“ecuaciones

diferenciales”

Luis Enrique Martínez RamírezMatemática Educativa

Solución de una ecuación diferencial

En una función desconocida y la variable independiente X definida en un intervalo y es una función que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de X en el intervalo dado.

Y¹¹= Y biprimaría

1°-Ejemplo:

Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0 Y¹= 2cos2x – 4cos (2x) Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x)

Comprobación:– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0 esto es una solución general

2° ejemplo:

Y= 5sen2x + 3cos2x Y¹¹+4y= 05 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)Y¹= – 6sen2x + 10cos2xY¹¹= – 20sen2x – 12cos2x

Comprobación:–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0

– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0

esto es una Solución particular

3° ejemplo:

Comprobar que:Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1Y¹ = 2x

2x + (x² – 1 ) ²= 1

4° ejemplo:

Y= Y¹ + Y = 0

Y¹= – Y¹¹=

– + – ( )² = 0– + – = 0

5° ejemplo

Y = Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0

Y¹=2Y¹¹= 4

4 + 2 – 6 () = 06 – 6 = 0

6° ejemplo

Y= + Y¹¹ + Y ¹ - 6Y = 0

Y ¹ = - 2 + 3 Y¹¹ = - 4 + 9

- 4 + 9 - 2 + 3- 6 ( + ) =0

7° ejemplo

Y= x² + + Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0

Y¹ = 2x² + + Y¹¹ = 2 + + 4

2+ + 4 + 2x + - 2 -2 (x² + + )= 0

2 + + 4 + 2x + - 2 - 2 x²- 2 = 2( 1+ X - x² )

2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )

8°- ejemplo

Y= C1 + C2 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0 Y¹= 2 C1 + 2C 2+ C 2 Y¹¹= 4 C1 + 4C 2 + 2C 2+ 2 C2

=4 C1 + 4C 2 + 2C 2 + 2 C2 - 4(2 C1 + 2C 2 + C 2 ) + 4 (C1 + C2 ) =0

4 C1 + 4C 2 + 2C 2 + 2 C2 - 8C1 - 8C 2 - 4 C 2 + 4C1 + 4 C2 = 0

8C1 + 8C 2 + 4 C 2 -12C2- 8 C1 = 0

Y= 0

9° ejemplo:

= ∫ = ∫

lny= lnx + ln C1 lny = lnC1x

Aplicado antilogaritmosY= C1x

ComprobacionY= C1x = C1

Sustituyendo: = C1= C1= C1

=

∫y dy = ∫x dx [= = +]²

y² = x² + C1

Ecuaciones diferenciales exactas

(x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dyno se puede separar

M= x² + 2xg + x = 2x no se puede con los exactos

N= y² = 0

2° ejemplo:

(X² + Y² + X ) dx + xydy =0

M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │ =

M= X² + Y² + X * = 2YN= XY * = Y

No es exacta porque: +

3° ejemplo:

(5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy =0(5x + 4y) + (4x+8y)

5x dx – 4y dx + 4x dy - 8y³ dy =0M= 5x + 4y = 4N= 4x – 8y³ = 4

4° ejemplo:

a veces es posible encontrar un factor (que llamamos factor integrante) el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en exacta para encontrar este factor integrante se utiliza la sig. Formula:

= __________ N

Ahora utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por medio de la siguiente expresión.

M (x)= e = e = e = = x

A continuación simplemente aplicamos

Integramos:(x³+ xy² + x² ) dx

(x³+ xy² + x² )dx =∫ x³dx + y² ∫ x dx + ∫ x² dx + y² + + g (y)

Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para determinar el valor g (y) derivamos la función ƒ encontrada con respecto a Y

= 2y + g (y)* = x²y + g¹(y)

Este resultado se iguala con N (x²y)X²y + g¹ (y) = X²y

Simplificado:+g¹ (y)= X²y - X²y g¹ (y) = 0

Si g¹ (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante cualquiera

Por lo tanto la función buscada es: ƒ = + y² + + C1 Y la solucion se obtiene igualando esta función a una

constante (C2)

+ y² + + C1 = C2

Simplificando: + + = C

 

5° ejemplo

 

Integramos:Ƒ ( ) dx∫()dx = 3∫dx + y² ∫ = 3xy² ∫ x-²Ƒ= 3x+y² + g (y)Ƒ= 3x- + g (y)

Derivar función f= + g¹(y) g¹(y) =0 sustitución:F= 3x+ C1 Reduciendo3x = C

Multiplicado por X[3x = C] 3x³- y² = cx

Solución :3x+ c1= c2