Procesos Industriales Área Manufactura

Temas:

Métodos de conteo

Diagramas de árbol

Combinaciones

Permutaciones

Laura Anguiano Acosta

Introducción

En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad

de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en

muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un

problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente,

se requiere resolverlos en forma eficiente.

Método de conteo

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas

para determinar el número de posibilidades

diferentes que existen al realizar un experimento.

Entre estos métodos destacan el método del

producto y el método del diagrama de árbol.

En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o

todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir

por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los

elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán

llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá

que son agrupaciones con repetición. Entre los métodos de conteo más

conocidos tenemos: permutación, combinación y ordenación.

Suponga usted que tenemos las letras T, A, C y G (que en realidad

corresponden a las bases timina, adenina, citosina y guanina). ¿De

cuantas maneras diferentes podemos formar una secuencia de longitud 4

ocupando estas cuatro bases, sin repetir ninguna base? Por ejemplo, un

resultado sería justamente TACG, otro sería CGTA. Ahora bien, cuántas de

estas secuencias podemos formar?

Vamos a suponer que una secuencia en particular la podemos ubicar en

los siguientes cuatro casilleros

Notemos que en el primer casillero podemos ubicar una de las cuatro

bases, de modo que tenemos 4 formas de llenar este casillero; ahora bien,

sea la base que sea que hayamos elegido para el primer casillero, nos

quedan tres bases no seleccionadas, de modo que el segundo casillero

podrá llenarse de tres maneras diferentes. Hasta el momento, entonces,

hemos utilizado 2 bases, nos faltan las dos restantes, de modo que el tercer

casillero se puede llenar de dos maneras diferentes. Una vez llenado el

tercer casillero, queda una sola base que deberá ser ubicada en el cuarto

casillero. De modo que el total de formas diferentes de llenar estos cuatro

casilleros es

Observemos que en este caso el orden de elección tiene mucha

importancia (en rigor, el orden de una secuencia de nucleótidos es

fundamental en la traducción para la formación de las proteínas), esto

quiere decir que el resultado TACG es absolutamente diferente al ATCG.

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar

todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de

la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman

parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la

construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles

resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada

uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una

rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su

probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera

generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un

nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda

generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo

representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de

tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de

cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las

ramas de cada nudo ha de dar 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos

sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad:

multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes

(contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las

sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto,

el ejemplo de encontrar un alumno.

Ejemplos

Una universidad está formada por tres facultades:

La 1ª con el 50% de estudiantes.

La 2ª con el 25% de estudiantes.

La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en

cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

Pero también podría ser lo contrario.

Permutación

Llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles

ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1, 2,3}, cada ordenación posible de sus

elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6

permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y

"3,2,1".

La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de

los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje

de funciones matemáticas.

Una permutación de un conjunto X es una función

biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.

Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción.

En el ejemplo, X={1, 2, 3}.

Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí

mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.

Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por

1 → 1

2 → 2

3 → 3

Puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".

Por otro lado, la asignación biyectiva dada por

1 → 3

2 → 2

3 → 1

puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".

En la definición de permutación, no se establece condición alguna

sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común

considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar

permutaciones.

La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de

los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje

de funciones matemáticas.

Una permutación de un conjunto X es una función

biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.

Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción.

En el ejemplo, X={1, 2, 3}.

Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí

mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.

Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por

1 → 1

2 → 2

3 → 3

Puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".

Por otro lado, la asignación biyectiva dada por

1 → 3

2 → 2

3 → 1

Puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".

En la definición de permutación, no se establece condición alguna

sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común

considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar

permutaciones.

Notaciones

Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura

compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más

compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando

en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las

imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2),

σ(3),...,σ(n).

Por ejemplo, dado el conjunto ordenado {1,...,8} podemos expresar una

permutación σ sobre éste mediante una matriz de correspondencias:

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación

inversa σ − 1 de forma que su composición genera la aplicación

identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y

finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del

dominio queden ordenados de forma natural: