 Valores y Enseñanza de la Ingeniería en la Escuela Superior de Ingenieros de Bilbao — Informe Sociológico — Elisa Usategi Basozabal, Ana Irene del Valle Loroño, Dpto.Sociología I - UPV/EHU, Leioa, 2002

Software askea, Copyleft? ” ” Juan Ignacio Perez 2004-09-28


Seinale eta sistemak

1.1 Sarrera

Seinaleak aldagai aske bat edo gehiagoren funtzioak dira, eta gertakizunen baten informazioa daukate. Adibidez: , tentsioa t denboraren funtzio bezala. Aldagai askea denbora da guk gehienetan erabiliko duguna, ,... , T tenperatura x espazioaren funtzio bezala. , Irudi baten argitasuna puntuaren funtzio.

Ikasgai honetan seinale ezagunekin lan egingo dugu. Errezago oraindik, adierazpen matematiko sinpleekin deskribatutako seinaleekin. Adb: ⋅Ikasitako kontzeptu eta tresna gehienak praktikan agertzen diren seinale aldakor-ezezagunekin lan egiteko balioko dute. Adb: musika

Sistema seinaleak aldatzen dituen edozein prozesu da. Sarrerako seinalearen funtzio den seinalea ateratzen duen prozesua. Kutxa batekin irudikatzen dugu, bere eragina formula matematikoekin adierazten dugu ikasgai honetan. Fisikoki zirkuitu elektronikoa, konputagailua, tramankulu mekanikoa edo beste motakoa izan daiteke. Adibidez: Diodo bidezko artezkailua. Sarrera korronte elektriko alternoa, irteera korronte elektriko zuzena (azalpen hau formula baino errazagoa da). Termostatodun berogailua. Sarrera sentsoreko tenperatura, irteera berogailuaren azaleko tenperatura. Gelaren forma eta airearen dispertsioa. Sarrera berogailuaren azaleko tenperatura, irteera gelako puntu bateko tenperatura. Ariketa: Esaidazue bakoitzak seinale bat

edota sistema bat. Idatzi papertxo batean bere adierazpena, bai azalduz, edo formulaz, edo irudiz.

Aldagai askea

Seinalea

Sistema

Irteera Sarrera

Pentsatzeko: Norbaitek pentsa dezake “Baina zer berririk dago kontzeptu hauetan? seinaleak aspalditik ezagutzen ditugun funtzio matematikoen parekoak dira, hizkiak aldatu besterik ez dugu egin.“ Bai? Ez?

x(t)

t 0

1.2 Seinaleen sailkapena. Oinarrizko seinaleak

1.2.1 Seinale jarrai eta diskretuak. Sailkapenak

Jarrai – diskretu sailkapena

Seinale jarraiak: aldagai askea jarraia da, seinalea balio segida batez emana dago. t aldagai askearen balio guztietarako existitzen da. ( ∋ ℜ)

2. eta 6. gaiak seinale jarraiak.

Seinale diskretuak: seinalea aldagai askearen balio diskretuetan bakarrik dago emana. ∋

3., 5. eta 7. gaiak seinale diskretuak. 1. gaia seinale jarraikiak eta diskretuak paraleloan.

4. gaia seinale jarraikiak diskretu bilakatzea.

Periodiko – ez-periodiko sailkapena

∃∀

Hau da, guztietarako betetzen duen existitzen bada periodikoa da. -rekin betetzen bada, ..-rekin ere bai. Betetzen duen balio txikiena oinarrizko periodoa da. Seinale diskretuekin era berean definitzen da ∃∀

Hau da, guztietarako betetzen duen existitzen bada periodikoa da. -rekin betetzen bada, -rekin ere bai. Betetzen duen balio txikiena oinarrizko periodoa da.

Simetria bikoitia – bakoitia

Seinale bikoitia: abzisen ardatzarekiko simetrikoa da

Seinale bakoitia: jatorriarekiko simetrikoa da

Seinale bakoitiak dira edo puntuetan. Edozein seinale alde bikoiti eta alde bakoiti batean deskonposa daiteke:

Liburuetan idazkera ingelesa agertzen da !"!"#$!" !"

Egiaztatu xBi(t) bikoitia dela, eta xBi(t) bakoitia dela,

Seinale diskretuekin deskonposaketa hau posible denaren egiaztapena parekoa da, beste propietate batzuekin gertatzen den bezala, baina ez guztiekin. Horregatik komeni da esplizituki idaztea edo gutxienez zein ezberdintasun egongo den begiratzea. x[n] = xBi[n] + xBa[n] ...

xt

t


1.2.2 Oinarrizko eragiketak seinaleekin

Alderanzketa (inbertsioa)

abzisen ardatzarekiko isladatuz daukagu

Adibidez magnetofoia atzerantz entzutea.

Denbora desplazamendua

Atzerapena: % seinalea seinalearen bertsio desplazatua, zehazki % denbora atzeratua &' seinalean % unean, denbora jatorrian, gertatutakoa, % seinalean % unean gertatu da. Izan ere % seinale desplazatuan gertakari guztiak jatorrizko seinalean baino % beranduago "gertatzen"-agertzen dira. Adibidez %izan daiteke -ren oihartzuna. Ariketatxoa: Idatzi adierazpen garatuan ( eta erabilita) Aurrerapena: Era berean seinalea ezkerrerantz mugitzen da aldagai askeari ( denbora tartea gehituz gero. Adibidez antzerki batean aktoreak esaten duena bada, apuntadoreak aurretik esaten diona ( da. Edozein unerekiko alderanzketa Eragiketa biak konbinatuz : atzeratu, alderatu %&%'%

Edo alderantziz berdin da: alderatu, atzeratu &'%&%'%

Azaldu eta ulertzeko: begiratu seinalearen “forma”, itxura, irudia (goiko adibidean iruki asimetrikoa). Forma horrek darama seinalearen informazioa. Seinalea atzeratu, aurreratu edo alderanztea irudi hori mugitzea da. aldagaiarekin jolasteak denbora ardatzean beste era baten jarriko du forma, baina forma bera, informazio bera.

Denbora eskala aldaketa

seinalean seinalea abiadura bikoitzean dago. Grafikoa estutu egiten da. ) seinalea seinalea baino a aldiz azkarrago. Denbora konprimaketa egin dugu. Adibidez magnetofoia abiadura azkarrean.

%

(

%(

%

%

% %

%

% %

%

%

%

Eta alderantziz, magnetofoia abiadura geldoan: Denbora zabaldu, denean dauka zentzua, bestela alderanzketa ere dago. Ariketatxoak: izanik, ¿zein da seinalearen frekuentzia? Aurreko eragiketak seinale diskretuen gainean ere egin daitezke. Seinalea Alderanzketa Atzerapena % Aurrerapena % Denbora eskala konprimatu

Denbora eskala zabaldu

1.2.3 Oinarrizko seinale jarraikiak

Oinarrizkoak dira sinpleak direlako, baina baita beste edozein seinale osatu daitekelako hauen konposaketa eginez.

Maila unitate funtzioa

Eskaloi funtzioa (Unit step),

≥<

=

Diskontinuitatea dago unean Praktikan berdin da une horretan edo balio izatea, dena de definitu dugu. Ariketatxoak: Irudikatu ⋅⋅⋅seinalea

Pultsu laukizuzena

Pultsu angeluzuzena Π

Ariketatxoak: Irudikatu ⋅Πseinalea Adierazi Πseinalea erako seinaleen konposaketa bezala... Π

Alderantziz, adieraziseinalea Π motako seinaleen konposaketa bezala ΠΠΠ Σ∀Π

Eskaloi edo pultsu seinaleekin edozein seinaleren hurbilketa mailatua egin daiteke.

Pultsu triangeluarra

Λ

Pultsu triangeluarrekin edozein seinaleren hurbilketa lineala egin daiteke

t

0

1


Inpultso seinalea

δ Dirac delta Definizioa: δ∀≠

=∞

∞δ

Ondorioz:

⋅δ%⋅δ ( ) ( ) ( ) =∞

∞−δ

Orokorrago ( ) ( ) ( ) =−∞

∞−δ Lagintze propietatea, deltaren bidez edozein

seinaleren une bateko balioa neurtu daiteke Aldagai aldaketa eginez τ

( ) ( ) ( )∞

∞−−= ττδτ delta bikoitia denez:

( ) ( ) ( )∞

∞−−= ττδτ honek zera adierazten

du, seinalea osatu dezakegula indar egokia daukaten inpultso desplazatu piloa batuz. Delta definitzeko beste bide batzuk:

Pultsu laukizuzena estutuz ( )

Π=→

!"

δ

Pultsu triangeluarra erabiliz ( )

Λ=→

!"

δ

Maila unitate funtzioa erabiliz ( ) ( )

=δ

Ariketaxoak. Inpultsoaren integrala maila unitatea dela

egiaztatu deltaren lau definizioak erabiliz ( ) ∞=

ττδ

Esponentzial konplexua

β

β erreala erreala, β>0 gero eta handiagoa β<0 gero eta txikiagoa β irudikaria konplexua eta periodikoa β)ω

)ω = ω + )⋅ω

)ω = )ω ⋅)ω = izango da )ω = 1 denean ω = 2π ∈#

= 2π/ω ∀ω≠0 Oinarrizko periodoa 2π/ω

ω negatiboa bada periodoa berdina da 2π/|ω$

t

δ(t)

0

t

δ

t0

1

t

t

t

δ

t0

1.2.4 Oinarrizko seinale diskretuak

Maila unitate seinalea

maila funtzioa, eskaloi unitate funtzioa

[ ]

≥<

≡

Denbora jarraiko eskaloiarekin ez ezik, hemen ez dago diskontinuitate arazorik jatorrian. ≡definitzen da

Inpultso unitate seinalea

lagin unitatea, delta

[ ]

=≠

≡

δ

Denbora jarraiko inpultsoarekin ez ezik, hemen definizioa zuzenean egiten da. δ≡ (ez ∞, anplitudea jarraiko arearekin parekatzen da) Inpultso unitatea eskaloi unitatearen 1. diferentzia da. δ%

Konparatu denbora jarraiko deribatuarekin ( ) ( )

=δ

Eskaloi unitatea inpultso unitatearen batukaria da [ ] [ ] =

−∞=

=*

*

* δ

Konparatu denbora jarraiko integralarekin ( ) ∞=

ττδ

[ ] [ ] [ ] ∞

−∞=

−=

δ Lagintze propietatea, deltaren bidez edozein seinaleren une bateko

balioa neurtu daiteke. Edo beste era batera esanda: edozein seinale inpultsotan deskonposa daiteke.

δ

⋅δ

⋅δ

⋅δ

⋅δ


Seinale diskretu esponentzialak

Esponentzial jarraiaren pareko espresioa harturik

β

aldagai berri batez &β

beste era honetan adierazi daiteke

ββββ erreala z > 0 β erreala gero eta handiago β' erreala gero eta txikiago β erreala izan ez arren erreala izatea posible da (seinale jarraiekin β erreala ez bada konplexua da). β)π

⋅)π

⋅ erreala da, balio positibo eta negatiboak alternatzen ditu.

' anplitudea handitzen '' ' anplitudea txikitzen ββββ irudikaria denean periodikoa ote da? β)Ω

)Ω (

)Ω

)Ω ⋅)Ω ⋅)Ω

periodikoa da )Ω denean Ωπ#πΩ edo πΩ

zenbaki osoak direlarik. Hau da πΩ zenbaki arrazionala izan behar da.

)Ω ez da edozein Ω0 frekuentziarako* periodikoa, bakarrik π-rekin multiplo komuna daukaten frekuentzietarako. zenbaki osoa ematen duen txikienarekin lortzen da oinarrizko periodoa πΩ Beste era batera esanda eta bere artean lehenak badira orduan oinarrizko periodoa da. Oinarrizko frekuentzia = πΩ Adibideak: Ωπ π⋅ πΩ) Oinarrizko Frekuentzia = π/2 = Ω0

Ωπ π⋅ πΩ* +,πΩ

Ωπ π⋅ πΩ)) +,π≠Ω

Ωπ* π⋅* πΩ Oinarrizko Frekuentzia =π*Ω

Ω ⋅ πΩπ ez da arrazionala, ez dago osorik seinale hau ez da periodikoa, seinaleak gora eta bera egiten du ia bost aldiz 10 laginetako tartean (2π/3 ≅ 2'09, 10/2'09 ≅ 5), baina seinalearen balioak ez dira sekula errepikatzen. Ondorioak esponentzial diskretua periodikoa bada ⇐

)*π* osoak

zeren Ω*⋅πΩπ* zenbaki arrazionala da. Oinarrizko periodoa πΩπ*⋅π*

*-ren zatitzailea da eta **-ren zatitzailea da * eta m-ren zatitzaile komuna da txikiena * handiena * = zatitzaile komunetako handiena, &-.* &-.*

?

* Ω0 normalean ez da seinaleren frekuentzia, bakarrik bere inguratzaile jarraiarena

Ω

+Ω,)Ω

πΩ ππΩππ ππΩ

Esponentzial konplexua Ω-rekiko periodikoa da

Seinale esponentzial konplexu jarraien frekuentzia gora doa ω-rekin batera. Diskretuekin ikusi dugu Ωπ eta hirukoitzak, Ωπ, oinarrizko frekuentzia bera daukatela = π

matematikoki: )π

∀∋/ )Ω

)Ω ⋅)π

)Ω π

ΩΩπ

)Ω seinalea Ω

parametroarekiko periodikoa da, πperiodoarekin. harmonikoki erlazionaturiko esponentzial konplexuak *

)*π*osoen balio guztietarako periodikoa da gorago esan denez,

zeren Ω**⋅πΩ*π* zenbaki arrazionala da. Oinarrizko periodoa &-.* Seinale jarrai periodikoen harmonikoak denak ezberdinak dira, *. harmonikoaren frekuentzia *-rekin batera doa gora. &-. baina -rekiko periodikoa da ere &-. * seinale guztiak dira periodikoak periodoarekin Harmonikoki erlazionaturik daude *

)*π

)π⋅)*π⋅)*π

*

... baina seinale jarraiekin ez bezala "harmoniko guztiak ez dira ezberdinak", harmoniko kopuru finitua dago ( bakoitzeko).

Jarraian oinarrizko seinalea eta harmonikoak ditugu (frekuentzia multiplo guztiak), diskretuan harmonikoki erlazionaturiko multzoa (multzo finitua).

Ariketatxoak : Seinale honen φ

)π0 oinarrizko periodoa eta frekuentzia aurkitu oso bakoitzerako. Irudikatu φ1, φ2, φ3 eta hurrengoak ere nahi baduzu. Berdin seinale honekin φ

)π1

ejωot ejΩo ω0 bakoitzak seinale ezberdina Seinale berdina 2π aldenduta dauden Ω

frekuentzia ezberdinekin Peridikoa ω0 guztietarako Periodikoa Ωπ* denean, * eta

osoak Oinarrizko frekuentzia ω0 Oinarrizko frekuentzia Ω*

(* eta zenbakiek zatitzaile komunik ez badaukate) Oinarrizko periodoa ω ≠π/ω0 ω definitu gabe

Oinarrizko periodoa Ω≠*⋅πΩ

Ω definitu gabe

Esponentzial jarraien harmonikoen periodoak behera egiten du frekuentziak gora egiten duen neurrian, ω = 3⋅ω T = T


Infinitu harmoniko Harmoniko multzo mugatua

Sistema diskretua

S 1

S 2

⊕⊕⊕⊕

1.3 Sistemak

1.3.1 Definizioa. Sistemen arteko lotura

Sistema seinaleak aldatzen dituen edozein prozesu da. Sarrerako seinalearen funtzio den seinalea ateratzen duen prozesua. Sistema jarraia Sistema diskretua

Loturak Serieko lotura, bata bestearen ostean. Sistema baten irteera hurrengoaren sarrera da. Lotura paraleloa, bata bestearen parean. Sarrera bera daukate eta irteera biak batuz lortzen da irteera seinalea. Sistema berrelikatua (Feedback)

1.3.2 Sistema lineal eta ez aldakorren propietateak (LTI)

Gainezarmena-Linealtasuna, Egonkortasuna, Ez aldakortasuna denborarekiko, Memoria, Kausaltasuna, Alderagarritasuna propietateak aztertuko ditugu. LTI sistemak Linealtasuna eta denborarekiko Ez aldakortasuna betetzen duten sistemak dira. Propietate hauek sistema jarrai zein diskretuetarako balio dute.

Gainezarmen printzipioa betetzen duen sistema, sistema lineala da. 2 adieraziz 2 ⋅⋅ ⋅⋅ konplexu guztiendako Batukortasuna eta homogeneotasuna edo eskala aldagarritasuna betetzen dute.

Atzekoz aurrera: irteera sarrerako osagai sinpleen gainezarmena bezala kalkula daiteke: 1- Sarrera deskonposatu Σ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Sistema jarraia

S 1 S 2

S 1

S 2

⊕⊕⊕⊕

S ⋅ ⋅3

S

S


2- Osagaiak sisteman sartu

2 3- Irteera birkonposatu Σ -⋅- ⋅

Ondorioz sarrera nuluak irteera nulua emango du.

Adibidez: Sarrera korrontea Sistema Kondentsadorea irteera tentsioa ( ) ( ) ∞−=

-

Egonkortasuna

Sarrera mugatuei irteera mugatuak dagozkion sistema, egonkorra da. $$'4∀$$'5∀

$$'4∀$$'5∀

Adibidez: ⋅egiten duen sistema egonkorra da? Aurreko ataleko kondentsadorea egonkorra da?

Denborarekiko inbariantea, ez aldakorra

Sarrerako seinalearen denbora desplazamenduak irteerako seinalearen desplazamendu bera sortzen badu. 2 2

Adibidez: Ez aldakorra Ez aldakorra ⋅ω Aldakorra

Memoria

Memoria gabeko sistemaren uneko irteera une bereko sarreraren funtzio baino ez da: 6Memoriadun sisteman beste une batzuetako sarrerak ere eragina dauka une honetako irteeran.

t

S

S

Kausaltasuna

Une bateko irteera une horretako eta aurrekotako sarreren funtzio da, baina ez hurrengo sarreren funtzio. Adibidez: % kausala % ez kausala Ezagutzen ditugun sistema fisikoak kausalak dira, ondorioa ez da agertzen kausa baino lehenago. Aldagai askea denbora ez denean bakarrik egon daiteke sistema ez-kausala. Baina seinalea denboraren funtzioa izanik grabatuta badaukagu sistema bai izan daiteke ez kausala (baina ez denbora errealean). Denbora errealean sistema ez-kausala erabili nahi denean irteera sarrerarekiko berandutua irtetetzen da (matematikoki ez-kausal bezala landuta baina fisikoki denbora atzerapenarekin), adibidez FIR iragazkiak.

Alderagarritasuna

Sarrerako seinale ezberdinei irteeran seinale ezberdinak dagokionean sistema alderagarria da. Orduan alderantzizko sistema existitzen da, non irteera hori emanez sarrera emango

duen, hau da, bata bestearen ostean jarrita sistema identitatea izango da.

1.4 Konboluzio ekuazioa

1.4.1 Definizioa. Konboluzio jarraia eta diskretua

Diskretua

Sistema lineal ez aldakorra badaukagu eta inpultso unitate funtzioa δ sarturik lortzen den erantzuna . bada, .2δ orduan edozein seinaleren erantzuna lor dezakegu, honela: deskonposatu [ ] [ ] [ ]

∀

−⋅=

δ

Sisteman sartu, linealtasun propietatea eta ez aldagarritasun propietatea erabiliz

Konboluzioaren iraupena 777

Sistema Alderantzizko

Sistema

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]..//

∗=−⋅=−⋅= ∀∀

δ

Sistema Lineal Ez aldakorra

δ .

LTI Sistema

δ .

LTI Sistema

⋅δ

000

⋅δ

⋅δ

⋅δ1

000

⋅.

000

⋅.

⋅.

⋅.1

000


δ .. ..∗.

Sistema Lineal Ez aldakorra

δ .

Jarraia

Sistema lineal ez aldakorra badaukagu eta inpultso unitate funtzioa δ sarturik lortzen den erantzuna . bada, .2δorduan edozein seinaleren erantzuna lor dezakegu, honela:

deskonposatu ( ) ( ) ( ) ττδ ⋅−⋅= ∞

∞−

Sisteman sartu, linealtasun propietatea eta ez aldagarritasun propietatea erabiliz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−∗=⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅= ../// τττττδτττδτ

Konboluzioaren iraupena

δren erantzuna, . ezaguturik LTI ezagutzen da. Adibidea: .=-α⋅non αinpultso erantzuna duen sistema lineal ez aldakorrean

=seinalea sartuz irteeran agertzen den seinalea, kalkulatu eta irudikatu. (pista: integrala kalkulatzeko kasu bi bereiztea komeni da, > edo <) Adibide parekoa diskretuan: .=α⋅non α'=

1.4.2 Konboluzioaren propietateak

Trukatze legea

∗..∗

Aldagai aldaketa : 2τ

Elkartze legea

∗.∗.∗.∗.

Frogatzeko δ sartu

Banatze legea

∗..∗.∗.

∗.

. LTI

∗..

. .∗

∗.. .∗.∗.

∗.∗..∗.

< >

∗....

< > .

.∗.

⊕⊕⊕⊕

∗.

∗.∗.

δ δ∗

LTI .&'

Elementu neutroa

∗δ

∗δ

Frogatzeko: inpultso erantzuna daukan sisteman δ sartuz irteeran daukaguna konboluzioaren bidez kalkula daiteke δ∗ Trukatze legea erabiliz δ∗∗δ Baina sistemaren inpultso erantzunaren definizioaren arabera, inpultsoa sartzearekiko erantzuna izango da sistema honetan, beraz ∗δ ∗δ∀ττ⋅δτ∀τ⋅δτ⋅∀τδτ

∗δ

Elementu neutro atzeratuaren beste ikuspuntu-froga: Irudiko sistema denboran ez-aldakorra denez δ% inpultso atzeratuarekiko erantzuna inpultso-erantzun

atzeratua izango da, %Hirugarren ikuspuntu-froga: Atzerapena eragiten duen sistema. δsarturikδ

ateratzen duena.sartuta aterako du. Baina ∗. erabiliz kalkulatuz gauza bera izango denez =∗.∗δ

[Biñeta: Lathi 1998, 153.orrialdea]

1.4.3 Sistema lineal ez-aldakorren propietateak (inpultso erantzuna begiratuz)

Edozein sistema lineal ez aldakor guztiz definitua dago inpultsoarekiko ematen duen ., edo .], erantzunagatik, honen bidez edozein sarrerarekiko erantzuna ezagutzen bait dugu. Beraz sistemaren propietateak .-ren ezaugarriekin lotuta daude.

Memoria

Memoria gabeko sistemek ekuazio hau betetzen dutenez 6eta LTI bada 6 funtzioa lineala izan behar denez, 6⋅⋅⋅⋅ inpultsoa sartzerakoan erantzuna hau izango da ⋅⋅⋅⋅δδδδ Beste bide batetik (eta diskretuan): memoria gabeko sistemaren une bakoitzeko irteera une horretako sarreraren funtzio baino ez da, eta hau beteko badu [ ] [ ] [ ]

∀

−⋅=

. orduan

.∀≠ izan behar da

∗..LTI

δ δ%∗%LTI


Hau da, memoria gabeko sistemak ez du erantzunik ematen sarreran zerbait sartu arte, eta sarrera bukatu ondoren ere ez du irteerarik ematen. Sarreran zerbait dagoen bitartean bakarrik irtetzen da zerbait.

Kausaltasuna

Sistema kausaletan ez da ezer irtetzen sarrera agertu arte, baina behin sarreran zerbait agertuta irteera "piztuta" jarraitu daiteke sarrera "itzali" arren. Beraz inpultso erantzuna zero izango da denbora ardatz-erdi negatiboan: ∀∀∀∀ Matematikoki diskretuan: [ ] [ ] [ ]

∀

−⋅=

.

sistema kausala izan dadin ez da 3 –ren funtzio izan behar. Horretarako . izan behar da 3 denean ∀∀∀∀ Adibidez: 000)⋅.⋅.*⋅.000

*⋅.4( terminoa eta hurrengoak ez dira egon behar, orokorrean, edozein izan daitekeelarik, * ez da zero izango, beraz . eta hurrengoak (...000) izan behar dira nuluak. Seinale kausala deitzen da sistema kausalaren inpultso erantzunaren itxura daukan seinaleari, hau da: ∀5 Beste era batera esanda, seinale kausala edo beranduago hasten da Seinale antikausalak alderantziz unerako bukatuta daudenak dira

∀≥

Sistema ez-kausalak fisikoki egin daitezke...atzerapenarekin [Biñeta: Lathi 1998, 86.orrialdea]

Alderagarritasuna

Sistema bat eta bere alderantzizkoa jausian, seriean jarriz, askeneko irteera sarreraren berdina izan behar da, beraz sistema baten, ., eta alderantzizko sistemaren, .

, inpultso erantzunaren arteko konboluzioa elementu neutroa izan behar da. .∗.(

δ

Egonkortasuna

Sistema egonkorren inpultso erantzuna absolutuki integragarria (jarraia), edo absolutuki batugarria (diskretua), da. Frogatzeko: Sarrera mugatuak irteera mugatua ematen du? $$'4∀$$'5∀

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∀∀∀∀

⋅=−⋅≤−⋅≤−⋅=

.... Beraz bai,

.-ren moduluaren batukaria finitua izatea da irteera mugatua izango dela zihurtatzen duena. Σ∀6.6 < ∞ ==> Sistema egonkorra. ∀6.65∞ [Biñeta: Lathi 1998, 396.orrialdea] Erreferentziak: Lathi B.P., "Signal Processing & Linear Systems", Ed. Berkeley-Cambridge Press, 1998. Sig: 621.372.54 LAT

1.5 Koefiziente konstantedun diferentzia finituko ekuazio linealengatik (k.k.d.f.e.l.) deskribatutako sistemak

Denbora jarraiko sistema askoren portaera Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial linealek (k.k.e.d.l.) definitzen dute.

( ) ( )

==

=7

Sistemaren ebazpena osagai biren batura da: .8

. = Ekuazio homogeneoaren ebazpena ( )

= =

, erregimen iraunkorra.

8 = Ekuazio osoaren ebazpen partikularra. Ebazpena guztiz finkatzeko hasierako baldintza ere behar dira datu bezala (integrazio konstanteak). Denbora diskretuan pareko ekuazioa

[ ] [ ] ==

−⋅=−⋅7

negatiborik ez dugu jarri, hau da, sistema kausalak bakarrik hartzen ditugu kontutan. Adibidea. % ( , %, beste koefiziente guztiak zero Hasierako baldintza ez nuluekin. ⋅ Ez da lineala, sarrera nuluak irteera ez nulua ematen du. Denborarekiko aldakorra da, uneko emaitza finkatua dago. Kasu orokorrean k.k.d.f.e.l.-en ebazpena ez da lineala, eta aldakorra da. Hasierako baldintzak nuluak badira orduan bai da lineal ez-aldakorra. Kasu bereziak:

FIR

∀≠, hau da a0 bakarrik dago

[ ] [ ] =

−⋅=7

Hasierako baldintzarik ez da behar.

δ [ ] [ ] =

≤≤→−⋅=7

7

.

δ

Inpultsoarekiko . erantzunaren luzera, iraupena, finitua da, 7 Inpultsoarekiko Erantzun Finituko sistema da, FIR (Finite Impulse Response)

IIR

3 koefizienteren bat gutxienez badago, a0 koefizienteaz gain.


[ ] [ ] [ ] ==

−⋅−−⋅=

7

Sistema errekurtsiboa da, une bateko irteera aurreko irteeren funtzio da,

δ [ ] [ ] [ ][ ]

[ ]

>−⋅−

≤−⋅−→−⋅−−⋅=

=

=

== 7.

7.

.

.

7

δ

Inpultsoarekiko . erantzunaren luzera, iraupena, infinitua da. Inpultsoarekiko Erantzun Infinituko sistema da,IIR (Infinite Impulse Response) ∗. konputazionalki ebaluatzeak infinitu eragiketa beharko lituzke. Horren ordez diferentzia finituko ekuazioa erabiltzen da zuzenean. k.k.d.f.e.l.-en bidez definitutako sistemak bloke grafikoen bidez irudikatzea oso erosoa eta erabilgarria da.

[ ] [ ] [ ]

−⋅−−⋅= ==

7

ekuazioa adierazteko hiru eragiketen sinboloak

behar dira: batuketa, biderketa eta denbora atzerapena

Adibidez ⋅ Ariketatxoa: Ekuazio honek deskribatzen duen sistemaraen bloke diagrama irudikatu ⋅⋅

⊕

⊕

_ +

⋅

D

⊕

D

⊕

D

Ekuazio orokorra

[ ] [ ] ==

−⋅=−⋅7

blokeen

bidez: -ren batukariak, irudiaren ezkerreko zutabea ematen du, errekurtsiboa ez dena. Horren irteera 9 deitzen dut. Ekuazioaren beste zatia, -ren batukaria, itxuraz berdina da:

[ ] [ ] [ ] ==

−⋅==−⋅

7

9

baina grafikoki eskuman, irteera bezala adierazteko irudia simetrikoa egin behar dut, beraz eskumako zutabea errekurtsiboa da. Seinaleen ibilbidea jarraituz era zuzenean egiazta dezakezu ekuazio orokorraren parekoa betetzen dela:

[ ] [ ] [ ]

−⋅−−⋅= ==

7

Irudikapen hau . Era Zuzena, edo Zuzeneko I. Era deitzen dugu.

