UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA...

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA POLITÉCNICA SUPERIOR DE LUGO.

Área de Enxeñería Cartográfica, Xeodésica e Fotogrametría. TEMA 1.1. Fundamentos da Topografía-Complementos - 1

Profesor: José Antonio Pardiñas García.

1. MEDICIÓN DIRECTA E PLANIMETRÍA BÁSICA. SUMÁRIO 1.1. Medición directa: --De ángulos variables. Goniómetros. Elementos. Clases de ángulos. Medición e afinado. Dispositivos de iluminación. Medición electrónica. --De ángulos constantes:

Escuadras. Perpendiculares con cinta.

De distancias.


Área de Enxeñería Cartográfica, Xeodésica e Fotogrametría


TEMA 1.1. Fundamentos da Topografía-Complementos 2

1.1.MEDICIÓN DIRECTA. De ángulos variables. Goniómetros. Elementos. Todo traballo topográfico necesita para se resolver da medición de ángulos. Os instrumentos utilizados para esta medición reciben o nome xenérico de GONIÓMETROS. Normalmente, os goniómetros van asociados con anteollos estadimétricos para poder medir tamén as distancias, constituindo os taquímetros. Os ángulos a medir poden ser horizontais, tamén chamados acimutais, ou verticais, coñecidos como ángulos cenitais. Os goniómetros que miden ángulos horizontais chamanse acimutais e os que miden ángulos cenitais, eclímetros. Os aparellos de topografia, excepto os níveis, teñen os dous tipos de goniómetros. En todo caso, todos os goniómetros están constituídos polas seguintes partes: A = Anteollo colimador. Lv= Limbo vertical. Lh= Limbo horizontal. I = Índices vert.e horz. É= Eixo secundario. Ep= Eixo principal. Tn= Base nivelante.

ANTEOLLO COLIMADOR.-Dotado de movimento basculador o redor dun eixo horizontal (eixo secundario) solidário dun índice que marca os ángulos cenitais nun disco fixo, ou ao revés, un disco (limbo do eclímetro) que se move solidario co eixo horizontal do anteojo, permanecendo fixo ao índice.

Fig. 1.- GONIÓMETRO




GONIÓMETRO CENITAL OU ECLÍMETRO.- Disco graduado e índice que miden os ángulos verticais. O disco chamase LIMBO, nos goniómetros ópticos e limbo codificado nos goniómetros electrónicos e, como queda dito, na maior parte dos casos movese solidario co eixo horizontal do anteollo (eixo secundário).

O conxunto de anteollo e eclímetro pode moverse o redor dun eixo vertical para poder medir os ángulos horizontais.

GONIÓMETRO ACIMUTAL.- Disco graduado e índice que miden os ángulos acimutais ou horizontais. O disco pode moverse sobre o seu eixo vertical mentres que o índice é solidário da alidada horizontal. O movemento do limbo horizontal (óptico ou codificado) recibe o nome de MOVEMENTO XERAL.

O movemento do LIMBO horizontal pode anularse co parafuso de presión do movemento xeral. O movemento do índice e da alidada horizontal en relación ao limbo chamase MOVEMENTO PARTICULAR. Este movemento relativo tamén se pode anular con un parafuso de presión que se chama parafuso de presión do movemento particular. As partes móbiles dos goniómetros reciben o nome de alidadas.

BASE OU PLATAFORMA NIVELANTE. Accesorio sobre o que se acopla o goniómetro deseñado para lograr unha perfecta nivelación de maneira que o goniómetro horizontal “barra” ángulos sobre un plano perfectamente horizontal e o eclímetro mida ángulos verticais con referéncias perfectamente cenitais.

Consta de duas estructuras metálicas unidas por medio de tres parafusos (en disposición de triángulo equilatero) de movemento micrométrico, de forma que a inferior pode acoplarse a un trípode de sostén do goniómetro e a inferior soporta á goniómetro e adecua a sua posición ata alcanzar a horizontalidade, gracias aos parafusos de nivelación.

Clases de ángulos. * HORIZONTAIS: Normalmente, a graduación do limbo horizontal, entre 0g y 400g ( o 0º - 360º ) está feita crecendo no sentido do movemento das agullas do reloxo (Graduación normal ou a dextrorsum ou en sentido dextrogiro). O cero do limbo horizontal pode orientarse .Segundo esa orientación midense tres tipos de lecturas de ángulos acimutais en relación a ese cero: a) Direccións. Cando o cero se orienta a unha referencia arbitraria. b) Acimut topográfico. Cando se realizan as lecturas en relación ao cero orientado ao Norte Xeográfico.





c) Rumbo. Cando o cero se orienta ao Norte magnético. Os aparellos que miden rumbos reciben o nome de brújulas e o seu limbo acimutal orienta-se ao Norte magnético.

Lh= Limbo horizontal ÁNGULOS

Nx = Norte Xeográfico = ACIMUT

Nm = Norte magnético R = Rumbo

Oa = Orientación arbitraria

L = Dirección

O rumbo diferenciase do acimut topográfico nun ángulo formado pola agulla imantada dunha brúxula co meridiano de orixe, chamada DECLINACIÓN MAGNÉTICA. A declinación magnética nun punto da Terra definese como o ángulo formado polos meridianos xeográfico (que pasa polo Norte xeográfico) e magnético (que pasa polo Norte magnético), que converxen nun punto determinado.

Na nosa latitude a declinación magnética () é ocidental polo que

tamén se lle da signo negativo.no entorno de Lugo = -7g

Fig.2.- ÁNGULOS HORIZONTALES.

Fig. 3.- DECLINACIÓN MAGNÉTICA.




* VERTICAIS: A lectura do limbo cenital realizase, na maioria dos aparellos en relación á cero vertical situada por encima do instrumento (cenit) e recibe o nome de DISTANCIA CENITAL. Pero, alguns aparellos miden o ángulo vertical en relación ao horizonte recibindo o ángulo o nome de ALTURA DE HORIZONTE. Mesmo hai instrumentos que miden o ángulo vertical en relación ao NADIR (oposto ao cenit) e será unha distancia nadiral. É importante saber que o anteollo de colimación pode medir ángulos en duas posicións:

En CÍRCULO DIRECTO (CD), cando a lectura angular vertical toma valores entre 0g e 200g.

En CIRCULO INVERSO (CI), cando, despois de ser basculado, mide ángulos verticais nun intervalo 200g – 400g (0).

Se a lectura da distancia cenital en CD é mais grande de 100g (ou 90º) e que a visual do anteojo é descendente. Se é menor, a visual é ascendinte.

C = Cénit. H = Horizonte.

= DISTANCIA CENITAL.

= ALTURA DE HORIZONTE.

Fig. 4.- ÁNGULOS VERTICALES.





Medición e afinado. Limbos e Micrómetros. A medición de ángulos realizase cos goniómetros directamente, razón pola cal sempre foi feita con elevada precisión, tanto con instrumentos ópticos como cos electrónicos modernos. A.-LIMBOS. Son os elementos dos goniómetros preparados para a medición de ángulos. Están constituídos por círculos graduados con enorme precisión que poden chegar a apreciar ata 1cc por lectura directa nos goniómetros ópticos nos Teodolitos e o mesmo nos electrónicos. Nós comezaremos, os limbos estaban fabricados con materiais metálicos, con unha cinta metálica no perímetro para facilitar o marcado da graduación. As lecturas realizabanse no exterior, coa axuda de índices montados en potentes lupas e microscópios. na actualidade os limbos son coroas circulares de vidro de varios milímetros de espesor, con monturas de aceiro e divisións gravadas con alta precisión, que permiten as lecturas de limbos por transparencia, utilizando visores microscópicos. Os limbos van totalmente protexidos dentro da “caixa” do goniómetro. Os diámetros dos limbos de vidro abalan entre 70-90 mm. Os limbos codificados dos modernos goniómetros dixitais son tamén de vidro transparentes que levan escalas gravadas con trazos transparentes e opacos. As lecturas son realizadas por un fotosensor, facendo atravesar os limbos por unha lupa xenerada por un diodo. A graduación dos limbos acimutais medra, en xeral, no sentido das agullas do reloxo, e chamase graduación normal ou dextrorsum. As divisións poden ser sexagesimais (0º - 360º) e centesimais (0g - 400g) ,sendo esta última a mais usada. Os limbos horizontais xiran sobre un eixo vertical coaxial co eixo particular da alidada e poden moverse solidários coa mesma e libres. Os limbos cenitais, movense nun plano vertical solidários co eixo horizontal e secundario do anteollo. Graduados nas mesmas escalas que os acimutais, teñen o índice fixo e poden, segundo modelos, medir distancias cenitais (0g no cenit), distancias nadirais (0g no nadir) e alturas de horizonte (0g no horizonte) Pero as divisións do limbo, debido ao seu tamaño, non deben ser mais pequenos dun grado. As altas precisions alcanzadas na medición de ángulos (ata 2cc) obrigaron a complementar os limbos con elementos que permitirán apreciar fraccións de grado o mais pequenas posible. Os primeiros foron os NONIOS. Os nonios angulares son segmentos circulares concéntricos co limbo, que teñen unha lonxitude de n-1 divisións do limbo e están divididos en n partes. Desta maneira, a sua sensibilidade (diferencia entre a división do limbo e a do nonio) é a enésima parte da unidade do limbo. A complexidade de construcción, manexo, lectura e adaptación dos nonios os limbos de vidro é a razón polo que os aparellos ópticos modernos os sustituiron por elementos de mais fácil aplicación e lectura.




