ESCOLA POLITÉCNICA SUPERIOR DE...

ESCOLA POLITÉCNICA SUPERIOR DE LUGO.

Área de Enxeñería Cartográfica, Xeodésica e Fotogrametría.

Topografía de Obra. Tit.: Enxeñaría Civil

Profesor: José Antonio Pardiñas García.

Tema 5.4. Cálculos. Volumes - 1

BLOQUE V.

Tema 5.4 Cálculos. Volumes

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA POLITÉCNICA SUPERIOR DE LUGO.





CÁLCULO DE VOLUMES. 5.4.1 XENERALIDADES

En todo proyecto de Enxeñería, xa sexa para a construcción de edificios, como para vías de comunicación ou canles de rego, ocupa un apartado moi importante o movemento de terras.

Antes de realizar calquera de estas obras é preciso preparar o terreo mediante unha serie de excavacións ou de recheos.

Xeralmente o topógrafo non intervén nas operacións de cubicación de terras, pero é

interesante coñece-lo sistema operativo relativo a cubicación dos movementos de terras a realizar especialmente con motivo do trazado de vías de comunicación ou conducciones de augas.

Os casos máis frecuentes que poden presentarse na cubicacion de terras son: a) Excavación ou recheo dunha superfície dada, como pode selo caso de excavar os cimentos para

a construcción dun edificio, ou rechear unha parcela para deixala lisa. b) Excavación dunha zanxa, para un dasagüe, ou para enterramento dunha tubería para unha

conducción de augas, ou construcción de canles para o rego. c) Construcción dunha explanación para camiños, estradas ou vías férreas; neste caso hay que

formar terraplens e excavar desmontes, debendo ademáis ter as seccions transversais unha forma dada anteriormente.

O desmonte consiste en quitar terras ata chegar a un nivel previamente determinado; na figura

8.1 vese a forma clásica dun desmonte en estradas e vías férreas.

O terraplén polo contrario consiste en rechea-los buracos ata conseguir tamén unha altura

determinada, a figura 8.2 mostra a forma dun terraplén. De ordinario, a plataforma da explanación é unha superficie plana e horizontal en sentido

transversal, excepto nas curvas das estradas que está algo inclinada; nas estradas e vías férreas, a plataforma é de anchura uniforme nos desmontes e terraplens, sendo nestos últimos algo menor, que naqueles.

Os taludes laterais dos desmontes e dos terraplenes, son superficies planas de pendente constante e que depende do material da excavación.






Os taludes definense polo tanto por cento de inclinación ou por un quebrado que expresa as

veces que a parte vertical do mesmo contén a horizontal.

A altura a que debe quedar a plataforma do desmonte ou do terraplén, toma o nome do rasante; o estudio das rasante é dunha gran importancia e debe facerse estudiando detenidamente o plano a fin de que o movemento de terras entre desmontes e terraplens sexa o menor posible, o mesmo tempo as rasantes deben cumprir cas condicións que esixa a naturaleza da obra en canto a pendente, así, no caso dun canal de rego, será a adecuada para que leve o caudal previsto e de maneira que a velocidade da auga se manteña dentro duns límites prefixados.

As pendente expresanse de ordinario en tantos por cento; unha pendenete do 4% é a dunha línea que sube ou baixa 4 metros nunha distancia horizontal de 100 metros.

Son varios os procedementos que se empregan para calcula-los volúmes de terra, dependendo da clase de excavación e dos datos de campo tomados.

Dado o carácter reiterativo dos cálculos das cubicacións, é moi útil utilizar máquinas de

calcular.

5.4.2 METODO DOS PERFILES

O cálculo aproximado do movemento de terras nos proxectos de vías de comunicación, conduccións de auga, ou calquera outra obra de gran lonxitude faise antes do trazado definitivo, e apoiase no perfíl lonxitudinal do proyecto.

Estudiada a solución máis convinte no plano e sinala a traza da obra a realizar, debe procederse o levantamento no terreo do eixe provisional da mesma; operación que se reduce, en definitiva a realizar un itinerario.

Para elo operase con taquímetro e polo método de estacions recóprocas, procurando anlazar con tódolos vértices da triangulación que se poda desde cada estación.