Zutabe (batukari) bakoitza sistema independente bezala ikusten badugu, trukatze propietatea erabiliz: eta [D] memoriak aurrezteko sinplifikatuz . Era Zuzena daukagu:

⊕

D

⊕

D

7

7

⊕

D

⊕

⊕

D

D

D

⊕

⊕

⊕

⊕

D

⊕

D

7

7

⊕

D

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

D

⊕

D

⊕

⊕

D

D

⊕

⊕

⊕

[ ] =

−−

⊕

D

⊕

D

7

7

⊕

D

⊕

⊕

D

D

D

⊕

9

⊕

⊕

2. Denbora jarraiko seinale eta sistemen espektro analisia

2.1 Sarrera

Seinaleak inpultso desplazatuen konbinazio lineal bezala adierazi ditzakegu (horrela sistema lineal ez-aldakorren inpultso erantzuna ezaguturik edozein seinaleren irteera lor dezakegu konboluzioaren bidez). Inpultso desplazatuen ordez beste oinarrizko seinale familiak erabil daitezke seinaleak deskonposatzeko. Interesgarriak dira baldintza hauek betetzen duten oinarrizko seinaleak: oinarrizko seinale multzoaren bidez seinale ezberdin asko osotu daitezke multzoko seinale bakoitzarekiko LTI sistemak daukan erantzuna erabilterreza da. oinarrizko seinaleak ortogonalak dira beraien artean Oinarrizko seinale bezala esponentzial konplexuak (frekuentzia eta fase ezberdineko sinusoideak) hartuko ditugu Fourier-en serie eta transformatuak lortzeko.

2.2 Fourier-en transformatua. Propietateak

- Esponentzial konplexua sistema linealekin lan egiteko aproposa da autofuntzioa delako:

esponentziala sarturik, , esponentziala ateratzen da. Frekuentzia berekoa, , baina pisuz aldatua, :⋅

: autobalioa, konstantea denborarekiko

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :..... ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅−⋅=∗=∗= ∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−τττττττ ττ

- Babilonioek, Euler, Bernoullik, Joseph Fourier-ek, 1800 urtearen inguruan, landu zuten seinaleen deskonposaketa harmonikoa. Lagrange ez zegoen ados (izkinengaitik). Seinale periodikoen Fourier analisiaren bidez (Fourier-en serieak ezagunak dira, ikusi 2.3 atala) edozein seinale periodiko deskonposa daiteke. Fourier transformatuaren bidez periodikoak ez direnak ere bai.

Laplace : )ω Fourier :)ω

Fourier serie deskonposaketa (ez-periodikoentzako frekuentzia ez harmoniko, ez multiploekin, integralaz orokortuz).

∞

∞−

−=↔ + ),

ωω

∞

∞−=↔

−

ωωπ

ω ω ++ ),

⋅:.

LTI


2.2.1 Konboluzioaren teorema

∗.;ω+ω⋅⋅⋅⋅:ω

Azalpena erdi-intuitiboa: Osagai bakoitza :ω balioaz ponderatzen da sistema igortzen duenean eta guztiak batuz

daukagu, +ω⋅:ω-ren alderantzizko transformatua. Frogatze matematikoa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅

⋅=⋅−⋅=∗=∗= ∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−τωω

πττττ τω +.... )

∞

∞−= ωω

πω + )

∞

∞−

−=− ωωπ

τ τω + )

↑

.τ sartu ω-ren integralean (.τω integrazioa aldagaiarekiko konstantea da), integralak trukatu (τeta ω aldagai independienteak direnez egin daiteke), eta +ω atera τ-ren integraletik (.τω integrazioa aldagaiarekiko konstantea da).

( ) ( ) =⋅

⋅=⋅⋅=

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

− ωττωπ

ωττωπ

ωτωτω .+.+ )))

( ) ( ) ωωωωωπ

ω :+,:+ ) ⋅=⋅⋅= −∞

∞−

2.2.2 Seinale batzuen transformatua

δ inpultsoa

Delta, Fourier transformatuaren definizio formula aplikatuz

δ, ( ) ( ) ( ) ==⋅⋅=⋅⋅

∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅−∞

∞−

− )) δδδ ω

n Honek esan nahi du frekuentzia guztietako esponentzialak batuz δlortzen dela.

δ,

∞

∞−

∞

∞−=⋅⋅ ωω ωω ))

Hau grafikoki “ikusteko” hartu esponentzialak binaka ±ω, cosinuak sortzeko.

∞∞

∞−⋅⋅=

8 9 ωωωω ) Gehitu behar ditugun ∞ kosikunak guztiak balio dute

unean, hortik inpultso infinitua dator. Beste une guztietan fase ezberdin askotan gehitzen dira cosinuak, ondorioz batezbeztekoa da.

∗..LTI

+ω ;ω+ω⋅⋅⋅⋅:ω:ω

, ,(

,

∗..

LTI

+ω

∞

∞−= ωω

πω + )

π+ω(⋅)ω

+ω1⋅)ω

:

+ω⋅)ω< ω

;ω+ω⋅⋅⋅⋅:ω

( )∞

∞−= ωωω

πω :+ )

π+ω(⋅)ω⋅⋅⋅⋅:ω

+ω1⋅)ω⋅⋅⋅⋅:ω

:

+ω⋅)ω⋅⋅⋅⋅:ω: ω

:ω, ,(

,

+ω

9!;

ω

ωωπ

ωπ

ω

)ω esponentzial konplexua

)ω

,πδω=ω

Esponentziala, Fourier transformatuaren definizio formula aplikatuz zaila da, alderantzizko transformatuan zer jarri behar den begiratuz erreza.

,πδω=ω ( ) ( ) ( ) ))))

ωωωω ωωωδωωωδωωωπδπ

=−=−=⋅− ∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ω0 cosinua

Euler-en formularen bidez esponentzial bitan deskonposatuz:

ω%⋅ )ω —)ω )

,πδω=ωπδωω

Transformatuaren interpretazioa: tonu bakoitzak marra espektral bat (bikoitza ±ω) ematen du. Fasoreak: fasoreekin (esponentzial konpluexuekin) lan egitea matematikoki kosinu eta sinuekin baino erosoago da. Seinale errealetara gatozenean, kosinu erreala fasorearen alde errealetik atera dezakegu, baina dotoreago da esponente negatiboa daukan fasorearkin gehitzea, hau da, frekuentzia negatiboa daukana. Horregaitik espektruan beti frekuentzia positiboak eta negatiboak (ω aldagaiaren erdiardatz biak) erabiltzen ditugu. Esannahi “fisiko”, grafiko, edo imaginatzekoa hau izan daiteke, alderantzizko norantzan biratzen duen fasorea: fasore arruntak ezkerrera biratzen badu, frekuentzia negatibokoak eskumarantza. Biak batuz emaitza kosinu beti erreala da.

Pultsu laukizuzena

Laukizuzena sinc

( ) ( )ωω

ωωω

ωωωωω 9!;

=−

−=

−==⋅Π=

−

−

−

−

−∞

∞−

− )

)

+

))))) =

≡

9!;9!;

ωω

ππ =

ωπ

ωπ↑ ,

2.2.3 Fourier transformatua izateko baldintzak

Aldaketa kopuru mugatua, maximo eta minimo kopuru finitua denbora tarte mugatuan, kurbaren luzera finitua denbora tarte mugatuan. (beharrezkoa, seinale fisikoetan beti betetzen da)

seinaleak ez du betetzen. Modulu integragarria (nahikoa baina ez beharrezkoa) ω seinalea ez da modulu integragarria, baina transformatua badauka

+ωπ⋅∏ωω


Diskontinuitateen maila finitua (asintotarik ez) eta diskontinuitate kopurua finitua tarte finituan (beharrezkoak eta nahikoak) Mailan erdiko balioa lortzen da alderantziko transformatuan, eta maila baino %18 gehiago igotzen da.

2.2.4 Propietateak

,+ω

Linealtasuna

⋅(1, ⋅+(ω+1ω

Simetriak

,+ω

2,+2ω

∗,+

∗2ω

( ) ( )∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

− −====−↔− ωωωωω ++ ))),

<<<<< <<<

> => ω>ω

( ) ( )ωωωωωω −==

=

=

=↔

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

− ???

<???

??? < ++ )))),

ω>ω Bikoitia 2 Bakoitia 22

+ω Bikoitia +ω+2ω

Bakoitia +ω2+2ω

Erreala

∗

Simetria hermitikoa +ω+

∗2ω

Modulua bikoitia, fasea bakoitia

Erreala eta bikoitia +ω+2ω+

∗2ω

Konjokatzeak ez dauka eraginik

Irudikaria eta bakoitia +ω+

∗2ω2+2ω

Konjokatzean signua aldatzen da Irudikaria 2

∗

Simetria antihermitikoa +ω2+

∗2ω


Irudikaria eta bikoitia +ω2+

∗2ω+2ω

Konjokatzean signua aldatzen da

Erreala eta bakoitia +ω2+

∗2ω2+2ω


Bikoitia Bakoitia +ω Bikoitia Bakoitia

Erreala Hermitikoa Er. + bik. Ir. + bak. Irudikaria Antihermitikoa Ir. + bik. Er. + bak.

Denbora atzerapena

,+ω

,+ω⋅)ω

Froga:

( ) ( )∞

∞−

−−−∞

∞−

+−∞

∞−

− ⋅=⋅==−↔− ωωωωωω +)))))

, <<<< <<

>#>

Modulua mantentzen da, fasea ω-rekiko lineala da. Komunikazio sistema ideialak ez dauka distortsiorik, atzerapena nahitaezkoa da. Fase lineala daukala esaten da: Modulua ez da aldatzen |,||+ω⋅)ω ||+ω| eta faseari ω terminoa gehitzen zaio, osagai bakoitzaren frekuentziaren funtzio da, baina funtzio sinplea, lineala. Galderatxoa: zein da atzerapena sortzen duen sistemaren inpultso erantzuna, .

eta:ω

inpultso erantzunaren transformatua Frekuentzia erantzuna deitzen dugu.

Frekuentzi desplazamendua/translazioa

,+ω

+ωω,⋅)ω

Erabilpena modulazioan, frekuentzia multiplexazioan, ... Ariketatxoa: sarrerako seinalea ω0t seinalearekin biderkatuta ateratzen duen sistema Lineala da? Adierazi irteeraren espektroa sarreren espektroaren funtzio bezala eta irudikatu.

Eskala aldaketa

,+ω

,+ω 6 6Frekuentzia eta denboraren artean alderantzizko erlazioa dago. Frogapena:

=↔ ∞

∞−

− ),

ω

>#> #∞→> ⋅∞9!=;⋅∞

kasu bi bereizten dira:

limiteak mantentzen dira: === ∞

∞−

−∞

∞−

−<<

<<

<<

)

)

ωω

+ω-ω0

ω0

ω

+ω

ω

ω

∠+ω * 2

+Bω-ωB++Rω-ωR+ +Eω-ωE

ω ωR ωE ωB

Bizkaia irratia Irola irratia

RNE


'limiteen signua aldatzen da: =−== ∞

∞−

−∞−

∞

−<<

<<

<<

)

) ωω

kasu bietarako balio du adierazpen honek: == ∞

∞−

−<<

<

)ω

ω/a aldagai bezala begiratuz: ( ) ( ) +

, ω=

Adibide erreza: ωω = ωωω Gauzak aldiz astiroago gertatzen dira, hau da frekuentzia aldiz txikiagoa da. Beste adibide ezaguna: Pultsu laukizuzena aldiz zabaldua Π

, , Bigarren seinaleak aldiz gehiago irauten du, aldiz energia gehiago dauka. Espektruan ere energia aldiz handitu dadin (Parsevalek esango duen bezala), eta aldiz estuagoa denez, anplitudea aldiz handiago izan behar da (energia anplitudearen modulu karratuarekiko proportzionala da).

Bitasun teorema

,+ω

+,1π⋅ω

Frogapena: ( ) ∞

∞−

− == ++, )ωωπ

ω

aldagaien izenak aldatuta → #ω→ ( ) ∞

∞−

− == ++, )

π

2π-rekin indartu eta alderatuz ( “denborarekiko”) ( ) +, + ) ==−⋅ ∞

∞−

−π , hau

da, Fourier transformatuaren formula daukagu, X(z) seinalea z eremutik eremura transformatzen duena. X(z) seinale eta transformatua eta ω aldagai arruntetan adieraziz: ( ) +, =−⋅ ωπ

+ω

9!;

ω

ωωπ

ωπ

ω

+ω

9!;

ω

ω

ωπ

ωπT

T

ω

,

,

Diferentziapena denboran

,+ω

,)ω⋅+ω

Frogapena:

( ) ( ) ωωωωωπ

ωωπ

ωωπ

ω ωω

ω +),+)

++

+,

))

)

−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

===

==

Denbora eremuan ekuazio diferentzialak direnak frekuentzia eremuan ekuazio algebraiko bilakatzen dira. Adibidez behe pasako RC iragazkia.

Diferentziapena frekuentzian

,+ω

⋅,)⋅+ωω

Ariketatxoa: Kalkulatu ,⋅α⋅

Integrazioa

,+ω

∞τ⋅τ,+ω)ωπ+⋅δω

Konboluzioa frekuentzian. Modulazioa

,+ω,;ω

1π⋅⋅,+ω∗;ω

Sistema kausalaren frekuentzia erantzuna

:?)@?)@)

R edo I ezagutzea nahikoa da, bata bestearengandik kalkula daiteke. Alde erreal edo irudikaria ezagutzea nahikoa da. Bestalde

@A ω

9!; ω τ

ω

@A ω

ω

ωωA

AA

π

20 0 20 1

0

1

2

@( )

ω

X ( ) . 2 9!; . A

2


...

5..

3..

Alde bikoiti edo bakoitia ezagutzea nahikoa da. Gainera erreala bada :ωerreala eta bikoitia da :ω?ω@): )

: ω erreala eta bakoitia da : ω)@ω)?): Nahiko da lau-etatik bat ezagutzea: .,. ,?edo@

2.2.5 Lehiokatu

Seinalea tarteka aztertzeko epe laburreko Fourier transformatua egin ohi da, tarte bateko seinalea bakarrik kontuan harturik. Erabiltzen da seinalea denbora errealean prozesatzeko edota bere espektrua denbora tarte bakoitzean aztertzea baliagarria denean. ,+ω

9,Aω

9⋅9,+9+ω∗Aω

Leiho laukia bada lobulu sekundarioak nahasketa sortzen dute. Lobulu sekundarioak – frekuentzia altuak – leiho laukiaren bat-bateko mailari lotuak daude. Nahasketa murrizteko pixkanaka ixten diren leihoak erabiltzen dira (hamming, hanning, ...) Leiho luzearekin frekuentzia zehaztasun handia daukagu, leiho laburrarekin frekuentzia zehaztasun gutxi.

ω

+ωπ

ω

ω

ω

)

)ω

BBB BBB

+ω

ω

2.3 Seinale periodikoak eta Fourier-en analisia

Seinale periodikoen adierazpena Fourier serieen bidez

( ) ∞

−∞=

=

)

ω ∀

( )−=

)

ω

∀

Frogapena esponentzial armonikoen ortogonaltasunetik dator.

( )

))

))

)

)

=

⋅=⋅=

= ∞

−∞=

−∞

−∞=

−−∞

−∞=

ωωωωωω

Batukari barruan aldagaia erabiltzen dut kanpoko -rekin nahastu ez dadin.

