Tema 3.4Interferencia por division deamplitude

3.4.1. Interferencia en laminas planoparale-

las

Fonte puntual

Consideremos unha fonte de luz monocromatica puntual S que iluminaunha lamina planoparalela de espesor d e ındice nf inmersa en aire. Observa-mos no plano focal dunha lente positiva (por exemplo ollo non acomodado).No punto de observacion P teremos a interferencia de esencialmente duasondas (os reflexos multiples son moito mais debiles).

θ = 0, nf = 1,5, n1 = n2 = 1i = 1 2 3

Eir/E0 0.2 0.19 0.08Eit/E0 0.96 0.038 0.01

(Hecht)

A intensidade en P sera (I1r ' I2r):

I = I1r + I2r + 2√I1rI2r cos δ ' 4I1r cos2 δ/2

Para obter δ, necesitamos:

1

O camino optico:

∆ = nfABC + CP − ADP = nfABC − AD = 2nfd cos θt

xa que CP = DP (Teorema Malus-Dupin)

Ter en conta os cambios de signo das amplitudes debido a r‖ e r⊥:

Indices r⊥ r‖θ < θB θ < θB

Primeira cara 1 a nf − + −Segunda cara nf a 1 + − +

Sempre hai un cambio de signo entre E1r e E2r, tanto para TE comopara TM, que podemos convertir nun desfase de π.

Polo tanto o desfase sera:

δ =2π

λ∆± π,

que dara lugar a:

Maximos se δ = 2mπ ⇒ ∆ = 2nfd cos θt = (m+ 1/2)λ

Mınimos se δ = (2m+ 1)π ⇒ ∆ = 2nfd cos θt = mλ

Posto que ∆ > 0, m = 0, 1, 2 ... En concreto a pelıcula mais fina que reflicteun maximo (m = 0, θt = 0) corresponde a d = λ/(4nf ). Se d → 0 ⇒m → 0, estamos en condicion de mınimo. Se d � λ/(4nf ) a lamina volvesetransparente.

Caracterısticas das franxas

Intensidade constante ⇒ θt = Cte: Franxas de igual inclinacion ou deHaidinger.

Se o eixo optico da lente ⊥ a lamina ⇒

• Patron de aneis concentricos co eixo optico.

• Aneis mais finos canto mais exteriores (cos θt varıa mais rapida-mente)

• Maxima diferencia de camino no centro do patron. A orde inter-ferencial se reduce cara o exterior.

Ir1 ' Ir2 ⇒ γ ' 1 (alto contraste)

2

Interferencia por transmision

I = I1t + I2t + 2√I1tI2t cos δ

Diferencia de camino optico, igual que por reflexion: ∆ = 2nfd cos θt

Et1: duas transmisions de E0 (t‖, t⊥ > 0); Et2 ademais duas reflexionsinternas iguais (r2

‖, r2⊥ > 0). Polo tanto Et1 e Et2 tenen o mesmo signo,

logo:

δ =2π

λ∆

Maximos se ∆ = 2nfd cos θt = mλ

Mınimos se ∆ = 2nfd cos θt = (m+ 1/2)λ

Patron complementario o de reflexion

I1t � I2t ⇒ γ � 1, baixo contraste

(Hecht)

3

Interferencia sen lente

E semellante, pero mais complexa que un interferometro de Young. Patronde franxas non localizado

Fonte extensa

Se a fonte e extensa, todolos seus puntos xeran o mesmo patron de franxasno plano focal da lente, xa que estas so dependen da lamina e da direccionde incidencia nesta. Como os diferentes puntos da fonte son incoherentes,sumanse as intensidades de todos.

(Hecht)

Observese que sen lente, os patrons xerados a partir de cada punto da fon-te se superporan, destruindo a interferencia en puntos proximos. So se man-tera onde a interfranxa sexa bastante maior que o tamano da fonte extensa,e dicir moi lonxe. Dise que o patron esta localizado en infinito (conxogadodo plano focal da lente).

