SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS INCOGNITASMETODOS

Prof. JOSE AROCHA LUNA2011

Menú Clasificación de sistemas lineales Resolución gráfica Resolución analítica:

Igualación Sustitución Reducción Determinante Grafico

Clasificación

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

COMPATIBLE

INCOMPATIBLE

DETERMINADO

INDETERMINADO

ECUACIONESECUACIONESLINEALESLINEALES

DE LA FORMADE LA FORMA

aa xx + + bb yy = = cc

aa xx + + bb yy = = cc

La ecuación tiene dos incógnitas o valores La ecuación tiene dos incógnitas o valores desconocidos desconocidos xx, , yy

Y en cada caso particular las literales Y en cada caso particular las literales aa, , bb, y , y cc son valores constantes conocidos. son valores constantes conocidos.

aa xx + + bb yy = = cc

EJEMPLO:EJEMPLO:

2 x – 3 y = 42 x – 3 y = 4

Los valores constantes son Los valores constantes son a = 2a = 2, , b = -3b = -3 y y

c = 4c = 4

Las incógnitas son Las incógnitas son xx, , yy

MÉTODO DE

IGUALACIÓN

Método de IgualaciónDado el sistema:

Debemos despejar la misma incógnita de cada una de las ecuaciones:

Luego, debemos igualar las ecuaciones y se resuelve:

Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el

valor de la otra incógnita reemplazando, la hallada, en alguna de

las ecuaciones:

1642

643

yx

yx

xy

xy

xy

yx

2

14

4

216

2164

1642

xy

xy

xy

yx

4

3

2

3

4

36

364-

643

En este caso se despejó la “y” de

ambas ecuaciones

2 10

20

2010

4.52.5 2

83

4

32

42

3

4

3

2

14

3

2

3

2

14

x

x

x

x

xx

xx

xx

yy

3

2.2

14

2

14

y

y

xy

Sólo resta graficar el sistema

3;2S

14 + 8( ) –1

–3

–––––––

Resuelve por el método de igualación:–14 – 4y

5x = x = 5

– 4y 5x + 4y = –14

–3x – 8y = 14

Hay que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo la x.

Para quitar los denominadores se multiplica en cruz (dos fracciones son equivalentes si al multiplicaren cruz se obtiene el mismo resultado).El valor de la otra incógnita se obtiene con cualquiera de las dos fórmulas que tenemos.

–14

Se igualan las dos fórmulas obtenidas.

––––––14 + 8y

–3x = x = –3

+ 8y 14

––––––––14 – 4y

5––––––14 + 8y

= –3

–3(–14 – 4y) = 5(14 + 8y)

+ 42 + 12y = 70 + 40y

12y – 40y = 70 – 42

– 28y = 28

y = ––– 28 –28

y = –1

x = –––––14

–3

– 8

6

x = –––––––––

–3x = ––

x = –2

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MÉTODO DE SUSTITUCION

Método de SustituciónDado el sistema:

Debemos despejar una incógnita de una de las ecuaciones:

Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el

valor de la otra incógnita reemplazando, la hallada, en la

otra ecuación:

1642

643

yx

yx

xy

xy

xy

yx

2

14

4

216

2164

1642

En este caso se despejó la “y” de

ambas ecuaciones

2 5

10

105

1665

62163

6)2

14(43

643

x

x

x

x

xx

xx

yx

3

2.2

14

2

14

y

y

xy

Sólo resta graficar el sistema

3;2S

Luego, debemos reemplazar el valor en la otra ecuación y se resuelve:

4 – 3x–––––y = –––––

4

2

+ 6

10

y = ––––––––4 – 3( )

2

x = –––

– 2·25–––––––––––––– = ––––––2 2

1––1

–– 3 1

y = 24 – 3x––––– – 3x

Resuelve por el método de sustitución:

3x + 2y = 4

5x – 3y = –25

Hay que despejar una incógnita de una de las ecuaciones que no tenga coeficiente negativo, por ejemplo

Ahora se sustituye la fórmula obtenida en la otra ecuación.Hay que quitar el paréntesis multiplicando el 3 (sin el signo) por la fracción.

Falta calcular el valor de y. Se cambia el valor de x en la fórmula de y.

El signo menos se copia y se multiplican las dos fracciones.Se escribe todo en forma de fracción y se saca m.c.m. de los denominadores.

2y = 4

5x = – 25 2

5x – ––––––12 – 9x

2= – 25

la y de la primera ecuación.

––m.c.m. = 2

2·5x – 1(12 – 9x)

10x – 12 + 9x = – 50

10x + 9x = – 50 + 12

19x = – 38

–38 19

x = –2

–2

2y = ––

y = 5

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MÉTODO DE

REDUCCION

–135––––

3–– =

:5

Método de reducción +611x + 6y = 10

–6x + 9y = 15

Hay que eliminar una de las incógnitas sumando las ecuaciones pero antes hay que prepararlas. Vamos Se cambian de orden y uno de ellos de signo.Ahora se multiplica la primera ecuación por +6 y la segunda por 11.Sumamos las ecuaciones para eliminar las x.

a eliminar la letra x . Hay que observar los coeficientes de esta letra.

66x

11

+ 36y = 60

–66x + 99y = 165

+ 135y = 225

y = 225–––135

––– =:5

45––27

:9:9

5–

Se calcula el valor de x sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de partida.

11x + 6 · –– = 1053

11x + –– = 1030 3

11x + 10 = 10

11x = 10 – 10

11x = 0

x = –– 010

= 0

También se puede calcular x eliminando las y.

= 0

–911x + 6y = 10

–6x + 9y = 15

–99x

+6

– 54y = –90

–36x + 54y = 90

–135x = 0

x = 0

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MÉTODO POR

DETERMINANTES

MÉTODO POR DETERMINANTES

También se como conoce como “Regla de Cramer”.

Veremos a continuación este otro método para darle

solución a un sistema de ecuaciones de 2x2.

Para este, primero veremos las formas generales que lo representa, para después solamente tomarlos y sustituir.

Relativamente, este es menos “tedioso” que los otros.

Veámoslo:

FORMAS GENERALES

Partamos de la forma general para un sistema de ecuaciones de 2x2:

Donde: “x” y “y”, son las incógnitas y “a”, “b”, “c”, “d”, “r” y “s”, son

número reales.

Así, pues, tenemos lo siguiente:No vamos a detenernos en cómo se llegan

a las formas generales, solamente las mencionaremos.

Necesitamos tener el DETERMINANTE GENERAL, éste es el siguiente:

Para resolverlo, solamente se multiplica cruzado, dándonos como resultado lo siguiente:

Lo único que le falta es que, esta operación se resta, así pues,

queda como se muestra:

Ahora, necesitamos sacar el determinante de la variable “x”, ésta se saca de la siguiente forma:

Y el determinante de la variable “y”, ésta se saca de la siguiente forma:

Podemos simplificarlo de la siguiente forma:

Ahora, nos resta regresar a nuestro problema, tomar ambas ecuaciones y sustituir para encontrar sus valores:

Los valores correspondientes a cada letra son:

a = 10

b = 4

c = 3

d = 5

r = 62

s = 30

Así, pues, tenemos lo siguiente:

PROCEDIMIENTO

PASO 1: Calculamos el determinante general, quedándonos de la siguiente manera:

PASO 2: Ahora, calculemos el determinante “x”:

PASO 3: Ahora, calculemos el determinante “y”:

PASO 4: Una vez teniendo ya los resultados, los SUSTITUYO en las formas generales para “x” y para “y”:

PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:

MÉTODO DE

GRAFICO

Resolución GráficaDado el sistema:

Debemos llevar cada una de las ecuaciones del sistema a la forma explícita:

para luego, poder graficarlas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

A modo de ejemplo sólo se despejará una de las ecuaciones. La otra queda como

ejercitación.

1642

643

yx

yx

bxay .

xy

xy

xy

yx

2

14

4

216

2164

1642

Luego armamos las tablas de valores correspondientes (de cadarecta) para encontrar los puntos de cada recta:

Finalmente, armamos elgráfico:

6–2·3 = 6 – 6 = 0

6–2·7

11

–2

x =

y =

2

–2

8 – 6

–2

8

–2

8 – 0

–2

12

–2

8 + 4

–2

8 – (–3)

–2

Hay que representar cada ecuación. Despejamos la letra y en la primera ecuación.Hay que hacer una tabla de valores para obtener tres puntos de la recta.Se eligen tres números (mejor que no sean consecutivos).

y =

Con la regla se traza la recta que ha de pasar perfectamente por los tres puntos.

6

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Se sustituyen estos tres números en la fórmula de y.

Se hace lo mismo con la otra ecuación.

Se representan los puntos obtenidos.

Se eligen los tres valores de x que no provoquen decimales al calcular y.

– 2y =

La solución del sistema se obtiene de las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas.

y = –28 – x

2x + y = 6

x – 2y = 8

– 2x

8 – x ––––

x y

–2

3

7

6–2·(–2)= 6 + 4 = 10

= 6 – 14 = –8

4

–2

–3

–4

0

=8 +3

–2=

salen decimales

8 – (–4)

–2= = = –6

= = –4

6 = = –1

x y

Resolución Gráfica

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Este sistema de ecuaciones admite una

ÚNICA solución

Un ejemplo de SCD es el siguiente sistema

Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos

dos rectas que se intersecan en un solo punto:

Resolviendo el sistema analíticamente (por cual-

quier método) obtenemos como solución:

62

22

yx

yx

2;2S

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Este sistema de ecuaciones admite INFINITAS soluciones

Un ejemplo de SCI es el siguiente sistema

Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos

dos rectas coincidentes en todos sus puntos:

Resolviendo el sistema analíticamente (por cual-

quier método) obtenemos una igualdad:

Esto nos indica que tenemos infinitas soluciones que

verifican este sistema.

03

622

xy

yx

66

SISTEMA INCOMPATIBLE

Este sistema de ecuaciones NO admite solución

Un ejemplo de SCI es el siguiente sistema

Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos

dos rectas paralelas:

Resolviendo el sistema analíticamente (por cual-

quier método) obtenemos un absurdo:

Esto nos indica que NO tenemos solución que

verifique este sistema.

01

3

xy

xy

13

– 2·3

–– – –x2

Si la mitad del número verde es igual al triple del amarillo menos 3, el amarillo es más rápido que el verde, los dos suman 29, y el verde es más espabilado que el amarillo, ¿sabrías decir cuáles son estos dos números?

x e y son los números que se piden.

Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso interesa por sustitución ya que tenemos Se van leyendo las condiciones y se van traduciendo al lenguaje algebraico.

x = número verdey = número amarillo

–––––––––––––––––––––––

x2–

–––––––

=

–––––––––––––––––

3y

––––––––

– 3

––––––––––––––––

x + y = 29

– = 3y 1

31

– = –––––––––2 2x 2·3y

x = 6y – 6

x = 6y – 6

x + y = 29

despejada la letra x.

+ y = 296y – 6

6y – 6 + y = 29

6y + y = 29 + 6

7y = 35

y = ––35 7

y = 5

x = 6·5 – 6

x = 30 – 6

x = 24

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En el bolsillo derecho de mi chaqueta gris tengo diez monedas, que todas juntas suman 3´20€. ¿Sabrías decirme cuántas son de medio euro y cuántas de veinte céntimos de euro?

Llamamos x e y a lo que se pide calcular.

Con el valor de las monedas se escribe otra ecuación.Con el dato de las diez monedas se escribe una ecuación.

x = número de monedas de 0’50€y = número de monedas de 0´20€

x + y = 10

0´50x + 0´20y = 3´20

x = 10 – y

0´50x = 3´20 – 0´20y x = ––––––––––

x monedas de 0´50€ valen 0´50·x

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y monedas de 0´20€ valen 0´20·ySe resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por igualación.

3´20 – 0´20y

0´50

10 – y = –––––––––––3´20 – 0´20y

0´50

0´50(10 – y) = 3´20 – 0´20y

5 – 0´50y = 3´20 – 0´20y

– 0´50y + 0´20y = 3´20 – 5

– 0´3y = 1´8

y = –––1´8

0´3

y = 6 monedas de 0´20€

x = 10 – 6

x = 4 monedas de 0´50€

––––

0´25x – 0´05y = 7 –1

Si en un examen tipo test de 40 preguntas has sacado un 7, ¿cuántas preguntas has acertado y cuántas has fallado si cada respuesta correcta vale 0´25 puntos y por cada respuesta errónea se resta 0´05 puntos?

Llamamos x e y a lo que se pide calcular.

Con las puntuaciones se escribe otra ecuación.Con el dato de las 40 preguntas se escribe una ecuación.

x = número de preguntas que has acertadoy = número de preguntas que has fallado

x + y = 40

Todas las respuestas correctas valen 0´25·x y todas las incorrectas restan 0´05·ySe resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por reducción.

y = 10

0´25 0´25x + 0´25y = 10

–0´25x + 0´05y = –7

0´30y = 3

y = 3

0´30

x + 10 = 40

x = 40 – 10

x = 30

falladas

acertadas

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Gracias…

¡EUREKA!¡ESTAMOS

BIEN!¡Y POR FIN

TERMINAMOS!