( )( )

( )

≠∀=∀

=

=

−=≠

==

=⋅ −−

−

)

)

)

))

ω

ωω

ωω ↑

== πω )*)* ↑

Seinale periodikoaren Fourier transformatua seinalearen serieko deskonposaketaren transformatua da: ,+ω

( ) ∞

−∞=

=

)

ω, ( )

∞

−∞=

∞

−∞=

−==

)

, + ωωπδω ω

Osagai esponentzial armoniko bakoitzaren transformatua inpultso atzeratua da. Seinalearen transformatua inpultso ponderatuen batukaria, ω0 tartearekin beraien artean

Seinale periodikoak oinarrizko frekuentzian eta armonikoetan bakarrik dauka energia, beste frekuentzietan ez.

2.3.1 Seinale periodikoen Fourier transformatua

Seinale periodikoen Fourier transformatua kalkulatzeko beste bide bat oinarrizko seinale ez periodiko baten kopia mugituen batura bezala deskonposatzen hasten da. Σ ∗Σδ

Delten segidaren transformatua delta segida da ere. Σδ , ωΣδωω

eta , + ω beraz konboluzioaren teorema aplikatuz: ,+ωΣω + ωδωω Σω + ω δωω ω π

Fourier seriaren bidez lortutako transformatuaren adierazpenarekin parekatuz


+ ω

+ ω seinale ez-periodikoaren transformatua irudikatzean ω aldagaiarekiko jarraia dela ikusten dugu. Oinarrizko seinalea periodikoki errepikatzearen eraginez transformatua delten segida bilakatu da, hau da, energia guztia ω frekuentziaren harmonikoetan bildu da. Delta bakoitzaren indarra + ω transformatuak ponderatzen du, +ω+ ωlagintzen lortzen dela esan dezakegu. +ω adierazteko ω frekuentzietako balioak ematea nahikoa denez ω ardatz jarrai erabili beharrean ardatz diskretua erabil dezakegu, bertan +ω edo balioak adieraziz. Ondorioa:

Denbora eremuan periodikoa den seinalea frekuentzia eremuan diskretua da. Adibide-ariketatxoa: Laukizuzen periodikoaren transformatua kalkulatu

2.3.2 Seinale periodikoak sistema linealen zehar

Sistema lineal bati seinale periodikoa sartuz gero irteerako seinalea ere periodikoa izango da.

Frekuentzia esparruan:

;ω+ω⋅:ω

periodikoa +ωΣω+ωδωω

;ωΣω+ω:ωδωω seinale periodikoaren egitura dauka, δ segida ponderatua. ;ω1πΣδωω haztapen koefizienteak irteerako seinalearen Fourier serieko deskonposaketaren koefizienteak dira. ;ω+ω⋅:ω ⋅:ω

⋅:ω2.1 puntuan esan bezala esponentzialak sistema linealen autofuntzioak dira, horregatik da erabilgarri Fourier deskonposaketa. Harmoniko bakoitza sartzerakoan, -garrena indarrarekin, frekuentzia bereko harmonikoa aterako da, bere indarra frekuentzia horretako autobalioaz, :ω%, aldatu delarik.

+ω

ω

ω

H∗(ω)

ω

+ωπ

ω

ω

ω

)

)ω

• • •

ω

• • •

ω

:ω

ω

;ωπ+ω⋅:ω π

ω

⋅:ω

⋅:ω

ω

⋅:

ω

⋅:ω )⋅:)ω

)ω

• • •

⋅:ω

ω

• • •

ω

+ωπ

ω

ω

ω

)

)ω

• • •

ω

• • •ω

+ωπ

ω

ω

ω

)

)ω

• • •

ω

• • •

ω

:ω

ω

:ω

ω

;ωπ+ω⋅:ω π

ω

⋅:ω

⋅:ω

ω

⋅:

ω

⋅:ω )⋅:)ω

)ω

• • •

⋅:ω

ω

• • •ω

;ωπ+ω⋅:ω π

ω

⋅:ω

⋅:ω

ω

⋅:

ω

⋅:ω )⋅:)ω

)ω

• • •

⋅:ω

ω

• • •

Denbora esparruan:

∗.Σ ∗.

∗.ττ.τττΣ%.ττeta τ independenteak direnez eta Σ truka daitezke, eta aldagai aldaketa eginez τ%τC#ττC

ΣτC τC.τCτCΣ

τC τC.τCτC ∗.

Sarrera periodikoaren oinarri seinalea, , sistema linealean sartuz irtetzen dena oinarri seinalea izango da. seinale periodikoa oinarri seinalearen errepikapen atzeratuak batzen osatzen da. Sistema lineala (gainezarmen propietatea betetzen da) eta denboran ez-aldakorra denez irteeran ere errepikapen atzeratuak agertuko dira, , eta honen batura bezala osatutako irteera periodikoa izango da beraz.

Laburpen taula

denboran periodikoa p.t frekuentzian diskretua d.ω frekuentzian periodikoa p.ω denboran diskretua d.t t\ω ez-periodikoa Periodikoa ez-periodikoa ep.tj.ω (jarraia frekuentzian)

ep.ωj.t [irudiak jt jω]

ep.tj.ω p.ωd.t [irudiak dt jω]

Periodikoa p.td.ω ep.ωj.t [irudiak jt dω]

p.td.ω p.ωd.t [irudiak dt dω]

Seinalea denboran, Espektrua, seinalea

frekuentzian, ω

Ez-

perio

diko

a

jarraia

perio

diko

a “diskretua"

+ω

ω

+ω

ω

t

t

t

t

t

t

t


Ariketatxoa: A anplitudea eta T periodoa daukan sinuaren periodo bakarra hartu eta 2T periodoarekin errepikatuz sortzen den seinale periodikoaren Fourier Transformatua kalkulatu. Baita FS koefizienteak. (2000-II-8 eguneko azterketako 1a) ariketa da) b) Irteera behe pasako iragazki ideialetik pasatzerakoan, etetze frekuentzia 5 ω0/4

2.4 Korrelazioa eta espektroa

2.4.1 Energia eta potentzia

Zirkuito elektrikoan 8 '⋅

? potentzia = voltaia⋅intentsitatea (R erresistentzia)

Akustikan @8⋅⋅8

intentsitatea (potentzia) = presioa ⋅abiadura (z inpedantzia akustikoa) Mekanika ⋅*

1 Energia zinetikoa = ½⋅masa⋅abiadura karratua = aldiuneko potentziaren integrala ∀8 Zirkuito elektrikoan ∀

?

Pareko eran seinale [erreal] baten Energia ∀

Oro har seinale konplexuekin = modulu karratuaren integrala = seinalea bere konjokatuarekin biderkatu eta integratu. = ∀$$

= ∀⋅D

Ez da beti energia fisiko batekin lotuta egongo. Dagoenean ere eskala ez da gehienetan zuzen agertuko. Adibidez ⋅ Era berean seinale bien arteko energia gurutzatua ∀⋅D⋅ Batezbezteko potentzia E0

D

Energia gurutzatuaren Parseval-en formula (3@Bπ

Energia espektroa edo Energia gurutzatuaren espektro dentsitatea /ω≡+ω⋅;∗

ω

Energia osoa (1π∀ω/ωω

Seinale baten energi espektro dentsitatea /ω6+

ω6

Energia π∀ω/ωω

/ω-ren propietateak

Erreala. Ez dauka fasearen informazioa ==> ezin dugu seinalea berreskuratu Zer irtengo ote da /ω-ren alderantzizko transformatua eginez? Autokorrelazioa

Beti positiboa erreala bada /ω energi espektro dentsitateak simetria bikoitia dauka.


+ω+∗2ω6+

ω66+

2ω6

Batezbesteko potentzia finitua daukaten seinaleak

Energía, = ∀$$ , finitua daukaten seinaleak ez dira guztiak. Seinale askok ∞

dute, adibidez maila unitate seinaleak eta seinale periodikoak. Hauetariko askok batezbesteko potentzia daukate finitua. Seinale periodikoen potentzia definitzeko periodo bateko energia kalkulatzen dugu

666⋅

Periodo bateko batezbesteko potentzia:

E

⋅==

Seinale ez periodikoa periodo bakar oso luzea daukan seinale periodiko bezala ikus dezakegu, horrela periodo bateko batezbesteko potentziaren formularen limitea eginez, ∞, eta ikurra -ren ordez jarriz formula orokorra daukagu:

E

⋅= ∞→

!"

Seinale periodikoetarako aurreko formularekin bat datorrela egiaztatzeko: M periodotako batezbesteko potentzia...

77

E

77 ⋅=⋅⋅=⋅= =

...periodo bakarrekoaren berdina da, ∀7∈ Beraz seinale osoarena, 7∞ ∞ limitearen bidez kalkulatu daiteke, eta periodo bateko bera da:

*E

⋅=⋅= ∞→

energia finitukoa bada orduan E

Potentzi finitukoa bada ∞ Anplitudea mugatua eta iraupen finitua badauka orduan energia finitukoa da. Iraupen ez finitukoa bada auskalo. Periodikoa bada potentzia finitua; ez bada, auskalo. Ariketatxoak: - Kalkulatu maila unitatearen energia eta potentzia. - Kalkulatu energia eta potentzia - Kalkulatu laukizuzen eta hirukiaren arteko energia gurutzatua, Π∆

2.4.2 Potentzia dentsitate espektrala

Energia infinitua daukaten seinaleen Energi espektro dentsitatea ez da baliagarria beraz batezbesteko potentzia finituko seinaleen potentzia espektro dentsitatea erabiltzen da. Batezbesteko potentziaren formulan Parsevalen erlazioa erabiliz, eta potentziaren formulan limitea integralaren barruan sarturik:

( ) ωωπ ω

FE ⋅= ∀

non Potentziaren espektro dentsitatea honela definitu dugun:

non +ω, eta ( ) ( )

−Π⋅=

( ) ( )

+F

!"ω

ω∞→

≡

+ω erabili da potentzia espektro dentsitatearen definizioan, baina limitean +ω+ω

Potentzia gurutzatuaren espektro dentsitatea

Seinale biren arteko potentzia gurutzatua aztertzeko definitzen dira

*E

⋅⋅≡ ∗

∞→

( ) ( ) ( )

;+*F

ωωω∗

∞→

⋅=

( ) ωωπ

FE

⋅= ∀

Ariketatxoak: Seinale hauen eta /ω edo E eta Fω kalkulatu

Seinale periodikoen potentzia eta potentzia espektru dentsitatea

Seinale baten potentzia E edo E:

E

⋅=

periodikoa denez Fourier serieko deskonposaketa bezala

adierazita,

( ) ( ) +

E

)

)

⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∀

∗

∀

∗

∀

∗∗

ωωω

2.3.1 atalean lortutako + ω erlazioa erabiliz

( )

==

+

E ω Seinale periodikoen potentziaren Parseval-en teorema

Seinale periodiko baten batezbesteko potentzia osagai armoniko bakoitzaren anplitudearen karratuen batura da (osagai armonikoen potentzia). Seinale periodiko biren arteko potentzia gurutzatua E:

E

⋅⋅= ∗

eta periodikoak direnez fourier serieko deskonposaketa bezala adierazita osagai armoniko bikote bakoitzaren arteko potentzia gurutzatuen batura da. Baina esponentzial armonikoak ortogonalak dira beraien artean, frekuentzia ezberdineko esponentzialen arteko potentzia komuna zero da. Frekuentzia bereko osagaietan bakarrik

gurutzatzen da potentzia. ...

ω

;ωπ

ω

ω

ω

)

)ω

BBB BBB

+ω

ω

ω

+ωπ

ω

ω

ω

)

)ω

BBB BBB

+ω

ω

))


∗⋅=

E

2.4.3 Korrelazioa eta espektro dentsitate funtzioak

Korrelazio gurutzatuak seinale biren arteko antza, antzekotasuna, neurtzen du. Autokorrelazioak seinale bat seinale bera desplazatuarekin konparatzen du. Seinaleak prozesatzeko tresna indartsua da. Energía finituko eta potentzia finituko seinaleak era ezberdinean aztertzen dira.

Energia finituko funtzioen korrelazio funtzioa

( ) ?

⋅⋅+≡ ∀∗ ττ

Korrelazioa τ desplazamenduaren funtzio da.

τ?≡∀⋅?⋅ Korrelazioa jatorrian energia gurutzatua da.

? bada eta ortogonalak direla esango dugu. Korrelazioaren Fourier transformatua, (integralekin eragiketak eginez) ...

,?τ+ω⋅;∗ω/ω Korrelazio teorema Korrelazioaren Fourier trasformatua energia espektro dentsitatea da. Beste era baten frogatzeko:

?τ≡∀τ⋅?⋅∀⋅3?

τ⋅Cτ∗∗τ

,?τ,τ∗∗τ+ω⋅;∗

ω konboluzio teorema erabiliz bada korrelazio gurutzatua autokorrelazioa bilakatzen da: ?τ≡∀τ⋅?

⋅?

,?τ$+ω$/ω

Interpretazioa

Korrelazio gurutzatuak seinale bien arteko antza neurtzen duenez, seinale bien arteko distantzia neurtzeko beste era batzuekin lotuta egongo da, adibidez Batezbesteko errore koadratikoaz C∀

Cτ%?τ

C(τ) ≥ 0 denez ?τ∠ Seinale biren arteko korrelazio gurutzatua seinale bien energiaren batezbeztekoa baino handiagoa ezin da izan. Schwarz-en ezberdintasunaren formula erabiliz

( ) ( ) ( ) ( ) ⋅≤⋅⋅

τ

eginez/ordezkatuz $?τ$∠⋅


Seinale biren arteko korrelazio gurutzatuaren modulu karratua seinale bien energiaren biderketa baino handiagoa ezin da izan. Berdina da eta proportzionalak direnean α⋅ Kasu horretan distantzia minimoa/maximoa egongo da ?τ balioaren signuaren arabera. Mugak: Batezbesteko aritmetikoa eta batezbesteko geometrikoa (hau txikiagoa, edo berdina) bada autokorrelazioa: 6?τ6

∠

?

definizioan ordezkatuz egiaztatzen da

6?τ6∠?(batezbesteko aritmetikoaren formularekin gauza bera) Hau da, autokorrelazioa jatorrian maximoa da. Noski, seinale mugitua ez da seinale originala baino "berdinagoa" sekula izango (berdina izan daiteke, seinale periodikoak kasu)....

2.4.4 Korrelazioaren propietateak

• Simetria hermitikoa Korrelazio gurutzatua ?τ?

∗τ Ez da trukakorra

Autokorrelazioa ?τ?∗τ

erreala autokorrelazioa bikoitia ?τ?τ eta energi espektro dentsitatea ereala eta bikoitia, hau da, energia erdia

frekuentzi osagai positiboak ematen dute eta beste erdia frekuentzia negatiboko osagaiak.

• Autokorrelazioa jatorrian energia da: ? ? • Autokorrelazioaren maximoa jatorrian dago: $?τ$∠? ∀τ Korrelazio gurutzatuaren maximoa: $?τ$∠√⋅ ∀τ

Ariketak:

Dkalkulatu ?τ

Datua:

⋅= Exp[-(x^2)]dx= Ebazpena hemen: KorrelazioGurutzatua.mcd ::Idem beste seinale honekin

Datua: ⋅= Seinale honek G kurba jarraitzen du:

.7!E!;=F !8. G=;9!

.HI8>J(9>JCJ)F 2K!8. G=;9!."