4

(Hecht)

Lamina antireflectante monocapa

A interferencia destructiva entre ondas reflectidas aproveitase para re-ducir a reflectancia das superficies dos elementos opticos (lentes, prismas...) mellorando o seu rendemento. Basease en depositar unha capa dielecticafina sobre o elemento para xerar duas ondas reflectidas: unha na interfaseaire-capa e outra na interfase capa-sustrato. Asumindo incidencia normal,buscaremos as condicions para que se cancele o reflexo. En realidade xeransereflexions multiples dentro da capa, pero so consideraremos as duas citadaspor seren as mais importantes.Para que as duas ondas se cancelen debe verificarse simultaneamente que:

1. As amplitudes das ondas deben ser iguais. Suponendo que a amplitudeda onda procedente da interfase capa-sustrato non se atenua nos pasosaire-capa e capa-aire:

r1 = r2 ⇒nf − 1

nf + 1=ns − nfns + nf

⇒ nf =√ns

5

6

sendo:

r1: o coeficiente de reflexion para amplitudes na interfase aire-capa

r2: o coeficiente de reflexion para amplitudes na interfase capa-sustrato

nf : o ındice da capa (film)

ns: o ındice do sustrato; notese que a relacion implica ns > nc

2. As ondas deben estar en contrafase. Posto que r1 e r2 tenen o mesmosigno, a diferencia de camino optico debe ser a metade1 da longurade onda (λ). Xa que a onda que se reflicte na superficie capa-sustratorecorre duas veces o espesor da capa (d), a diferencia de camino opticoentre as ondas sera 2ncd. Polo tanto o espesor da capa que interesa e:

2nfd = λ/2⇒ d =λ

4nf

En realidade e dificil que se cumplan sempre as duas condicions. Paraun ındice de sustrato tıpico de 1.5, o ındice da capa deberıa ser de 1.225,pero non se conece nengun solido con ese ındice no visible. Un material moiutilizado e o MgF2, que ten boas propiedades mecanicas e de adherencia, peroposue un ındice de 1.38 que e optimo para un sustrato de ındice 1,382 = 1,90.Ainda ası, cando se usa MgF2 sobre un ındice 1.5 o reflexo baixa ata o 1.4 %.

Por outra banda, o grosor optimo dunha capa deste material para λ =0,555µ (maximo de sensibilidade fotopica do ollo) e de 100 nm, o cal se pode

1Mais exactamente λ(m+ 1/2) con m ∈ Z

7

controlar con bastante precision na fabricacion. Sen embargo este espesornon e optimo para outras longuras de onda, polo que a reflectancia nos ex-tremos do espectro visible aumenta dando lugar a un reflexo de cor morada.Colocando mais capas gananse graos de liberdade para optimizar o deseno.Actualmente un bon recubrimento consta de 6 a 12 capas no que se alternancapas de alto e baixo ındice de refraccion. A reflectividade final resulta serinferior o 0.5 % en todo o visible.

A tecnica de fabricacion mais usada e a de deposicion en alto baleirocombinada con bombardeo mediante canon de electrons. O espesor da capamıdese cun cristal de cuarzo piezoelectrico. Dielectricos tıpicos: MgF2, ZnS,SiO, SiO2, Al2O3, Ta2O5... Para optimizar a resistencia o raiado, a capa dotratamento AR mais lonxana o sustrato soe ser de SiO2.

En lentes organicas e necesario incluir unha capa (de endurecido) entre osustrato e o tratamento AR para millorar a adherencia e durabilidade desta.A interfase entre a capa de endurecido e o sustrato tamen pode introducirunha reflexion adicional que interferira coa onda resultante da multicapa.

8

(Jalie)

Como a capa de endurecido mide algunhas micras de espesor, para variaslonguras de onda satisfarase a condicion de interfencia destructiva e paraoutras intercaladas coas primeiras a de interferencia constructiva.

