Transcript of Modulo iii
- 1. Universidad Pedaggica de El Salvador Facultad de Educacin
Escuela de Ciencias Naturales y ExactasAsignatura: Bases para el
estudio de las Ciencias NaturalesUnidad 3Matemtica: Lenguaje y
herramienta de las Ciencias NaturalesDocente: Lic. Juan Carlos Prez
MajanoPara Profesorado y Licenciatura en Ciencias Naturales
- 2. 1.1 Fracciones AlgebraicaUna fraccin algebraica es una
expresin fraccionaria en la que el numeradory denominador son
polinomios; o son expresiones literales que representanel cociente
entre dos expresiones algebraicas y se representa con la
siguienteformula general:Se operan del mismo modo que las
fracciones ordinarias. Son frecuentes loserrores de signos y los
errores en el uso incorrecto de parntesis.Suma y resta: la suma y
la resta de fracciones algebraicas es semejante a lade fracciones
aritmticas. Empezaremos tratando la suma y resta defracciones
algebraicas con denominadores iguales y, luego, extenderemos
elanlisis a la suma y resta de fracciones algebraicas con
denominadoresdistintos.Veamos: Dos formas de realizar adicin puede
ser en denominadores igualesy diferentes:Esto muestra que la suma
de dos fracciones con el mismo denominador esuna fraccin cuyo
numerador es la suma de los denominadores, y cuyodenominador es el
denominador comn.Ejemplo:Ejemplo=Sacar el m.c.d
- 3. Multiplicacin de fracciones: el producto de las fracciones;
se definede la siguiente manera ; es as que el producto de dos
facciones esuna fraccin cuyo numerador es el producto de los
numeradores, y cuyodenominador lo es de los denominadores.Ejemplo:
Encontrar el productoDivisin de fracciones: de la divisin de
fracciones tenemos queel resultado anterior muestra como
transformar la divisin de fracciones enuna multiplicacin.Ejemplo:
simplificar
- 4. 1.2 Exponentes y radicalesCuando se tiene 2 . 2 . 2 . 2,
esto es, cuatro factores de 2, se emplea lanotacin 24, la cual se
lee, dos a la potencia de cuatro, o bien dos a lacuarta
potencia.Del mismo modo, a . a . a . a . a = a5 significa cinco
factores de a. El numero ase llama base y el 5, exponente. Cuando
no hay este ultimo, como en x, sesupone siempre x a la potencia
1.Ntese la diferencia entre:Obsrvese tambin que mientras que 2a3 =
2(a . a . a) (2a)3 = (2a) (2a)(2a) = (2 . 2 . 2)(a. a . a) = 23a3 =
8a3Ejemplos: 1. 7a.a.a.a = 7a4 2. (-3)(-3)(-3)(-3) = -(-3)4Las
reglas de los exponentes basados en teoremas: 1. 2.
- 5. 3. 4.(mayor que) 4.1 4.2 (menor que) 5.Exponente cero y
exponente negativo:a m-n = 1, o bien a0=1Por consiguiente, se
define que si Cuando a = 0, se tiene 00, locual es indeterminado.De
acuerdo a esta definicin, puede demostrarse que los
teoremasanteriores para exponentes son validos cuando se presenta
un exponentecero.Ejemplo: 1. 20=1 2. (-20)0=1 3.
(a2b3)0=1Exponentes fraccionarios positivos: para los exponentes
fraccionariospositivos, se debe tener la siguiente
definicin:Radicales: la raz n-sima de un numero real a se denota
por el smbolo,el cual se llama radical. La raz n-sima de a es un
numero cuya potencia n-sima es a; esto es,
- 6. 1. 2.El numero natural n presente en el radicalse llama
ndice u orden delradical, y a se denomina radicando. Cuando no se
escribe ningn ndice,como en , se sobrentiende que el ndice es 2 y
se lee raz cuadrada de a.Si el ndice es 3, como en, se lee raz
cubica de a.Ejemplo: 1. 2. 3. 4.Cuando se tiene de la formasiempre
queEjemplo: 1. 2. 3.Cuando el valor de un radical es un nmero
racional, se dice que es una razperfecta. Puesto que, un radical es
raz perfecta si el radicandose puede expresar como un producto de
factores, cada uno de los cuales conun exponente que sea un mltiplo
entero del ndice del radical.Ejemplo: 1.2.
