Post on 13-Jun-2015
Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación en Flotación
Mario A. GuevaraDepartamento de MetalurgiaUniversidad de Atacama
Noviembre de 2001.
Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Objetivos
Conocer y representar mediante ecuaciones el fenómeno de flotación
Evaluar los parámetros de los modelos
Simular el proceso
Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Temario
Conceptualización del sistema
Modelación flotación semibatch
Funciones de distribución continua
Funciones de distribución discreta
Evaluación de parámetros
Modelación contínua
Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Conceptualización del sistema de flotación
Partículas
libres
Partículas
unidas a
burbujas
Partículas
unidas a
burbujas
Partículas
libres
Esp
uma
Pul
pa
Alimentación Aire Relave
Concentrado Aire
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Modelación de la Flotación
Conceptualización del sistema de flotación
Tres son los enfoques
Existencia de cuatro fases Una de partículas libres en la pulpa Partículas adheridas a burbujas en la pulpa Partículas libres en la espuma Partículas adheridas a burbujas en la espuma
Dos fases Una de pulpa Otra de espuma
Enfoque cinético
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Modelación de la Flotación
Enfoque cinético
Se considera que el evento de flotación ocurre análogo a una reacción química.
+
nC(t)K dt
dC(t)
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Planteando el modelo en términos del componente residual en la celda
M(t)K dt
dM(t)
donde:
M(t) = masa residual del componente en un tiempo t=t
M0 = masa residual del componente para t=0
Integrando:
t
0
M(t)
MdtK
M(t)
dM(t)
0
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Resulta:
tK-
0
e MM(t)
F(t)
F(t)
t
1
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Primer problema: La evidencia experimental muestra que, aún cuando el tiempo tienda a
infinito, siempre existe una fracción de componente que no es flotable.
0
0
M
m R
donde:
m0 = masa residual flotable del componente en un tiempo t=0
M0 = masa residual del componente para t=0
Solución: Se define un parámetro R, que representa la fracción de masa flotable
del componente de la mena (recuperación máxima obtenible)
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Aplicando el modelo ahora para el componente flotable remanente en la celda, m(t), queda:
tK-
0
e mm(t)
f(t)
f(t)ln
[min]t 100
10-1
10-2
10-3
t1 t2 t3 t4
K = 1,0
K = 0,5
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
En flotación, la variable habitual que se utiliza es la recuperación, R, por lo tanto:
0
0
0
0
Mm(t) - m
M
M(t) - M
inicial masarecuperada masa
R
como:
se obtiene
tke1R R
Rm
M 00
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos problemas más en el modelo derivado:
f(t)ln
t1
2
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos problemas más en el modelo derivado:
Si bien los valores tienden a representar un comportamiento lineal, la curva no tiende a f(t) = 1 en t=0.
Esto se debe a que es difícil determinar el tiempo cero real de la experiencia
Solución
Se agrega un nuevo parámetro , que permite obtener el tiempo real
) -t (K-
0
e mm(t)
f(t)
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch Tercer problema
Para tiempos grandes, la pendiente varía haciéndose cada vez menos negativa, especialmente para f(t) < 0,1.
Esto es debido al parámetro K, y puede deberse a dos factores
Que K es función del tiempo
Que K está estadísticamente distribuído
Intuitivamente, es más razonable que K esté estadísticamente distribuído
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch Se define como especie a todas aquellas partículas que tienen la misma velocidad de flotación
Este concepto agrupa la partícula misma como el medio ambiente, tanto químico como hidrodinámico.
Este concepto está basado en la respuesta de la mena frente a la flotación y no a las características de las partículas como individuos.
O sea, dos especies serán iguales si tienen la misma velocidad de flotación
Por lo tanto, cada mena en particular se caracterizará por una distribución inicial de especies que irá cambiando a medida de transcurra la flotación
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución
(t)
pp p+dp
.dx(x)b)XP(a3.
.1dx(x)2.
R.xtodopara0(x)1.
adprobabilid de contínuaFunción
b
a
(t)
pp1 p2 p3
1
3
2
.(x)x)P(X3.
.1(x)2.
0.(x)1.
adprobabilid de discretaFunción
x
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Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Estas funciones representan la probabilidad o frecuencia con que se presenta una cierta propiedad p.
(p)dp representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la propiedad p, en el intervalo diferencial p a p+dp, en forma contínua.
j, representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la propiedad pj en forma discreta.
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
Ψ(t)f(t)
t
f(0)
k
k
f(t1)
f(t2)
f(t3)
f(t4)t1
t2
t3
t4
k + dk
max
min
k
k
dkt)Ψ(k,f(t) f(t)
remanentefracción -.dk t)Ψ(k,f(t)
frecuencia -. dk t)Ψ(k,
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
La ecuación fundamental de modelación de flotación para una distrubución contínua de velocidades es, entonces:
max
min
k
k
dkt)Ψ(k,f(t) f(t)
el problema para resolverla es que la función distribución, (k,t), depende del tiempo
La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación sigue una cinética de primer orden, por lo tanto:
t)Ψ(k,f(t)k- t)Ψ(k,f(t)dtd
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
reordenando
y resolviendo para:
dtk-
t)Ψ(k,f(t)t)Ψ(k,f(t)d
t)Ψ(k,f(t)t)Ψ(k,f(t) t t
Ψ(k,0)Ψ(k,0)f(0)t)Ψ(k,f(t) 0t
tenemos:
t-keΨ(k,0) t)Ψ(k,f(t)
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene:
esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de velocidades inicial, (k,0), para el mineral.
max
min
k
k
tk- dkeΨ(k,0) f(t)
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
(k,0)
k
Rectangular simple (k,0)
k
Rectangular doble
(k,0)
k
Triangular (k,0)
k
Triangular invertida simple
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
(k,0)
k
(k,0)
k
Triangular invertida doble
(k,0)
k
Gamma simple (k,0)
k
Gamma doble
Triangular invertida simple
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
(k,0)
kqxkm
Rectangular simple
km
Ejemplo
Encontrar la función distribución si la distribución de velocidades iniciales corresponde a una función rectangular simple
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
Solución
para esta ecuación, existen dos casos particulares cuando q toma los valores de cero y uno, y se obtiene:
tktkq
m
mm e etkq)(1
1 f(t)
tk
tk
m
m
m
e f(t)
1 q si
e 1tk
1 f(t)
0 q si
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
(t)F(t)
t
1
k
t1
t2
t3
n
1jj
j
j
F(t)t)(k,Φ F(t)
remanentefracción -. F(t)t)(k,Φ
frecuencia -. t)(k,Φ
k1
2
k2
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
La ecuación fundamental de modelación de flotación para una distribución discreta de velocidades es, entonces:
n
1jj F(t)t)(k, F(t)
el problema para resolverla es que la función distribución, (k,t), depende del tiempo
La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación sigue una cinética de primer orden, por lo tanto:
F(t)t)(k,k- F(t)t)(k,dtd
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
reordenando
y resolviendo para:
dtk-
F(t)t)(k,F(t)t)(k,d
F(t)t)(k,F(t)t)(k, t t
(k,0)F(0)(k,0)F(t)t)(k, 0t
tenemos:
t-ke(k,0) F(t)t)(k,
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene:
esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de velocidades inicial, (k,0), para el mineral.
n
1j
tk-j
je(k,0)Φ F(t)
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Modelación de la Flotación
Modelo de García-Zúñiga
(t)F(t)
t
k
t1
t2
t3 tk
2
2
1
1
tk2
tk1
eΦ)-(1 Φ F(t)
:tenemos
k k
Φ-1 Φ
0 k
Φ Φ
:haciendo
eΦ eΦ F(t)
flota no que otray flota que una flotables,
especies dos de existencia la Propone
21
k=0
1-k=k
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Modelación de la Flotación
Modelo de Kelsall
(t)F(t)
t
k
t1
t2
t3
ks
1-kf
eΦ)-(1 eΦ F(t)
:tenemos
k k
Φ-1 Φ
k k
Φ Φ
:haciendo
eΦ eΦ F(t)
rápido flota que otray lenyo flota que una
flotables, especies dos de existencia la Propone
tktk
f2
2
s1
1
tk2
tk1
fs
21
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Modelación de la Flotación
Modelo de Jowett
(t)F(t)
t
1
k
t1
t2
t3
ks
1-1-2
kf
tk21
tk21
f3
213
s2
22
1
11
tk3
tk2
tk1
fs
321
e)-Φ-(1 eΦ F(t)
:tenemos
k k
-Φ-1 Φ
k k
Φ Φ
0 k
Φ Φ
:haciendo
eΦ eΦ eΦ F(t)
rápido flota
que otray lento flota que unaflota, no que una
flotables, especies tresde existencia la Propone
2
k=0
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Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta Observaciones:
F(t), corresponde al sólido remanente en la celda
En términos de la recuperación, se debe utilizar la relación:
F(t)-1 R(t)
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Evaluación de parámetrosModelo de García-Zúñiga
R
t
R
tke1R R
R
R - 1ln
t
tk R
R 1ln
k
Método gráfico
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Modelación de la Flotación
Evaluación de parámetrosModelo de Kelsall
F(t)
t
t
Método gráficotktk fs eΦ)-(1 eΦ F(t)
tkseΦ F(t)
:largos tiempospara
ks
tk - Φ-1ln eΦ - F(t)ln ftks
ln[1-]
kf
tkseΦ - F(t)ln
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Modelación de la Flotación
Modelación de la flotación contínua
La diferencia fundamental entre un sistema discreto y uno continuo se refiere al mecanismo de transporte de masa a través de la unidad
En un sistema semibatch, las partículas permanecen un mismo tiempo dentro de la celda
En una operación continua, la partículas muestran una distribución de tiempos de residencia
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Modelación de la Flotación
Modelación de la flotación contínua
La metodología consiste en evaluar la función distribución de tiempos de residencia en una celda contínua y ponderarla de acuerdo al modelo semibatch.
0 0
tk
0
BATCH
dtE(t)dkeΨ(k,0) f(t)
dtE(t)f(t) f(t)
ó
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Modelación de la Flotación
Distribución de tiempos de residencia
Para caracterizar el transporte de masa a través de un reactor se han planteado dos tipos de reactores ideales:
Flujo pistón La alimentación se desplaza dentro del reactor sin mezcla axial y
con mezcla perfecta en dirección radial las partículas tienen un mismo tiempo de residencia
Mezcla perfecta El flujo de alimentación se dispersa homogenea e
instantáneamente en todo el volumen de reactor Las partículas tienen tiempos de residencia distintos
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Modelación de la Flotación
Mezcla perfecta
La distribución de tiempo de residencia para la mezcla perfecta tiene la expresión:
tt
et1
E(t)
donde t es el tiempo promedio de la distribución (tiempo medio de residencia).
En forma adimensional
e E(t)t )E(
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Modelación de la Flotación
Mezcla perfecta
para N reactores conectados en serie:
NN
1N e1)!(n
N E(t)t )E(
Se debe tomar en cuenta que si N tiende a infinito, el comportamiento de los reactores en serie es equivalente a un flujo pistón.
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Modelación de la Flotación
Modelo de García Zúñiga flotación continua
Se debe resolver la ecuación:
NN
0
t
tNN1-N
tk
0
BATCH
tk 1
1
Nt
k 1
1 f(t)
dte1)!(N
Ntt
t1
e f(t)
dtE(t)f(t) f(t)
Solución: