Movimiento Ondulatorio

Curso de Óptica y acústicaUACM-Cuautepec- CCyT (Academia de Física)Calle La Corona No. 320 Col. Loma de la Palma

Delegación Gustavo A. Madero, 54060 México, D.F.

27 de agosto de 2010

Resumen

En la naturaleza existen dos tipos de movimiento ondulatorio (principalmente), ondas

mecánicas y ondas electromagnéticas. Para las ondas mecánicas, es necesario que algúnmedio físico se perturbe para que de lugar a una onda (piedra al caer en el agua, sonido deuna cuerda de violín propagándose en el aire, etc), sin el agua o sin la cuerda no existiríala onda mecánica. Mientras que para las ondas electromagnéticas no se requiere de un mediopara propagarse (ondas de radio, ondas de TV, microondas, etc), por lo que se encuentranpresentes en todas partes. Por el momento en este curso nos restringiremos únicamente a ondasmecánicas. Finalmente mencionaremos que la característica central del movimiento ondulatorioes que trans�ere energía a cierta distancia pero no materia[1].

Figura 1: Patrones de interferencia de ondas propagándose hacia afuera debido a la lluvia que cae enuna piscina.

1

1. Ondas viajeras unidimensionales

Iniciaremos considerando el movimiento de un pulso que se mueve a través de un medio. Cuando elpulso se desplaza, cada elemento perturbado de la cuerda se desplaza en una dirección perpendicular ala dirección de propagación. Por lo tanto, una onda viajera o pulso que hace que los elementosdel medio perturbado se muevan perpendicularmente a la dirección de propagación sellama onda transversal.

Figura 2: Pulso transversal que se desplaza en una cuerda estirada. La dirección de movimiento deculquier elemento P de la cuerda (�echas azules) es perpendicular a la dirección de propagación(�echas rojas).

Asimismo, una onda viajera o pulso que hace que los elementos del medio perturbadose muevan paralelos a la dirección de propagación se llama onda longitudinal.

Figura 3: Pulso longitudinal a lo largo de un resorte estirado. El desplazamiento de las espiras esparalelo a la dirección de propagación (�echa roja).

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Algunas ondas en la naturaleza exhiben una conbinación de desplazamientos transversales ylongitudinales. Por ejemplo, las ondas en la super�cie del agua

Figura 4: El movimiento de elementos de agua sobre la super�cie del agua profunda en la que sepropaga una onda es una combinación de desplazamientos transversales y longitudinales, resultandoque los elementos de agua se mueven en trayectorias casi circulares desde su posición de equilibrio.

Otro ejemplo son las ondas sísmicas tridimensionales. Donde, las longitudinales se mueven conuna rapidez de entre 7 u 8 km/s, mientras que las transversales son de aproximadamente entre 4 a 5km/s. Al registrarse la diferencia entre la llegada de ambas ondas al sismógrafo se puede determinarla distancia del sismógrafo al punto donde se originó dicha onda, y por tanto, el epicentro de unsismo.

Consideremos un pulso que se desplaza a la derecha (ver Figura 5).

Figura 5: Pulso unidimensional que se desplaza a la derecha con rapidez v mostrado en dos instantesdistintos. La altura del pulso denotada por A representa su amplitud.

En t = 0, la forma del pulso está dada por y(x, 0) = f(x), función que describe la posicióntransversal y del elemento de la cuerda P, mientras que en un tiempo posterior t, su formapermanece sin cambio y la posición vertical de un elemento del medio en cualquier punto P estádada por y = f(x− vt). Por lo tanto, un elemento de la cuerda en x en este tiempo tiene la mismaposición y que un elemento situado en x− vt tenía en el tiempo t = 0. Es decir,

y(x, t) = y(x− vt, 0). (1)

3

En general, podemos representar la posición transversal y para todas las posiciones y tiemposcon la función de onda

y(x, t) = f(x− vt). (2)

Análogamente, si el pulso se desplaza a la izquierda, las posiciones transversales de los elementos dela cuerda están descritos por

y(x, t) = f(x+ vt). (3)

Ejemplo 1. Un pulso que se mueve a la derecha a lo largo del eje x, se representa por la funciónde onda

y(x, t) =2

(x− 3t)2 + 1, (4)

donde x y y se miden en centímetros y t se mide en segundos.a) Gra�que la función de onda en los tiempos t = 0s, t = 1s y t = 2s.b) Describa la función de onda

y(x, t) =2

(x+ 3t)2 + 1, (5)

c) Describa la función de onda

y(x, t) =4

(x+ 3t)2 + 1. (6)

! Las grá�cas que muestran las soluciones se muestran en la siguiente página ½

4

Figura 6: Respuesta al ejemplo 1a). Función de onda en diferente instante de tiempo.

Figura 7: Respuesta al ejemplo 1b) y 1c). Función de onda en diferente instante de tiempo.

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2. Ondas senoidales

Una onda senoidal es el ejemplo más simple de una onda períodica contínua y se usa generalmentepara construir ondas más complejas. Es importante distinguir entre el movimiento de los elementosdel medio y el movimiento de la onda. La onda se mueve a la derecha y los elementos del medio enmovimiento armónico simple a lo largo del eje y.

(a) (b)

T

T

Figura 8: a) Onda senoidal unidimensional que se mueve a la derecha con rapidez v, la curva colornaranja representa a la onda en t = 0 y la curva azul en un tiempo posterior t. b) λ es la distanciaentre crestas o valles adyacentes y se de�ne como la longitud de onda. Por lo tanto, el intervalonecesario para que la onda se desplace una longitud de onda se le llama período de la onda T y suunidad es el segundo.

El inverso del período es la frecuencia

f =1

T, (7)

que se interpreta como la frecuencia de la oscilación armónico simple de un elemento del medioy se mide en Hertz (Hz). Asimismo, se de�nen otros dos parámetros: el número de onda y lafrecuencia angular, los cuales se denotan respectivamente como,

k ≡ 2π

λy ω ≡ 2π

T. (8)

En base a la periodicidad de la función seno, y lo considerado en la Sección (1), una onda senoidalque se mueve a la derecha con rapidez v se representa como

y(x, t) = A sen

[2π

λ(x− vt)

]. (9)

Por lo tanto, utilizando los parámetros de�nidos en la Ec. (8), la ecuación de onda senoidal (9) seescribe en forma compacta como

y(x, t) = A sen(kx− ωt). (10)

Adicionalmente de las Ecs. (7) y (8) la rapidez de la onda se expresa como

v =ω

k= λf. (11)

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La función de onda representada por la Ec. (10) supone que la posición vertical de un elementodel medio es cero en x = 0 y t = 0. Sin embargo, si éste no es el caso, la función de onda másgeneral se expresa como

y(x, t) = A sen(kx− ωt+ ϕ). (12)

Donde ϕ es la constante de fase, determinada por las condiciones iniciales.

Ejemplo 2. Una onda senoidal que se mueve a lo largo del eje x en dirección positiva, tiene unaamplitud de 15cm, una longitud de onda de 40cm, y una frecuencia de 8Hz. Encuentre el númerode onda, el período, la frecuencia angular, la rapidez, la constante de fase y, una expresión generalpara la función de onda.

3. Ondas senoidales en cuerdas

Generemos una onda senoidal perturbando períodicamente una cuerda (ver Fig. 9). Aún cuandocada elemento de la cuerda oscila en la dirección y, la onda se desplaza en la dirección x, con unarapidez v. Se trata de una onda transversal.

Figura 9: El extremo izquierdo de la cuerda se conecta a una hoja que vibra a cierta frecuencia, detal forma que todo elemento (por ejemplo P) de la cuerda, oscila con movimiento armónico simple ala misma frecuencia que la hoja vibratoria.

Si la onda en t = 0 es como se describe en la Fig. 9(b), su función de onda se escribe como

y(x, t) = A sen(kx− ωt). (13)

Por lo tanto, la rapidez transversal vy (no confundir con la rapidez de la onda) y la aceleracióntransversal ay de cualquier elemento de la cuerda son

vy = dydt]x=constante = ∂y

∂t= −ωA cos(kx− ωt)

ay = dvydt

]x=constante = ∂vy∂t

= −ω2A sen(kx− ωt).

(14)

Los valores máximos de la rapidez y aceleración transversales son los valores absolutos de loscoe�cientes de las funciones seno y coseno, es decir,

vymáx= ωA y aymáx

= ω2A. (15)

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Los cuales se alcanzan en distintos momentos: vymáxse alcanza cuando y = 0 y aymáx

se alcanzacuando y = ±A.

Ejemplo 3. La cuerda que se muestra en la Figura (9) es perturbada a una frecuencia de 5Hz,tiene una amplitud de 12cm, y la rapidez de la onda generada es de 20m/s. Encuentre el número deonda, la frecuencia angular y, una expresión para la función de onda.

4. Rapidez de ondas en cuerdas

Consideraremos nuevamente un pulso que se mueve a la derecha con rapidez uniforme v. Analizare-mos el movimiento de un pequeño elemento de cuerda respecto a un marco de referencia en movimien-to, colocado sobre uno de los pulsos de la cuerda. Por lo tanto, el sistema de referencia esta fíjo, asíque son los distintos elementos de la cuerda los que se mueven, pero en dirección hacia la izquierdadel sistema de referencia. El elemento de cuerda tiene longitud ∆s (ver Figura (10a)), forma un arcoaproximado de radio R (ver ampli�cación en la Figura (10b)) que está sometido a tensiones de lacuerda T las cuales generan una fuerza neta radial Fr, que le producen una aceleración centrípetav2/R al elemento de cuerda.

Figura 10: a) Elemento de una cuerda estirada. b) Ampli�cación del elemento de cuerda y parámetrosfísicos que determinan su velocidad.

Las componentes horizontales de T se cancelan y cada componente vertical T sen θ actúa ra-dialmente hacia el centro del arco. Así, la fuerza radial total sobre el elemento es 2T sen θ. Además,sen θ ≈ θ debido a que θ es pequeño, por lo que

Fr = 2T sen θ ≈ 2Tθ. (16)

El elemento de cuerda tiene masa m = µ∆s, con µ la densidad lineal de masa (masa por unidadde longitud), forma un ángulo 2θ en el centro del círculo, por lo que ∆s = R(2θ). Así, obtenemos

m = µ∆s = 2µRθ. (17)

Aplicando la Segunda Ley de Newton al elemento de cuerda en la dirección radial, tenemos

Fr = ma =mv2

R=⇒ 2Tθ =

2µRθv2

R=⇒ v =

√T

µ. (18)

8

Ejemplo 4. Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.3kg y longitud de 6m (ver Figura (11)).La cuerda pasa sobre una polea y sostien un objeto de 2kg.a) Encuentre la rapidez de un pulso que viaje a lo largo de esta cuerda.b) Encuentre el tiempo que le toma a este pulso viajar de la pared a la polea.

Figura 11: La tensión de la cuerda es mantenida por el objeto suspendido.

Ejemplo 5. Un alpinista de 80kg está atrapado en la cornisa de una montaña después de unatormenta. Un elicóptero lo rescata al volar sobre él y bajar un cable. La masa del cable es de 8kg y sulongitud de 15m. Una silla de 70kg está unida al extremo del cable. El alpinista se amarra a la sillay entonces el elicóptero acelera hacia arriba. Aterrado por colgar del cable en la altura, el alpinistatrata de hacer señas al piloto enviándole pulsos transversales por el cable. Un pulso tarda 0.25s pararecorrer el largo del cable.a) ¾Cuál es la aceleración del elicóptero?

Respuesta: v = 60m/s, T = 1.92× 103N, a = 3m/s2.

5. Rapidez de transferencia de energía por ondas senoidales

en cuerdas

Figura 12: a) Pulso que se desplaza a la derecha en una cuerda estirada que tiene un objeto sus-pendido. b) Se transmite energía al objeto suspendido cuando llega el pulso.

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Consideremos una onda senoidal que viaja a lo largo del eje x en una cuerda estirada.

Figura 13: Un agente externo genera trabajo sobre su extremo, moviéndola hacia arriba y hacia abajocon movimiento armónico simple, por lo que cada elemento de la cuerda ∆m, se mueve verticalmentey tiene la misma energía total.

Concentremos nuestra atención en un elemento de longitud ∆x y masa ∆m. Entonces la energíacinética de este elemento es

∆K =1

2(∆m)v2y , (19)

donde vy es la rapidez transversal del elemento.Si µ, es la masa por unidad de longitud, entonces la masa ∆m del elemento de longitud ∆x es

igual a µ∆x. Por lo que

∆K =1

2(µ∆x)v2y . (20)

En el límite en que el elemento de cuerda se hace in�nitesimalmente pequeño, la relación anteriorse convierte en una ecuación diferencial

dK =1

2(µdx)v2y . (21)

La cual después de sustituir la rapidez transversal vy = −ωA cos(kx− ωt), se convierte en

dK =1

2µ[−ωA cos(kx− ωt)]2dx =

1

2µω2A2 cos2(kx− ωt)dx. (22)

Considerando la onda en el instante de tiempo t = 0, la energía cinética de dicho elemento es

dK =1

2µω2A2 cos2(kx)dx. (23)

Integrando sobre todos los elementos presentes a lo largo de una longitud de onda, obtenemos laenergía cinética total Kλ, en una longitud de onda

Kλ =

∫dK =

∫ λ

0

[1

2µω2A2 cos2(kx)

]dx =

1

4µω2A2λ, (24)

donde hemos utilizado el resultado∫cos2(ax)dx =

x

2+

sen(2ax)

4a, debido a la identidad

1

2[1 + cos(2x)] = cos2 x. (25)

Además de esta energía cinética, cada elemento de la cuerda tiene energía potencial asociada a sudesplazamiento desde su posición de equilibrio, debido a las fuerzas restauradoras de los elementos

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vecinos. Sabemos que la energía potencial elástica asociada a una partícula de masa ∆m, que semueve con movimiento armónico simple es

∆U =1

2κy2, (26)

donde, κ es la constante de elasticidad. Además, como la fuerza para este movimiento armónicosimple es restitutiva,

Felástica = (∆m)a = −κy y y = A sen(kx− ωt), (27)

se tiene después de aplicar la segunda ley de Newton que

Felástica = (∆m)a = (∆m)d2

dt2y = −κy. (28)

Donde al calcular por separado la segunda derivada de y,

d2y

dt2= −Aω2 sen(kx− ωt), (29)

y sustituir en la Ec. (28) se tiene que

(∆m)[−Aω2 sen(kx− ωt)

]= −κ[A sen(kx− ωt)], (30)

de donde al cancelar términos(∆m)ω2 = κ. (31)

Finalmente, la energía potencial de la Ec. (26) es

∆U =1

2(∆m)ω2y2. (32)

Sustituyendo en la Ec. (32) ∆m = µ∆x,

∆U =1

2(µ∆x)ω2y2, (33)

de donde obtenemos la ecuación diferencial

dU =1

2(µdx)ω2y2, (34)

que al sustituir y dada en la Ec. (27) se tiene

dU =1

2µω2A2 sen2(kx− ωt)dx. (35)

Tomando el instante de tiempo t = 0 obtenemos la energía potencial en una longitud de onda

Uλ =

∫ λ

0

[1

2µω2A2 sen2(kx)

]dx =

1

4µω2A2λ. (36)

Donde hemos utilizado la validez de la identidad 12[1− cos(2x)] = sen2 x.

Finalmente de las Ecs. (24) y (36), la energía total en una longitud de onda es

Eλ = Kλ + Uλ =1

2µω2A2λ. (37)

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Esta cantidad de energía pasa por un punto dado en la cuerda durante un periodo de oscilación, talque, la potencia (medida en Watts (W)) o rapidez con que se trans�ere energía es:

P =∆E

∆t=

Eλ

T=

1

2µω2A2 λ

T=

1

2µω2A2v. (38)

Lo cual muestra que, la rapidez con que se trans�ere energía de una onda senoidal en una cuerda esporporcional a la densidad lineal de masa, la rapidez con que se propaga la onda, el cuadrado de suamplitud y el cuadrado de su frecuencia angular.

Ejemplo 6. Una cuerda tensa para la que la densidad lineal de masa es µ = 5× 10−2kg/m estábajo tensión de T = 80N.a) ¾ Cuánta potencia debe suministrarse para generar ondas senoidales a una frecuencia de f = 60Hzy una amplitud de A = 6cm ?b) Si la cuerda debe transferir energía a razón de 1000W. ¾ Cuál debe ser la amplitud si todos losdemás parámetros permanecen iguales?

6. La ecuación lineal de onda

Toda función de onda y(x, t) es solución de una ecuación llamada ecuación lineal de onda.Describe completamente el movimiento de una onda y es básica para muchas formas de movimientoondulatorio. Derivaremos esta ecuación cuando se aplica a ondas que se propagan en cuerdas sujetasa una tensión T , para lo cual consideramos un pequeño elemento de cuerda de longitud ∆x mostradoen la Figura (14)

Figura 14: Elemento (longitud ∆x) de una cuerda bajo tensión T .

Los extremos del elemento de cuerda forman ángulos θA y θB con el eje xla fuerza neta queactúa sobre el elemento en la dirección vertica y es

ΣFy = T sen θB − T sen θA = T (sen θB − sen θA). (39)

Como los ángulos son pequeños sen θ ≈ tan θ

ΣFy ≈ T (tan θB − tan θA). (40)

Suponiendo que el elemento de cuerda sufre un desplazamiento in�nitesimal dxi+dyj, entonces latangente del ángulo respecto al eje x es dy/dx. Como se evalúa la tengente en un instante particularde tiempo t, tomamos la derivada parcial para cada tangente, de tal forma que

ΣFy ≈ T

[(∂y

∂x

)B

−(∂y

∂x

)A

]. (41)

12

Ahora aplicando la segunda ley de Newton al elemento, con masa m = µ∆x:

ΣFy = may = µ∆x

(∂2y

∂t2

)(42)

y combinando las Ecs. (45) y (41)

µ∆x

(∂2y

∂t2

)= T

[(∂y

∂x

)B

−(∂y

∂x

)A

]=⇒ µ

T

(∂2y

∂t2

)=

[(∂y∂x

)B−(∂y∂x

)A

]∆x

. (43)

El lado derecho de la segunda ecuación de (43) se puede expresar diferentemente si observamosque la derivada parcial de cualquier función se de�ne como

∂f

∂x= lım

x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x. (44)

Asociando f(x+∆x) con(∂y∂x

)By f(x) con

(∂y∂x

)A, vemos que en el límite cuando ∆x → 0, la

Ec. (43) se convierte enµ

T

∂2y

∂t2=

∂2y

∂x2, (45)

que es la ecuación lineal de onda en una cuerda. De donde, con el resultado v =√

Tµ, nos permite

una forma alterna de dicha ecuación∂2y

∂x2=

1

v2∂2y

∂t2. (46)

La ecuación de onda que acabamos de deducir es consecuencia directa de la segunda ley deNewton aplicada a cualquier elemento de una cuerda que transporte una onda. Asimismo, describecorrectamente (matemáticamente hablando) otros tipos de ondas, tales como ondas de sonido y ondaselectromagnéticas.

Tarea No.1 (Entregar el jueves 2 de septiembre de 2010 ). Resolver los ejercicios: 3, 13, 34, 44,45, y 46 del �nal del capítulo 16 de la referencia[1].

Referencias

[1] R.A. Serway y J.W. Jewett Jr., Física Para Ciencias e Ingeniería, Vol. 2, Cáp. 16, 6a. Ed.(Thomson, México, 2005).

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