- 7. 1.3 Ecuaciones y DesigualdadesPara resolver ecuaciones de
primer grado o lineales con una variable, esdecir, para resolver
cualquier ecuacin que se pueda escribir de la forma:Donde a y b son
constantes reales y x es una variable. El conjunto desolucinpara
una ecuacin se define como el conjunto de elementospertenecientes
al conjunto de las sustituciones que hacen de la ecuacin
unaproposicin verdadera. Cualquier elemento del conjunto de
soluciones sedenomina solucin o raz de la ecuacin. Resolver una
ecuacin es encontrarel conjunto de solucin para esta.Ejemplo cual
es el conjunto de solucin para la ecuacin: lasolucin es
{2,-2}.Ejemplo 1: ResulvaseEl conjunto solucin para esta ltima
ecuacin es obvio. Conjunto solucin{4}.Comprobacin:
- 8. Se llama conjunto solucin de una desigualdad al conjunto
formado poraquellos nmeros reales que hacen verdadera la
desigualdad.Existen casos de desigualdades como lineales y
cuadrticas a continuacinveremos algunos ejemplos.Ejemplo de
desigualdad lineal: Encontrar el conjunto solucin deEjemplo de
desigualdad cuadrtica: Encontrar el conjunto solucin deEste es un
binomio al cuadrado de la forma:Se multiplica por por que todos los
trminos son divisibles entre dos.Cuando X va ser igual a cero; x=2
y X=-1 y verificamos que se cumple lapropiedad.
- 9. 1.4 Funciones LogartmicasEn general se define la funcin
logartmica de base b como la inversa de lafuncin exponencial con
baseEl logaritmo de base b de x es la potencia a la cual debe
elevarse b paraobtener x. 1. De las formas algortmicas a las
exponenciales y viceversaEjemplos: Por definicin de logaritmo para
despejar x tenemosque bajarla del exponente esto se logra aplicando
logaritmo a ambos ladosde la ecuacin entonces tenemos:; despejando
,utilizando la calculadora aplicamos log 8 entre log 2 dar como
resultado 3.EntoncesPropiedades de las funciones logartmicas:Si b,
M, y N son nmeros reales positivos, b 1 y p es un nmero
real,entonces: 1. 2. 3. 4. 5.
- 10. Ejemplos de las propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
- 11. 1.5 Binomio de newtonEl binomio de Newton es la frmula que
nos permite elevar a cualquierpotencia de exponente natural, n, un
binomio. O sea la forma de obtener, entonces la respuesta es la
siguiente:Para ello veamos como se van desarrollando las potencias
de.El cuadrado de una sumao el cuadrado de una resta sonslo los
casos ms sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia.Para
estos casos, son conocidas las frmulas "el cuadrado del primero ms
(omenos) el doble del primero por el segundo ms el cuadrado del
segundo",es decir:Si generalizamos esto para cualquier exponente n,
tenemos lo que se conocecomo "Binomio de Newton".Precisamente los
coeficientes son los nmeros de la fila ensima delTringulo de
Tartaglia:
- 12. Ejemplo:
- 13. 1.6 Par ordenado y producto cartesianoPar ordenado: En un
sistema de coordenadas cartesianas, dos rectasnumricas
perpendiculares, llamadas de ejes, se intercambia se intersectanen
un punto llamado origen. El eje horizontal se llama eje de x y el
ejevertical, eje de y. Estos dos ejes permiten nombrar cada punto
por medio deun par ordenado de nmeros llamados coordenadas del
punto.Las coordenadas del origen son . Las coordenadas del punto
sony las coordenadas del punto son. Ladelpunto es 3 y ladel punto
es -4.Ejemplo:Dar las coordenadas de los puntos A, B y C.
- 14. Ejercicio 1En el papel milimetrado representar de acuerdo a
la grafica las coordenadasde los puntos D, E, F, G, K, J y
I.Ejercicio 2En el papel milimetrado representar los puntos
.Ejercicio 3
- 15. Producto cartesiano: una pareja ordenada con primer
elemento y segundoelemento la denotamos por. El producto cartesiano
de dos conjuntoses el conjunto de todas las parejas ordenadas que
tiene su primerelemento en y su segundo elemento ; es decir:Donde
la igualdad entre parejas se define como:Observaciones: 1. En
general, Por ejemplo,ya que 2. La igualdad se cumple solo si 3. 4.
En general,Ejemplo: 1. Encontrar 2. Describir el conjunto
- 16. Ejercicios: 1. Si, localizar en el plano cartesiano
loselementos del producto 2. Si, encuentra: a. b. 3. Localiza en el
plano los elementos de los conjuntos que se indican,tomando en
cuenta que:1.7 Relaciones y funcionesSe llama relacin del
conjuntoen el conjunto, a todo subconjunto delproducto cartesiano
.Ejemplo: Para los conjuntosRelaciones de A en B son:1.2.3.
Dominio: es el conjunto de las primeras componentes de una relacin
R se llama DOMINIO de R.
- 17. Recorrido: es el conjunto de las segundas componentes de R
se llamaRECORRIDO o rango de R.Si la relacin R es un subconjunto
del producto cartesiano A x A entonces sedice que R es una relacin
en A.Ejemplo:Dado el conjunto de los nmeros dgitos,. Encontrar
elDominio, Recorrido y graficar la relacin.Se le llama funcin a
toda relacin que cumple con la condicin de que: acada valor x del
dominio le hace corresponder un solo valor y delrecorrido.La
notacin que se emplea para designar las funciones es la
siguiente:En este caso y.A la igualdadse le llama ley de asignacin.
E indica la manera enque estn ligadas la variable independiente y
dependiente.Ejemplo:Una funcin como se expresa massencillamente
escribiendo nicamente su ley de asignacin. Lo cual puedehacerse de
las dos maneras siguientes:
- 18. Ejemplo: De la funcin sacar raz cuadradaDad la funcin ,
encontrar:Dominio: se llama dominio de una funcin al conjunto de
todos los valoresque puede tomar la variable
independiente:Recorrido: se llama recorrido o rango de una funcin
al conjunto de todos losvalores que toma la variable
dependiente.Nota: cuando no se indique otra cosa deberemos entender
que el dominioestar constituido por el conjunto mas amplio para el
cual la ley deasignacin , tenga sentido.Ejemplo: determinar el
dominio y el recorrido de la funcin.1.8 Funciones algebraicasPara
la funcin polinmica ; sellama polinmica o polinomial de grado n, si
los coeficientesson nmeros reales y los exponentes de la variable
x, son enteros nonegativos.Ejemplo 1: , es una funcin polinomial de
grado 5.La funcin polinomial da origen, de acuerdo a su grado, a
varias funcionesespeciales. 1. Si el grado de una funcin polinomial
es cero, entonces a la funcin sele llama constante y es de la
forma
- 19. Ejemplo 2:Graficar la funcin constanteEl dominio de esta
funcin constante es R y el recorrido es {4}. 2. Si el grado de una
funcin polinomial es uno, entonces a la funcin sele llama funcin
lineal y es de la formaEjemplo 3:Graficar la funcin lineal 3. Si el
grado de la funcin polinomial es dos, entonces se conoce con
elnombre de funcin cuadrtica y es de la formaEjemplo 4:Graficar la
funcin cuadrtica 4. Si el grado de la funcin polinomial es tres,
entonces se conoce con elnombre de funcin cubica y es de la
forma.Ejemplo 5:Graficar la funcin cubica 1.9 Funciones InversasLa
operacin inversa de la suma es la resta, de la multiplicacin es la
divisin;mientras que la operacin inversa de la elevacin a potencias
es la extraccinde races. En suma, lo que una operacin hace, su
operacin inversa lodeshace.
- 20. De la misma manera, la funcin inversa de , la cual se
denota como , esaquella funcin que deshace todo lo que hace.Ejemplo
1:La funcin . A partir de la x del dominio hace lo siguiente:Paso
1. Multiplica por 3 3xPaso 2. Suma 4Entonces la funcion inversa se
obtiene invirtiendo el orden de lospasos yempleando en cada caso no
la operacin original, si no que su inversa, asPaso 1. Resta 4Paso
2: divide entre 3Por lo tantoDebemos tener en cuenta que si la
funcion va dehacia , entonces lafuncion inversaviene de hacia .Una
manera mas practica de obtener la funcion inversa es la siguiente:
1. Se verifica que sea uno a uno (que dos elementos del dominio
nodeben tener la misma imagen) 2. Se sustituye por 3. Se
despejaEjemplo 2. Encontrar la iversa de la funcion 1. Se sustituye
x por (x) y f(x) por x 2. Se despeja
- 21. 1.10 Funciones TranscendentesLas funciones que se vieron
anteriormente han sido algebraicas; por que sedefinen haciendo uso
de variables y de las operaciones de suma, resta,multiplicacin,
divisin, elevacin a potencias y extraccin de races; porejemplo .Se
llaman funciones transcendentes las que no pueden ser
definidassolamente en base a operaciones algebraicas. Las
principales funcionestranscendentes son: exponenciales, logartmicas
y trigonomtricas. 1.10.1 Funciones ExponencialLa funcin exponencial
describe crecimiento o decrecimientos acelerados ytiene mltiples
aplicaciones en campos tan diversos como biologa, qumica,economa,
fsica, demografa, etc.Supongamos que un bilogo se encuentra
analizando un cultivo de 100bacterias y que el numero de estas se
duplica cada 24 horas. De tal maneraque el segundo da habr 2(100)
bacterias, el tercero 22(100),, y assucesivamente el n-simo da habr
2n-1(100) bacterias; pero como el numerode bacterias no se duplica
de manera brusca, cada 24 horas, si no que crececada hora, minuto o
segundo, entonces una mejor manera de escribir elnumero de
bacterias que habr despus de transcurrir un periodo x detiempo es
2x (100).La funcin, se llama funcin exponencialde base a.Ejemplos
de funciones exponenciales: 1. 2.
- 22. 3.La base debe de ser positiva; pero diferente de
uno.Ejemplo: 1. Graficar la funcin exponencial .Se trata de una
funcin exponencial d base 2.Ejercicio 1:Graficar la funcin
exponencialEjercicio 2:Base 10El sistema de numeracin que nosotros
utilizamos en la vida cotidiana es elque tiene como base el numero
10.La funcin exponencial de base diez esEjercicio 3: Base eUn nmero
que frecuentemente sirve de base en el caso de
funcionesexponenciales, es el que se reconoce como numero e y cuyo
valor esaproximadamente igual a 2.7182818.El numero e es irracional
transcendente. Es un nmero tan importante comoel nmero, aparece en
mltiples aplicaciones matemticas.Es tan importante esta base que
incluso tiene asignada una tecla en lascalculadoras de bolsillo. La
funcin exponencial en este caso es.
- 23. 1.10.2 Funciones LogartmicasActualmente la utilidad de los
logaritmos es otra, puesto que ahora losclculos se simplifican
haciendo uso de calculadoras de bolsillo.El creador de los
logaritmos fue el religiosos escoces John Napier, que nacien el
siglo 16.Recordando de la forma exponencial y
logartmica:Ejemplo:Como la funcin exponencial .Ejemplo:Graficar la
funcin logartmica de 1.10.3 Funciones Trigonomtricas. Solucin de
tringulosConsideremos un triangulo rectnguloLos lados que forman el
ngulo recto se llaman catetos. El otro lado, que esel opuesto al
ngulo recto, se llama hipotensa.
- 24. El siguiente teorema relaciona a los lados de un triangulo
rectngulo.En un triangulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa c
es igual a la sumade los cuadrados de los catetos a y b.Teorema de
PitgorasAs en el tringulo de la figura de la figura tendremos:De
donde podemos obtener:Ejemplo 1:Si los catetos de un triangulo
rectngulo miden 7 y 6 centmetros, calcular lalongitud de la
hipotenusa.Ejercicio 1:Si la hipotenusa de un triangulo rectngulo
mide 5m y un cateto mide 3m,Cul es la longitud del otro
cateto?
- 25. Funciones trigonomtrica para un ngulo cualquieraPara
definir las funciones trigonomtricas nos referimos a la siguiente
figura.En el cual observamos el triangulo
rectngulopdDonde0Definicin:Sea el un ngulo colocado en posicin
normal y seaun puntocualquiera, distinto del origen 0, que este
ubicado sobre el lado terminal de .Siendola distancia (positiva)
desde 0 hasta , entonces las funcionestrigonomtricas seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecantedel ngulo , denotadas
porrespectivamente se definen as:
- 26. Ejemplo 2:Calcular las funciones trigonomtricas del
ngulocolocado en posicinnormal, cuyo lado terminal pasa por el
punto .Ejercicio 2:Calcular las funciones trigonomtricas del
ngulocolocado en posicinnormal, cuyo lado terminal pasa por el
puntoFunciones trigonomtrica de un ngulo agudoPodemos usar
tringulos rectngulos para calcular las funcionestrigonomtricas de
sus ngulos agudos. Lo que hacemos es asociar los ladosdel triangulo
a las cantidades x, y, d de la definicin anterior, como se explicaa
continuacin.Para
- 27. Sea un ngulo positivo, agudo, colocado en posicin
normal.Entonces cae en el primer cuadrante, y al adoptar la
simbologa de la figuraanterior, las funciones trigonomtricas pueden
obtenerse as:Ejemplo 3:Encontrar los valores de las funciones
trigonomtricas delngulodeltriangulo rectngulo mostrado en la
figura. a = 10cm90b = 5cmcEjercicio 3:Encontrar los valores de las
funciones trigonomtricas del ngulo deltriangulo rectngulo mostrado
en la figura anterior. a = 10cm 90b = 5cmc
- 28. Bibliografa: 1. O Daffer, Introduccin al algebra, primera
edicin, 1998, por PrenticeHall, impreso en Mxico. 2. A. Barnett
Raymond, Algebra y trigonometra, tercera edicin, 1988,por Mc Graw
Hill, impreso en Mxico. 3. H. Carrillo Lam, Algebra, segunda
edicin, 2003, por PearsonEducacin, impreso en Mxico. 4. G. Alonso,
Algebra elemental, primera edicin, 1990, por GrupoEditorial
Iberoamericana. Impreso en Mxico. 5. L. Ral, Matemtica: Primer ao
de bachillerato, 2004, por TalleresGrficos UCA. 6. M. Willian, N.
Gloria Galo, Matemtica bsica Pre-Universitaria, 2001,por talleres
Grficos UCA.