B.-MICRÓMETROS. Os aparellos modernos de lectura óptica montan micrómetros para a apreciación de fraccións de grado (ata 0,2cc nos Teodolitos de precisión elevada) nos nonios. Consisten nun microscópio de lectura con un retículo dividido en forma de escala de maneira que a sua imaxe cadre co do limbo e con unha dimensión tal que ao ollar se vexa unha magnitude idéntica a unha división do limbo ( 1 grao). (O retículos é un disco transparente montado no microscópio de lectura do limbo, que leva marcado un segmento dividido en partes en forma de escala, que se fai cadrar na imaxe, por procedementos ópticos, con unha división do limbo. deste modo, se o segmento está dividido en 100 partes, ao cadrar coa división do limbo ( 1 grao) na imaxe de visor de lectura de ángulos, permite apreciar directamente 1 minuto e, por estima, ata 20 segundos en aparellos normais.) As lecturas angulares realizan-se por medio dun visor situado paralelo ao anteojo do aparello provisto dun ocular para regular a nitidez da imaxe de lectura. Foi a marca WILD (actual Leica) a que revolucionou no seu momento a construcción de aparellos topográficos, introducindo o micrómetro óptico de estima para sustituir aos nonios. Os principais tipos de micrómetros son: B.1. MICRÓMETROS ÓPTICOS DE ESTIMA. Introducidos pola marca Wild nos seus Teodolitos, entre eles no limbo cenital do modelo T0 (Bruxula), facilitan a lectura angular sen necesidade de retículos nen fios. A imaxe do limbo aparece no visor por duplicado, en posicións invertidas. A lectura de graos corresponde ao valor numérico en posición normal que se atopa á esquerda do seu igual invertido. A lectura de minutos realizase contando as divisións que separan estes dous valores numéricos citados. Cada división equivale a 10 minutos centesimais (6').A fracción de minutos leese por estima. B.2. MICRÓMETROS ÓPTICOS DE COINCIDENCIA. LECTURA: 19g,4600 (T0) No Teodolito Wild T0, (Bruxula), cada división entre o número de lectura e o de referéncia ( 10 e 210 ) vale 1 grao (1g). A lectura dos minutos realizase no tambor do mando da coincidencia. Cada división vale 2 minutos (2c)





Para superar a apreciación de 0,5c (1') dos micrómetros ópticos introducese nos microscópios dos micrómetros un sistema óptico de primeira importáncia na óptica, o princípio da placa de vidro, que permite desplazar en sentidos contrarios as imaxes producidas polo micrómetro óptico de estima ata que as divisións cadren. Tal coincidencia conseguese con un mando externo que, á sua vez, desplaza a escala de o micrómetro para que se poidan ler as fraccións de grao.

B.3. MICRÓMETROS ÓPTICOS DE ESCALA. De moi cómoda lectura. Son os micrómetros empregados por todos os aparellos ópticos modernos. A escala do micrómetro aparece paralela á imaxe do limbo superposta, de tal maneira que , ao ser a lonxitude do segmento do micrómetro igual á imaxe dunha división do limbo (1 grao), o sinal da lectura dos graos marca directamente o valor dos minutos nunha escala do micrómetro.no sistema centesimal, a escala ten 100 divisións de 1c cada unha. A fracción de minuto determinase por estima.

Fig. 6.- MICRÓMETRO ÓPTICO DE

COINCIDENCIA (Wild T0).




Dispositivos de iluminación. Para poder realiza a lectura dos limbos e dos micrómetros é indispensable que os atraviese a luz e que chegue ao ocular do visor. Para iso, os instrumentos teñen unha entrada de iluminación provista dun espello para a entrada de luz natural.

No caso de que a iluminación ambiente sexa insuficiente pode ser sustituída por luz artificial producida por un dispositivo iluminador accesorio, con pias. Medición electrónica. Os teodolitos electrónicos e, por suposto, os taquímetros electrónicos ou de ESTACIÓN TOTAL, miden os ángulos por procedementos electrónicos, mediante un codificador giratorio, presentando directamente as lecturas nunha pantalla ou "display" de cristal líquido (LCD), situada nun lado ou a cada lado da alidada, segundo o

Fig. 8.- MIC. ÓPTICO ESCALA Wild T1-

A. Lectura: 218g,752

Fig. 7.- MIC. ÓPTICO ESCALA Wild T1-A.

Lectura: 104g,054





modelo de que se trate. Permite a lectura simultánea dos ángulos horizontais e verticais e dispón de luz de fondo que alumbra a pantalla de lectura e o retículo do anteollo, cando sexa necesario .

Ofrece, tamén, a posibilidade de medir ángulos no sistema sexagesimal ou no centesimal e en graduación normal (dextrógira) ou inversa (levógira). As apreciacións poden ser diversas e mesmo modificadas na configuración do equipo electrónico. Poden ser de 50cc, 20cc e ata 1cc nas de alta precisión, por lectura directa. Son varias as formas utilizadas polo goniómetros electrónicos para medir ángulos:




Sistema de lectura incremental. Non ten un valor para a cero fixado na sua superfície. O ángulo de rotación obténse pola variación dunha magnitude susceptible de medición electrónica. Alguns sistemas miden diferencias de fase e outros, ciclos na intensidade luminosa. Este sistema permite situar o início de conta angular (en deixar o cero) en calquera posición do limbo.

Sistema de lectura absoluto. Sobre o círculo de cristal leva fixado unha orixe ou cero absoluto. O limbo ten que moverse para poder orientar o cero. É un sistema pouco usado.

O sistema mede a oscilación da intensidade luminosa analizando os cambios de luminosidade producidos ao atravesar un raio de luz o limbo que leva zonas opacas e transparentes. A sua esctructura e básica está formada por un limbo no que se marcaron “xanelas” (zonas claras e oscuras), un diodo emisor de luz e, na parte oposta, un fotodetector. A luz xenerada por un LED (Diodo Emisor de Luz) atravesa o limbo polas zonas claras e interrompese nas opacas. Os cambios de luz-oscuridade son convertidos polo fotodetector en sinais eléctricos que xeneran uns impulsos que se poden contar para os converter en valores numéricos e poder asi medir xiros angulares.





De ángulos constantes. En Agrimensura ou en traballos de Planimetría elemental, na que só se necesitan ángulos horizontais, empregase para a sua medición aparellos sinxelos que miden ángulos rectos ou de 50g (45º) e os seus múltiplos inteiros (150g, 135º). Estes aparellos son as ESCUADRAS. Existen diversos tipos de escuadras:

Escuadras.

a) Escuadra de agrimensor: Aparello sinxelo que consta dunha espécie de "caixa" metálica de forma cilíndrica ou de prisma octogonal, levando nas caras unhas pínulas para marcar unha alineación (alidada). As alineacións que poden sinalarse ao ollar por cada par de pínulas conxugadas, forman entre si angulos rectos ou á metade. O seu elevado erro na medición de ángulos (ata 15') limita o seu emprego, en función da Escala a que se traballe, ata 46 m.a escala 1:1.000. NOTA: Dase o nome de pínula a unha placa metálica que leva duas aberturas colocadas en prolongación vertical: unha ranura moi fina para ollar e unha xanela atravesada verticalmente

por un fio moi fino para a puntería. b) Escuadra de espellos. Serve para trazar perpendiculares en terrenos abondo chans.

Fig. 9.- ESCUADRA AGRIMENSOR.




É unha armadura que leva dous espellos planos formando un ángulo de 50g (45º) e unha xanela de observación por encima de cada espello. A sua limitación está na imposibilidade de ser usada en terrenos con pendentes. O erro angular, por contra, é pequeno (9') o que permite o seu uso a distancias de 76 m.a mesma escala que antes. c) Escuadras de refracción ou de prismas. Prácticamente son as únicas que se fabrican na actualidade. Son instrumentos moi pequenos e lixeiros, de peto.

Son moi exactas: ea<7'30''(ea= erro angular cometido na medición dunha perpendicular). Poden estar constituídas por un prisma triangular (ata dous), por prisma cuadrangular ou pentagonal. A luz experimenta refraccións e reflexions de maneira que o raio que emerxe é perpendicular ao raio

Fig. 10.- ESCUADRA REFLEXIÓN (Espellos).





incidinte. (NOTA: Un prisma óptico é un corpo de vidro transparente limitado por caras laterais planas e bases paralelas). As operacións que se realizan con escuadras son, entre outras: * Trazado dunha perpendicular a unha alineación AB, dende un punto da mesma. * Trazado dunha perpendicular a unha alineación AB, dende un punto exterior á mesma. APLICACIÓNS:

Trazado de perpendiculares a unha alineación AB:

Dende un punto P de alineación.

Dende un punto Q, externo á alineación.

A

P

B

Q

Perpendiculares con cinta. A xeometria foi creada polos Egipcios o redor do 1700 a.d.C.para resolver problemas de delimitación de propriedades das terras anegadas polas medradas do Nilo. Eles xa sabian que un triángulo que os seus lados midan 3, 4 e 5 unidades de lonxitude é un triángulo rectángulo.




Entón é posible o trazado de perpendiculares no terreno, con axuda dunha cinta e de tres estacas ou balizas de sinalización, sen mais que medir secuencias de 3, 4 e 5 unidades de medida ( 1 metros, 2 metros, etc).

A B

C

3

4 5

Perpendicular con cinta. De distancias. Este método de medición de distancias, para pequenas dimensions sobre todo en construcción, foi sempre o mais preciso, empregando instrumentos de calidade. Tamén se emprega para a medición directa das bases dunha triangulación. Os modernos aparellos electrónicos de medición de distancia (distanciómetros), sustituen con vantaxes de rapidez e precisión á medición directa. Instrumentos usados, por orde de precisión son:

a) RODETE.Cintas de materiais diversos, divididas en metros, decímetros e centímetros, enrodelados o redor dun eixo e protexidos por un estuche. Útis para traballos de planimetría elemental.





b) RODAS DE MEDIR. De diferentes precisions e características. Hai rodas con sistema de arquivo de dados e calculadora electrónica incorporada para a realización de cálculos diversos en campo.




b) CINTA METÁLICA. Fleje de aceiro de entre 10 e 50 m.empregado en construcción e, algunhas veces, para profundidade de pozos en minería.

c) FIOS E CINTAS DE INVAR. Para medicións directas de moi alta precisión.O invar é unha

aleación de Fe(64%) e Ni(36%) que ten un baixo coeficiente de dilatación lineal. Medese con fios invar distancias en tramos de 24 metros con apreciación de décimas de mm.





114.2. MEDICIÓN INDIRECTA. FUNDAMENTOS.

114.2.1. Método estadimétrico. 114.2.1.1. Fundamentos da estadía. 114.2.1.2. Anteollos astronómicos. 114.2.1.3. Anteollos estadimétricos.

114.2.1.3.1. Anteollo de Reichenbach. 114.2.1.3.2. Anteollo de Porro ou de analatismo central. 114.2.1.3.3. Anteollo de foque interno.

114.2.1.4. Clasificación da estadía. 114.2.1.5. Graduación da regra. 114.2.1.6. Modo de operar con diversos valores de K e distintas divisións

de mira. 114.2.2. Medida de distancias en pendente. 114.2.3. Distanciómetros electrónicos. Distanciómetros láser. 114.2.4. Levantamentos Topográficos. Clasificación.




114.2.1.MÉTODO ESTADIMÉTRICO.

