Post on 21-Jul-2015
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
Aplicar su conocimiento del movimiento unidimensional al movimiento no
rectilíneo.
Dadas las funciones X(t), Y(t) de una partícula, identificar la trayectoria
y calcular las componentes de los vectores velocidad y aceleración.
Al finalizar este capítulo el estudiante estará en capacidad de:
OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aplicación de los conceptos vectoriales al movimiento curvilíneo de una
partícula.
Movimiento de proyectiles.
Velocidad y aceleración en el movimiento circular.
CONTENIDOCONTENIDO
jyixr 000ˆˆ +=
VECTOR POSICIÓNVECTOR POSICIÓN VECTOR DESPLAZAMIENTOVECTOR DESPLAZAMIENTO
MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO
0V
V
Y+
X+
jyixr ˆˆ += jyixrΔ ˆˆ +=or - rrΔ =
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
0r r
r
∆
0VVVΔ
−=jViVV yxˆˆ +=
MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO
VELOCIDADVELOCIDAD
X(+)
Y(+)
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
2V
1V
2V
2V-
3VVΔ
MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO
ACELERACIÓN ACELERACIÓN
tV
at ∆∆=
ACELERACIÓN RADIAL ACELERACIÓN RADIAL ACELERACIÓN TANGENCIAL ACELERACIÓN TANGENCIAL
( ) ( )2t
2r aaa
+=
Y(+)
X(+)
2V
ta
1V
ra
a
ra
3V
a
ta
RV
ar
2
=
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
ax= constanteVx= Vox + axt
X = Xo + Voxt + (axt2)/2
ay= constanteVy= Voy + ayt
Y = Yo + Voyt + (ayt2)/2
taVV 0
+=
jViVV yx
+= 2
21oo tatvrr ++=
jyixr ˆˆ +=
MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTEMOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
jaiaa yxˆˆ +=
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
Es un caso particular de movimiento bidimensional con aceleración constante.
Se desprecia la curvatura terrestre.
Se desprecia la resistencia del aire.
ConsideracionesConsideraciones
MOVIMIENTO DE PROYECTILESMOVIMIENTO DE PROYECTILES
CaracterísticasCaracterísticas
Verticalmente el cuerpo se mueve bajo la acción de la
aceleración de la gravedad.
Horizontalmente el cuerpo se mueve a velocidad constante.
La trayectoria descrita por el cuerpo es una parábola.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
θ
V0
Y
X
DEFINICIONES BÁSICASDEFINICIONES BÁSICAS
ALTURA MÁXIMAALTURA MÁXIMA
Es la máxima altura alcanzada por el móvil en su trayectoria (Ymáx). Se
considera VY=0.
TIEMPO DE VUELOTIEMPO DE VUELOEs el tiempo durante el cual la partícula estuvo en movimiento (tv).
ALCANCE MÁXIMOALCANCE MÁXIMO
Es la distancia máxima horizontal recorrida durante el tiempo de vuelo
(Xmáx).
Ymáx
Xmáx
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILESECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Supongamos un lanzamiento desde el suelo con una V0
cosθVoVox ⋅=senθVoVoy ⋅=
cosθVoX
t⋅
=
Si despejamos t de la expresión de X
Y sustituyendo en Y2cosθVoX
g-
cosθVoX
senθVoY
2
⋅⋅
⋅⋅⋅=
tcosθVoX
cosθVoVoV
0a
xx
x
⋅⋅=⋅==
=Eje X
2tg
-tsenθVoY
tg-senθVo tg-VoV
-ga
2
yy
y
⋅⋅⋅=
⋅⋅=⋅==
Eje Y
2
220
Xθcos2V
g-tgθXY ⋅= Ecuación de la Trayectoria
Parabólicatenemos
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
V0
LANZAMIENTO HACIA ARRIBA DESDE UNA ALTURA YoLANZAMIENTO HACIA ARRIBA DESDE UNA ALTURA Yo
TIPOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTILTIPOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTIL
Y(+)
x
a = -g
Vx
Vox
VoyVo
θ
Vx
Vx
Vx
Vy
Vy
Vy
0
θ2
θ1
θ3X(+)
YO
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
LANZAMIENTO HACIA ABAJO DESDE UNA ALTURA YoLANZAMIENTO HACIA ABAJO DESDE UNA ALTURA Yo
Yo
X
a = g
X(+)
Y(+)
Vx
Vy
0
Vo
Vox
Voy
θ
θ1
V
Vx
Vy
V
θ2
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
LANZAMIENTO HORIZONTALLANZAMIENTO HORIZONTAL
y
Yo
x
a = g
X(+)
Y(+)
Vo = Vox
0
Y(+)
Vx
Vyθ1
Vy
Vxθ2
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
Y(+)
X(+)0
r1
∆r
V2
V1
V3
R
r2
∆θ
θ2
∆s
θ1
Es un movimiento donde la trayectoria descrita por el cuerpo es una circunferencia de radio R.
MOVIMIENTO CIRCULARMOVIMIENTO CIRCULAR
R : radio de la circunferencia.
V1, V2, V3 : vectores Velocidad.
r1, r2: vectores Posición.
∆r= r2-r1 : desplazamiento lineal
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
θ1, θ2 : posición angular.
∆ θ : desplazamiento angular.
∆S= ∆θ.R : Espacio Recorrido
COMPONENTES RADIALES Y TANGENCIALES DE LA ACELERACIÓNCOMPONENTES RADIALES Y TANGENCIALES DE LA ACELERACIÓN
vt
ar
at
a
Ut(+)Ur(+)
ttr UarUaa ±±=
GRÁFICA DE LA ACELERACIÓN TOTALGRÁFICA DE LA ACELERACIÓN TOTAL
Ur(+)
V2
ar
at
V1aUt(+)
ar
atV2 V1
aUt(+)
Ur(+)
Si V2 > V1 Si V2 < V1
RV
a2
r =ΔtΔV
at =cambio en dirección y sentido de V
cambio en la magnitud de V
( ) ( )2t
2r aaa
+−=
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEEn este movimiento la velocidad es constante en módulo y varía en dirección y sentido. Esta variación es producida por la aceleración radial.
321 VVV ==
ar
∆s
Y(+)
V2
X(+)0
V1
∆ θ
V3
∆rr2
r1
θ 1θ 2
raa
=
ar =v2 / R : aceleración radialat = ∆V/ ∆t = 0 : aceleración tangenciala: aceleración total
El Espacio Recorrido lo podemos calcular:∆S= ∆θ .RTambién, por analogía con el MRU:
t.VS =∆→+=∆2
2t.at.VS t
o
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
VELOCIDAD ANGULAR (VELOCIDAD ANGULAR (ωω ))
Es el desplazamiento angular entre el intervalo de tiempo.
PERÍODO ( T)PERÍODO ( T)
Es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta.
FRECUENCIA (f)FRECUENCIA (f)
Representa el número de vueltas que efectúa la partícula por unidad de tiempo.
ΔtΔθ
ω =
srad
CONCEPTOS BÁSICOSCONCEPTOS BÁSICOS
ω2π
T = [ ]s
T1
f = [ ]1s−
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MOVIMIENTO CIRCULAR CON MÓDULO DE VELOCIDAD VARIABLEMOVIMIENTO CIRCULAR CON MÓDULO DE VELOCIDAD VARIABLE
En este movimiento la velocidad varía en módulo, en dirección y sentido. Esta variación en el módulo es producida por una aceleración perpendicular a la radial denominada aceleración tangencial.
321 VVV ≠≠
Y(+)
X(+)
ar
ata
v2
v1
Ur(+)Ut(+)
v3
Velocidad en cualquier instante de la trayectoria:
.taVV to +=
at= ∆V/∆t : aceleración tangencialar= V2/R : aceleración radiala: aceleración total
( ) ( )2t
2r aa-a
+=
Espacio Recorrido: ∆S= ∆θ .RTambién, por analogía con el MRU:
2
2t.at.VS t
o +=∆
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
PARÁMETROS LINEALES Y ANGULARES EN EL MOVIMIENTO CIRCULARPARÁMETROS LINEALES Y ANGULARES EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
ESPACIO RECORRIDO:ESPACIO RECORRIDO:
ΔθRΔS ⋅= 2t2
1o tatVΔS ⋅+⋅=
VELOCIDAD:VELOCIDAD:
ACELERACIÓN:ACELERACIÓN:
Relación entre la aceleración tangencial (at) y la aceleración angular (α)
( )ΔtΔωR
ΔtωωR
ttRωωR
ttVV
a o
o
o
o
ot
⋅=−=−−=
−−=
Como R = constante
αα ⋅== Ra ΔtΔω
t
Como la aceleración angular es
sustituyendo
RωVΔtΔθ
RΔtΔS ⋅=⇒⋅=
Δt ΔθRΔS ⋅= dividimos entre
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA