CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES CINEMTICA II1. SISTEMA DE REFERENCIA. Es aquel lugar del espacio en donde en forma real o imaginara se sita un observador para analizar un fenmeno.Sobre un cuerpo en el espacio se fija rigurosamente un sistema coordenado (cartesiano, polar, cilndrico, esfrico, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema horario) y se ubica un observador en forma real o imaginaria, quien estudiar el fenmeno (movimiento mecnico) en el espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 1X (m)Y (m) 0rrTrayectoria 0

v

aTrayectoria

Tangente 0CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES2.MOVIMIENTO MECNICO EN COORDENADAS CARTESIANAS.Consideremos el movimiento de una partcula en el plano cartesiano, es decir un movimiento bidimensional, entonces la ley de movimiento tendr la siguiente forma: . .x yr ri r j +rVeamos el siguiente ejemplo:( ) ( )j t i t r. 5. 43 2 + + La ley del movimiento de una partcula en el espacio tridimensional tienes la forma: . . .x y zr ri r j rk + +rVeamos el siguiente ejemplo:( ) ( ) ( ) k t j t i t r. 2. 5. 43 2+ + + FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 2 0

v

aTrayectoria

t (s)v TangenteX (t)t0v = TanX (m)CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES3.VELOCIDAD (v)La velocidad de una partcula se define como la derivada de la posicin respecto del tiempo. . .yxrdr rv i jdt dt dt _ _ + , ,rrLa velocidad de una partcula en el plano tiene dos componentes: j v i v vy x.. + La velocidad de una partcula en el espacio tridimensional tiene tres componentes:kdtrjdtridtrdtr dvzyx...

,_

+

,_

+

,_

k v j v i v vz y x... + + 4.ACELERACIN (a)Es aquella magnitud fsica vectorial que mide la razn con que cambia la velocidad del mvil e modulo y direccin. Matemticamente la aceleracin se define como la derivada de la velocidad respecto del tiempo.jdtvidtvdtv dayx..

,_

+

,_

La aceleracin de una partcula en el plano tiene dos componentes: j a i a ay x.. + La aceleracin de una partcula en el espacio tridimensional tiene tres componentes:yx zdvdv dv dv a .i .j .kdt dt dt dt _ _ _ + + , , ,rv . . .x y za ai a j ak + +r5.NGULO ENTRE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACINEl ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en cierto instante determina el carcter de la aceleracin y la curvatura de la de la trayectoria del modo siguiente. Por un punto de la trayectoria trazamos una circunferencia que tenga con aquella una lnea tangente comn a dicho punto y que en el tramo dado de la curva se aproxime lo ms exactamente posible a ella. Esta circunferencia se llama osculatriz y su radio R recibe el nombre de radio de curvatura del punto dado. La aceleracin est dirigida siempre hacia dentro de esta circunferencia. Se presentan tres casos posibles:I. Si el movimiento es acelerado, es decir, la rapidez aumenta, la aceleracin y la velocidad formaran un ngulo AGUDO. FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 3X (m)Y (m) 0ACELERACIN YVELOCIDAD

v

aTrayectoria

vaTrayectoriaxy P(x;y) VrVrx-Sen u urCosSenCosyCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESII. Si el movimiento es desacelerado o retardado, es decir, la rapidez disminuye, la aceleracin y la velocidad formaran un ngulo OBTUSO.III. Si el movimiento es con rapidez constante, es decir el mdulo de la velocidad con cambia, la aceleracin y la velocidad formaran un ngulo RECTO (090 ). Adems se cumple que: 0r rg a v 6.DESCOMPOSICIN DE LA ACELERACIN.La aceleracin se puede descompones en dos componentes rectangulares, una es la direccin tangencial a la trayectoria en el punto dado, denominada aceleracin tangencial y la otra en direccin normal, denominada aceleracin normal, cumplindose que: t na a a +r r rEl valor de la aceleracin se obtiene aplicando el teorema de Pitgoras:2 2 2t na a a +r r r2 222 d v vad t _ _ +

, ,rLa aceleracin tangencial mide solamente la rapidez de cambio de la velocidad en mdulo. La aceleracin tangencial se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo:td vad tLa aceleracin normal mide solamente la rapidez de cambio de la velocidad en direccin:2nva Donde representa el radio de curvatura de la trayectoria en un instante.La desviacin de la aceleracin respecto de la lnea normal o radial es:tnaTana FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 4atanaDESCOMPOSICIN DE LA ACELERACINxy P(x;y) VrVrx-Sen u urCosSenCosyCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES7. MOVIMIENTO MECNICO EN COORDENADAS POLARES. La relacin que existe entre las coordenadas cartesianas ( ); x yy las coordenadas polares planas( ); r son:. x r Cos e . y r Sen Un punto material en coordenadas polares planas viene localizado por la distancia r del Punto P al origen O y por el ngulo .Si definimos los vectores unitarios u en la direccin del crecimiento dey ruen la direccin radial o vector posicin, entonces podemos escribir estos vectores unitarios en funcin de los vectores unitarios cartesianos i y j( ) . . ;ru i Cos j Sen Cos Sen + ( ) . . ; u i Sen j Cos Sen Cos + Sabiendo que cambia en el tiempo, la posicin de un punto material viene dado por la siguiente relacin: . rrr r uObserve la siguiente derivada:. ; . 1 1 ]rd u d dSen Cosd t dt dt [ ] ; . _ ,rd u dSen Cos ud t d t . . _ ,rd u du ud t d t CLCULO DE LA VELOCIDADEntonces la velocidad ser de derivada temporal: ( ) . . .rrrd r ud r d u drV r ud t d t d t d t +rrpero: .rd uud t entonces la expresin de la velocidad que expresada as: . . .rV r u r u +rde aqu la componentes de la velocidad en las direcciones radial y tangencial son:Velocidad Radial: . .r r r rV r u Vu r

yVelocidad Tangencial: . . . . V r u r u rCLCULO DE LA ACELERACINLa aceleracin es la segunda derivada temporal de la posicin, esto es:22 . . .rd r dV da r u r ud t d t d t _ + ,rrrFSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 5Oxy P(x;y) VVrVrVELOCIDAD EN COORDENADAS POLARESOx-Sen uVECTORES UNITARIOS: RADIAL Y TANGENCIAL urCosSenCosyCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESAplicando la regla de la derivada de una suma y de un producto, tenemos que:2 . . . 2 .ra r r u r r u _ _1 + + 1 ] , ,rDe sta ltima relacin tenemos las componentesradial y tangencial de la aceleracin:AceleracinRadial: 2 . .r ra r r u _ 1 1 ] ,r de otra manera2 . .rr rdVa r ud t _ ,rAceleracin Tangencial: . 2 . a r r u _ + ,rde otra manera ( ) . 2 . a r v u +rOBSERVACIONES:I. En la aceleracin radial,al trmino 2. r 1 1 ]se le conoce como la aceleracin centrpeta.La aceleracin centrpeta es: 2.ca r II. En la aceleracin tangencial,al trmino 2 . r se le conoce como la aceleracin de Coriolis.La aceleracin de Coriolis es:2 .cora v r r r * Gustavo-Gaspard Coriolis (1792- 1842), cientfico francs conocido por sus trabajos sobre mecnica terica y aplicada.CASOS PARTICULARES1. MOVIMIENTO RECTILNEO.La trayectoria de la partcula es una lnea recta, entonces el radio de curvatura es infinito ( ) , y la aceleracin normal es nula 20nva . La aceleracin total t na a a +r r r se reduce a la aceleracin tangencial, td va ad t rr r es decir la velocidad cambia solo en valor y no en direccin.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 6CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES2. MOVIMIENTO CURVILNEO UNIFORME.El movimiento curvilneo es uniforme si la rapidez del mvil no cambia, es decir el mdulo de la velocidad es constante, por consiguiente la aceleracin tangencial es nula 0td vad t y la aceleracin totalt na a a +r r r se reduce a una aceleracin normal 2nva a r r y se cumple la siguiente relacin:0r rg a v Aqu la aceleracin est dirigida en todo instante al centro de la circunferencia de radio , este radio es variable en el tiempo. Si el radio de curvatura se hace constanteR entonces el movimiento es Circunferencial y Uniforme, es decir M.C.U, y la aceleracin normal recibe el nombre de aceleracin centrpeta: 2cva aR r r3. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME.En este caso la velocidad no cambia en mdulo ni en direccin es decir la aceleracin total es nula 0td vad t y20nva entonces0t na a a r r reste en un movimiento mecnico ideal, es el movimiento ms simple de la materia.4.MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO.La trayectoria de la partcula es una lnea recta, entonces el radio de curvatura es infinito( ) , y la aceleracin normal es nula 20nva . En este caso el punto material o partcula tiene aceleracin tangencial constante, es decir el valor de la velocidad aumenta o disminuye progresivamente: td va CONSTANTEd t La posicin de la partcula respecto de un sistema de referencia tiene la siguiente ley de movimiento: 20 0.2ttr r vt a _ + + ,r r r r, donde 0rr es la posicin inicial y 0vr es la velocidad inicial cuando( ) 0 t .La velocidad tiene la siguiente ley: 0.tv v at +r r rSi durante el movimiento el valor de la velocidad aumenta el movimiento se denomina acelerado.Si durante el movimiento el valor de la velocidad disminuye el movimiento se denomina desacelerado o retardado.5. PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1.El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones:Para t = 2 segundos, calcular la velocidad, la aceleracin y los cosenos de los ngulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos. RESOLUCINFSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 7CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESSabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo; por lo tanto, calculamos sus componentes:Componiendo los tres valores obtenemos la velocidad, v, en funcin del tiempo:que para t = 2 segundos nos da v = 27,8 m/s.Para saber la aceleracin, derivamos de nuevo las expresiones anteriores:Componiendo y sustituyendo para t = 2 segundos, resulta:El valor de los cosenos de los ngulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos viene dado por los cocientes respectivos de los mdulos de las velocidades de cada componente respecto al mdulo de la velocidad total. Tenemos que ya hemos calculado el valor del mdulo de la composicin de las tres ecuaciones para la velocidad y hemos obtenido un valor de 27,8. De ese modo:PROBLEMA 2La ecuacin de un movimiento en funcin del tiempo es:4 3 2x t 2t t 4 + +, donde x se mide en centmetros y t en segundos.Calcular el valor de t para que la aceleracin sea mxima y obtener la velocidad en ese momento; Calcular tambin los valores de t para que la velocidad, por una parte, y la aceleracin, por otra, sean nulas.RESOLUCINEl primer apartado significa que la segunda derivada de la ecuacin del enunciado debe ser mxima. Para el clculo obtenemos el valor de las races de la primera derivada (que sera la velocidad):Sabemos que una funcin tiene un mximo cuando su primera derivada se anula y la segunda tiene un valor negativo. Si calculamos la segunda derivada de la expresin inicial resulta:FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 8t (s)Para el problema 06X (m)Para el problema 07 Vx (m/s) Vy (m/s)CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESSustituyendo los valores anteriores tenemos un mximo para t = 0,5 s. La velocidad en ese instante, segn las operaciones efectuadas, ser v = 0 cm/s.Los valores de t para los que se anula la velocidad son, como hemos visto, las races de la ecuacin derivada de la expresin de la posicin, es decir, t = 0 s; t = 1s y t = 0,5 s.Los valores de t para los que se anula la aceleracin son las races de la segunda derivada:FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 9t (s)Para el problema 06X (m)Para el problema 07 Vx (m/s) Vy (m/s)CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTOS CURVILNEO1. Un mvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de movimiento: 23 2 X t t +e2 1 Y t + , donde X e Y se miden en metros y t en segundos. Determine la ecuacin cartesiana de la trayectoria que describe el mvil durante su movimiento.2. Un mvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de movimiento:( )23 X t t e ( )21 Y t , donde X e Y se miden en metros y t en segundos. Determinar el radio de curvatura en el instante en que la aceleracin de la partcula es mnima.3. Un mvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de movimiento: . X ACos t e Y BSen t , donde X e Y se miden en metros, en s-1y t en segundos. a) La trayectoria es una elipse? b) Determinar la aceleracin del mvil. c) Demostrar que la aceleracin de la partcula es directamente proporcional a la distancia que se encuentra del origen de coordenadas y apunta hacia al origen.4. Las velocidades instantneas de dos partculas A y B, que se mueven en el plano son: ( )1 3 4 .AV i j m s +r y( )1 7 24 .BV i j ms +r Determine la velocidad instantnea del punto medio M del segmento imaginario que une las posiciones.5. Una partcula se mueve en el plano partiendo del reposo desde el origen de coordenadas( ) 0;0 en el instante0 t . Si se sabe que las componentes rectangulares de su velocidad, en todo instante, estn en la relacin: 2y xV V y adems respecto del eje x parti con aceleracin constante 21 ( . )xa i msr, determinar la velocidad del mvil en el instante 3 . t s 6. La figura muestra la grafica de la ley de movimiento de un cuerpo pequeo que se mueve sobre el eje x. Determinar la aceleracin media entre los instantes 3 7 t s y t s .7. Un mvil se mueve en el plano x y partiendo desde el origen( ) 0;0en el instante0 t si la grfica y xV V es un arco de circunferencia de radio 2 m/s y con respecto al eje x el mvil parti del reposo 00xv con aceleracin constante 21, 0 .xa ms , determinar el radio de curvatura en el instante 1, 0 t s 8. Si una partcula tiene el vector posicin 3. 2. 4rr t i t j k + + , Qu tipo de movimiento tiene?A) Curvilneo con rapidez constante.B) Curvilneo con aceleracin constanteC) Curvilneo con acelerado.D) Rectilneo con velocidad constanteE) Rectilneo acelerado9. Una partcula se mueve en el plano; su posicin est definida en funcin del tiempo: ( ) ( )3 2 4 2 1 4 r t t i t j + + + +r donde t se mide en metros y las coordenadas en metros. Determine la velocidad y la aceleracin en el instante t = 1 segundo.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 10Ot (s)Para el problema 06-55 10 X (m)+5OPara el problema 07 Vx (m/s)22 Vy (m/s) X ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES10. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley: ( ) ( )2 2 8. 4. 6. 3. r t t i t t j + rDeterminar la trayectoria, la velocidad y la aceleracin del punto material.11. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley: ( ) ( ) ( ) . . . rr a Sen t i a Cos t j u t k + +donde , a yu son magnitudes constantes. Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleracin del punto material.12. La ecuacin del movimiento de una partcula est dada por( )2. ; 2. r Sen t Cos t r. La componente normal de la aceleracin en cualquier instante es:13. Un cuerpo esta vibrando con movimiento armnico simple( ). . x ASen t +r de amplitud 8 cm y frecuencia es 2 ciclos por segundo. Determinar los valores mximos de la velocidad y la aceleracin.14. Una partcula tiene como vector posicin:( ) ( ) . . . . r a Cos t i a Sen t j +rentonces el tipo de movimiento es:A) Curvilneo con rapidez constante.B) Curvilneo con aceleracin constanteC) Curvilneo con acelerado.D) Circunferencial con rapidez constanteE) Circunferencial con aceleracin angular constante.15. La ecuacin del movimiento de un objeto pequeo es:2. 0,5.4x Cos t i _ + ,rDetermine el valor mximo de la velocidad y de la aceleracin.16. La posicin de una partcula en cierto sistema de referencia esta expresada por: ( ). r m c mSen t + rr r rdonde( )1;1;1 m r y ( )3; 4;5 c r. Determinar la distancia entre los puntos extremos del desplazamiento.17. El vector posicin de cierta trayectoria helicoidal es:( )( ) ; ; rt Cos tSen t t r Sabiendo que la velocidad angular es constante, determine la aceleracin tangencial.18. La ecuacin del movimiento de un objeto pequeo es: ( ) ( ) 4. . 2 . r Sen t i Cos t j r Demuestre que la trayectoria es una parbola.19. Un disco de 30 m de radio rota con velocidad angular constante 1, 0 / rad s respecto de un eje vertical. Una esfera se mueve con velocidad de valor 10 m/s en direccin radial respecto del disco. Determine la aceleracin de Coriolis, la aceleracin centrpeta y la aceleracin total de la esfera cuando llega al borde del disco.20. La posicin de una partcula est definida por: ( ) ( ) 4. . 4. . r Sen t i Cos t j +r Determine la aceleracin y el valor de la aceleracin centrpeta.21. La posicin de una partcula est definida por: ( ) ( ) 3. . 4. . r Sen t i Cos t j +r FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 11VrelPara el problema 19 X ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESDemuestre que la trayectoria es una elipse. Determine la aceleracin y el valor de la aceleracin centrpeta.22. Un mvil se mueve sobre un plano x y con la siguiente ley: 3924tyr , donde ( ) rad , ( ) r m y ( ) t s. En qu instante la aceleracintangencial, es igual, a la aceleracin normal en mdulo?23. Un mvil se mueve sobre un plano x y con la siguiente ley: 2 24 2 t t yr t , donde ( ) rad , ( ) r m y ( ) t s. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria en el instante en que la direccin de la velocidad pasa por el origen de coordenadas.24. Un mvil se mueve sobre un plano x y con la siguiente ley: 23 t t yr t , donde ( ) rad , ( ) r m y ( ) t s. Calcular la velocidad que posee en el instante en que la aceleracin apunta hacia el origen de coordenadas.25. Un mvil se mueve sobre un plano x y con la siguiente ley: 22. 6. t yr t , donde ( ) rad , ( ) r m y ( ) t s. Determinar la velocidad que posee el mvil en el instante en que su aceleracin es perpendicular a su vector posicin.26. Un escarabajo, que parte del extremo A, se mueve sobre la barra AB en un plano horizontal, alejndose de A con una velocidad relativa de 8 cm/s respecto de la barra. Si la barra gira alrededor del eje vertical que pasa por A con rapidez angular constante de 0, 5 / rad s ; despus de qu intervalo de tiempo de haber partido del origen de coordenadas su aceleracin lineal tendr un valor de 210 / a cms ?27. La aceleracin de una partcula tiene la siguiente ley:( )ta t. 1 3t e i r (m/s2). En qu instante adquiere la mxima velocidad?28. Se sabe que la trayectoria de una partcula pasa por el origen de coordenadas. Conociendo su velocidad es ( )2 tv Cos t;Sec t; er, determinar la ley del movimiento ( )r tr.29. El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones:( ) x 10 3t 3.Cos(t) m + ,( )5 3 21 5y t t t 4t m3 2 + + ,( )23z t 4t 8.Sen(t) m2 + +Determinar su aceleracin, indicando las componentes tangencial y normal, as como el radio de curvatura en el instante inicial0 t s.30. Si una partcula tiene el vector posicin r 3.t i 4.t j +r, Qu tipo de movimiento tiene?A) Curvilneo con rapidez constante.B) Curvilneo con aceleracin constanteC) Curvilneo con acelerado.D) Rectilneo con velocidad constanteE) Rectilneo acelerado31. Una partcula se mueve en el plano; su posicin est definida en funcin del tiempo: ( ) ( ) j t i t t r41 24 2 3+ + + + donde t se mide en metros y las coordenadas en metros. FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 12 vB vB vA/B A VB/R VRELY XBPara el problema 26ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESDetermine la velocidad y la aceleracin en el instante t = 1 segundo.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 13 d d vB vB vA/B aB aB aA/B A VB/R CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESMOVIMIENTO RELATIVO1. CONCEPTO. Hasta ahora hemos estudiado al movimiento de una partcula respecto de un sistema de referencia fijo a la Tierra. Sin embargo hay otros casos en los que es razonable y a veces necesario, examinar el movimiento de una partcula simultneamente respecto de dos sistemas de referencia, uno de los cuales se considera convencionalmente inmvil (fijo a la Tierra) y el otro se mueve respecto del primero. Entonces es importante saber la forma en que estn relacionadas las observaciones hechas por personas de diferentes sistemas de referencia. Un avin bombardero se desplaza horizontalmente con velocidad constante, en cierto instante el piloto abandona una bomba. El observador dentro del avin ve un movimiento de cada libre vertical, en cambio un observador fuera del avin ve un movimiento parablico. Por consiguiente la trayectoria es relativa. En general la posicin, la velocidad, la aceleracin, el tiempo, el movimiento y la masa son relativos. El reposo es un estado particular del movimiento. El reposo es relativo. No existe el reposo absoluto. La materia se encuentra en eterno movimiento y desarrollo.2. VELOCIDAD RELATIVA. Es la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que tambin se mueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la diferencia de las velocidades./ AB A BV V V r r r

La velocidad relativa es el vector diferencia entre la velocidad de A (minuendo) y la velocidad de B (sustraendo)./ A B ABV V V +r r r3. MOVIMIENTO COMPUESTO. Es aquel movimiento que resulta de la composicin de dos o ms movimientos simples. Por ejemplo para cruzar un ro, se emplea un bote que se mantiene siempre perpendicular a la corriente del agua./ BOTE AGUA BOTE AGUAV V V r r r La velocidad del bote respecto de la Tierra es igual a la velocidad de la corriente del ro, mas, la velocidad del bote respecto del agua. Observe la composicin de la velocidad:/ BOTE AGUA BOTE AGUAV V V +r r rEn el movimiento compuesto tenemos los siguientes elementos:Velocidad absoluta: BOTEVr, Velocidad de arrastre: AGUAVr, Velocidad Relativa: / BOTE AGUAVrLa velocidad absoluta del punto es igual a la suma geomtrica de la velocidad de arrastre y la velocidad relativa.4. PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS Cada movimiento componente es un fenmeno fsico independiente de los dems movimientos mecnicos, teniendo en comn el tiempo transcurrido. r r rABSOLTULA ARRASTRE RELATIVAV V V +El movimiento compuesto fue estudiado por FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 14 d d

vA vBvA vB vA/B aB aB aA/BVBOTE VRIO ABC VB/R VrelativaVarrastreVabsolutaCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESel fsico italiano Galileo Galilei.5. ACELERACIN RELATIVAEs la aceleracin del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que tambin se mueve con aceleracin constante. La aceleracin de A respecto de B, se define como la diferencia de las aceleraciones./r r rAB A Ba a a La aceleracin relativa es el vector diferencia entre la aceleracin de A (minuendo) y la aceleracin de B (sustraendo).Para el movimiento compuesto se cumple que:/ A B ABa a a +r r rEn el movimiento compuesto tenemos los siguientes elementos:Aceleracin absoluta: Aar, Aceleracin de arrastre: Bar, Aceleracin Relativa: / ABar La aceleracin absoluta del punto es igual a la suma geomtrica de la aceleracin de arrastre y la aceleracin relativa.6. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEOSi restamos la misma cantidad a las velocidades de A y B de tal manera que la velocidad del mvil B sea nula. Es decir el observador se mueve con la misma velocidad de B. Entonces analizar el movimiento de A visto desde el mvil B en reposo es mucho ms fcil.Si fijamos nuestro sistema de referencia sobre el mvil B, entonces observamos al mvil A con rapidez (VA - VB). Para el observador, el mvil B se encuentra en reposo relativo.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 15 dMvil AVB -VBVA - VBMvil B dVA - VBVB = 0aA aBaA aB aA/BCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES. ( ).relativa relativa relativa A Bd V t d V V t FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 16CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES7. COMPOSICIN DE MOVIMIENTOSEl planeta Tierra tiene movimiento de Rotacin, gira a razn 15 grados sexagesimales en cada hora, que para los habitantes de la Tierra es la velocidad de arrastre, entonces cuando un automvil se mueve y el velocmetro indica 90 km/h sta es la velocidad relativa del automvil respecto de la Tierra. Todos los cuerpos que se mueven sobre otro cuerpo que tienen movimiento de rotacin pura experimentan la aceleracin de Coriolis, que se caracteriza por el cambio de la velocidad relativa en el movimiento de arrastre y de la velocidad de arrastre del punto en el movimiento relativo.La aceleracin de Coriolis se determina con la siguiente frmula: ( )2 r r rcor arr rela v De este modo, la aceleracin de Coriolis es igual al dobleproducto vectorial de la velocidad angular del movimiento de arrastre, por, la velocidad relativa del punto. Si se designa por el ngulo entre las velocidades, el mdulo de la aceleracin de Coriolis ser: 2 . .cor arr rela v Sen r r rLa aceleracin de Coriolis puede ser nula en los siguientes casos:I. Cuando la velocidad angular es nula, es decir, cuando el movimiento de arrastre es de traslacin; o si la velocidad angular de la rotacin de arrastre se hace nula en el instante dado.II. Cuando la velocidad relativa es nula, es decir, cuando la velocidad relativa se hace nula en el instante dado.III. Cuando el ngulo que forman los vectores velocidad angular y velocidad relativa es 0 o es 180, es decir, cuando el movimiento relativo se efecta en direccin paralela al eje de rotacin de arrastre o si en elinstante dado el vector velocidad relativa es paralelo a este eje de rotacin.EJEMPLO 01: Un avin est volando paralelamente a la lnea ecuatorial en sentido de rotacin de la Tierra. Si el velocmetro del avin seala 1,0 km/s, determine el FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 17Para el problema07E ONS RIOVrelacor90Aceleracin deCORIOLIS cuando el ngulo es rectoVrelaacorWAceleracin de CORIOLIS cuando el ngulo es agudo.arrWVrelPara el Ejemplo 01CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESvalor de la aceleracin de Coriolis.ResolucinLa Tierra gira respecto de su eje a razn de 15 sexagesimales en cada hora, de otro modo gira2radianes cada 24 horas. 2 224 24 3600 t h s La velocidad relativa de avin respecto de la superficie terrestre es: 11000 .relv msLa velocidad angular de arrastre y la velocidad relativa forman un ngulo recto.Formula para calcular la aceleracin de Coriolis: 2 . .cor arr rela v Sen r r r( )122 . 1000 . . 9024 3600cora ms Sens _ ,rEl valor de la aceleracin de Coriolis es: 20,145 .cora msr y la direccin es radial hacia el centro de la Tierra.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 18 600 km/hNSPara el problema07g53BBCE ONS RIO (1) 3753VrelacorAceleracin deCORIOLIS BCCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES PROBLEMAS PROPUESTOSDE MOVIMIENTO COMPUESTO1. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i(m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la velocidadde A respecto de B (en m/s).2. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i(m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la rapidezde A respecto de B (en m/s).3. Un hombre nada con rapidez de 3 m/s con respecto a las aguas de un ro. Si se desplaza desde A hasta B, determinar el intervalo de tiempo (en s) que emplear el hombre en cruzar el ro, de rapidez de corriente de 5 m/s y 12 m de ancho, con la condicin que llegue a la orilla opuesta alejado en forma mnima de su punto de partida.4. Para cruzar un ro de 40 m de ancho, se emplea un bote que se mantiene siempre perpendicular a la corriente del agua con rapidez de 8 m/s. Si la rapidez de la corriente del ro es6 m/s, determine la distancia (en m) desde A hasta B.5. Para cruzar un ro de 60 m de ancho, se emplea una lancha que se mueve con rapidez constante de 3 m/s respecto del agua. Si la rapidez de la corriente del ro es5 m/s, determine la distancia BC mnima (en m) a lo largo de la orilla.6. El observador situado sobre el bote A, que se mueve libremente debido a la corriente del ro a una distancia de 40 m de la orilla, observa que un bote a velas B parte de un punto de la orilla situada a distancia de30 m aguas abajo. Si el viento soplaen la direccin E 74 S, determinarla mnima distancia (en m) a la cualse acercan los botes.7. Unalancha a motor que va ro arriba seencontr con un bote que flotaaguas abajo. Pasada FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 19dRIOVABPara el problema 3, 4 y 5C 600 km/hNSRIOBOTELANCHAPara el problema07g53ABBC BCB BCV RIFLE40 m30 mABE ONS RIOPara el problema 06PERRO5 m/sTrenVPPara el problema 09 (1) 3753VB O E 60VBEOS 60 N30 BCCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESuna hora despus de este encuentro el motor de la lancha se paro. La reparacin de esta duro 30 minutos y durante todo el tiempo la lancha segua libremente la corriente del ri. Arreglando el motor, la lancha comenz a ir ro abajo con la misma rapidez con relacin a la corriente del agua y alcanzo al bote a una distancia igual a 7,5 km del punto de su primer encuentro. Determinar la rapidez de la corriente del ro, considerndola constante (en km/h).8. Un portaviones avanza hacia el Sur con rapidez constante de 60 km/h respecto de la Tierra. En un instante dado (t = 0) despegan de su cubierta dos aviones de reconocimiento, uno que va hacia el Norte y el hacia el Sur ambos con una rapidez de 600 km/h con respecto a la Tierra y en la misma lnea de accin del portaviones. Cada uno se aleja 594 km respecto del portaviones y regresa hacia el. Determinar el intervalo de tiempo (en h) que demora en regresar cada avin.9. Un coche de ferrocarril se desplaza rectilneamente sobre rieles con rapidez constante de 5 m/s. Un perro que se encuentra fuera de la lnea frrea se dirige en todo instante al coche con rapidez constante. Si en cierto instante el perro observa que el tren pasa frente a l con una rapidez de 4 m/s, determinar la rapidez con que se mueve el perro.10. Se muestra dos bloques A y B que resbalan sobre planos inclinados libres de rozamiento. Si los planos forman entre si un ngulo recto,determinar el mdulo de la aceleracin relativade A respecto de B. (g: mdulo de la aceleracin de la gravedad)11.Dos pueblos amaznicos se encuentran en la mismaorilla de un ro separados una distancia de 36 km. Los pobladores para movilizarse usan una lancha que siempre se mueve con la misma velocidad constante en mdulo respecto del agua, pero debido a la corriente de agua, cuando se mueve la lancha ro debajo demora 1 hora y cuando se mueve ro arriba se demora 2 horas, entre ambos pueblos. Determinar el modulo de la velocidad constante del ro (en km/h)12.Un hombre que gua su automvil a travs de una tormenta a 100 km/h observa que las gotas de lluvia dejan trazos en las ventanas laterales haciendo un ngulo de 53 con la vertical. Cuando el hombre detiene su auto, observa que la lluvia estcayendo realmente en forma vertical. Calcular el modulo de la velocidad de la lluvia (km/h) respecto de la tierra.13.El conductor de un automvil ve que cuando avanza con rapidez constante la gotas de lluvia siguen la trayectoria(1) y cuando retrocede con la misma rapidez ve que las gotas siguen la trayectoria (2). Si la velocidad real de las gotasde lluvia tambin es constante, determinar el ngulo que hace la direccin del movimiento real de las gotas de lluvia con la vertical.14. A travs del cristal de la ventana de un coche deferrocarril, un pasajero ve caer las gotas de lluvia paralelamente a la diagonal del marco. Con qu mdulo de velocidad (en km/h) cae realmente, si no hay viento, y el tren est corriendo con velocidad constante cuyo mdulo es 60 km/h? El ancho de la ventana es el doble de la altura.MOVIMIENTO COMPUESTO(SEGUNDA PARTE) 1. Un hombre en un bote debe ir de A hacia B que estn en orillas opuestas. Las dimensiones son AC = 80 m y BC = 60 m. Si la velocidad de la corriente del ro es constante de modulo 5 m/s, determinar la mnima rapidez constante del bote respecto del agua (en m/s), para lograr su objetivo.2. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 5 m/s. Si el ro mostrado tiene un ancho de 24 m cuya corriente tiene velocidad constante de mdulo 3 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardar en cruzar el ro, sabiendo que tiene que hacerlo de A hacia B.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 20600 km/h600 km/h60 km/hOCANOPORTAVIONES NSPara el problema 08A BPara el problema 10g53Para el problema 12ABRIOPara el problema 02A BCRIOPara el problema 01 BCB BCV RIFLE 37 X Y Para el problema 11 (1)(2) 3753Para el problema 13VBS O E 60VBEOS 60 N30A B C RIOPara el problema 12A BCRIOPara el problema 03CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES3. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 4 5m/s. Si el ro mostrado tiene las siguientes dimensiones AC =40 m y CB = 30 m, cuya corriente tiene velocidad constante de mdulo 1 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardar en cruzar el ro, sabiendo que tiene que hacerlo de A hacia B.4. Por un ro, del punto A al punto B que se encuentra en la orilla opuesta, a lo largo de la recta AB, navega un bote. La bandera ubicada en el mstil del bote flamea en la misma direccin del ro. El viento sopla con una velocidad de 6 m/s en direccin perpendicular a la orilla de A hacia C. Si AC = 3 km y CB = 4 km, determinar el mdulo de la velocidad (m/s) del bote respecto de la orilla.5. Para cruzar un ro de ancho AC = 200 m, desde A hasta B, se emplea un bote que se mueve siempre perpendicularmente a la corriente del agua con velocidad de 4 km/h respecto del agua. Si la velocidad de la corriente del ro tiene mdulo de 3 m/s, a qu distancia (en m) medida del punto de partidase encuentra el punto de llegada del bote?6. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con velocidad de mdulo 4 m/s. Si el ancho del ri es AB = 12 m, cuyas aguas se mueven con velocidad constante de mdulo 5 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardar en cruzar el ro, sabiendo que sale del punto A y quiere llegar alejado del punto de partida una distancia minina.7. Una bandera ubicada en el mstil de un bote flamea haciendo un ngulo de 60 como se muestra en la figura, pero la bandera situada en la orilla del ro se extiende al Sur 30 Oeste. Determinar el mdulo de la velocidad (en km/h) del viento respecto a la Tierra, si el bote se mueve con rapidez de 10 km/h.8. Una bandera ubicada en el mstil de un bote flamea haciendo un ngulo de 60 como se muestra en la figura, pero la bandera situada en una casa en la orilla del ro se extiende al Sur 60 Oeste. Determinar el mdulo de la velocidad (en km/h) del viento respecto al bote, si el bote se mueve con rapidez de 10 km/h.9. Un hombre se encuentra parado sobre una plataforma mvil que se mueve horizontalmente con velocidad constante de modulo 7 m/s. Si el hombre sostiene en sus manos un rifle, en qu direccin definida por el ngulo debe hace el disparo, en el instante que el hombre pasa enfrente a un poste para hacer blanco en ste. El mdulo de la velocidad de la bala es 25 m/s respecto del rifle.

FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 21A BCRIOPara el problema 04ABRIOPara el problema 06A BCRIOPara el problema 0537Para el problema 10 VPOSTE RIFLEPara el problema 09 37 X Y Para el problema 11VBS O60Para el problema 08N E 60VBEOS 60Para el problema 07 N30A B C RIOPara el problema 12 35L 252L 3LABCDCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES10. Sobre las ventanas laterales de un automvil que se desplaza a 30 km/h se observa que los trazos que deja la lluvia en las ventanas laterales forman un ngulo de 37 con la vertical. Si las gotas de lluvia se observa que caen verticalmente cuando el auto est detenido, Cul es la rapidez (en km/h) de la lluvia respecto de la tierra?11. Las gotas de lluvia caen con velocidad constante de mdulo 10 m/s formando un ngulo de 37 con la vertical. Determinar la rapidez (en m/s) y direccin con que debe moverse el hombre con un sombrero grande para mojarse lo menos posible.12. Del punto A situado en la orilla de un ro es necesario llegar al punto B, movindose siempre por la recta AB. Si AC = 1 km, BC = 2 km, la velocidad mxima del bote con respecto al ro es de 5 km/h y la rapidez de la corriente de agua en el ro de 2 km/h. Es posible cubrir la distancia AB en 30 minutos?FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 22 37 X YO Para el problema 11A B C RIOPara el problema 12 35L 252L 3LABCDCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESMOVIMIENTO DE CADA LIBRE PARABLICO 1.CONCEPTO:Si lanzamos uncuerpoconciertongulodeinclinacinyel mediofueseel vaci, el mvil describira una trayectoria curva llamada parbola, la cual tendrunaformaque depender de la velocidad de lanzamiento y el ngulo de disparo.Galileo demostr que el movimiento parablico debido a la gravedad es un movimientocompuestopor otros dos:uno horizontaly el otro vertical. Descubri asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla siempre como un M.R.U. y el movimiento vertical es un M.R.U.V. con aceleracin igual a g, es decir movimiento de cada libre vertical.2.TIRO SEMIPARABLICODesplazamiento vertical: cada libre desde el reposoDesplazamiento horizontal: movimiento con velocidad constante.Todos los tiros semiparablicos causados por la gravedad se resuelven con las siguientes relaciones:Movimiento vertical: 212y gt Movimiento horizontal: XX V.t 0V: Velocidad de lanzamiento (direccin horizontal).3.SISTEMA DE REFERENCIA: Para una trayectoria semiparablica fijamos nuestro sistema de referencia en el nivel de lanzamiento, de manera que el cuerpo acelera en el eje Y. 4.FORMA VECTORIAL: Cuando utilices las ecuaciones vectoriales no debes olvidar que todas las cantidades vectoriales que en ellas aparecen tienen signos los que dependern del sentido que posean. Asimismo, te recomiendo trazar el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, y desde all medir los desplazamiento, horizontal ( x ) y vertical (y).Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical son:Para la velocidad vertical: 0 +r rrf y yV V g.tPara el desplazamiento vertical: 202yg.th V .t +rr rFSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 23X (m)Y (m)5 35L 252L 3LABCDDV0 CosXYV0H V1 V2CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESLa velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parbola en cualquier punto de esta, y su valor se determina aplicando el teorema de Pitgoras: 2 2x fyV V V +5.ECUACIN DE LA PARBOLA: Aplicamos en el eje X el M.R.U, entonces el mdulo del desplazamiento horizontal es( )0 xx V .t x V .Cos .t Ahora despejamos el tiempo transcurrido 0xtV .Cos (1)Aplicamos en el eje Y el M.R.U.V., la rapidez inicial en el eje vertical es: 0 0 yV V .Sen entonces el mdulo del desplazamiento vertical es202yg.ty V .t (2)Reemplazamos (1) en (2):( )20002xg.V .Cosxy V .Cos .V .Cos _ _ , ,( )22 202gy Tg .x .x.V.Cos _

,La trayectoria que describe el proyectil en una lnea curva llamada PARBOLA.2y a.x b.x ECUACIONES ESPECIALES6.TIEMPO DE VUELO: tiempo que demora el proyectil en regresar al nivel de lanzamiento. 02.V .SenTg7.ALTURA MXIMA: En el instante que el proyectil alcanza la altura mxima, su velocidad el eje vertical es nula (un instante). 2 202V.SenHg 8.ALCANCE HORIZONTAL: Se define como el desplazamiento sobre el eje horizontal.

2 20 02 2 .V.Sen .Cos V.SenDg g 9. Relaciones entre la altura mxima y el alcance horizontal: 4HTgR FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 24xyXYV0 V1 V2CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES10.Relaciones entre la altura mxima y el tiempo de vuelo:28g.TH 11.ALCANCES IGUALES: Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual mdulo (vi) y con distintas inclinaciones y , de manera que los alcances horizontales sean iguales en los dos casos, se verificar: Los alcance son iguales si los ngulos son complementarios, + = 90. 12. ALCANCE HORIZONTAL MXIMO: Cuando regamos el jardn con una manguera comprobamos que el alcance cambia a medida que inclinamos ms la manguera, y cuando continuamos con este proceso observamos que luego de un aumento de alcance, este empieza a reducirse. Se puede demostrar que de todos los alcances, el mximo se logra cuando el ngulo de disparo es de 45, de este modo se obtiene que:20maximoVDg13. TEOREMA PLUS 100Si dos partculas se mueven con una misma aceleracin (iguales en modulo y direccin), su movimiento relativo es un movimiento rectilneo uniforme (M.R.U.). DEMOSTRACINSabemos que:0 +r r rv v a.t entonces para las partculas A y B que se mueven con una misma aceleracin tenemos que: 0 +r r rA Av v a.ty 0 +r r rB Bv v a.tPor otro lado, por definicin de velocidad relativa: r r rAB A Bv v v( )0 0 + +r r r r rAB A Bv v a.t v a.t0 0 r r rAB A Bv v vComo la velocidad relativa de A respecto de B, no vara con el tiempo, su trayectoria relativa ser una lnea recta.Este teorema es muy til cuando dos partculas A y B describen una trayectoria Parablica dentro de un campo gravitacional.14. TEOREMA PLUS 110:Si dos partculas, que al ser lanzadas simultneamente al campo de gravedad, chocan en el aire, el punto de impacto P estar debajo del punto de interseccin de sus velocidades de lanzamiento.DEMOSTRACINSabemos por teora que el desplazamiento que experimenta una partcula que se mueve parablicamente en el campo de gravedad esta dado por: 2012 +rr rd v .t g.tSegn esto el vector desplazamiento rd es la suma vectorial de un vector colineal con la velocidad de lanzamiento 0rvy de un vector vertical paralelo a la aceleracin de la gravedad rg.Si dos partculas A y B, que al ser lanzadas simultneamente, chocan en el punto P, se cumplir que el punto P estar debajo del punto de interseccin de sus velocidades de FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 25 V1 V2ABPTEOREMA PLUS 110gO V g an atCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESlanzamiento.En ausencia de la gravedad las partculas A y B chocaran en el punto O.15. TEOREMA PLUS 120:Si una partcula se mueve en el plano con ley de movimiento:( ) x x ty( ) y y tSu distancia al origen de coordenadas tomar un valor extremo (mximo o mnimo relativo) cuando: 0 + x yx.v y.vDEMOSTRACINEl vector posicin en el plano cartesiano de la partcula mvil ser:( ) r x; y r y el modulo es:2 2z r x y +r, el modulo de rr tomara su mximo (mnimo) valor cuando la funcin ( ) z ttome su valor mximo (mnimo). Por otro lado la funcin ( ) z ttomara su mximo (mnimo) cuando su derivada respecto del tiempo, sea cero:dz0d t entonces ( )2 2d x y0d t+ desarrollando tenemos que: d x d y2x 2y 0d t d t _ _+ , ,Finalmente verificamos que: d x d yx y 0d t d t _ _+ , , tambin x yx.v y.v 0 + FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 26 V g an atCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES16. DESCOMPOSICIN DE LA ACELERACIN EN EL MOVIMIENTO PARABLICO.Descomponemos la velocidad de una partcula en un instante de tiempo, en el eje horizontal la velocidad no vara, pero la velocidad en el eje vertical cambia debido al campo de gravedad. Calculemos el ngulo que forma la velocidad V con el eje horizontal.yxVTanVAhora observe la descomposicin rectangular de la aceleracin de la gravedad. Tiene dos componentes en cada instante de tiempo:La aceleracin tangencial es colineal con la velocidad instantnea V:ta g.SenLa aceleracin normal es perpendicular a la velocidad instantnea V:na g.CosEl radio de curvatura se puede calcular con la ecuacin:2 nVa g.Cos despejando tenemos 2Vg.CosPROBLEMAS PROPUESTOS (PARTE 1)1. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial 10( . )rV msdesde el punto( ) 20; 45expresado en metros, transcurrido 3 segundos alcanza la velocidad 40i 30 j (m/ s) + . Si su aceleracin es 210 j (m/ s ) , determinar:a) la velocidad inicial.b) su velocidad y posicin en cualquier instante.c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra.d) la ecuacin de la trayectoria.2. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial 10( . )rV msdesde el punto( ) 20;30 expresado en metros, transcurrido 2 segundos alcanza la velocidad 10i 20 j (m/ s) + . Si su aceleracin es 210 j (m/ s ) , determinar:a) la velocidad inicial.b) su velocidad y posicin en cualquier instante.c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra.d) la ecuacin de la trayectoria.3. De lo alto de una torre se lanza una partcula con velocidad 40i (m/ s) en el instante t 0s . Considerando a aceleracin de la gravedad 210 j (m/ s ) , determina el valor de la aceleracin normal y tangencial en el instante t 3 s .FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 27 V gParbolaFig. 01. DESCOMPOSICIN RECTANGULAR DE LA ACELERACIN DE LA GRAVEDADVy an atVxCINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES4. Desde el piso se lanza una partcula con velocidad 30i 60 j (m/ s) +en el instante t 0s . Considerando a aceleracin de la gravedad 210 j (m/ s ) , determina el valor de la aceleracin normal y tangencial en el instante t 3 s .5. La velocidad de una partcula que se mueve en el plano X-Y se expresa como: ( ) 400i 30t j (m/ s) . Si cuandot 0s se encuentra en el punto( ) 40;80 expresada en metros. Determinar:a) la ecuacin de la trayectoriab) la posicin, la velocidad y aceleracin en el instante t 3 s .6. La velocidad de una partcula que se mueve en el plano X-Y se expresa como: ( ) 40i 30 t 2 j (m/ s) + . Si cuandot 0s se encuentra en el punto( ) 40; 45 expresada en metros. Determinar:a) la ecuacin de la trayectoriab) la posicin, la velocidad y aceleracin en el instante t 3 s .7. La velocidad de una partcula que se mueve en el plano X-Y se expresa como: ( ) ( )2 40 t 1 i 30 t 2t 1 j (m/ s) + +. Si cuando t 0s se encuentra en el punto( ) 20; 10 expresada en metros. Determinar:a) la ecuacin de la trayectoriab) la posicin, la velocidad y aceleracin en el instante t 3 s .8. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 50 ; . 30 t t t r donde t se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 0 , 2 d) el valor de la velocidad en el instantes t 0 , 2 e) la aceleracin en cualquier instantef) la aceleracin en el instantes t 0 , 2 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 0 , 2 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 0 , 2 i) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 0 , 2 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 0 , 2 k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantnea) en el instantes t 0 , 2 9. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 50 ; . 30 t t t r donde t se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 5 , 3 d) el valor de la velocidad en el instantes t 5 , 3 e) la aceleracin en cualquier instanteFSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 28CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESf) la aceleracin en el instantes t 5 , 3 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 5 , 3 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 5 , 3 i) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 5 , 3 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 5 , 3 k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantnea) en el instantes t 5 , 3 10. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 50 ; . 30 t t t r donde t se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 0 , 5 d) el valor de la velocidad en el instantes t 0 , 5 e) la aceleracin en cualquier instantef) la aceleracin en el instantes t 0 , 5 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 0 , 5 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 0 , 5 i) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 0 , 5 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 0 , 5 k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantnea) en el instantes t 0 , 5 11. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 50 ; . 30 t t t r donde t se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 0 , 8 d) el valor de la velocidad en el instantes t 0 , 8 e) la aceleracin en cualquier instantef) la aceleracin en el instantes t 0 , 8 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 0 , 8 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 0 , 8 i) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 0 , 8 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 0 , 8 k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantnea) en el instantes t 0 , 8 12. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 60 ; . 40 t t t r dondet se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 2950 m/s 10 m/s gD Para el problema05 37CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 0 , 8 d) el valor de la velocidad en el instantes t 0 , 8 e) la aceleracin en cualquier instantef) la aceleracin en el instantes t 0 , 8 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 0 , 8 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 0 , 8 i) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 0 , 8 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 0 , 8 k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantnea) en el instantes t 0 , 8 13. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 60 ; . 40 t t t r dondet se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 0 , 6 d) el valor de la velocidad en el instantes t 0 , 6 e) la aceleracin en cualquier instantef) la aceleracin en el instantes t 0 , 6 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 0 , 6 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 0 , 6 i) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 0 , 6 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 0 , 6 k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantnea) en el instantes t 0 , 6 14. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 60 ; . 40 t t t r dondet se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 0 , 4 d) el valor de la velocidad en el instantes t 0 , 4 e) la aceleracin en cualquier instantef) la aceleracin en el instantes t 0 , 4 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 0 , 4 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 0 , 4 FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 30 VA B37 16Para el problema 03 O VH30 V A B37 5325 m B50 m/s 10 m/s gD Para el problema05 3750 m/s 10 m/s gD Para el problema12 37CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESi) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 0 , 4 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 0 , 4 k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantnea) en el instantes t 0 , 4 15. Conociendo a ley de movimiento de una partcula en el plano ( )2. 5 . 60 ; . 40 t t t r dondet se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.10 s m j gDeterminar:a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.b) la velocidad en cualquier instantec) la velocidad en el instantes t 0 , 3 d) el valor de la velocidad en el instantes t 0 , 3 e) la aceleracin en cualquier instantef) la aceleracin en el instantes t 0 , 3 g) el valor de la aceleracin en el instantes t 0 , 3 h) la medida del ngulo que forma la velocidad y la aceleracin en el instantes t 0 , 3 i) el valor de la aceleracin tangencial en el instantes t 0 , 3 j) el valor de la aceleracin normalen el instantes t 0 , 3 k) la curvatura de la osculatrz (circunferencia instantnea) en el instanteFSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 31 VA B37 16Para el problema 03 O VH30 V A B37 5325 m B V2V 8 m D P V1 V245 30 m VH 15 mg V1 = 0 V2 40 m 37 V D g 53 V a x (m) 4 40 30 mA B45 VH 12 mg V2dA B50 m/s 10 m/s gD Para el problema05 3750 m/s 10 m/s gD Para el problema12 37CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESPROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO PARABLICO (parte 2)1. Un avin vuela horizontalmente con una velocidad constante de mdulo V = 50 m/s, a una altura de 500 m de la superficie terrestre. Con qu ngulo de depresin debe ver el piloto el objetivo par que al dejar caer un bomba esta d en el blanco B? (g = 10 m/s2)2. Se abandona un bloque en la posicin A sobre el plano inclinado. Si al pasar por B su velocidad tiene mdulo de 50 m/s, determinar el desplazamiento horizontal D (en m) que experimenta el mvil en el tramo BC. (g = 10 m/s2)3. Se muestra el lanzamiento de una partcula, con rapidez V = 10 m/s formando un ngulo de 53 respecto de la horizontal, sobre un plano que est inclinado 37. Despus de cuntos segundos llegar a la superficie del plano inclinado? (g = 10 m/s2)4. Si el alcance horizontal mximo de un proyectil es 50 m, con que ngulo de tiro debe disparase para dar en un blanco situado sobre el mismo plano horizontal y a una distancia de 25 m, si en ambos cados el proyectil es lanzado con la misma velocidad inicial.5. Un tanque se mueve horizontalmente con una velocidad de mdulo 10 m/s hacia un mortero situado en el mismo plano horizontal y delante de el. Si de pronto el mortero lanza un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando un ngulo de 37 con la horizontal y da en el blanco, a qu distancia D (en m) del mortero se encontraba al tanque en el instante del disparo? (g = 10 6. La ecuacin de la trayectoria que describe un proyectil durante su movimiento est definida por: 2100xy x . Determinar la rapidez (en m/s) del proyectil en el instante que alcanza su altura mxima. (g = 10 m/s2)7. Un proyectil es disparado desde el origen del sistema de referencia haciendo un ngulo con el eje horizontal. Determinar la medida del ngulo si para t1 pasa porla posicin (40 m; 25 m) y en el instante t2 pasa por la posicin (160 m; 40 m). (g = 10 m/s2)8. Desde A se lanza una partcula se lanza encon velocidad V formando un ngulo de 53 con la horizontal. Si la partcula cae en el punto B de la semiesfera, determinar la rapidez de lanzamiento (en m/s).(g = 10 m/s2)9. En la posicin Ase lanza horizontalmente una partcula, simultneamente se abandona un bloque en la posicin B sobre el plano inclinado. Determinar la rapidezde lanzamiento V (en m/s) de la partcula para que ambas choquen durante su movimiento. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 32 VBPara el problema 01A BC135 mDPara el problema 0237V3716Para el problema 03A O VHxyDPara el problema6 y 730 V A B160 m80 mPara el problema 0937 53Para el problema 08V25 m10 m BA V2V 8 m D P V1 V245 30 m VH 15 mgV g Para el problema25 44Ag 37VBA g 53BAVAVBgPara el problema 27V1 = 0 V2 40 m 37 V D g 53 V a x (m) 4 40 30 mA B45 30 V 53V BD VH 12 mg V2dA BggA5350 m/s 10 m/s gD Para el problema12 37CINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES10. En lo alto de una torre de 200 m de altura, una artillera vigila un campo de prisioneros, en un descuido ciertos reclusos logran capturar un Jeep estacionado (reposo) al pie de la torre y tratan de huir con aceleracin constante de mdulo 1,25 m/s2. Qu intervalo de tiempo (en s) debe esperar la artillera desde que empez la fuga par disparar el proyectil y darles a los fugitivos? La velocidad de salida del proyectil es de 50 m/s formando 37 con la horizontal. (g = 10 m/s2)11. Un mvil se desplaza en el plano x y dentro de un campo gravitacional de intensidad constante a = 5 m/s2 cuya direccin se muestra en la figura. Si la posicin inicial de mvil es A (4; 4) y la velocidad inicial es V = (1 i + 2 j) m/s, determinar su posicin despus de 2 segundos.12. Un tanque se mueve horizontalmente con una velocidad de mdulo 10 m/s hacia la derecha situado en el mismo plano horizontal y delante del mortero. Si de pronto el mortero lanza un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando un ngulo de 37 con la horizontal y da en el blanco. A qu distancia D (en m) del mortero se encontraba al tanque en el instante del disparo? (g = 10 m/s2)13. La esfera A se lanza horizontalmente con velocidad V1, simultneamente se lanza la esfera B con velocidad V2 formando un ngulo de 45 con la horizontal. Sabiendo que chocan en el aire durante su movimiento, determinar el desplazamiento horizontal (en m) que experimenta A hasta la colisin.14. La esfera A se abandona, simultneamente se lanza la esfera B con velocidad V2 formando un ngulo de con la horizontal. Sabiendo que chocan en el aire durante su movimiento, determinar el la medida del ngulo .15. Dos esferas A y B inician su movimiento simultneamente, A es lanzada horizontalmente con rapidez V y B es lanzada verticalmente con rapidez 2V. Determinar la distancia D (en m) sabiendo que los cuerpos chocan en el punto P.16. Determinar la relacin entre la tangente de los ngulos y con que se lanzan los proyectiles simultneamente, si colisionan en P durante su movimiento.17. Dos proyectiles A y Bse lanzan simultneamente. Si colisionan en P durante su movimiento, determine la medida del ngulo .18. Desde un globo que asciende con una velocidad de mdulo 6 m/s, se lanza una piedra horizontalmente respecto del globo con rapidez de 5 m/s.La piedra experimenta un alcance horizontal de 15 m hasta llegar al piso. Desde qu altura H (en m) se lanz la piedra? (g = 10 m/s2)19. Una persona que se encuentra en un globo en cual asciende con rapidez de 5 m/s, lanza un cuerpo con rapidez de 5 m/s formado un ngulo de 53 con la horizontal (respecto del globo). FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 33 V2VAB 8 m D PPara el problema 15g V1 V245AB 30 m50 mPPara el problema 13g VH 15 mgPara el problema 18 V g Para el problema25 44Ag 37VBA g 53BAVAVBgPara el problema 27VA 67 AV1 = 0 V2 AB 40 m30 mPPara el problema 14g 37 V D200 mAJeep gPara el problema 10 53 V a x (m)y (m) 4 40Para el problema 11V1V2P 30 m 40 mA B45gPara el problema 17 30 V 53V BD VH 12 mgPara el problema 19V1 V2Pd 2dA BgPara el problema 16ggA53 AB g Vo 60 g g30 ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESSabiendo que el cuerpo describe una trayectoria parablica, determinar la altura H (en m) desde el cual se lanz el cuerpo. (g = 10 m/s2)20. En la figura el campo gravitatorio se representa mediante lneas de fuerza, cuya intensidad es g = 10 m/s2. Se lanza una pelota pequea perpendicular a la superficie con rapidez V = 20 m/s. Determinar la distancia mxima de alejamiento (en m) respecto de la superficie.21. En la figura el campo gravitatorio se representa mediante lneas de fuerza, cuya intensidad es g = 10 m/s2. Se lanza una pelota pequea perpendicular a la superficie con rapidez V = 40 m/s. Determinar la distancia AB (en m) sobre la superficie.22. Se muestra dos zonas del campo de gravedad de igual mdulo g = 10 m/s2. Si una esfera pequea se abandona en la posicin A, despus de que intervalo de tiempo (en s) sale de esta regin gravitacional?23. Cul es la diferencia entre las alturas alcanzadas (en m) por el proyectil disparado con velocidad de mdulo V = 2 m/s, cuando el ngulo de tiro varia de 30 a 60, sin cambiar la rapidez de lanzamiento. (g = 10 m/s2)24. Desde el punto A se debe lanzar una piedra con el fin de impactar en el foco ubicado en B. Calcular la medida del ngulo de lanzamiento sabiendo que la velocidad de lanzamiento de mdulo V es mnima.(g = 10 m/s2)25. Dos partculas A y B son lanzadas simultneamente con velocidades de mdulos 25 m/s y 80 m/s respectivamente. Determinar el mdulo de la velocidad de su velocidad relativa de A respecto de B luego de 2 segundos.26. Si en el instante que la partcula A es lanzada en la forma que se indica, otra B es dejada caer. Determinar la mnima distancia que las separa durante su movimiento.27. Si la partcula A mostrada en la figura es lanzada con una velocidad de mdulo40 m/s, determinar despus de cuntos segundos debe lanzarse la partcula B con una velocidad de mdulo 25 m/s, para que la distancia de separacin entre estas no vari con el tiempo. (g = 10 m/s2)28. Dos partculas son lanzadas simultneamente de los puntos A y B en la forma que indica la figura. Si la partcula que se lanzo de A llega a B y la que se lanz de B llega al punto A, determinar cul fue la mnima distancia de separacin (en m) entre estas durante su movimiento.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 34AB7 m24 mV gPara el problema 24 Para el problema25B16 44Ag 37V20 m20 mBA gPara el problema266129AB100 mgPara el problema 28 53 16BAVAVBgPara el problema 27VA 6730 60A B35 mgPara el problema 29 A 30 VgPara el problema20 53VgPara el problema21A BD4 m13 mggA53Para el problema 22 AB g Vo 60 g g30 ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES29. Si las partculas A y B, que son lanzadas con velocidades de mdulos 20 m/s y 15 m/s, chocan en el aire, determinar despus de cuntos segundos sucede esto.30. Dos partculas A y B son lanzadas simultneamente, desde el mismo punto, en forma que muestra la figura. Si las velocidades de lanzamiento de A y B tiene los siguientes mdulos 10 m/s y 24 m/s respectivamente, determinar la distancia (en m) que las separa despus de 5 segundos.31. Una partcula es lanzada horizontalmente desde el punto A con velocidad de mdulo V = 50 m/s. Determinar despus de cuntos segundos la distancia que la separa del punto P es mnima. ( g = 10 m/s2)32.Un proyectil es disparado horizontalmente con una rapidez V = 15 m/s. A qu distancia del punto de disparo (en m) el proyectil impacto sobre el plano inclinado? ( g = 10 m/s2)33. Un proyectil se dispara con una velocidad de30 40 + i j(m/s). Si ste choca contra la pared vertical con una velocidad que hace 45 con ella, el proyectil choca cuando se encuentra ganando altura. Calcula a qu distancia (en m) del punto de disparo se encuentra la pared. (g = 10 m/s2)34. Un proyectil se dispara con una velocidad de30 40 + i j(m/s). Si ste choca contra la pared vertical con una velocidad que hace 45 con ella, el proyectil choca cuando se encuentra perdiendo altura. Calcula a qu distancia (en m) del punto de disparo se encuentra la pared. (g = 10 m/s2)35. Un proyectil es lanzado con un ngulo de elevacin de 16 y pasa justamente por la parte superior de dos postes de 5 m de altura separados 100 m. Determinar el alcance horizontal (en m) desde que sale del pisohasta que regresa al piso. (g = 10 m/s2)36. Observe la figura. Determinar la velocidad de lanzamiento 0V con que debe lanzarse una partcula, haciendo un ngulo de 60 con la horizontal, para que demore en chocar con el cilindro hueco de radio R el mayor tiempo posible.37. Dos partculas A y B son lanzadas simultneamente con la misma rapidez 0V pero con diferentes ngulos de lanzamientos y respectivamente. Determinar el valor de su velocidad relativa despus de un cierto tiempo.38. Una partcula es lanzada oblicuamente desde la azotea (en A) de un edificio con una velocidad ( )105 3; 5 . rv m s. Determinar en el instante en que la distancia que separa de un observador situado en O( ) 0;0toma un mnimo valor.39. La ley de movimiento de una partcula que se mueve sobre el plano x y es: 21 4 + x t te 25 4 2 + y t tdonde x e y se miden en metros y t en segundos. Determinar el instante en que la distancia de la partcula al origen de coordenadas toma su valor mnimo.40. Las posiciones de dos partculas A y B que se mueven en el plano x y estn dados por:( )22 1; 2 rAr t ty ( )26 10 ; + +rBr t t tdonde rrse mide en metros y t en segundos. Cul es FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 35VAVBg 67 23Para el problema 30 AVPg45 m150 mPara el problema31VAB37Para el problema32 g VoR60 gPara el problema 36OA gO36 mV0Para el problema 3830 A A R E N A A G U A N A R E N A A G U ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESla distancia mnima entre estas partculas y en que instante ocurre esto?41. Dos mviles A y B desde las posiciones cuyas coordenadas cartesianas son( ) 5 ;0 A y ( ) 0 ; 5 B expresadas en metros, se mueven con velocidades constantes 13 ( . )i msy 14 ( . )j m sa travs de dos carreteras perpendiculares entre s. Determinar la distancia mnima de acercamiento de los mviles Ay B durante su movimiento.42. PROBLEMA. Una partcula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante vo desde el punto A, de una superficie cilndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ngulo , que define la posicin del punto A, para que el tiempo que dicha partcula permanece en el aire dentro del cilindro sea mximo. Despreciar toda clase de rozamiento. Expresar en trminos de la siguiente constante:43.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 36 A R E N A A G U A N A R E N A A G U ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESLA TRAYECTORIA MS RPIDA (PRINCIPIO DE FERMAT)EJEMPLO 01: Juan se encuentra en la posicin A de un lago donde nada con rapidez constante de 3 m/s y en la orilla sobre la arena corre con rapidez de 5 m/s. Determinar el intervalo de tiempo mnimo que emplea el llegar a su cabaa situado en la posicin B.A) 110 sB) 130 sC) 140 sD) 150 sE) 160 sResolucinSi Juan se comportara como un rayo de luz y la lnea CB como la superficie que divide dos medios donde las rapideces son diferentes, entonces el tiempo empleado sera mnimo.Clculo del tiempo enel agua: ( )22111203xANtV+ Clculo del tiempo en la arena: 223905NB xtV Clculo del tiempo total empleado: ( )221 21203903 5xxt t t+ + +El tiempo es mnimo, caso crtico, derivada del tiempo respecto de x, igual a cero. 0dtdx ( )( )221 1 203 52 120.x. x _+ ,+Resolviendo x = 90 metrosReemplazamos en:( ) ( )2 21 2120 90390 901103 5t t t+ + + Respuesta: el mnimo tiempo empleado, para ir de desde A hasta B es 110 segundos.FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 37ABx120 mC A R E N A A G U A N390-x90AB390 m120 mC A R E N A A G U ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESEJEMPLO 02: Un joven deportista debe desplazarse desde la posicin A en un lago hasta el punto B sobre la arena, dividida entre s por un segmento EF. En el lago nada con rapidez de 6 m/s y por la arena corre con una rapidez de 8 m/s. Determine el intervalo de tiempo mnimo que demora para trasladarse desde A hasta B.ResolucinSi el joven se comportara como un rayo de luz y la lnea EF como la superficie que divide dos medios donde las rapideces son diferentes, entonces el tiempo empleado sera mnimo.Clculo del tiempo enel agua: ( )64862 21x APt+ Clculo del tiempo en la arena: ( ) ( )8100 4882 22x PBt + FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 38B C48 m48 m100 mAGUAARENAE FAPB48 m48 m(100 x)AGUAARENAE FC48x48ACINEMTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESClculo del tiempo total empleado:( ) ( ) ( )8100 486482 2 2 22 1x xt t t +++ + El tiempo es mnimo, caso crtico, derivada del tiempo respecto de x, igual a cero. 0dtdx ( )( ) ( )( ) ( )0100 48 . 21 100 2.8148 22.612 2 2 2 +

,_

++

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xxxxResolviendo x = 36 metrosReemplazamos en:( ) ( ) ( ) ( )836 100 48636 482 2 2 22 1 +++ + t t tRespuesta: el mnimo tiempo empleado, para ir de desde A hasta B es 20 segundos.44. BIBLIOGRAFA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIN: http://grups.es/didactika/yahoo.comhttp://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.comwww.didactika.com walter_perez_terrel@hotmail.comwperezterrel@gmail.comFSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 39