Programación lineal

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES UNIRESIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINSITRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS EN CLASES QUINTO SEMESTRE “A” NOMBRE: JESSICA PÈREZ QUINTO SEMESTRE “A”

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

UNIRESIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINSITRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA

PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS EN CLASES

QUINTO SEMESTRE “A”

NOMBRE: JESSICA PÈREZ

DOCENTE: MARLON VILLA VILLA

2014- 2015

QUINTO SEMESTRE “A”

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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GRÁFICA DE DESIGUALDADES

EJERCICIO N° 1

2X1 + 4X2 ≤ 12

X1 X2

06

30

1) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)

2) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

EJERCICIO N° 3 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de

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revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60.

LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE:X1 X2

HORAS DE TRABAJO 8 40 800HORAS DE REVISIÓN 5 10 320

UTILIDAD 100 300

FUNCIÓN OBJETIVO

MAXIMIZAR:

Z=100X1+300X2

S.a. 8X1+40X2 ≤ 800 5X1+10X2 ≤ 320

X1 ≤ 60

Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0

8X1+40X2 = 800

X1 X2

0100

200

8(0)+40(0) ≤ 800

0 ≤ 800 VERDADERO

5X1+10X2 = 320

X1 X2

064

320

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5(0)+10(0) ≤ 320

0 ≤ 320 VERDADERO

X1 = 60

PUNTO X1 X2 Z

A 0 0 0

B 0 20 6000

C 40 12 7600

D 60 2 6600

E 60 0 6000

Para calcular los puntos C Y D por el método de eliminación

8X1+40X2 = 800

5X1+10X2 = 320 (-4)

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8X1 + 40X2 = 800 -20X1 - 400X2 = -1280 -12X1 = - 480 X1 = 40

8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320 X2 = 12

X1 = 60

5(60) + 10X2 = 320 10X2 = 320 – 300 X2 = 2

Solución Óptima (SO): Z =7600

Restricciones Activas (RA): 1,2

Restricciones Inactivas: (RI): 3

Variables Óptimas (VO): X1 = 40; X2 = 12

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COMPROBACIÓN 1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800

8(40)+40(12) ≤ 800 320 + 480 ≤ 800 800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800

8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800

h1 = 0

2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320

5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320 320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320

5(40) + 10(12) + h2 = 320 200 + 120 + h2 = 320

h2 = 0

3) X1 ≤ 60

40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60 40 + h3 = 60 h3 = 20

Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600.

Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes.

CONCEPTOS:Maximización: representa el punto más lejos del origen. Minimización: representa el punto más cercano al origen. Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las ecuaciones.

RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución.

HOLGURA Y EL EXCEDENTE Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser diferentes o mayores que cero.

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EJERCICIO N°4 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este?

FUNCIÓN OBJETIVOMAX: Z= 200X1 + 250X2

VARIABLES: X1= número de mecánicos X2= número de electricistas

X1≥ X2 X1≤ 2X2

Lim. X2≤ 30 X1≤ 20

C.T X1, X2 ≥ 0

X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20

0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20 verdadero verdadero verdadero verdadero

PUNTOS X1 X2 ZB 20 10 6500C 20 20 9000

QUINTO SEMESTRE “A”

X1 X2

05

101520

05

101520

X1 X2

010203040

05

101520

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SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 9000

V.O.

X1= 20

X2=20

RA=1, 4

RI= 2, 3

COMPROBACIÓN

1. X1≥ X2 20≥20 Hay equilibrio

2. X1≤ 2X220 ≤ 2(20)20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2

20 + H1 = 2(20) 20 + H1 = 40 H1 = 40-20 H1 = 20

3. X2≤ 30 20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 = 30 H2 = 10

4. X1≤2020 ≤ 20 Hay equilibrio

PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE

MECÁNICOS 20

ELECTRICISTAS 30 10

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EJERCICIO N°5

TIPOS DE SOLUCIONES

Solución única

Función objetivo:

MIN: Z = 2X + 3Y

S.a. -3x+2y ≤ 6

x +y ≤ 10.5

-x+2y ≥ 4

C.T. X, Y ≥ 0

1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4

0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4 verdadero verdadero falso

QUINTO SEMESTRE “A”

X1 X2

0-4

20

X1 X2

0-2

30

X1 X2

010.5

10.50

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PUNTOS X Y Z

A 0 2 6

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z=6

V.O.

X =0

Y= 2

RA=3

RI=1, 2

COMPROBACIÓN:

1) -3x+2y ≤ 6-3(0)+2(2) ≤ 6 4 ≤ 6 Hay holgura -3(0)+2(2)+H1=6 4+H1=6

H1=3

2) x +y ≤ 10.5 0+2 ≤ 10.5 2 ≤ 10.5 Hay holgura (0)+2+H2=10.5

2+H2=10.5 H2=8.5

3) -x+2y ≥ 4-0+2(2) ≥ 4 4 ≥4

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EJERCICIO N°5

Solución múltiple

Función objetivo:

MAX: Z = 5/2X1 + X2

S.a.

3x1 + 5x2 ≤ 15

5x1 + 2x2 ≤ 10

C.T. x1; x2 ≥ 0

1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10

0 ≤ 15 0 ≤ 10 verdadero verdadero

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z=5

V.O

X1 =20/19

X2= 45/19

RA=1; 2

QUINTO SEMESTRE “A”

X1 X2

05

30

X1 X2

02

50

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POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS

X1 Desde 20/19 Hasta 45/19

20/19 ≤ X1 ≤ 2

X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19

DondeZ = 5

Para calcular el Punto C

3x1+5x2 =15 (-2)5X1 +2x2=10(5)

-6x1 - 10x2 =-3025x1 +10x2 =5019x1 0 =20 x1=20/19

3(20/19)+5x2 =1560/19+5x2 =15 x2 =45/19

PUNTO C= (20/19; 45/19)

COMPROBACIÓN:

1) 3x1+5x2 ≤ 15

3(20/19)+5(45/19) ≤ 15

15 ≤ 15

2) 5X1 +2x2 ≤ 10

5(20/19)+2(45/19) ≤ 10

10 ≤10

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EJEMPLO N°7

NO ACOTADOUna de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente.

Función objetivo:

MAX: Z= 5000A + 4000B

S.a.

A+B≥5

A-3B≤0

30A+10B≥135

C.T. A; B ≥ 0

1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135

A=3B

0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135 Falso Verdad Falso

QUINTO SEMESTRE “A”

A B

05

50

A B

05

50

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No acotada no hay solución

EJERCICIO N° 8Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

FUNCIÓN OBJETIVO Z = 150A + 300B

RESTRICCIONES

S.a.

8A + 2B ≥ 16

A + B ≥ 5

2A + 7B ≥ 20

C.T. A, B ≥ 0

1) 8A + 2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A + 7B ≥ 20

QUINTO SEMESTRE “A”

A B

02

80

A B

05

50

A B

100

02.86=3

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0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20 Falso Falso Falso

PUNTOS X1 X2 ZB 1 4 1350C 3 2 1050

SOLUCIÓN OBJETIVO

Z= 1050

V.O.

A= 3

B= 2

RA= 2,3

RI= 1

COMPROBACIÓN

1. 8A +2B ≥ 16

8(3)+2(2) ≥ 16

24+4 ≥ 16

28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16

8(3)+2(2) - H1= 16

28 – H1 = 16

H1 = 12

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

2. A + B ≥ 5

3 + 2 ≥ 5

5 ≥ 5

3. 2A+7B ≥ 20

2(3)+7(2) ≥ 20

6+14 ≥ 20

20 ≥ 20

Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.

EJERCICIO N°9

PROBLEMAS NO FACTIBLESTienen un conjunto factible vacío

FUNCIÓN OBJETIVO

MAX: Z= 3000E + 4000F

S.a.

E +F ≤ 5

E -3F ≤ 0

10E + 15F ≤ 150

20E + 10F ≤ 160

30E +10F ≥ 150

C.T. E,F ≥0

1.- E +F = 5 2.- E -3F = 0 3.- 10E + 15F = 150

QUINTO SEMESTRE “A”

E F

36

12

E F

05

50

E F

150

010

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150 verdadero verdadero verdadero

4.- 20E + 10F = 160 5.- 30E +10F = 150

0 ≤ 160 0 ≥ 150 verdadero falso

No tienen solución

QUINTO SEMESTRE “A”

E F

08

160

E F

05

150