En cada unha das estacións levantase asimesmo un perfil transversal do eixe, e igualmente

faise nos puntos de cambio de pendiente. Estos perfiles transvesais serán perpendiculares ó eixe lonxitudinal, marcando a situación de cada un deles mediante estacas que se numeran






correlativamente, como vemos no Tema 24.

A dirección dos perfiles transversais de pouca lonxitude tomase a ollo, e a dos máis largos, mediante un taquímetro, unha pantómetra, unha escuadra de reflexión ou calquera outro instrumento adecuado.

Cos datos tomados pódese debuxar o perfil definitivo do eixe lonxitudinal e os perfiles transversais.

5.4.2.1 Perfil lonxitudinal.

No modelo español de perfil lonxitudinal anotanse tódolos datos que se precisan para definir con toda exactitud a rasante.

No tema 24 poden verse representacións de perfiles lonxitudináis normalizados.

O perfil lonxitudinal ou relieve do terreo polos puntos no que se trazou o eixe. E a línea fina quebrada.

A rasante ou perfil proxecto, é dicir, o perfil que deberá ter a vía de comunicación para que cumpla as condicións de curvatura e pendiente establecidas.

Para a construcción do perfil o primeiro que se tivo que facer é trazar unha recta horizontal,

chamada plano de comparación; éste hay que trazalo de maneira que quede espacio para as notacións que vemos na figura.

As catro casillas situadas por encima do plano de comparación agrupanse de dúas en dúas, correspondendo as superiores as denominadas cotas roxas: desmonte e terraplén, e que se chaman así porque corresponden a diferencia de nivel entre a rasante (que se dibuxa en roxo, de ahí o nome das cotas), e o relieve do terreo. No apartado desmonte anotaremos a diferencia cando a cota do terreo sexa superior a da rasante, e faremo-lo no epígrafe terraplén cando a cota de esta última sexa superior a do terreo.

Observamos que cando hay valores en terraplén non os hai en desmonte, e viceversa; pero poden darse casos que nun mesmo punto haxa desmonte e terraplén (perfil a media ladeira), como veremos máis adiante.

Tódalas cifras anteriores escribense con tinta roxa.

A continuación veñen outras duas casillas chamadas ordenadas, da rasante e do terreo e que, como o seu nome indica son as cotas ou alturas da rasante e do terreo, polo que a diferencia entre ambas, correspondentes a un mesmo punto será igual os valores de terraplén ou desmonte, según sexa maior a ordenada da rasante que a do terreo ou viceversa, respectivamente.

Os valores numéricos correspondentes as ordenadas da rasante acostumase a escribilos en color roxo, e as do terreo en negro.

No epígrafe distancias, figuran as distancias horizontais desde cada un dos puntos; na casilla parciais aparecen as distancias existentes entre cada dous perfiles transversais consecutivos; na casilla o orixen marcanse as distancias a que se encontra cada perfil do orixen. Entre ambas está o






apartado quilómetros que só se utiliza para anotar mediante un signo convencional de quilómetro en quilómetro e o número que lle corresponde a cada un, para a máis rápida comprensión do perfil lonxitudinal.

A continuación temos a casilla de perfiles transversais, donde se coloca o número correlativo de cada perfil.

Por último, na casilla alineacións debuxase a planta ou proyección horizontal da obra lonxitudinal en color roxo e iniciado por un circulo con separacións doutros circulos cando cambia de dirección o perfil, como é o cado das curvas, colocando nelas os valores do ángulo, radio e desenrolo, e si é un tramo recto a lonxitude do mesmo, todo en color roxo.

O espacio comprendido entre o perfil lonxitudinal e a rasante colorease de amarelo cando corresponde a un terraplén, e de roxo cando o é un desmonte.

5.4.2.2. Perfiles transversais.

É preciso ter en conta os perfiles transversais para poder terminar o cálculo de volúmenes según a superficie daqueles.

Según o desnivel dos perfiles transversais, o coloca-la rasante de acordo cas cotas roxas

calculadas no perfil lonxitudinal, quedará toda a explanación en desmonte (Fig. 8.1), en terraplén (Fig. 8.2) ou a media ladeira (Fig. 8.3), é dicir, parte en desmonte e parte en terraplén.

Fig. 8.3. Perfil transversal a media ladeira.

Unha vez dibuxados os perfiles transversais, hay que proceder por algun dos métodos

estudiados no tema 5.4.2., a calcula-la superficie en desmonte e terraplén de cada un de eles, co fin de poder aplicar algunha das fórmulas do apartado seguinte para a cubicación de terras.

5.4.2.3 Cálculo de volumes.

O volúmen do movemento de terras calculase a partir das seccións transversais; estas seccións definen áreas paralelas en puntos determinados e con separacións conocidas o longo do eixe da obra. O sólido comprendido entre elas aproximase a un prismatoide, e para o cálculo do






mesmo, utilizanse nos proyectos, unha serie de fórmulas que dependen das distintas combinacións que poden darse nas formas de cada dous perfiles consecutivos.

Imos ver seguidamente diversos supostos que poden presentarse. Suposto primeiro:

A obra de terra a cubicar ten os seus dous perfiles trasversais, o anterior e o posterior, en

terraplén (Fig. 8.4) ou ambos en desmonte (Fig. 8.5). Si designamos por D1 e D2 o área das seccións transversais en desmonte, por T1 eT2 a das seccións en terraplén e por d a distancia entre os dous perfiles, as fórmulas a emplear son:

Fig. 8.4. Perfiles en terraplén.

VOLUMEN TERRAPLÉN

V t = dSTST

2

21






Fig. 8.5. Perfiles en desmonte. Suposto segundo

A obra ten un perfil en desmonte e o outro en terraplén, é dicir, que un está por debaixo da rasante e o outro por enriva (Fig. 8.6); entre ambos perfiles habrá un punto na que a rasante coincidirá co terreo, e a unha distancia de eles que supondremos que é proporcional as respectivas superficies dos perfiles, é dicir, cas notacións da figura:

Fig. 8.6. Un perfil en desmonte e outro en terraplén.

Na línea na que a rasante e o terreo coinciden, non hay duda que a superficie do perfíl transversal é nula, polo que aplicando as fórmulas do suposto primeiro, teremos, chamando Vd o volúmen do desmonte e Vt o do terraplén:

d 1 =d

D TD

d 2 = d

D TT

VOLUMEN DE DESMONTE:

dSDSD

Vd2

21






V d = D

dDd

0

2 21

1

V t = 0

2 22

2

Td

Td

sustituíndo os valores de d1 e d2 polos antes indicados, resulta:

V d = D dD

D T

d D

D T2 2

2

V t = T dT

D T

d T

D T2 2

2

fórmulas estas últimas que nos dan directamente o volumen do desmonte e do terraplén a realizar. Suposto terceiro

Un dos perfiles está todo en desmonte e o outro a media ladeira (Fig. 8.7), é dicir, parte en desmonte e parte en terraplén.

Polo punto de paso do segundo perfíl de desmonte a terraplén trazase un plano vertical paralelo o eixe da obra, que dividirá os perfiles transversais en seccións D1 ,D2 e d, t.

Na figura vemos que os perfiles D1 e d forman un desmonte, polo que para calcula-lo volumen emplearemo-la fórmula estudiada no primeiro suposto.

Para os perfiles D2 e t é o caso dun perfíl en terraplén e outro en desmonte, polo que aplicaremo-las fórmulas do suposto segundo.

No caso de que un perfíl fose todo en terraplén e o outro a media ladeira, o procedemento a seguir sería análogo.

Fig. 8.7. Perfil transversal en desmonte e perfil a media ladeira. Suposto cuarto

Os dous perfiles están en ladeira, tal como aparecen representados na figura 8.8






correspondendose os puntos de paso de desmonte a terraplén de ambos perfiles, mediante unha línea que é paralela o eixe da explanación.

Fig. 8.8. Tramos con dous perfiles a media ladeira e a media ladeira sin

correspondencia entre os puntos de paso. O cálculo neste caso é sencillo, xa que se trata de aplica-las fórmulas do suposto primeiro

para o cálculo do volumen entre os perfiles en desmonte ou en terraplén. Suposto quinto

Os dous perfiles están en ladeira, como no caso anterior, pero os seus puntos de paso non se corresponden (Fig. 8.8).

Este suposto resolvese dividindo os perfiles mediante planos verticais e paralelos o eixe da explanación trazados polos puntos de paso. Desta maneira reduxemos este caso a unha serie de casos sencillos os que son de aplicación as fórmulas deducidas nos supostos primeiro e segundo. Así temos: - Entre as seccións D1 e T1, un área en desmonte e outra en terraplén, que corresponde o segundo

suposto. - Entre as seccións T2 e T3, as dos áreas en terraplén, reducindose o problema o primeiro suposto. - E entre as seccións T4 e D2, un área en terraplén e outra en desmonte, que corresponde o

suposto segundo.






5.4.3. METODO DA CUADRICULA.

En zonas de pendiente uniforme, e donde a superficie obxecto do traballo carece de grandes accidentes, o sistema máis frecuentemente empleado é o da cuadrícula.

Fig. 8.9. Método da cuadrícula.

A forma do terreo obtense definindo sobre él unha cuadrícula (Fig. 8.9) e nivelando os vértices da mesma. Os lados dos cuadrados da malla serán de máis a menos lonxitude según que a pendente do terreo sexa máis ou menos uniforme, xeralmente oscilan entre os 5 e 50 metros de lado. O espaciado da malla farase de maneira ca pendiente entre cada dous vértices consecutivos podan considerarse uniforme.

A cuadrícula replantease con teodolito e cinta métrica colocando unha estaca en cada vértice da mesma.

Os vértices dos cuadros nivelanse, obtendo así a diferencia de altura entre cada vértice e a rasante proyectada.

Os vértices da cuadrícula poden deseñarse por coordenadas cartesianas, denominandose as paralelas a un eixe por letras e as paralelas o outro por números; así o punto c designárase (B4).

Para cálcula-lo volumen de terras a extraer do solar obxecto do traballo suponse que o sólido que corresponde a cada cuadrado, rectángulo ou triángulo é un tronco de prisma, ainda que isto non é rigurosamente exacto xa que as superficies superiores dos prismas do terreo son irregulares, mentres que as correspondentes as figuras xeometricas son planas.

O volumen dun tronco de prisma cuadrado ou rectangular ven dado pola fórmula:






V Sh h h h

1 2 3 4

4 (8.3)

donde S é a superficie da sección recta do prisma e h1, h2, h3 e h4 son as diferencias de cotas entre a rasante e cada un dos vértices.

O volumen dun tronco de prisma triangular é:

V Sh h h

1 2 3

3 (8.4)

Para calcular o volumen dun prisma de base trapecional como o abcd, acostumase a dividilo

en dous prismas triangulares trazando unha das suas diagonales, ou ben descomponse nun prisma rectangular e outro triangular trazando a altura correspondente a un dos vértices.

Como todolos cuadrados completos teñen a mesma superficie, para o cálculo do volumen

poden agruparse todos eles de forma que poidamos sacar S4

factor común, obtendo a seguinte

expresión para o volumen:

V = S

4 ( h1 + 2 h2 + 3 h 3 + 4 h4 ) (8.5)

donde:

S é a superficie dun cuadrado.

h1 é a suma das alturas que pertencen a un só cuadrado.

h2 é a suma das alturas comunes a dous cuadrados.

h3 é a suma das alturas que interveñen en tres cuadrados.

h4 é a suma das alturas que interveñen en catro cuadrados.

Para o cálculo aproximado pode abreviarse o sistema no sentido de considerar que toda a

superficie do terreo é de pendiente uniforme, nivelando entón soamente o perímetro e algúns puntos do interior; súmanse todos estos valores e divídese polo número de puntos multiplicando este resultado pola superficie do terreo obtendo un valor aproximado do volumen.

EXEMPLO

Calcula-lo volumen de terras a mover no solar representado na figura 8.9 Os números

inclinados situados en cada vértice indican a profundidade da excavación en metros, sendo

os cuadrados de 10 metros. Para calcula-lo volumen dos cuadrados completos valemonos da fórmula 8.5.

h1 h2 h3 h4

0.45 0.50 0.65






0.80 0.57 0.70 1.10 0.85 0.82 0.84 0.90 0.78 0.96 0.90 ----- ----- ----- 3.19 4.68 2.95

V1 =100

25(3.19 + 2 4.68 + 4 2.95) m

2 608.8 m

2

a este volumen hay que añadirlle o dos tres troncos de prismas limitados polas superficies abcd, cdeg e efg.

O volumen correspondente as superficies abcd e cdef calcularemolos descompoñendo nun prisma rectangular e outro triangular, donde os valores veñeñ dados polas fórmulas (8.3) e (8.4); os desmontes correspondentes os puntos m e n calculamolos por interpolación, sendo o de m = 0.93 e de n = 0.90. O volumen, V2, de abcd será:

V2 =65

4(0.80 +0.90 + 1.02 + 0.85)+

17 5

3

.(0.90 + 0.95 + 1.02) =

65

43.57 +

17 5

3

. 2.87 = 58.01 +

16.74 = 74.8 m2

o volumen, V3, de cdef é :

V3 = 35

4(0.85 + 0.93 + 1.08 + 0.90) +

15

3(0.93 + 1.02 + 1.08)=

35

4 3.76 +

15

3 3.03 = 32.9 + 15.15 =

48 m2

por último o volumen, V4, de efg é:

V4 = 17 5

3

.(0.90 + 1.08 + 1.10) =

17 5

3

. 3.08 = 18 m

2

e o volumen total das excavacións: V = V1 + V2 +V3 +V4 = 608.8 + 74.8 + 48.0 + 18.0 = 749.6 m

3 750 m

3

Nestos calculos aproximamolos volumenes parciais a décima do metro cúbico, xa que non é lóxico, calcular volumenes de terras con decimales de metro cúbico, cando as irregularidades do terreo entre os puntos elexidos para o calculo dan lugar a unha diferencia de varios metros cúbicos entre o volumen calculado e o volumen real da terra a mover.






5.4.4. MÉTODO DO PRISMATOIDE

Un prismatoide é un corpo limitado por planos, donde as caras externas son paralelas e teñen o mesmo número de lados (Fig. 8.10).

A fórmula que nos da o volumen dun prismatoide é a seguinte:

V = D

6(S1 + 4Sm +S2 ) (8.6)

na que D é a diferencia existente entre as duas bases, S1 e S2 son as superficies das mesmas e Sm é a superficie da sección media, todas elas expresadas en metros cuadrados.

A superficie Sm non é a media aritmetica das seccións S1 e S2, senon que para hallala hay

que calcular primeiro as dimensions de esta sección media, promediando as dimension homologas das caras externas.

Fig. 8.10. Prismatoide.

EXEMPLO

Calcular o volumen do prismatoide da figura 8.10 sendo as suas dimensions as indicadas na mesma.

As dimensions da seccion media calcularonse promedindo as homoogas das seccions extremas; cono neste caso cada unha das bases é un trapecio, as suas áreas respectivas son:

S1 = 25 12

2

18 = 333m

2

S2 = 13 8

2

6 = 63m

2

Sm = 19 10

2

12 = 174 m

2

O volumen do prismatoide aplicando a fórmula (8.6) é:

V = 36

6(333 + 4 174 + 63) = 6552 m

2






Si supoñemos que as seccions extremas corresponden a dous desmontes, o mesmo volumen calculado pola fórmula (8.1) danos:

V =333 63

2

36 = 7.128 m

2

A fórmula do prismatoide é moito máis exacta que as empleadas no método dos perfiles,

especialmente cando as superficies das seccions extremas son moi diferentes, como foi no caso deste último exemplo. Sen embargo, cando esa diferencia é pequena, tamén o é a diferencia entre os volumenes obtidos por ambos métodos.

Por ilo o metodo dos perfiles é máis usado xeralmente para o calculo dos movementos de terras, xa que unha exactitude e precisión maior non son necesarias na maior parte dos casos; sen embargo, o calcular obras de fábrica, como pode ser unha presa, na que o metro cubico da obra ten un valor considerable, é aconsellable emplear o método do prismatoide.

5.4.5. METODO DAS CURVAS DE NIVEL.

Si se dispon dun plano topográfico con curvas de nivel, podemos obter un volumen aproximado da terra a mover utilizando este método.

Cando o terreo a cubicar é unha loma, ou ben tratase de calculalo volumen dunha depresión,

o procedemento é o seguinte:sexa a loma da figura 8.11, nela vemos que o volumen comprendido entre cada duas curvas de nivel consecutivas podemolo considerar como o desmonte a realizar entre dous perfiles, nas que as superficies son as comprendidas por cada unha das curvas de nivel e na que a distancia é a equidistancia do plano, e que ven dado pola expresión (8.1); así o volumen Vab, comprendido entre as curvas a a’ a’’ a’’’ e b b’ b’’ b’’’ será, chamando h a equidistancia:

Vab = S Sa b

2 h (8.7)






Fig. 8.11. Cubicación dun montículo por curvas de nivel.

Fig. 8.12. Cubicación explanación.

Igualmente faremos para calculalo volumen comprendido entre as demáis curvas de nivel.






As áreas Sa, Sb, Sc, ... determinanse co planímetro.

O volumen comprendido entre a última curva de nivel e o punto F podemolo considerar como o dun cono de base o área comprendida polo curva dd

’ d

’’ d

’’’ e de altura a diferencia de cotas entre o

punto d e o f que ven expresado por:

Vdf = Sd

Z fd

3 (8.8)

Cando se trate de determinar o volumen de explanación a realizar para obter unha rasante

determinada de antemau, dibuxase ésta sobre o plano mediante curvas de nivel, que para distinguilas das de terreo dibuxanse a trazos (Fig. 8.12).

As línea de intersección das duas superficies son as líneas de paso, é dicir, as líneas de desmonte ou terraplén nulo. Na figura a parte da esquerda é zona de terraplén ou recheo, toda vez que as curvas de nivel da rasante quedan en zonas de menor cota que elas; Polo contrario, a zona da dereita é zona de desmonte ou excavación.

Para calculalo volumen de terraplén comprendido dentro da zona acndf, podemos facelo calculando o volumen de terra comprendido entre o terreo e un plano horizonta de cota igual ou inferior a mínima da área de explanción, 20 metros neste caso; segudamente calculase a área conprendida entre a rasante e ese mesmo plano e, finamente, obtendo a diferencia entre estos dous volumenes teremos o volumen do terraplén; de modo análogo procedese co desmonte da zona da dereita.

Para o calculo de ambos volumenes emplearmo-la fórmula (8.1); o volumen comprendido entre o plano horizontal de cota 20 ata o terreo, ven dado pola seguinte expresión:

V t = h ndfgac lefgab lefgab hfgab hfga

2 2

0

2

sendo h a equidestancia.

O volumen comprendido entre a rasante proyectada e o plano horizontal da cota 20 calculase da mesma maneira mediante as áreas ndfgac, kefgab. EXEMPLO

Calcular o volumen da loma da figura 8.11, sendo: S a = 450 m2, S b = 318 m

2,

S c = 203 m2, S d = 128 m

2 e a cota do punto F é de 63 m.

O volumen pedido V é:

V = V ab +V bc + V cd +V df

sendo según: (8.7)

V ab = S S

h ma b

2

450 318

210 3840 3

V bcb cS S

h m

2

318 203

210 2605 3






V cd = S S

h mc d

2

203 128

210 1655 3

e o V df é de acordo ca expresión (8.8)

V df = SZ

md

fd

3128

63 60

3128 3

e polo tanto: V = 3840 + 2605 + 1655 + 128 = 8228 m

3

5.4.6. MÉTODO DA MALLA OU MODELO DIXITAL. Conocido o modelo dixital do terreo a partir das coordenadas (x,y,z) e conocidas as "zetas" dos puntos do proxecto ou de unha capa do subsolo (para calcular volumen de terra vexetal ou similar), podemos realizar o cálculo do volumen incluido entre as dúas superficies, coa axuda de programas informáticos específicos para cálculo topográfico.

O programa compara dous MDT, dentro de unha determinada zona e informa da cubicación producida para cada tipo de terreo. Sistema moi util non só en estradas senon en minería, Urbanismo, canalizacións, etc.

ESCOLA POLITÉCNICA SUPERIOR DE...

Documents

Transcript of ESCOLA POLITÉCNICA SUPERIOR DE...