3.4.2. Interferencia en laminas de espesor va-

riable

Lamina de espesor varia-ble

Fonte puntual

Notacion da figura:h↔ dn→ 1n′ ↔ nfθ′ ↔ θt

(Born & Wolf)Se o espesor e o angulo da cuna son moi pequenos, pode demostrarse que adiferencia de camino en P coincide co calculado para laminas planoparalelas,pero o espesor depende da posicion:

∆ = 2nfd(~r) cos θt

Se un observador mira a lamina dende a perpendicular (θt �), o rango de

9

valores de cos θt dos raios que lle entran no ollo e pequeno, o desfase sera:

δ =4πnfd(~r)

λ+ π;

e cunha fonte de luz extensa podense observar interferencias, que aparentanestar sobre a superficie. As franxas so dependen do espesor da lamina, e diciros puntos da lamina con igual espesor tenen a mesma intensidade, polo quese chaman franxas de igual espesor ou de Fizeau.

(Hecht)

Unha lamina de aire entre 2 vidros comportase igual que unha de vidro enaire. Aproveitase este feito para control da calidade dunha superfice opticabaixo estudio, comparandoa cun patron plano de referencia (flat).

http://nam.epfl.ch/research/99.html

10

Consideremos dous maximos consecutivos de ordes m e m+ 1 que corres-ponden os espesores dm(~r) e dm+1(~r):

δm = 2mπ

δm+1 = 2(m+ 1)π

}⇒ dm+1(~r)− dm(~r) =

λ

2nf

Obtemos a mesma expresion para dous mınimos consecutivos. Daquela, me-dindo a interfranxa (distancia entre dous maximos ou entre dous mınimos)obtemos a variacion local do espesor, ou equivalentemente o angulo que for-man as superficies. A partir dun unico interferograma (imaxe das franxas)non se pode deducir en que direccion aumenta a orde interferencial, ou maisdificil ainda se d(~r) ten un extremo. En moitas ocasions xa conecemos estainformacion, pero de non ser ası, podese obter cambiando a distancia en-tre elementos ou cambiando λ. Por exemplo un pequeno incremento de λmovera as franxas na direcion de maior espesor.

Se a lamina e moi fina (da orde da micra) pode observarse interferenciacon luz branca. Os patrons interferenciais para cada longura de onda debenser suficientemente parecidos como para que cada punto da lamina mantenaunha cor. Dito doutro xeito, a interferencia constructiva debe producirse,como moito, para un par de longuras de onda dentro do visible.

11

http://ondasbachiller.blogspot.com/

http://www.google.com/images?q=clubsciences.u-psud.fr

Aneis de Newton

Una aplicacion das franxas de igual espesor e a medida da curvatura dasuperficie dunha lente. Na configuracion mais simple ponse en contacto asuperficie a medir cun vidro plano de referencia. Se x e a distancia dende opunto de contacto o de observacion (e xm o m-esimo anel brillante):

x2 + (d−R)2 = R2

R�d↓⇒ x2 ' 2Rd

2nfdm = (m+ 1/2)λ

⇒ xm =

√(m+ 1/2)

λ

nfR

Analogamente para o m-esimo anel escuro:

xm =

√mλ

nfR

Os radios dos aneis escuros son proporcionais a raiz dos numeros natu-rais. Para medir caras concavas ou convexas moi curvadas que producirıan

12

patrons moi pequenos, podese usar como superficie de referencia outra es-fera de boa calidade coa forma complementaria e de curvatura calibrada.

