O concepto de derivadawebspersoais.usc.es/export9/sites/persoais/persoais/... · 2020. 5. 29. · O...
28
Jorge Rodríguez López O concepto de derivada O concepto de derivada Jorge Rodríguez López Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real 30 de marzo - 3 de abril (2020)
Transcript of O concepto de derivadawebspersoais.usc.es/export9/sites/persoais/persoais/... · 2020. 5. 29. · O...
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
O concepto de derivada
Jorge Rodríguez López
Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real
30 de marzo - 3 de abril (2020)
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivada dunha función nun punto
DefiniciónSexan f : A ⊂ R −→ R e x0 ∈ A ∩ A′.Diremos que f é derivable en x0 se existe o seguinte límite:
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
Este límite chámase derivada de f en x0 e denótase por:
f ′(x0),dfdx
(x0).
Equivalentemente:
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivada dunha función nun punto
Interpretación xeométrica
A derivada de f en x0 é a pendente da recta tanxente ágráfica de f no punto (x0, f (x0)).
Recta tanxente: y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).
Ver a animación con Geogebra:https://www.geogebra.org/m/jMakcYJD
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivada dunha función nun punto
Exemplos.(I) f (x) = ax + b, x ∈ R, con a,b ∈ R, é derivable en R.
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x0
ax + b − ax0 − bx − x0
= limx→x0
a(x − x0)
x − x0= a.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivada dunha función nun punto
Exemplos.(I) f (x) = ax + b, x ∈ R, con a,b ∈ R, é derivable en R.
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x0
ax + b − ax0 − bx − x0
= limx→x0
a(x − x0)
x − x0= a.
(II) f (x) = xn, x ∈ R, con n ∈ N, n ≥ 2, é derivable en R.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivada dunha función nun punto
Exemplos.(I) f (x) = ax + b, x ∈ R, con a,b ∈ R, é derivable en R.
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x0
ax + b − ax0 − bx − x0
= limx→x0
a(x − x0)
x − x0= a.
(II) f (x) = xn, x ∈ R, con n ∈ N, n ≥ 2, é derivable en R.Se x0 = 0,
f ′(x0) = limx→0
f (x)− f (0)x − 0
= limx→0
xn
x= lim
x→0xn−1 = 0.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivada dunha función nun punto
Exemplos.(I) f (x) = ax + b, x ∈ R, con a,b ∈ R, é derivable en R.
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x0
ax + b − ax0 − bx − x0
= limx→x0
a(x − x0)
x − x0= a.
(II) f (x) = xn, x ∈ R, con n ∈ N, n ≥ 2, é derivable en R.Se x0 6= 0,
f ′(x0) = limx→x0
xn − xn0
x − x0= lim
x→x0
xn0
x0
(xx0
)n− 1(
xx0
)− 1
= xn−10 lim
x→x0
n−1∑k=0
(xx0
)k
= xn−10
n−1∑k=0
1 = nxn−10 .
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivadas laterais
DefiniciónDiremos que f : A ⊂ R→ R é derivable pola esquerda enx0 ∈ A ∩ (A ∩ (−∞, x0))
′ se existe:
limx→x−
0
f (x)− f (x0)
x − x0:= f ′−(x0).
Este límite recibe o nome de derivada de f pola esquerdaen x0.
Analogamente, definimos a derivada pola dereita de f enx0 ∈ A ∩ (A ∩ (x0,+∞))′ como
f ′+(x0) := limx→x+
0
f (x)− f (x0)
x − x0.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivadas laterais
DefiniciónDiremos que f : A ⊂ R→ R é derivable pola esquerda enx0 ∈ A ∩ (A ∩ (−∞, x0))
′ se existe:
limx→x−
0
f (x)− f (x0)
x − x0:= f ′−(x0).
Este límite recibe o nome de derivada de f pola esquerdaen x0.Analogamente, definimos a derivada pola dereita de f enx0 ∈ A ∩ (A ∩ (x0,+∞))′ como
f ′+(x0) := limx→x+
0
f (x)− f (x0)
x − x0.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivadas laterais
TeoremaSexan f : A ⊂ R→ R ex0 ∈ A ∩ (A ∩ (−∞, x0))
′ ∩ (A ∩ (x0,+∞))′. Equivalen:1 existe f ′(x0);2 existen f ′−(x0), f ′+(x0) e f ′−(x0) = f ′+(x0).
Exemplo. f (x) = |x |, x ∈ R, non é derivable en x0 = 0.Existen as derivadas laterais, pero non coinciden:
f ′−(0) = limx→0−
|x |x
= −1 6= 1 = limx→0+
|x |x
= f ′+(0).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivadas laterais
TeoremaSexan f : A ⊂ R→ R ex0 ∈ A ∩ (A ∩ (−∞, x0))
′ ∩ (A ∩ (x0,+∞))′. Equivalen:1 existe f ′(x0);2 existen f ′−(x0), f ′+(x0) e f ′−(x0) = f ′+(x0).
