El Concepto de Diferencial

7/18/2019 El Concepto de Diferencial

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EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos

estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones,en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o

simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variableindependiente varía "un poco", etc !tiliando a la recta tan#ente como la mejoraproximaci$n lineal a la funci$n en las cercanías del punto de tan#encia, aproximaremos

esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tan#ente, a la que llamaremos EL

DIFERENCIAL de la funci$n en el punto

DEFINICION Y EJEMPLOS

%onsideremos la si#uiente ilustraci$n en donde aproximamos a la funci$n f por su recta

tan#ente

%onsiderando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en

las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la

variaci$n de f cuando x varía de xo a xo & h y a la variaci$n de la recta tan#ente en elmismo ran#o de variaci$n en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a ',

estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, f R T

odemos expresar a ∆ * en t+rminos de h y el án#ulo θ que forma la recta tan#ente con

el eje de las abscisas En el trián#ulo de la fi#ura, que extraemos a continuaci$n, se

observa lo si#uiente



En virtud de que R T es un apr!i"adr de #a DIFERENCIA f, # definire"s

$" EL DIFERENCIAL DE f en e# punt !, $n respe$t a# in$re"ent % & #

dentare"s pr df, es de$ir,

df ' f ()!*%

O+serva$in- El diferencial, en #eneral depende de h y del punto xo or ejemplo eldiferencial de f(x) - x. es

df - f / (xo)h - (.xo)h

que tambi+n lo podemos expresar como

d(x.) - (.xo)h

0i especificamos el punto xo, el diferencial dependerá 1nicamente de h, como se aprecia

en los si#uientes ejemplos

a) El diferencial de f(x) - x. en xo -2 es d(x.) - 3h

b) El diferencial de f(x) - x. en xo -4 es d(x.) - 56h

c) El diferencial de f(x) - x2 en xo -. es d(x2) - 5.h

En el caso de la funci$n identidad f(x) - x, como f /(xo) - 5 para todo xo, su diferencial

nos queda como df - f /(xo)h - h o bien d! ' %

C" % es e# diferen$ia# de #a fun$in identidad, pde"s re.es$ri+ir e# diferen$ia#

de una fun$in f deriva+#e en !, $"-



d) ara f(x) - se cumple que ∆ f ≅ df en xo - ; y h - '.

S#u$in-

∆ f - f(;.) 7 f(;) - .'53<.: 7 . - 1/13;<28

df - f / (;)dx -( 8x-; )('.) - (5=5.)('.) - 1/13;;;;

9a variaci$n real difiere de la aproximada en una die6"i#4si"a

e) ara f(x) - se cumple que ∆ f ≅ df en xo - 36, h - '.

S#u$in-

∆ f - f(36.) 7 f(36) - 6''653.226 7 6 - 1/1193;2::9

df - f / (36:)dx -( 8x-36 )('.) - (5=6;)('.) - 1/1193;;;;

9a variaci$n real difiere de la aproximada en $uatr "i##n4si"as

f) ara f(x) - sen(x) se cumple que ∆ f ≅ df en xo - π =2, h - '5

S#u$in-

∆ f - f(π =2 & '5) 7 f(π =2) - ':5535<< 7 ';33'.<6 - 1/19<<8

df - f / (π =2)dx -(cos(x)8x-π =2 )('5) - ('<)('5) - 1/1<1

9a variaci$n real difiere de la aproximada en $in$ "i#4si"as



O+serva$in- En tds #s e0e"p#s anterires $"pr+a"s que f df en e#

punt e in$re"ent dads, sin e"+ar7 tant f $" df sn "u& peque=s, $asi

i7ua#es a $er, & de$ir que 4sts sn "u& pare$ids pare$e trivia#/ En rea#idad 4sts

ds n>"ers sn "u& pare$ids en e# sentid de que

$" se puede apre$iar en e# si7uiente desarr##

# $ua# si7nifi$a que, para va#res "u& peque=s de %, #a fra$$in es pr?$ti$a"ente

i7ua# a 3 +ien que f es pr?$ti$a"ente i7ua# a df/

APLICACIONES DEL DIFERENCIAL

PRO@LEMAS DEL TIPO I/

A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de aplicación práctica en los que,

por medio del diferencial, estimaremos un aumento ó una disminución en alguna

función.

E0e"p# 3/ >l calentar una placa cuadrada metálica de 5< cm de lon#itud, su ladoaumenta ''6 cm ?%uánto aument$ aproximadamente su área@

S#u$in- %on el fin de ilustrar una situaci$n que se presentará en todos los demás

problemas y por la simplicidad de +ste en particular, s$lo en este caso calcularemos la

diferencia de áreas ∆ > y la compararemos con d>

A$tese que ori#inalmente teníamos una placa de 5< x 5<, despu+s de calentarla tenemos

la placa de 5<'6 x 5<'6, como se muestra en la fi#ura

En este caso la funci$n es >(9) - 9. y por lo tanto ∆ > en 9 - 5< y h - ''6 es



>(5<''6) 7 >(5<) - ..3.'53 7 ..< - 5.'53

0i ahora calculamos el diferencial de área para >(9) - 9. en 9 - 5< y d9 - ''6,

obtenemos

d> - >/ (9)d9 - (.9)d9 -(.989-5<)('''6) - (2')('''6) - 5.

En consecuencia, cuando el lado se incrementa en '6 cm, el área aumenta

aproximadamente 5. cm. (El valor exacto del incremento es 5.'53)

Beneralmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como ''6 es el

'.333C de 5< y 5. es el '<222C de ..< - (5<)., decimos que si el lado de la placa seincrementa en un '.33C, el área se incrementará aproximadamente en un '<222C

O+serva$in Si e# pr+#e"a es de una p#a$a "et?#i$a de# "is" ta"a= que seenfra 1/19 $", entn$es % ' .1/19 & e# diferen$ia# resu#tara e# "is" s# que $n

si7n $ntrari, es de$ir dA ' .3/2/ C" esta"s usand #a re$ta tan7ente para

esti"ar #a diferen$ia, #a #inea#idad %a$e que e# $atet puest en a"+s tri?n7u#s de

#a fi7ura, sean i7ua#es

esolvamos ahora el mismo problema con otros datos expresados porcentualmente

E0e"p# 2/ >l enfriar una placa cuadrada metálica de .' cm de lon#itud, su lado

disminuye un ''2C ?%uánto disminuirá porcentualmente su área@

S#u$in- El ''2C de .' es , por lo que en este caso

>(9) - 9. , 9o - .' y d9 - 7'''3



∆ >≅ d> - .9d9 - .(.')(7'''3) - (6')(7'''3) - 7'.6

odemos calcular que '.6 representa el ''3C de (.')., por lo que, cuando el lado

disminuye un ''2C, el área disminuye aproximadamente un ''3C, es decir se duplica porcentualmente

Este 1ltimo resultado lo podemos obtener directamente de la si#uiente manera

∆ >≅ d> - .9d9 - .(.')D -

que representa el ''3C del área ori#inal (.').

En #eneral se da esta situaci$n, como se aprecia en el si#uiente ejemplo que se deja como

ejercicio para el estudiante

E0e"p# :/ ruebe que si al calentar (enfriar) una placa cuadrada metálica de lado 9, su

lado se incrementa (disminuye) un pC, entonces el área se incrementa (disminuye) un .pC

E0e"p# 9 9a pared lateral de un dep$sito cilíndrico de radio <' cm y altura 5 m, debe

revestirse con una capa de concreto de 2 cm de espesor ?%uál es aproximadamente la

cantidad de concreto que se requiere@

S#u$in- 9a cantidad de concreto requerida es la diferencia ∆ V entre el volumen

del cilindro exterior y el cilindro interior

Estimaremos ∆ V por medio de dV, donde V(r) - 5''π r ., r - <', dr -2

dV - (.''π r8r-<')(2) -2','''π - :6.6444: cm2



PRO@LEMAS DEL TIPO II/

En los siguientes ejemplos utilizaremos el diferencial para estimar errores en la

medición de algunas magnitudes.

E0e"p# 3/ >l calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a5''m de la proyecci$n en el suelo de la parte más alta del cerro, esta 1ltima se ve con un

án#ulo de elevaci$n de 2'F Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al

calcular la altura, sabiendo que la medici$n del án#ulo se hace con un posible error de'2F

S#u$in- 9lam+mosle G a la altura del cerro

En la fi#ura de abajo, , por lo que G -(5'') tan2'F

A$tese que si el án#ulo se mide con un posible error de '2F, estamos diciendo que elvalor real del án#ulo estará entre .:4F y 2'2F, es decir el error en la medici$n del án#ulo

sería de '2F

En este caso consideraríamos a G como funci$n de θ , es decir

G(θ ) - (5'')tanθ con θ variando entre .:4F y 2'2F

ara estimar el error ∆ G - G(θ ) 7 G(2'F), calcularemos , pues θ puede tomar

valores menores o mayores que 2'F

En este caso θ - π =3 y dθ - π ('2)=5;' - '''<.2<:;4 (%onvertimos #rados a radianes)

∆ G ≅ dG - (5'')G/(θ )dθ - (5'')sec.θ dθ -(5'')(52222)('''<.2<:;4) - '3:;5254



%omo el punto 532 está "muy pr$ximo" a 53, en ve de evaluar f (532), evaluamos

*(532), obteniendo

>sí pues

A$tese que si comparamos con el valor que nos da la calculadora, ' 6'242 ,

nuestra aproximaci$n es buena hasta dos diemil+simas, lo cual puede resultar suficiente para cientos fines prácticos %uando estudiemos El *eorema de *aylor, seremos capaces

de obtener la aproximaci$n con el #rado de precisi$n deseado

O+serva$in- En #a e$ua$in de #a re$ta tan7ente en e# punt )! , f)!**

R T)!* ' f )! * 5 f ( )! * )!.! *

Si t"a"s ! ' ! 5 %, tendre"s #a e!presin-

R T)!* ' f )! * 5 f ( )! * %

Y si sustitui"s f ()!*% ' df, +tendre"s-

R T)!* ' f )! * 5 df/

C" sa+e"s que para va#res de ! $er$ans a !, f)!* R T)!*, +tene"s-

f)!* f )! * 5 df

Este resultado lo podemos expresar de la si#uiente manera

Podemos estimar el valor de f en x, cercano a x o , agregándole a f x o ! el diferencial

correspondiente.



O+serva$in/ A$tese que es necesario conocer el valor de f y de su derivada en el punto

x'

En el ejemplo anterior tendríamos los si#uiente datos

a)

b) xo - 53

c) x - 532

d) dx - '2

%on estos datos, df - ( 8x-53) ('2) - ''24<, y por lo tanto

& ''24< - 6'24<

Bráficamente lo que estamos haciendo es evaluar a 532 en la recta tan#ente, como se

aprecia en la #ráfica anterior que aquí presentamos amplificada

E0e"p# 2/ !tiliando diferenciales, encuentre un valor aproximado para

S#u$in- esumiendo lo anteriormente expuesto

≅ & df

donde

a)



b) xo - 2.

c) x - 2.;

d) dx -';

f / (x) - , por lo que f / (2.) - 5=;' - ''5.<

y por lo tanto df - (''5.<)(';) - ''5

>sí pues ≅ .'5

E0e"p# :/ !tiliando diferenciales, encuentre un valor aproximado para sen25<F

S#u$in-

0en25<F ≅ sen2'F & df

Ionde

a) f(x) - senx

b) xo - π =3 medida en radianes de 25F

c) x - π =3 & 5<(π =5;') medida en radianes de 25<F

d) dx - 5<(π =5;') medida en radianes de 5<F

f /(x) - cosx, por lo que f /(π =3) - cos(π =3) - ';333'.<6

y por lo tanto df - (';33'.<6)(5<)(π =5;') - (';33'.<6)(''.354:) - ''..34

>sí pues sen(25<F) ≅ '< & ''..34 - '<..34

0en(25<F) ≅ '<..34

PRO@LEMAS DEL TIPO IB/

"tilización del diferencial para estimar cambios de una variable con respecto a otra

sin explicitar las variables dependiente e independiente.



E0e"p# 3 9a 9ey de Joyle para la expansi$n de un #as encerrado es V - %, donde

es la presi$n expresada como el n1mero de libras por unidad de área, V es el volumen del

#as y % es una constante Iemuestre que si la ley de Joyle se cumplen entonces Vd &dV - '

S#u$in/ En este tipo de situaciones tenemos dos posibilidades para establecer unafunci$n a como funci$n de V $ a V como funci$n de

0upondremos que $ V son diferentes de cero, ya que en caso contrario trivialmente secumple lo que queremos probar

a) Forma 1 0upon#amos que V ≠ ' y consideremos a como funci$n de V

Ie la ley de Joyle, despejamos en t+rminos de V

$ bien ,

calculamos el Iiferencial de en el punto V con un incremento dV y obtenemos

de nuevo de la 9ey de Joyle sabemos que y si lo sustituimos en la expresi$n para

d, obtenemos

pasamos multiplicando a V de la 1ltima a la primera expresi$n de la i#ualdad anterior,

obteniendo

Vd - 7dV $ bien Vd & dV - '

b) Forma 2 0upon#amos que ≠ ' y consideremos a V como funci$n de

Ie la ley de Joyle, despejamos V en t+rminos de

(no hacemos explícita a la variable independiente)



calculamos el Iiferencial de V en el punto con un incremento d y obtenemos

de nuevo de la 9ey de Joyle sabemos que y si lo sustituimos en la expresi$n para

d, obtenemos

obteniendo tambi+n la expresi$n deseada dV & Vd - '

E0e"p# 2 9a resistencia el+ctrica de un conductor (cable) es directamente

proporcional a su lon#itud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro0uponiendo que la lon#itud es constante, ?con qu+ precisi$n debe medirse el diámetro (en

t+rminos del error porcentual) para mantener el error porcentual de entre 72C y 2C@

S#u$in

Aos piden calcular dI sabiendo que d - (''2)

despejando dI, obtenemos

como

En consecuencia el diámetro debe medirse con una precisi$n del 5<C

E0e"p# :/ 0i el error posible en la medici$n del volumen de un #as es de '5 pie2 y el

error permitido en la presi$n es de ('''5)% lb=pie., determine el tamaKo del recipiente

más pequeKo para el cual se cumple la ley de Joyle



S#u$in/ 0i la ley de Joyle ha de cumplirse, debe pasar que Vd & dV - ', de donde

despejando V, obtenemos

Ie acuerdo a los datos d varía de 7('''5)% lb=pie. a ('''5)% lb=pie. y dV varía de 7

('5) pie2 a '5 pie2

9a expresi$n dentro del radical, fuera a que uno de los dos diferenciales sea ne#ativo y para que la fracci$n sea lo más pequeKa posible, el numerador debe ser lo más pequeKo y

el denominador lo más #rande posible, consi#ui+ndose esto con dV - 7'5 y d -

('''5)%

V -

or lo que el recipiente debe ser de 5' pie2

Vollver a la pá#ina

http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/calcul2.htm

http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/calcul2.htm

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