A medición indirecta de distancias permite determinar, a partir da aparición dos anteollos estadimétricos, distancias entre puntos, con rapidez e fiabilidade. Para a aplicación deste método é necesario un anteollo estadimétrico e unha regra graduada chamada mira ou estadía, que se coloca no punto extremo da distancia a medir. Os procedimentos geodésicos permitian a obteción de distancias superiores aos 100 Kms.a partir de observacións angulares (triangulación), utilizando para iso Teodolitos con un anteollo de colimación de moi longo alcance e con unha grande precisión na determinación angular (ata décimas de segundo). Pero estes instrumentos de observación e os métodos de cálculo son excesivos para as medicións topográficas, sempre aplicadas a menores distancias. A construcción dun anteollo estadimétrico polo italiano Porro permitiu a aplicación de instrumentos de medición angular á medición indirecta de curtas distancias (ata 200 metros), con precisión aceptable e mais axilidade que a medición directa.

114.2.1.1 Fundamentos da estadía. Para entender en que se basa a medición indirecta de distancias con un instrumento estadimétrico hai que entender en que se fundamenta a estadía. Por iso, imos supoñer un observador situado en O', ollando desde o punto O a unha regra colocada verticalmente sobre o chan a unha distancia d de O’. Sexa AB = H, a lonxitude do segmento de regra que o observador ve a través dunha xaneliña ab, de

altura h, colocada a unha distancia do punto O, donde os seus marcos superior e inferior delimitan as visuais que inciden na regra nos punto A e B. Se o observador lanza duas visuais apoiadas nos marcos superior e inferior da xanela delimitará na regra vertical citada un segmento da mesma, de extremos AB e lonxitude H, como queda dito. Os triángulos Oab e OAB son semellantes, polo que se cumple que:

H

d =

h

AB

OC =

ab

Oc H

h = d





Fig.1.-FUNDAMENTO DA ESTADÍA.

Os valores de y h son coñecidos e constantes, polo que o cálculo do valor da distancia buscada, d, será:

HKd

A constante K chamase constante diastimométrica ou estadimétrica. Os aparellos que aplican este princípio chamanse estadímetros ou taquímetros estadimétricos.

114.2.1.2. Anteollos astronómicos. O anteollo precursor do anteollo astronómico foi o anteojo de Galileo (1564-1642) construído por el en 1609.




Pero foi o anteollo astronómico de Kepler, feito en 1611, o que realmente serviu para desenvolver o anteollo de colimación usado na Topografia. Un anteollo astronómico ou anteollo telescópico está constituído por unha estrutura en forma de tubo cilíndrico ou tronco-cónico que leva instaladas, pola menos, duas lentes para conseguir enfocar imaxes lexanas e para aumentalas. Unha lente ou un sistema de lentes, está colocada no extremo próximo ao observador e chamase ocular e outra está situada no extremo que apunta ao obxecto e, por iso, chamase obxectivo. Normalmente o obxectivo leva acopladas (“pegadas”) dous lentes, unha converxente biconvexa e outra diverxente planocóncava para eliminar as aberracións cromáticas.





114.2.1.2.1.Anteojo de colimación. O anteollo astronómico pode converterse nun anteollo de puntería ou anteollo de colimación, se se lle acopla entre as lentes un disco transparente, chamado retículo (a-b), con unha cruz gravada (cruz filar) que serve de referencia para as punterías.

b

a

O AP

Se se ten en conta que cada lente ten un centro que se chama centro óptico, os centros dos dous determinarán unha liña que se chama eixo óptico do anteollo. De outra parte o anteollo ten unha forma xeométrica de revolución polo que tamén ten un eixo imaxinario que se chama eixo xeométrico.




Nos anteollos de puntería para conseguir a precisión apuntando a un branco ten que cadrar co centro de cruz filar, por iso este centro ten que estar situado sobre os eixos citados, formando á sua vez, xunto co punto visado, un terceiro eixo que se chama eixo de colimación. Para que un anteollo funcione correctamente e as punterías sexan exactas (lembrar que desta forma imos medir ángulos con alta precisión) teñen que cadrar os tres eixos descritos. A operación de apuntar de forma precisa a un punto que se quere posicionar a partir dos valores medidos en campo, necesarios para iso, chamase COLIMAR. Colimar = operación que consiste en poñer en liña, en marcar unha dirección. En Topografia, colimar é apuntar a un sinal que utilizamos para medir ángulos e distancias e facer que coincida o centro da cruz filar co punto central do sinal utilizado.

114.2.1.3. Anteollos estadimétricos.

Fig. 2.- ANTEOJO DE REICHENBACH.





Os anteollos estadimétricos ou diastimométricos están baseados nos princípios da estadía e construídos a partir dos anteollos astronómicos, por incorporación dun disco transparente marcado con un retículo de liñas que sinalan as lecturas de olla cando se realiza a colimación. Este retículo formase a partir do de colimación, engadindo duas liñas equidistantes ao fio axial ou ao fio vertical, que chamasen fios estadimétricos. A imaxe seguinte representa un retículo estadimétrico que serve para ser utilizado con miras verticais ou con miras horizontais, porque ten os dous pares de fios estadimétricos antes citados. É un anteollo astronómico provisto de un retículo estadimétrico que ten dous fios paralelos o fio central horizontal (axial). Besamos as partes do anteollo anterior:

a) L = Lente Objetivo. b) O = Lente ocular. c) R = Retículo estadimétrico. d) F = Foco do obxetivo. e) C = Centro do anteollo, que coincidirá coa vertical no punto de estación.

Si os valores principales do anteollo son: f = distancia focal.

= ángulo diastimométrico.

l = lonxitude do anteollo.

E como os triángulos a b F e ABF son semellantes e cumplese:

a b

AB =

O F

OF

h

H =

f

D

D = f

hH

1

1 .

Esta fórmula é semellante á obtida para a explicación do fundamento da estadía, que nos dá a distancia desde un punto situado antes do retículo. A distancia que interesa coñecer é a que existe dende o eixo vertical do instrumento, que pasa polo seu centro, o punto onde está situada a regra graduada, polo que haberá que sumar a D1 a distancia (f + l/2) que hai entre o centro do aparello, C, e o foco F.




D = D + (f + l

2)

f + l

2 = K (Constante aditiva)

D = D + K = K.H + K

1

1

1 1 1

O valor de K, para cada modelo de aparello está dado en función do ángulo diastimométrico, deducido da seguinte expresión:

K = h

f =

22.

1

2f

h =

f

2

h

= 2

: Fba triangulo

tan

tan elEn

A constante K1 chamase constante aditiva; a constante diastimométrica é K; a expresión 1/K daselle o

nome de relación diastimométrica; ao ángulo , que é constante, ángulo diastimométrico e ao

punto F, punto analático. Lembrando os retículos:

114.2.1.3.2. Anteollo de Porro ou de analatismo central. Ainda que a constante aditiva K1 de Reichenbach é pequena, da orde de 30-50 cm.,debe de terse en conta sempre para non acumular este erro sistemático en distancias grandes. Para calcular as distancias sen ter que engadir a constante aditiva utilizase o anteollo estadimétrico ideado por Porro. Consiste en intercalar entre o obxectivo e o retículo dun anteollo de Reichenbach unha lente converxente, a unha distancia do obxetivo menor que a sua distancia focal (f2 < d < f 1).





L1 = Lente obxectivo. L2 = Lente analática. R = Retículo. f1 = Distancia focal da lente obxectivo. f2 = Distancia focal da lente analática. d = Distancia entre as duas lentes (obxectivo e analática).

Os triángulos F1A'B' y F1AB son semellantes e cumplese:

Fig. 3.- ANTEOLLO DE PORRO.




A B

AB =

F O

F O

A B

H =

f

D

D = H.f

A B = H.K

1

1

1

1

posto que A'B' y f1 son valores constantes. Con este anteollo o punto analítico queda trasladado ao punto C, cadrando asi co centro do anteollo e, por iso, coa vertical sobre o punto no que se vai a colocar o instrumento topográfico. Desta maneira a constante aditiva será K’ = 0.

114.2.1.3.3. Anteollo de enfoque interno. O enfoque do obxeto a visar para realizar as medicións co anteollo estadimétrico realizabase por desprazamento do ocular que iba instalado nun tubo concéntrico ou portaobxetivo. Este sistema creaba moitos problemas co uso dos aparellos posto que os desgastes nas guias de desplazamento provocaban “torcedura” no eixo de colimación e, por iso, erros moi importantes á hora de realizar as colimacións. O risco de provocar unha falta de coincidencia entre o eixo de colimación e o eixo óptico do anteollo ao realizar os enfoques con un ocular móbil, queda eliminado coa disposición, nos anteollos modernos, dunha lente intermedia diverxente, que realiza o enfoque con un desplazamento moi pequeno e funciona con analatismo central. Ainda que o desprazamento necesario provoca unha variación do punto analítico, esa variación é despreciable na medición de distancias.

114.2.1.4. Clasificación da estadía. Segundo o valor que se considere variable, clasificamos a estadía en catro categorias:

A. ESTADÍA DE 1ª CATEGORIA: De mira variable e fios fixos. Varia a lonxitude H sinalada na mira polos fios estadimétricos do retículo.

constante. = h

que xa K.H; = .Hh

= d

B.ESTADÍA DE 2ª CATEGORIA: De mira constante e fios variables. Varia a lonxitude h entre os fios do retículo e mantense constante o segmento lido na mira.

d = .H.1

h = K .

1

h; .H = constante1





C. ESTADÍA DE 3ª CATEGORIA: De mira constante e fios fixos. Varia a distancia l entre o obxetivo e o retículo, mantendose constantes h e H.

d = H

h. = K . ;

H

h = constante.2

D.-ESTADÍA DE 4ª CATEGORIA: Combinación das de primeira e segunda categoria. Son de tipo mixto e dispoñen de varios fios, co que a lonxitude entre fios, h, é variable, sendo tamén variable o valor de H interceptado na mira. Para cada valor de h aplicase unha K (constante diastimométrica) diferente. Os estadímetros mais empregados son, sen dúbida, os de primeira categoria. Nestes a distancia dende o punto de estación ao punto sinalado pola mira é igual ao producto da lonxitude do segmento de olla limitado polos dous fios estadimétricos pola constante diastimométrica K.

d = K.H 114.2.1.5.Graduación da regra. Para graduar a regra coa que se medirán as distancias, procedese do seguinte modo: Nun terreno chan e horizontal midese por procedementos directos unha distancia de 100 metros, dende o punto de estación do aparello de medida, situando a regra no punto medido. O segmento de regra limitado polos fios extremos do retículo do aparello, dividese en 100 partes iguais. Se cada división de mira = p, entón H = 100.p e como d = 100 m, cumplirase que

metros K

1 = p

K.100.p = metros 100 K.100.p = K.H = d

Si K = 100, evidentemente p = 1/100 metros = 1 cm e a distancia d, en metros, é igual ao número n de divisións de mira, en centímetros. A constante K toma valores sinxelos de 50, 100 ou 200. O valor da constante diastimométrica K, nos aparellos modernos é de K = 100. En todo caso, sexa cal sexa o valor de K, se as divisións de mira se construen de maneira que p = 1/K, sempre se cumplirá a seguinte equivaléncia.




D = K.H = k.n.p = K.n.1/K = n Por iso, a distancia en metros ven dada polo número de divisións, n, sinaladas na regra polos fios

extremos do retículo, cando cada división da regra é p = 1

K.

Esta regra graduada chamase ESTADÍA. Se se divide en metros e fraccións de metro, recibe o nome de MIRA. Por regra xeral usanse miras xa graduadas e divididas en cm e aparellos con valores de K sinxelos de operar, como 50, 100, 200, etc. 114.2.1.6.Modo de operar con diversos valores de K e distinto valor para as divisións de mira.

Para a conversión das lecturas de mira en distancias, segundo o tipo de divisións e o valor de K, é útil a seguinte fórmula: Sexan: p = División da mira en cm. K = Constante diastimométrica. d = distancia a medir. H = Segmento de mira limitada polos fios extremos. n = número de divisións de mira en H. Ls = Lectura fio superior de mira = Nº de divisións da mira, dende a parte inferior. Li = Lectura fio inferior de mira = Nº de divisións. H = n.a n = Ls - Li d = K.H = K.n.a = K.(Ls – Li). Vexamos varios supostos:

Instrumento con K = 100 e regula graduada en cm. (a = 1 cm) Ls será o número de divisións (unidades) dende o chan. Li son as divisións que marca o fio inferior. n = Ls-Li será o número de divisións do segmento de mira determinado polos fios estadimétricos. d=K.n.a=100.n.a = (100xn divisiónsxa cm/división) =100.n.a cm = 100.n.1 cm = 100.n cm/100 cm/metro = n metros.

Instrumento con K = 50 e regla graduada en cm (a = 1 cm) d=K.n.a = 50.n.a = 50.n.1 cm = 50.n/100 metros = n/2 metros.





Instrumento con K = 100 e regula graduada en duplos cms. (a = 2 cm) D=K.n.a = 100.n.a = 100.n.2 cm = (200.n)/100 metros = 2n metros.

E asi en todos os casos que podan aparecer. 114.2.2. MEDIDAS DE DISTANCIAS EN PENDENTE. Ao estudar o anteollo estadimétrico e o fundamento da medición de distancias por métodos estadimétricos, suponse que a medición se realiza co anteollo en posición horizontal e coa mira situada perpendicularmente ao eixo óptico do anteollo. Na prática estas condicións danse en moi poucos casos. A colimación da mira situada no punto a medir faise con unha inclinación calquera do anteollo,

formando un ángulo coa horizontal (altura de horizonte) e colocando a mira verticalmente sobre o terreno (M), quedando, por iso, oblícua en relación ao eixo óptico ou liña de colimación.

Para aplicar as fórmulas de cálculo procedentes da estadía, imaxinamos que se situa a mira nunha posición tal que quede perpendicular ao eixo óptico (M1).

Por ser , ángulo diastimométrico, moi pequeno, podemos considerar que as visuais OA1 e OB1 son case paralelas entre si e, por iso, perpendiculares á mira M1. Formandose dous triángulos rectángulos A1AC e B1BC, co ángulo recto en A1 e B1.. O problema consiste en poder estabelecer a relación que existe entre os segmentos determinados

Fig. 4.- DISTANCIAS EN PENDENTE.




polas visuais que pasan polos fios estadimétricos na mira plomada (H) e na mira imaxinaria perpendicular ao eixo óptico (H1). Con ese criterio chegamos ás seguintes conclusións:

CosgSengd

100 = serpor , Sen= doConsideran

.distancias de xenerador número = g = K.H

CosK.H = HK. = d

CosHCosBCACCosBCCosACCB + CA = BA = H

CB. = CB CB

CB = :BCB

AC. = CA AC

CA = :ACA

g

1

11111

11

1

11

1

..

Cos

.

....

CosCos

CosCos

que son as fórmulas para calcular a distancia xeométrica d: Como a distancia que realmente interesa é a distancia reducida, sinalada na figura coa letra D.

D = d.

D = d.Sen

Cos

Fórmula empregada tamén cando se realiza a medida da distancia con distanciómetro electrónico ou Estación Total (o distanciómetro mide a distancia xeométrica). De onde se deducen as duas fórmulas fundamentais para o cálculo de distancias a partir dos datos medidos por métodos estadimétricos:

D = g. 2Cos

Si se calcula a partir da altura de horizonte.

D = g.Sen2





Si se calcula a partir da distancia cenital. No suposto de que o traballo se realice con un anteollo de Reichenbach, sen analatismo central, a distancia xeométrica teria que ser corrixida no valor da constante aditiva K1, quedando as seguintes fórmulas:

v 1

v 1

12

1

12

1

d = d + K

D = d . = (d + K ).

D = (g. + K ). = g. + K .

D = (g.Sen + K ).Sen = g.Sen + K .Sen

Cos Cos

Cos Cos Cos Cos

114.2.3. DISTANCIÓMETROS. A medición indirecta de distancias na actualidade pode realizarse por medio de instrumentos chamados distanciómetros electrónicos que utilizan diversos sistemas de ondas electromagnéticas que, ao reflectirse en reflectores adecuados permiten coñecer a distancia xeométrica. Os mais modernos distanciómetros electrónicos xeneran lóstregos infrarroxos ou lóstregos láser. Existen determinados distanciómetros láser ou telémetros capaces de medir distancias cando o lóstrego rebota nunha superfície opaca, sen necesidade de reflector. Teñen, sen embargo limitacións xa que, normalmente, esta operación non a fan a grandes distancias (entre 80 e 500 metros); para maiores distancias, nos que o sinal perde moita intensidade, necesitan que rebote nun reflector especial. Os distanciómetros miden analizando as lonxitudes de onda que emiten (normalmente son de 20 metros, de maneira que ao ser de ida e volta cada lonxitude de onda equivale a un decámetro – 10 metros). As fraccións de decámetro, ata chegar ao milímetro, son cuantificadas por un fasímetro capaz de analizar a fase en que chega cada punto da onda e analizar asi a elongación e, por iso, o desprazamento. Esta luz infrarroxa está producida por diodos de arseniuro de galio e modulada de maneira que sexa utilizada a banda non afectada por fenómenos de absorción. A frecuencia está calculada en función da velocidade de propagación, de tal forma que a lonxitude de onda resultante sexa de 20 metros exactamente, en condicións atmosféricas normais. Esta onda é reflexada polos prismas de reflexión situados no punto a medir sendo recebida de novo polo aparello emisor que a analiza para calcular a distancia, tendo en conta que o lóstrego percorre a distancia duas veces. A unidade de medida é a onda de 20 metros que se considera como de 10 metros debido ao duble




camiño que antes se indicou. A distancia total compónse, polo tanto, de tantos decámetros como ondas completas conteña o percorrido, mais unha fracción de onda correspondente ao desfase entre a radiación de saída e a de chegada que é a que mide os valores que compoñen a distancia que son inferiores ao decámetro, alcanzando aproximacións de milímetros. O fundamento dos aparellos de medida electrónica de distancias, de tipo topográfico está basado na emisón dunha onda luminosa de lonxitude coñecida nun medio transparente que é a atmósfera, que chega a un reflector ou prisma de reflexión total que a devolve ao emisor. CÁLCULO DA DISTANCIA Para determinar a distancia entre dous puntos A e B, por medio dos sinais transmitidos pola Estación Total situada en A e reflectidas ao seu punto de partida dende o prisma situado en B, non se mide o tempo, pois seria tan pequeno que non seria posible de medir excepto con reloxos moi precisos, capaces de medir fraccións de segundo moi pequenas.

Por iso, aplicase a seguinte fórmula:

desfase o 2

sendo

2m. +

2.

2 = D

e m = nº de veces que se emite a onda.





Fig. 1.- ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. 1.-ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. O desfase podese medir con un erro da orde da milésima do valor da lonxitude de onda. Na xeración de ondas podemos chegar moito mais lonxe, pois é da orde da millonésima parte do valor da lonxitude de onda producida. A parte fixa do erro, corresponde ao erro na medida do desfase e a parte proporcional da distancia, ao erro na xeración da própria onda.

A precisión dun distanciómetro de Estación Total é, de 3 3mm ppm para a maioria dos

modelos de tipo medio que hai no mercado, medindo distancias de ata 4.000 metros nunha soa medición. A interpretación do erro indicado para tales distanciómetros é: un erro constante (3 mm) mais un erro variable, en función da distancia medida (3 ppm.=3mm por Km.). O resultado da distancia lese na pantalla ou display que ten o aparello ao efecto. Un traballo con distanciómetro de lóstregos infrarroxos pode realizarse tanto de dia como de noite, e mesmo con chúvia miúda. A partir dos mil metros de distancia, como consecuencia da grande precisión, é necesario introducir no aparello datos de presión atmosférica, temperatura e mesmo de humidade para que poda efectuar as correccións no cálculo da distancia ou aplicalas por medio de táboas de corrección cando o aparello non permita a sua introducción, cos que poder correxir os erros producidos pola refracción atmosférica.




Existen varios modelos no mercado, de marcas moi diversas, que alcanzan dende os 900 metros con un prisma ata os 8000 con 9 prismas. Fórmulas de Cálculo da distancia Reducida

D = d. Sen

D = d. Cos 114.2.4. LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS.CLASIFICACIÓN.

Entendemos por levantamento o conxunto de operacións necesarias para representar un terreno. Ainda que en xeral os levantamentos realizanse de acordo coa precisión indicada, hai que ter en conta un factor importante á hora da sua execución, é o que se denomina limite de percepción visual.

Limite de percepción visual e Escala. No momento de levar a cabo un levantamento, convén ter en conta o elemento que imos desenvolver, para asi poder aumentar a eficacia do noso traballo. Para iso, adiantamos algo que xa veremos en outro tema, sobre mapas, planos e a escala dos mesmos. En primeiro lugar, decir que se admite que a vista humana normal pode chegar a percibir sobre un papel magnitudes de ata ¼ de milímetro con un erro na percepción non superior a 1/5 de milímetro, a esta capacidade de discriminación chamaselle LIMITE DE PERCEPCIÓN VISUAL (LPV)

ou ERRO GRÁFICO (g) e significa que a vista humana confunde nun só punto, de dous puntos que debuxados en papel estean a menos de 0.2 mm de distancia entre eles. Por Escala entendemos a relación que hai entre a distancia entre dous puntos medida sobre o plano ou mapa e a distancia entre os correspondentes puntos, medida no terreo. Se chamamos DP á distancia no plano, DT á distancia no terreno (expresadas nas mesmas unidades) e E á Escala, será:

MD

DE

T

P 1 , sendo M o denominador da Escala.

E asi DT = DP . M Se consideramos que o erro gráfico é o máximo que podemos cometer no plano, os valores de campo poderán ter un erro tal que non proboque un erro gráfico superior ao máximo.

Po elo, campo = g . M





Desta forma derivamos unha conclusión de grande importancia na prática, e é a necesidade de non esquecer nunca nos levantamentos a escala á que se traballa; se traballásemos, por exemplo, a unha escala de 1:25.000, os 0,2 milímetros do papel, de inevitable erro, virian representados no terreno por 5 metros (0.2 mm x 25000 = 5000 mm = 5 m), que a esta escala serian de todo despreciables. Se, polo contrario, fose a escala de 1:2.000, a mesma magnitude do plano correspondería a 40 centímetros de erro no terreno. No levantamento dun camiño, no primeiro caso, despreciaremos a curvatura dun tramo do cal a súa flecha sexa inferior aos 5 metros, tomandoo como recto e quedando determinado só polo punto de orixe e o extremo final, mentres que no segundo caso será necesario segurar ata os 40 centímetros de flecha, situando puntos intermedios con moito maior custe e traballo. Sen embargo, é frecuente esquecer o significado da escala no campo, polo que se cometen dous erros: ou ben o terreno queda sen suficiente representación, ou ben comote o defecto contrario, exaxenerando o detalle por encima da percepción no plano, o que produce un inmotivado encarecemento do traballo. O producto de 0,2 milímetros polo denominador da escala danos, en todos os casos, a distancia no terreno que pode resultar despreciable.

Clasificación e elementos constituyentes. Como se deduce do apartado imediatamente anterior, hai ocasións nas que pola índole do traballo pode alixeirarse un pouco a atención, ainda que iso conleve a cometer erros, sempre que éstos non afecten á sua representación; pero o vocablo levantamento non fai referencia só a aqueles traballos realizados con moito esmero, se non que se pode falar mesmo de croquis. É por iso que se establece unha clasificación entre os diferentes tipos de levantamentos, comezando por realizar unha primeira discriminación, encanto a levantamentos regulares e irregulares. Nos primeiros, utilizanse instrumentos, mais ou menos precisos, con fundamento científico, sexan sistemas óptico-mecánicos ou modernamente, electrónicos, que permiten alcanzar representación do terreno, na que a precisión é homoxénea en calquera dos seus puntos. A exactitude deste tipo de levantamentos dependerá, como sempre, do xeito do operador, pero en grande medida da precisión do instrumental utilizado. Sen embargo, nos levantamentoss irregulares, utilizase un aparataxe rudimentario ou elemental, ou mesmo ás veces non se usa ningun, xa que se trata de seguir métodos intuitivos, como poden ser a croquización dun terreo medido a pasos. Da forma en que se realizan este tipo de levantamentos, deducese que os erros que se van a cometer van ser de diversa consideración, non existindo uniformidade dos mesmos no conxunto do levantamento, o contrario que ocorria no caso anterior; en canto á maior ou menor “precisión” destes levantamentos, o elemento que mais afecta é o xeito do operador. Un exemplo de levantamento irregular foi o realizado en España no Avance Catastral, no que, despois de tomardr polígonos do MTN (Mapa Topográfico Nacional), ergueronse por croquización as




parcelas do interior dos mesmos; este tipo de levantamentos acostuma utilizarse tamén nos primeiros recoñecementos de campo. Os levantamentoss regulares poden ser, á sua vez, de precisión e expeditos. Nos primeiros utilizanse os instrumentos e os métodos en relación coa escala adoptada, de tal forma que os inevitables erros que se cometan queden sen representación gráfica no plano, para asi cumplir coa condición expresada no apartado anterior de equivaler a magnitudes mais pequenas que o quinto de milímetro.

Nos levantamentos expeditos non se ten esta precaución, e os erros chegan a ser sensibles no plano, pero non nunha cuantía tal como para resultar irrealizables as obras que en eles se pretendan facer. Os métodos de topografia expedita son semellantes aos da topografia ordinaria; pero diferencianse somente pola sua maior flexibilidade e libertade na sua elección e en prescindir de certos cálculos. Os levantamentos expeditos son moi útiles para un primeiro estudio ou orientación, para, por exemplo, decidir a convenencia de modificar un primeiro trazado dunha via ou, dunha maneira xeral, para todas aquelas circunstancias nas que se necesite dispor dunha representación aproximada do terreno. A topografia propiamente dita ocupase somente dos levantamentos de precisión e, entre estes, os realizados con mais ou menos cuidado, constituirán os expeditos. Por outra parte, os levantamentoss irregulares non poden considerarse propriamente topográficos, se non dun primeiro achegamento a éstos. A realización dun levantamento consta dunha série de operacións para as cales é necesario comezar por ter en conta que a proxección que se utiliza para a representación é a acotada, como xa se verá mais adiante, sistema no que os puntos veñen determinados tanto pola sua proxección horizontal como pola sua cota; segundo o exposto, todo levantamento constará de duas partes: a primeira consistirá no conxunto de operacións necesarias para chegar a obter a proxección horizontal, operacións que van constituir a planimetría do traballo, o levantamento planimétrico, e a segunda en determinar a cota dos puntos necesarios ou as curvas de nível, o que ven a estabelecer a altimetría, nivelación ou levantamento altimétrico. Frecuentemente os dous traballos fanse por separado, utilizando ás veces instrumentos totalmente diferentes, pero tamén acostuman facerse , empregando as modernas Estacións Totais e anteriormente os taquímetros, valendose de métodos abreviados chamados de taquimetría; o traballo asi efectuado coñeceselle co nome de levantamento taquimétrico. A planimetría e a altimetría, ou a taquimetría no seu caso, realizanse tamén en duas etapas. Na primeira tomanse sobre o terreno os datos necesarios, constituindo o que se coñece como Traballos de Campo; en eles situanse os instrumentos nos puntos escollidos, é decir, vanse estacionando en eles, e anotanse as observacións en impresos especiais chamados rexistos ou libretas de campo, ainda que con aparellos electrónicos, as observacións gardanse nun Colector de Datos ou en Cartóns Magnéticos que, ou ben se conectan ou ben se integran perfectamente coa propia estación total e permiten axilizar enormemente o traballo.





Na segunda etapa teñen lugar os traballos de gabinete, nos que se calculan, a partir das observacións de campo: distancias reducidas, desniveis, coordenadas cartesianas planas, etc..,datos a partir dos que se efectúan as operacións precisas que permitan deixar debuxado o mapa ou plano; na prática actual o proceso elemental sufriu algunhas variacións xa que gracias aos colectores é o ordenador, provisto de potentes programas de cálculo topográfico, os datos de campo pasan directamente a ser calculados no PC, e mesmo a saída gráfica faise por medio de trazadores ou plotters ou impresoras.

O fundamento da estadía basase nas relacións xeométrica, que se deducen da seguinte figura:

A razón d

l=

f

h permite deducir o valor d, mediante a expresión:

d=f

h .l

Nesta expresión manteñense constantes f e h, e l variable, teremos estadímetros de fios

fixos e regla variable ou de primeira categoria, en que: d= k.l con k=y

h.A , a constante K se

denomina constante diastinométrica.




Se a regra se decide en unidades do sistema métrico decimal, sempre poderemos determinar valores de K que nos dean o valor da distancia referida en relación a este sistema de unidades. A regra asi dividida denominase mira, e as constantes diastinométricas que utilizasen son xéneralmente

números sinxelos (50,100,200), función dos valores constructivos datos a e h. O parámetro h incorporase ao retículo do anteollo e caracterizase polos fios paralelos e equidistantes ao fio horizontal da cruz filar.

O foco do obxetivo substitue á porción do ollo neste punto coñecido como analítico, trasladase nos anteollos de enfoque interno ao centro do anteollo, polo que son coñecidos como anteollos de

anomalismo central, tomando por tanto o parámetro , o valor da distancia focal do obxetivo. A vertical da mira conseguese mediante un calado dun nivel esférico, ben porque se atope solidario con ela, ben polo acoplamento dun nível esférico de cantoneira que o portamiras incorpora nunha esquina antes de proceder á lectura do observador.





No caso de visual declinada , debido á diferencia de altitude entre os puntos externos da distancia a medir, o cálculo da distancia reducida D implica correxir a distancia xeométrica ou natural, que se obtén mirando a mira o redor do punto central do retículo C. Dada a inverosimilidade de executar esta acción, e posto que o ángulo diastimometrico é suficientemente pequeno, pse poden




considerar as rectas A A´E BB´como paralelos e perpendiculares a A´B´; A´B´= B.cos . Entón a distancia natural será D´=K.L. cos e a reducida virá dada pola expresión D= K.L. cos2 .

Se AB= l=n.v onde: n= número de divisións interceptadas na mira. v= valor dunha división D=K.n.v.cos2 = g cos2 ; denominándose g, ao número xerador. Os valores que pode tomar a variable l deducense a partir dos que interceptan os fios horizontais do retículo sobre a mira. Na figura seguinte as lecturas dos fios dan os seguintes valores: 60,5: 68,25; 76,00. O fio central (68,25) debe ser a medida dos extremos para o caso de K=100; mira

de doble centímetro, (terreno chan) =0 d= Kl.cos2 ;

d= 100 (76,0 - 65,5). 0,02 cos20= 31m Esta resolución é a que empregan a maioria dos estadímetros que se empregan en Topografia. O alcance do estadímetro limitase ata que se pode apreciar a metade do intervalo da mira, o cal fai que difícilmente se podan supera os 200 metros.





MÉTODOS PARA O CÁLCULO DE SUPERFICIES.

SUMARIO.

1. Concepto de superficie agraria.

2. Procedementos para o cálculo das superficies.

3. Fórmulas para o cálculo do área de triángulos e cuadriláteros.

4. Determinación do área por medidas directas.

5. Determinación do área por medidas sobre o plano.

6. Determinación do área por medios mecánicos.

7. Compensación de áreas.




1. Concepto de superficie agraria. Tanto na Agrimensura como prácticamente na Topografía, as únicas superficies que interesan son as Agrarias; enténdese por superficie agraria dunha porción do terreo, a determinada pola proyección horizontal do seu perímetro. Provén o concepto de superficie agraria, da idea de considerar que tanto as árbores coma as plantas crecen verticalmente e non en dirección perpendicular o terreo, polo que o número duns e doutras que collen no mesmo depende da súa superficie horizontal; análogamente ó ser as paredes dos edificios verticais, a superficie útil dun solar depende exclusivamente do tamaño que poida darse o edificio, cuyo piso horizontal terá unha superficie sempre menor cá que poida ter o solar debido a súa inclinación. Por outra vanda o valor da área real dun terreo é prácticamente imposible de determinar con exactitud, dado cá súa superficie non ten unha definición xeométrica exacta, e aínda que se tomara como área real a superficie topográfica, encontraríamonos, con que ésta ven determinada, aproximadamente, pola suma das áreas dunha serie de trapecios mixtilíneos, en cada unha das faixas comprendidas entre cada dúas curvas de nivel consecutivas, cuyo cálculo resultaría difícil e laborioso. Por todo elo chegouse ó convenio de tomar como área legal dun terreo, en tódolos casos, a súa superficie agraria, é dicir, a súa proyección horizontal; esto permite ademais verificar as medidas sobre o plano dun modo máis práctico e cómodo, especialmente en extensións importantes. Naturalmente, a área legal será sempre menor cá real, excepto nos terreos totalmente lisos que terán o mesmo valor. Polo tanto, repetimos, sempre que se teña que calcular a superficie dun terreo partirase da súa área legal, ou sexa das dimensións que nos dea a súa proyección horizontal e non dea a súa área real, que non interesa na maioría dos casos.

Procedementos para o cálculo das superficies. A área dunha superficie topográfica pode deducirse por algún dos seguintes procedementos, 1.º Mediante as observacións efectuadas no terreo, e anotadas nas libretas de campo e nos croquis. 2.º Mediante as medidas efectuadas sobre a representación planimétrica da superficie que se desexa determinar, ou sobre algunha das súas transformadas equivalentes. 3.º Mediante métodos mecánicos, operando sobre a representación planimétrica. Dos tres métodos o primeiro é o máis exacto, xa que soamente influen nél os errores cometidos nas medidas efectuadas no terreo; ten a súa principal aplicación cando a superficie non é de gran extensión e está constituida por unha poligonal. O segundo procedemento da bos resultados cando o plano non sufriron variacións dende que se efectuou o dibuxo do mesmo; podense paliar en parte os errores debidos ás alteracións nas dimensións do papel, utilizando a escala gráfica, no caso de que a leve dibuxada; por ésta razón





sempre que se dibuxe un plano é conveniente representar o mesmo tempo unha escala gráfica. O tercer método é o máis inexacto, xa que os errores propios do plano hay que engadir os inherentes o manexo do instrumento mecánico; no obstante, debido a súa comodidade e rapidez, este procedemento usase con moita frecuencia.

Fórmulas para o cálculo da área de triángulos e cuadriláteros. Como introducción o cálculo de superficies imos a recordar as principais fórmulas para determinar a área de triángulos e cuadriláteros.

3.1. Diversas expresións da área do triángulo oblicuángulo Primeiro caso: A área obtense en función dos tres lados a, b e c, pola coñecida fórmula de Herón:

S = p p a p b p c

donde:

pa b c

2 (1)

Segundo caso: Si se da a base c e a altura h dun triángulo (Fig. 1) a súa área ven dada pola fórmula:

sc h

2 (2)

Terceiro caso: En función dos lados b e c e o ángulo comprendido , a área do triángulo ven expresada

por:

sb c

sen

2 (3)

C

b h a

A c B Fig. 1 - Área do triángulo




Cuarto caso En función dun lado e dos dous ángulos adyacentes podemos obter a expresión da superficie da seguinte forma: da fórmula (3) dedúcese:

2S b c sen

e da proporcionalidade de lados a senos:

b c sen

sen

que sustituida ná expresión anterior e tendo en conta que sen sen , resulta:

S

c

2

2

sen sen

sen

(4)

3.2. Expresións da área do cuadrilátero Primeiro caso En función das diagonais d e d’ e do ángulo que forman (Fig. 2), podemos obter o valor da

superficie do cuadrilátero aplicando a fórmula (3) a cada un dos catro triángulos no que as diagonais o dividen:

Superficie triángulo 1 SOA OB

sen

2

Superficie triángulo II SOB OC

sen

2

Superficie triángulo III SOC OD

sen

2

Superficie triángulo IV SOD OA

sen

2





A IV d I B

d' O II III D C Fig. 2 -Área dun cuadrilátero en función das diagonais. sumando membro a membro as catro igualdades tense:

S

OB OA OC OD OA OC OA OC OB OD d d

sen sen sen ' sen

2 2 2 2 (5)

Segundo caso Si o cuadrilátero é un paralelogramo ou un rectángulo de base b e altura h, a área está dada pola fórmula:

S b h (6) Tercer caso Si o cuadrilátero é un trapecio cuyas bases ou lados paralelos son a e b e a altura h, a súa área está dada por esta fórmula:

Sa b

h

2 (7)

ou ben, chamando m á paralela media a árese obtense por:

S m h (8) Cuarto caso A área dun cuadrilátero calquera ABCD (Fig. 3) da que se coñecen tres lados a, b e c e os ángulos A e B comprendidos entre eles, está dado pola seguinte fórmula:

BAsenacsenBbcsenAabS 2 (9)

3.2. Determinación do área por medidas directas.




Si tomamos os datos de campo necesarios para o levantamento dunha extensión do terreo, por calquera dos procedementos estudiados no tomo 1, seguramente podremos aproveitarnos deles para efectuar directamente o cálculo da superficie. Imos a ver a continuación a utilización, no cálculo das áreas de parcelas ou solares, dos datos tomados nos métodos planimétricos descritos no capítulo X do primer tomo. 1 Área en función das abscisas e ordenadas: Sexa ABCDEA (Fig. 4) o contorno dunha parcela que se determinou polo método de abcisas e ordenadas, tomandose como alineación fundamental a diagonal AD. A área da parcela dada obténse doadamente como suma das áreas dos triángulos e trapecios definidos na figura mediante as fórmulas (2) e (7). O valor das bases dos trapecios e alturas dos triángulos virá dado polas ordenadas dos vértices e as bases dos triángulos e alturas dos trapecios, polas diferencias entre as abcisas de cada dous vértices consecutivos. O valor da área virá dado pola expresión:

2S x y x y y y x x x x y x x yb b e e b c c b d e e d c c

Si o eixe das abcisas non é unha diagonal (Fig. 5), formarase algún trapecio de segundo orden, é dicir, que os lados oblicuos cortanse entre os dous paralelos como AxaxeE. Imos a comprobar que tamén neste caso podese calcular a área do trapecio de segundo orden como si fora un trapecio ordinario, pero afectando á base exterior á superficie da parcela do signo menos. No caso da figura 5, para achar a área da parcela teriamos que sumar a área do triángulo II e restar a do I,é dicir:

x x y x x ye m e m a a

C B D C a c yb yc

A D ye

A b B E Fig. 3 - Área dun cuadrilátero Fig. 4 - Método de abcisas e ordenadas. en función dos lados e ángulos.





B A C ya I m xe xa M n II ye D E Fig. 5 - Método de abscisas e ordenadas, con trapecios de segundo orden. Imos a comprobar a igualdade desta expresión cá da área do trapecio AxaxeE, afectando do signo menos á base exterior, ya, ou sexa:

x x y x x y y y x xe m e m a a e a e a (10)

designado os segmentos:

x x n

x x m

x x m n

e m

m a

e a

resulta sustituindo na expresión anterior estos valores:

ny my y y m n my my ny nye a e a e a e a

pola semellanza dos triángulos I e II, tense:

m

y

n

ya e

my nye a

có que a expresión anterior queda reducida, a identidade:

ny my ny mye a e a

quedando desta maneira xustificada a expresión (10), e en consecuencia a aseveración de tratar os trapecios de segundo orden como si foran ordinarios afectando a base exterior do signo menos. Vemos que aínda que sempre é doado deducir por este procedemento a área dun polígono, en tódolos casos é conveniente dibuxar a figura para ter en conta tódalas variantes que se poden presentar, e que varían dun caso o outro, según a forma da parcela e a situación dos eixes coordenados elexidos.




EXEMPLO Efectuouse o levantamento dunha parcela poligonal polo sistema de abcisas e ordenadas, anotandose os seguintes datos de campo:

Puntos x y

A 12 28 B 36 50 C 68 56 D 90 28 E 56 10

Calcular a área de dito polígono. Como xa dixemos, debese realizar un croquis da parcela, sendo éste o da figura 6, nel vemos que hay que sumar a área dos trapecios 1, II e III que os lados AB, BC e CD forman co eixe das x e restar as dos IV e V formados polos lados DE e EA co mesmo eixe. Y C B D A I II III V E IV O X Fig. 6 O valor da área é, polo tanto:

2S= (28+50)(36-12)+(50+56)(68-36)+(56+28)(90-68)-(28-10)(90-56)-(10+28)(56-12)= =78 24 + 106 32 + 84 22 - 38 34 - 38 44 = 4148 m

2

de donde S = 22074 m

2

2 Área en función das lonxitudes dos lados. Si o perímetro da parcela está constituido por unha línea poligonal (figura 7) e descompuxose a súa superficie en triángulos, podese coñecer a lonxitude de tódolos lasos dos triángulos nos cales se descompuxo, podendo calcular a área de cada un deles pola fórmula (1), e polo tanto, a área da parcela. Os únicos instrumentos que se precisan para este método, son uns cantos marcos (jalones) para a señalización das alineación rectas e unha cinta metálica ou cadea de agrimensor para a medición das lonxitudes.





Este método é pouco recomendable cando sexan moitos os triángulos que se apoien uns noutros, debido a acumulación de erros que se producen ou cando os lados resulten dunha lonxitude excesiva para a súa señalización ou medición. Si se dispón de escuadra de agrimensor, pode resultar máis doado nalgúns casos o medir a base e altura de determinados triángulos e calcular a súa superficie pola fórmula (2) EXEMPLO Para determinar a área dun triángulo, medironse os seus tres lados obtendose os valores:

a = 34 m b = 21,5 m c = 42 m

O valor de P é: P = ½ ( 34 + 21,5 + 42 )= 48,75

e a área é, polo tanto:

S

S m

48 75 48 75 34 48 75 215 48 75 42 132262 55

363 7 2

, , , , , ,

,

5. Área en función das coordenadas polares. Si se trata de obter a área do polígono ABCDE (Fig. 8), e fixose estación nun punto interior do mesmo para obter o seu levantamiento, como se mediran os ángulos marcados na figura, así como as distancias do punto O a cada un dos vértices, bastará calcular a área de cada un dos triángulos pola fórmula (3) e sumalas para obter a área pedida.

A fórmula xeral neste caso é:

2S d d ' sen (11)

B B d ‘

d d 1 2 C

A C O 3

A 5 4 d'

D E D E Fig. 7- Área en función dos lados. Fig. 8- Área en función das coordenadas polares. Punto de estación interior.




C D B E A O Fig. 9- Área en función das coordenadas polares. Punto de estación exterior.

Esta fórmula é xeral, aínda no caso de que o punto de estación sexa exterior (Fig. 9) no cal a área do polígono obténse pola diferencia entre dúas sumas de áreas triangulares, sempre e cando se

teña en conta o signo que resulte para sen . EXEMPLO Para determinar a área do polígono ABCDE (Fig. 9), fixose estación nun punto O obtendose os datos que se mostran:

DATOS DE CAMPO CÁLCULOS DE GABINETE

PUNTOS VISADOS

DISTAN. LECTURAS VALORES sen dd’sen SUPERFICIES + -

A 16,25 64g,8889

B 31,72 74g,6296 9

g,7407 0,1524102 78,56 39,28

C 53,48 106g,3333

31

g,7037 0,4776699 810,31 405,16

D 44,27 138g,0741 31

g,7408 0,4781818 1132,12 566,06

E 5,03 98g,8904 -39

g,1837 -0,5773636 -128,57 64,28

A 16,25 64g,8889 -34

g,0015 -0,5090617 -41,61 20,80

1010,50 85,08

85,08

S= 925,42

Relación dos ángulos:

AOB = 1

AOE = 5

BOC = 2

COD = 3

EOD = 4





3.6. Área en función das coordenadas rectangulares dos seus vértices. Cando se coñecen as coordenadas rectangulares dos vértices dunha parcela poligonal pode obterse a área da mesma, en función dos valores de ditas coordenadas. Na figura 10 temos un pentágono, cuya superficie imos a calcular en función das coordenadas dos seus vértices, que deben sempre numerarse en sentido contrario a marcha das agullas dun reloxo. Trazando as coordenadas correpondentes a cada vértice queda a figura dividida en cinco trapecios, limitados todos polo eixe das x e o lado respectivo, obendose a área do polígono pola suma e diferencia de ditos trapecios. 5 4 1 2 3 y1 y2 y5 y3 y4 x1 x2 x5 x3 x4

Fig. 10 - Área en función das coordenadas rectangulares. Chamando S a área do polígono terase:

2S = - ( x2 - x1 ) ( y1 + y2 ) - ( x3 - x2 ) ( y2 + y3 ) - ( x4 - x3 ) ( y3 + y4 ) + ( x4 - x5 ) ( y4 + y5 ) + ( x5 - x1 ) ( y5 + y1 )

introducindo os signos negativos dentro do paréntesis, a expresión anterior pode escribirse: 2S = ( x1 - x2 ) ( y1 + y2 ) + ( x2 - x3 ) ( y2 + y3 ) + ( x3 - x4 ) ( y3 + y4 ) + ( x4 - x5 ) ( y4 + y5 ) + ( x5 - x1 ) ( y5 + y1 )

ou ben, dun modo xeral:

2 1 1S x x y yn n n n ( )( ) (12)

O aplicar estar fórmulas debe terse en conta, que o seguinte o último punto, é o primeiro, e que o anterior a este é o último; é dicir, que o subíndice n+1 refirese o primeiro punto, e o subíndice 1-1 refirese o último punto.




Si efectuamos as operacións indicadas na fórmula (12) e ordenamos con respecto a x, obtense:

2 1 2 5S x y y

x y y

x y y

x y y

x y y

2 3 1

3 4 2

4 5 3

5 1 4

e en xeral:

2 1 1S x y yn n n (13)

Do mesmo modo operando cá fórmula (12) e ordeándoa respecto de y, obtense:

2 1 5 2S y x x

y x x

y y x

y x x

y x x

2 1 3

3 2 4

4 3 5

5 4 1

e en xeral:

2 1 1S y x xn n n (14)

Si desde os vértices do polígono trazásemos as perpendiculares o eixe das y, chegariamos

da mesma forma a expresión:

2 1 1S y y xn n n xn (15)

Co obxeto de comprobar os resultados é conveniente calcular sempre a área por duplicado, utilizando as fórmulas (12) e (15), ou ben as (12) e (13). O cálculo da área por calquera das fórmulas, resulta cómodo e seguro si se ten coidado de ordenalo convenientemente, nun formulario análogo o que expoñemos no seguinte exemplo, resultando sinxelo si para obter os productos empregamos unha máquina de calcular.





EXEMPLO

FÓRMULA (13)

FÓRMULA (14)

PUNTOS X Y (Yn+1-Yn-1) PRODUCTOS + -

(Xn-1-Xn+1) PRODUCTOS + -

1 215,7 97,9 78,1 16846,17 135,9 13304,61

2 130,5 129,3 -60,8 7934,40 190,5 24631,65

3 25,2 37,1 -106,4 2681,28 -42,2 1565,62

4 172,7 22,9 14,1 2435,07 -241,2 5523,48

5 266,4 51,2 75,0 19988,00 -43,0 2201,60

SUMAS 0 39261,24 10615,68 0 37936,26 9290,70 -10615,68 -9290,70

2S= 28645,56 2S= 28645,56 S= 14322,78 S= 14322,78 7. Determinación da área por medidas sobre o plano. Si a parcela cuya superficie queremos determinar está representada sobre un plano e non poseemos os datos de campo que serviron para construilo, podemos prescindir deles, deducindo das medidas gráficas efectuadas sobre o mesmo plano os elementos que nos permitirán o cálculo da superficie. Imos ver a continuación unha serie de procedementos, que aplicaremos en cada caso o que se crea máis conveniente de acordo cá forma da parcela. Métodos gráficos. 7.1. Método de descomposición en figuras simples. Si a parcela ten forma poligonal (Fig. 11) podemos descompoñe-la nunha serie de triángulos contiguos, trazando, por exemplo, tódalas diagonais que parten dun dos seus vértices. A continuación trazanse as alturas correspondentes a cada triángulo, determinando a superfice de cada un deles en función da base e a altura unha vez que se reduciron a metros tendo en conta a escala do plano. A suma de tódalas áreas parciais dará a do polígono. A parcela pode descompoñerse tamén en triángulos e trapecios como na figura 4, ou referila a un sistema de eixes coordenados como na figura 10; e tomadas as medidas necesarias sobre o plano, calcular a súa superficie por algún dos métodos e fórmulas vistos anteriormente.




C D C' B' E B D' F' A F Fig. 11- Método de descomposición en figuras simples. 7.2 Método da cuadrícula Un método gráfico moi rápido para encontrar a área dunha figura irregular consiste en superpoñerlle un papel plástico indeformable e transparente que teña dibuxada unha cuadrícula e contar o número de cuadros contidos dentro dela (Fig. 12). Si as paralelas do cuadriculado teñen un milímetro de equidistancia, cada cuadrado terá unha superficie dun milímetro cuadrado e obteremos a área da figura en milímetros cuadrados, que coñecendo a escala do dibuxo será doado convertir en metros cuadrados. Para facilitar a operación de contar o número de cuadrados contidos na figura, é moi útil ter a s líneas de cinco en cinco e de dez en dez marcadas con cores diferentes, co que resultan mallas de 25 e de 100 cuadrados, de máis doado reconto.





Fig. 12 - Método da cuadrícula. Un método que podemos considerar como unha variante do da cuadrícula, é o de descomposición en faixas paralelas; consiste este procedemento en superpoñer sobre a figura cuya superficie queremos determinar, un papel transparente que leva dibuxada unha serie de sectas paralelas intervaladas entre si un número enteiro de milímetros que depende da escala do plano e da exactidude que se pretenda, podendo oscilar entre 2 e 10 milímetros (Fig. 13). Para determinar a superficie por este sistema, cun compás vanse medindo e sumando, colocando unhas a continuación doutras, as lonxitudes medias das bandas de igual ancho en que quedou dividida a superficie, e despois multiplicase a suma total obtida pola equidistancia común das bandas. A lonxitude media de cada banda obtense medindo a distancia existente entre os seus lados nos paralelos contada sobre unha línea paralela e equidistante das dúas líneas paralelas que a delimitan

Fig. 13- Método das faixas paralelas




Métodos mecánicos.

3.7.3. Determinación do área por medios mecánicos.

Para a medición mecánica das superficies planas empreganse uns inxeniosos aparatos, llamados planímetros, que permiten sin esforzo mental algún por parte do operador resolver rápidamente un problema tan complexo como é o da determinación da superficie limitada por un contorno calquera. Hay planímetros de varias clases según o fundamento teórico en que se basa a súa construcción, que reciben os nomes de: ortogonais, polares, de disco, de rodillo, etc...; sendo o planímetro polar o máis usado desta clase de aparatos. Tódolos modelos van provistos dun punzón ou visor co que se recorre o perímetro da superficie que se desexa medir e un dispositivo contador para a lectura da área. Os planímetros máis antigos eran mecánicos. Os máis modernos son planímetros dixitáis. Dispoñen dunha pantalla de cristal líquido para a lectura de datos, dunha batería interna recargable e dun teclado que permite configurar unidades , escalas, repeticións, introducir datos en memoria e activar cálculo de promedios. Vemos algúns modelos de planímetros dixitáis:





3.7.5. Vectorización.

Una alternativa a estos métodos, cando se dispón dunha boa imaxen en papel e se ten a posibilidade de traballar con ordenador, é a creación dunha imaxen raster por medio de escaner, do plano ou mapa papel, e a vectorización por encima desa imaxen, do contorno da finca ou fincas a superficiar. Calquera programa de debuxo asistido pode facer esta operación e logo sería posible pedir a determinación da supeficie delimitada pola liña vectoarial ó mesmo programa de debuxo.

4. Compensación de áreas.

Cando se determinou a área dunha superficie por distintos procedementos que nos merecen todos eles a mesma garantía, o que se fai é tomar como valor definitivo da área a medida aritmética de todos eles.




Si as medicións da área son de moi distinta precisión, por exemplo, si se calculou unha vez por coordenadas e outra gráficamente, tomase a primeira como resultado e a segunda serve simplemente de comprobación. 5. FÓRMULAS ESPECIALES PARA DETERMINACIÓN DE SUPERFICIES LIMITADAS POR LADOS

CURVOS.

