INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

UNIRESIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINSITRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA

PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS EN CLASES

QUINTO SEMESTRE “A”

NOMBRE: JESSICA PÈREZ

DOCENTE: MARLON VILLA VILLA

2014- 2015

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PROGRAMACIÓN LINEAL

GRÁFICA DE DESIGUALDADES

EJERCICIO N° 1

2X1 + 4X2 ≤ 12

X1 X2

06

30

1) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)

2) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

EJERCICIO N° 3 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60.

LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE:X1 X2

HORAS DE TRABAJO 8 40 800HORAS DE REVISIÓN 5 10 320

UTILIDAD 100 300

FUNCIÓN OBJETIVO

MAXIMIZAR:

Z=100X1+300X2

S.a. 8X1+40X2 ≤ 800 5X1+10X2 ≤ 320

X1 ≤ 60

Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0

8X1+40X2 = 800

X1 X2

0100

200

8(0)+40(0) ≤ 800

0 ≤ 800 VERDADERO

5X1+10X2 = 320

X1 X2

064

320

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

5(0)+10(0) ≤ 320

0 ≤ 320 VERDADERO

X1 = 60

PUNTO X1 X2 Z

A 0 0 0

B 0 20 6000

C 40 12 7600

D 60 2 6600

E 60 0 6000

Para calcular los puntos C Y D por el método de eliminación

8X1+40X2 = 800

5X1+10X2 = 320 (-4)

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

8X1 + 40X2 = 800 -20X1 - 400X2 = -1280 -12X1 = - 480 X1 = 40

8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320 X2 = 12

X1 = 60

5(60) + 10X2 = 320 10X2 = 320 – 300 X2 = 2

Solución Óptima (SO): Z =7600

Restricciones Activas (RA): 1,2

Restricciones Inactivas: (RI): 3

Variables Óptimas (VO): X1 = 40; X2 = 12

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

COMPROBACIÓN 1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800

8(40)+40(12) ≤ 800 320 + 480 ≤ 800 800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800

8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800

h1 = 0

2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320

5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320 320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320

5(40) + 10(12) + h2 = 320 200 + 120 + h2 = 320

h2 = 0

3) X1 ≤ 60

40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60 40 + h3 = 60 h3 = 20

Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600.

Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes.

CONCEPTOS:Maximización: representa el punto más lejos del origen. Minimización: representa el punto más cercano al origen. Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las ecuaciones.

RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución.

HOLGURA Y EL EXCEDENTE Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser diferentes o mayores que cero.

QUINTO SEMESTRE “A”

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EJERCICIO N°4 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este?

FUNCIÓN OBJETIVOMAX: Z= 200X1 + 250X2

VARIABLES: X1= número de mecánicos X2= número de electricistas

X1≥ X2 X1≤ 2X2

Lim. X2≤ 30 X1≤ 20

C.T X1, X2 ≥ 0

X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20

0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20 verdadero verdadero verdadero verdadero

PUNTOS X1 X2 ZB 20 10 6500C 20 20 9000

QUINTO SEMESTRE “A”

X1 X2

05

101520

05

101520

X1 X2

010203040

05

101520

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 9000

V.O.

X1= 20

X2=20

RA=1, 4

RI= 2, 3

COMPROBACIÓN

1. X1≥ X2 20≥20 Hay equilibrio

2. X1≤ 2X220 ≤ 2(20)20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2

20 + H1 = 2(20) 20 + H1 = 40 H1 = 40-20 H1 = 20

3. X2≤ 30 20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 = 30 H2 = 10

4. X1≤2020 ≤ 20 Hay equilibrio

PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE

MECÁNICOS 20

ELECTRICISTAS 30 10

QUINTO SEMESTRE “A”

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EJERCICIO N°5

TIPOS DE SOLUCIONES

Solución única

Función objetivo:

MIN: Z = 2X + 3Y

S.a. -3x+2y ≤ 6

x +y ≤ 10.5

-x+2y ≥ 4

C.T. X, Y ≥ 0

1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4

0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4 verdadero verdadero falso

QUINTO SEMESTRE “A”

X1 X2

0-4

20

X1 X2

0-2

30

X1 X2

010.5

10.50

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PUNTOS X Y Z

A 0 2 6

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z=6

V.O.

X =0

Y= 2

RA=3

RI=1, 2

COMPROBACIÓN:

1) -3x+2y ≤ 6-3(0)+2(2) ≤ 6 4 ≤ 6 Hay holgura -3(0)+2(2)+H1=6 4+H1=6

H1=3

2) x +y ≤ 10.5 0+2 ≤ 10.5 2 ≤ 10.5 Hay holgura (0)+2+H2=10.5

2+H2=10.5 H2=8.5

3) -x+2y ≥ 4-0+2(2) ≥ 4 4 ≥4

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

EJERCICIO N°5

Solución múltiple

Función objetivo:

MAX: Z = 5/2X1 + X2

S.a.

3x1 + 5x2 ≤ 15

5x1 + 2x2 ≤ 10

C.T. x1; x2 ≥ 0

1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10

0 ≤ 15 0 ≤ 10 verdadero verdadero

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z=5

V.O

X1 =20/19

X2= 45/19

RA=1; 2

QUINTO SEMESTRE “A”

X1 X2

05

30

X1 X2

02

50

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS

X1 Desde 20/19 Hasta 45/19

20/19 ≤ X1 ≤ 2

X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19

DondeZ = 5

Para calcular el Punto C

3x1+5x2 =15 (-2)5X1 +2x2=10(5)

-6x1 - 10x2 =-3025x1 +10x2 =5019x1 0 =20 x1=20/19

3(20/19)+5x2 =1560/19+5x2 =15 x2 =45/19

PUNTO C= (20/19; 45/19)

COMPROBACIÓN:

1) 3x1+5x2 ≤ 15

3(20/19)+5(45/19) ≤ 15

15 ≤ 15

2) 5X1 +2x2 ≤ 10

5(20/19)+2(45/19) ≤ 10

10 ≤10

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

EJEMPLO N°7

NO ACOTADOUna de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente.

Función objetivo:

MAX: Z= 5000A + 4000B

S.a.

A+B≥5

A-3B≤0

30A+10B≥135

C.T. A; B ≥ 0

1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135

A=3B

0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135 Falso Verdad Falso

QUINTO SEMESTRE “A”

A B

05

50

A B

05

50

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

No acotada no hay solución

EJERCICIO N° 8Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

FUNCIÓN OBJETIVO Z = 150A + 300B

RESTRICCIONES

S.a.

8A + 2B ≥ 16

A + B ≥ 5

2A + 7B ≥ 20

C.T. A, B ≥ 0

1) 8A + 2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A + 7B ≥ 20

QUINTO SEMESTRE “A”

A B

02

80

A B

05

50

A B

100

02.86=3

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20 Falso Falso Falso

PUNTOS X1 X2 ZB 1 4 1350C 3 2 1050

SOLUCIÓN OBJETIVO

Z= 1050

V.O.

A= 3

B= 2

RA= 2,3

RI= 1

COMPROBACIÓN

1. 8A +2B ≥ 16

8(3)+2(2) ≥ 16

24+4 ≥ 16

28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16

8(3)+2(2) - H1= 16

28 – H1 = 16

H1 = 12

QUINTO SEMESTRE “A”

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

2. A + B ≥ 5

3 + 2 ≥ 5

5 ≥ 5

3. 2A+7B ≥ 20

2(3)+7(2) ≥ 20

6+14 ≥ 20

20 ≥ 20

Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.

EJERCICIO N°9

PROBLEMAS NO FACTIBLESTienen un conjunto factible vacío

FUNCIÓN OBJETIVO

MAX: Z= 3000E + 4000F

S.a.

E +F ≤ 5

E -3F ≤ 0

10E + 15F ≤ 150

20E + 10F ≤ 160

30E +10F ≥ 150

C.T. E,F ≥0

1.- E +F = 5 2.- E -3F = 0 3.- 10E + 15F = 150

QUINTO SEMESTRE “A”

E F

36

12

E F

05

50

E F

150

010

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150 verdadero verdadero verdadero

4.- 20E + 10F = 160 5.- 30E +10F = 150

0 ≤ 160 0 ≥ 150 verdadero falso

No tienen solución

QUINTO SEMESTRE “A”

E F

08

160

E F

05

150