UPOUniversidad Peruana del Oriente

Docente: Ing. Elvis DEL ÁGUILA LópezCurso: Teoría de Redes

Nov . 2013

Facultad de Ingeniería de Sistemas

Resolver el siguiente problema mediante el método simplex.

F.O.: Max Z =100X1 + 200X2S.A.: 4X1 + 2X2 <= 16 (Ecuación 1) 8X1 +8X2 <= 16 (Ecuación 2) 2X2 <= 10 (Ecuación 3) X1, X2 >= 0

Ejercicio 1 resuelto

SOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX

Primer paso: Convertir las inecuaciones en ecuaciones (agregar las variables de holguranecesarias)

F.O.: Max Z = 100X1 + 200X2 + OS1 + OS2 + OS3 = 0 S.A.: 4X1 + 2X2 + S1 = 16 (Ecuación 1) 8X1 +8X2 + S2 =16 (Ecuación 2) 2X2 + S3 =10 (Ecuación 3) X1, X2 , OS1, OS2, OS3 >= 0

Segundo paso: Determinar las variables básicas y las no básicas.

BASICAS NO BASICAS

S1 X1

S2 X2

S3

Tercer paso: Elaborar la tabla inicial del Simplex.

VARIABLEBASICA

VARIABLES SOLUCION

X1 X2 S1 S2 S3

S1 4 2 1 0 0 16

S2 8 8 0 1 0 16

S3 0 1 0 0 1 10

Z -100 -200 0 0 0 0

En la fila Z (color amarillo) se toma la variable mas alta de valor negativo que en este caso seria -200

Cuarto paso: Elección de la columna pivote (variable que entra).

El coeficiente de Z más negativo = Columna X2

Quinto paso: Elección de la fila pivote (variable que sale).

Razón = Solución / Coeficiente columna pivote

Razón Menor = Fila perteneciente a S2

VARIABLEBASICA

VARIABLES SOLUCION RAZON

X1 X2 S1 S2 S3

S1 4 2 1 0 0 16 2

S2 8 8 0 1 0 16 8

S3 0 1 0 0 1 10 10

Z -100

-200

0 0 0 0

Sexto paso: Elaborar la nueva tabla del simplex.

0

X

_X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

X

_

1

0

x1 x2 s1 s2 s3x2 1 1 0 1/8 0 2s2 2 0 1 -1/4 1 12s3 -1 0 0 1/8 0 8z 100 0 0 25 0 400

R/ El valor maximo se alcanza para un x2 =2, con un z=400

Variable Básica

VariablesSolución

Nota: No hay mas iteraciones debido a que no existe coeficientes de Z negativos en la nueva tabla

Ejercicio 2 resuelto

FASE 1: Se considera un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema, de modo de obtener una solución básica factible. Resolver por Simplex un problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. Si el valor óptimo es cero, seguir a la Fase II, en caso contrario, no existe solución factible.

FASE 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I.

F:O        2X1 + X2S:A        10X1 + 10X2 <=  9               10X1 + 5X2  >=  1               X1, X2 >=  0

Se debe agregar X3 como variable de holgura

de la restricción 1, X4 como variable de exceso

de la restricción 2 y X5 variable auxiliar para

poder comenzar la Fase 1. (Nótese que solo

agregando X3 como variable de holgura a la

restricción 1 y X4 como variable de exceso a

las segunda restricción no se obtiene una

solución básica factible inicial, en particular

X4<0).

PASO 1

F.O  X5 S.A            10X1 + 10X2 + X3              =  9                                10X1 + 5X2         - X4 + X5 =  1                               X1, X2, X3, X4, X5 >=  0

PASO 2

La tabla inicial asociada a la Fase I queda en consecuencia definida de la siguiente forma:

X1 X2 X3 X4 X5

10 10 1 0 0 9

10 5 0 -1 1 1

0 0 0 0 1 0

PASO 3

Luego, se debe hacer 0 el costo reducido de X5, obteniendo la siguiente tabla inicial para hacer el uso de Simplex:

X1 X2 X3 X4 X5

10 10 1 0 0 9

10 5 0 -1 1 1

-10 -5 0 1 0 -1

PASO 4

Se escoge X1 como variable que entra a la base al tener el costo reducido más negativo. Posteriormente, mediante el criterio del mínimo cociente se selecciona la variable que sale de la base: Min {9/10; 1/10} = 1/10, X5 sale de la base:

X1 X2 X3 X4 X5

0 5 1 1 -1 8

1 1/2 0 -1/10 1/10 1/10

0 0 0 0 1 0

Se obtiene la solución óptima de la Fase I, con valor óptimo cero. Luego iniciamos la Fase II del método tomando X1 y X3 como variables básicas iniciales.

PASO 5

FASE 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I.

X1 X2 X3 X4

0 5 1 1 8

1 1/2 0 -1/10 1/10

-2 -1 0 0 0

PASO 6

Hacemos cero los costos reducidos de las variables básicas:

X1 X2 X3 X4

0 5 1 1 8

1 1/2 0 -1/10 1/10

0 0 0 -1/5 1/5

PASO 7

X4 entra a la base. Por el criterio del mínimo cociente, el pivote se encuentra en la fila 1, por tanto X3 sale de la base:

X1 X2 X3 X4

0 5 1 1 8

1 1 1/10 0 9/10

0 1 1/5 0 9/5

EL VALOR MAXIMO SE ALCANZA PARA UN : X1=9/10    X2=0    Con valor óptimo V(P) = 9/5.

PASO 8

Ejercicio propuestos 1

F.O Max        9u + 2v + 5zS.A            4u + 3v + 6z <=  50                                u + 2v - 3z >=  8                               2u - 4v + z = 5                            u,v >=  0                               z e IR

Ejercicio propuestos 2

F.O          c1x1  + c2x2  + ... + cnxnS.A           a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1                a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2                ...          ...                  ...                am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm                xi >=  0,   i = 1, 2, ..., n    y    m <= n

Ejercicio propuestos 3

F.O   3x1 + 2x2S.A      2x1 + x2 <= 2            3x1 + 4x2 >= 12            x1,x2 >= 0

Ejercicio propuestos 4

F.A    2x1 + x2S.A      x1 - x2 <= 10            2x1 <= 40            x1,x2 >= 0

MUCHAS GRACIAS