Exemplo. f (x) = |x |, x ∈ R, non é derivable en x0 = 0.Existen as derivadas laterais, pero non coinciden:
f ′−(0) = limx→0−
|x |x
= −1 6= 1 = limx→0+
|x |x
= f ′+(0).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivable ⇒ continua
TeoremaSexan f : A ⊂ R→ R e x0 ∈ A ∩ A′. Se f é derivable en x0,entón f é continua en x0.
DemostraciónBasta ver que lim
x→x0(f (x)− f (x0)) = 0. Comprobemos iso:
limx→x0
(f (x)− f (x0)) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0(x − x0)
= f ′(x0) limx→x0
(x − x0) = 0.
O recíproco non é certo!
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivable ⇒ continua
TeoremaSexan f : A ⊂ R→ R e x0 ∈ A ∩ A′. Se f é derivable en x0,entón f é continua en x0.
DemostraciónBasta ver que lim
x→x0(f (x)− f (x0)) = 0. Comprobemos iso:
limx→x0
(f (x)− f (x0)) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0(x − x0)
= f ′(x0) limx→x0
(x − x0) = 0.
O recíproco non é certo!
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivable ⇒ continua
TeoremaSexan f : A ⊂ R→ R e x0 ∈ A ∩ A′. Se f é derivable en x0,entón f é continua en x0.
DemostraciónBasta ver que lim
x→x0(f (x)− f (x0)) = 0. Comprobemos iso:
limx→x0
(f (x)− f (x0)) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0(x − x0)
= f ′(x0) limx→x0
(x − x0) = 0.
O recíproco non é certo!
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDiferencial
DefiniciónDise que L : R→ R é unha aplicación lineal se
L(λx + y) = λL(x) + L(y) ∀λ, x , y ∈ R.
ProposiciónL : R→ R é lineal se, e só se, existe α ∈ R tal queL(x) = αx para todo x ∈ R.
Demostración(⇒) Sexa α = L(1). Entón L(x) = L(x · 1) = x · L(1) = αx .(⇐) Entón para calquera λ, x , y ∈ R,
L(λx + y) = α(λx + y) = λαx + αy = λL(x) + L(y),
é dicir, L é lineal.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDiferencial
DefiniciónDise que L : R→ R é unha aplicación lineal se
L(λx + y) = λL(x) + L(y) ∀λ, x , y ∈ R.
ProposiciónL : R→ R é lineal se, e só se, existe α ∈ R tal queL(x) = αx para todo x ∈ R.
Demostración(⇒) Sexa α = L(1). Entón L(x) = L(x · 1) = x · L(1) = αx .
(⇐) Entón para calquera λ, x , y ∈ R,
L(λx + y) = α(λx + y) = λαx + αy = λL(x) + L(y),
é dicir, L é lineal.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDiferencial
DefiniciónDise que L : R→ R é unha aplicación lineal se
L(λx + y) = λL(x) + L(y) ∀λ, x , y ∈ R.
ProposiciónL : R→ R é lineal se, e só se, existe α ∈ R tal queL(x) = αx para todo x ∈ R.
Demostración(⇒) Sexa α = L(1). Entón L(x) = L(x · 1) = x · L(1) = αx .(⇐) Entón para calquera λ, x , y ∈ R,
L(λx + y) = α(λx + y) = λαx + αy = λL(x) + L(y),
é dicir, L é lineal.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDiferencial
DefiniciónSexan f : A ⊂ R→ R e x0 ∈ A ∩ A′. Dise que f édiferenciable no punto x0 se existe unha aplicación linealdx0 f : R→ R tal que
limx→x0
f (x)− f (x0)− dx0 f (x − x0)
x − x0= 0.
A aplicación dx0 f chámase diferencial de f en x0.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivable e diferenciable
TeoremaSexan f : A ⊂ R→ R e x0 ∈ A ∩ A′. Equivalen:
(I) f é derivable en x0,(II) f é diferenciable en x0,
(III) existen α ∈ R e g continua en x0 tales que g(x0) = 0 e,para todo x ∈ A,
f (x) = f (x0) + [α+ g(x)](x − x0).