(Hecht)

13

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton’s rings

14

3.4.3. Interferometro de Michelson

Na version mais simple esta constituido por dous espellos de primeirasuperficie e un semiespello ou divisor de feixe (beam-splitter). O semiespelloesta constituido por unha capa moi fina (da orde de 10nm) de metal deposita-do sobre unha cara dunha lamina planoparalela de vidro. O espesor da capaesta axustado para que reflicta a mesma cantidade de luz que transmite, e alamina so serve de soporte. A fonte de luz ilumina o semiespello cun anguloaproximado de 45◦. Cada un dos feixes (transmitido e reflectido) incide so-bre o seu espello e retorna cara o divisor de feixe onde sufren unha segundadivision. Finalmente superponse a luz reflectida dun brazo coa transmitidado outro. Nesta configuracion, a luz dun dos brazos atravesarıa duas veces(ida e volta) a lamina de vidro do divisor de feixe, mentras a luz do outrobrazo non a atravesarıa nunca. Para facer o sistema simetrico, podese incor-porar neste segundo brazo unha lamina compensadora identica a do divisor

(Hecht)

15

pero sen metalizar. En ocasions tamen se insıre un difusor entre a fonte e osemiespello para conveter unha fonte pequena en extensa.

Consideremos a configuracion tıpica, na que os espellos estan perpendi-culares e orientados a 45◦ co semiespello. Tomemos un raio arbitrario queincida no semiespello. Tralas refraccions e reflexions amosadas na figura deembaixo, os dous raios a sairan paralelos do interferometro: interferiran eninfinito ou no plano focal dunha lente. Se a longura dos brazos e diferenterecorreran un camino distinto presentando un desfase igual o dunha laminaplanoparalela de aire comprendida entre un espello e a imaxe virtual do outroformada polo divisor de feixe. Se chamamos d a esa distancia e θ o angulode incidencia dos raios nos espellos, o desfase e:

δ =2π

λ2d cos θ

Notese que os caminos recorridos na lamina do divisor e na lamina compen-sadora son iguais polo que non aparecen no desfase. Ademais, neste calculo

(Born & Wolf)

16

se esta suponendo por simplicidade que a fases xeradas na reflexion do se-miespello dende o lado do vidro e dende o lado do aire son iguais, xa quenon seran relevantes. Un dos espellos e mobil podendo trasladarse o longodo brazo para cambiar d. O desprazamento pode medirse cun parafuso mi-crometrico. O espello fixo ou de referencia pode orientarse para conseguir oparalelismo coa imaxe do espello mobil. Nesta situacion obteremos maximose mınimos de interferencia en forma de aneis:

Maximos: 2d cos θ = mλ

Mınimos: 2d cos θ = (m+ 12)λ

Como vimos en laminas, a orde interferencial m e menor para angulos grandesmantendo fixa d. Se agora nos fixamos nun anel m fixa, e incrementamos d,tamen aumenta θ; o aro medra de tamano e aparecen novos aneis no centrodos aneis. Canto menor sexa d, maior debe ser o cambio de θ para cambiar dunmaximo a outro (incremento dunha unidade en m), polo tanto mais anchasson as franxas. Cando a imaxe dun espello cadra sobre o outro (d = 0), adiferencia de camino e nula e o desfase e cero para todolos angulos, polovemos un campo luminoso uniforme.

Se, partindo da condicion de camino nulo, inclinamos un espello, veremosfranxas de igual espesor. E dicir, veremos franxas rectas equiespaciadas eparalelas a lina de interseccion dun espello coa imaxe do outro.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:MichelsonCoinAirLumiereBlanche.JPG

17

Algunhas aplicacions do interferometro de Michelson

Constancia da velocidade da luz. Inicialmente o interferometro foi de-senado por Michelson para medir a velocidade da luz en diferentesdireccions e ası determinar a velocidade relativa entre a Terra e o eter(experimento Michelson-Morley, 1887). As diferencias de velocidade endireccions perpendiculares resultaron ser moito menores que a veloci-dade da Terra na sua orbita. Este resultado supuxo unha solida probaexperimental en contra da teorıa do eter, posteriormente reemprazadapola teorıa da relatividade de Einstein (1905). Michelson recibiu o pre-mio Nobel en 1907 ”for his optical precision instruments and the spec-troscopic and metrological investigations carried out with their aid”.2

Medida de microdesprazamentos. Un movemento dun espello tan pe-queno como λ/4 ≈ 100 → 150 nm convirte un maximo interferencialnun mınimo. Son razoablemente asequibles precisions de 10 nm medin-do a intensidade do feixe.

Medida de espesores ou ındices de refraccion. Dada unha lamina pla-noparalela transparente de ındice conecido, podese determinar o seuespesor (l) insertandoa nun brazo dun interferometro de Michelson pre-viamente axustado a camino nulo. A lamina introducira un incrementodo camino optico de:

∆ = 2(n− 1)l,

polo que aparecera un patron de aneis. Agora acortamos este brazoachegando o espello unha distancia d que reducira o camino optico en∆′ = 2d = mλ para o centro do patron. Este ultimo mediremolo senmais que contar o numero de maximos m. Volveremos a estar en caminonulo cando ∆ = ∆′, polo tanto:

l =mλ/2

n− 1.

Co mesmo metodo tamen e posible determinar o ındice de refraccionse conecemos o espesor.

Resolucion de dobrete espectral. E frecuente que as fontes de luz degases a baixa presion emitan duas linas espectrais de igual intensida-de e tan proximas que analizadas con outros metodos menos precisosaparentan ser unha soa lina. Suponamos que a fonte emite en λ1 eλ2 = λ1 + ∆λ. Por exemplo o sodio emite en 588,995 e 589,592 nm. O

2http://nobelprize.org/nobel prizes/physics/laureates/1907/michelson.html

18

patron que veremos e a suma de intensidades do patron que se producepara cada longura de onda (diferentes longuras de onda ⇒ incoheren-cia). En camino nulo todalas longuras de onda interfiren constructiva-mente. Se movemos un espello, empezaran a xurdir maximos e mınimosno centro do patron, pero a un ritmo levemente diferente para cadalongura de onda (menor λ ⇒ maior ritmo). O cabo dunha distanciaos dous patrons teran practicamente o mesmo tamano (proporcionaisa cadansua λ), pero coindicindo un mınimo central para un deles comaximo do outro. Agora a visibilidade das franxas e nula. Se despra-zamos o espello outro tanto recuperaremos a visibilidade maxima, peroλ2 recorreu un maximo menos que λ1:

2d

λ1

= m

2d

λ2

= m− 1

⇒ 2d

(1

λ1

− 1

λ2

)= 1

Pero ademais:

1

λ2

=1

λ1 + ∆λ=

1

λ1

1

1 + ∆λλ1

' 1

λ1

(1− ∆λ

λ1

)de onde:

∆λ =λ2

1

2d.

En realidade as zonas de maxima visibilidade estan equiespaciadasası que non e necesario partir de camino nulo; ademais e mais doa-do determinar as situacions de mınima visibilidade que as de maxima.Como as de mınima visibilidade estan intercaladas a medio camino dasoutras, a expresion anterior segue sendo valida. Por ultimo ganamosprecision se medimos a distancia entre duas rexion de mınima visibili-dade non contiguas.

Unha variante desta tecnica pode usarse para medir espectros arbitra-rios. Para iso hai que medir a intensidade do centro do patron paramultitude de posicions do espello, de xeito que non nos saltemos nin-gun maximo nen mınimo de interferencia. O espectro obtense a partirda transformada de Fourier destes datos. Esta tecnica empregase paraobter o espectro en infravermello de sustancias, o que aporta valiosa in-formacion para a sua analise quımica. O seu acronimo en ingles e FTIR(Fourier transform infrared) spectroscopy.

Tomografıa de coherencia optica (OCT) E unha tecnica recente (anos90 do seculo XX) que se aplica principalmente en oftalmoloxıa para a

19

estructura en profundidade da retina in vivo. Basease nun interferome-tro de Michelson onde o ollo estudiado fai o papel de espello dun dosbrazos. Enfocase un punto da retina, e mıdese a intensidade a saıda dointerferometro para moitas longuras do outro brazo. Como a fonte deluz ten pouca coherencia, so apareceran interferencias cando a posiciondo espello mobil sexa aproximadamente conxogada dunha superficie naretina que xere unha reflexion (cambio de ındice no tecido). Esto apor-ta informacion ata unha fondura da orde do medio milımetro na retinacunha resolucion axial de 10 µm. Despois repıtese o proceso para outrospuntos ata reconstruir unha seccion ou corte da retina, o cal e util paraa diagnose de posibles patoloxıas.

Variacions do interferometro de Michelson

Twyman-Green. Empregase para control de calidade de lentes. O elementointroducese nun dos brazos. Se o elemento baixo estudio xera unhaonda converxente, sera posible colocar un espello esferico concentricocoa onda de xeito que a saida do interferometro haxa duas ondas planas.Tamen serve para controlar a calidade de prismas.

http://en.wikipedia.org/wiki/Optical coherence tomography

20

(Hecht)

Mach-Zender. Ten a peculiaridade de que o feixe so pasa unha vez poloelemento insertado nun dos brazos. Empregase para medida de mostrastransparentes, en especial estudio de gases: ındice de refraccion, ondasde choque, distribucion de temperaturas nunha chama... E dificil dealinar.

(Hecht)

Sagnac. Un dos feixes recorre o interferometro en senso horario e o outroen antihorario. E un interferometro de camino comun, xa que os dousfeixes fan o mesmo recorrido. Unha vibracion que traslade un espelloalterando o recorrido dun feixe, altera igualmente o do outro feixe. Enconsecuencia e un dispositivo moi estable. Usase como xiroscopo; se ointerferometro rota arredor dun eixo perpendicular o plano da figura,

21

un feixe se atopa co semiespello antes que o outro, o que da lugar aun desprazamento das franxas proporcional a velocidade angular dosistema.

(Hecht)

3.4.4. Interferencia de multiples feixes:

a lamina planoparalela

r’,t’

r,t

r’’,t’’

n1

nf

n3

z

y

22

Consideremos unha lamina planoparalela (nf ) entre dous medios diferen-tes (n1 e n3) e na que as reflexions nas caras sexa suficientemente importantecomo para que a terceira e sucesivas ondas reflectidas ou transmitidas sexanrelevantes. Usaremos ondas escalares, ainda que o resultado sera valido tantopara polarizacion TE como TM.

Se o vector de onda incidente e ~ki = 2πλ/n1

(0, sen θ,− cos θ), a onda sera:

Ei = E0ei(~ki~r−ωt)

Para construir as ondas reflectidas definimos: ~kr = 2πλ/n1

(0, sen θ, cos θ);

δ = 2πλ

2nfd cos θ′; r, t os coeficientes de Fresnel da onda que entra nalamina; r′, t′ os da que volve para o medio orixinal e r′′, t′′ os de saidada lamina cara o terceiro medio. Segun a polarizacion r e t seran enrealidade r‖ e t‖, ou r⊥ e t⊥; igualmente con r′, etc.

Primeira onda reflectida: E0ei(~kr~r−ωt)r

Segunda onda reflectida: E0ei(~kr~r−ωt)tr′′t′eiδ

Terceira onda reflectida: E0ei(~kr~r−ωt)tr′′r′r′′t′ei2δ

Cuarta onda reflectida: E0ei(~kr~r−ωt)tr′′(r′r′′)2t′ei3δ

...

A resultante se a lamina e moi grande (infinitas reflexions):

Er = E0ei(~kr~r−ωt)[r + tr′′t′eiδ + tr′′r′r′′t′ei2δ + tr′′(r′r′′)2t′ei3δ + ...

]= E0ei(~kr~r−ωt)

[r + tr′′t′eiδ

(1 + r′′r′eiδ + (r′′r′)2ei2δ + ...

)]= E0ei(~kr~r−ωt)

[r + tr′′t′eiδ 1

1− r′′r′eiδ

],

(3.4.1)onde sumamos unha serie xeometrica de razon r′′r′eiδ que ten modulomenor que 1. Esta expresion e valida tanto para polarizacion TE comoTM.

Lamina antirreflectante

Reconsideremos este problema tendo en conta as multiples reflexions.Para obter interferencia destructiva, os dous sumandos dentro dos corchetesdeben cancelarse:

r + tr′′t′eiδ 1

1− r′′r′eiδ= 0;

23

tendo en conta as relacions de Stokes:

r′ = −r tt′ = 1− r2

obtemos:r + r′′eiδ = 0.

A exponencial debe ser real e dicir 1 ou −1. Cando a lamina ten un ındice in-termedio entre n1 e n3, podemos facer que r = r′′. Esto conduce en incidencianormal as duas condicions conecidas:

nf =√n1n3

δ = (2m+ 1)π ⇒ 2nfd = (m+ 1/2)λ

A posibilidade r = −r′′ conduce a n1 = n3, que non serve para desenarlaminas antireflectantes.

Lamina inmersa nun unico medio n1 = n3

Neste caso r′′ = r′ = −r e t′′ = t′ polo que a amplitude reflectida e:

E0r = E0 r1− eiδ

1− r2eiδ

o que da lugar a unha intensidade:

Ir =E0rE

∗0r

2=E2

0

2r2 2(1− cos δ)

1 + r4 − 2r2 cos δ= Ii

4r2 sen2 δ/2

(1− r2)2 + 4r2 sen2 δ/2.

Se r � 1, recuperamos o resultado obtido considerando a interferencia deduas ondas: unha intensidade moito menor que a incidente pero visibilidade

(Hecht)

24

unidade (a maxima posible) xa que os mınimos de intensidade son ceros. Ser → 1, numerador e denominador seran case sempre moi semellantes poloque se reflicte case toda a luz incidente o cal non e nengunha sorpresa xa quesupuxemos reflectancia moi alta. Sen embargo hai unha excepcion: Ir anulasecando δ/2 = mπ posto que (1 − r2)2 6= 0. Para ver esto mellor calculemosa intensidade transmitida baixo a hipotese de que non hai absorcion (Ii =Ir + It):

ItIi

=1

1 + F sen2 δ/2(Funcion de Airy)

onde F e un parametro (chamado coeficiente de finura) que se define como:

F ≡ 4r2

(1− r2)2.

F e moi sensible a pequenas variacions de r xa que varıa de 0 a ∞ cando rvarıa de 0 a 1. Cando F e moi alto, a transmision e moi baixa excepto nasproximidades dos ceros de sen δ/2, onde a transmision e completa. Podeseconseguir alta eficiencia e alta visibilidade, pero ademais o sistema e moisensible a cambios en δ. Chamemos ∆δ a largura do pico, definida como ointervalo de δ dentro co cal a intensidade transmitida e mais da metade damaxima:

1

2=

1

1 + F sen2 2mπ+∆δ/22

⇒ ∆δ = 4 arcsen1√F

√F�1↓' 4√

F;

∆δ tende a cero cando F tende a infinito.

∆δ

25

(Born & Wolf)

Outro parametro importante e a finura F , que se define como a relacion entrea distancia entre dous picos consecutivos dividida entre a largura dun pico:

F =2π

∆δ'=

π

2

√F

Para incrementar r, podense depositar unha capa metalica moi fina (tıpi-camente prata para visible e aluminio para UV) sobre as cara da lamina. Isopermite acadar valores de F moi altos (da orde de 1000) incluso en incidencianormal. O problema agora e que a lamina absorbe, reducındose a cantidadede luz transmitida canto maior e o espesor do metal (e polo tanto r). Outraposibilidade e depositar unha multicapa reflectante.

En resumen, cando a reflectancia nas caras dunha lamina planoparale-la non e pequena, seguimos vendo aneis de igual inclinacion situados nasmesmas posicions angulares que obtivemos para reflexions febles, pero agoraos mınimos por reflexion (maximos por transmision) son moito mais finos.Ademais temos boa visibilidade tanto por transmision como por reflexion.

Interferometro Fabry-Perot

Esta constituido por duas laminas de vidro paralelas (unha delas mobil)coas caras internas parcialmente metalizadas. As direccions de iluminacione observacion son proximas a normal. Se a distancia entre as laminas e fixa,ou e simplemente unha soa lamina metalizada polas duas caras, denomınaseetalon Fabry-Perot.

26

(Hecht)

It/Ii frente a θ′ para duas λ’s. O dous picos centrais estan xustamente resoltos.

Cando este dispositivo se ilumina cunha fonte de luz policromatica, trans-mitirase un patron de aneis para cada longura de onda. Como o tamano dosaneis de cada patron depende da sua λ, e os aneis son moi finos, o instru-mento pode usarse como espectrometro. Para determinar a capacidade deseparacion espectral suponeremos que o iluminamos con duas longuras de

27

onda proximas: λ e λ+ ∆λmin, da mesma intensidade. Diremos que as duaslonguras de onda estan xustamente resoltas cando os patrons de intensidadese corten en puntos nos que a intensidade e a metade do maximo (criterio deTaylor). Neste caso hai unha direccion de propagacion θ′ na que a fase valeδ = 2mπ + ∆δ/2 para unha longura de onda e 2mπ − ∆δ/2 para a outra.Tendo en conta que un incremento de λ reduce δ:

2mπ + ∆δ/2 =2π

λ2nfd cos θ′

2mπ −∆δ/2 =2π

λ+ ∆λmin

2nfd cos θ′

Combinando estas ecuacions e suponendo ∆λ pequeno, podemos chegar aque o poder de resolucion cromatico R vale:

R ≡ λ

∆λmin

=2mπ

∆δ= mF

Enton, a maior reflectancia, maior finura, e maior resolucion espectral. Ade-mais a orde interferencial m pode facerse tan grande como se queira senmais que separar os semiespellos (en incidencia normal m = 2nfd/λ), o queaumenta a resolucion.

Agora consideremos duas longuras de onda resoltas. Se incrementamos adiferencia entre elas, chega un momento no que o pico de orde m da longuramaior coincide coa orde m + 1 da menor. A esta diferencia en longuras deonda se lle chama rango espectral libre ∆λfsr, (free spectral range) que e orango de longuras de onda que non se solapan:

2(m+ 1)π =2π

λ2nfd cos θ′

2mπ =2π

λ+ ∆λfsr

2nfd cos θ′

⇒ ∆λfsr

λ=

1

m

Polo tanto valores grandes de m conducen a boas resolucions pero a rangosrestrinxidos. Vexamolo doutra maneira; multiplicando a ultima expresion po-lo poder de resolucion cromatico chegamos a:

∆λfsr

∆λmin

= F

este cociente ven sendo o numero maximo de longuras de onda que podemosresolver, e coincide coa finura (recordese a definicion de F) a cal so dependeda reflectividade das caras do interferometro e non de m (nin polo tanto ded).

O etalon Fabry-Perot e a configuracion mais comun dos laseres, estandoo medio activo (emisor de luz) no interior da cavidade. O filtrado espectralque efectua a cavidade e un dos motivos da pureza espectral dos laseres.

28

It/Ii frente a θ′ para duas λ’s. A orde 6 da λ maior (vermello) coincide coa orde

7 da menor λ (azul).

29