::Kalkulatu eta )ω-ren arteko energia gurutzatua.

Potentzia finituko funtzioen korrelazio funtzioa

( )

*?

⋅⋅+≡ ∗

∞→

ττ

?τ,Fω Korrelazio gurutzatuaren transformatua potentzia gurutzatuaren espektro dentzitatea da. Frogatzeko:

( ) =⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+= ∗

∀

−

∞→

−

∀

∗

∞→

?,

)

)

!"

!" τττττ

τωτωτ

τ

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )ωωωωω ωω

)

)

F;+

+

+

=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∗

∞→

∗−

∞→

∗

∞→

!"

!"

!"

Maria Gaëtana Agnesi

.

?τ ?τ

non potentzia dentsitatea definitu genuen atalean bezala seinale laguntzailea definitu dugun,

iraupeneko integralak hartzen duen seinale zatia, ( ) ( )

−Π⋅=

eta ;ω,

Seinale periodikoen korrelazio funtzioa

eta periodo bereko seinale bi izanik

( )

*?

⋅⋅+= ∗

∞→

ττ 7 harturik, limitean 7∞

( ) 77

*7

*?777

⋅⋅+=⋅⋅+= ∗

∞→

∗

∞→

τττ

( )

?

⋅⋅+= ∗

ττ periodikoa da periodoarekin, frogatzeko

( ) τω)

⋅= ( ) τω)

⋅= ∗∗ ωπ

... ( ) τωτ )

? ⋅⋅= ∗

( ) ( ) ωωδπω F

−⋅⋅= ∗

denean autokorrelazioa da: ( ) τωτ

)

? ⋅=

( ) ( )

ωωδπω F

−⋅=

?E

• Autokorrelazioa jatorrian potentzia da: ?E ?E • Autokorrelazioaren maximoa jatorrian dago: $?τ$∠?E ∀τ

Korrelazio gurutzatuaren maximoa: $?τ$∠√E⋅E∀τ Fourier transformatuaren interpretazioa Korrelazio edo Energia gurutzatuaren bidez

Seinalea deskonposatzerakoan (transformatua egiterakoan) frekuentzia osagai (esponentzial) bakoitzean daukan indarra jakiteko esponentzial bakoitzarekin daukan H Hneurtu nahi dugu. eta )ω-ren arteko energia gurutzatuak balio dezake horretarako, izan ere, honen formula edo adierazpena idatziz Fourier transformatuaren formula dela ikusten dugu: ∀⋅)ω

D∀⋅)ω

2.4.5 Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar

. inpultso erantzuna daukan sistema lineal ez aldakorraren irteeraren korrelazioa aztertuko dugu sarrerako seinalearen autokorrelazioa ?τ ezaguturik. Irteerako seinalearen korrelazioak sarrerakoaren autokorrelazioaren funtzio bezala idatzi nahi ditugu. Energia finituko seinaleak alde batetik eta potentzia finitukoak bestetik aztertuko ditugu. eta energia finitukoak


.τ .∗τ?τ?τ ?τ

/ω/ω /ω:ω :Dω

.τ .∗τ?τ?τ ?τ

FωFω Fω:ω :Dω

Sistema egonkorra bada eta mota berekoak izango dira, hau da, energia finitukoa bada ere energia finitukoa izango da. • Sarrera eta irteeraren arteko korrelazio gurutzatua ?τ∀τ⋅?

⋅τ??τ

Bestalde ττ?.τ beraz 3∗τ

∗τ?.

∗τ

?ττ??ττ?

∗τ?.

∗τ?τ?.

∗τ

• Irteera eta sarreraren arteko korrelazio gurutzatua ?ττ?

?ττ?.τ?

∗τ?τ?.τ

• Irteeraren autokorrelazioa ?ττ?

?ττ?.τ?

∗τ?.

∗τ?τ??..τ

edo baita ?τ?τ?

.

∗τ

Aurreko korrelazioen formulen Fourier transformatua eginik: /ω2(ω⋅L∗

ω

/ω/ω⋅:ω

/ω/ω⋅$:ω$/ω⋅:∗

ω

eta potentzia finitukoak • Sarrera eta irteeraren arteko korrelazio gurutzatua ?τ*

∞∀

∗⋅τ⋅C ... [ezin dugu esan ?ττ?

?τ denik, baina

eragiketak eginez: ... ?τ?τ?.τ ?τ?

∗τ?

∗τ?

.

∗τ?τ?

.

∗τ

• Irteeraren autokorrelazioa ?τ*

∞∀τ⋅∗

⋅C

... ?τ?τ?

.

∗τ?τ?.τ?.∗τ baina = edo ≠ ?τ??..τ

FωFω⋅:∗

ω

FωFω⋅:ω

FωFω⋅$:ω$

2.4 ataleko formulak laburbiltzeko taula (edo kuboa) beteko dut. Ardatz baten Energia finituko seinaleak, Potentzia finitukoak (azpimota bezala seinale periodikoak). Beste ardatz bat Energia /edo Potentzia, Energia /edo Potentzia espektro dentsitatea, Korrelazioa Hirugarren ardatza (edo beste plano batean pareko taula) seinalea berarekin (auto), gurutzatua Energia finituko Potentzia finituko

ez-periodiko Periodiko Energia ≡∀⋅D⋅

π∀ω/ωω ∞

*E

⋅⋅≡ ∗

∞→

( ) ωωπ ω

FE ⋅= ∀

Potentzia 0

E

⋅⋅= ∗

∗⋅=

E

Energi espektru dentsitatea

/ω≡+ω⋅;∗ω ∞

( ) ( ) ( )

;+*F

ωωω∗

∞→

⋅=

Potentzia espektru dentsitatea

0

( ) ( ) ωωδπω F

−⋅⋅= ∗

( )

*?

⋅⋅+≡ ∗

∞→

ττ

( ) ? ⋅⋅+≡ ∀∗

τττ Korrelazioa

( )

?

⋅⋅+= ∗

ττ

( ) τωτ )

? ⋅⋅= ∗


3. Denbora diskretuko seinale eta sistemen espektro analisia

3.1 Sarrera

Seinale diskretuen Fourier serie deskonposaketa aztertuko dugu, ondoren Fourier transformatua ikusteko.

3.2 Sekuentzia diskretu periodikoak

Aurreko "Periodiko – ez-periodiko sailkapena" atalean esan den bezala sekuentzia diskretua periodikoa da hau betetzen badu ∃∀

Lehen gaian 1.2.4 atalean ondorio hau atera genuen esponentzial diskretua periodikoa bada ⇐

)*π* osoak

3.2.1 Fourier Serie diskretua

harmonikoki erlazionaturiko esponentzial konplexuak atalean esan den bezala seinale diskretu periodiko batek harmoniko kopuru finitua dauka. Beraz seinale diskretu periodikoa Fourier serieko osagaien batura bezala idazten badugu (oinarrizko frekuentzia gehi armoniko guztien konbinaketa lineala) :

[ ] [ ] =

∞

−∞=

==

)

)

ππ

∀ armoniko ezberdin baino ez daudelako.

53 ikurrak koefiziente hartzen ditugula esan nahi du 000

)000 edo beste edozein luzerako sekuentzia. Deskonposaketa hori Fourier Serie Diskretua da, DFS. koefizienteak kalkulatzeko seinalearen periodo bateko balio bakoitzetik ekuazio bat lortzen da

[ ] ==

==

)

π

[ ] =

=

)

π

[ ] =

=

)

π

...

[ ] ( ) =

−=−

)

π

Guztira ekuazio, balio ezezagunekin ebatzi daiteke. Baina beste bidea, errazagoa, emaitza hau dela egiaztatzea da:

[ ] ( ) =

−=

)

π 000


Odezkatuz -ren serie konposaketa [ ] =

=

)

π

[ ] ( ) =

−=

)

π -ren ordez erabiliko dugu indize biak nahastu ez daitezen

( ) ( ) = = =

−−

=

=

)

)

)

ππ

π

=...

Barruko batukarian N fasore daude, beraien artean 1π angelua desfasatuak. Hau da, zirkunferentzian simetrikoki banatuak daude, beraz batura zero da. deneko kasu berezia izan ezik, orduan fasore guztiak 1 balio dute eta baturak .

...

== q.e.d

Ariketatxo laburrak: • πM sekuentzia irudikatu, bere

Fourier Serie Diskretuaren koefizienteak kalkulatu eta grafikoki adierazi.

• MπM sekuentziaren DFS kalkulatu. Irudikatu biak, seinalea eta DFSa.

• batukari delta: N unero errepikatzen diren inpultsoz osaturiko seinalea esponentzial konplexuen batura bezala adierazi. Irudikatu DFSa.

3.3 Sekuentzia diskretuen Fourier transformatua

3.3.1 Sekuentzia ez-periodikoen Fourier transformatua

Ikuspuntu bitatik: Fourier seriearen limitea periodoa handitzerakoan edo esponentzial konplexua autofuntzioa dela ikusirik.

Lehen ikuspuntua: Fourier serie deskonposaketa (ez-periodikoentzako frekuentzia ez harmoniko, ez multiploekin, integralaz orokortuz). ∞

ΣΩ

1πΩ

Ω

Denbora jarraian egindakoan bezala esponentzial konplexuen erantzuna aztertzen badugu

. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

∀

−

∀

−∞

−∞=

⋅==⋅−=∗=

....

:

esponentzial konplexua autofuntzioa dela ikusten dugu. Funtzio bera irtetzen da

sistematik, indarra bakarrik aldatu du. : autobalioa, konstantea denborarekiko. balio bakoitzeko esponentziala nola haztatzen (ponderatzen) den ematen digun formula, I

transformatua da: ( ) [ ] ∀

−=

.:

I transformatua :

)Ω Fourier transformatua :

)Ωerrezago adierazteko :Ω

Adibidez ( ) )

π−

Periodikoa da: :)Ωπ

:)Ω⋅)π

:)Ω

( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ∀

Ω−

∀

−Ω

=∀

−=

====ΩΩ

Ω

)

)

...:

)

)L

[ ] ( ) [ ] ∀

Ω−=Ω↔

),

+

( ) [ ] ( ) ΩΩ=↔Ω Ω−

ππ

++ ),

)Ωosagai bakoitza :Ω balioaz ponderatzen da sistema iragatzen duenean eta guztiak

batuz daukagu , +Ω:Ω-ren alderantzizko transformatua. Sistemaren transferentzia funtzioa :Ω=;Ω+Ω Sistema egonkorra <--> :Ωserieak konbergitzen du Ariketaxoa : sarturik * ematen duen sistemaren I transformatua kalkulatu Erantzuna: Bide pare bat. errezena osagaia sarturik, erantzuna * da = *

*= ⋅*= ⋅: autofunzioa⋅autobalioa :

* Beste bidea, aurretik . kalkulatu eta gero transformatu. Inpultso erantzuna kalkulatzeko bide bi. Bata galdera honi erantzunez: Zein da seinalearekin konboluzionatzean atzeratua ematen duen seinalea? Delta atzeratua, konboluzioaren elementu neutroa. Bestea errazago, sisteman Inpultsoa δ sartuz irtetzen dena Inpultso erantzuna da . * δ δ* Transformatzeko ( ) [ ] [ ] *

*.: −

∀

−

∀

− =−== δ

Sintesi ekuazioa, alderantzizko transformatuaren formula, zuzena dela frogatzen: Sintesi-analisi, transformatu-antitransformatu, ekuazio bikotea hau bada

[ ] ( ) [ ] ∀

Ω−=Ω↔

),

+

( ) [ ] ( ) ΩΩ=↔Ω Ω−

ππ

++ ),

orduan bata bestean ordezkatuz identitatea lortuko dugu. Pausuak:

, ordezkatu , ekuazioan, bietako aldagaia nahastu ez dadin , ekuazioan * Batukaria eta integraletik atara

[ ] ( ) [ ] [ ] =Ω=Ω=ΩΩ= −Ω−

∀

Ω

∀

Ω−Ω

πππ πππ

**+ *)

*

)

*

*))

Integralak esponentzial ezberdinen arteko energia gurutzatua, norma, produktu eskalarra kalkulatzen du. Emaitza da * denean izan ezik (aurreko gaietan hainbat aldiz ikusi dugun antzera). * denean % integratzen da 2π tartean 2π Beraz, batukariko ia termino guztiak dira, bakarra gelditzen da *-garrena:

[ ] [ ] =⋅= ππ

q.e.d. Frogatuta//

Ariketaxoa: Behe-pasako iragazki ideialaren inpultso erantzuna kalkulatu, etetze frekuentzia Ωe izanik.

∗..LTI

+Ω ;Ω+Ω⋅⋅⋅⋅:Ω :Ω

, ,(

,

Ω

:Ω

%

πΩΩ


Behe pasa bezala irudikatu ohi dugu, baina ez ahaztu Ω ardatzean periodikoa dela: Alderantzizko Fourier transformatua:

[ ] ( ) ( )πππππππ π

):.

))))

ΩΩ=

ΩΩΩ

=Ω=−=Ω=ΩΩ= Ω−ΩΩ

Ω−

ΩΩ

. une negatiboetan ere agertzen da sistema ez da kausala Praktikan ezin da egin. Baia trikimailu batekin antzekoa lortzen da, inpultso erantzuna denboran mugatu, urrutiko balioak txikiak direlako, ∞ eta denboran atzeratu kausala izan arte. Erantzuna "erretardoarekin" agertuko da. Adibidea: (

balioagatik biderkatzea frekuentzian desplazatzea da. Pasu-behea goi-pasua bilakatzen da.

seinalea frekuentzia maximokoa da. Ariketatxoa: Laukizuzenaren transformatua kalkulatu, bikoitia, N1-erainokoa. Erantzuna: Sinc periodikoa Sin/sin

3.3.2 Sekuentzia periodikoen transformatua

Sekuentzia periodikoen espektroa Fourier seriearen bidez aztertu genuen, baina interesgarria da transformatuaren bidez aztertzea, horrela transformatuarekin seinale guztiak azter ditzakegu.

Esponentzial konplexuaren transformatua pultsu bakarra da, denbora jarraian transformatua delta da, eta hemen berdin gertatzen da. Osagai bakarrak dauka energia guztia, transformatuan ardatza (aldagaia) jarraia denez osagaiaren "zabalera espektrala" diferentziala da, beraz energia finitua izan dadin altuera infinitua behar dugu, Dirac delta.

Denbora diskretua denez, , espektroa periodikoa da, beraz errepikatzen den delta daukagu:

)Ω,+Ω1πΣ∀δΩΩ%1π

Frogatu:

[ ] ( ) ( ) ( ) =Ω−Ω−Ω=ΩΩ=Ω= Ω

∀

Ω−

ππππδ

ππ

++, )

)

Ω

:Ω

%

(

πΩΩ ππΩ πΩ )π)πΩ )πΩ

Ω

+Ω,)Ω

1π

πΩ ππΩ )π)πΩππ ππΩ

π

Ω

+Ω

πΩ π)π) π π)

≠

Ω≠π

πΩ

πΩ

Delta-k 2π distantziara daude Ω ardatzean beraz 2π tartean integratzeak delta bakarra hartzen du. Idazkera errezteko -ko delta harturik, deltaren "laginketa" propietatea erabiliz, eta bere gainazala definizioz unitatea dela jakinik:

( ) ( ) ( ) ))))

ΩΩΩΩ =ΩΩ−Ω=ΩΩ−Ω=ΩΩ−Ω= δπππδ

ππδ

π

q.e.d. Frogatuta// Edozein (ia edozein) seinale diskretu periodiko Fourier serie bezala konposatu dezakegunez, eta osagai esponentzial bakoitzaren transformatua delta seguida periodikoa denez, seinale osoaren transformatua delta multzo errepikatua da (edo delta errepikatuen multzoa).

[ ] =

Ω=

)

, ( ) ( )

= ∀

−Ω−Ω=Ω

+ ππδ

Seinalea periodikoa bada Ω=2π/ ==> 2π = Ω hau da, espektruko errepikapen periodikoetako deltak frekuentzia armonikoen multiploetan agertzen dira. Ondorioz aurreko adierazpena sinplifikatu daiteke:

( ) ∞

−∞=

−Ω=Ω

+πδπ

koefiziente ezberdin baino ez ditugula jakinik betiere,

≡ delako.

Seinale sasiperiodikoak Delta multzo errepikatua bai baina azken batukari bakarrarekin adierazi ezin daitezken +Ω espektruak ere imagina ditzakegu, 2π periodoaren frakzio ez diren frekuentzietan osagaiak dituena. Horrelako seinaleak ez dira periodikoak Ω≠2π/

Denboran begiratuta enbolbentea periodikoa baina seinale diskretua ez. Enbolbenteak ez dauka periodo osorik.

Ω

+Ω

0 π ππΩ )πππ π

π

Ω

π %

π π

π

π

πΩ

π π

π

π

π

π π

π

π

)πΩ

π

1


Adibidea: Ω , +ΩΣ∀πδΩΩπδΩΩπ Irudikatu cosinuaren delta bikotea...periodikoki errepikaturik Adibidea proposatu: Laukizuzen periodikoaren transformatua kalkulatu, bikoitia,

N1-erainokoa, N periodokoa. Fourier koefizienteen formula seinale berezi hau ordezkatuz:

( )

)

π

π

=Ω

−=

−

Ω

Ω+==

Aurreko ariketan ebatzitako serie geometrikoaren emaitza bererabili dugu (sinc periodikoa). Ikuspuntu berria azalerazten da,

"seinale periodikoaren espektrua periodo baten espektru lagindua da"

3.3.2.1 Laburpen taula

denboran periodikoa p. frekuentzian "diskretua" d.ω frekuentzian periodikoa p.ωΩ) denboran diskretua d. denbora

ez-periodikoa Periodikoa

jarr

aia,

ez-periodikoa, ω

disk

retu

a,

periodikoa, Ω

jarraia "diskretua" frekuentzia

ωΩ Frekuentzian "diskretua" esateak ez dauka denboran diskretua esateak daukan esannahia. Ez du esan nahi Ω aldagaiaren balio osoak bakarrik erabiltzen direla, ( ∈# baina oraindik Ω∈N ). Kasu honetan "diskretua"-k esan nahi du +Ω espektruak Ω aldagaiaren balio jakin batzuetan bakarrik daukala indarra (delta batean kontzentratua), beste guztietan zero da.

3.3.3 Seinale diskretuen Fourier transformatuaren propietateak

,+Ω

3.3.3.1 Periodikoa da

:)Ω Fourier transformatua L

)Ωerrezago

adierazteko :Ω

Periodikoa da: :ΩπL

)ΩπL

)Ω⋅)πL

)Ω:Ω

I planoa

)Ω

Ω

ΩπΩπ

+ω

ω

+Ω

Ω

+ω

ω

+Ω

Ω

3.3.3.2 Linealtasuna

(,+(Ω

1,+1Ω

⋅(⋅1, ⋅+1Ω⋅+1Ω

3.3.3.3 Simetriak

Guztiak kalkulatzen dira hau jakinik [ ] ( ) [ ] Ω−=Ω↔

)+

+Ω

∗+

∗Ω

Seinale erreala

D+Ω+

DΩsimetria hermitikoa

Seinale bikoitia +Ω+Ωsimetria bikoitia Seinale bakoitia +Ω+Ωsimetria bakoitia Seinale erreala eta bikoitia +Ω+

DΩ+Ωerreala eta bikoitia

Seinale erreala eta bakoitia +Ω+DΩ+Ωirudikaria eta bakoitia

Sekuentziaren

propietatea Bikoitia Bakoitia

Bikoitia Bakoitia

Erreala

Hermitikoa Bikoitia, erreala Bakoitia, irudikaria

Irudikaria

Bikoitia, irudikaria Bakoitia, erreala

3.3.3.4 Denbora atzerapena

,+Ω ,+Ω⋅)Ω

Frogatzeko:

[ ] [ ] =−↔− ∀

Ω−

),

aldagai aldaketa [ ] ( ) )

)) +Ω−

∀

Ω−Ω− Ω==

asken pausuan )Ω batukaritik atera dugu -rekiko independientea delako, edo beste era batera esanda, batukariko termino guztien faktore komuna delako. Adibidea: Laukizuzen kausala, luzera L, unean hasten da, anplitudea G (aurretik

aztertutako laukizuzen bikoitia atzeratua)

3.3.3.5 Frekuentzi desplazamendua/translazioa

,+Ω ⋅)Ω ,+ΩΩ

Frogatzeko: ( ) ( ) =ΩΩ−Ω↔Ω−Ω Ω

−

ππ

++ ),

aldagai aldaketa

Ω=ΩΩ=Ω−Ω<

<

( ) [ ] ))) + <

<<

ΩΩΩ ⋅=ΩΩ= ππ


Adibidez Modulazioa: Ω

3.3.3.6 Konboluzioa

∗.,;Ω+Ω⋅⋅⋅⋅:Ω

;Ω [ ] [ ] [ ] [ ] =−=

−

∀

Ω−

∀∀

Ω−

∀

)

)

..

Denborako desplazamendu propietatea erabiliz ..Ω)Ω

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )Ω⋅Ω=⋅Ω=Ω= Ω−

∀

Ω−

∀ ;::: )

)

// Frogatuta

3.3.3.7 Biderketa, Konboluzioa frekuentzian

⋅,π⋅+Ω∗;Ω

3.3.3.8 Diferentziapena

Denbora diskretuko seinalea denez, deribatuaren ordez 1. diferentzia erabiltzen da hazkundea neurtzeko. Deribazioaren kontzeputua gogoratuz:

Denbora jarraiko seinalean deribatua da ( )

*

=∆

∆→∆

Deribatuak esaten digu funtzioa zenbat aldatzen den aldagaiak pixka bat aurrera

egiten duenean( )

* ∆

∆→∆

Denbora diskretuko seinalean lehen diferentzia

da [ ] [ ] [ ]

−−=∆

,+Ω

)Ω

Denbora atzerapenaren propietatea erabiliz aurreko emaitza zuzenean frogatzen da.

3.3.3.9 Frekuentzian deribatzea

⋅,)+ΩΩ

Ω, frekuentzia aldagaia jarraia denez, frekuentzia guztiak direnez posible, orain deribatua erabiltzen dugu. Frogatzeko:

( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] ),))

+

)

)

)

) −=−=−=Ω

=

Ω=

ΩΩ

∀

Ω−

∀

Ω−

∀

Ω−

∀

Ω−

3.3.3.10 Integrazioa, Metaketa

[ ] ( ) ( ) ( ) ∀∀

Ω− −Ω+−

Ω↔

)

,

+

+ πδπ

Lehen terminoa hori dela frogatzeko ikuspuntu bat: Lehen diferentziaren alderantzizko

eragiketa denez, biderkatzen zegoen )Ω

faktorea orain zatitzen agertzen da.

D

⊕⊕⊕⊕ -

Metaketa 1. diferentziaren alderantzizkoa dela ikusteko 1.diferentziaren bloke diagramari buelta ematen diogu, "ispiluan begiratuz": Orain ezkerrean daukagun sarrera da, eta eskumarantza doa seinalea (eta fletxak):

000

[ ] [ ] [ ] −∞=

−∞

=

∞

===−

//Frogatuta, seinalearen lehen diferentziaren metaketa seinalea bera da.

Metaketaren transformatua goian idatzitakoa dela frogatzeko beste ikuspuntu bat bloke diagrama hori erabiliz lor dezakegu. +ΩJΩ+&Ω

)Ω

JΩ+Ω+&Ω)Ω

+Ω)Ω

( ) ( )Ω−−

Ω=Ω)

J+

Arazotxoa Ω= balioan agertzen da ( ) ( ) ( ) ( ) ∞→=−

=−

= −

JJ

J+

)

seinalearen osagai zuzena nulua ez bada orduan bere metaketa infinitora doa, delta eragiten du frekuentzia aldagaiaren jatorrian, hasierako espresioaren bigarren terminoa πJδ periodikoa izan behar denez Σ∀kπJδπ

Termino biak bilduz, hasierako espresioa daukagu [ ] ( ) ( ) ( ) ∀∀

Ω− −Ω+−

Ω↔

)

,

J

J πδπ

seinalearen ordez metatu dugularik. Eskala aldaketa Klasearako 2. ariketarekin

3.3.4 Seinale diskretuen Korrelazioa eta espektroa

3.3.4.1 Energia finituko seinaleak

1. Energia

seinalearen energia [ ] ∀

=

<∞ finitua izan behar da.

eta seinaleen arteko energia gurutzatua [ ] [ ] ∀

∗=

D

⊕⊕⊕⊕ -

D

⊕⊕⊕⊕ +

Sistema ber-elikatua da, eta ondorioz IIR, Inpultso Erantzun Infinitukoa. Bereziki δ

D

+ΩJΩ+&Ω)Ω

⊕⊕⊕⊕

+

+&Ω)Ω

JΩ


2. Korrelazioa Seinale bi konparatzeko diferentziaren modulu karratuaren baturak balio duela badakigu. Seinale bat mugituz distantzia hori desplazamendu parametruaren funtzio bezala kalkulatuko dugu. *Σ∀6*6

Σ**

?

Σ$*$Σ$$

Σ*

?Σ

?*

Lehen termino biak eta –ren energiak dira. Hirugarren terminoarekin korrelazioa definitzen dugu: ?*≡Σ∀*⋅?

eta -ren arteko korrelazio gurutzatua Aldagia aldaketa baten bidez ikusten da ?*Σ∀⋅?

* dela aurreko laugarren terminoa = ?* *2?*2?* Gainera eta errealak badira ?*= ?* beraz guztiak bilduz: *2⋅?* zenbat eta korrelazio handiago are eta distantzia gutxiago. Adibidez: = ; = Emaitza ?*) maximoa m=-3 desplazamenduarekin agertzen da. Grafikoki argi ikusten da, -ren gainean dagoelako. Seinale bat berarekin korrelatzeari autokorrelazioa deitzen diogu ?*≡Σ∀*⋅?

Erraz frogatzen da konboluzioarekin daukan lotura: ?**∗?

* ?**∗?

*

K0K0L0(010( M

• Simetria: ?*?∗* Konboluzio eran idatziz errez frogatzen da

?*?∗* Ez da trukakorra

Seinaleak errealak badira korrelazioa ere erreala da, orduan ?*?* alderatua Autokorrelazioarekin: erreala ?*?* bikoitia • Energia: ?Σ∀⋅∗ Korrelazioa jatorrian energia gurutzatua da.

?Σ∀⋅∗ Autokorrelazioa jatorrian energia da.• 6?*$≤? Jatorrian autokorrelazioaren balio maximoa dago, hau da, seinale

batek berarekin dauka antza handiena (diferentzia txikiena) desplazatu gabe dagoenean.

3. Espektro dentsitatea

/Ω ≡ ,?* ,*∗?* = +Ω⋅+∗

Ω = |+Ω$ /Ω = |+Ω$

?*$*,

/Ω$*ππ/ΩCΩ

Σ∀6*6ππ|+Ω$

CΩ

/Ω ≡ ,?* ,*∗?* = +Ω⋅;∗

Ω /Ω = +Ω⋅;∗Ω

Σ∀*⋅?*ππ+Ω⋅;∗

ΩCΩ

.* .∗*?*?* ?*

/Ω/Ω /Ω:∗Ω:Ω

K0K0L0(0K0( M * .

. inpultso erantzuna daukan sistema lineal ez aldakorraren irteeraren korrelazioa aztertuko dugu sarrerako seinalearen autokorrelazioa ?* ezaguturik. Irteerako seinalearen korrelazioak sarrerakoaren autokorrelazioaren funtzio bezala idatzi nahi ditugu. Sistema egonkorra bada eta mota berekoak izango dira, hau da, energia finitukoa bada ere energia finitukoa izango da. • Sarrera eta irteeraren arteko korrelazio gurutzatua

?* = Σ∀*⋅* = *

**

Bestalde

* = * .* beraz ∗* = ∗

* .∗*

?* = * ** = *

∗*.

∗* = ?x* .

∗*

• Irteera eta sareraren arteko korrelazio gurutzatua

?* = * ** = *.*

∗* = ?* .*

• Irteeraren autokorrelazioa

?* = * ** = *.*

∗*.

∗* = ?x* ?.*

edo baita

?* = ?* .

∗*

Aurreko korrelazioen formulen Fourier transformatua eginik: /(Ω) = /(Ω)⋅:∗

Ω /Ω/Ω⋅:Ω

/Ω/Ω⋅|:Ω$ =/Ω⋅:∗

Ω

3.3.4.2 Potentzia finituko seinaleak

Energia finitua ez baina batezbesteko potentzia finitua daukaten seinale asko dago: maila unitatea, senoidalak eta beste periodikoak,...

1. Potentzia

seinalearen batezbesteko potentzia [ ] −=∞→ +

=

*E

eta seinaleen arteko potentzia gurutzatua [ ] [ ] −=

∗

∞→ +=

*E

edo sinpleago [ ] [ ] >=<

∗

∞→=

E

!"

Seinale periodikoaren batezbesteko potentzia periodo bakarrarekin kalkula daiteke, eta

errezagoa da. seinalearen periodoa % izanik [ ] =

=

E

.

?* ?*


2. Korrelazioa Potentzia finituko seinalearen korrelazioa definitzeko energia finituko seinale laguntzailea erabiliko dugu. seinalea ≥ eta ≤ tartean izango da eta hortik kanpora zero, iraupen finitukoa

da. Laukizuzenarekin biderkatzen lor daiteke: ⋅9 non [ ] ≤

=

9

energia finitukoa denez energiarekin lotutako autokorrelazioaren formula erabiltzen

dugu [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] −=

∗∞

−∞=

∗ +=+=

****?

Potentzia = Energia / denbora Potentziarekin lotutako autokorrelazioa lortzeko aurreko autokorrelazioa seinalearen iraupenagaitik zatitu behar da:

[ ] [ ] [ ] −=

∗++

=

E

*

*?

Lehioa zabalduz ?

E*?*

[ ] [ ] [ ] [ ] −=

∗

∞→∞→+

+=

+=

E

*

*?

*?

!"

!"

Korrelazio gurutzatuarekin pareko eran: [ ] [ ] [ ] −=

∗

∞→+

+=

*

*?

!"

[ ] [ ] [ ] −=

∗

∞→+=

*

*?

!"

Kontuz ibili behar da izena, M , eta Ikurra, ?, berdinak direlako energia finituko eta potentzia finituko seinaleekin, mota biekin, baina formula ezberdina da. Seinale periodikoekin egokiago da periodo bakarra neurtzea:

Autokorrelazioa [ ] [ ] [ ] =

∗+=

*

*?

Korrelazio gurutzatua [ ] [ ] [ ] =

∗+=

*

*?

3. Korrelazioaren ezaugarriak Oharra: Propietate hauek energia finituko seinaleekin agertzen diren berdinak edo parekoak dira, baina ez ahaztu korrelazioaren formula ezberdina dela

+∞→ *

terminoan.

Oraingoan konboluzioarekin geneukan lotura erreza ez da betetzen ?*≠*∗?*

• Simetria: ?*?

∗*

?*?∗* Ez da trukakorra

Seinaleak errealak badira korrelazioa ere erreala da, orduan ?*?* alderatua Autokorrelazioarekin: erreala ?*?* bikoitia • Potentzia: ?E Korrelazioa jatorrian potentzia gurutzatua da.

?E Autokorrelazioa jatorrian batezbesteko potentzia da.6?*$≤?EJatorrian autokorrelazioaren balio maximoa dago, hau da, seinale batek

berarekin dauka antza handiena desplazatu gabe dagoenean.

.* .∗*?*?* ?*

FΩFΩ FΩ:∗Ω:Ω

4. Potentzia espektro dentsitatea Autokorrelazioa definitzeko erabilitako seinale laguntzailearen energi dentsitate espektroa / Iraupena Potentzi dentsitate espektroa. Leihoa zabaltzen limitean

seinalearen potentzia espektroa lortzen dugu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ω+

=Ω⋅Ω+

=Ω+

=Ω∞→

∗

∞→∞→

+

*++

*/

*F

Beste bide batetik

( ) [ ] [ ] [ ] *?,*?

*,*?,

*F

=

+=

+=Ω

∞→∞→

Beraz [ ] ( ) ΩΩ==ππ

F?E , hau da FΩ espektroak potentzia frekuentzietan nola

banatzen den adierazten du. Bere batura integralak (zati 2π) potentzia osoa ematen du. Seinale biren arteko potentzia, korrelazio eta potentzia espektro dentsitate gurutzatuekin pareko formulak ditugu:

[ ] ( ) ΩΩ==ππ

F?E

( ) [ ] ( ) ( )Ω⋅Ω+

==Ω ∗

∞→

;+

**?,F

5. Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar Sistema egonkorra bada eta mota berekoak izango dira, hau da, potentzia finitukoa bada ere potentzia finitukoa izango da. Energia finituko Korrelazio funtzioa sistema linealen zehar atalean agertzen diren espresioak betetzen dira, nahiz eta frogatzeko ezin dugun konboluzioaren bide erraza erabili zeren ?*≠*∗?

*

?y* = ?yx* .

∗* = ?x* .* .∗* baina ≠ ?x* ?h*

?xy* = ?x* .

∗*

?yx* = ?x* .* FΩFΩ⋅$:Ω$

FΩ⋅:ΩFΩ⋅:∗

Ω

FΩFΩ⋅:∗Ω

FΩFΩ⋅:Ω

--

3.3.4.3 Sekuentzia periodikoen korrelazioa Fourier koefizienteak ezaguturik

Seinale periodikoa Fourier seriean deskonposa daitekeenez, potentzia, korrelazioa eta potentzia espektro dentsitatea Fourier serieko koefizienteekin kalkulatu ahal izatea espero dezakegu.

(0 Potentzia periodoko seinale periodikoaren potentzia kalkulatzeko aurreko 3.3.4.2 Potentzia

finituko seinaleak atalean ikusi dugun formula hau da: [ ] =

=

E

Formula berria aurkitzeko Fourier serieko deskonposaketarekin ordezkatuko dugu:

[ ] =

=

)

π


[ ] [ ] [ ] [ ] =

∗

=

−

=

∗

=

−∗

==

∗ ⋅=

=

⋅==

)

)

E

ππ

=

=

E

Parseval-en erlazioa agertu da berriz ere. Hau da, sekuentzia periodikoaren

potentzia denborako laginen edo frekuentzia osagaien pontentzia neurtuz ezagutu dezakegu. Periodo bereko sekuentzia periodiko biren arteko potentzia gurutzatuan antzerako formula betetzen da:

[ ] [ ] =

∗

=

∗ ⋅==

E

2. Korrelazioa

[ ] [ ] [ ] =

+=

⋅+=

=

−

=

∗

=

−∗

=

)

)

*

*

*?

ππ

C* aldagai aldaketarekin, C* C*

C*

[ ] =

=

=

−

=

∗

)*

)

<

<

<

ππ

Parentesi artekoa denez [ ] *

)

*?

π

=

∗==

Espresio hori Fourier serie konposaketa erakoa da Sekuentzia periodikoen Korrelazioa periodikoa da

Autokorrelazioa korrelazioaren kasu berezia da sekuentzia bera denean:

[ ] [ ] [ ] ==

∗ =+=

*

)

*

*?

π

3. Potentzia espektro dentsitatea

( ) [ ] ∀

∗

= ∀

∗

−Ω=

−Ω==Ω

*?,F

πδππδπ

OΩ korrelazio gurutzatuaren espektro dentsitatea da. Ω frekuentzia ezberdin guztietakoa batuz (2π tarteko integrala) potentzia osoa daukagu.

( ) [ ]

?F E =ΩΩ=⋅= =

∗

ππ

Seinale bakarraren PED

( ) ∀

−Ω=Ω

F

πδπ

( ) [ ]

?F E =ΩΩ== =

ππ

Espektroaren grafikoa begiratuz eta Dentsitate espektruoan ( ) ( )Ω⋅Ω ∗++ faktorea dagoela jakinik errez gogoratzen dugu osagai esponentzial ezberdinak korrelatugabeak direla.

Ondorioz [ ] =

=

)

π

seinalearen autokorrelazioa kalkulatzeko osagai bakoitzaren

autokorrelazioa kalkulatu *

)

*

)

ππ

→

eta guztiak batzea nahikoa da: [ ] =

=

*

)

*?

π

aurrerago aurkitu dugun formula bera

Seinale sasiperiodikoekin ere erabil daiteke formula bera

X

1π)ΩΩΩΩ⋅)ΩΩΩΩ

Ω Ω

+∗Ω

πΩπ π

∗

∗

π

Ω

+Ω

π

Ω

π π

≠

πΩ

π


.

A/D D/A

4. Laginketa

4.1 Sarrera

Lagintzea seinale jarraia diskretu bihurtzea da. Hau da, aldagai jarraiko seinalearen balioak une diskretuetan harturik aldagai diskretuko seinalea osatzea. Fisikoki analogikoak diren seinaleak tresneri digitalarekin erabili ahal izateko laginketa beharrezkoa da. Bereziki seinale analogikoa digitala bihurtzea (hemen kuantifikazioa barne dago). Helburu ezberdinetarako lagintzen dugu: Prozesatzeko, gordetzeko, garraiatzeko,... Seinale mota anitzekin egin ohi da: soinua, ahotsa, tenperatura, tentsioa, irudi mugikorrak zine-telebista, irudi mosaikoak,... Erabilpen gehienetan sistemaren irteera berriz analogikoa izan dadin alderantziko eragiketa egin behar da, D/A bihurketa.

4.2 A/D konbertsioa. Laginketa eta kuantifikazioa

Laginketa: (Laginketa uniformea) Lagintze periodoa Lagintze maiztasuna Erabilpen batzutan seinale diskretu analogikoa erabiltzen da (zinean), baina gehienetan digitala nahi dugu. ==> Kuantifikazioa: Anplitude balio diskretuak hartzen ditugu NO Kuantifikazio funtzioa (uniformea edo ez uniformea)

4.3 Lagintze teorema

Esponentzial jarrai eta diskretuak honela definitu genituen

)ω

)Ω

)Ω

Seinale jarraia lagintzean

)ω)Ω

Ωωizanik Seinale laginduaren espektrua jatorrizko seinale jarraiaren espektruaren funtzio bezala kalkulatu nahi dugu. Bide bitatik: 1- Fourier antitransformatuaren formula biak parekatuz

Debora jarraian ∞

∞−= ωω

πω + )

Seinale diskretuaren balioak seinale analogikoak 9 uneetan dituenak dira.

[ ] ( ) ∞

−∞=

+

−

∞

∞−

− ====

)

)

++

π

π

ωω ωωπ

ωωπ

Integrala π9 zabalerako zatien batura bezala idatzi dugu. Gero, aldagai aldaketa eginez, tartea seinalean zehar mugitu beharrean seinalea mugitzen dugu tartea finko mantenduz.

∞

−∞=

+

−

∞

−∞=−

−

=−==

)

)

++

π

π

π

π

πωω ωπω

πωω

π

8

)

• • • • • •

ω

Eω

π

ω ω ωωω

• • • • • • ,

,

ω

+ ω

ω*

Gainera esponentzialaren argumentuan beti osoa denez π terminoak ez du ezer egiten. Azkenik batukaria integralean sar dezakegu, aldagai independenteak dituztelako.

−

∞

−∞=

−=

)

+

π

π

ω ωπωπ

Denbora diskretuan [ ] ( ) =ΩΩ= Ω

ππ

+ )

Frekuentzia (pultsazio) diskretua frekuentzia jarraiarekin ordezkatuz Ω = ω

[ ] ( ) ( ) ==ΩΩ== −−

Ω

)

)

++

π

π

ωπ

πωω

ππ

direnez integralen barrukoa berdina da:

[ ] ∞

−∞=

−=

+

+

πωω

2- Seinale diskretua delta segida batekin biderkatuz, ⋅8 espektroak konboluzionatu Seinalea lagintzea 8 delta segidarekin biderkatzea da. Anplitude konstanteko delta segidaren espektroa delta segida da ere, delten arteko frekuentzia zabalera lagintze periodoaren alderantzizkoa delarik ωπ

( ) ( ) ∞

−∞=

−=

8 δ , ( ) ( ) ∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

E ωωδππωδπω

Denboran biderkatzea frekuentzian konboluzionatzea da.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−∗=−∗=∗= ∞

−∞=

∞

−∞=

+

+

E++ ωωδωωωδωωωπ

ω

Seinalearen transformatua delta mugituarekin konboluzionatzea transformatua mugitzea da.

Espektrua ωmugitua errepikatzen da. ( ) ( ) ∞

−∞=

−==

+

+ ωωω

Bide bietatik aurkitu dugu lagintzean espektroaren errepikapena gertatzen dela. Jatorrizko seinalearen espektroa lagintze maiztasunaren inguruan

errepikatzen da (frekuentzia positiboak eta negatiboak, biak). Lagintze periodoa txikiagotzen anplitudea handiagotzen da, jatorrizko seinalearen energia gehiago (gehiagotan) hartzen delako.


Espektrua Ω = π , hau da, ωω frekuentziaren inguruan errepikatzen da. Ondorioz seinalea behe pasukoa bada informazioa mantentzen da, baina bestela gainezarmena, aliasing-a, solapamendua, dago. Lagintze teorema, Nyquist-en teorema edo Nyquist-en irizpidea: Behe pasuko seinalea, ω* baino frekuentzia osagai azkarragorik ez daukana, ω abiadurarekin hartutako laginek zehazten dute hau betetzen bada

ω≥ω* 2.; ;5PQ5 ""J;!8! ;!;.D>9;8 G# !9RE.@?;> CS)SHHQT."!8 . >3 G5 ""J;!8! ;R

/*. P U 0HH0S%)*%**VJ 3+8 A>S)1

#3WJ!9LQ5>!; H!89!; =>H.>;9"!99! ;. >3RG0@000 0E)0H>! S1H*0Q5>!;,8 >9GG8!;= =>H.

2HCR/*. P H>! S)H)

L> 3NU7Q>;9"!99! ; GX;G >"! ;R/*. P VJ 3S1H Froga intuitiboa: cosinu bat adierazteko lagin bi behar dira gutxienez Adibidea: Laborategian A/D-D/A sistematik iragaten dugun tonuaren frekuentzia gorantza daramagunean, lagintze maiztasunaren erdia gainditzen duenean irteerako tonua berantza doa. Espektruan irudikatuz ikusten da: inguruko errepikapenaren ezkerreko delta tonuaren delta “nagusiaren” (jatorritik eskuinera lehena) ezkerretara pasatzen da. Adibidea: Gurdiaren gurpilak telebistan atzeraka doazela dirudi Laginketa uniformea erabili ohi dugu. Baina froga daiteke ez-uniformearekin ere informazio teoria betetzen dela: denbora unitate bakoitzean lagin kopuru minimoak informazio guztia gordetzen du behe pasuko seinaleetan. Gainezarmena egon ez dadin behe pasuko iragazkia jartzen da lagindu aurretik.

Ω π π )π -π -π ππππ

ω

+ω

ω ω ωωω ωωωω

• • • • • •

ω*

b[n] A/D

fs

~ ~

/ LPF

b

0

4.4 D/A konbertsioa

A/D laginketa egiterakoan Nyquisten irizpidea bete bada informaziorik ez da galdu.

Jatorrizko seinale analogikoa berreskuratzeko (edo sortzeko, berreraikitzeko) errepikapen periodikoak kendu behar dira, behe pasuko iragazki batekin. Iragazki ideala, laukizuzena :ω,

.⋅ω

Funtzio interpolatzaile ideiala da. Ez kausala.

Balio diskretuak zuzenen bidez interpolatu izan bagenitu, funtzio interpolatzailea hirukia izango zen. Transformatua Espektroan filtro ez ideiala. Elektronikoki erreza S&H, lagindu eta eutsi pultsu laukizuzena da D/A konbertsio sistemaren inpultso erantzuna frekuentzian sinc. Behe pasuko iragazkia mantendu behar da. Preekualizazio iragazki digitala sar daiteke baita, edo behe pasuko

iragazkia ekualizatzailea izan daiteke ere. Mosaiko irudiekin behe pasuko iragazkia begiek ematen dute, irudiak erresoluzio nahiko badauka (bestela urruti jarriz) Zinean ere begi-burmuinak ezin ditu segundoko 25 irudi baino gehiago bereiztu irudi finko ezberdinen segida irudi mugikorra bezala somatzen dugu. Telebistan eta osziloskopioan pantailako fosforoaren remanentziak eutsi behar du irudiaren argitasuna elektroi jario bat eta hurrengoaren artean.

ω

+ω

1

ω 3ωs/2 ωω-ωs ωωωωs

• • • • • •

ω*

:ω

Y

~ ~ / LPF

t

t

.

D/A

fs fs

=

~ ~

/ ~

~ / LPF LPF

ZY

Argazkia: Shanon jauna


5. Fourier-en Transformatu Diskretua (DFT)

5.1 Sarrera

Tresna digitalekin seinale diskretuak behar ditugu, . Jatorriz denboran diskretuak ez direnak, , lagindu egin ditzakegu, . Baina espektroa, +Ω, jarraia izanik ezingo genuke digitalki erabili. Gainera fisikoki seinalearen tarte finitua bakarrik landu dezakegunez (seinale guztia ez daukagulako edota konputazionalki prozesatzeko denbora finitua daukagulako) ezinezkoa da +Ω∀ ebaluatzea. Horregatik J,, Fourier Transformatu Diskretua, asmatzen da, eta @J,, Inverse J,, Alderantzizko J,a. Denbora eta espektro diskretuak izatearen egoera antzekoena 3.2.1 Fourier Serie diskretua puntuan ikusitakoa da: seinale diskretu periodikoa espektro diskretu periodikoa denbora

ez-periodikoa Periodikoa mugatua

jarr

aia,

ezp.tj.ω (jarraia frekuentzian) ezp.ωj.t

p.td.ω ep.ωj.t

ez-periodikoa, ω

ep.tj.ω p.ωd.t

p.t,”d”.ω p.ωd.t FSeriead.ω

periodikoa, Ω

disk

retu

a,

m.td.ωωωω m.ωωωωd.t

Mugatua,

jarraia "diskretua" diskretua frekuentzia

ωΩ

5.2 DFT eta IDFTaren definizio eta interpretazioak

L luzerako sekuentziaren puntutako Fourier Transformatu Diskretua, J,, definituko

dugu

[ ] [ ] [ ] −

=

−≡=

)

J,+

π

000

N puntutako Alderantziko Fourier Transformatu Diskretoa, IDFTN:

+

J,

+ω

ω

+ω

ω

+Ω

Ω

0+

0

+Ω

Ω


[ ] [ ] [ ] −

=

≡=

)

+

+@J,

π

000

Aurreko definizioekin @J,

J,

betetzen dela froga daiteke:

[ ] [ ] [ ]( )

−

=

−

=

−−

=

−

=

−−

=

=

=

=

*

*)

)

*

*)

)

*

*

+

ππππ

π angeluaren multiploa daukaten fasoreak batzean 00 beraien artean anulatzen dira (frekuentzia ezberdineko esponentzialak inkorrelatuak direneko betiko emaitza). * denean bakarrik ez da zero, baizik aldiz .

[ ] [ ]

=⋅=

-ren luzera baino txikiagoa izan behar da, bestela . (enegarren) puntua eta ondorengoak galdu egingo ditugu +J,aren formulan ez bait dira erabiltzen. Moztutako sekuentzia berri horren J, kalkulatzen ari gara. Interpretazioak ♦ Sekuentzia periodiko baten Fourier seriezko garapenaren koefizientearekin lotura: periodoa duen 8 sekuentzia periodikoa Fourier serie koefizienteen formula

[ ] ( ) =

−=

)

8

π 000 eta konposaketa formula [ ] =

=

)

8

π

∀

J, eta @J, formulekin konparatuz hau esan dezakegu %(1000(>; ⋅+⋅J,

000

8Σ⋅“8seinalearen luzpen/errepikapen periodikoa da”

J,a seinalearen pareko seinale periodikoaren Fourier seriea “da”.

[ ] [ ] −

=

=

)

8 +

π

∀

♦ sekuentzia baten espektroa lagintzearekin lotura:

≤ luzerako sekuentzia

J,a seinalearen espektrua lagintzen lortzen da. +J,

+&Ω'6Ωπ000

Ω ardatzeko π zabalerako periodo batean lagin hartzen ditu J,ak. Espektroa lagintzeak denboran errepikapena dakar +Ω+8

⋅Σδ ∗Σδ Zenbat eta lagin gehiago frekuentziako 0-2π tartean are eta zehaztasun gehiago, baina... N = L lagin hartzea nahikoa da informazio guztia gordetzeko.

Adibidea Laukizuzena, L=10, N=50, 100 edo 10

≥ luzerako sekuentzia ≥ luzerako sekuentzia denean Espektroa lagintzean denbora eremuan aliasing-a dago.

+J,[+&Ω'6Ωπ ( ) [ ]

)+π=Ω∀

Ω− =Ω =

= [ ] [ ] [ ]

++++ −

=

−−

=

−−

−=

−

)

)

)

πππ

[ ] ∀

−+

=

−

)

π

[ ]( )

∀

−

=

−−

−

)

π

[ ] −

=

−

∀

−

)

π

[ ] −

=

−

)

8

π

[ ] [ ] ∀

−=

8

<J,8 non8seinalea-ren periodoko errepikapen periodikoa da,

000 Beste bidea lehiokatzea da. Adibidea )*seinalearen Fourier Transformatuan 4 lagin hartzen didtugu Ω=π/) non Zein da bere Y,

) lau puntu horiek diren sekuentzia? Adibidea

5.3 Eragiketak eta Propietateak

Atzerapen zirkularra

[ ] [ ][ ]

<−∀+−≥−∀−

=−

" C

Denbora inbertsio zirkularra *%'≤

*

5.3.1 Linealtasuna

Sekuentzia biren konbinaketa linealaren DFTa, seinale bakoitzaren DFTaren konbinaketa bera da.

J,+

J,+

⋅⋅J, ⋅+⋅+∀


5.3.2 Denbora alderanzketa

J,

+000

*J,+*

5.3.3 Denbora atzerapen zirkularra

*J,

+⋅)π

Frogatzeko DFTaren formulan *ordezkatu, gero batukaria bitan banatu: =0,.., Aldagai aldaketa * =-: Aldagai aldaketa *

Eta batukari biak berriz batean bildu daitezke.

5.3.4 Frekuentzia atzerapen zirkularra

⋅\π

J,+*

5.3.5 Konjokatuak

∗J,

+

∗+

∗*

∗*J,

+

∗

5.3.6 Konboluzio zirkularra

Konboluzio propietatea (konboluzioa denboran biderketa frekuentzian) beteko duen konboluzio zirkularra definitu behar da:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =

⋅

=⋅=⋅

−

=

−

=

−−

=

−−

=

)

)

*

*)

)

*

;+

;+@J,

ππππ

[ ] [ ]( )

−

=

−

=

−−−

=

==

*

*)

*

π

Hirugarren batukaria zero da gehienetan, edo hau betetzen denean: *8⋅∀8osoa, hau da, ren multiploa denean. Beraz, * kanpoko batukariak finkatu duenez, 2*8

[ ] [ ] [ ] [ ] −

=

∞

−∞=

∀−

=

−

=−−

−−=−−⋅=

* 8

8

*

8*

8**8**

000

Espresio hori eta seinalearen errepikapen periodikoaren arteko konboluzioa da ∗8000 Horrela definitzen dugu konboluzio zirkularra. Errepikapen periodiko desplazatuaren puntuak hartzea atzerapen zirkularra egitea denez yp[n] erabili gabe definitu dezakegu konboluzio zirkularra

[ ] [ ] −

=

−⋅

" C

*

** 000

Adibidea: noneta)

N

N

5.3.7 Korrelazio zirkularra

eta seinaleen arteko korrelazio gurutzatu zirkularraren definizioa:

[ ] [ ] [ ] −

=

∗⋅+≡

" C

**?

Hau betetzen da: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]****?

" C" C

−Θ=−⋅= ∗−

=

∗

[ ] [ ] [ ];+*?

J,

∗⋅→

[ ] [ ] +*?

J,

→

5.3.8 Biderketa denboran

⋅J,+;#

5.3.9 Parseval-en teorema

[ ] [ ] [ ] [ ] −

=

∗−

=

∗ ⋅=⋅

;+

Frogatzeko Aurrerago ikusi dugun korrelazio gurutzatuaren DFTaren adierazpena harturik, +⋅;D

, alderantzizko J,a eginez:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] −

=

∗∗ ⋅⋅≡⋅=

)

;+

;+@J,?

π

Energia gurutzatua, korrelazio gurutzatua jatorrian denez

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] −

=

∗−

=

⋅∗

−

=

∗ ⋅=⋅⋅==⋅

)

;+

;+

?

π

Seinale bakarrarekin [ ] [ ] −

=

−

=

=

+

5.3.10 Simetria

Ikusi dugu: J,

+

* J, +*

∗ J,

+

∗*

Simetria bikoiti edo bakoitia n=0 unearen ezkerra eta eskuma konparatuz aztertzen da...baina balioak N luzera zirkunferentzia baten jarri ondoren. Bikoitia ** ≤≤

Bakoitia ** ≤≤

Bikoitia = 2* Bakoitia = 22*

N

)

*

0

1 S


+ Bikoitia ++2*+

Bakoitia +2+2*+

Erreala = ∗

Simetria hermitikoa

++∗2


Erreala eta bikoitia ++2+

∗2


Irudikaria eta bakoitia ++

∗22+2

Konjokatzean signua aldatzen da Irudikaria

+2∗

Simetria antihermitikoa +2+

∗2


Irudikaria eta bikoitia +2+∗2+2Konjokatzean signua aldatzen da

Erreala eta bakoitia +2+∗22+2


erreala eta bikoitia [ ] [ ] −

=

=

8 9

+

π000

erreala eta bakoitia [ ] [ ] −

=

−=

)+

π000

Frogatzeko: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]+++++

+

)

)

=+=+−=

+=

−

=

−

ππ

5.4 DFT bidezko iragazketa lineala

J,a seinale eta sistemekin, eta beraien espektroekin digitalki lan egiteko egokia da. Guztiak (seinalea, sistema eta hauen espektroak) luzera finituko sekuentzia diskretuak izanik. Sistemaren erantzuna sarrera eta sistemaren inpultso erantzunaren espektroak biderkatuz kalkulatzen badugu, denboran egin duguna konboluzio zirkularra da, baina kasu orokorrean ez da hori sistemaren erantzuna izango. Digitalki gordetako sekuentziek hau adierazten badute:

luzera , = < eta ≥ . luzera 7, . = < eta ≥ 7

orduan irteera konboluzio arrunta da, ez zirkularra,

[ ] [ ] [ ].

−⋅= ∀

bere luzera 72

orduan galtze barik adierazteko ≥7( balio behar dira, denboran eta baita frekuentzian. ;+⋅: propietatea erabili ahal izateko + eta : ≥7( neurriko J,ak izan behar dira. eta . laburragoak direnez zeroekin beteko ditugo arte. Adibidea: . kalkulatu [] =8 erabilita (3 bidetatik) (≥6 izan behar da ondo irten dadin). Gero errepikatu =4 erabilita. Aurreko emaitzak bererabili daitzeke. +1

+)

bakoitza frekuentzia konkretu bati dagokio. DTMF adibidea. Dual Tone MultiFrecuency telefonoen tonuak detektatzeko era bat seinale analogikoa lagindu eta gero J,

-a egitea da, balioa aukeratzean DTMF tonoetatik hurbil -ren balioak egotea saiatuz.


6. Laplace-ren transformatua eta LTI sistema jarraikien analisirako erabilpena.

6.1 Sarrera

2.gaian esan genuen:

- Esponentzial konplexua sistema linealekin lan egiteko aproposa da autofuntzioa delako: esponentziala sarturik, , esponentziala ateratzen da. Frekuentzia berekoa, , baina pisuz aldatua, :⋅ : autobalioa, konstantea denborarekiko

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :..... ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅−⋅=∗=∗= ∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−τττττττ ττ

)ω Fourier :)ω

σ)ω Laplace :

6.2 Laplace-ren transformatua

Definizioa, konbergenzia eta alderantzizko transformatua

Hemen Laplace transformatu aldebikaria erabiltzen dugu.

Laplace transformatu aldebakarra [0,∞) tartean integratuz kalkulatzen da = ⋅ Konbergentzia eremua, M (Region Of Convergence) – Transformatua definitua dagoen balioen multzoa. Ardatz irudikaria M barnean badago Fourier transformatua existitzen da, bestela ez. M⊂)ω53∃, seinalearen Laplace transformatua ⋅σ seinalearen Fourier transformatua da (seinalea bider esponentzial erreala).

Alderantzizko Laplace transformatua

Adibideak:

0 Fourier eta Laplace transformatuak konparatu

renFourier transformatua “justu-justu” existitzen da. Gero eta txikiago egiten den esponentzialagatik biderkatuz ( positiboa) transformatuak konbergitzen du, baina gero eta handiagoa bada ( 'orduan ez. Kasu honetan ere Laplace transformatuak konbergitzen du, σ-ren balio batzutarako, ,

⋅⋅σkonbergente egiten duten σ-ren balioetarako M σ > -

0 '

0

10

∞

∞−

−= +

⋅:.

LTI

Pierre Simón Laplace (1749 - 1827)

ωω)

++=

=

( ) [ ] ( ) )) ,+ σωσωσ −∞

∞−

−−∞

∞−

+− ===

∞+

∞−=

σ

σπ+

)

σ

)ω


σ

)ω

M

Seinale kausala Konbergentzia Eremua eskuman

σ

)ω

Termino biak izan behar dira transformagarriak MM∩M

6.3 Propietateak eta oinarrizko transformatuak

1: Ma )ω-ri paralelo diren lerroak mugatzen dute 2: Transformatu arrazionaletan Mak ez dauka polorik barnean 3: iraupen finitukoa bada eta gutxienez -ren balio batean transformatuak konbergitzen badu, orduan Ma plano guztia da. 4: kausala eta iraupen infinitukoa bada, '( eta σ M barruan badago orduan σ balioak ere M barruan daude 5: [4 alderantziz] 6: [4 + 5] iraupen infinitukoa bada ezker eta eskumatik (aldebikaria) eta ?σ M barruan badago orduan Mσ barnean daukan banda bat da Linealtasuna. Denbora atzerapena eremuan desplazamendua Denbora eskala aldaketa Deribazioa denboran Deribazioa eremuan Integrazioa denbora eremuan Konboluzioa denboran

6.4 S aldagaian arrazionalak diren transformatuak

Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial linealen bidez definitutako seinaleen Laplace transformatuak arrazionalak dira. I eta @ polinomioak. Zeroak, zenbakitzailearen erroak, eta poloak [erakarguneak], izendatzailearen erroak. Grafikoki irudikatuz zehaztu dezakegu (anplitude faktorea izan ezik). Alderantzizko transformatua egiteko terminoetan deskonposatzen da eta taulan begiratu.

6.5 Ebaluaketa geometrikoa

-ren puntu bakoitzetik zeroetara doazen bektoreak biderkatu, zati poloetara doazen bektoreen biderketa. Zeroetatik hurbil dauden -etan +-ren modulua txikia da. Poloetatik hurbil handia.

6.6 Laplace-ren transformatu aldebakarra

Laplace transformatu aldebakarra aldebikaritik ezberdintzen da integralaren beheko mugan. Aldebakarrean integrazio tartea [0,∞] da aldebikarian [-∞,∞] den bitartean. Seinale kausaletan transformatu biak berdinak dira. Transformatu aldebakarra erabilgarria da hasierako baldintza ez nuluak dituen sistema baten erantzuna kalkulatzeko.

@

I+ =

6+$

)ω

7. Z transformatua eta LTI sistema diskretuen analisirako erabilpena.

Laplace 1h, Z hasi, 9. orrirarte 25 orrirarte

Seinale eta Sistemak I · 2006. 9. 25. · Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren...

Documents

Transcript of Seinale eta Sistemak I · 2006. 9. 25. · Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren...