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8/17/2019 Secciones Conicas en Tres Variables
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Pr o f . En r iqu e Mat eus Nieves.D o c t o r a n d o en Ed u c a c ió n Ma t emá t i c a .
Cálculo multivariado
REPASO DE SECCIONES CONICAS
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Pr o f . En r iqu e Mat eus Nieves.D o c t o r a n d o en Ed u c a c ió n Ma t emá t i c a .
Cálculo multivariado
SUPERFICIES CUADRICAS Y SUS TRAZAS
Elipsoide
Ecuación canónica: 122
2
2
2 c z
b y
a x 2
Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: Elipses;Secciones paralelas al plano yz: elipses.
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Pr o f . En r iqu e Mat eus Nieves.D o c t o r a n d o en Ed u c a c ió n Ma t emá t i c a .
Cálculo multivariado
Hiperboloide de una hoja
Ecuación canónica: 122
2
2
2
c z
b y
a x 2
Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: HipérbolasSecciones paralelas al plano yz: Hipérbolas.
Hiperboloide de dos hojas.
Ecuación canónica: 122
2
2
2
c z
b y
a x 2
Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas
Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas
Cono elíptico.
Ecuación canónica: 022
2
2
2
c z
b y
a x 2
Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: HipérbolasSecciones paralelas al plano yz: Hipérbolas
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Paraboloide elíptico
Ecuación canónica:c z
b y
a x 2
2
2
2
Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: ParábolasSecciones paralelas al plano yz: Parábolas
Paraboloide Hiperbólico
Ecuación canónica:c z
b y
a x 2
2
2
2
Secciones paralelas al plano xy: Hipérbolas;Secciones paralelas al plano xz: ParábolasSecciones paralelas al plano yz: Parábolas
CILINDROS
Un cilindro es la superficie formada por todas las rectas paralelas a una recta dada y quecortan a una curva dada C
Ejemplo :
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Ecuación de un cilindro
Una ecuación en la que intervengan solo dos de las tres variables x, y, y z representa en elespacio un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje correspondiente a la variable quefalta.
EJERCICIO 1.
Encuentre las trazas de la superficie dada en los planos x= k, y= k, z = k . Luego identifiquela superficie y dibújela.
122 z y x 1. 2 22 z y x 2. 36369 22 z y x4 3. 2
42 z2x 4. 2 122 y x4z 5. 2 2 y x z 6. 2 2 y z 7. 22 4100 x z25y 8. 2 22 z x y 9. 2
FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO.
Funciones vectoriales de una variable. Una función cuyo dominio es un conjunto denúmeros reales y cuyo recorrido es un subconjunto del espacio n-dimensional V n se denomina
función vectorial de una variable real .
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Definición de curva en el espacio. Una curva C en el espacio es el con junto de puntos (f(t),g(t), h(t)) que verifican las ecuaciones paramétricas x= f(t), y = g(t), z = h(t) siendo f, g, h funciones continuas de t en un intervalo I.
Ejemplo.
Representar la curva C dada por t. z t,cos3 y 2t,sen x Solución: A fin de eliminar el parámetro entre las dos primeras ecuaciones, escribimos:
,t sen2 x
y ,t cos3 y
y tras elevar al cuadrado y sumar, obtenemos: 19
2 y4
x 2 por
consiguiente, la curva C yace enteramenteen el cilindro elíptico de ecuación
19
2 y4
x 2
LIMITESi ,h(t) ),t (g ),t ( f )t (r entonces
h(t)limg(t),lim f(t),limr(t) limat at at at
siempre que los
límites de las funciones componentes existan.
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DERIVADA
El vector )t (r se llama vector tangente a la curva definida por r en el punto P siempre que)t (r exista y 0)t (r
hr(t)-h)r(t
lim(t)r dt dr
0h Por tanto k (t)h j(t)g(t)i f (t)h (t),g),t ( f )t (r
vector unitario )t (r )t (r
)t (T
VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Si el vector k )t ( z j)t ( yi)t ( x)t ( R representa la posición de un objeto en el instante t,entonces los vectores k )t ( z j)t ( yi)t ( x)t ( R)t (V y
k )t ( z j)t ( yi)t ( x)t ( R)t ( A representan la velocidad y aceleración, respectivamente en dicho instante t
EJEMPLOUn objeto se mueve a lo largo de una curva C de ecuaciones paramétricas x= t, y =t 3 y z= 3t.Hallar los vectores velocidad y aceleración, así como el módulo de la velocidad del objeto en t=1 . Representar la curva, señalando los vectores velocidad y aceleración.
Solución: puesto que el vector de posición correspondiente a la curva es tk jt ti)t ( R 33
tendremos4
2
910
33
t V(t)
6tj)t ( A
k jt i)t (V
Así pues, en t= 1 será k jiV 33 y j A 6 ; y la velocidad será 191 )(V dt ds
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Cálculo multivariado
Bibliografía:
APOSTOL, Tom M. Análisis Matemático (Mathematical Analysis ), trad., ed. Reverté S. A. 1976. APOSTOL, Tom M. Cálculus Volumen 1 y 2 (Calculus ), trad., ed. Reverté S.A. 1984. BARTLE, Robert G. Introducción al Análisis Matemático (The Elements of Real Analysis ),
trad.,ed. Limusa S.A. 1982. BARTLE et al. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real
Analysis ), trad., ed. Limusa S.A. 2009. SPIVAK, Michael. Cálculo Infinitesimal (Calculus ), trad., ed. Reverté S.A. 1992