Metodo simplex - Elvis del Aguila L
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UPOUniversidad Peruana del Oriente
Docente: Ing. Elvis DEL ÁGUILA LópezCurso: Teoría de Redes
Nov . 2013
Facultad de Ingeniería de Sistemas
Resolver el siguiente problema mediante el método simplex.
F.O.: Max Z =100X1 + 200X2S.A.: 4X1 + 2X2 <= 16 (Ecuación 1) 8X1 +8X2 <= 16 (Ecuación 2) 2X2 <= 10 (Ecuación 3) X1, X2 >= 0
Ejercicio 1 resuelto
SOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX
Primer paso: Convertir las inecuaciones en ecuaciones (agregar las variables de holguranecesarias)
F.O.: Max Z = 100X1 + 200X2 + OS1 + OS2 + OS3 = 0 S.A.: 4X1 + 2X2 + S1 = 16 (Ecuación 1) 8X1 +8X2 + S2 =16 (Ecuación 2) 2X2 + S3 =10 (Ecuación 3) X1, X2 , OS1, OS2, OS3 >= 0
Segundo paso: Determinar las variables básicas y las no básicas.
BASICAS NO BASICAS
S1 X1
S2 X2
S3
Tercer paso: Elaborar la tabla inicial del Simplex.
VARIABLEBASICA
VARIABLES SOLUCION
X1 X2 S1 S2 S3
S1 4 2 1 0 0 16
S2 8 8 0 1 0 16
S3 0 1 0 0 1 10
Z -100 -200 0 0 0 0
En la fila Z (color amarillo) se toma la variable mas alta de valor negativo que en este caso seria -200
Cuarto paso: Elección de la columna pivote (variable que entra).
El coeficiente de Z más negativo = Columna X2
Quinto paso: Elección de la fila pivote (variable que sale).
Razón = Solución / Coeficiente columna pivote
Razón Menor = Fila perteneciente a S2
VARIABLEBASICA
VARIABLES SOLUCION RAZON
X1 X2 S1 S2 S3
S1 4 2 1 0 0 16 2
S2 8 8 0 1 0 16 8
S3 0 1 0 0 1 10 10
Z -100
-200
0 0 0 0
Sexto paso: Elaborar la nueva tabla del simplex.
0
X
_X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
X
_
1
0
x1 x2 s1 s2 s3x2 1 1 0 1/8 0 2s2 2 0 1 -1/4 1 12s3 -1 0 0 1/8 0 8z 100 0 0 25 0 400
R/ El valor maximo se alcanza para un x2 =2, con un z=400
Variable Básica
VariablesSolución
Nota: No hay mas iteraciones debido a que no existe coeficientes de Z negativos en la nueva tabla
Ejercicio 2 resuelto
FASE 1: Se considera un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema, de modo de obtener una solución básica factible. Resolver por Simplex un problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. Si el valor óptimo es cero, seguir a la Fase II, en caso contrario, no existe solución factible.
FASE 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I.
F:O 2X1 + X2S:A 10X1 + 10X2 <= 9 10X1 + 5X2 >= 1 X1, X2 >= 0
Se debe agregar X3 como variable de holgura
de la restricción 1, X4 como variable de exceso
de la restricción 2 y X5 variable auxiliar para
poder comenzar la Fase 1. (Nótese que solo
agregando X3 como variable de holgura a la
restricción 1 y X4 como variable de exceso a
las segunda restricción no se obtiene una
solución básica factible inicial, en particular
X4<0).
PASO 1
F.O X5 S.A 10X1 + 10X2 + X3 = 9 10X1 + 5X2 - X4 + X5 = 1 X1, X2, X3, X4, X5 >= 0
PASO 2
La tabla inicial asociada a la Fase I queda en consecuencia definida de la siguiente forma:
X1 X2 X3 X4 X5
10 10 1 0 0 9
10 5 0 -1 1 1
0 0 0 0 1 0
PASO 3
Luego, se debe hacer 0 el costo reducido de X5, obteniendo la siguiente tabla inicial para hacer el uso de Simplex:
X1 X2 X3 X4 X5
10 10 1 0 0 9
10 5 0 -1 1 1
-10 -5 0 1 0 -1
PASO 4
Se escoge X1 como variable que entra a la base al tener el costo reducido más negativo. Posteriormente, mediante el criterio del mínimo cociente se selecciona la variable que sale de la base: Min {9/10; 1/10} = 1/10, X5 sale de la base:
X1 X2 X3 X4 X5
0 5 1 1 -1 8
1 1/2 0 -1/10 1/10 1/10
0 0 0 0 1 0
Se obtiene la solución óptima de la Fase I, con valor óptimo cero. Luego iniciamos la Fase II del método tomando X1 y X3 como variables básicas iniciales.
PASO 5
FASE 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I.
X1 X2 X3 X4
0 5 1 1 8
1 1/2 0 -1/10 1/10
-2 -1 0 0 0
PASO 6
Hacemos cero los costos reducidos de las variables básicas:
X1 X2 X3 X4
0 5 1 1 8
1 1/2 0 -1/10 1/10
0 0 0 -1/5 1/5
PASO 7
X4 entra a la base. Por el criterio del mínimo cociente, el pivote se encuentra en la fila 1, por tanto X3 sale de la base:
X1 X2 X3 X4
0 5 1 1 8
1 1 1/10 0 9/10
0 1 1/5 0 9/5
EL VALOR MAXIMO SE ALCANZA PARA UN : X1=9/10 X2=0 Con valor óptimo V(P) = 9/5.
PASO 8
Ejercicio propuestos 1
F.O Max 9u + 2v + 5zS.A 4u + 3v + 6z <= 50 u + 2v - 3z >= 8 2u - 4v + z = 5 u,v >= 0 z e IR
Ejercicio propuestos 2
F.O c1x1 + c2x2 + ... + cnxnS.A a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm xi >= 0, i = 1, 2, ..., n y m <= n
Ejercicio propuestos 3
F.O 3x1 + 2x2S.A 2x1 + x2 <= 2 3x1 + 4x2 >= 12 x1,x2 >= 0
Ejercicio propuestos 4
F.A 2x1 + x2S.A x1 - x2 <= 10 2x1 <= 40 x1,x2 >= 0
MUCHAS GRACIAS