Ademais, α = f ′(x0) e dx0 f (h) = f ′(x0)h para todo h ∈ R.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivable e diferenciable
Demostración(I)⇒ (II). Definamos dx0 f (h) = f ′(x0)h para todo h ∈ R.Entón
limx→x0
f (x)− f (x0)− dx0 f (x − x0)
x − x0
= limx→x0
f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)
x − x0
= limx→x0
(f (x)− f (x0)
x − x0
)− f ′(x0) = 0.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivable e diferenciable
Demostración(II)⇒ (III). Definimos α = dx0 f (1) e
g(x) :=
f (x)− f (x0)
x − x0− α, se x 6= x0,
0, se x = x0.
A función g é continua en x0, xa que limx→x0
g(x) = 0.
Para x 6= x0 temos que
g(x) =f (x)− f (x0)
x − x0−α ⇔ f (x) = f (x0)+[α+g(x)](x−x0).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialDerivable e diferenciable
Demostración(III)⇒ (I). Como f (x) = f (x0) + [α+ g(x)](x − x0) elim
x→x0g(x) = 0,
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x0
[α+ g(x)](x − x0)
x − x0= α,
o que implica que f é derivable en x0 e f ′(x0) = α.
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialPropiedades da derivada
TeoremaSexan f ,g : A ⊂ R→ R funcións derivables en x0 ∈ A ∩ A′ eλ ∈ R. Entón
1 (λf )′(x0) = λf ′(x0);2 (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0);3 (f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f (x0)g′(x0)
(Regra do produto);4 Se g(x0) 6= 0,(
fg
)′(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f (x0)g′(x0)
g(x0)2 .
(Regra do cociente).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialPropiedades da derivada
Teorema (Regra da cadea)
Sexan f : A ⊂ R −→ R unha función derivable nun certox0 ∈ A ∩ A′.Se f (A) ⊂ B e g : B −→ R é derivable en f (x0) ∈ B ∩ B′,entón g ◦ f é derivable en x0 e
(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0))f ′(x0).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialPropiedades da derivada
DemostraciónPor ser g derivable en f (x0), existe h : B → R continua enf (x0) tal que h(f (x0)) = 0 e
g(y) = g(f (x0)) + [g′(f (x0)) + h(y)](y − f (x0)).
Tomando y = f (x),
g(f (x))− g(f (x0))
x − x0= [g′(f (x0)) + h(f (x))]
f (x)− f (x0)
x − x0.
Como f continua en x0 e h continua en f (x0), h ◦ f continuaen x0 e lim
x→x0h(f (x)) = h(f (x0)) = 0. Finalmente,
(g◦f )′(x0) = limx→x0
g(f (y))− g(f (x0))
x − x0= g′(f (x0))f ′(x0).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialPropiedades da derivada
DemostraciónPor ser g derivable en f (x0), existe h : B → R continua enf (x0) tal que h(f (x0)) = 0 e
g(y) = g(f (x0)) + [g′(f (x0)) + h(y)](y − f (x0)).
Tomando y = f (x),
g(f (x))− g(f (x0))
x − x0= [g′(f (x0)) + h(f (x))]
f (x)− f (x0)
x − x0.
Como f continua en x0 e h continua en f (x0), h ◦ f continuaen x0 e lim
x→x0h(f (x)) = h(f (x0)) = 0. Finalmente,
(g◦f )′(x0) = limx→x0
g(f (y))− g(f (x0))
x − x0= g′(f (x0))f ′(x0).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialPropiedades da derivada
DemostraciónPor ser g derivable en f (x0), existe h : B → R continua enf (x0) tal que h(f (x0)) = 0 e
g(y) = g(f (x0)) + [g′(f (x0)) + h(y)](y − f (x0)).
Tomando y = f (x),
g(f (x))− g(f (x0))
x − x0= [g′(f (x0)) + h(f (x))]
f (x)− f (x0)
x − x0.
Como f continua en x0 e h continua en f (x0), h ◦ f continuaen x0 e lim
x→x0h(f (x)) = h(f (x0)) = 0.
Finalmente,
(g◦f )′(x0) = limx→x0
g(f (y))− g(f (x0))
x − x0= g′(f (x0))f ′(x0).
JorgeRodríguez
López
O conceptode derivada
Cálculo diferencialPropiedades da derivada
DemostraciónPor ser g derivable en f (x0), existe h : B → R continua enf (x0) tal que h(f (x0)) = 0 e
g(y) = g(f (x0)) + [g′(f (x0)) + h(y)](y − f (x0)).
Tomando y = f (x),
g(f (x))− g(f (x0))
x − x0= [g′(f (x0)) + h(f (x))]
f (x)− f (x0)
x − x0.
Como f continua en x0 e h continua en f (x0), h ◦ f continuaen x0 e lim
x→x0h(f (x)) = h(f (x0)) = 0. Finalmente,
(g◦f )′(x0) = limx→x0
g(f (y))− g(f (x0))
x − x0= g′(f (x0))f ′(x0).