Esta situación é moi frecuente cando se necesitan determinar superficies de perfiles transversáis, con lioneas de terreo moi irregulares. Estes métodos son propios de gabinete. Na actualidade están en desuso por que se realizan os cálculos por métodos mecánico-dixitáis (planímetros) ou coa axuda de programas informáticos específicos para estes cálculos. 5.1. Fórmula de BEZOUT. Aplicada ó cálculo da superficie limitada por unha recta, dúas ordenadas extremas e unha curva CÓNCAVA, CONVEXA OU MIXTA ( cóncavo-convexa ). Para a aplicación, divídese a recta AB en partes iguais dabondo pequenas para que os trapecios mixtilíneos formados teñan aproximadamente a mesma superficie que os rectilíneos correspondentes. Polas divisións trázanse perpendiculares para a medición das ordenadas no traballo de campo. (Enténdese por trapecio mixtilineo o formado por lados rectos e curvos). O proceso de cálculo e o seguinte:

S = y + y

2.a +

y + y

2.a + ... +

y + y

2.a

S = a.y + y + y + y + y +...+ y + y + y

2

S = a.y + y + 2 y + 2 y +...+ 2 y

2

S = a.y + y

2 + y + y +... + y

1 2 2 3 n-1 n

1 2 2 3 3 n-1 n-1 n

1 n 2 3 n-1

1 n

2 3 n-1

S aE

P I

.

2





DATOS DA FÓRMULA DE BEZOUT: E = Suma de ordenadas extremas y1, yn. P = Suma das ordenadas pares, menos yn si é par. I = Suma das ordenadas impares menos y1 e menos yn si é impar. NOTA: yn pode ser par ou impar, segundo o número de divisións de AB.

5.2. Fórmula de SIMPSON.

Fórmula de cálculo máis exacta que a de Bezout. Úsase para o cálculo da superficie de figuras limitadas por unha recta, dúas ordenadas e unha curva CÓNCAVA ou CONVEXA. A recta AB divídese en un número PAR de partes iguais o que implicará un número impar de ordenadas. Para a aplicación da fórmula construense trapecios interiores unindo tódalas ordenadas por medio de cordas da curva e trapecios exteriores trazando tanxentes á curva polos extremos das ordenadas pares e prolongando as ordenadas impares. Chamamos Si á superficie dos trapecios interiores e calcúlase pola Fórmula de Bezout.

S aE

P Ii

.

2

Fig. 16. FÓRMULA DE BEZOUT.




Chamamos Se á superficie dos triángulos exteriores calculadas do seguinte xeito:

e1 3 3 5 2n-1 2n+1

1 3

2

2n-1 2n+1

2n

e 2 4 2n

e 2 4 2n

S = y + y

2 . 2a +

y + y

2 . 2a + ... +

y + y

2 . 2a

y + y

2 = y ... ...

y + y

2 = y

S = ( y + y + ... + y ) . 2a

S = y . 2a + y . 2a +...+ y . 2a

Se = 2a.P A Superficie mais aproximada será:

S = S + S - S

3 = a .

E

2 + P + I +

2a . P - a . E

2 + P + I

3

S = 1

2E.a + P.a + I.a +

2

3P.a -

1

6E.a -

1

3P.a -

1

3I.a

i

e i

Sendo: E = Suma das ordenadas extremas. P = Suma das ordenadas pares. I = Suma das ordenadas impares excepto extremas. (NOTA: As ordenadas extremas son impares).

S

a P I E

. 4 2

3





5.3. Fórmula de PONCELET. Igual que a fórmula de Simpson, úsase para o cálculo de superficies limitadas por unha recta AB, dúas ordenadas e unha curva cóncava ou convexa. Medición: Divídese a dirección AB nun número PAR de partes iguáis (implica un número impar de ordenadas) e mídense tódalas ordenadas.

Demostración e cálculo: a) Superficie interior (Si) igual á suma das superficies dos trapecios formados unindo os

Fig. 17.- FÓRMULA DE SIMPSON.

Fig. 19.- FÓRMULA DE PONCELET.




extremos das ordenadas contiguas primeira e segunda, penúltima e última, mailos formados por tódalas ordenadas de orden par.

i1 2 2 4 4 6

2n-2 2n 2n 2n+1

S = y + y

2.a +

y + y

2.2a +

y + y

2.2a + ...

... + y + y

2.2a +

y + y

2.a

S a PE E

i

.'

22

E = y1 + y2n+1 E’ = y2 + y2n P = y2 + y4 + y6 + … + y2n O desenrolo do cálculo de Si sería do seguinte xeito:

i1 2

2 4 4 6 2n-2 2n

2n 2n+1

i1 2

2 4 6 n-2 2n

2n 2n+1

i1 2n+1

S = a.y + y

2 + y + y + y + y + ... + y + y +

y + y

2

S = a.y

2 +

y

2 + y + 2 y + 2 y + ... + 2 y + y +

y

2 +

y

2

S = a.y + y

2 +

3( y + y )

2 + 2( y + y + ... + y2 2n

4 6 2n-2

Sumando e restando y y n2 2

2

S a

y y y yy y y yi

n n

n

. ...

1 2 1 2 2

2 4 6 222 2 2 2

b) Superficie exterior (Se) é a dos trapecios formados de igual xeito que para a fórmula de Simpson, polo que o seu cálculo e o mesmo:





Se = 2a.P A superficie total será a media aritmética das dúas superficies calculadas:

SS S

a P a PE E

e i

2

2 22

2

. .'

P = Suma ordenadas pares. E = Suma ordenadas extremas. E'= Suma ordenadas contiguas ás extremas.

S a PE E

.'

24




ESCALAS.

SUMARIO.

1. Escalas numéricas. Definición e tipos.

2. Límite de Percepción Visual.

3. Escalas gráficas.





Escalas numéricas. Clases. Límite de Percepción Visual (LPV).

Escalas.

Si chamamos T á distancia real entre dous puntos da Terra, A e B, é dicir, á distancia

medida sobre a superficie terrestre e P a distancia que se representa entre eses mesmos

dous puntos, a e b, no Mapa ou Plano, definiremos por ESCALA a razón que existe entre esas

dúas medidas, expresadas nas mesmas unidades, e considerando esa razón expresada pola

seguinte relación:

T

P

D

DE

Normalmente o valor de E ven expresado por unha fracción sinxela cuio numerador é

a unidade (1) e o denominador un ou dous díxitos non nulos seguidos de ceros (M).

Así quedará a seguinte expresión:

T

P

D

D

M

1

Queda así unha expresión moi facil de usar para a transformación de distancias de

plano a realidade e viceversa:

DT = DP*M, ou DP = DT/M




Escala numérica:

La escala se representa convencionalmente como una fracción, en la que

habitualmente el numerador toma valor unitario. Aunque no tiene por qué ser así resulta la

forma más cómoda para su interpretación.

Habitualmente los denominadores adquieren valores enteros y múltiplos de 1000 (en

Cartografía), de 10 (Topografía) y de 1 (delineación).

¿Cómo se escribe y se interpreta esta fracción?

Esta misma fórmula, aplicada á obtención de superficies reais, a partir das medidas

no plano, será: ST = SP * M2. Sendo ST a superficie correspondente ó terreo e SP, a superficie

medida sobre plano: pode ser calculada por procedementos analíticos a partir de medidas

tomadas no plano, ou medida por medios mecánicos ou gráficos, sobre o mesmo plano.

Con estes criterios, está claro que unha escala é tanto mais grande canto menor é o

seu denominador.





Por elo podemos indicar as escalas mais frecuentes en Topografía, por orden

crecente do seu valor:

1:10000, 1:5000, 1:2000, 1:1000, 1:500, 1:200, 1:100, 1:50.

Son escalas importantes ás do Mapa Topográfico Nacional (MTN), 1:50000 e 1:25000.

Clases de escalas.

Error de concepto habitual: Mapas de gran escala y Mapas de pequeña escala.

Mapas de gran escala:

Aquellos mapas que representan una porción pequeña de terreno (el denominador

es pequeño) Escala grande.

Mapas de pequeña escala:

Aquellos mapas que representan una porción grande de terreno (el denominador es

grande) Escala pequeña




É evidente que as escalas de aplicación para a realización de Cartografía producen

unha redución de grandes distancias (propias do terreo) a pequenas distancias a

representar no Plano ou Mapa. Pero non sempre ocurre así. A representación gráfica

de obxectos de pequena dimensión ou de detalles constructivos, teñen que

experimentar un aumento para poder apreciar e determinar tódolos aspectos e

características. Neste último caso, invírtense os términos da fracción que define o

valor de E, de xeito de o valor de P é sempre maior que T.

Así, pois, podemos clasificar as escalas en dous tipos:

De reducción, cando provocan que as distancias no

plano sexan menores que as distancias reales.

De ampliación ou aumento, cando as distancias no

plano son superiores ás distancias reais.

Límite de percepción visual.

Admítese que a vista humana, en condicións normais e a simple vista, é capaz de

percibir sobre un papel separacións ou distancias entre puntos do orden de 1/5 de mm, é

dicir, de 0.2 mm. Esto significa que si debuxamos dous puntos mais cerca de 0.2 mm. Serán

confundidos e vistos como un punto.

A esta mínima separación límite para que a simple vista se detecten dous puntos,

chámase Límite de Percepción Visual ( LPV ou g ) e ten un gran interés para establecer as

condicións de traballo en Topografía e os niveis de precisión necesarios para acadar

resultados correctos.





De feito, para establecer os métodos de traballo recomendables, os equipos

necesarios e a atención axeitada en todo Levantamento Topográfico, é indispensable

establecer a Escala á que se vai a realizar a Cartografía, para poder determinar as Tolerancias

de erro, en función do Límite de percepción visual.

Por exemplo, aplicando este concepto á inversa, imos a determinar que distancia real

non sería apreciable no plano, según a escala á que se realice a representación gráfica:

DT = DP*M

Establecemos o valor de P no valor de LPV = 0.2 mm.

Caso 1. Escala 1:1000.

T = 0.2 mm * 1000 = 200 mm = 20 cm.

Un erro menor de 20 cm no campo non sería perceptible nun plano a escala

1:1000.

Caso 2. Escala 1:25000.

T = 0.2 mm * 25000 = 5000 mm = 5 m.

O límite de "imprecisión" con que podemos traballar no campo está en 5

metros.

Que duda cabe que coñecer estos valores determina o método, o cuidado e o

tipo de instrumento con que hai que realizar medicións no campo.




Escala gráfica:

Consiste na representación dunha recta sobre a que se marcan os segmentos

que representan distancias reais designadas polas cifras que aparecen.

A escala gráfica pode ser de calquera tamaño e forma, non obstante existe un

formato comunmente aceptado no que se subdivide un dos segmentos en

unidades menores á esquerda do cero e se representan varios segmentos

unitarios á dereita do cero.

1ª ESCALA GRÁFICA: M = 500. 2ª ESCALA GRÁFICA: M = 50

División principal = 2 cm. División principal = 2 cm

Subdivisión = 2 mm Subdivisión = 4 mm

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA...

Documents

Transcript of UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA...